mecánica clásica i - u de c
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Captulo 1
Introduccion
Antes de comenzar, es util introducir primero algunos conceptos basicos:
Sistema de coordenada: Son construcciones puramente matematicas, utilizadas para la representacionde relaciones matematicas. Los valores medidos de las cantidades fsicas son independientes de la elec-cion del sistema coordenado, sin embargo, esta independencia, aunque logicamente necesaria, no tieneconsecuencias fsicas.
Sistema de referencia: Son fsicamente reales, y corresponden a un conjunto de instrumentos de medidadisenados para la determinacion de las cantidades fsicas. En el caso mas simple las medidas pueden serrealizadas con la ayuda de tres varillas metricas y un reloj.
Suceso: Cualquier cosa que ocurre en un punto del espacio en un instante dado.
Posicion: La posicion de un suceso queda operacionalmente definida por cuatro datos obtenidos pormediciones (~r, t) = {xi, t}. La posicion de una partcula es definida operacionalmente como un suceso.
Movimiento: El movimiento de una partcula es definido como un continuo de sucesos con respecto aun marco de referencia inercial OXi (i=1,2,3).
Figura 1.1: Movimiento de una particula.
Cinematica: La funcion de la cinematica es describir el movimiento de una partcula newtoniana enfuncion de su posicion, su velocidad y su aceleracion en el transcurso del tiempo. Su objetivo es encontrar
1
-
la ecuacion del movimiento que permita determinar la posicion de la partcula en cualquier instante detiempo.
1.1. Dinamica de la partcula
La funcion de la dinamica es describir el movimiento de una partcula newtoniana en funcion de lafuerza, su masa y su aceleracion.
Sea ~r el vector posicion de una partcula y ~v su velocidad:
~v =d~r
dt(1.1)
La mecanica de la partcula esta contenida en la Segunda Ley del movimiento de Newton, la cualestablece que existen sistemas de referencia en los que el movimiento de la partcula es descrito por laecuacion diferencial:
~F =d~p
dt=
d
dt(m~v) = m
d~v
dt= m~a (1.2)
donde ~p = m~v es el momentum lineal de la partcula y ~a =d2~r
dt2es la aceleracion de la partcula.
La ecuacion del movimiento, es la ecuacion diferencial de segundo orden que asume que ~F no dependede derivadas de alto orden.
La Segunda Ley de Newton es dada, en general, por:i
~Fi =i
~F(e)i +
~F(i)i = m~a
donde ~F ei son las fuerzas externas y~F ii las fuerzas internas.
Fuerzas activas: Son fuerzas externas conocidas, esto quiere decir que se conoce quien la ejerce.
Vnculos: Son modelos (lineas, superficies, etc), que representan a los cuerpos que limitan el movimientodel sistema en estudio.
Fuerza vincular: Fuerza que reemplaza al vnculo con su mismo efecto.
Diagrama de cuerpo libre: Diagrama del cuerpo sobre el cual se han dibujado todas las fuerzas externasaplicadas. Estas fuerzas externas incluyen fuerzas activas y reacciones vinculares.
Postulado: En ausencia de roce la reaccion vincular es perpendicular a la superficie vincular en elpunto de contacto.
Muchas conclusiones importantes de la mecanica pueden ser expresadas en forma de teoremas deconservacion:
Teorema: Si la suma de todas las fuerzas es cero, entonces el momentum ~p es conservado.
2
-
Dado quei
~Fi =d~p
dt, tenemos que si
i
~Fi = ~0
d~pdt
= 0 ~p = cte
Nota:
- ~p debe conservar su magnitud y direccion.
- En algunos problemas puede ocurrir que ~p no se conserva pero puede conservarse una de sus compo-nentes.
Teorema 2: Si la suma de todos los torques es cero, entonces el momentum angular es conservado.
Dado quei
~i =d~L
dt, tenemos que si
i
~i = ~0
d~L
dt= 0 ~L = cte
1.1.1. Trabajo y Energa
Sea ~F una fuerza aplicada sobre una partcula durante un intervalo de tiempo dt en el cual la partculaexperimenta un desplazamiento d~r sobre su trayectoria C.
Definicion: Se llama trabajo de una fuerza ~F , a la magnitud fsica escalar denotada por dW definidapor:
dW = ~F d~rWAB =
~F d~r
Para una masa constante, tenemos:
WAB =
BA
~F d~r = m BA
~a d~r = m BA
d~v
dt ~vdt
WAB = m
BA
d~v ~v = m2
BA
d(v2) =m
2(v2B v2A)
WAB = 12mv2B
1
2mv2A = KB KA
1.1.2. Fuerzas conservativas
Si un campo de fuerzas es tal que el trabajo WAB es el mismo para todos los caminos fsicamenteposibles entre los puntos A y B, entonces el campo de fuerzas es conservativo.
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-
Si el trabajo de una fuerza a los largo de un camino cerrado es cero, entonces la fuerza es conservativa,es decir:
W =
~F d~r = 0 (1.3)
Teorema: Si ~F es un campo de fuerzas conservativas entonces existe un campo escalar (~r) tal que:
~F = ~ (1.4)
es llamado campo potencial y las superficies = (~r) = cte se llaman superficies equipotenciales.
Prueba: Si ~F es conservativa, entonces:
W =
C
~F d~r = 0
Del teorema de Stokes sabemos: C
~F d~r =S
~ ~F d~s
W =C
~F d~r =S
~ ~F d~s = 0
Puesto que d~s es arbitrario, tenemos:~ ~F = 0
Del conocido resultado del calculo diferencial ~ ~() = 0, tenemos que:~F = ~()
1.2. Velocidad y aceleracion en coordenadas polares.
Figura 1.2: Movimiento descrito en coordenadas polares.
