1. eliminasi gauss - awal

8/12/2019 1. Eliminasi Gauss - Awal

1/29

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN

LINIER SECARA NUMERIS

Bagaimana bentuk SISTEM persamaan linier?

BENTUK UMUM SISTEM PERSAMAAN LINIER

a!! "! # a!$ "$ # a!% "% # &'& # a!n "n ( b! )pers' !*

a$! "! # a$$ "$ # a$% "% # &&' # a$n "n ( b$ )pers' $*

a%! "! # a%$ "$ # a%% "% # &&' # a%n "n ( b% )pers' %*

& & &' & & '' &

& & & & & '' &

am! "! # am$ "$ # am% "% # &'' amn "n ( bm )pers' m*

Bagaimana sampai terbentuk sistem persamaan linier

tsb?

Ikuti ilustrasi se+er,ana berikut

C-nt-, kasus se,ari.,ari /ang membentuk sistem persamaan linier

Misalkan a+a % -rang )Ali0 Ba+u 1 Ci2a* /ang berbelan3a +i 4/pertmart0mereka +atang +an pulang bersama.sama'

Misal

Ali berbelan3a 5 pisang0 % in+-mi +an 6 ba3u' T-tal pengeluaran Rp' 78'9990.

Ba+u berbelan3a $ pisang0 9 in+-mi +an ! ba3u' T-tal pengeluaran Rp' %$'9990.

Ci2a berbelan3a ! pisang0 5 in+-mi +an 69 ba3u' T-tal pengeluaran Rp' :;'9990.

Bila +itan/a0 berapa sebetuln/a ,arga pisang0 in+-mi +an ba3u?

Maka se2ara sistematis untuk memu+a,kan per,itungan0 biasan/a ilustrasi

+iatas +i tulis +alam bentuk persamaan

Ali 5 pisang # % in+-mi # 6 ba3u ( 78'999

Ba+u $ pisang # 9 in+-mi # ! ba3u ( %$'999

Ci2a ! pisang # 5 in+-mi # 69 ba3u ( :;'999

Misalkan pisang(P0 in+-mi(I +an B( ba3u0 maka sistem tersebut +apat +itulis

5 P # % I # 6 B ( 78'999

$ P # 9 I # ! B ( %$'999

! P # 5 I # 69 B ( :;'999

Atau misal

P("!0 I("$0 B("%0 maka


2/29

5 "! # % "$ # 6 "% ( 78'999 ''''''')!*

$ "! # 9 # "% ( %$'999 ''''''')$*

"! # 5 "$ # 69 "% ( :;'999 '''''')%*

Susunan ini +isebut sistem persamaan linier'


3/29

Sangat repot bila menggunakan cara

analitis!!!!!!

Maka dipakai solusi cara numeris.

A+a beberapa met-+e pen/elesaian sistem persamaan linier se2ara numeris0

+iantaran/a

!' Met-+e eliminasi gauss %' met,-+e @auss -r+an

$' Met-+e @auss Sei+el ;' met-+e ALU ariabel +ari persamaan' a!!0 a$!&''+st +isebut k-eisien >ariabel

n ( 3umla, >ariabel m ( 3umla, persamaan

Sistem persamaan linier tersebut +apat 3uga +itulis +alam bentuk perkalian Matri=0 sbb

a!! a!$ a!% && a!n "! b!

a$! a$$ a$% && a$n "$ b$

a%! a%$ a%% && a%n = "% ( b%

& & & '' ''

& & & '' ''

am! am$ am% &'' amn "n bm matri= A matri= " matri= B

)matri= k-eisien* )matri= >ariabel* )matri= eigen >alue*

bila m ( n maka matri= A merupakan matri= bu3ur sangkar )m = n*


4/29

Misalkan ingin diselesaikan soal sbb:

; 8 ; 9 ! % 9 $ "! 8

! 5 ; .% $ $ ! ! "$ .;

! ; 6 $ % % % ! "% !9

! % 9 .$ $ ! $ % = "; ( .;! $ % ; 5 ; 9 ; "5 !

$ ! $ % ; 7 ! % "7 $

% ! $ ; 9 ! % ! "6 ;

; % $ ! ! % $ $ "8 !

Mau +iselesaikan se2ara analitis atau numeris?

Kalau memili, numeris0 an+a bisa menggunakan Matlab' A+a /g belum bisa?

