c. eliminasi gauss · web viewmatriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier homogen di atas...
TRANSCRIPT
29
1 1 2
2 4 3
3 6 5
9
1
0
O21(-2)»
1 1 2
0 2 7
3 6 5
9
17
0
O31(-3)»
1 1 2
0 2 7
0 3 11
9
17
27
O2(½)»
1 1 2
0 1
0 3 11
9
27
7
2
17
2
O32(-3)»
917232
1 1 2
0 1
0 0
7212
O3(-2)»
1 1 2
0 1
0
97
2
17
2
0 1 3
O23(7/2)
»
1 1 2
0 1
0
9
0
0 1
2
3
O13(-2)»
1 1 0
0 1
0
3
0
0 1
2
3
O12(-1)»
1 0 0
0 1
0
1
0
0 1
2
3
Sistem persamaan linier yang berkesesuaian dengan matriks yang terakhir adalah,x
yz
123
Jadi pemecahan sistem persamaan linier tersebut adalah, x = 1, y = 2 dan z = 3.Untuk mempersingkat pemecahan, beberapa langkah dalam operasi baris elementer
di atas dapat disatukan, seperti langkah pertama dan kedua, serta langkah keenam dan ketujuh sehingga operasi baris elementernya sekarang menjadi,
1 1 2
2 4 3
3 6 5
9
1
0
O21(-2)»
O31(-3)
1 1 2
0 2 7
0 3 11
9
17
27
O2(½)»
1 1 2
0 1
0 3 11
9
27
7
2
17
2
O32(-3)»
1 1 2
0
91721
0 0
7212
32
O3(-2)»
1 1 2
0 1
0
97
2
17
2
0 1 3
O23(7/2)»
O13(-2)
1 1 0
0 1
0
3
0
0 1
2
3
O12(-1)»
1 0 0
0 1
0
1
0
0 1
2
3
Bentuk matriks yang terakhir dalam contoh II.16 di atas yaitu matriks,
1 0 0
0 1
0
1
0
0 1
2
3
atau dapat juga dituliskan tanpa garis di kolom terakhir seperti berikut,
1 0 0
0 1
0
1
2
3
0
0 1
dinamakan bentuk eselon baris tereduksi (reduced row-echelon form). Sebuah matriks dapat disebut mempunyai bentuk eselon baris tereduksi jika mempunyai sifat-sifat yang diuraikan dalam definisi berikut.
Definisi : Sebuah matriks m x n disebut matriks eselon baris tereduksi jika matriks tersebut memenuhi sifat-sifat berikut.
DND
Tanda ekivalen
30
1. Jika suatu baris komponennya tidak terdiri dari nol seluruhnya, maka bilangan tak nol pertama dalam baris tersebut adalah 1(satu). Bilangan satu ini disebut sebagai satu utama.
2. Dalam dua baris yang berurutan yang komponen-komponennya tidak semuanya nol, satu utama dalam baris yang lebih rendah berada lebih ke kanan dari satu utama baris di atasnya.
3. Jika terdapat baris yang seluruh komponennya terdiri dari nol, maka semua baris seperti ini ditempatkan di baris terakhir.
4. Dalam setiap kolom yang mengandung satu utama, maka komponen lainnya harus nol.
Matriks yang hanya mempunyai sifat 1, 2 dan 3 disebut berada dalam bentuk eselon baris (row-echelon form).
Contoh II.17Matriks-matriks berikut adalah matriks berbentuk eselon baris tereduksi karena memenuhi keempat sifat dalam definisi di atas.
A
1 0 0 5
0 1 0 4
0 0 1 2
B
1 0 0 2
0 1 0 0
0 0 1 1
C
1 2 5 0 3
0 0 0 1 4
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Matriks-matriks berikut adalah matriks berbentuk eselon baris karena hanya memenuhi sifat pertama, kedua dan ketiga saja dalam definisi di atas.
