mg ed1 ed4_ekf_plus_lys

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 1o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016: ΘΕΜΑΤΑ

Σελίδα 1 από 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

1Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ (Κεφάλαιο 1)

ΘΕΜΑ Α

1. Έστω η συνάρτηση 2f (x) x . Να αποδείξτε ότι f (x) 2x .

Μονάδες 9

2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα

διάστημα Δ;

Μονάδες 6

3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας δίπλα

στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι

σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη

(α) Αν ισχύει 0 0f (x )g (x ) 1 0 , τότε οι εφαπτόμενες στις γραφικές

παραστάσεις των f ,g στο σημείο 0x είναι κάθετες.

Μονάδες 2

(β) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f (x) 0 , για κάθε

x , τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε οποιοδήποτε

σημείο της σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα x x .

Μονάδες 2

(γ) Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης αναφέρεται μόνο σε σημεία του

πεδίου ορισμού της.

Μονάδες 2

(δ) Η παράγωγος της σύνθετης συνάρτησης h(x) f g(x) είναι ίση με

h (x) f g(x) g(x) .

Μονάδες 2

(ε) Αν η τετμημένη ενός κινητού που κινείται ευθυγράμμως είναι x(t) , τη χρονική

στιγμή t, τότε η επιτάχυνση του κινητού θα είναι (t) x (t) .

Μονάδες 2



ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η πραγματική συνάρτηση f , για την οποία ισχύει:

f (x 1) x 2015 f (2018) για κάθε x .

1. Να αποδείξετε ότι f (2018) 2016 .

Μονάδες 6

2. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι η ευθεία y x 2 .

Μονάδες 7

3. Να αποδείξετε ότι η f έχει ένα μόνο κοινό σημείο με τη συνάρτηση 21 3

g(x) x2 2

στο οποίο η f είναι εφαπτομένη.

Μονάδες 12

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνάρτηση 2

f x x 1 x 2 .

1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Μονάδες 10

2. Να βρείτε το σημείο της fC στο οποίο η εφαπτομένη της έχει τον ελάχιστο

συντελεστή διεύθυνσης.

Μονάδες 5

3. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο της με τετμημένη 0x 1 .

Μονάδες 5

4. Να υπολογίσετε το όριο

2x 1

f x 4xlim

x 3x 4

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Δ

1. Δίνεται η συνάρτηση 3 2f x x x 2 x 1, x , όπου ά .



α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε ο ρυθμός μεταβολής της

συνάρτησης f ως προς x να μηδενίζεται για 0x 2 .

Μονάδες 2

β) Για 8 , να βρείτε για ποια τιμή του x ο ρυθμός μεταβολής της f γίνεται

ελάχιστος.

Μονάδες 5

γ) Για 8 , να υπολογιστεί το x 2limg(x)

, όπου 2

f (x)g(x)

x 12 4

.

Μονάδες 3

Β. Η θέση ενός υλικού σημείου, το οποίο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση δίνεται από τη

συνάρτηση 28t 2tx t e 4 σε m με t 0,12 , sec ,

α) Πότε το υλικό σημείο κινείται στην αρνητική κατεύθυνση και πότε στη θετική

κατεύθυνση;

Μονάδες 5

β) Να βρείτε την επιτάχυνση του υλικού σημείου, όταν αυτό είναι ακίνητο.

Μονάδες 5

γ) Να βρείτε το ολικό διάστημα που έχει διανύσει το σημείο στη διάρκεια των

πρώτων 6 δευτερολέπτων.

Μονάδες 5

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ



2Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ (Κεφάλαιο 2)

ΘΕΜΑ Α

1. Ας υποθέσουμε ότι 1 2x , x ,..., x είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός

δείγματος μεγέθους ν, όπου κ, ν μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί με .

α) Τι ονομάζουμε απόλυτη συχνότητα iv , που αντιστοιχεί στην τιμή ix , i 1,2,..., ;

Μονάδες 3

β) Τι ονομάζουμε σχετική συχνότητα if της τιμής ix , i 1,2,..., ;

Μονάδες 3

γ) Να αποδείξετε ότι:

i. i0 f 1 για i 1,2,...,

Μονάδες 2

ii. 1 2f f ... f 1

Μονάδες 2

2. α) Τι εκφράζουν οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες iF σε ένα σύνολο παρατηρήσεων;

Μονάδες 3

β) Να συμπληρωθεί ο παρακάτω ελλιπής πίνακας που αφορά τις τιμές μιας μεταβλητής Χ,

που είναι ομαδοποιημένες σε κλάσεις ίσου πλάτους c, αν γνωρίζουμε ότι οι σχετικές

συχνότητες 1 2 3 4f , f , f , f είναι ανάλογες προς τους αριθμούς 1, 2, 3, 4 αντίστοιχα.

Μονάδες 5

κλάσεις ix i if

[0 , )

[ , ) 6

[ , ) 15

[ , )

ΣΥΝΟΛΟ



3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α) To ποσοστό των παρατηρήσεων που έχουν τιμή από ix έως x είναι i 1F % F % .

β) Το πλήθος των παρατηρήσεων που έχουν το πολύ την τιμή ix είναι iN .

γ) Σε μία κανονική κατανομή η διάμεσος συμπίπτει με τη μέση τιμή.