Matlab tela, me/e+iakan asilitas ,itung 2epat matrik0 /g merupakan k-mpilasi

berbagai met-+e numerik

Beker3a +engan matlab

clc

A=[4 8 4 0 1 3 0 2;1 5 4 -3 2 2 1 1;1 4 7 2 3 3 3 1;1 3 0 -2 2 1 2 3;1 2 3 4 5 4 0 4;2 1 2 3 4

6 1 3;3 1 2 4 0 1 3 1;4 3 2 1 1 3 2 2]

B=[8;-4;10;-4;1;2;4;1]

X=A\B

MAKA KELUARAN MATLAB

" (

.!8'967!

.6'$9$%!6'!559

.!'889%

.;!'!:!7

!$'6;6!

.%';!96

%7'!$76

Bagaimana Matlab +i atas beker3a?aDab

Matlab beker3a atas met-+e numerik tertentu +engan sebelumn/a melakukan

pr-se+ur pemili,an met-+e numerik /g sesuai


5/29

METF


6/29

Catt -t

se,ingga terbentuk sistem persaman

a!! "! # a!$ "$ # a!% "% # &' # a!n "n ( b! )pers' !*

a$$ "$ # a$% "% # &' # a$n "n ( b$ )pers' $a*

a%$ "$ # a%% "% # &' # a%n "n ( b% )pers' %a*

& &' & & '' &

& & & & '' &am$"$ # am%"% # &' # amn"n ( bm )pers' ma*

$' Meng,ilangkan a%$0 a;$0&''0am$ +engan 2ara

meng,ilangkan a%$ pers' )%a*J . pers')$a* = )a%$Ga$$*J

meng,ilangkan a;$ pers' );a*J . pers')$a* = )a;$Ga$$*J

&''

meng,ilangkan am$ pers' )ma*J . pers')$a* = )am$Ga$$*J

se,ingga terbentuk sistem persaman a!! "! # a!$ "$ # a!% "% # &' # a!n "n ( b! )pers' !*

a$$ "$ # a$% "% # &' # a$n "n ( b$ )pers' $a*

a%%HHH "% # ''' # a%nHHH"n ( b%HHH )pers' %b*

&' & & '' &

& & & '' &

am%HHH"% # &' # amnHHH"n ( bmHHH )pers' mb*

apa k-e elemen pi>-tn/a?

!'


7/29

a+ala, tugas k-mputasi

menter3ema,kan met-+e ta+i

men3a+i bentuk pr-gram

k-mputer menggunakan ba,asapemr-graman tertentu'Kata kun2i memama,i pr-se+ur )alg-ritma*

C-nt-, s-al se+er,ana )+alam rangka mema,irkan pr-se+ur El.@auss*

Tentukan nilai.nilai >ariabel "!0 "$0 "% +ari sistem persamaan linier berikut+engan 2ara eliminasi gauss

% "! . $ "$ # % "% ( 8 &&')pers' A*

; "! # $ "$ . $"% ( $ &&')pers' B*

"! # "$ # $"% ( : &&')pers' C*

Pen/elesaian

Langka, !' Meng,ilangkan ;"! +an "! pa+a k-l-m !

Meng,ilangkan ;"! pa+a pers' B +engan 2ara Pers' B . );G%* = )pers' A*

/aitu

; "! # $ "$ . $"% ( $ ; "! # $ "$ . $ "% ( $

);G%* = )% "! . $ "$ # % "% ( 8* ; "! . )8G%* "$ # ; "% ( %$G%

) . *

)!;G%* "$ 7 "% ( .$7G% &'pers' BH

Meng,ilangkan "! pa+a pers' C +engan 2ara Pers' C . )!G%* = )pers' A*

Men3a+i

"! # "$ # $"% ( : "! # "$ # $ "% ( :

)!G%* = )% "! . $ "$ # % "% ( 8* "! . )$G%* "$ # "% ( 8G%

) . *

)5G%* "$ # "% ( !:G% &'pers' CH

Se,ingga mun2ul sistem persamaan baru % "! . $ "$ # % "% ( 8 &&' ) pers' A *

)!;G%* "$ 7 "% ( .$7G% &&' ) pers' BH *

,ilang )5G%* "$ # "% ( !:G% &&' ) pers' CH *


8/29

Langka, $' Meng,ilangkan )5G%*"$ pa+a k-l-m $ pa+a pers' CH

Pers' CH . )5G%*G)!;G%*J = )pers' BH*

/aitu

)5G%* "$ # "% ( !:G% )5G%* "$ # "% ( !:G%

)5G!;* = )!;G%* "$ .7"% ( .$7G%J )5G%* "$ . )%9G!;* "% ( .!%9G;$

) . *

);;G!;*"% ( %:7G;$ &&')pers' CHH*

Se,ingga mun2ul sistem persamaan baru lagi

% "! . $ "$ # % "% ( 8 &&' ) pers' A *

)!;G%* "$ 7 "% ( .$7G% &&' ) pers' BH *

,ilang );;G!;*"% ( %:7G;$ &&' ) pers' CHH *

Se,ingga +ari pers' CHH +apat +iketa,ui "% ( )%:7G;$*G);;G!;*( %

Selan3utn/a lakukan subtitusi balik untuk men2ari "$ pa+a pers' BH+engan mensubstitusi "% ke pers' BH s,g +iper-le, "$ ( $

Untuk men2ari "! +igunakan pers' A +engan mensubstitusi "% +an "$

ke pers' A "! ( !

