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  • Algebraische Zahlentheorie

    Prof. J. Sander Universität Hannover

    SS 2002

    LATEX2ε-Umsetzung von Miriam Westerfrölke und Marco Pries

  • INHALTSVERZEICHNIS 1

    Inhaltsverzeichnis

    1 Algebraische Zahlen 2 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Algebraische Zahlen und Zahlkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    Satz 1.15 (vom primitiven Element) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Norm, Spur und Diskriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ganzalgebraische Zahlen und Ganzheitsbasen . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    Satz 1.44 (Kriterium von Stickelberger) . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Satz 1.45 (von Kronecker) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    Faktorisierung und Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    2 Arithmetik in Zahlkörpern 50 Quadratische Zahlkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Kreisteilungskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Einheiten in Ganzzahlringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Geometrie der Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    Satz 2.19 (Minkowskis Gitterpunktsatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Satz 2.20 (Minkowskis Linearformensatz) . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Satz 2.26 (von Hermite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    Dirichlets Einheitensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Satz 2.29 (Dirichlets Einheitensatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    3 Idealtheorie 94 Eigenschaften von Idealen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    Satz 3.15 (Chinesischer Restsatz für Ideale) . . . . . . . . . . . . . . . 104 Hauptidealringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Normen von Idealen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Idealformen und Klassengruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    Index 127

  • 1 ALGEBRAISCHE ZAHLEN 2

    1 Algebraische Zahlen

    1.1. Grundlagen

    Die algebraische Zahlentheorie verallgemeinert das Konzept der gewöhnlichen ganz-

    rationalen Zahlen

    Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}

    auf andere Zahlenbereiche. Eine wesentliche Triebfeder für die Entwicklung der

    Theorie im 19. Jahrhundert war das Fermat’sche Problem, die Unlösbarkeit der

    Gleichung

    xn + yn = zn

    für n ∈ N≥3 in ganzen Zahlen x, y, z ∈ Z \ {0} zu zeigen.

    Die Elemente von Z lassen sich charakterisieren als die Nullstellen linearer Polynome

    f(x) = x− a ∈ Z[x]. Wir verallgemeinern dies zu

    Definition 1.1

    Sei α ∈ C Nullstelle des Polynoms

    f(x) = xd + ad−1xd−1 + · · ·+ a1x + a0 ∈ Z[x]

    für ein d ∈ N. Ist α nicht Nullstelle eines solchen Polynoms von geringerem Grad,

    so heißt α ganzalgebraisch vom Grad d.

    Beispiel:

    Die Zahlen a + b √ −1 = a + bi mit a, b ∈ Z, b 6= 0, sind ganzalgebraisch vom Grad

    2, denn sie sind Nullstellen von f(x) = x2 − 2ax + a2 + b2, aber wegen b 6= 0

    nicht Nullstellen eines linearen Polynoms. Zu Ehren von Gauß, der diese Zahlen

    untersuchte, heißt

    Z[i] := {a + bi : a, b ∈ Z}

    Menge der ganzen Gauß’schen Zahlen.

  • 1 ALGEBRAISCHE ZAHLEN 3

    Wir beobachten, daß die Primzahl 5 ∈ Z in Z[i] nicht mehr prim ist, denn wir haben

    die Faktorisierung

    5 = (2 + i)(2− i).

    Da allgemeiner jede Primzahl p ≡ 1 mod 4 sich als Summe von zwei Quadraten

    darstellen lässt, d.h. p = a2 + b2 für gewisse a, b ∈ Z, folgt die Zerlegung

    p = (a + bi)(a− bi).

    Das Verständnis der Faktorisierung ganzalgebraischer Zahlen ist das Kernanliegen

    der algebraischen Zahlentheorie.

    Definition 1.2

    Sei R ein kommutativer Ring mit Einselement 1 = 1R.

    (i) α ∈ R heißt Einheit in R, falls es ein β ∈ R gibt derart, dass αβ = 1R.

    (ii) Ein γ ∈ R, γ 6= 0, heißt irreduzibel, sofern γ keine Einheit ist und nur

    Faktorisierungen der Gestalt γ = σ · u mit σ ∈ R und einer Einheit u ∈ R

    zuläßt. Derartige Zerlegungen heißen trivial.

    (iii) Falls α = u · β mit α, β ∈ R und einer Einheit u ∈ R gilt, so heißen α und β

    assoziiert (zueinander).

    (iv) Eine ganzalgebraische Zahl α ∈ R heißt eindeutig zerlegbar in R, wenn zwei

    Zerlegungen von α in irreduzible Elemente sich nur in der Reihenfolge der

    Faktoren oder um Einheitsfaktoren unterscheiden. D.h. Faktorisierung ist ein-

    deutig bis auf Reihenfolge und Assoziierte.

    Beispiele:

    Es lässt sich leicht nachrechnen, dass die Zerlegung 5 = (2+i)(2−i) in Z [i] eindeutig

    ist. Demgegenüber haben wir in Z[ √

    10]

    6 = 2 · 3 = (4 + √

    10)(4− √

    10),

  • 1 ALGEBRAISCHE ZAHLEN 4

    wobei alle Faktoren irreduzibel sind und 2, 3 nicht assoziiert zu 4 + √

    10, 4 − √

    10

    sind. Also ist 6 in Z[ √

    10] nicht eindeutig zerlegbar.