~r = rr
~v =d~r
dt=
d
dt(rr)
=dr
dtr + r
dr
dt
4
-
Sabemos que ~r = xi+ yj = r cosi+ r senj. Luego, podemos escribir:
r =~r
r= cosi+ senj
drd
= seni+ cosj =
Este resultado puede ser visto de la siguiente manera:
= || cos(90 )i+ || sen(90 )j
= seni+ cosj
Considerando lo anterior tenemos:dr
dt=
dr
d
d
dt=
dr
d
dr
dt= send
dti+ cos
d
dtj = ( seni+ cosj)d
dt=
~v = drdtr + r
dr
dt=dr
dtr + r
~v = rr + r (1.5)
Aceleracion:
~a =d~v
dt=
d
dt(rr + r) =
d
dt(rr) +
d
dt(r)
=dr
dtr + r
dr
dt+dr
dt+ r
d
dt+ r
d
dt
Dado que
d
dt= cosd
dti send
dtj = (cosi+ senj)d
dt= r = r
~a = drdtr + r() + r+ r+ r(r)
= rr + r+ + r r2 r
De modo que la aceleracion en coordenadas polares es:
~a = (r r2)r + (2r+ r) (1.6)
1.3. Rapidez areolar
Consideremos dos posiciones de la partcula en el instante t y t+t
Sea A el area que describe el vector posicion, cuando se mueve desde Q a Q. Del area de un trangulopodemos ver que:
5
-
Figura 1.3: Esquema para calcular la rapidez areolar.
A 12bh
b = r +r, h = h
A 12(r +r)h
h = r sen
A 12(r +r)r sen()
A =1
2[r2 sen() + rr sen()]
En el limite cuanto t 0 se tiene r 0 y sen()
A 12[r2 + rr]
Pero r 0A 1
2r2 (1.7)
La variacion del area barrida con respecto al tiempo es llamada rapidez areoral. As:
VA = lmt0
A
t=dA
dt(1.8)
lm0
A
t= lm
t0
12r
2
t=
1
2r2 lm
t0
t=
1
2r2
De manera que la rapidez areolar es:
VA =1
2r2 (1.9)
6
-
Captulo 2
Movimiento producido por una
fuerza central
Una fuerza central es de la forma ~F = f(r)r, es decir es un tipo de fuerza cuya direccion pasa siemprepor un punto fijo O, y cuya magnitud solo es funcion de la distancia a O.
Figura 2.1: Esquema de una fuerza central.
Fsicamente, tal fuerza representa una atraccion si f(r) < 0 o una repulsion cuando f(r) > 0 desde unpunto fijo situado en el origen r = 0.
Teorema: Las fuerzas centrales son fuerzas conservativas.
Prueba: Una fuerza es conservativa si existe una funcion escalar V tal que:
~F = ~V
Es decir si:~ ~F = ~ ~V = 0
De modo que si ~F es conservativa, entonces ~ ~F = 0.
En nuestro caso~F = f(r)r
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-
Calculemos ~ ~F :
~ ~F = 1r
r r 0
r
0
f(r) 0 0
= 0
Esto implica que las fuerzas centrales son conservativas y por lo tanto existe un potencial V (r) dadopor:
~F = ~V/ d~r~F d~r = ~V d~r = dV
V (r) =
~F d~r
Teorema: Si un movimiento central se conserva la energa mecanica es:
E = K + V = cte
Prueba: Dado que una fuerza central es conservativa:
V = ba
~F d~r
Y puesto que W = ba~F d~r = K V = ba ~F d~r = W = K V = K K +V = 0 K + V = K0 + V0 E = E0
Teorema: Un movimiento central es un movimiento plano
Prueba: Si ~L0 es el momentum angular con respecto a un eje que pasa por O entonces:
~0 =d~L0dt
es el torque con respecto al mismo eje.
Por otro lado, el torque producto de una fuerza ~F es ~0 = ~r ~F , donde ~r es el vector posicion desdeel eje de giro al punto de aplicacion de la fuerza:
~0 = d~L0dt
= ~r ~F
Dado que ~r = rr y ~F = f(r)r
~r ~F = rr f(r)r = rf(r)r r = ~0
~0 = d~L0dt
= 0
~L0 = cte
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-
De modo que ~L0 se conserva en magnitud y direccion. Ademas sabemos que el momentum angular deuna partcula que posee momentum lineal ~p = m~v con respecto a un eje de giro que pasa por O es:
~L0 = ~r ~p = m~r ~v
Puesto que ~r y ~v definen un plano y que ~L0 = m~r ~v tenemos:
-~L0 es perpendicular al plano formado por ~r y ~v.
-Podemos concluir que ~L0 = cte nos dice que ~r y ~v estan permanentemente en un plano.
-Por lo tanto, un movimiento central es un movimiento plano.
2.1. Ecuacion de Binet para la aceleracion en un movimiento
central
En la descripcion de un movimiento central es conveniente usar coordenadas polares.
Figura 2.2: Esquema de un problema de fuerza central.
Hemos visto que la aceleracion ~a(t) en coordenadas polares es:
~a = (r r2)r + (2r+ r) = ar r + a
ar = r r2; a = 2r+ r = 12
d
dt(r2) =
2
r
d
dt(1
2r2) =
2
r
d
dtVA
donde, VA es la rapidez areolar.
Si el movimiento es central, entonces la aceleracion ~a esta dirigida hacia el polo, por lo tanto ~a es soloradial. Entonces a = 0.
~a = ~ar = (r r2)r
~a = 2r
d
dtVA = 0
dVAdt
= 0 VA = 12r2 = cte
VA =1
2r2 = cte (2.1)
En un movimiento central, la rapidez areolar es constante.
9
-
2.2. Ecuacion de Binet
Sea r = r() la ecuacion de la trayectoria. Su aceleracion es:
a = ar = r r2
Como el movimiento es central
VA =1
2r2 =
C
2 r2 = C = C
r2
Ahora, necesitamos conocer r.
Dado que r = r():
dr
dt=
dr
d
d
dt=
dr
d=
C
r2dr
d= C d(
1r )
d
r = C dd
(1
r
)
r = drdt
=dr
d
d
dt=
dr
d=
C
r2dr
d
r =C
r2d
d
[C d
d
(1
r
)]= C
2
r2d2
d2
(1
r
)r = C
2
r2d2
d2
(1
r
)
Determinemos ahora r2:
r2 = r
(C
r2
)2= r
C2
r4=
C2
r3
As:
a = r r2 = C2
r2d2
d2
(1
r
) C
2
r3= C
2
r2
[d2(1r
)d2
+1
r
]
a = C2
r2
[d2(1r
)d2
+1
r
]
La Segunda Ley de Newton es entonces:
~F = m~a = mar
~F = mC2
r2
[d2(1r
)d2
+1
r
]r
Hemos visto que r2 = C = cte. Tambien hemos visto que ~L0 es una constante del movimiento central.
~L0 = ~r ~p = m~r ~vpero ~v = ~ ~r
~L0 = m~r (~ ~r)
10
-
Sabemos que para ~A, ~B y ~C tres vectores tenemos:
~A ( ~B ~C) = ~B( ~A ~C) ~C( ~A ~B)
Por lo tanto podemos escribir la expresion anterior como:
~L0 = m[~(~r ~r) ~r(~r ~)]
Como ~r y ~ son perpendiculares entre s ~r ~ = 0, entonces:~L0 = mr
2~ L0 = mr2
pero = y L0 = mr2 = mC C = L0
m
~F = L20
mr2
[d2(1r
)d2
+1
r
]r (2.2)
Esta es la Ecuacion de Binet
2.3. Problema de Kepler
El problema de Kepler consiste en estudiar el movimiento de un objeto sometido a la accion de unafuerza central dependiente del inverso del cuadrado de la distancia.
De acuerdo con la Ley de Gravitacion Universal de Newton, tenemos:
~f(r) = f(r)r =kr2
r
f(r) =kr2
(2.3)
Dado que f(r) es sencilla, es conveniente usar la ecuacion de Binet:
f(r) =L20mr2
[d2(1r
)d2
+1
r
]=kr2
(2.4)
d2(1r
)d2
+1
r=
km
L2
Haciendo U = 1r tenemos:
d2U
d2+ U =
km
L2(2.5)
11
-
La solucion a esta ecuacion es dada por la suma de su solucion particular y homogenea:
U = Up + Uh (2.6)
Para la solucion particular, postulamos:Up = B
d2Upd2
= 0
(2.5) toma la forma:
0 +B =km
L2 B = km
L2
La solucion particular es:
Up =km
L2(2.7)
Para la ecuacion homogenea tenemos:
d2Uhd2
+ Uh = 0 (2.8)
cuya solucion es dada por:Uh() = A cos( 0)
La solucion de la ecuacion (2.5) es entonces dada por:
U() = A cos( 0) + mkL2
(2.9)
1r= A cos( 0) + mk
L2=
mk
L2
(1 +
AL2
mkcos( 0
)
r =L2
mk
1 + AL2
mk cos( 0)(2.10)
Si definimos p =L2
mky =
AL2
mk, tenemos
r =p
1 + cos( 0) (2.11)
Ubicando en forma apropiada el eje polar tenemos 0 = 0, entonces:
r =p
1 + cos()
que es la ecuacion focal de una seccion conica de parametro p y excentricidad .
12
-
2.3.1. Determinacion de en funcion de las constantes del movimiento
Puesto que el movimiento central es conservativo E = T +V = cte, donde T = 12mv2 con ~v = rr+r
la velocidad en coordenadas polares. Entonces:
v2 = ~v ~v = (rr + r) (rr + r) = r2 + r22
Por lo tanto la energa cinetica es:
T =1
2m(r2 + r22) (2.12)
Dado que:L = mr2
U =1
r
} = L
mr2=
L
mU2
r =dr
dt=
dr
d=
( 1r2
dr
d
)(r2) = r2 d
d
(1
r
) r = 1
U2dU
d= 1
U2L
mU2
dU
d= L
m
dU
d(2.13)
y por otro lado
r22 =1
U2L2
m2U4 =
L2
m2U2 (2.14)
Luego, la energa cinetica es:
T =1
2m
[L2
m2
(dU
d
)2+
L2
m2U2]=
L2
2m
[(dU
d
)2+ U2
]
T =L2
2m
[(dU
d
)2+ U2
](2.15)
pero
U =1
r=
1 + cos
p=
1
p+
pcos (2.16)
dU
d=
psin (2.17)
Introduciendo (2.16) y (2.17) en (2.15) tenemos que la energa cinetica es dada por
T =L2
2m
[2
p2sin2 +
(1
p+
pcos
)2]=
L2
2m
[2
p2sin2 +
1
p2+
2
p2cos+
2
p2cos2
]=
L2
2m
[2
p2(sin2 + cos2 ) +
1
p+
2
p2cos
] T = L
2
2m
[2
p2+
1
p2+
2
p2cos
](2.18)
Pero dado que p =L2
mk, obtenemos:
T =L2
2mp2(2 + 1 + 2 cos) =
L2m2k2
2mL4(1 + 2 cos+ 2)
13
-
T =k2m
2L2(1 + 2 cos+ 2) (2.19)
Determinemos ahora la energa potencial. Puesto que la fuerza central es conservativa, tenemos:
~F = ~V/ ~r dV = ~F d~r
V =
~F ~r = f(r)r drr =
f(r)drr r =
f(r)dr
pero sabemos que f(r) = kr2
V = f(r)dr =
kr2dr =
k
r2dr = k
dr
r2= k
r1
(1) = k
r
V = kr
(2.20)
pero1
r=
1 + cos
p, por lo que tenemos:
V = k(1 + cos
p
), con p =
L2
mk
V = k(1 + cosL2
mk
= k2m
L2(1 + cos)
V = k2m
L2(1 + cos) (2.21)
As tenemos que la constante del movimiento E = T + V es dada por:
E =k2m
2L2(1 + 2 cos+ 2) k
2m
L2(1 + cos)
=k2m
2L2(1 +
2 cos+ 2 22 cos)
=k2m
2L2(2 1)
E =k2m
2L2(2 1) 2 = 1 + 2EL
2
mk2
De manera que
=
1 +
2EL2
mk2(2.22)
De acuerdo a los valores de tenemos que la trayectoria puede ser parabolica, elptica o hiperbolica.
