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Computer-algebraische und

analytische Methoden

zur Berechnung von

Vertexfunktionen im Standardmodell

Dissertation

zur Erlangung des Grades

”Doktor der Naturwissenschaften“

am Fachbereich Physik

der Johannes Gutenberg-Universität in Mainz

Alexander Frink

geboren in Wiesbaden

Mainz 2000

Datum der mündlichen Prüfung: 26.05.2000

Zusammenfassung

Das Standardmodell der elektroschwachen Wechselwirkung hat in den vergangenen Jahr- zehnten beachtliche Erfolge erzielt. Die vorhergesagten Teilchen wurden, bis auf das Higgs- Boson, experimentell nachgewiesen. Bei Streu- und Zerfallsprozessen stimmen die expe- rimentell gemessenen und die theoretisch berechneten Wirkungsquerschnitte im Rahmen ihrer jeweiligen Genauigkeit sehr gut überein. Um Abweichungen vom Standardmodell zu finden und um so Hinweise auf eine umfassendere Theorie zu erhalten, muß die Präzision sowohl im Experiment als auch bei den theoretischen Berechnungen erhöht werden.

Auf der theoretischen Seite ist dies gleichbedeutend mit dem Schritt zu der nächst- höheren Ordnung der Störungsreihe, im Falle des Standardmodells ist dies die Zweiloop- Ordnung. Wegen der großen Zahl von Teilchen im Standardmodell tragen viele Feynman- Graphen, in der Regel mehrere Tausend, zu einem Prozeß bei. Die Berechnung jedes ein- zelnen dieser Graphen ist wegen der vielen verschiedenen Massenskalen auch noch deutlich schwieriger als beispielsweise in der Quantenelektrodynamik. Diese Aufgabe läßt sich nur noch mit Computer-Unterstützung lösen.

Es existieren zwar bereits Programmpakete, mit denen Prozesse mehr oder weniger au- tomatisch berechnet werden können, jedoch nur zur Baumgraphen- oder Einloop-Ordnung. Zur Zweiloop-Ordnung können noch nicht einmal alle einzelnen Diagramme in ihrer vollen Allgemeinheit berechnet werden. Lediglich Zweipunkt-Funktionen können methodisch als abgeschlossen betrachtet werden.

Ziel dieser Arbeit ist es daher, zum einen analytische Methoden zu entwickeln, mit denen beliebige Dreipunkt-Feynman-Graphen berechnet werden können. Diese werden z.B. für die Behandlung von Zerfallsprozessen benötigt. Zum anderen soll ein Rahmen geschaffen werden, der eine Einbettung dieser Methoden in ein Programmpaket zur auto- matisierten Berechnung von Prozessen erlaubt.

Kapitel 1 behandelt die Entwicklung der Methoden zur Berechnung von Zweiloop- Dreipunkt-Integralen für den Fall beliebiger Massen und Impulse mit Hilfe der Parallel- /Orthogonalraum-Integrationstechnik. Die zugehörigen konvergenten skalaren Integrale sind bereits berechnet worden. Der Schwerpunkt liegt daher auf der Behandlung der verschiedenen Divergenzen, mit denen man in physikalischen Anwendungen konfrontiert wird, nämlich den ultraviolett, infrarot und kollinear divergenten Beiträgen. Besonders wichtig sind die Integrale mit Tensorstruktur, für die ein Verfahren vorgestellt wird, das diese auf eine übersichtliche Basismenge von Standardintegralen reduziert. Weiterhin wird gezeigt, wie die Integrale der Basismenge mit Hilfe der Parallel-/Orthogonalraum-Methode berechnet werden können.

Für die Implementierung eines Programmpakets zur automatisierten Berechnung von Ein- und Zweiloop-Feynman-Diagrammen, die gleichermaßen symbolische wie numerische Manipulationen von Ausdrücken erfordern, haben sich konventionelle Computer-Algebra- Systeme wie Maple oder Mathematica als nicht geeignet erwiesen. In Kapitel 2 wird daher die Programmbibliothek GiNaC vorgestellt, die die Programmiersprache C++ um Fähigkei- ten zur Verarbeitung symbolischer Ausdrücke erweitert.