δ) Σε μία κανονική κατανομή, με μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s , εκτός του

διαστήματος x 3s, x 3s δεν υπάρχουν παρατηρήσεις.

ε) Η απόσταση των διαδοχικών κεντρικών τιμών κλάσεων ίσου πλάτους ενός δείγματος ισούται με το πλάτος των κλάσεων αυτών.

στ) Αν i είναι το τόξο ενός κυκλικού τομέα στο κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων, τότε

0ii

f360 για κάθε i 1,2,..., .

ζ) Το εύρος σε ομαδοποιημένα δεδομένα είναι πάντοτε το ίδιο πριν ομαδοποιηθούν.

Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Β

Σε μία επιχείρηση εργάζονται 40 υπάλληλοι και οι ημέρες αδείας που δικαιούνται για το

τρέχον έτος είναι οι εξής:

22 22 22 17 29 15 25 12

6 24 28 23 15 29 20 16

19 25 16 13 27 11 16 18

26 14 14 27 29 25 24 24

10 23 23 28 15 17 21 8

α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε κλάσεις ίσου πλάτους και να κατασκευάσετε τον πίνακα

κατανομής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων (απόλυτων και αθροιστικών).

Μονάδες 5

β) Κατασκευάστε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων.

Μονάδες 5



γ) Υπολογίστε τη διάμεσο.

Μονάδες 5

δ) Βρείτε το πλήθος των εργαζομένων που δικαιούνται τουλάχιστον 20 ημέρες αδείας.

Μονάδες 5

ε) Βρείτε το ποσοστό των εργαζομένων που δικαιούνται από 10 έως και 24 ημέρες αδείας.

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Γ

Α. Ο καθηγητής των Μαθηματικών χώρισε την τάξη σε δύο ομάδες Α΄ και Β΄ για το

διαγώνισμα του Α΄ τετραμήνου. Η μέση βαθμολογία και η τυπική απόκλιση των γραπτών και

των δύο ομάδων είναι ίδιες και είναι x 12 και s 1,2 .

α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των τετραγώνων των βαθμολογιών των μαθητών της Α΄

ομάδας.

Μονάδες 5

β) Αν στην Α΄ ομάδα οι βαθμοί αυξηθούν κατά 3 μονάδες και στη Β΄ ομάδα οι βαθμοί

αυξηθούν κατά 30% τότε να βρείτε τις νέες μέσες τιμές βαθμολογίας και τις νέες τυπικές

αποκλίσεις.

Μονάδες 5

(Δίνεται :

2ν

iνi = 12 2

i

i = 1

t1

s tν

)

Β. Οι 50 τιμές μιας μεταβλητής X ομαδοποιήθηκαν σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους. Το αντίστοιχο

πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων iF % έχει κορυφές τα σημεία

2,0 , B 6,20 , 10,36 , 14,60 , 18,72 ,Z 22,100 .

α) Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων

(απόλυτων και αθροιστικών).

Μονάδες 5



β) Να βρείτε τη διάμεσο, το εύρος και τη μέση τιμή των παρατηρήσεων.

Μονάδες 5

γ) Να φτιάξετε το αντίστοιχο κυκλικό διάγραμμα.

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Δ

Οι παρατηρήσεις 1 2 vx , x , , x μιας μεταβλητής X ακολουθούν περίπου την κανονική

κατανομή. Αν το 2,5% των παρατηρήσεων είναι μικρότερο από 6 και το 15,85% των

παρατηρήσεων ανήκει στο διάστημα (9,11) τότε:

α) Να βρείτε τη μέση τιμή x και την τυπική απόκλιση s .

Μονάδες 10

β) Αν 136 παρατηρήσεις του δείγματος βρίσκονται στο διάστημα (7,9), να βρείτε το μέγεθος

του δείγματος

Μονάδες 5

γ) Να βρείτε το πλήθος των παρατηρήσεων που βρίσκονται μεταξύ 7 και 10

Μονάδες 5

δ) Θεωρούμε τις τιμές i 1 i 2y c x c , 1 2c ,c 0 και i 1,2,..., , που έχουν μέση τιμή y 10

και τυπική απόκλιση ys 2 . Βρείτε τα 1 2c ,c .

Μονάδες 5


ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 3o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ



3Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ (Κεφάλαιο 1, 2)

ΘΕΜΑ Α

1. Έστω 1 2t ,, t , t οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής X ενός δείγματος μεγέθους

που έχουν μέση τιμή x .

Να αποδείξετε ότι ο αριθμητικός μέσος των διαφορών

21t x, t x ,, t x

είναι ίσος με μηδέν.

Μονάδες 7

2. Πώς ορίζεται η διακύμανση (ή διασπορά) των παρατηρήσεων 1 2t ,, t , t μιας ποσοτικής

μεταβλητής X ενός δείγματος μεγέθους που έχουν μέση τιμή x και πώς η τυπική απόκλισή

τους; Να γράψετε ένα μειονέκτημα της διακύμανσης έναντι της τυπικής απόκλισης.

Μονάδες 5

3. Να δώσετε τον ορισμό του τοπικού ελαχίστου μίας συνάρτησης με πεδίο ορισμού το Α στο

1x A .