Si k > 0 V > 0: Repulsion E > 0: HiperbolaSi k < 0 V < 0: Atraccion Si E > 0 T > |V | : Hiperbola
Si E > 0 T < |V | : Elipse
Orbita Energa > 1 Hiperbola E > 0 = 1 Parabola E = 0 < 1 Elipse E < 0
= 0 Circunferencia E = mk2
2L2< 0
14
-
2.3.2. Leyes de Kepler
Primer Ley: Los planetas describen orbitas elpticas en torno del sol, el cual se encuentra fijo en unfoco de la elipse (E < 0)
Segunda Ley: La rapidez areolar es constante (L = cte)
Tercer Ley:2
R3=
2
R3 : Perodo del movimiento
Es conveniente insistir que en un movimiento central el momentum angular con respecto a cualquier ejeque pasa por el centro de fuerzas es constante. La importancia del momentum angular se debe precisamenteal gran numero de fuerzas centrales que aparecen en Fsica.
Es conveniente usar coordenadas polares (r, ) y la formula de Binet en los casos en que r y estanrelacionados de una forma sencilla.
Cuando r = r() es una funcion complicada, es conveniente usar coordenadas polares (r, ) y elprincipio de conservacion de la energa.
2.4. Principio de conservacion de la Energa y el momentum
angular
El movimiento central es una movimiento plano que satisface dos ecuaciones diferentes con sus respec-tivas condiciones iniciales. Tomando coordenadas polares (r, ) en el plano del movimiento, las ecuacionesdel movimiento son:
~F = m~a
donde~a = (r r2)r + (2r+ r); ~F = f(r)r f(r)r = m(r r2)r +m(2r+ r)
mr mr2 = f(r)
mr + 2mr = 0
Ecuaciones del movimientoDe la segunda ecuacion tenemos:
mr + 2mr = 0 / rmr2+ 2mrr = m(r2+ 2rr)
= md
dt(r2) = 0
Por lo que la segunda ecuacion es equivalente a:
d
dt(mr2) = 0
dado que ~L0 = m~r ~v = mr2~ = mr2 L0 = mr2
15
-
ddt(mr2) =
dL0dt
= 0
dL0dt
= 0 (2.23)
Integrando esta ecuacion se obtiene la integral del momentum de las ecuaciones del movimiento
L0 = mr2 = cte (2.24)
De la ecuacion (2.2) tenemos que cuando r = r()
f(r) = L20
mr2
[d2(1r )
d2+
1
r
](2.25)
Si r = r() es complicada, es aconsejable usar el principio de conservacion de la energa
E = T + V =1
2mr2 +
1
2mr22 + V (r) = cte (2.26)
De (2.24)
=L
mr2 2 = L
2
m2r4(2.27)
Introduciendo (2.27) en (2.26) tenemos:
1
2mr2 +
L2
2mr2+ V (r) = E (2.28)
Ahora, dado que r = r()
r = dr
d r2 = 2
(dr
d
)2=
L2
m2r4
(dr
d
)2
12m
L2
m2r4
(dr
d
)2+
L2
2mr2+ V (r) = E
L2
2mr4
[(dr
d
)2+ r2
]+ V (r) = E (2.29)
As tenemos que conocidas las condiciones iniciales L y E puede, en principio, ser determinada r = r().
2.5. Ecuaciones parametricas de la trayectoria
Las ecuaciones de la trayectoria para un movimiento central son
L = mr2 (2.30)
E =1
2mr +
L2
2mr2+ V (r) (2.31)
16
-
Resolviendo (2.30) sujeta a la condicion que para t = 0; (0) = 0: en efecto
=L
mr2 d
dt=
L
mr2 d = L
mr2dt
0
d =L
m
t0
dt
r2(t)
= 0 + Lm
t0
dt
r(t)(2.32)
Resolviendo (2.31) sujeta a la condicion que para t = 0; r(0) = r0: en efecto(dr
dt
)2=
2
m(E V ) L
2
m2r3 dr
dt=
2
m(E V ) L
2
m2r3
dt =dr
2m (E V ) L
2
m2r3
de modo que t0
dt =
rr0
dr2m (E V ) L
2
m2r3
t =
rr0
dr2m (E V ) L
2
m2r3
(2.33)
Se tiene as la solucion de las ecuaciones del movimiento en funcion de cuatro constantes L, E, r0 y0.
