metode numerik -...
TRANSCRIPT
METODE NUMERIKSISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINIER
(SPL) SIMULTAN
1
http://maulana.lecture.ub.ac.id/lecture/metode-numerik/
Sistem Persamaan Linier Misal terdapat SPL dengan n buah variabel bebas
Matriks:
nnnnnn
n
n
n
C
CCC
x
xxx
aaa
aaaaaaaaa
3
2
1
3
2
1
21
33231
22221
11211
nnmnmmm
nn
nn
Cxaxaxaxa
CxaxaxaxaCxaxaxaxa
332211
22323222121
11313212111
2
Penyelesaian SistemPersamaan Linier (SPL)
Algoritma Gauss Naif Algoritma Gauss Jordan Algoritma Gauss Seidel
3
Algoritma Gauss Naif1. Membagi persamaan pertama dengan
koefisien a11. Langkah tersebut disebut normalisasi. Tujuan normalisasi ini adalah agar koefisien dari x1 berubah menjadi 1.
2. Kalikan persamaan yang telah dinormalisasi (dalam hal ini persamaan pertama) dengan koefisien pertama dari persamaan kedua (yaitu a21).
3. Mengurangkan baris kedua dan ketiga dengan baris pertama.
4
Algoritma Gauss Naif
4. Kalikan persamaan pertama yang sudah dinormalisasi dengan koefisien tertentu sehingga a11 = a31.
5. Kurangkan persamaan ketiga dengan hasil dari yang didapat dari langkah 4.
6. Baris kedua dibagi dengan koefisien a22. Langkah ini disebut NORMALISASI untuk persamaan kedua. Tujuannya adalah agar koefisien x2 berubah menjadi 1.
5
Algoritma Gauss Naif
7. Kalikan persamaan kedua yang sudah dinormalisasi pada langkah ke-6 dengan suatu koefisien tertentu sehingga a22 = a32.
8. Kurangkan persamaan ketiga dengan persamaan kedua hasil dari langkah ke-7.
6
Algoritma Gauss Naif (Ex.)
Diketahui SPL:2x1 + 2x2 + x3 = 43x1 - x2 + x3 = 1x1 + 4x2 - x3 = 2
Bagaimana penyelesaiannya?
7
Algoritma Gauss Naif (Ex.)
Matriks yang terbentuk:
Langkah:1.
214
141113122
3
2
1
xxx
212
1411132
111
21
2
2
1
1
xxx
b
8
Algoritma Gauss Naif (Ex.)
2. dan 3.
4. dan 5.
25
2
1412
1402
111
3
3
2
1
12
xxx
bb
05
2
23302
1402
111
3
2
1
13
xxx
bb
9
Algoritma Gauss Naif (Ex.)
6.
7. dan 8.
04
52
23308
1102
111
41
3
2
1
2
xxx
b
4154
52
815008
1102
111
3
3
2
1
23
xxx
bb
10
Algoritma Gauss Naif (Ex.)
Hasil:
24
158
15
3
3
x
x
1281
45
45
81
2
32
x
xx
022112
221
1
321
x
xxx
11
Algoritma Gauss Jordan Dengan metode Gauss Jordan matriks A diubah
sedemikian rupa sampai terbentuk identitas dengan cara :
diubah menjadi C* merupakan matriks C yang sudah mengalami beberapa kali transformasi, sehingga:
CXIA | CXAI 1|
nn C
CCC
x
xxx
A
3
2
1
3
2
1
1
1000
010000100001
nn Cx
Cx
Cx
22
11
12
Algoritma Gauss Jordan (Ex.)
Diketahui SPL:2x1 + 2x2 + x3 = 43x1 - x2 + x3 = 1x1 + 4x2 - x3 = 2
Bagaimana penyelesaiannya?
13
Algoritma Gauss Jordan (Ex.)
Langkah:1.
2.
214
100010001
111
41
2
132
3
2
1
xxx
212
100010002
1
112
1
41
1
131
21
3
2
1
1
xxx
b
14
Algoritma Gauss Jordan (Ex.)
3.
4.
13
12 3bbbb
05
2
1021
0123
0021
232
12
1
34
1
001
3
2
1
xxx
04
52
1021
041
83
0021
238
12
1
311
001
41
3
2
1
2
xxx
b
15
Algoritma Gauss Jordan (Ex.)
5.
6.
23
21
3bb
bb
4154
54
3
143
813
041
83
041
81
8158
18
3
010
001
3
2
1
xxx
24
54
3
158
156
1513
041
83
041
81
18
18
3
010
001
158
3
2
1
3
xxx
b
16
Algoritma Gauss Jordan (Ex.)
