adri priadana - ilkomadri.com · c. eliminasi gauss d. eliminasi gauss - jordan solusi sistem...
TRANSCRIPT
Adri Priadana
ilkomadri.com
Pengertian
Sistem Persamaan Linier
Persamaan linier adalah suatu
persamaan dengan bentuk umum
a1x1 + a2x2 +…+ an xn= b
yang tidak melibatkan hasil kali, akar,
pangkat selain satu dari variabelnya
serta bukan sebagai fungsi trigonometri
(sin, cos, tan), logaritma, atau
eksponensial
Pengertian
Sistem Persamaan Linier
Persamaan yang semua variabelnya berpangkat 1
Contoh:
x + y + 2z = 9
Solusi: berupa suatu “tripel” dengan masing-masing nilai
sesuai urutan (nilai-x, nilai-y, nilai-z) yang memenuhi
persamaan tersebut.
Himpunan solusi untuk persamaan di atas:
{ … ( 0, 1, 4), (1, 0, 4), (4, 5, 0), …. }
Himpunan solusi juga disebut Ruang Solusi (solution
space)
Suatu sistem dengan beberapa (2 atau lebih)
persamaan linier.
Contoh:
x + y = 3
3x – 5y = 1
Ruang Solusi:
berupa semua ordered-pair (nilai-x, nilai-y) yang
harus memenuhi semua persamaan linier dalam
sistem tersebut, untuk sistem ini ruang solusinya
{ (2, 1) }
Pengertian
Sistem Persamaan Linier
Sistem Persamaan Linier mempunyai salah satu dari
3 kemungkinan :
a. Tidak ada solusi, atau tidak berpotongan
b. Satu solusi, atau berpotongan di 1 titik
c. Banyak solusi, atau berimpit
b.a. c.
Pengertian
Sistem Persamaan Linier
Sistem Persamaan Linier dikatakan Consistent
jika memiliki satu solusi atau banyak solusi, dan
dikatakan Inconsistent jika tidak ada solusi.
Persamaan Linier memiliki beberapa solusi,
yaitu :
a. Eliminasi / Substitusi
b. Aturan Cramer
c. Eliminasi Gauss
d. Eliminasi Gauss - Jordan
Solusi Sistem Persamaan Linier
a. Eliminasi / Substitusi
I. x + y = 3 3x + 3y = 9
3x – 5y = 1 3x – 5y = 1
Solusi Sistem Persamaan Linier
x dieliminasi
8y = 8 y = 1
3x – 5 = 1 3x = 6 x = 2
II. y = 3 – x
3x – 5 (3 – x) = 1 atau 3x – 15 + 5x = 1 8x = 16 x = 2
y = 3 – x y = 1
y disubstitusi
Sistem Persamaan Liner dapat diungkapkan dalam
bentuk Matriks Koefisien
Contoh :
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Jika setiap koefisien dari sistem persamaan linier di atas
disusun ke dalam matriks, maka
Solusi Sistem Persamaan Linier
1 1 2
2 4 -3
3 6 -5Disebut matriks koefisien
Matriks yang entri-entrinya dibentuk dari koefisien-koefisien Sistem Persamaan Linier dengan tambahan kolom yang berisi konstanta pada sisi kanan sistem persamaan linier
Contoh :
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Solusi Sistem Persamaan Linier
1 1 2 9
2 4 -3 1
3 6 -5 0
Matriks Augmented-nya :
b. Aturan Cramer
Apabila Ax = b maka nilai x dapat dicari dengan
xk =
Di mana:
|Ak| adalah harga determinan unsur-unsur matriks bujur sangkar A
dengan kolom ke k diganti unsur-unsurnya oleh b.