D
1 1 0
0 1 0
0 0 1
E
1 0 1 3
0 1 0 4
0 0 1 4
F
1 0 0 2 5
0 0 0 1 4
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Prosedure untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi dengan menggunakan operasi baris elementer seperti pada contoh II.16 dinamakan metoda eliminasi Gauss-Jordan. Dengan metoda eliminasi Gauss-Jordan ini, pemecahan sistem persamaan linier dapat mudah dilakukan.
Contoh II.18Tentukanlah jawab sistem persamaan linier berikut dengan menggunakan metoda eliminasi Gauss-Jordan.
x y zx y zx y z
2 82 3 1
3 7 4 10Jawab :Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier di atas adalah,
8
1
10
1 1 2
1 2 3
3 7 4
Reduksi matriks yang diperbesar ini menjadi bentuk eselon baris tereduksi dengan menggunakan eliminiasi Gauss-Jordan
DND
31
1 1 2
1 2 3
3 7 4
8
1
10
O21(1)»
O31(-3)
1 1 2
0 1 5
0 10 2
8
9
14
O2(-1)»
1 1 2
0 1 5
0 10 2
8
9
14
O12(-1)»
O32(10)1 0 7
0 1 5
0 0 52
17
9
104
O3(-1/52)»
1 0 7
0 1 5
0 0 1
17
9
2
O13(-7)»
O23(5)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3
1
2
Matriks terakhir sudah menjadi bentuk eselon baris tereduksi dan sistem persamaan linier yang bekesesuaian dengan matriks ini adalah,
xy
z
312
Jadi pemecahan sistem persamaan linier adalah x = 3, y = 1 dan z = 2.
Contoh II.19Carilah pemecahan/jawab sistem persamaan linier berikut,
2 3 53 2 55 16
x y zx y zx y z
Jawab :Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier di atas adalah,
2 1 3
3 1 2
5 3 1
5
5
16
Lakukan reduksi baris pada matriks yang diperbesar di atas menjadi matriks eselon baris tereduksi dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.
2 1 3
3 1 2
5 3 1
5
5
16
O1(1/2)»
1
3 1 2
5 3 1
5
16
1
2
3
2
5
2
O21(-3)»
O31(-5)
1
0
0
1
2
3
25
2
13
211
2
13
2
5
25
27
2
O2(-2/5)»
O3(-2)
1
0 1
0 11 13
1
7
1
2
3
213
5
5
2
O12(-1/2)»
O32(-11)
1 0
0 1
0 0
2
1
18
1
513
578
5
O3(-5/78)»
1 0
0 1
0 0 1
2
1
1
513
515
13
O13(1/5)»
O31(13/5)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2
23
13
15
13
DND
matriks eselon baris tereduksi
32
Matriks terakhir sudah menjadi bentuk eselon baris tereduksi dan sistem persamaan linier yang bekesesuaian dengan matriks ini adalah,
xy
z
23
13
15
13
2
Jadi pemecahan sistem persamaan liniernya adalah x y z 23
13
15
132, dan .
Contoh II.20Carilah pemecahan sistem persamaan linier berikut,
2 3 2 52 3 2
4 4 1
x y zx y zx y z
Jawab :Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier di atas adalah,
2 3 2
1 2 3
4 1 4
5
2
1
Lakukan reduksi baris pada matriks yang diperbesar di atas menjadi matriks eselon baris tereduksi dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.
2 3 2
1 2 3
4 1 4
5
2
1
O12
»
1 2 3
2 3 2
4 1 4
2
5
1
O21(-2)»
O31(-4)
1 2 3
0 7 8
0 7 8
2
1
7
O2(1/7)»
1 2 3
0 1
0 7 8
2
7
8
7
1
7
O12(2)»
O32(-7)
1 0
0 1
0 0 0 8
5
78
7
16
71
7
O3(-1/8)»
1 0
0 1
0 0 0 1
5
78
7
16
71
7
O13(-16/7)»
O23(-1/7)
1 0
0 1
0 0 0
0
0
1
5
78
7
Matriks yang terakhir sudah berbentuk eselon baris tereduksi, akan tetapi terdapat kontradiksi dalam baris terakhir dari matrik tersebut yaitu, 0 = 1. Akibatnya dapat kita simpulkan bahwa sistem persamaan linier di atas tidak mempunyai pemecahan.
Contoh II.21Pecahkanlah sistem persamaan linier berikut,
DND
matriks eselon baris tereduksi
33
2 2 2 22 1
2 4 13 3 3
x y z wx y z wx y z wx w
Jawab :Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier di atas adalah,
2 1 2 2
1 1 2 1
1 2 4 1
3 0 0 3
-2
-1
1
-3
Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan, kita akan mereduksi matriks yang diperbesar ini menjadi bentuk eselon baris tereduksi sebagai berikut,
2 1 2 2
1 1 2 1
1 2 4 1
3 0 0 3
-2
-1
1
-3
O12
»
1 1 2 1
2 1 2 2
1 2 4 1
3 0 0 3
-1
-2
1
-3
O21(-2)»
O31(1)O41(-3)
1 1 2 1
0 3 6 0
0 1 2 0
0 3 6 0
-1
0
0
0
O2(1/3)»
O4(1/3)
1 1 2 1
0 1 2 0
0 1 2 0
0 1 2 0
-1
0
0
0
O32(-1)»
O42(-1)
1 1 2 1
0 1 2 0
0 0 0 0
0 0 0 0
-1
0
0
0
O12(1)»
1 0 0 1
0 1 2 0
0 0 0 0
0 0 0 0
-1
0
0
0
Matriks terakhir berbentuk eselon baris tereduksi, matriks ini berkesesuaian dengan sistem persamaan linier
x wy z
12 0 atau x w
y z
12
Jika z = s dan w = t maka pemecahan sistem persamaan linier adalah, x = t 1, y = 2s, z = s dan w = t. Jadi sistem persamaan linier tersebut mempunyai banyak jawab.
Contoh II. 22Tentukanlah pemecahan sistem persamaan linier homogen berikut,
2 02 3 0
3 0
x y zx y zx y z
Jawab :Matriks yang diperbesar untuk sistem persamaan linier homogen ini adalah,
2 -1 1
1 2 3
3 1 1
0
0
0
DND
34
Dengan eliminasi Gauss-Jordan kita dapat mereduksi matriks yang diperbesar ini menjadi bentuks eselon baris tereduksi sebagai berikut,
2 -1 1
1 2 3
3 1 1
0
0
0
O12
»
1 2 3
2 -1 1
3 1 1
0
0
0
O21(-2)»
O31(-3)
1 2 3
0 -5 -5
0 -5 -8
0
0
0
O2(-1/5)»
1 2 3
0 1 1
0 -5 -8
0
0
0
O12(-2)»
O32(5)
1 0 1
0 1 1
0 0 -3
0
0
0
O3(-1/3)»
1 0 1
0 1 1
0 0 1
0
0
0
O13(-1)»
O23(-1)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0
0
0
Matriks terakhir adalah bentuk eselon baris tereduksi, matriks ini berkesesuaian dengan sistem persamaan linier
xy
z
000
Jadi pemecahan sistem persamaan linier homogen ini adalah x = 0, y = 0 dan z = 0. Berarti sistem persamaan linier ini hanya mempunyai pemecahan trivial.
Contoh II.23Carilah pemecahan sistem persamaan linier homogen di bawah ini,
x x x xx x x
x x x x
1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
2 00
4 3 0
adakah pemecahan trivial dalam pemecahan sistem persamaan linier ini ?
Jawab :Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier homogen di atas adalah,
1 2 -1 1
1 1 0 1
1 4 -3 1
0
0
0
Reduksi matriks yang diperbesar ini dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan, dan hasilnya adalah,
1 2 -1 1
1 1 0 1
1 4 -3 1
0
0
0
O21(1)»
O31(1)
1 2 -1 1
0 -1 1 0
0 2 -2 0
0
0
0
O2(-1)»
1 2 -1 1
0 1 -1 0
0 2 -2 0
0
0
0
O12(-2)»
O32(-2)
1 0 1 1
0 1 -1 0
0 0 0 0
0
0
0
Matriks terakhir berbentuk eselon baris tereduksi, matriks ini berkesesuaian dengan sistem persamaan linier
x xx x
1 4
2 3
00
x
3 atau x x xx x
1 3 4
2 3
DND
35
Hal ini berarti bahwa sistem persamaan linier homogen mempunyai banyak pemecahan. Jika x3 = s dan x4 = t maka x1 = s t dan x2 = s. Pemecahan trivial diperoleh untuk s = 0 dan t = 0.