Μονάδες 3

4. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ), αν είναι σωστή, ή

με Λάθος (Λ), αν είναι λανθασμένη.

α) Αν η συνάρτηση f έχει στο 0x όριο πραγματικό αριθμό, δηλαδή αν 0

1x xlim f (x) l

,

όπου 1l θετικός πραγματικός αριθμός, τότε ισχύει 0

1x xlim f (x) l

, όπου φυσικός

αριθμός.

Μονάδες 2

β) Η θέση ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα στον άξονα κίνησής του και εκφράζεται

από τη συνάρτηση x f (t) τη χρονική στιγμή 0t θα είναι πάντοτε 0 0f t ' t ,

όπου 0t η ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή 0t .

Μονάδες 2



γ) Σε οποιαδήποτε καμπύλη συχνοτήτων μίας συνεχούς μεταβλητής, ο αριθμός των

κλάσεων είναι αρκετά μικρός (τείνει στο μηδέν) και το πλάτος των κλάσεων είναι

αρκετά μεγάλο (τείνει στο άπειρο).

Μονάδες 2

δ) Ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης,

εκφράζεται επί τοις εκατό και παριστάνει ένα μέτρο σχετικής διασποράς των τιμών.

Μονάδες 2

ε) Οι αθροιστικές συχνότητες iN εκφράζουν πάντοτε το ποσοστό των παρατηρήσεων

που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής ix .

Μονάδες 2

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η συνάρτηση

xef (x)

x 3

1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

Μονάδες 4

2. Να υπολογίσετε το

2

xx 3

x 675x 2016lim f (x)

e

.

Μονάδες 6

3. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση f .

Μονάδες 10

4. Να αποδείξετε ότι x 4e x 3 , για κάθε x (3, ) .

Μονάδες 5



ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση

3 2x x 21x 45, x 3

f (x) x 3

16 s 2 x, x 3

όπου x 0 είναι η μέση

τιμή και s η τυπική απόκλιση, των παρατηρήσεων 1 2t , t ,..., t ενός δείγματος μεγέθους .

Θεωρούμε ότι το σημείο M(4,3s) ανήκει στη γραφική παράσταση της f .

α) Αποδείξτε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.

Μονάδες 5

β) Αποδείξτε ότι x 24 και s 3.

Μονάδες 5

γ) Αν θεωρήσουμε ότι έχουμε κανονική ή περίπου κανονική κατανομή και 5 παρατηρήσεις

έχουν τιμή μικρότερη του 18 να βρείτε:

i. Το μέγεθος του δείγματος .

Μονάδες 5

ii. Το πλήθος των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστημα (21,30) .

Μονάδες 5

δ) Προσθέτουμε σε κάθε μια από τις παρατηρήσεις 1 2t , t ,..., t την ίδια θετική ακέραια

ποσότητα c . Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του c ώστε το δείγμα των παρατηρήσεων που

προκύπτει να είναι ομοιογενές.

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση 3f (x) x (2 3)x 2 , όπου 0.

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο

A(1,f (1)) είναι η y 2 x με 0.

Μονάδες 7



β) Αν 1 2x ,x ,..., x οι τετμημένες των σημείων της παραπάνω εφαπτομένης με μέση τιμή x 2

και 1 2y , y ,..., y οι αντίστοιχες τεταγμένες τότε:

i. Να βρείτε το λόγο x

y

s

s όπου x ys ,s οι τυπικές αποκλίσεις των τετμημένων και

τεταγμένων αντίστοιχα.

Μονάδες 5

ii. Αν x yCV ,CV οι συντελεστές μεταβολής των τετμημένων και τεταγμένων αντίστοιχα, να

συγκρίνετε την ομοιογένεια των δύο αυτών δειγμάτων.

Μονάδες 8

iii. Αν x ys 5 s , να βρείτε τη μέση τιμή y των τεταγμένων.

Μονάδες 5


Η εκπόνηση του διαγωνίσματος έγινε με τη βοήθεια Εθελοντών Εκπαιδευτικών:

Το θέμα Α επιμελήθηκε ο Συγκελάκης Αλέξανδρος, Μαθηματικός του Πρότυπου Πειραματικού Γενικού Λυκείου Ηρακλείου. Το θέμα Β επιμελήθηκε ο Βρυώνης Δημήτριος, Μαθηματικός του 4ου Γενικού Λυκείου Καλαμάτας.

Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο, Μοτσάκο

Βασίλειο και Σούγελα Έλενα.

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 4o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΘΕΜΑΤΑ



4ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΘΕΜΑΤΑ (Κεφάλαιο 3)

ΘΕΜΑ Α

1. Να αποδείξετε ότι αν A , B είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου , με

, τότε ισχύει .

Μονάδες 7

2. Έστω 1 2, , , ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος

στοιχείων. Να διατυπώσετε τον αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας.

Μονάδες 4

3.Τι ονομάζεται στατιστική ομαλότητα ή νόμος των μεγάλων αριθμών;

Μονάδες 4

4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας

δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση

είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

Έστω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και , δύο ενδεχόμενά

του.

α) Αν τα ενδεχόμενα και είναι ασυμβίβαστα, τότε ισχύει .