7.
Jadi: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2
32
31
818
3
bb
bb
210
158
156
1513
151
51
154
51
52
521
100
010
001
3
2
1
xxx
17
Algoritma Gauss Seidel Sering dipakai untuk menyelesaikan persamaan
yang berjumlah besar. Dilakukan dengan suatu iterasi yang memberikan
harga awal untuk x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0. Metode ini berlainan dengan metode Gauss Jordan
dan Gauss Naif karena metode ini menggunakan iterasi dalam menentukan harga x1, x2, x3, ..., xn.
Kelemahan metode eliminasi dibandingkan metode iterasi adalah metode eliminasi sulit untuk digunakan dalam menyelesaikan SPL berukuran besar.
18
Algoritma Gauss Seidel
1. Beri harga awal x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0 2. Hitung
Karena x2 = x3 = x4 = ... = xn = 0, maka
11
141431321211 a
xaxaxaxaCx nn
11
11 a
Cx
19
Algoritma Gauss Seidel3. x1 baru yang didapat dari tahap 2 digunakan untuk
menghitung x2. Baris 2 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = C2
22
232312122 a
xaxaxaCx nn
22
12122 a
xaCx
20
Algoritma Gauss Seidel4. Menghitung x3
Baris 3 a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = C3
a33x3 = C3 – a31x1 – a32x2 – … – a3nxn
33
343423213133 a
xaxaxaxaCx nn
33
23213133 a
xaxaCx
21
Algoritma Gauss Seidel
5. Cara ini diteruskan sampai ditemukan xn.6. Lakukan iterasi ke-2 untuk menghitung x1,
x2, x3, ..., xn baru
nn
nnnn
nn
nn
axaxaxaxaC
x
axaxaxaCx
axaxaxaCx
111313212111
22
232312122
11
131321211
22
Algoritma Gauss Seidel
7. Mencari kesalahan iterasi |a| dengan cara:
8. Iterasi diteruskan sampai didapat |a| < |s|
%100
%100
)(
)(
barun
lamanbarunan
barui
lamaibaruiai
xxx
x
xxx
x
23
Algoritma Gauss Seidel (Ex.)
Diketahui SPL:x1 + 7x2 – 3x3 = –51 4x1 – 4x2 + 9x3 = 61 12x1 – x2 + 3x3 = 8dan a = 5 %
86151
3112944371
3
2
1
xxx
24
Algoritma Gauss Seidel (Ex.)
Iterasi ke-0 x1 = x2 = x3 = 0
Iterasi ke-1
51151
1
x 25,664
514614461 1
2
xx
58,1843
25,665183
128 213
xxx
25
Algoritma Gauss Seidel (Ex.)
Iterasi ke-2
78,34073
55,136649,9661283
128
55,13664
58,184949,9664614
9461
49,9661
58,184325,667511
3751
213
312
321
xxx
xxx
xxx
26
Algoritma Gauss Seidel (Ex.)
Iterasi ke-3
Perhitungan x1, x2, x3 diteruskan sampai semua |a| < |s|
11,701893
94,2752219,198401283
128
94,275224
78,3407919,198404614
9461
19,198401
78,3407355,13667511
3751
213
312
321
xxx
xxx
xxx
27
Algoritma Gauss Seidel (Ex.)Iterasi ke- Nilai x a
0x1 = 0x2 = 0x3 = 0
1x1 = 51
x2 = 66,25x3 = 184,58
2x1 = 966,49
x2 = 1366,55x3 = 3407,78
a = 105,28 %a = 104,85 %a = 105,42 %
3x1 = 19840,19x2 = 27522,94x3 = 70189,11
a = 104,87 %a = 104,97 %a = 104,86 % 28
Koefisien Relaksasi () Tujuan:
Perbaikan konvergensi dalam Gauss Seidel. Biasanya koefisien relaksasi dipilih sendiri
berdasarkan masalah yang dihadapi. Jika SPL tidak konvergen, yang bernilai antara 0
s/d 1 disebut Under Relaksasi. antara 1 dan 2 biasanya digunakan untuk
mempercepat konvergensi suatu sistem persamaan yang konvergen, disebut Over Relaksasi.
29
Solusi perbaikan dengan Koefisien Relaksasi ()pada metode Gauss Seidel
31
x1
x2
u v
x1(target)
x2(target)
x1
x2
uv
x1(target)
x2`(target)
Konvergen lambat Divergen
0<<11<<2Over relaxation Under relaxation
Mempercepat konvergensi Divergen menjadi konvergen
Solusi: