mk ed1 ed_8_ekf

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ

«ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»

1o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ

1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

1Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ (Κεφάλαια 2)

[Κεφάλαιο 1 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου]

ΘΕΜΑ Α

Α1. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα , . Αν:

η f είναι συνεχής στο , και

f ( ) f ( )

Τότε, για κάθε αριθμό μεταξύ των f ( ) και f ( ) υπάρχει ένας, τουλάχιστον 0x ,

τέτοιος ώστε 0f (x ) .

(Μονάδες 10) Α2.

1) Διατυπώστε το Θεώρημα του Bolzano για μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα

κλειστό διάστημα , .

(Μονάδες 3)

2) Πότε μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της;

(Μονάδες 2)

Α3. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ), αν είναι σωστή, ή με Λάθος (Λ), αν είναι λανθασμένη:

α) Η εικόνα f ( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστημα

β) Αν f ,g,h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h (g f ) , τότε ορίζεται και η (h g) f

και αυτές είναι υποχρεωτικά ίσες .

γ) Μία συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική

παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο.

δ) Αν οι συναρτήσεις f ,g έχουν όριο στο 0x και ισχύει f (x) g(x) , τότε

0 0x x x xlim f (x) lim g(x)

.

ε) Αν 0x x

lim f (x)

, τότε f (x) 0 κοντά στο 0x .

(Μονάδες 10)

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : με 0 f (x) 1 για κάθε x και η

συνάρτηση 2

f (x)g(x)

f (x) 1

.




2

1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την f .

(Μονάδες 5)

2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση fog είναι γνησίως αύξουσα και 1-1.

(Μονάδες 5)

3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 2f (g(x 1)) f (g(4x 2x)) έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες και

μια αρνητική ρίζα.

(Μονάδες 10)

4. Να επιλυθεί η ανίσωση 3 2(f g)(x 4) (f g)(3x ) .

(Μονάδες 5)

ΘΕΜΑ Γ

Έστω η συνάρτηση xf (x) ln(e 1) x .

1. Nα βρείτε το πεδίο ορισμού της. (Μονάδες 3)

2. Να βρείτε το πρόσημο της f . (Μονάδες 4)

3. Μελετήστε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. (Μονάδες 5)

4. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και βρείτε την 1f (x)

.

(Μονάδες 4)

5. Αν 1

h(x) lnx

, αποδείξτε ότι υπάρχει 0x 0 τέτοιο ώστε 0 0f (x ) h(x ) .

(Μονάδες 5)

6. Nα βρείτε το όριο:

3 2

2x

f (1)x x 2lim

f (2)x x 1

.

(Μονάδες 4)

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση f : έτσι ώστε να ισχύει 3f (x) 2f(x) x 1 για κάθε x .

1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1.

(Μονάδες 3)

2. Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της f είναι το και στη συνέχεια να βρείτε την

αντίστροφή της.

(Μονάδες 5)

3. Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης με το άξονα x΄x .

(Μονάδες 3)

4. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

(Μονάδες 4)

5. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο 0x 1 .

(Μονάδες 4)




3

6. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής για κάθε 0x .

(Μονάδες 6)

Καλή επιτυχία


«ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»

2o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ

Σελίδα 1 από 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

2Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ (Κεφάλαιο 2) [Κεφάλαιο 1 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου]

ΘΕΜΑ Α

1. Να αποδείξετε ότι για κάθε πολυώνυμο v v 1

1 1 0P x x x x

ισχύει

0

0x xlim P x P x

, με 0x .

Μονάδες 10

2. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] τουπεδίου ορισμού της;

Μονάδες 5

3. Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ):

α) Δίνεται το παρακάτω σχήμα τότε

x 4

g xlim .

f x

Μονάδες 2

β) Αν η f δεν είναι αντιστρέψιμη τότε η f δεν είναι γνησίως μονότονη.

Μονάδες 2

γ) H f είναι 1-1 αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση

y f(x) έχει ακριβώς μία λύση ως προς x.

Μονάδες 2

δ) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο σύνολο 1,4 με f x 0 για κάθε

x 1,4 και f 3 2 . Τότε ισχύει f x 0 για κάθε x 1,4 .