Μονάδες 2

β) Η σχέση σημαίνει ότι η πραγματοποίηση του συνεπάγεται την

πραγματοποίηση του .

Μονάδες 2

γ) Αν τα ενδεχόμενα και είναι ασυμβίβαστα , τότε είναι και συμπληρωματικά.

Μονάδες 2

δ) Αν 0 1 , τότε 1

, όπου το αντίθετο του ενδεχομένου .

Μονάδες 2

ε) Αν , τότε .

Μονάδες 2



ΘΕΜΑ Β

Ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης αποτελείται από ισοπίθανα απλά

ενδεχόμενα και στοιχεία του είναι οι θετικοί διαιρέτες του 48. Το ενδεχόμενο Α του

δειγματικού χώρου Ω αποτελείται από στοιχεία που διαιρούνται με το 4 ενώ το

ενδεχόμενο Β του δειγματικού χώρου Ω αποτελείται από στοιχεία μεγαλύτερα του 6

που διαιρούνται ταυτόχρονα από τους αριθμούς 2 και 3.

1) Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων τους τον δειγματικό χώρο Ω καθώς

επίσης και τα ενδεχόμενα Α και Β.

Μονάδες 9

2) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων και '

Μονάδες 4

3) Επιλέγουμε στην τύχη έναν αριθμό του δειγματικού χώρου Ω. Να βρείτε την

πιθανότητα:

α) ο αριθμός που επιλέξαμε να διαιρείται από το 8 αλλά όχι από το 3.

Μονάδες 3

β) ο αριθμός που επιλέξαμε όταν διαιρεθεί από το 5 και είναι μεγαλύτερός

του, να αφήνει υπόλοιπο 1.

Μονάδες 4

4) Να βρείτε την ελάχιστη και μέγιστη πιθανότητα του ενδεχομένου Γ για το οποίο

ισχύει .

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνάρτηση ln x

f xx

, με x 0 .

1. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Μονάδες 9

2. Έστω ένας δειγματικός χώρος που αποτελείται από απλά ισοπίθανα

ενδεχόμενα και A , B μη κενά ενδεχόμενα του τέτοια, ώστε το A να μην είναι

υποσύνολο του B . Να αποδείξετε ότι:



i)

.

Μονάδες 5

ii) e

e

.

Μονάδες 5

iii) Η μέγιστη τιμή της παράστασης 2

είναι4

27.

Μονάδες 6

ΘΕΜΑ Δ

Στην Εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» λαμβάνουν μέρος μαθητές από

όλη την Ελλάδα που έχουν διακριθεί στους προηγούμενους δύο διαγωνισμούς της

Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. Τα βραβεία που δίνονται σε αυτό τον

διαγωνισμό είναι τρία: Α, Β ή Γ βραβείο.

Αν επιλέξουμε έναν διαγωνιζόμενο μαθητή στην τύχη, η πιθανότητα να έχει

βραβευτεί είναι ίση με1

9.

το1

6 αυτών που βραβεύονται παίρνει Α βραβείο.

οι μαθητές που πήραν Γ βραβείο είναι τριπλάσιοι από εκείνους που πήραν Α

βραβείο.

20 μαθητές παίρνουν Β ή Γ βραβείο.

1) Να βρείτε το πλήθος των μαθητών που παίρνουν Β βραβείο και το πλήθος όλων

των διαγωνιζόμενων.

Μονάδες 10

Δίνεται παρακάτω ότι το πλήθος όλων των διαγωνιζόμενων μαθητών είναι 216.

2) Αν επιλέξουμε τυχαία έναν διαγωνιζόμενο μαθητή να βρείτε την πιθανότητα να

μην πάρει κάποιο βραβείο.

Μονάδες 4



3) Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται η κατανομή των βαθμών των μαθητών (κλίμακα

βαθμολόγησης: 0 έως και 20)

Βαθμός 0 1 2 3 … 20

Πλήθος διαγωνιζόμενων

μαθητών που έγραψαν

τον παραπάνω βαθμό

15 20 17 14 … 2

Αν είναι γνωστό ότι οι μαθητές που έγραψαν 4 ή περισσότερο έχουν γράψει κατά

μέσο όρο 8 και ότι οι μαθητές που πήραν Β βραβείο είναι εκείνοι που έγραψαν 18 ή

περισσότερο (θεωρήστε δεδομένο ότι ο βαθμός κάθε διαγωνιζόμενου είναι ακέραιος

αριθμός στην κλίμακα 0 έως 20 και μαθητές με τον ίδιο βαθμό δε γίνεται να λάβουν

διαφορετικό βραβείο):

α) να δείξετε ότι ο μέσος όρος όλων των διαγωνιζόμενων μαθητών είναι ίσος με 6.

Μονάδες 5

β) να βρείτε τον μέσο όρο των διαγωνιζόμενων που βραβεύτηκαν με Α ή Β βραβείο.

Μονάδες 6


Τα θέματα Α και Γ επιμελήθηκε ο Δρακάκης Γεώργιος, Μαθηματικός.

Τα θέματα Β και Δ επιμελήθηκε ο Συγκελάκης Αλέξανδρος, Μαθηματικός του Πρότυπου Πειραματικού Γενικού Λυκείου Ηρακλείου.

Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο,

Μοτσάκο Βασίλειο και Σούγελα Ελένη.

