04-eliminasi gauss (1)

7/25/2019 04-Eliminasi Gauss (1)

1/23

SISTEMSISTEMPERSAMAANPERSAMAAN

LINEARLINEAR

Eliminasi GaussEliminasi Gauss


2/23

PengantarPengantar

Permasalahan yang kitaPermasalahan yang kita

temui banyaktemui banyak

dimodelkan dalamdimodelkan dalampersamaan linearpersamaan linear

sehingga diperlukansehingga diperlukan

penyelesaianpenyelesaianmenggunakan metodemenggunakan metode

numeris.numeris.


3/23

Jika terdapat satu set nJika terdapat satu set npersamaan dengan n bilanganpersamaan dengan n bilangan

yang tidak diketahui, dan setiapyang tidak diketahui, dan setiap

suku dari setiap persamaansuku dari setiap persamaanmengandung hanya satumengandung hanya satu

bilangan yang tidak diketahui,bilangan yang tidak diketahui,

yang berpangkat satu, makayang berpangkat satu, makadisebut sebagai:disebut sebagai:

PERSAMAAN LINEARPERSAMAAN LINEAR


4/23

Satu sistem n persamaan linearberbentuk:

a11x1+ . + a1nxn = b1

a21x1+ . + a2nxn = b2

.

.

.


5/23

Dengan koefisien aDengan koefisien ajkjkdan bdan bkkyang diketahui.yang diketahui.

n menunjukkan jumlahn menunjukkan jumlah

persamaan.persamaan.

xx11, x, x22, , x, , xnnadalahadalah

bilangan yang tidakbilangan yang tidak

diketahui.diketahui.


6/23

AtauAtau

A X = BA X = B

Sistem persamaan dalamSistem persamaan dalam

bentuk matriksbentuk matriks

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

nx

x

x

...

2

1

=

nb

b

b

...

2

1

=


7/23

Sistem ersamaan linear ini dapatSistem ersamaan linear ini dapatdiselesaikan dengan:diselesaikan dengan:

Metode Tak Langsung (iterati!Metode Tak Langsung (iterati!

!ontoh: Ja"obi, #auss Seidel!ontoh: Ja"obi, #auss Seidel

Metode LangsungMetode Langsung!ontoh: $liminasi #auss, #auss!ontoh: $liminasi #auss, #auss

JordanJordan


8/23

rosedurnya:rosedurnya:

% &engurangi sistem persamaan ke&engurangi sistem persamaan ke

dalam bentuk sedemikian sehinggadalam bentuk sedemikian sehinggasalah satu persamaan hanyasalah satu persamaan hanyamengandung satu bilangan yangmengandung satu bilangan yangtidak diketahui.tidak diketahui.

% Setiap persamaan berikutnyaSetiap persamaan berikutnyahanya terdiri dari satu tambahanhanya terdiri dari satu tambahanbilangan yang tidak diketahui.bilangan yang tidak diketahui.

"# Metode Eliminasi $auss"# Metode Eliminasi $auss


9/23

Pada metode eliminasi Gauss,Pada metode eliminasi Gauss,operasi eliminasi dan substitusioperasi eliminasi dan substitusivariabelnya dilakukan sedemikianvariabelnya dilakukan sedemikian

rupa sehingga dapat berbentukrupa sehingga dapat berbentukmatriks segitiga atas, danmatriks segitiga atas, danakhirnya solusi diselesaikanakhirnya solusi diselesaikan

dengan teknik substitusi balikdengan teknik substitusi balik((backsubstitutionbacksubstitution).).


10/23

Eliminasi $aussEliminasi $auss


11/23

aa1111xx11+ a+ a1212xx22+ a+ a1313xx33 = b= b11 (1)(1)aa2121xx11+ a+ a2222xx22+ a+ a2323xx33 = b= b22 (2)(2)

aa3131xx11+ a+ a3232xx22+ a+ a3333xx33 = b= b33 (3)(3)

Tin%au & persamaan dengan &Tin%au & persamaan dengan &

bilangan 'ang tidak diketaui)bilangan 'ang tidak diketaui)