Μονάδες 2

ε) Δίνεται η συνεχής και αντιστρέψιμη συνάρτηση f στο για την οποία ισχύει

1 1f 2015 4, f 1949 1 . Τότε δεν υπάρχει 0x τέτοιο ώστε 0f (x ) 0 .

Μονάδες 2





ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει

2 2 2f x 2f x x x x για κάθε x και f 0 1 .

1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g x f x x , x διατηρεί σταθερό πρόσημο.

Μονάδες 10

2. Να αποδείξετε ότι 2f x x 1 x .

Μονάδες 5

3. Να βρείτε τα όρια:

α)

x 0

f x 2 xlim

x

β)

xlim f x

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Γ

1. Δίνεται η συνάρτηση

22 ln x , 0 x ef x

x ln x e 1 , e x

α) Να βρείτε τον αριθμό έτσι ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.

Μονάδες 5

β) Αν 3

e , τότε η εξίσωση f x 6

έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα 1,2e .

Μονάδες 5

2. Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύουν: f x

f e 4ln x 3 , για κάθε x 0

και 2f x 4f f e ln ln x 3 1 για κάθε

3/4x e .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

Μονάδες 5

β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f .

Μονάδες 3





γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 2014f f x f e έχει μία, τουλάχιστον, ρίζα στο

1,1

e

.

Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x x x1 ,

1. Να δείξετε ότι f (x) 0 για κάθε x .

Μονάδες 4

2. Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης f στο 0, .

Μονάδες 3

3. Να δείξετε ότι 1

f ( x)f (x)

(Μονάδες 2) και ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο

(Μονάδες 5).

Μονάδες 7

4. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς , ισχύει 2 21 1 1 να

αποδείξετε ότι 0 .

Μονάδες 5

5. Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f .

Μονάδες 6

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

Η εκπόνηση του διαγωνίσματος έγινε με τη βοήθεια Εθελοντών Εκπαιδευτικών:

Το θέμα Δ επιμελήθηκε ο Συγκελάκης Αλέξανδρος, Μαθηματικός του Πρότυπου Πειραματικού Γενικού Λυκείου Ηρακλείου.

Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο, Μοτσάκο

Βασίλειο και Σούγελα Ελένη.



3o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ


ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

3Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ (Κεφάλαια 2, 3) [Κεφάλαια 1, 2 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου]

ΘΕΜΑ Α

1. Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο 0x , τότε

είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Μονάδες 10

2. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες;

Μονάδες 5

3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σαν Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ):

(1) Αν η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε η f δεν είναι

συνεχής στο 0x .

(2) Αν η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο 0x ,τότε η f δεν είναι παραγωγίσιμη

στο 0x .

(3) Αν δεν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο 0x , τότε, δεν μπορεί

να υπάρχει το όριο της συνάρτησης f g στο 0x .

(4) Αν υπάρχουν στο τα όρια0x x

lim f (x) και 0x x

lim(f (x) g(x)) , τότε υπάρχει και

το όριο της g στο 0x .

(5) Αν xf (x) x , x 0 , τότε

x 1f (x) x x

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : και η συνάρτηση g : ώστε

για κάθε x να ισχύει η σχέση: f f (x) 2g(x) x .

1. Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο . Μονάδες 5

2. Να βρείτε το είδος μονοτονίας της h(x) f (x) g(x) .

Μονάδες 5





3. Έστω 0x με 0 0f (x ) x .

α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις fC και gC τέμνονται σε ένα μόνο

σημείο. Μονάδες 5

β) Να λύσετε την εξίσωση: 0 0 0f (f (x x 2)) x x 2f (x x 2) 2 .

Μονάδες 5

γ) Να λύσετε την ανίσωση: 0 0f (f (ln x x 1)) ln x 1 x .

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνάρτηση 2 2 x

1 x 1, -1 x<0

xf (x)1

ln(x e) 2 ( )e , x 02

όπου , .

1.Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x 0 , να βρείτε τις τιμές των και .

Μονάδες 8

2. Αν = 1 και =0 ,

α) Να υπολογίσετε το όριο x 1

f (x) 1lim

x 1.

Μονάδες 5

β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον θετικό ημιάξοναOx σε ένα

τουλάχιστον σημείο.