Dalam bab I yang lalu telah dibicarakan bahwa suatu sistem persamaan linier disebut konsisten jika sistem persamaan linier tersebut paling sedikit mempunyai satu pemecahan, dan dikatakan takkonsisten jika sistem persamaan linier itu tidak mempunyai pemecahan. Sedangkan dalam bagian II.B. diperlihatkan bahwa sistem persamaan linier berikut,
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
. . .
. . ..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.. . . +
dapat dituliskan dalam bentuk perkalian matriks AX = B, atau
a a a
a a a
a a a
x
x
x
b
b
b
n
n
m m mn n m
11 12 1
21 22 2
1 2
1
2
1
2
. . .
. ..
.
. . .
A X B
..
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan kita dapat menentukan kondisi yang harus dipenuhi oleh konstanta b1, b2, . . . , bm dalam sistem persamaan linier tersebut supaya sistem persamaan linier konsisten seperti dalam contoh berikut.
Contoh II.24Kondisi-kondisi apakah yang harus dipenuhi oleh b1, b2, dan b3, supaya sistem persamaan linier berikut konsisten.
x x x bx x bx x x b
1 2 3 1
1 3 2
1 2 3 3
2
2 3
Jawab :Sistem persamaan linier di atas dapat dituliskan dalam bentuk perkalian matriks AX = B dimana,
A
1 1 2
1 0 1
2 1 3X
x
x
x
1
2
3
B
b
b
b
1
2
3
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier tersebut adalah,1 1 2
1 0 1
2 1 3
1
2
3
b
b
b
Reduksi matriks yang diperbesar ini menjadi bentuk eselon baris tereduksi dengan menggunakan eliminiasi Gauss-Jordan
DND
36
1 1 2
1 0 1
2 1 3
1
2
3
b
b
b
O21(-1)»
O31(-2)
1 1 2
0 -1 -1
0 -1 -1
b
b b
b b
1
1 2
1 32
O2(-1)»
O3(-1)
1 1 2
0 1 1
0 1 1
b
b b
b b
1
1 2
1 32
O12(-1)»O32(1)
1 0 1
0 1 1
0 0 0
b
b b
b b b
2
1 2
1 2 3
Dari matriks yang terakhir baris terakhir, didapatkan bahwa sistem persamaan linier akan mempunyai pemecahan jika dan hanya jika b1, b2, dan b3, memenuhi kodisi,
b1 + b2 b3 = 0 atau b3 = b1 + b2
Dengan memasukan harga b3 ini ke dalam matriks B maka diperoleh bahwa AX = B konsisten jika dan hanya jika matriks B berbentuk,
B
b
b
b b
1
2
1 2
Contoh II.25Carilah kondisi-kondisi yang harus dipenuhi oleh b1, b2, dan b3, supaya sistem persamaan linier berikut konsisten.
x x x bx x x bx x x b
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 3 3
22 5 43 7 4
Jawab :Sistem persamaan linier di atas dapat dituliskan dalam bentuk perkalian matriks AX = B dimana,
A
1 2 1
2 5 4
3 7 4X
x
x
x
1
2
3
B
b
b
b
1
2
3
Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier tersebut adalah,
1 2 1
2 5 4
3 7 4
1
2
3
b
b
b
Reduksi matriks yang diperbesar ini menjadi bentuk eselon baris tereduksi dengan menggunakan eliminiasi Gauss-Jordan.
1 2 1
2 5 4
3 7 4
1
2
3
b
b
b
O21(-2)»
O31(-3)
1 2 1
0 1 6
0 1 7
2
3
1
1 2
1 3
b
b b
b b
O12(-2)»
O32-1)
DND
37
1 0 13
0 1 6
0 0 1
5 2
21 2
1 2
1 2 3
b b
b b
b b b
O31(13)»
O32(-6)
1 0 0
0 1
0 0
8 15 13
4 7 61 2 3
1 2 3
1 2 3
0
1
b b b
b b b
b b b
Dalam contoh ini tidak ada pembatasan pada b1, b2 dan b3, karena itu sistem persamaan linier di atas mempunyai pemecahan yang unik yaitu,
x b b bx b b bx b b b
1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
8 15 134 7 6
F. LATIHAN II.3Tentukanlah jawab dari sistem-sistem persamaan linier pada soal 1 sampai dengan 12 dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.
1.
2 3 15 7 3
x yx y
2.
2 4 103 6 15
x yx y
3.
x y zx y z
y z
3 52 4 11
3
4.
2 5 4 32 54 6 10
x y zx y zx y z
5.
2 3 62
4 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x xx x xx x x
6.
3 2 15 3 3 2
1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x xx x xx x x
7.
3 2 4 1
5 3 3 2
7 4 5 3
x y z
x y z
x y z
8.
3 2 4 15 3 3 27 4 5 3
0
x y zx y zx y zx y z
9.
3 2 5 13 2 2
6 4 3 7
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x x x xx x x xx x x x
10.
x x x xx x x xx x x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 52 2 27 7 3 3
DND
38
11.
2 4 327 2 9 143 11
4 2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x x x xx x x xx x x xx x x x
12.
x x x xx x x xx x xx x x x
1 2 3 4
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
7 9 44 4 72 3 0
2 4 6 6
Tentukanlah jawab dari sistem-sistem persamaan linier homogen pada soal 13 sampai dengan 17 dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.
13.
x y zx y z
y z
3 02 0
0.
14.
2 2 2 02 5 2 0
7 7 01
x y zx y z
x y z
.
15 6 2 02 4 0
..
x y zx y z
16 3 05 0
1 2 3 4
1 2 3 4
.
x x x xx x x x
17 2 4 05 2 02 2 03 2 02 0
1 2 3 4
1 2 3
2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
.
x x x xx x x
x x xx x xx x x x
18. Diketahui sistem persamaan linier berikut,
x y z ax y z bx y z c
2 32 6 11
2 7
Tentukan hubungan yang ada diantara a, b dan c sehingga sistem persamaan tersebut mempunyai jawab.
19. Diketahui sistem persamaan linier berikut,
(i)
kx y zx ky zx y kz
111
(ii)
x y kzx y z kx y z
23 4 22 3 1
Tentukan nilai k sehingga,(a) Sistem mempunyai jawab tunggal
DND
39
(b) Sistem mempunyai banyak jawab(c) Sistem tidak mempunyai jawab
20. Untuk nilai-nilai l yang manakah sistem persamaan berikut mempunyai jawab taktrivial?
( )( )
ll
3 03 0
x yx y
Dalam soal 2124, carilah kondisi-kondisi yang harus dipenuhi b agar sistem menjadi konsisten.
21 4 22
1
2
.
x y bx y b
22 33 3 92 2 6
1
2
3
.
x y z bx y z bx y z b
23 22 5 43 7 4
1 2 3 1
1 2 3 2
1 2 2 3
.
x x x bx x x bx x x b
24 2 35 22 2 3
3 3 4
1 2 3 4 1
1 2 3 4 2
1 2 2 4 3
1 2 3 4 4
.
x x x x bx x x x bx x x x bx x x x b
G. MATRIKS ELEMENTERDi awal bab ini telah diperkenalkan matriks satuan yaitu suatu matriks yang semua
komponen pada diagonal utamanya terdiri dari bilangan satu dan komponen lainnya terdiri dari nol seperti contoh di bawah ini.
. . .
. ....
. . . x
I
n n
n
1 0 0
0 1 0
0 0 1
....
.
.
.
Matriks satuan
Jika kita lakukan sebuah operasi baris elementer pada matriks satuan ini akan diperoleh matriks baru yang dinamakan matriks elementer.