2.6. El problema unidimensional equivalente
Aunque el problema ha quedado resuelto, en la practica las integrales (2.32) y (2.33) en general sonpoco manejables y en cualquier caso concreto resulta con frecuencia mas comodo realizar la integracionde otra forma.
Antes de obtener soluciones para leyes especficas, es de alto interes estudiar el movimiento en el casogeneral, es decir sin hacer uso de una determinada ley de fuerzas, basados solo en las ecuaciones delmovimiento y de los teoremas de conservacion, sin tratar de obtener soluciones explcitas.
Movimiento unidimensional: Este tipo de movimiento se obtiene cuando ~F es solo funcion de la coor-denada x:
F (x) = mdv
dt
Si F (x) es conservativa, entonces la energa mecanica se conserva:
E = T + V
donde T = 12mv2 y V = F (x)dx
12mv2 + V (x) = E (2.34)
17
-
v2 =2
m(E V ) v = dx
dt=
2
m(E V )
dt = dx2m (E V )
t =
xx0
dx2m (E V )
(2.35)
2.6.1. Problema unidimensional equivalente
Comparando (2.34) con la ecuacion (2.28) vemos que nuestro metodo basado en la ecuacion (2.28)es analogo al metodo del problema unidimensional. Esto puede ser visto definiendo el llamado PotencialEfectivo:
Vef = V (r) +L2
2mr2(2.36)
El termino Vc =L2
2mr2es la energia potencial asociada a la fuerza centrfuga y es llamada Potencial
Centrfugo.
Vc =L2
2mr2 Fc = Vc
r= 2L
2
2mr3=
(mr2)2
mr3=m2r42
mr3
Fc = mr2 = mr2 = mr
v2
r2= m
v2
rFc = mac
donde ac =v2
r es la aceleracion centrfuga. Esta es la razon del nombre de Vc.
La barrera centfuga Vc =L2
2mr2es parte de la energa cinetica. No es energa portencial en el sentido
usual.
2.6.2. Lmite de la region del movimiento
Los lmites de la region del movimiento son los valores de r para los cuales se cumple
E = Vef = V (r) +L2
2mr2(2.37)
En los lmites de la region E = Vef , se cumple r = 0. Esto nos dice que r = 0 define un punto deretorno de la trayectoria.
Si existe un valor mnimo de r, es decir si existe un rmin tal que r rmin, entonces el movimiento esinfinito, es decir la trayectoria comienza y termina en el infinito
Si existe rmin y rmax, es decir rmin r rmax, entonces el movimiento es finito, lo cual no significaque la trayectoria sea cerrada.
18
-
Figura 2.3: Lmites de la region de movimiento.
Ejemplo: Examinar el caso de una fuerza atractiva inversamente proporcional al cuadrado de la dis-tancia:
f(r) = kr2, con k > 0
Solucion: Puesto que f(r) = kr2 V (r) = k
r, tenemos
Vef = V (r) +L2
2mr2= k
r+
L2
2mr2
12mr2 + Vef = E
El analisis es llevado a cabo considerando un valor fijo de L y se hace variar E.
El analisis cualitativo se hara sobre un grafico Vef v/s r que se construye trazando separadamente las
curvas kry
L2
2mr2, obteniendo Vef sumando dichas curvas.
A partir de este grafico es posible obtener una descripcion cualitativa de los posibles movimientos.
La barrera centrfuga Vc(r) impide que la partcula caiga al centro de fuerzas cualquiera que sea laenerga.
Esta barrera es repulsiva siempre que L 6= 0.
Tenemos que E = Tr + Vef y Tr =1
2mr2 0. El movimiento no es posible si Tr < 0. Una region para
la cual Tr < 0 define una region prohibida para el movimiento de una partcula.
La distancia entre E y V (r) es:
E =1
2mr2 +
L2
2mr2+ V (r)
E V (r) = T = 12mr2 +
L2
2mr2
La distancia entre V y Vef es
Vef = V (r) +L2
2mr2
Vef V = L2
2mr2=
(mr2)2
2mr2=
1
2mr22
19
-
As estas curvas proporcionan el modulo de la velocidad de una partcula para cualquier distancia rcon una energa y momentum angular dado.
Caso de E1: Consideremos ahora el movimiento de una partcula de energa E1.
Tenemos E = E1 = cte, E1 > 0
E1 = T + V =1
2mr2 + Vef E1 Vef = 1
2mr2
en r = ra tenemos E1 = Vef de aqu vemos que cuando E1 > Vef se tiene ra < r E1 12mr2 < 0 lo cual correspondera a una velocidad
radial imaginaria.
Por otra parte, el valor de r no tiene lmite superior, por lo cual la orbita no es cerrada. Una partculaprocedente del infinito rebota en la barrera centrfuga dirigiendose de nuevo hacia el infinito.
La distancia entre E y Vef es1
2mr2, es decir
E Vef = 12mr2
esto es proporcional al cuadrado de la velocidad radial anulandose en el punto de retorno r = ra.
20
-
Caso de E2: Para el caso E2 = 0 en r2 tenemos Vef = 0.
E Vef = 12mr2 = 0
Es decir existe un rmin tal que rmin = r2 r
-
El movimiento solo es posible para r =dr
dt= 0 r = cte: Ecuacion de la circunferencia.
La orbita es una circunferencia.
Problemas Resueltos
Fuerzas centrales: Lemniscata de Bernoulli.
Una partcula de masa m es atrada hacia un centro fijo de fuerzas que le genera una aceleracion
a =kr7
. En el instante t = 0 la partcula se encuentra a una distancia R del centro fijo y se mueve
perpendicularmente a la direccion R con una rapidez v(0) =
k
3R6.
a) Determinar la ecuacion de la trayectoria de la partcula.
b) Calcular el tiempo que tarda la partcula en llegar al centro fijo.