Μονάδες 6

γ) Να υπολογίσετε το όριο x 0

1lim xf (x)

x.

Μονάδες 6





ΘΕΜΑ Δ

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο , της οποίας η γραφική παράσταση fC

διέρχεται από το σημείο Α(0,1).

1. α) Να υπολογίσετε το2

x 0

f (x ) 1lim

x

Μονάδες 4

β) Να αποδείξετε ότι 2

x 0

f (2x) 1lim 4f (0)

x

Μονάδες 4

2. Αν επιπλέον για την f ισχύει, 2 2f (x) 4f (x) x 3 για κάθε x , να βρείτε τον

τύπο της.

Μονάδες 7

3. Αν2f (x) 2 x 1, x

α) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της fC , οι οποίες διέρχονται από το

σημείο 3

0,2

.

Μονάδες 6

β) Έστω σημείο Μ της fC με θετική τετμημένη. Αν η τετμημένη του Μ

απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων Ο με ταχύτητα 2cm / sec , να βρείτε το

ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΜ.

Μονάδες 4



Το θέμα Β επιμελήθηκε ο Αρετάκης Δημήτριος, Μαθηματικός- MSc του ΓΕΛ Καστριτσίου Πατρών.

Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο, Μοτσάκο

Βασίλειο και Σούγελα Ελένη.

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ»

4o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ– ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ


ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

4Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ (Κεφάλαια 2, 3)

[Κεφάλαια 1, 2 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου]

ΘΕΜΑ Α

1.Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση xf x είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) και ισχύει:

1

2 xf x .

Μονάδες 10

2.Πότε μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της;

Μονάδες 5

3.Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ):

α) Αν μια συνάρτηση f ορίζεται στο σημείο x0, αλλά δεν είναι συνεχής στο x0, τότε

δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0.

Μονάδες 2

β) Αν για την 1 1 συνάρτηση f ισχύει f x f 1 x f κx λ για κάθε x ,

τότε 0κ .

Μονάδες 2

γ) Αν για μια συνάρτηση f συνεχή στο α, β ισχύουν limx α

f x

και

limx β

f x

,τότε η f έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο α, β .

Μονάδες 2

δ) Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση τρίτου βαθμού έχει οπωσδήποτε σημείο

καμπής.

Μονάδες 2

ε) Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ισχύει 1 0f , τότε το 1f

είναι πάντα τοπικό ακρότατο.

Μονάδες 2




ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτησηg : (0, ) , με:

g x x ln x cx 1

όπου c . H εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο της

(e,g e ) είναι παράλληλη στην ευθεία:

: x y 2015 0

α) Να βρείτε τον αριθμό c.

Μονάδες 5

β) Να μελετήσετε τη g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Μονάδες 7

γ) Να βρείτε τα όρια x 0

xlim g

και x

glim x

.

Μονάδες 7

δ) Με τη βοήθεια του Συνόλου Τιμών της g , ή με οποιονδήποτε άλλο ενδεδειγμένο

τρόπο, μπορείτε να αποδείξετε ότι:

x x 1x e

ισχύει για κάθε x 0 .

Μονάδες 6

ΘΕΜΑ Γ

Δίνονται οι συναρτήσεις f ,g : , δύο φορές παραγωγίσιμες των οποίων οι

γραφικές παραστάσεις τέμνονται στο ίδιο σημείο του άξονα y y και ισχύει ότι:

f x g x , για κάθε x (1) και

1

2 xf (x)g(x) x x e για κάθε x 0 .

α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει k , ώστε:

f x g x kx , για κάθε x

Μονάδες 8




β) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν πλάγιες ασύμπτωτες στο τις ευθείες ε1, ε2

αντίστοιχα με 1 1x και

1 2x αποδείξτε 1 2x 0x .

Μονάδες 8

γ) Αν η g(x) έχει δύο ρίζες τις 1 2x , x με 1 2x x του προηγουμένου θεωρήματος,

να αποδείξετε ότι εξίσωση f x 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο .

Μονάδες 9

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση f : (0, ) η οποία είναι συνεχής στο (0, ) με f (2) ln 2 ,

1f e

e

και για κάθε x (0,1) (1, ) ισχύουν τα εξής:

η f είναι παραγωγίσιμη

xf (x) 1 | x(x 1) | f (x) 0

1

f (x)x

1. Να δείξετε ότι f (1) 1 .

Μονάδες 5

2. Να δείξετε ότι οι εφαπτομένες των συναρτήσεων F(x) (x 1)f (x) και G(x) ln x

είναι παράλληλες σε όλα τα σημεία με ίδια τετμημένη 0 (0,1) (1 )x , .

Μονάδες 4

3. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f (Μονάδες 4) και να εξετάσετε την

παραγωγισιμότητά της στο 0x 1 (Μονάδες 2).

Μονάδες 6

Αν είναι

lnx, x 1

f (x) x 1

1, x 1

, τότε:




4. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, ) (Μονάδες 4) και ότι f (x) 1

για κάθε x 1 (Μονάδες 2).

Μονάδες 6

5. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f (x) και (x) με

x

x 1(x) 1

e

, τέμνονται σε ένα και μόνο σημείο στο διάστημα [1, ) .

Μονάδες 4


Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο και

Μοτσάκο Βασίλειο.


5o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ




5Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ (Κεφάλαια 2, 3)

[Κεφάλαια 1, 2 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου]

ΘΕΜΑ Α

Α1. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

Αν f ( ) 0 x σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε

όλο το Δ.

Αν f ( ) 0 x σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε

όλο το Δ. Μονάδες 9

Α2.

1) Να αναφαίρετε τις πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f πουορίζεται σε ένα διάστημα Δ.

Μονάδες 2

2) Που αναζητούμε ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f ;

Μονάδες 2

3) Ποιές είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f σ΄ένα διάστημα Δ;

Μονάδες 2

Α3. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ), αν είναι

σωστή, ή με Λάθος (Λ), αν είναι λανθασμένη:

α) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μίας συνάρτησης

f στο διάστημα 1,10 .

1) Η f είναι γνησίως αύξουσα στα 1,1 , 4,8 . Σ Λ

2) Η f είναι κοίλη στα 1,0 , 2,5 και 6,7 . Σ Λ

3) Τα -1,4,10 είναι θέσεις τοπικών μεγίστων. Σ Λ

4) Τα 0,2,5,6,7 είναι θέσεις σημείων καμπής. Σ Λ




β) Για οποιαδήποτε συνάρτηση f που είναι συνεχής στο διάστημα , και έχει μία

τουλάχιστον ρίζα στο , ισχύει f ( )f ( ) 0 . Σ Λ

γ) Αν f ,g δύο συναρτήσεις ορισμένες κοντά στο 0x , και ισχύουν:

α) f (x) g(x) , κοντά στο 0x και β) 0x x

lim f (x)

, τότε θα ισχύει:

0

limg( )x x

x

. Σ Λ

δ) Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ, στα οποία η συνάρτηση f δεν

παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το 0, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο

διάστημα Δ. Σ Λ

ε) Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση 1f και η γραφική παράσταση της f έχει κοινό

σημείο Α με την ευθεία y x , τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της

1f . Σ Λ

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση 2f (x) x 2ln x , x 0 .

1) Να μελετηθεί και να γίνει η γραφική της παράσταση. Μονάδες 10

2) Αποδείξτε ότι ισχύει

2x 1

2e x

, για κάθε x 0 . Μονάδες 3

3) Βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 2x k 2e x για τις διάφορες τιμές του

k 0 . Μονάδες 5

4) Βρείτε την τιμή του ώστε η συνάρτηση

2ln x, x 0

f (x)g(x)

, x 0

, να είναι

συνεχής. Μονάδες 3

5) Για 1 , αποδείξτε ότι η συνάρτηση g έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,e) .

Μονάδες 4)




ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει:

3f (x) 6f(x) 3x 2017 , για κάθε x .

1) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 3

2) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη. Μονάδες 3

3) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι όλο το και βρείτε

τον τύπο της 1f .

Μονάδες 6

4) Να βρείτε τα όρια: α) x 670lim f (x)

και β)

1

4x

f (x) xlim

x

.

Μονάδες 6

5) Βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της 1h(x) f (x) στο σημείο

A(0,h(0)) και αποδείξετε ότι αυτή ΄΄διαπερνά΄΄ την καμπύλη της γραφικής

παράστασης της h (ή ότι το σημείο Α είναι σημείο καμπής). Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα 1,4 .

Αν το σύνολο τιμών της f είναι το 2,3 και f (1) 2 , f (4) 1 τότε:

1) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 0x (1,4) , έτσι ώστε 0f (x ) 0 .

Μονάδες 3

2) Να αποδείξετε ότι η fC δέχεται δύο τουλάχιστον οριζόντιες εφαπτόμενες και έχει

ένα τουλάχιστον πιθανό σημείο καμπής.

Μονάδες 5

3) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ( ) : y x 2 τέμνει την fC σε ένα τουλάχιστον

σημείο με τετμημένη στο 1,4 .

Μονάδες 4

4) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (1,4) , έτσι ώστε η εφαπτομένη

της fC στο M ,f( ) να διέρχεται από το σημείο Α(0,2).

Μονάδες 5




5) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον 1 2, (1,4) με 1 2 έτσι ώστε

1 2

1 1 3

f ( ) 2f ( ) 2

Μονάδες 3

6) Ένα σημείο Κ κινείται στην ευθεία του ερωτήματος (3), η οποία τέμνει τον

άξονα x x στο Μ και Λ η προβολή του Κ στον άξονα x x . Το σημείο Λ

απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων O(0,0) με ρυθμό 1 / secm . Να βρείτε

το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΚΛΜ τη χρονική στιγμή 0t που η

τετμημένη του Κ είναι ίση με τη τεταγμένη του.

Μονάδες 5





6o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ–ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ




6Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ

[Κεφάλαια 1, 2, 3 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου]

ΘΕΜΑ Α

1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο

Δ, να αποδείξετε ότι:

α. όλες οι συναρτήσεις της μορφής G x F x c ,c είναι παράγουσες της f

στο Δ και

β. κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G x F x c , c .

Μονάδες 8

2. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή

παράγουσα της f στο Δ;

Μονάδες 4

3. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ. Ποια σημεία λέγονται κρίσιμα

σημεία της f ;

Μονάδες 3

4. Να χαρακτηρίσετε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό, αν είναι σωστή ή

με Λάθος αν είναι λανθασμένη:

α) Εάν , τότε το f (x)dx

είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που

βρίσκονται πάνω από τον άξονα x΄x μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που

βρίσκονται κάτω από τον άξονα x΄x.

β) 1

2

u

uf g(x) g (x)dx f (u)du

, όπου f, g΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις, u g(x) ,

du g (x)dx και 1u g( ) , 2u g( ) .

γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα , και f (x) 0 για κάθε x , ,

τότε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f , στον

άξονα x x και τις κατακόρυφες ευθείες x και x , ισούται με f (x)dx

.

δ) Αν 0x x

lim f (x) 0

και f (x) 0 κοντά στο 0x , τότε 0x x

1lim

f (x) .




ε) Έστω μια συνάρτηση fπαραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α, β) με εξαίρεση ίσως ένα

σημείο του 0x , στο οποίο η f είναι συνεχής.

Αν f (x) 0 στο 0( , x ) και f (x) 0 στο 0(x , ) , τότε το 0f (x ) είναι τοπικό ελάχιστο

της f.

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β

Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 1, για την οποία ισχύουν:

f (e) 0

f (x)

xf (x)

f (x) ex

, για κάθε x 1.

Β1. Να δείξετε ότι ο τύπος της f είναι f(x) x ln lnx .

Μονάδες 5

Β2. Να βρείτε τη μονοτονία της f και το σύνολο τιμών της. Μονάδες 8

Β3. Να δείξετε ότι η εξίσωση x 1

lnx ,x 1,m

έχει ακριβώς μία λύση για κάθε

m 0 . Μονάδες 5

Β4. Να λύσετε την ανίσωση: 2 2f (x 2) f (3x) 3x x 2

Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση g : ,για την οποία ισχύει:

2

1g ' x

3g x

για κάθε x όπου μία σταθερά στο σύνολο .

Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της , στο σημείο της A(0,g(0)) έχει

εξίσωση:

x 2018y 2018 0

α) Να βρείτε τον αριθμό .

Μονάδες 4




β) Να αποδείξετε ότι 3g x 2015 g x x 2016 για κάθε x .

Μονάδες 5

γ) Αν το σύνολο τιμών της συνάρτησης g είναι το , να αποδείξτε ότι η συνάρτηση g

αντιστρέφεται και έχει τύπο 1 3g (x) x 2015x 2016 .

Μονάδες 4

δ) Να βρείτε τα σημεία καμπής της gC .

Μονάδες 6

ε) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης:

1

2

g (x)f (x)

x g(x) (g (x) 2015)

Μονάδες 6

ΘΕΜΑ Δ

Έστω μια συνάρτηση f με τύπο *lnx

f(x) ,x

για την οποία ισχύει:

f (x) x 1 για κάθε x 0

Δ1. Να δείξετε ότι 1. Μονάδες 4

Δ2. Για 1.

(α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

Μονάδες 4

(β) Να δείξετε ότι 1

f (x)e

για κάθε x 0 .

Μονάδες 3

(γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση 2ln x 2 x 0 , έχει το πολύ μία ρίζα στο 0, , για κάθε

1

e .

Μονάδες 4

(δ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα 1,e τέτοιο ώστε 2

21 ln .

e e




Μονάδες 5

(ε) Αν η αντίστροφη της f στο 0,e είναι συνεχής να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που

περικλείεται από την 1fC , τους άξονες x x , y y και την ευθεία

1x .

e

Μονάδες 5


Τα θέματα Β & Δ επιμελήθηκε ο Παντερής Ανδρέας, Μαθηματικός-MSc του 2ου ΓΕΛ Ηρακλείου

Κρήτης.




7o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ




7Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ –ΘΕΜΑΤΑ (Σε όλη την ύλη)

ΘΕΜΑ Α

1. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα

σημείο του 0x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.

Αποδείξτε ότι αν η f (x) διατηρεί πρόσημο στο 0 0(α,x ) (x ,β) , τότε το 0f(x ) δεν είναι

τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (α,β).

Μονάδες 10

2. Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση

της f στο Δ;

Μονάδες 5

3.Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό(Σ), αν είναι σωστή,

ή με Λάθος(Λ), αν είναι λανθασμένη:

1) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο χ0 του πεδίου ορισμού

της, τότε 0

0 00

h x

f (x h) f (x )f (x ) lim

h

.

2) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο χ0 του πεδίου ορισμού

της, τότε η f είναι συνεχής στο σημείο αυτό.

3) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α,β]. Αν f(α)f(β)>0 , η εξίσωση

f(x)=0 δεν έχει ρίζα στο διάστημα (α,β).

4) Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και

δεν είναι 1-1, τότε υπάρχει 0x στο οποίο η γραφική παράσταση της f έχει

οριζόντια εφαπτομένη.

5) Για κάθε συνάρτηση f που είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], το εμβαδόν του

χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f τον άξονα x x και τις

ευθείες x=ακαι x=β είναι β

αE( ) f(x) dx .

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο 0 με f (0) 1 και για κάθε x, y ισχύει:

y x

f (x) f (y)f (x y)

e e .




1. Αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε 0x , με

00 0x

1f (x ) f (x )

e .

Μονάδες 8

2. Αποδείξτε ότι ο τύπος της f είναι x

xf (x)

e .

Μονάδες 4

3. Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Μονάδες 6

4. Αν Ε είναι το εμβαδόν της fC , του άξονα x΄x και των ευθειών x=2 & x=3, αποδείξτε

ότι ισχύει 3 2

3 2E

e e .

Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Γ

Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : για την οποία ισχύει:

x 1

f x+2 -5lim = 6

x-1

1. Να αποδείξετε ότι:

α) f 3 =5και β) f 3 =6

Μονάδες 6

2. Να υπολογίσετε το όριο x+2 - f(x)

limημ(x-3)x 3

.

Μονάδες 7

3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης h(x) = xf(x)-3x-7συνx ,

x τέμνει τον άξονα x x τουλάχιστον σε ένα σημείο.

Μονάδες 5

4. Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση g : , για την οποία ισχύει

g (x) f (3) , για κάθε x . Αποδείξτε ότι η εξίσωση 6g(x) = x , έχει το πολύ μία ρίζα

μεγαλύτερη του 1.

Μονάδες 7




ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : έτσι ώστε 3f (x) f (x) 2x .

α) Να βρείτε το πρόσημο της f .

Μονάδες 3

β) Βρείτε τις ρίζες και τη μονοτονία της f .

Μονάδες 3

γ) Αποδείξτε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και εξετάστε την ως προς την

κυρτότητα και τα σημεία καμπής.

Μονάδες 5

δ) Αποδείξτε ότι για κάθε x>0 ισχύει: xf (x) f (x) 2x .

Μονάδες 6

ε) Αν η f έχει σύνολο τιμών το να βρείτε την αντίστροφή της.

Μονάδες 3

στ) Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

f , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x=0 και x=5.

Μονάδες 5



Τα θέματα Β & Δ επιμελήθηκε ο Κωνσταντόπουλος Λεωνίδας, Μαθηματικός-MSc του Γυμνασίου

Βάρδας Ηλείας.




8o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ




8Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ –ΘΕΜΑΤΑ (Σε όλη την ύλη)

ΘΕΜΑ Α

1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x0 ένα εσωτερικό σημείο του

Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό,

να αποδείξετε ότι: 0f '(x ) 0.

Μονάδες 8

2. Πότε μια συνάρτηση f :A λέγεται συνάρτηση 1-1;

Μονάδες 3

3. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού

της;

Μονάδες 4

4. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό, αν είναι σωστή ή

με Λάθος αν είναι λανθασμένη.

α). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με f (0) 0 , τότε το 0 είναι θέση

τοπικού ακρότατου.

β) Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι g f και f g τότε υποχρεωτικά ισχύει

f g g f .

γ) Αν 0x x

lim f (x)

ή , τότε 0x x

lim f (x)

.

δ) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι γνησίως

αύξουσα στο Δ, τότε υποχρεωτικά f '(x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ.

ε) f (x) g '(x) dx f '(x) g(x) dx f (x) g(x)

όπου f', g' είναι συνεχείς συναρτήσεις

στο [ , ] .

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται συνάρτηση f , με 2x 5f (x) e (x 1) .

1. Να βρεθεί η μονοτονία της f και το σύνολο τιμών της.

Μονάδες 5




2. Να αποδείξετε, ότι η γραφική παράσταση fC , της f , τέμνει τον άξονα x x , σ’ ένα

ακριβώς σημείο.

Μονάδες 5

3. Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη και ισχύει 3g (x) 2g(x) 5f (x) , για κάθε

x , να αποδείξετε ότι:

i. H g έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την f .

Μονάδες 5

ii. Η γραφική παράσταση gC , της g , τέμνει τον άξονα x x στο ίδιο σημείο

με την fC .

Μονάδες 5

4. Να λυθεί η ανίσωση 2g(f (x)) g(e ) .

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται συνάρτηση f για την οποία ισχύει η σχέση 2f (x) 3f (x) x 0, x 2, . Αν

για κάθε x 2, ισχύει f (x) 1 , τότε:

1. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 2, .

Μονάδες 5

2. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 2, .

Μονάδες 5

3. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.

Μονάδες 5

4. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο

(4,f (4)) .

Μονάδες 5

5. Να αποδείξετε ότι για κάθε x 2, , ισχύει 5f (x) x 1 .

Μονάδες 5




ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση x 2f x e x 4x 6 και η παραγωγίσιμη συνάρτηση

g : , έτσι ώστε να ισχύουν 2

g 1 2xg x g x 1 f x 6 0 για κάθε

x και

h 0

g 1 2h g 1 hlim 0

h

.

Να αποδείξετε ότι :

1. g 1 0

Μονάδες 5

2. α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της fC για x .

Μονάδες 3

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f

Μονάδες 3

3. Να βρείτε σημείο Α της hC με h x f x ώστε το σημείο B 1,0 να απέχει

την ελάχιστη απόσταση από την hC και να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της hC

είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ

Μονάδες 7

4. Αν 02

και

g

g 0

f x dx 0

, να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα

0 0 0 0x 0, : g x x g x

Μονάδες 7


Η εκπόνηση του διαγωνίσματος έγινε με τη βοήθεια Εθελοντών Εκπαιδευτικών.



mk ed1 ed_8_ekf

Education