Se,ingga ,asiln/a "!(! "$($ "%(%

PER4ATIKANPRFSE


9/29

([ik]= ([ik-1]-&a[ikk-1]/a[kkk-1]) ([kk-1];

e#d;

e#d;

Catt: *identitas koefisien a ditentukan oleh 3 indeks yaitu: a(baris, kolom, running-ke)

*identitas koefisien b ditentukan oleh 2 indeks yaitu: b(baris, running-ke)

*orientasi algoritma tidak lg memperhatikan kolom yg di-nol-kan tetapi memperhatikan kolom yg

termodifikasi

ba2kDar+ substituti-n%"r!sedr (ackard s(sii!#

*!r i=#+-1+1

mla'=0;

*!r =&i,1)+#

i* )

e#d

else

mla'=mla' , a[ii-1][];

e#d

e#d;

[i]=&([ii-1] - mla')/a[iii-1];

dis" &i = [i]+6+2);

e#d;

Tugas ruma, )t+k usa, +ikumpul* 2ari pr-gram lengkap el.gauss +an pela3ari

)b-le, b,s pas2al -r Matlab +ll*

LATI4AN

!' Tentukan "!0 "$ +an "%

$"$ $"% ($

"! # $"$ . %"% (;

"! . $"$ # $"% ( !

Db "!(%0 "$($0 "%(!


10/29


11/29


12/29


13/29

).%G$*Y . )6G$* ( 9 '''''''''''''''''''''''')$H*

9 ( 9 ''''''''''''''''''''''')%H*

Maka sistem pers' tsb ti+ak +apat +iselesaikan se2ara eliminasi gauss0 +an

memiliki tak ber,ingga pen/elesaian0 karena +apat bernilai berapa sa3a'

Bila +iper,atikan se2ara +etil0 bentuk seperti ini mun2ul akibat +ari ti+ak

bebasn/a satu persamaan' Bila +ili,at tern/ata pers' )!* merupakanpen3umla,an pers' )$* # pers' )%*0 s,g pers' )!* bersiat ti+ak

bebasGin+epen+en'


14/29

PR )t+k usa, +ikumpul*

!*' Selesaikan +engan manual

; 8 ; 9 "! 8

! 5 ; .% = "$ ( .; ! ; 6 $ "% !9

! % 9 .$ "; .;

Catt gunakan matlab sebagai k-ntr-l untuk menge2ek ,asil

$*' Cek SPL berikut bersiat bebas linier atau singular??

"! # "$ # "% # "; ( 6

"! # "$ # $"; ( 8

$"! # $"$ # %"% ( !9

."! . "$ .$"% #$"; ( 9

Buktikan +engan matlab +an manual


15/29

MATRI" TRI


16/29

Pen/elesaiann/a +apat +ilakukan +engan eliminasi gauss'

Tinggal meng,ilangkan satu +eretan k-eisien tepat +ibaDa, +iag-nal utama0

/aitu "! )k-l-m !*0 ;'"$ )k-l-m $*0 $'"% )k-l-m %* +engan 2ara eliminasi

gauss'

$'"! %'"$ ( .; )pers' !*

"! # $'"$ "% ( $ )pers' $*

;'"$ . "% # "; ( : )pers' %*$'"% . "; ( $ )pers' ;*

Pen/elesaian

Langka, !

"! # $'"$ "% ( $ "! # $'"$ "% ( $

$'"! %'"$ ( .; = )O* "! )%G$*'"$ ( .$

) . *

)6G$*'"$ "% ( ; ''''' )pers' $H*Langka, $

;'"$ ."% # "; ( : ;'"$ . "% # "; ( :