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 1o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ



1ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1)

ΘΕΜΑ Α

1. Σχολικό βιβλίο σελ. 28-29

2. Σχολικό βιβλίο σελ. 13

3. (α) Σωστό,

(β) Σωστό,

(γ) Σωστό,

(δ) Λάθος,

(ε) Λάθος

ΘΕΜΑ Β

1. Η σχέση f (x 1) x 2015 f (2018) για x 2017 γίνεται:

f (2017 1) 2017 2015 f (2018) f (2018) 4032 f (2018)

2f (2018) 4032 f (2018) 2016

2. Στη σχέση f (x 1) x 2015 f (2018) αν θέσουμε όπου f (2018) 2016 θα έχουμε:

f (x 1) x 2015 2016 f (x 1) x 1 (1).

Στην (1) θέτουμε όπου x 1 y x y 1 και αυτή γίνεται:

f (y) y 1 1 f (y) y 2 . Άρα f (x) x 2 για κάθε x , δηλαδή ο τύπος της f

είναι η ευθεία y x 2 .

3. Για να βρούμε το κοινό σημείο των f ,g θα λύσουμε το σύστημα:



2 2 2

22 2

f (x) x 2 y x 2 y x 2

1 3 1 3 1 3g(x) x y x x 2 x

2 2 2 2 2 2

y x 2y x 2 y x 2 y 1

2x 4 x 3 x 2x 1 0 x 1x 1 0

Άρα το κοινό σημείο είναι το 1, 1 .

Η εφαπτομένη της g στο Μ θα έχει τη μορφή (ε): y x , με g (1) 1 , αφού

21 3g (x) x x

2 2

. Επειδή το 1, 1 ( ) θα ισχύει: 1 1 2 , οπότε η

εφαπτομένη θα είναι (ε): y x 2 , άρα ταυτίζεται με την f .

ΘΕΜΑ Γ

1. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με

2 2 2

2

2

f x x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2

2 x 1 x 2 x 1 x 1 2 x 2 x 1 x 1 2x 4 x 1

x 1 3x 3 3 x 1

Άρα 2f (x) 3 x 1 , x .

2f (x) 0 3 x 1 0 x 1 ήx 1

22 2f (x) 0 3 x 1 0 x 1 x 1 x 1 x 1 ή x 1

Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.



Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η συνάρτηση f :

Είναι γνησίως αύξουσα στο , 1 και στο 1, .

Είναι γνησίως φθίνουσα στο 1,1 .

Παρουσιάζει τ.μ το 2

f ( 1) 1 1 1 2 0 και τ.ε το

2

f (1) 1 1 1 2 4 .

2. Αναζητούμε το 0x στο οποίο έχει ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης η συνάρτηση:

2f (x) 3 x 1 , x

Είναι f (x) 6x, x R

f (x) 0 6x 0 x 0

f (x) 0 6x 0 x 0 και

f (x) 0 6x 0 x 0

Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω

πίνακα.

Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0x 0 . Είναι 2

f (0) 0 1 0 2 2 , οπότε το

ζητούμενο σημείο της fC είναι το 0, 2 .

3. Είναι f (1) 4 . Η εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο της 1,f (1) 1, 4

έχει εξίσωση (ε): y x , με f (1) 0 και αφού 1, 4 ( ) :

4 0 1 4 .

Άρα η εφαπτομένη είναι: y 4 .



4.

2 2

2 2 2x 1 x 1 x 1

f x 4x x 1 x 2 4x x 1 x 2 4xlim lim lim

x 3x 4 x 3x 4 x 3x 4

3 2 2

2x 1 x 1 x 1

x x 2 (x 1)(x x 2) x x 2 4lim lim lim

x 3x 4 (x 1)(x 4) x 4 5

ΘΕΜΑ Δ

1. α) Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f ως προς x είναι

2f x 3x 2x 2 , έτσι έχουμε f 2 0 16 2 0 8

β) Θα μελετήσουμε τον ρυθμό μεταβολής ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα

Για 8 έχουμε 2 1f x 3x 2x 16 f x 6x 2 0 x

3

Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.

Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0

1x

3 και

1 49f

3 3

γ)

2 2

2 2x 2 x 2

3x 2x 16 3x 2x 16g(x) limg(x) lim

x 12 4 x 12 4

2 2 2

x 2 x 22 2

3x 2x 16 x 12 4 x 2 3x 8 x 12 4lim lim 28

x 2 x 2x 12 4 x 12 4



2. α) Ο ρυθμός μεταβολής της μετατόπισης ενός κινητού είναι η στιγμιαία ταχύτητα

28t 2tx t (8 4t)e 0 t 2

β) τη χρονική στιγμή 0t 2 η ταχύτητα είναι μηδέν, άρα το υλικό σημείο είναι ακίνητο.

Έχουμε 28t 2tt x t 4(3 2t) 5 2t e .

Για 0t 2 , έχουμε 82 4e .

γ) Η απόσταση που διανύθηκε στη διάρκεια των 2sec είναι

8 8

1S s 2 s 0 e 1 e 1 και η απόσταση που διανύθηκε από το 2sec έως το

6sec είναι 24 8 8 24

2S s 6 s 2 e e e e

Άρα το ολικό διάστημα είναι 8 24

1 2S S 2e e 1 .

