metode eliminasi gauss jordan
TRANSCRIPT
Yan Batara Putra S.Si M.Si
Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik yang pada metode Eliminasi Gauss diubah menjadi matrik segitiga, pada metode Eliminasi Gauss Jordan diubah menjadi matrik diagonal.
a11 a12 a13 ... a1n b1
0 a22 a23 ... a2n b2
0 0 a33 ... a3n b3
... ... ... ... ... ...0 0 0 0 ann bn
é
ë
êêêêêêê
ù
û
úúúúúúú
1 0 0 0 0 b1
0 1 0 0 0 b2
0 0 1 0 0 b3
... ... ... ... ... ...0 0 0 0 1 bn
é
ë
êêêêêêê
ù
û
úúúúúúú
Matrik segitiga Matrik diagonal
Langkah2 Metode Eliminasi Gauss Jordan 1. Buat matrik augmented 2. Buat matrik diagonal
3. Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilaid1,d2,d3,…,dn dan atau:
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
nnnnnn
n
n
n
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa
...
..................
...
...
...
321
33333231
22232221
11131211
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
nd
d
d
d
1...000
..................
0...100
0...010
0...001
3
2
1
nn dxdxdxdx ,....,,, 332211
Selesaikan persamaan linier simultan:
Dengan cara eliminasi biasa :
x1 + x2 = 3 * 2 2x1 + 2x2 = 6 substitusi2x1 + 4x2 = 8 * 1 2x1 + 4x2 = 8 x1 + x2
= 3-2x2 = -2 x1 + 1
= 3x2 = 1 x1 = 2
842
3
21
21
xx
xx
Selesaikan persamaan linier simultan:
Dengan cara eliminasi Gauss :Augmented Matrik
Matrik Segitiga dari baris terakhir :1 1 3 B2-2B1 1 1 3 2x2 = 22 4 8 2–2(1)=0 0 2 2 x2 = 1
4–2(1)=2 substitusi, dari baris 1 :
8-2(3)=2 x1 + x2 = 3x1 + 1 = 3x1 = 2
842
3
21
21
xx
xx
Selesaikan persamaan linier simultan:
Dengan cara eliminasi Gauss :Augmented Matrik
Matrik Segitiga 1 1 3 B2-2B1 1 1 3 B2/2 1 1 3 2/2
=12 4 8 2–2(1)=0 0 2 2 0 1 1 2/2
=14–2(1)=2 matrik diagonal8-2(3)=2 B1-B2 1 0 2 1-
1=0 0 1 1 3-
1=2 jadi x1 = 2 dan x2 = 1
842
3
21
21
xx
xx
úúú
û
ù
êêê
ë
é
0563
17720
9211
B2-2B1
0563
1342
92
zyx
zyx
zyx
Augmented matrik
1 1 2 92 4 3 13 6 5 0
é
ë
êêê
ù
û
úúú
2-2(1)=04-2(1)=2-3-2(2)=-71-2(9)=-17
úúú
û
ù
êêê
ë
é
0563
17720
9211
B3-3B1
3-3(1)=06-3(1)=3-5-3(2)=-110-3(9)=-27
1 1 2 90 2 7 170 3 11 27
é
ë
êêê
ù
û
úúú
1 1 2 90 2 7 170 0 1 3
é
ë
êêê
ù
û
úúú
2B3-3B2
0563
1342
92
zyx
zyx
zyx
2(0)-3(0)=02(3)-3(2)=02(-11)-3(-7)=-12(-27)-3(-17)=-3
1 1 2 90 2 7 170 0 1 3
é
ë
êêê
ù
û
úúú
B3 * -1
1 1 2 90 2 7 170 3 11 27
é
ë
êêê
ù
û
úúú
1 1 2 90 2 7 170 0 1 3
é
ë
êêê
ù
û
úúú
B2/2
0563
1342
92
zyx
zyx
zyx
B1 – B2
1 1 2 90 2 7 170 0 1 3
é
ë
êêê
ù
û
úúú
1 1 2 90 1 7 / 2 17 / 20 0 1 3
é
ë
êêê
ù
û
úúú
1 1 2 90 1 7 / 2 17 / 20 0 1 3
é
ë
êêê
ù
û
úúú
1 0 11/ 2 35 / 20 1 7 / 2 17 / 20 0 1 3
é
ë
êêê
ù
û
úúú
1-0=11-1=02-(-7/2)=11/29-(-17/2)=35/2
B1- 11/2 (B3)
0563
1342
92
zyx
zyx
zyx
B2 + 7/2 (B3)
1 0 11/ 2 35 / 20 1 7 / 2 17 / 20 0 1 3
é
ë
êêê
ù
û
úúú
1- 11/2 (0) =10- 11/2 (0) = 011/2 – 11/2 (1)=035/2- 11/2 (3)=1
1 0 0 10 1 7 / 2 17 / 20 0 1 3
é
ë
êêê
ù
û
úúú
1 0 0 10 1 7 / 2 17 / 20 0 1 3
é
ë
êêê
ù
û
úúú
0+ 7/2 (0) =01+ 7/2 (0) =1-7/2 + 7/2 (1)=0-17/2+ 7/2 (3)=4/2
1 0 0 10 1 0 20 0 1 3
é
ë
êêê
ù
û
úúú
0563
1342
92
zyx
zyx
zyx
1 0 0 10 1 0 20 0 1 3
é
ë
êêê
ù
û
úúú
Matrik Diagonal
Jadi :x = 1, y = 2 dan z = 3
Coba dimasukkan ke soal :1 + 2 + 2(3) = 92(1) + 4(2) - 3(3) = 13(1) + 6(2) – 5(3) = 0
