modern fizika vegyészmérnököknek - fizipedia.bme.hu · 11 dr. márkus ferenc bme fizika...

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe

2. (a)

Elektromágneses

hullámok Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Utolsó módosítás: 2014. szeptember 28.

A Maxwell-egyenletek

1

Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

(1)

(2)

(4)

(3)

E: elektromos térerősség

D: elektromos eltolás

H: mágneses térerősség

B: mágneses indukció

j: elektromos áramsűrűség

ρ: elektromos töltéssűrűség

·: (parciális) időderivált

2


Konstitutív (anyag-) egyenletek (1)

/differenciális Ohm-törvény/

σ: elektromos vezetőképesség

ε: dielektromos állandó /permittivitás/

μ: mágneses permeabilitás

(5)

(6)

(7)

Konstitutív (anyag-) egyenletek (2)

Továbbá:

a vákuum permittivitása

relatív permittivitás

a vákuum permeabilitása

relatív permeabilitás

3

A töltésmegmaradás törvénye

(kontinuitási egyenlet)

Az (1) és (3) egyenlet segítségével mutatható meg.

és felhasználva, hogy bármely vektortérre

adódik. A (3) egyenletet felhasználva kapjuk:


Ez az elektromos töltés megmaradását kifejező kontinuitási egyenlet.

4

Az (1) egyenlet divergenciáját véve

Az elektromágneses tér energiamérleg egyenlete (1)


Az (1) egyenletet E-vel a (2) egyenletet H-val szorozva:

adódik. A második egyenletből az elsőt kivonva kapjuk:

A (6) és (7) konstitutív egyenleteket, valamint a

azonosságot felhasználva, az egyenletet átrendezve

5

Az elektromágneses tér energiamérleg egyenlete (2)


az energiamérleg egyenlet:

6

Az elektromágneses tér energiamérleg egyenlete egyes

tagjainak fizikai jelentése


Az elektromágneses tér energiasűrűsége:

Az elektromágneses tér energiaáram-sűrűség vektora, a

Poynting-vektor:

A Joule-hő:

Mivel a Joule-hő kifejezése mindig pozitív (vagy zérus), az energiamérlegbeli

negatív előjellel mindig veszteséget jelent az elektromágneses tér számára!

7

A szabad elektromágneses tér hullámegyenlete (1)


Elektromos töltésektől és áramoktól mentes tér (azaz a töltés-

sűrűséget és az áramsűrűséget zérusnak véve)

Valamint vákuumbeli esetre szorítkozva

8


Az (1) egyenlet időszerinti deriváltját, a (2) egyenlet rotációját véve:

felhasználva a (6) és (7) konstitutív egyenletek

valamint a

azonosságot, kapjuk →

9



10


Ahonnan a vákuumban terjedő E sebessége:

Ha a terjedés x

tengely irányú:


Az (1) egyenlet rotációját, a (2) egyenlet időszerinti deriváltját véve:

felhasználva a (6) és (7) konstitutív egyenletek

valamint a

azonosságot, kapjuk →

11



Ha a terjedés x

tengely irányú:

Ahonnan a vákuumban terjedő H sebessége az E-hez hasonlóan:

Hasonló egyenletek és

ugyanaz a terjedési

sebesség tartozik D-hez

és B-hez is.

12


A hullámegyenlet síkhullám megoldásai, valamint

az E és H vektorok iránya (1)

Terjedjen a síkhullám az +n egységvektor irányába. A t1

időpillanatban tekintsünk egy r1 koordinátájú pontot a hullámfronton.

Egy későbbi t2 időpillanatban tekintsünk egy r2 koordinátájú pontot az

újabb hullámfronton. Ekkor a c sebességű terjedés mellett a két sík

távolsága d:

13


A két sík távolága másképp is

kifejezhető:



Az előző két összefüggés összevetéséből:

amiből általában:

14


Síkhullám megoldások:

15




Itt a „–” előjel a +n irányú terjedéshez, a „+” előjel a –n irányú

terjedéshez tartozik.



Tekintsük pl. a „+” irányú terjedést:

Az argumentumot jelölve az idő

deriváltak:

16




Ezekkel az (1) és (2) Maxwell-egyenletek:

17


Valamint a térbeli deriváltak:



18


Az argumentum szerinti integrálás után:

Az E, H és n vektorok jobbsodrású rendszert alkotnak!



19


Hasonló levezetéssel a –n irányban terjedő hullámokra:

Egy formulával összefoglalva a irányban terjedő hullámokra:

Az elektromágneses hullám transzverzális hullám!



20





21



transzverzális mechanikai hullám

a terjedés iránya →

a terjedés iránya →

elektromágneses hullám

Kocka alakú üregbe zárt elektromágneses hullám (1)

22


Ideális elektromos vezetőből készült kocka alakú üregben a kialakuló

teret a hullámegyenlet és a határfelületek együttesen határozzák meg. Az

ideális vezetőn belül az E elektromos térerősség és H mágneses

térerősségek zérus értékűek. Mivel a határfelületen az elektromos

térerősség tangenciális, a mágneses térerősség normális komponense

megy át folytonosan. így e komponenseknek az üreg falán zérusnak kell

lenniük. (Ezt fogjuk a tárgyalás során kihasználni.)

A kocka legyen úgy elhelyezve, hogy egyik

csúcsa az origó, l hosszúságú élei az x, y és z

tengelyekkel párhuzamosak.


23


A határfeltételeket kielégítő térerősség-komponensek:

Ex = 0, ha y = 0 vagy y = l, z = 0 vagy z = l ;

Hx = 0, ha x = 0 vagy x = l

Ey = 0, ha x = 0 vagy x = l, z = 0 vagy z = l

Hy = 0, ha y = 0 vagy y = l

Ez = 0, ha x = 0 vagy x = l, y = 0 vagy y = l

Hz = 0, ha z = 0 vagy z = l


24


A hullámegyenletet és a határfelületi feltételeket is kielégítő megoldás

az E térerősség vektor komponenseire:

Amplitúdó vektor: egész számok


25


A térerősség-komponensek ki kell elégítsék a

összefüggést. →


26


Az összefüggés minden x, y és z-re akkor állhat fenn, ha

vagy másképp:

Az számhármas két független síkhullám

megoldást jelent!


27


A térerősség-komponenseket a hullámegyenletbe helyettesítve az

amplitúdókra:

Itt

a kialakuló rezgések lehetséges frekvenciái.

Magnetron (1)

28


Magnetron (2)

29


A frekvencia 2-3 GHz, a teljesítmény folyamatos üzemben általában 10 kW alatt van, de léteznek impulzusüzemben akár MW nagyságrendű berendezések is.

Az elektromágneses potenciálok (1)

Az alapgondolat: az elektromágneses teret leíró E, D, H és B

mennyiségek visszavezetése „alapvetőbb” térmennyiségekre.

Egy tetszőleges vektortér esetén mindig igaz a

azonosság. Így a (4) Maxwell-egyenlet

esetén érdemes bevezetni egy A vektormennyiséget a

definícióval. Az A vektor neve vektorpotenciál.

30


Maxwell: az A vektorpotenciál matematikai

segédmennyiség, semmilyen fizikai tartalma nincs.


Ekkor nyilvánvalóan teljesül a

(4) egyenlet. A (2) egyenletbe történő helyettesítéssel

31


→ →

Ebből a azonosság felhasználásával

definiáljuk a skalárpotenciált.

Az A és potenciálok megadása nem egyértelmű!


32


Az E és B vektorok potenciálokkal megadott alakjait az (1) egyenletbe

helyettesítve

adódik. Felhasználva, hogy

kapjuk:


33


A potenciálok nem-egyértelműsége miatt lehetőség van egy matema-

tikai kapcsolat definiálására. Ez itt most legyen a

Lorenz-feltétel:

Ekkor

amely összefüggés kapcsolatot teremt a mérhető j áramsűrűség és az

absztrakt A vektorpotenciál között.

(*)


34


A (3) egyenletből kiindulva: →

→

A Lorenz-feltétel figyelembevételével:

Összefüggés áll elő a mérhető ρ töltéssűrűség és a skalárpotenciál

között.

(**)


35


Zérus áramok és töltéssűrűségek mellett a két potenciálra tiszta

hullámegyenletek állnak fenn:


36


A tér (ξ,η, ζ) koordinátákkal megadott pontjaiban áramok folynak és

elektromos töltések helyezkednek el. Az (x,y,z) pontban a (*) és (**)

egyenletek megoldásaként előáll a vektor- és skalárpotenciál:

Itt r az (x,y,z) pont és a (ξ,η, ζ) pont közötti távolság. Mindkét

potenciál az áramsűrűség és töltéssűrűség r/c idővel korábban felvett

értékeitől függenek. → Ezeket nevezik retardált megoldásoknak.

Kérdések (1)

Írja fel a Maxwell-egyenleteket! Mi az egyenletek fizikai jelentése?

Milyen mennyiségekkel kapcsolatosak és mit fejeznek ki a konstitutív

(anyag-) egyenletek az elektrodinamikában?

Mi a kontinuitási egyenlet(ek) fizikai jelentése? Milyen tagokból áll az

egyenlet?

Mely Maxwell-egyenletekből fejezhető ki a kontinuitási egyenlet. Milyen

matematikai lépéseket kell tenni?

Mely Maxwell-egyenletekből fejezhető ki az az elektromágneses tér

energiamérleg egyenlete? Milyen matematikai lépéseket kell tenni?

Milyen kifejezés írja le az elektromágneses tér energiasűrűségét?

Mi a Poynting-vektor fizikai jelentése?

Mi a Joule-hő kifejezése?

Mit jelent az a fogalom, hogy szabad elektromágneses tér?


37

Kérdések (2)


38

Mely Maxwell-egyenletekből fejezhető ki a szabad elektromágneses tér

hullámegyenlete? Milyen matematikai lépéseket kell tenni?

Milyen alakúak és milyen mennyiségekre adódtak hullámegyenletek?

Mennyi a vákuumbeli fénysebesség?

Milyen alakúak a síkhullám megoldások?

Milyen kapcsolatban vannak egymással a terjedési irányt megadó n

vektor, valamint az E elektromos és H mágneses térerősségek?

Mit jelent a transzverzális elektromágneses hullám fogalma?

Milyen elektromágneses tér alakulhat ki kocka alakú, ideális vezetőből

készült falú üregben? Milyen frekvenciaértékek fordulhatnak elő?

Hogyan működik a magnetron?

Hogyan mérné meg a fény sebességét mikrohullámú sütővel?

Kérdések (3)

Mely potenciálokat vezetjük be és mi a mérhető terekkel való

matematikai kapcsolatuk?

Hogyan néznek ki a Maxwell-egyenletek a potenciálokkal felírva?

Miért lehet a Lorenz-feltételt kitűzni, és milyen egyszerűsítő szerepet

játszik az elmélet kiépítésében?

Milyen téregyenletek állnak fenn általában a skalár- és vektor-

potenciálokra?

Zérus áramok és elektromos töltések esetén milyen alakú egyenletek

állnak fenn a skalár- és vektorpotenciálokra?

(A ilyen színnel írt kérdések a mélyebben érdeklődők részére vannak. ) (folyt. köv.)

39


modern fizika vegyészmérnököknek - fizipedia.bme.hu · 11 dr. márkus ferenc bme fizika...

Documents