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2017: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ



2ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 2)

ΘΕΜΑ Α

1. α) Απόλυτη συχνότητα iv ονομάζεται ο φυσικός αριθμός που μας δείχνει πόσες φορές

εμφανίζεται η τιμή ix της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων.

β) Σχετική συχνότητα if της τιμής ix ορίζουμε το πηλίκο της συχνότητας iv με το μέγεθος

του δείγματος, δηλαδή iif , i 1,2,..., .

γ)

i. Αφού ii i0 0 1 0 f 1 για i 1,2,..., .

ii. 1 2 1 21 2

...f f ... f ... 1 .

2. α) Οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες iF , εκφράζουν το ποσοστό των παρατηρήσεων που

είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής ix .

β) Ισχύει 3 1 2 3 41 2 4f f f f ff f f

1 2 3 4 1 2 3 4

10,1

10

Οπότε 1f 0,1, 2f 0,2 , 3f 0,3 και 4f 0,4

Επίσης 33

15f 0,3 50 και 1 1f 0,1 50 5 , 2 2f 0,2 50 10

και 4 4f 0,4 50 20 .

Αν c το πλάτος της κλάσης τότε το ανώτερο όριο της πρώτης κλάσης θα είναι

0 c c . Το κατώτερο όριο της δεύτερης κλάσης θα είναι και αυτό c άρα το ανώτερο

όριο της δεύτερης κλάσης θα είναι 2c .

Θα έχουμε c 2c 3c

6 6 c 42 2

Με όλα τα παραπάνω ο πίνακας συμπληρώνεται ως εξής:



κλάσεις ix i if

[0 , 4 ) 2 5 0,1

[ 4 , 8 ) 6 10 0,2

[ 8 , 12) 10 15 0,3

[ 12,16 ) 14 20 0,4

ΣΥΝΟΛΟ 50 1

3. α) Λάθος,

β) Σωστό, γ) Σωστό, δ) Λάθος, ε) Σωστό, στ) Λάθος, ζ) Λάθος

ΘΕΜΑ Β

α) Αφού το εύρος του δείγματος είναι R 29 6 23 και το πλήθος 40 , τότε οι κλάσεις

είναι 6 .Το πλάτος των κλάσεων θα είναι R 23

c 3,83 46

. Αν θεωρήσουμε ως

αρχή της πρώτης κλάσης το 6, θα έχουμε τον επόμενο πίνακα.

...,... ix iv iN if if % iF iF %

6,10 8 2 2 0,05 5 0,05 5

10,14 12 4 6 0,1 10 0,15 15

14,18 16 10 16 0,25 25 0,40 40

18,22 20 4 20 0,1 10 0,50 50

22,26 24 12 32 0,3 30 0,80 80

26,30 28 8 40 0,2 20 1 100

Σύνολο 40 1 100



β) Το ιστόγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων είναι το παρακάτω σχήμα.

Για το πολύγωνο συχνοτήτων παίρνουμε δύο υποθετικές κλάσεις μία στην αρχή και μία στο

τέλος με συχνότητα μηδέν. Ενώνουμε τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων του

ιστογράμματος συχνοτήτων.

γ) 1ος Τρόπος Από τον συμπληρωμένο πίνακα παρατηρούμε ότι το 50% των παρατηρήσεων

έχουν τιμή κάτω από 22. Οπότε η διάμεσος είναι δ=22.

2ος Τρόπος Η διάμεσος θα έχει αθροιστική συχνότητα iF 50% .Κατασκευάζουμε το

πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και από το σημείο Α (50% των

παρατηρήσεων) φέρουμε ΑΒ//Οx και στη συνέχεια τη ΒΓ Οx. Τότε, στο σημείο Γ αντιστοιχεί

η διάμεσος δ των παρατηρήσεων. Δηλαδή δ=22.



δ) Γνωρίζουμε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες. Επειδή το

πλήθος των παρατηρήσεων της 4ης κλάσης 18,22 είναι 4 4 , θεωρούμε ότι το πλήθος των

ημερών αδείας αυτής της κλάσης που είναι τουλάχιστον 20 είναι 4 22

.

Άρα, το πλήθος των εργαζομένων που δικαιούνται τουλάχιστον 20 ημέρες αδείας είναι ίσο με:

45 6 2 12 8 22

2 εργαζόμενοι.

ε) Το ποσοστό των εργαζομένων που δικαιούνται από 10 έως και 24 ημέρες αδείας ανήκουν

στις κλάσεις 10,14 , 14,18 , 18,22 και στο μισό της 22,26 , οπότε είναι

2 3 4 5

1 0,3 0,3 1,2f f f f 0,1 0,25 0,1 0,45 0,6

2 2 2 2.

Άρα το 60% των εργαζομένων δικαιούνται από 10 έως και 24 ημέρες αδείας.



ΘΕΜΑ Γ

Α.

α) Αφού στην Α΄ ομάδα αυξάνονται οι βαθμοί κατά 3 μονάδες, θα έχομε: x x 3 15 ,

s s 1,2

Αφού στη B΄ ομάδα αυξάνονται οι βαθμοί κατά 30% , θα έχομε: x x 1,3 15,6 ,

s s 1,3 s 1,2 1,3 1,56

β) Έστω it , i 1,2,..., οι βαθμολογίες των μαθητών της Α΄ ομάδας για τις οποίες ισχύει

x 12 και s 1,2 . Τα τετράγωνα των βαθμολογιών δίνονται από τον τύπο2

i iy t ,i 1,2, , v .