FaltaDibujo
Solucion:
~a(r) = kr7r
r(0) = R, ~v(0) ~r(0) = 0; ~v(0) =
k
3R6
a) Ecuacion de la trayectoria:
La ecuacion de Binet establece que
~F = mC2
r2
[d2(1r )
d2+
1
r
]r
22
-
donde ~F = m~a = m kr7r
mC2
r2
[d2(1r )
d2+
1
r
]r = m k
r7r
d2(1r )
d2+
1
r=
mk
mC2r7r2 =
k
C2r5
De manera qued2(1r )
d2+
1
r=
k
C2r5
donde C es una constante que debe ser determinada usando las condiciones iniciales.
La velocidad es dada por~v(t) = r(t)r + r(t)(t)
puesto que va =1
2r2 =
C
2 = C
r2
~v(t) = r(t)r + r(t) Cr2(t)
= r(t)r +C
r
De modo que
~v(0) = r(0)r +C
r(0) =
k
3R6
El problema establece que en t = 0 la partcula se mueve perpendicular a ~r(0) = Rr, luego r(0) = 0.As
C
r(0) =
k
3R6 C = r(0)
k
3R6= R
k
3R6=
k
3R4
C =
k
3R4
de manera que al reemplazar C en la ecuacion obtenida a partir de la ecuacion de Binet es:
d2(1r )
d2+
1
r=
k
r53R4
k=
3R4
r5
d2(1r )
d2=
3R4
r5 1r
Resolvamos ahora la ecuacion. Sea U =1
r
d2U
d2= 3R4U5 U
Para resolver esta ecuacion es conveniente hacer la transformacion P =dU
d,
d2U
d2=
dP
d. Dado que
dP
d=
dP
dU
dU
d= P
dP
dUpodemos escribir nuestra ecuacion como:
PdP
dU= 3R4U5 U PdP = 3R4U5dU UdU
23
-
PdP =
3R4U5dU
UdU + cte
12P 2 =
3R4U6
6 1
2U2 + cte
P 2 = R4U6 U2 + cte
Determinemos ahora la cte con las condiciones iniciales:
P =dU
d=d(1r )
= 1
r2dr
d= 1
r2dr
dt
dt
d= 1
r2(drdt )
(ddt )
con lo cual la ecuacion anterior toma la forma:
P 2 = R4U6 U2 + cte 1r4
(r(t)
(t)
)2=
R4
r6 1r2
+ cte
En t = 0 tenemos:1
r4(0)
(r(0)
(0)
)2 =
R4
r6(0) 1r2(0)
+ cte
0 = 1R2
1R
+ cte cte = 0
De modo queP 2 = R4U6 U2
donde P =dU
d=
d(1r )
d= 1
r2dr
d
1r4
(dr
d
)2=
R4
r6 1r2
(dr
d
)2=
R4
r2 r2(
dr
d
)2=
R4 r4r2
drd
=
R4 r4r
ddr
=r
R4 r4
d = rdrR4 r4
de donde 0
d =
rdrR4 r4 + cte
pero rdrR4 r4 =
rdr
R21 ( r2R2 )2
Haciendo U =r2
R2 dU = 2rdr
R2 rdr = 1
2R2dU
rdr
R21 ( r2R2 )2
=1
2
dU1 U2 =
1
2arc senU
24
-
rdr
R21 ( r2R2 )2
=1
2arc sen
(r2
R2
)
Dado esto, nuestra ecuacion toma la forma
=1
2arc sen
(r2
R2
)+ cte
en t = 0, (0) = 0, r(0) = R
(0) = 12arc sen
(r2(0)
R2
)+ cte
0 =1
2arc sen
(R2)
R2
)+ cte
0 =1
2arc sen(1) + cte
0 =
4+ cte
cte = 4
As
=1
2arc sen
(r2
R2
)
4 2 = arc sen
(r2
R2
)
2
arc sen(r2
R2
)= 2+
2= r
2
R2= sen(2+
2)
de donder2 = R2 cos(2)
la cual es una curva conocida como Lemniscata de Bernoulli
FALTADIBUJO
b) Tiempo que tarda la partcula en llegar al centro fijo: t =? para r = 0
En la parte anterior al sustituir en la ecuacion de Binet y realizar un cambio de variable se obtuvo lasiguiente ecuacion:
1
r4
(r(t)
(t)
)2=R4
r6 1r2 1
(dr
dt
)2=
R4
r2 r2
(dr
dt
)2= 2
(R4
r2 r2
)=
C2
r4
(R4
r2 r2
)donde C2 =
k
3R4 (dr
dt
)2=
k
3R4r4
(R4
r2 r2
)=
k
3R4
(R4 r4
r6
)
drdt
= 1R2
k
3
R4 r4r3
ya quedr
dt< 0, pues r(t) va decreciendo.
r3dr
R4 r4 = 1
R2
k
3dt
25
-
r3drR4 r4 =
1
R2
k
3
dt
Resolvamos la primera integral. Sea U = R4 r4 dU = 4r3dr r3dr = 14dU
r3drR4 r4 =
1
4
dUU
= 14
U
1
2 dU = 12
U
r3drR4 r4 =
1
2
R4 r4
De modo que nuestra ecuacion toma la forma:r3drR4 r4 =
1
R2
k
3
dt 1
2
R4 r4 = 1
R2
k
3t+ cte
en t = 0, r(0) = R por lo que
12
R4 R4 = 1
R2
k
3 0 + cte cte = 0
De manera que
1
2
R4 r4 = 1
R2
k
3t
de donde
t =R2
2
3
k
R4 r4
Por lo tanto, el tiempo para que la partcula llegue a r = 0 es:
T =R2
2
3
k
R4 0 = R
4
2
3
k
T = R4
2
3
k
Orbitas hiperbolicas. Problema de Rutherord. Seccion eficaz de dispersion.
Las orbitas hiperbolicas tienen interes en relacion con el movimiento de partculas alrededor del Solprovenientes del espacio exterior o que escapan a el, y en relacion tambien con los choques de dos partculascargadas. Si una partcula ligera de carga q1 encuentra a otra pesada de carga q2 en reposo, la primeraseguira una trayectoria hiperbolica, de acuerdo a lo dicho antes, a saber que si k > 0 la trayectoria es larama negativa de la hiperbola.
En el caso de colisiones entre partculas atomicas, la region en la cual la trayectoria se desvia, pasandode una asntota a otra, es muy pequena (algunos angstroms o menos) y la magnitud que se observa esel angulo de dispersion entre las trayectorias de la partcula incidente antes y despues del choque. Lasiguiente figura corresponde al caso de un centro de fuerza repulsiva F pero sirve tambien para el caso deun centro atractivo F .
Hemos dicho que el angulo de dispersion o angulo de Scattering es el formado por las direccionesasintoticas inicial y final de la partcula.
26
-
Para poder visualizar mejor el problema es conveniente rotar los ejes de modo que el eje x pase por lainterseccion de las dos asntotas.
Dado que hemos supuesto un centro de fuerza repulsivo ubicado en F , la energa es positiva, lo queimplica que la trayectoria de la partcula corresponde a la rama negativa de una hiperbola tal que el centrode fuerzas esta en su foco exterior.
Determinemos el angulo de dispersion en funcion de las constantes del movimiento.
El angulo de Scattering esta relacionado con de la forma:
2+ =
= 2
De modo que :
tan
2= tan
(2
)= cotg
27
-
Por otro lado hemos dicho que cos = 1y para la rama negativa cos =
1
. Luego:
cotg =cos
sen=
+1/1 12
=+1/
1
2 1 = +(
2 1)1/2
De modo que:
tan
2= +(2 1)1/2
Pero 2 = 1 +2EL2
mk2
Lo que implica que:
tan
2= cotg =
(1 +
2EL2
mk2 1)1/2
tan
2=
(mk2
2EL2
)1/2
De modo que el angulo de Scattering en funcion de las constantes del movimiento viene dado por:
= 2 arctan
(mk2
2EL2
)1/2
Supongamos que la partcula tiene una velocidad inicial v0, en una direccion tal que, sino se desviara,pasara a una distancia S del centro de fuerzas. La magnitud S se denomina parametro de impacto.De modo que definimos el parametro de impacto como la distancia mnima S a la que la partcula seaproximara al centro de fuerzas si no existiera dicho centro de fuerzas.
Probaremos ahora que el parametro de impacto S corresponde al semieje menor b de la hiperbola.
Dado que es el angulo entre la direccion inicial y la final y el angulo que forma la asntota con eleje x, se tiene que = para r y = 2.
La ecuacion de la rama negativa de la hiperbola es:
r =a(2 1)1 + cos
De aqutenemos que cuando r ,
1 + cos = a(2 1)
r = 0
cos = 1
De modo que el angulo viene dado por:
= arc cos
(1
)
28
-
Por otro lado de la figura 2+ = = 2
2de manera que:
cos = cos
(
2
2
)= sen
(
2
)
Luego el angulo de Scattering en funcion de la exentricidad es:
sen
2=
1
Encontremos ahora la relacion entre el parametro de impacto S y el eje menor b de la hiperbola.
De la figura vemos que:
sen =S
a
LuegoS = a sen
Por otra parte
sen =b
a2 + b2 b =
a2 + b2 sen
pero como
=
1 +
b2
a2=
a2 + b2
a2=
1
a
a2 + b2
tenemos: a2 + b2 = a
b = a sen
De este modo queda probado que el parametro de impacto S corresponde al semieje mayor de lahiperbola.
Es facil calcular la energa y el momentum angular en funcion de la velocidad inicial v0 y del parametrode impacto S.
Si la velocidad inicial es v0, entonces la energa mecanica que se conserva es:
E =1
2mv20 = cte
Por otro lado de la figura vemos que:~L = m~r ~v
|~L| = mrv0 senpero
sen =S
r= sen(180 ) = sen
De modo que el momento angular en funcion de la velocidad inicial y del parametro de impacto es:
|~L| = L = mrv0Sr= mv0S
29
-
De manera que las condiciones inicales del problema o las constantes del movimiento vienen dadaspor:
E =1
2mv20
|~L| = L = mv0S
Con estas ecuaciones tenemos la especificacion total del problema porque todos los parametros estandeterminados.
Ademas de estas ecuaciones se deduce que el parametro de impacto fija el valor del momento angular,de modo que podemos obtener una relacion entre el angulo de Scattering, la velocidad inicial y el parametrode impacto.
tan
2=
(mk2
2EL2
)1/2=
(mk
2
21
2mv
20m
2v20S2
)1/2=
(k2
m2v40S2
)1/2=
|k|mv20S
tan
2=
|k|mv20S
Ademas podemos ver que:
tan
2=
(mk2
2Em2 2Em S2
)1/2=
K
2E
1
S
S = K2E
cotg
2
Otra forma de encontrar la relacion S = S() es, dado que:
=
1 +
b2
a2 b2 = a2(2 1)
y que:
=1
sen 2
a =k
2E
Tenemos que:
b2 =
(k
2E
)2(1
sen2 2 1)=
(k
2E
)2(1 sen2 2sen2 2
)
b2 =
(k
2E
)2 cos2 2sen2 2
=
(k
2E
)2cotg2
2
Pero b = S de modo que:
S =k
2Ecotg
2
30
-
Captulo 3
Fsica de la Tierra en movimiento
Consideremos la Tierra:
Modelo: El planeta es una esfera rgida de radio R animada de movimiento y rotacion puro en tornodel eje polar con velocidad angular ~.