Mit diesen Bausteinen, den allgemeinen Berechnungsmethoden von Zweiloop-Drei- punkt-Funktionen und einer geeigneten Programmierumgebung, wird in Kapitel 3 ein Konzept für ein neues Paket zur automatisierten Berechnung von Feynman-Graphen ein- geführt. Es basiert auf Ideen des in Mainz entwickelten Paketes xloops, dessen Weiterent- wicklung und Ergänzung um Zweiloop-Dreipunkt-Methoden jedoch nicht mehr sinnvoll erschien. Dort werden auch noch einige Komponenten beschrieben, die bisher in xloops fehlten.

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 1

1 Zweiloop-Dreipunkt-Funktionen 7 1.1 Parallel-/Orthogonalraum-Integrationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1 Konvergente Zweiloop-Dreipunkt-Funktionen . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Divergente Zweiloop-Dreipunkt-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Ultraviolett divergente skalare Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Bestimmung der Abzugsterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 Berechnung des endlichen Anteils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3 Berechnung des divergenten Anteils . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.4 Andere ultraviolett divergente skalare Diagramme . . . . . . . . . . 19

1.3 Infrarot divergente Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.1 IR-Divergenz in einem Loopimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2 IR-Divergenz in beiden Loopimpulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Kollinear divergente Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.1 Bestimmung der Abzugsterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4.2 Berechnung der divergenten Anteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4.3 Berechnung des endlichen Anteils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.4 Ergebnisse und Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.4.5 Kollineare Divergenz bei einem lichtartigen äußeren Impuls . . . . . 39

1.5 Tensor-Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.5.1 Bekannte Verfahren zur Berechnung von Tensor-Integralen . . . . . . 40 1.5.2 Probleme bei Zweiloop-Dreipunkt-Funktionen . . . . . . . . . . . . . 43 1.5.3 Die Master-Zweipunkt-Funktion und der Grenzfall verschwindenden

Impulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.5.4 Kürzen von Propagatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.5.5 Das Abzugsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.5.6 Die planare Dreipunkt-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.5.7 Die gekreuzte Dreipunkt-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.5.8 Die reduzierte planare Dreipunkt-Funktion . . . . . . . . . . . . . . 55 1.5.9 Dreipunkt-Funktionen mit einem Zweipunkt-Untergraphen . . . . . 57

1.6 Anomale Schwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.6.1 Landau-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.6.2 Einloop-Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.6.3 Verhalten von Zweiloop-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

II INHALTSVERZEICHNIS

2 GiNaC — eine Bibliothek für Computer-Algebra in C++ 67 2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.2 Übersicht über GiNaC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.2.1 Klassenhierarchie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.2.2 Speicherverwaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.2.3 Evaluierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.2.4 Äquivalenz- und Ordnungsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.2.5 Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.3 Grundlegende Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.3.1 Ganzzahl- und Gleitkomma-Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.3.2 Symbole und Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.3.3 Summen und Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.3.4 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.3.5 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.3.6 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.4 Spezielle Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.4.1 Nicht-kommutative Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.4.2 Indizes und indizierte Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.4.3 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.4.4 Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.5 Hilfsprogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.5.1 Maple-GiNaC-Konverter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.5.2 GiNaC interaktiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

2.6 Zukünftige Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2.6.1 Lorentztensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.6.2 Clifford-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.6.3 Sonstiges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3 Automatisierte Berechnung von Feynman-Graphen 101 3.1 Topologie-Erzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.1.1 Nicht-faktorisierende Topologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.1.2 Einteilung in Haupt- und Subtopologien . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.1.3 Faktorisierende Topologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.1.4 Kürzen von Propagatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.1.5 Effektive Anzahl äußerer Beine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.1.