)6G$*'"$ "% ( ; = ;G)6G$* ;'"$ )8G6*'"% ( %$G6

) . *

)!G6*'"% # "; ( %!G6 &&&''')pers' %H*

Langka, %

$'"% "; ( $ $'"% "; ( $

)!G6*'"% # "; (%!G6 = $G)!G6* $'"% #!;'"; ( 7$

) . *

.!5'"; ( .79 &&')pers' ;H*

se,ingga matri= men3a+i

$'"! %'"$ ( .; )pers' ! *

)6G$*'"$ "% ( ; )pers' $H*

)!G6*"% # "; ( %!G6 )pers' %H*

.!5'"; ( .79 )pers' ;H*

se,ingga +iper-le, ";( ;

subtitusi "; tsb ke )pers' %H* +iper-le, "% ( %

subtitusi "% ke pers' $H +iper-le, "$ ( $

subtitusi "$ ke pers' ! +iper-le, "! ( !

lati,an

$'"! # "$ ( 5

%'"! # "$ .$'"% ( $

"$ .%'"% . "; ( %


17/29

%'"% # $'"; ( $

C-nt-, s-al aplikasi bi+ang teknik kimia

Suatu pr-ses ekstraksi 2air.2air multi.ta,ap menggunakan pelarut )s-l>ent*

/ang ti+ak saling melarut0 seperti terli,at pa+a gambar berikut

stage ! stage $ &&' stage i && stage n.! stage n

Y$ Y% Yi Yi#! Yn.! Yn YinY! S

&'' &''

"! "$ "i.! "i "n.$ "n.! "n"in

Arus memasuki stage ! mengan+ung sen/aDa A +engan raksi berat " in'

Sen/aDa A tsb akan +iambil +engan pelarut /ang berlaDanan ara, +engan arus

0 /aitu pelarut S /ang masuk +ari stage n /ang mula.mula mengan+ung

sen/aDa A +engan raksi berat Yin' Sen/aDa A +alam arus akan terekstrak

+an masuk ke arus S'

Masing.masing stage ber-perasi pa+a su,u /ang sama0 +an ,ubungan

kesetimbangan pa+a masing.masing stage mengikuti persamaan

Yi( K "i 0 K a+ala, k-nstanta kesetimbangan &&&&'')pers' !*


18/29


19/29

'''''''''''''sisa e+it''''

C-nt-, Pr-gram Eliminasi @auss Tanpa Pi>-ting

Parsial +gn pas2alPr-gram Eliminasi@auss

Uses inCrt

Qar

= arra/ !''!9 - real

b arra/ !''!909''!9 - reala arra/ !''!90!''!909''!9- real

3umla,real

i030k0n integer


20/29

Begin

n(;

a!0!09( ; a!0$09( 8 a!0%09( ; a!0;09( 9

a$0!09( ! a$0$09( 5 a$0%09( ; a$0;09( .%

a%0!09( ! a%0$09( ; a%0%09( 6 a%0;09( $

a;0!09( ! a;0$09( % a;0%09( 9 a;0;09( .$

b!09( 8 b$09( .; b%09( !9 b;09( .;

-r k( ! t- n.! +-

Begin

-r i(k#! t- n +-

begin

-r 3(k#! t- n +-

begin

ai030k(ak030k.!Gak0k0k.!).ai0k0k.!*#ai030k.!en+

bi0k(bk0k.!Gak0k0k.!).ai0k0k.!*#bi0k.!

en+

en+

-r i(! t- n +-

begin

Drite )*

-r 3( ! t- n +-

begin

Drite )ai030i.!7$*

en+

Driteln ) 0bi0i.!7$*

en+

Driteln

-r i( n +-Dnt- ! +-

begin

3umla,(9

-r 3 ( i#! t- n +-

begin

i 3Vn t,en

begin

en+

else

begin

3umla,(3umla,#ai030i.!=3

en+

en+


21/29

=i()bi0i.!.3umla,*Gai0i0i.!

Driteln )=0i0 ( 0=i7$*

en+

en+'

Catatan: PR 1b.

Sebagai petunjuk bantuan untukmenyelesaikan PR 1b, berikut ini


22/29

dilampirkan algoritma dan program

penyelesaian eliminasi gauss dengan

bahasa pascal. Anda tinggal

mentransfer saja ke bahasa matlab.

C-nt-, lain Eliminasi @auss Tanpa Pi>-ting

Parsial


23/29

PENULISAN PRF@RAM PASCAL UNTUK ELIMINASI @AUS TANPA

PIQFTIN@


24/29

Pr-se+ur Utk El.@auss Tanpa Pi>-ting Parsial )El.

@auss Nai*

Pr-se+ur Ba2kDar+ Substituti-n )suli, mun+ur*


25/29


26/29

Penulisan pr-gram pas2al untuk El.gauss +engan Pi>-ting


27/29


28/29

Bersambung''''''

Pr-se+ur Ba2kDar+ Substituti-n )suli, mun+ur*


29/29

1. eliminasi gauss - awal

Documents