Definisi : Sebuah matriks bujur sangkar (n x n) dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut diperoleh dengan melakukan sebuah operasi baris elementer pada matriks satuan n x n (In)
DND
40
Contoh II.26 Tinjaulah matriks satuan-matriks satuan berikut,
I2
1 0
0 1
I3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Lakukanlah operasi baris elementer O12 pada matriks satuan I2, operasi O31(3) pada matriks satuan I3 dan operasi O3(5) pada matriks satuan I4, maka akan diperoleh matriks-matriks elementer berikut.
I2
1 0
0 1
O12
»0 1
1 0
I3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
O13(3)»
1 0 3
0 1 0
0 0 1
I4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
O5(-5)»
1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 5 0
0 0 0 1
Teorema II.4Jika matriks elementer E dihasilkan dengan melakukan sebuah operasi baris elementer tertentu pada matriks satuan Im dan jika A adalah matriks m x n, maka matriks hasil kali EA akan sama dengan matriks yang diperoleh dengan melakukan operasi baris yang sama pada matriks A.
Contoh II.27Tinjaulah matriks A dan matriks elementer E berikut,
A
1 3 5
4 2 0
1 0 3
5 2 1
I
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Lakukan operasi baris elementer O31(4) pada matriks satuan I maka akan diperoleh matriks elementer E sebagai berikut,
I
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
O31(4)»
1 0 0 0
0 1 0 0
4 0 1 0
0 0 1
E
Kalikan matriks elementer E dengan matriks A, kemudian lakukan operasi O31(4) (operasi yang sama dengan operasi yang dilakukan pada I di atas) pada matriks A.
DND
Matriks elementer
Matriks elemeter
Matriks Elementer
41
EA
1 0 0 0
0 1 0 0
4 0 1 0
0 0 0 1
1 3 5
4 2 0
1 0 3
5 2 1
1 3 5
4 2 0
3 12 23
5 2 1
A
1 3 5
4 2 0
1 0 3
5 2 1
O31(4)»
1 3 5
4 2 0
3 12 23
5 2 1
Perkalian dan operasi baris elementer EA di atas menghasilkan matriks yang sama dengan operasi baris elementer O31(4) yang dilakukan terhadap matriks A.
Dari teorema II.4 dapat disimpulkan bahwa matriks yang dihasilkan oleh sejumlah operasi baris elementer terhadap suatu matriks A, sama dengan matriks yang dihasilkan oleh sejumlah perkalian matriks elementer dengan matriks A tersebut, dimana matriks elementernya diperoleh dengan melakukan operasi baris yang sama pada matriks satuan.
Contoh II. 28Diketahui matriks
A
1 0 2
2 1 0
2 1 3
Lakukan sejumlah operasi baris elementer pada matriks A1 0 2
2 1 0
2 1 3
O21(-2)»
1 0 2
0 1 4
2 1 3
O31(-2)»
1 0 2
0 1 4
0 1 7
O32(1)»
1 0 2
0 1 4
0 0 11
O3(1/11)
»
1 0 2
0 1 4
0 0 1
O23(-4)»
1 0 2
0 1 0
0 0 1
O13(2)»
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.................... (ó)
Setiap operasi baris di atas dioperasikan kembali pada matriks satuan 3 x 3, hasilnya adalah matriks elementer E1, E2, E3, E4, E5 dan E6 berikut,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
O21(-2)»
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1
E ;
1 0 0
0 1 0
0 0 1
O31(-2)»
1 0 0
0 1 0
2 0 1
2
E
1 0 0
0 1 0
0 0 1
O32(1)»
1 0 0
0 1 0
0 1 1