    Vorsicht: In Z[ √

    3] ist

    6 = 2 · 3 = (3 + √

    3)(3− √

    3).

    Trotzdem ist 6 eindeutig zerlegbar, denn die vier Faktoren sind nicht irreduzibel:

    2 = (−1+ √

    3)(1+ √

    3), 3 = √

    3· √

    3, 3+ √

    3 = √

    3(1+ √

    3), 3− √

    3 = √

    3(−1+ √

    3).

    Die Nichteindeutigkeit der Zerlegung ganzalgebraischer Zahlen in gewissen Ganz-

    zahlbereichen erfordert Untersuchungen, die in Z nicht nötig sind.

    Definition 1.3

    Sei α ∈ R, α 6= 0, eine ganzalgebraische Zahl.

    (i) Wir sagen: α teilt β ∈ R, geschrieben α | β, falls es ein γ ∈ R gibt mit β = αγ.

    (ii) Ist α keine Einheit in R, so nennen wir α prim, falls für alle β, γ ∈ R gilt:

    α | βγ =⇒ α | β oder α | γ.

    Die Unterscheidung zwischen irreduziblen und primen Elementen bei ganzalgebrai-

    schen Zahlen, die in Z bedeutungslos ist, spielt dort eine wesentliche Rolle, wo keine

    eindeutige Faktorisierung vorliegt. Wäre jedes irreduzible Element prim, so würde

    ein simples Induktionsargument über die Anzahl der irreduziblen (primen) Faktoren

    zeigen, dass die Faktorisierung eindeutig ist (so wird die Eindeutigkeit der Primfak-

    torzerlegung in Z bewiesen).

    Beispiel:

    Es lässt sich zeigen, dass die irreduziblen Zahlen 2, 3, 4± √

    10 ∈ Z[ √

    10] nicht prim

    sind. Wir sagen: Z[ √

    10] besitzt keine eindeutige Faktorisierung.

    Eine besonders intensiv studierte Klasse von ganzalgebraischen Zahlen bilden die

    sogenannten Einheitswurzeln.

  • 1 ALGEBRAISCHE ZAHLEN 5

    Definition 1.4

    Sei n ∈ N. Eine Nullstelle ζn ∈ C des Polynoms xn−1 heißt primitive n-te Einheits-

    wurzel, sofern ζdn − 1 6= 0 für alle d < n.

    Die Fermat-Gleichung xn + yn = zn lässt sich mit Hilfe primitiver n-ter Einheits-

    wurzeln faktorisieren. Ist ζn eine primitive n-te Einheitswurzel, so gilt

    zn = xn + yn = (x + y)(x + ζn y)(x + ζ2n y) · . . . · (x + ζn−1n y).

    Hat die Gleichung eine Lösung x, y, z ∈ Z, so haben wir also xn + yn in Z[ζn] fakto-

    risiert.

    Der kleinste Körper, in dem Z liegt, ist Q. Entsprechend gibt es zu jedem Ganzzahl-

    bereich in C einen eindeutigen kleinsten Körper, der ein Teilkörper von C ist und

    den Ganzzahlbereich enthält.

    Definition 1.5

    Sei α ∈ C Nullstelle des Polynoms

    f(x) = adxd + ad−1xd−1 + · · ·+ a1x + a0 ∈ Z[x]

    für ein d ∈ N. Ist α nicht Nullstelle eines solchen Polynoms von geringerem Grad,

    so heißt α algebraisch vom Grad d.

    Ist α eine algebraische Zahl vom Grad d, so nennen wir den Erweiterungskörper

    Q(α) von Q einen algebraischen Zahlkörper vom Grad d über Q erzeugt von α.

    Bemerkungen:

    (i) Betrachten wir Q(α) als Vektorraum über Q, so ist der Grad d die Dimension

    von Q(α) über Q. Eine Basis ist 1, α, α2, . . . , αd−1.

    (ii) Der kleinste algebraische Zahlkörper ist Q selbst, wobei selbstverständlich d =

    1 ist. Eine einfache Körpererweiterung Q(α) ist der kleinste Körper, der Q und

    α enthält.

  • 1 ALGEBRAISCHE ZAHLEN 6

    (iii) Cantor bewies, dass die Menge aller algebraischen Zahlen (beliebigen Gra-

    des) abzählbar ist. Da R und somit C überabzählbare Mengen sind, existieren

    überabzählbar viele nichtalgebraische Zahlen, genannt transzendente Zahlen.

    Beispiele sind e und π.

    Im Jahre 1847 stellte Lamé eine Grundidee von Liouville vor, um die Fermat-

    Vermutung zu beweisen: Sind in der Zerlegung

    zn = (x + y)(x + ζn y)(x + ζ2n y) · . . . · (x + ζn−1n y)

    die Faktoren auf der rechten Seite paarweise teilerfremd, so gilt für 0 ≤ j ≤ n− 1

    x + ζjn y = z n j

    mit gewissen zj. Liouville bemerkte, dass dieser Schluss die eindeutige Faktorisierung

    in Z[ζn] voraussetzt. Es stellte sich jedoch heraus, dass dies im Allgemeinen nicht

    gilt. Kummer überwand die Schwierigkeit durch Einführung sogenannter ”idealer

    Zahlen“, für die sich die Eindeutigkeit der Faktorisierung zeigen lässt.

    Definition 1.6

    Sei R ein kommutativer Ring. Eine

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