|A| adalah harga determinan matriks bujur sangkar A
Contoh : 2x + y – z = 3 3x + 2y – 4z = 1 x + 4y + z = 15
Solusi Sistem Persamaan Linier
|Ak|
|A|
b. Aturan Cramer (cont)
Hitunglah nilai x, y, dan z untuk sistem persamaan berikut:
2x + y – z = 3 3x + 2y – 4z = 1 x + 4y + z = 15
Matriks : A Ax =
Ay = Az =
Solusi Sistem Persamaan Linier
2 1 -1
3 2 -4
1 4 1
3 1 -1
1 2 -4
15 4 1
b
b
2 3 -1
3 1 -4
1 15 1
b
2 1 3
3 2 1
1 4 15
b. Aturan Cramer (cont)
det(A) = = 19, det(Ax) = = 19
det(Ay) = = 57, det(Az) = = 38
Maka x = = 1, y = = = 3, z = = = 2
Solusi Sistem Persamaan Linier
det(Ax) 19
det(A) 19
2 1 -1
3 2 -4
1 4 1
3 1 -1
1 2 -4
15 4 1
b
2 3 -1
3 1 -4
1 15 1
b
2 1 3
3 2 1
1 4 15
b
det(Ay) 57
det(A) 19
det(Az) 38
det(A) 19
Solusi Sistem Persamaan Linier
c. Eliminasi Gauss
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE)
Elementary Row Operation (ERO)
ditulis dalam
bentuk matriksaugmented
1 1 2 9
2 4 -3 1
3 6 -5 0
lalu diusahakan berbentuk →
1 1 2 9
0 ? ? ?
0 0 ? ?
Solusi Sistem Persamaan Linier
c. Eliminasi Gauss (cont)
(Elementary Row Operation - ERO)
Perhatikan bahwa tiap baris dari matriks merepresentasikan
persamaan linier
1. Mengalikan suatu baris dengan bilangan nyata k 0
2. Menukar posisi dua baris
3. Menambah baris-i dengan k kali baris-j
1 1 2 9
2 4 -3 1
3 6 -5 0
baris-2 + (-2) x baris-1
baris-3 + (-3) x baris-1
1 1 2 9
0 2 -7 -17
0 3 -11 -27
baris-3 + (-3/2)x baris-2
1 1 2 9
0 2 -7 -17
0 0 -1/2 -3/2
Solusi Sistem Persamaan Linier
c. Eliminasi Gauss (cont)
x y z
1 1 2 9
0 2 -7 -17
0 0 -1/2 -3/2
Substitusi Balik
-1/2 z = -3/2 z = 3
1 1 2 9
0 2 -7 -17
0 0 -1/2 -3/2z
2y – 7z = - 17
2y = 21 – 17 y = 2
1 1 2 9
0 2 -7 -17
0 0 -1/2 -3/2
y
z
x + y + 2z = 9
x = – 2 – 6 + 9 x = 1
Solusi Sistem Persamaan Linier
d. Eliminasi Gauss - Jordan
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE)
Elementary Row Operation (ERO)
ditulis dalam
bentuk matriksaugmented
1 1 2 9
2 4 -3 1
3 6 -5 0
lalu diusahakan berbentuk →
1 0 0 ?
0 1 0 ?
0 0 1 ?
Solusi Sistem Persamaan Linier
d. Eliminasi Gauss – Jordan (cont)
contoh:
x - 2y + z = 0
2y – 8z = 8
-4x + 5y + 9z = -9
1 -2 1 0
0 2 -8 8
-4 5 9 -9
baris-3 + (4) x baris-1
1 -2 1 0
0 2 -8 8
0 -3 13 -9
1 -2 1 0
0 1 -4 4
0 -3 13 -9
(1/2)x baris-2
Solusi Sistem Persamaan Linier
d. Eliminasi Gauss – Jordan (cont)
1 -2 1 0
0 1 -4 4
0 -3 13 -9
1 -2 1 0
0 1 -4 4
0 0 1 3
Baris-3 + (3) x baris-2
1 -2 0 -3
0 1 0 16
0 0 1 3
Baris-2 + (4) x baris-3
Baris-1 + (-1) x baris-31 0 0 29
0 1 0 16
0 0 1 3Baris-1 + (2) x baris-2
x y z
Matur Nuwun