3
E ;
1 0 0
0 1 0
0 0 1
O3(1/11)
»1 0 0
0 1 0
0 0 1
11
4
E
1 0 0
0 1 0
0 0 1
O23(-4)»
1 0 0
0 1 4
0 0 1
5
E ;
1 0 0
0 1 0
0 0 1
O13(2)»
1 0 2
0 1 0
0 0 1
6
E
DND
Hasilnya sama
42
Sekarang kalikan matriks elementer E1 dengan matriks A, hasilnya kemudian dikalikan dengan matriks elamenter E2, hasil perkalian ini kemudian dikalikan lagi dengan matriks elementer E3,, hasil perkalian selanjutnya dikalikan dengan E4, selanjutnya dikalikan lagi dengan E5, dan terakhir,hasilnya dikalikan dengan E6. Hasil perkalian ini adalah sebagai berikut,
E A
E A
1
1
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1 0 2
2 1 0
2 1 3
1 0 2
0 1 4
2 1 3
E E A
E E A
2 1
2 1
1 0 0
0 1 0
2 0 1
1 0 2
0 1 4
2 1 3
1 0 2
0 1 4
0 1 7
( )
E E E A
E E E A
3 2 1
3 2 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
1 0 2
0 1 4
0 1 7
1 0 2
0 1 4
0 0 11
( )
E E E E A
E E E E A
4 3 2 1
4 3 2 1
1 0 0
0 1 0
0 0
1 0 2
0 1 4
0 0 11
1 0 2
0 1 4
0 0 11
11
( )
E E E E E A
E E E E E A
5 4 3 2 1
5 4 3 2 1
1 0 0
0 1 4
0 0 1
1 0 2
0 1 4
0 0 1
1 0 2
0 1 0
0 0 1
( )
E E E E E E A
E E E E E E A
6 5 4 3 2 1
6 5 4 3 2 1
1 0 2
0 1 0
0 0 1
1 0 2
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
( )
Hasil akhir adalah, E E E E E E A6 5 4 3 2 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
hasil ini sama dengan operasi baris elementer yang dilakukan pada matriks A seperti pada hasil (ó).
H. LATIHAN II.41. Tentukanlah matriks-matriks di bawah ini yang merupakan matriks elementer
DND
43
(a)
2 1
0 1
(b)
1 0
3 1
(c)
2 0
0 2
(d)
0 1 0
1 0 0
0 0 1
(e)
0 1 0
0 0 1
0 0 1
(f)
1 0 0
0 1 -3
0 0 1
(g)
1 0 0
0 1 0
0 1 1
0
0
0
0 0 0 1
(h)
1 0 0
0 1 0
0 1
0
0
0 5
0 0 0 1
(i)
1 0 0
0 1 0
0 1 1
0
0
0
10 0 0 1
2. Tentukanlah operasi baris matriks satuan yang menghasilkan matriks elementer berikut,
(a) 1 0
0 -5
(b) 1 0 -3
1 0
0 1
0
0
(c)
1 0 0
0 0 0
0 0 1
0 1 0 0
0
1
0
3. Diketahui matriks-matriks berikut,
A
1 2 3
4 5 6
7 8 9
B
7 8 9
4 5 6
1 2 3
C
1 2 3
4 5 6
9 12 15
Carilah E1, E2, E3, dan E4 sehingga,(a) E1 A = B, (b) E2 B = A, (c) E3 A = C, (d) E4C = A
4. Carilah matriks elemeneter E1 dan E2 sehingga E1 E2 A = I, di mana A
1 0
3 4
5. Nyatakanlah, A
1 3 3 8
2 5 1 8
0 1 7 8
dalam bentuk A = EFR, di mana E dan F adalah
matriks elementer, dan R adalah matriks eselon baris.
I. INVERS MATRIKS Dalam bagian A telah ditunjukkan bahwa dalam perkalian matriks, hukum komutatif
untuk perkalian tidak selalu berlaku. Salah satu berlakunya hukum komutatif dalam perkalian matriks adalah jika matriks keduanya merupakan kebalikan (invers) dari matriks yang pertama.
Definisi : Jika A adalah matriks bujursangkar, dan jika dapat dicari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B
DND
44
dinamakan invers (inverse) dari A.
Contoh II.29
Matriks B
11 2 2
4 0 1
6 1 1
adalah invers dari matriks A
1 0 2
2 1 3
4 1 8
karena,
AB I
1 0 2
2 1 3
4 1 8
11 2 2
4 0 1
6 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
BA I
11 2 2
4 0 1
6 1 1
1 0 2
2 1 3
4 1 8
1 0 0
0 1 0
0 0 1
DND
Jadi AB = BA = I