METODE NUMERIKTKM4104

Kuliah ke-5

SOLUSI SISTEM

PERSAMAAN LINIER 1

RUMUSAN MASALAH

Temukan vektor x yang memenuhi sistempersamaan linier Ax = b, yang dalam hal ini,

A = [aij] adalah matriks berukuran n × n

x = [xj] adalah matriks berukuran n × 1

b = [bj] adalah matriks berukuran n × 1 (vektor kolom)

SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

HARUS SIMULTAN!!!

KEMUNGKINAN SOLUSI SPL

METODE PENYELESAIAN SISTEMPERSAMAAN LINIER

Metode eliminasi Gauss

Metode eliminasi Gauss-Jordan

Metode matriks balikan (inverse)

Metode dekomposisi LU

Metode lelaran Jacobi

Metode lelaran Gauss-Seidel

METODE ELIMINASI GAUSS

Eliminasi bilangan unknown dengan menggabungkan persamaan-persamaan

Mengalikan persamaan dengan konstanta agar salah satu bilangan unknown akan tereliminasi bilamana dua persamaan digabungkan.

Dibutuhkan pemahaman OPERASI MATRIK

Ax = b Ux = y

SKEMA LANGKAH ELIMINASI GAUSS

SKEMA LANGKAH ELIMINASI GAUSS

Persamaan (E1) disebut Pivot Equation, a11 disebutkoefisien Pivot dan operasi perkalian baris pertamadengan a21/a11 disebut sebagai Normalisasi

Untuk kemudahan dapat dipakai matrik dalam bentukkombinasi yang disebut dengan Augmented Matrix(matrik yang diperbesar).

Hindari pembagian dengan nol, sehingga munculsebutan untuk metode ini yaitu Eliminasi Gauss Naif.

3333231

2232221

1131211

baaa

baaa

baaa

OPERASI PADA PROSES ELIMINASI

Pertukaran : Urutan dua persamaan dapatditukar karena pertukaran tersebut tidakmempengaruhi solusi akhir.

Penskalaan : Persamaan dapat dikali dengankonstanta bukan nol, karena perkalian tersebuttidak mempengaruhi solusi akhir.

Penggantian : Persamaan dapat digantidengan penjumlahan persamaan itu dengangandaan persamaan lain.

KEMUNGKINAN SOLUSI SPL DENGANMETODE ELIMINASI GAUSS

CONTOH ELIMINASI GAUSS

Selesaikan persamaan simultan berikut ini.

27 x1 + 6 x2 – x3 = 85 ….. (1a)

6 x1 + 15 x2 + 2 x3 = 72 ….. (1b)

x1 + x2 + 54 x3 = 110 ….. (1c)

CONTOH ELIMINASI GAUSS

Eliminasi Maju

CONTOH ELIMINASI GAUSS

Subtitusi Mundur

x3 = 103,829 / 53,911 = 1,926

13,667 x2 + 2,222 x3 = 53,111 x2 = 3,573

27 x1 + 6 x2 - x3 = 85 x1 = 2,425

METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN

Merupakan variasi dari eliminasi Gauss dengan kebutuhan untuk menghitung matrikidentitas

Langkah eliminasi menghasilkan matrik satuan, sehingga tidak memerlukan proses substitusimundur

Ax = b → Ix = b’

METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN

Penyelesaian SPL dengan metode eliminasiGauss-Jordan membutuhkan jumlahkomputasi yang lebih banyak daripadametode eliminasi Gauss.

Metode eliminasi Gauss sudah cukupmemuaskan untuk digunakan dalampenyelesaian SPL

Namun metode eliminasi Gauss-Jordan merupakan dasar pembentukan matriksbalikan (inverse)

SKEMA LANGKAH ELIMINASI GAUSS-JORDAN

CONTOH ELIMINASI GAUSS-JORDAN

Selesaikan persamaan simultan berikut ini.

27 x1 + 6 x2 – x3 = 85 ….. (1a)

6 x1 + 15 x2 + 2 x3 = 72 ….. (1b)

x1 + x2 + 54 x3 = 110 ….. (1c)

CONTOH ELIMINASI GAUSS-JORDAN

CONTOH ELIMINASI GAUSS-JORDAN