Η μέση τιμή αυτών των βαθμολογιών είναι

v2

i

i 1

t

yv

Από τον τύπο που δίνεται έχουμε:

2 2 2ν νν ν2

i ii iνi = 1 i = 12 2 2i = 1 i = 1

i 2i = 1

t tt t1

s t s yν ν ν ν

2 2 2 2 2 2 2 2s y x y s x y s x 1,2 12 145,44

Β.

α) έχουμε το παρακάτω σχήμα



και τον πίνακα

...,... ix iv iN if if % iF iF %

2,6 4 10 10 0,20 20 0,20 20

6,10 8 8 18 0,16 16 0,36 36

10,14 12 12 30 0,24 24 0,60 60

14,18 16 6 36 0,12 12 0,72 72

18,22 20 14 50 0,28 28 1 100

Σύνολο 50 1 100



β)

Τα τρίγωνα και είναι όμοια άρα έχουμε

50 36 x 14 xx 2,3

60 36 14 10 24 4 άρα 12,3

Το εύρος R 22 2 20

Η μέση τιμή

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5x v x v x v x v x v 4 10 8 8 12 12 16 6 20 14x 12,48

50 50

γ) Από τον τύπο o ii

v360

vέχουμε

o o 011

v 10360 360 72

v 50 , o o 02

2

v 8360 360 57,6

v 50 ,

o o 033

v 12360 360 86,4

v 50 , o o 04

4

v 6360 360 43,2

v 50 ,

o o 055

v 14360 360 100,8

v 50



ΘΕΜΑ Δ

α)

Οι παρατηρήσεις της μεταβλητής X ακολουθούν κανονική κατανομή.

Γνωρίζουμε ότι αν έχουμε κανονική κατανομή τότε η τυπική απόκλιση έχει τις

παρακάτω ιδιότητες όπως φαίνονται στο σχήμα

Το 100% 95%

2,5%2

είναι το ποσοστό των παρατηρήσεων που έχουν τιμή

μικρότερη από το x 2s , άρα x 2s 6 .

Το 15,85% των παρατηρήσεων ανήκει στα διαστήματα x 3s, x s και x s, x 3s .

Επειδή όμως το 6<9, τότε το διάστημα (9,11) θα είναι το x s, x 3s , οπότε

θα έχουμε: x s 9 x 9 s x 9 s x 8

9 s 3s 11 2s 2 s 1x 3s 11.

β) Από το α) ερώτημα βρήκαμε ότι x 8,s 1άρα θα έχουμε:



Σχήμα 1

Στο διάστημα (7,9) έχουμε το 68% των παρατηρήσεων (Σχήμα 1), άρα αν v το μέγεθος του

δείγματος τότε θα έχουμε 68 13600

v 136 68 v 13600 v v 200100 68

γ)

Το ποσοστό των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστημα 7,10 είναι

68% 13,5% 81,5% (βλέπε σχήμα 1)

81,5 81,5

v 200 163100 100

δ)

Θεωρούμε τις τιμές iz , i 1,2, , v με i 1 iz c x , i 1,2, , v , οπότε από την

εφαρμογή 3 σελίδα 99 του σχολικού βιβλίου θα έχουμε μέση τιμή 1 1z c x 8c , 1

και τυπική απόκλιση z 1 x 1 1s c s c 1 c , 2 .

Οι τιμές των παρατηρήσεων iy , i 1,2, , v προκύπτουν από τη σχέση i i 2y z c με

μέση τιμή y 10 και τυπική απόκλιση ys 2 , οπότε από την εφαρμογή 3 σελίδα 99

του σχολικού βιβλίου θα έχουμε 1

2 1 2y z c 10 8c c , 3 και 2

y z 1s s 2 c , 4

Η 4

2 2 23 10 8 2 c c 16 10 c 6

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 3o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΜΑΡΤΙΟΣ 2017: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ



3ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2)

ΘΕΜΑ Α

1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 93

2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 93 και 95

3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 14

4. α) Σωστό (σελ. 16 σχολικό βιβλίο)

β) Λάθος (σελ. 23 σχολικό βιβλίο)

γ) Λάθος (σελ. 76 σχολικό βιβλίο)

δ) Σωστό (σελ. 96 σχολικό βιβλίο)

ε) Λάθος (σελ. 66 σχολικό βιβλίο)

ΘΕΜΑ Β

1. Η συνάρτηση f ορίζεται όταν x 3 .

Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το A ( ,3) (3, )

2. Είναι 2 2x 675x 2016 x 3x 672x 2016

x(x 3) 672(x 3) (x 3)(x 672)

οπότε

2 x

x xx 3 x 3

x 675x 2016 (x 3)(x 672) elim f (x) lim

e e x 3

x 3lim(x 672) 669

3. Είναι

x x x x x

2 2

e (e ) (x 3) e (x 3) e (x 3) ef (x)

x 3 (x 3) (x 3)

x x

2 2

e (x 3 1) e (x 4)

(x 3) (x 3)



Είναι x

2

e (x 4)f (x) 0 0 x 4 0 x 4

(x 3)

x

2

e (x 4)f (x) 0 0 x 4 0 x 4

(x 3)

Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( , 3) και στο (3, 4]

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο [4, )

Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο σημείο 0x 4 και η ελάχιστη τιμή είναι το

44e

f (4) e4 3

.