12/23

*an dikalikan dengan*an dikalikan dengan

persamaan ("! kemudianpersamaan ("! kemudianasiln'a dikurangkan keasiln'a dikurangkan ke

persamaan (+!#persamaan (+!#

*ideinisikan aktor pengali*ideinisikan aktor pengali

11

21

2

a

a

m =


13/23

(a(a2121 m m22aa1111)x)x11+ (a+ (a2222 m m22aa1212)x)x22

+ (a+ (a2323 m m22aa1313)x)x33 = b= b22 m m22bb11

(a(a2222 m m22aa1212)x)x22+ (a+ (a2323 m m22aa1313)x)x33= b= b22 m m22bb11

aa2222xx22+ a+ a2323xx33= b= b22 (4)(4)

Kita ganti persamaan (2) dengan persamaan (4)Kita ganti persamaan (2) dengan persamaan (4)


14/23

Didefinisikan faktor pengali:Didefinisikan faktor pengali:

dan dikalikan dengan persamaan (1) kemudiandan dikalikan dengan persamaan (1) kemudiandikurangi dari persamaan (3).dikurangi dari persamaan (3).

(a32

m3

a12

)x2

+ (a33

m3

a13

)x3

= b3

m3

b1

a32x2+ a33x3= b3 (5)

11

31

3

a

a

m =


15/23

Didefinisikan faktor pengali:Didefinisikan faktor pengali:

mm33= a= a3232!a!a2222dan dikalikan dengan pers (") makadan dikalikan dengan pers (") maka

(a32# m3a22)x2+ (a33# m3a23)x3

= b3# m3b2

(a33# m3a23)x3= b3# m3b2

a33 x3 = b3


16/23

Persamaan ini menggantiPersamaan ini mengganti

persamaan ($) se%ingga %asilpersamaan ($) se%ingga %asil

ak%irak%ir

aa1111 xx11+ a+ a1212 xx22+ a+ a1313 xx33 = b= b11

aa2222 xx22+ a+ a2323 xx33 = b= b22

aa3333 xx33 = b= b33


17/23

&e%ingga dapat di'ari&e%ingga dapat di'ari

11

313212'1'

1

'

22

3'23

'2

2

''

33

''

33

)(

)(

a

xaxabx

a

xabx

a

bx

=

=

=


18/23

onto%onto%

3 persamaan3 persamaan

x + + * = "x + + * = " (a)(a)2x + 3 + * = 2x + 3 + * = (b)(b)

x # # * = ,2x # # * = ,2 (')(')


19/23

-aktor pengali m-aktor pengali m22= 2!1 = 2= 2!1 = 2

dikalikan dengan persamaan (a)dikalikan dengan persamaan (a)

kemudian dikurangkan kekemudian dikurangkan ke

persamaan (b) se%inggapersamaan (b) se%ingga

x + + *x + + * = "= " # * # * = 1= 1

x # # *x # # * = ,2= ,2


20/23

-aktor pengali m-aktor pengali m33= 1!1 = 1 dikalikan= 1!1 = 1 dikalikan

dengan persamaan (a) dandengan persamaan (a) dan

dikurangkan dengan persamaan (')dikurangkan dengan persamaan (')

se%inggase%ingga

x + + *x + + * = "= "

# * # * = 1= 1 (d)(d)## 2 # 2* = ,2 # 2* = , (e)(e)


21/23


22/23

3 persamaan3 persamaan

2x2x11+ $x+ $x22# x# x33= = (a)(a)

xx11+ 3x+ 3x22# 2x# 2x33= "= " (b)(b)

xx22# "x# "x33= 2= 2 (')(')

a4aban:a4aban:

51=,2 x2=2 x3=651=,2 x2=2 x3=6

Soal 1


23/23

7ugas7ugas

&elesaikan dengan 8liminasi 9auss&elesaikan dengan 8liminasi 9auss3x + # * = $3x + # * = $ (1)(1)

"x + # 3* = 26"x + # 3* = 26 (2)(2)

2x # 2 + $* = 162x # 2 + $* = 16 (3)(3)

umpulkan berupa print s'reen listing program dan running di /atlab.umpulkan berupa print s'reen listing program dan running di /atlab.

;/P; pada %ari /?& ,11,1" pukul [email protected] # 6.66;/P; pada %ari /?& ,11,1" pukul [email protected] # 6.66

(di luar 4aktu tsb 7?D dinilai).(di luar 4aktu tsb 7?D dinilai).

di akun grup fb sertakan nama dan >?/ di dalam print s'reen,na.di akun grup fb sertakan nama dan >?/ di dalam print s'reen,na.

04-eliminasi gauss (1)

Documents