4. Αφού η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0x 4 τότε

x x4 x 4

4

e ef (x) f (4) e x 3 e x 3

x 3 e

για κάθε x (3, ) .

ΘΕΜΑ Γ

α) Για x 3 έχουμε

3 2 22x x 21x 45 (x 3)(x 2x 15)

f (x) x 2x 15x 3 x 3

.

Επομένως 2 2

x 3 x 3limf (x) lim(x 2x 15) 3 2 3 15 0 .

Επίσης f (3) 16 s 2 x.

Αφού η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x 3 , θα ισχύει: x 3limf (x) f (3) , δηλαδή

16 s 2 x 0 (1). Οπότε έχουμε:

s 20 16 s 2 x 16 s 2 x CV 0,125 12,5%

16x.



Επειδή CV 12,5% 10% συμπεραίνουμε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές.

β) Επειδή το σημείο (4,3s) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f θα ισχύει:

2f (4) 3s 4 2 4 15 3s 9 3s s 3 .(2)

Από το α) ερώτημα έχουμε τη σχέση (1) (2)

16 s 2 x 0 16 3 2 x 0 x 24 .

γ) i.

Οι παρατηρήσεις της μεταβλητής X ακολουθούν κανονική κατανομή.

Γνωρίζουμε ότι αν έχουμε κανονική κατανομή τότε η τυπική απόκλιση έχει τις

παρακάτω ιδιότητες όπως φαίνονται στο σχήμα.

Από β) ερώτημα βρήκαμε ότι x 24, s 3άρα θα έχουμε



Το 100% 95%

2,5%2

είναι το ποσοστό των παρατηρήσεων που έχουν τιμή

μικρότερη από το x 2s 18, άρα θα ισχύει 2,5

5 2,5 500 200100

.

ii.

Το ποσοστό των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστημα (21,30) είναι

68% 13,5% 81,5% (βλέπε σχήμα 1)

Άρα το πλήθος των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστημα (21,30) είναι

81,5200 163

100.

δ) Θεωρούμε τις τιμές iy , i 1,2, , v με i iy t c, i 1,2, , v , οπότε από την εφαρμογή

3 σελίδα 99 του σχολικού βιβλίου θα έχουμε, μέση τιμή y x c και ys s .

Το δείγμα των παρατηρήσεων που προκύπτουν για να είναι ομοιογενές θα πρέπει να ισχύει

ys1 1 3 1CV 24 c 30 c 6

10 10 24 c 10y .

Άρα η ελάχιστη τιμή του c είναι το 6.



ΘΕΜΑ Δ

α) Είναι 2f (x) 3x 2 3 για κάθε x , με 0 .

Η ζητούμενη εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f , στο σημείο A(1,f (1)) θα έχει

εξίσωση y x με , , με f (1) 3 2 3 2 .

Οπότε η εξίσωση της ευθείας γίνεται y 2 x .

Επειδή το σημείο A(1,f (1)) (1,3 ) ανήκει στην εφαπτομένη θα ισχύει:

3 2 .

Άρα η ζητούμενη εξίσωση θα είναι η y 2 x , με 0 .

β) i. Από την εξίσωση της εφαπτομένης προκύπτει η σχέση i iy 2 x , με 0 και

i 1,2,..., .

Για τη μεταβλητή i iz 2 x , i 1,2, , θα έχουμε σύμφωνα με γνωστή εφαρμογή του

βιβλίου ότι η μέση τιμή z και η τυπική απόκλιση zs θα είναι:

z 2 x και z x xs 2 s 2 s .

Ομοίως για τη μεταβλητή i iy z , i 1,2, , , θα έχουμε ότι η μέση τιμή y και η

τυπική απόκλιση ys θα είναι:

y z και y zs s .

οπότε θα έχουμε y 2 x και xy x

y

s 1s 2 s

s 2.

ii. Αφού y 2 x και x 2 , τότε y 5 .

Έχουμε

x(i)

x x x

yy yy

s

CV s y s y 1 5 5x 1sCV s 2 2 4s x x

y

. Οπότε y xCV CV

Άρα μεγαλύτερη ομοιογένεια έχει το δείγμα των τεταγμένων.



iii. Είναι (i)

xx y

y

s 1 1s 5 s 5 5

s 2 10.

Για 1

10 έχουμε

1 1y 5 5 y 0,5

10 2.


Το θέμα Α επιμελήθηκε ο Συγκελάκης Αλέξανδρος, Μαθηματικός του Πρότυπου Πειραματικού Γενικού Λυκείου Ηρακλείου.

Το θέμα Β επιμελήθηκε ο Βρυώνης Δημήτριος, Μαθηματικός του 4ου Γενικού Λυκείου Καλαμάτας.

Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο, Μοτσάκο

Βασίλειο και Σούγελα Έλενα.

mg ed1 ed4_ekf_plus_lys

Education