Problema: Estudiar el movimiento de una partcula de masa m en un lugar de latitud y en lasproximidades de la superficie terrestre.
Sea OXY Z un MRI. En el es valida la Segunda Ley de Newton ~F = m~a. OXY Z es util solo como
referencia debido a que no podemos hacer observaciones directas respecto de el. Estamos obligados a usarun MR no I fijo a la Tierra en movimiento.
Sea OXY Z. Estudiemos la segunda Ley de Newton en OXY Z
Sabemos que:~a = a0 + ~ ~r + ~ ~ ~r + 2~ ~v + ~a
31
-
De donde podemos escribir:
m~a = ma0 +m~ ~r +m~ ~ ~r + 2m~ ~v +m~a
m~a = m~ama0 m~ ~r m~ ~ ~r 2m~ ~v
Conclusion: La Segunda Ley de Newton no es valida en el marco de referencia no inercial.
Resultado: Si definimos las fuerzas inerciales i(~)
1 = ma02 = m~ ~r
3 = m~ ~ ~r
4 = 2m~ ~r
Y como ~F = m~a podemos escribir:
m~a = ~F + ~1 + ~2 + ~3 + ~4
Que tiene la forma
~F = m~a de la Segunda Ley de Newton.
3.1. Criterio sobre la realidad fsica de las fuerzas inerciales.
Una magnitud fsica tiene realidad fsica si se pueden dar, por lo menos dos definiciones operacionalesindependientes que induzcan a un mismo valor numerico de dicha magnitud fsica. Este no es el caso delas fuerzas. inerciales
En nuestro caso, tenemos:0 0 ~a0 = ~0~ = cte ~ = ~0
Y tenemos ~a = ~a + ~ ~ ~r + 2~ ~v
~a = ~a ~ ~ ~r 2~ ~v
Si ~a es la aceleracion que experimenta un cuerpo debido a la atraccion gravitatoria ~g y a otras fuerzasactivas, entonces podemos escribir la Segunda Ley de Newton con respecto a OXY Z como:
m~a = ~F +m~g
Luego ~a =~Fm + ~g, de modo que con respecto al sistema O
XY Z
~F
m+ ~g = ~a + ~ ~ ~r + 2~ ~v
32
-
La aceleracon medida por un observador ubicado en O es:
~a =~F
m+ ~g ~ ~ ~r + 2~ ~v
Hemos definido ~gef = ~g ~ ~ ~r
En el caso de la Tierra = 7,29 105 rads . En aproximaciones de primer orden se hace 2 0. Luegoen aproximacion de primer orden:
~gef ~g
De modo que podemos escribir
~a =~F
m+ ~g 2~ ~v
que es la aceleracion debida a la atraccion terrestre y a otras fuerzas activas que actuan sobre lapartcula medida por un observador en el MR O
3.2. Integracion de las ecuaciones del movimiento en primera
aproximacion
Usando esta aproximacion elegimos O sobre la superficie de la Tierra y construimos un MR OXY Zcomo se indica en la figura siguiente:
La Segunda Ley de Newton establece que:
m~r = ~F +m~g 2m~ ~r
~r = xi+ yj + zk
~ = xi+ y j + zk
33
-
x = cosy = 0
z = sen
~ = cosi+ senk
~ ~r =i j k cos 0 senx y z
~ ~r = i(y sen) j(z cos x sen) + k(y cos)
Luego:2m~ ~r = 2my seni+ 2m(z cos+ x sen)j 2my cosk
De forma que la Segunda Ley de Newton establece que:
mxi+myj+mzk = Fx i+Fy j+Fz k+mgxi+mgy j+mgzk+2my seni2m(z cos+x sen)+2my cosk
Pero gx = 0 , gy = 0 y gz = g, entonces:
mxi+myj +mzk = (Fx + 2my sen)i+ (Fy 2m(z cos+ x sen))j + (Fz mg + 2my cos)k
As las ecuaciones del modelo para la descripcion del movimiento de un partcula en la vecindad de laTierra son en primera aproximacion:
mx = Fx + 2my sen
my = Fy 2m(z cos+ x sen)mz = Fz mg + 2my cos
Veamos el caso en que no despreciamos el termino ~ ~ ~r, es decir, 2 6= 0. Aqui la Segunda Leyde Newton se convierte en:
m~r = ~F +m~g m~ ~ ~r 2m~ ~r~ ~ ~r = 2 sen(x sen+ z cos)i 2yj 2 cos(x sen+ z cos)k
De modo que las ecuaciones del movimiento son:
mx = Fx + 2my senm2 sen(x sen + z cos)my = Fy 2m(z cos+ x sen)m2ymz = Fz mg + 2my cosm2 cos(x sen + z cos)
34
-
3.3. Movimiento de la partcula libre
Las ecuaciones del modelo para el movimiento de una partcula en la vecindad de la Tierra, son enprimera aproximacion:
mx = Fx + 2my sen
my = Fy 2m(z cos+ x sen)mz = Fz mg + 2my cos
Para la partcula libre tenemos Fx = Fy = Fz = 0. Sea ~v0 la velocidad inicial cuyas componentes son:
~v0 = v0x i+ v0y j + v0zk
De esta forma las ecuaciones se reducen a:
x = 2y sen (3.1)
y = 2(z cos+ x sen) (3.2)z = g + 2my cos (3.3)
Integrando entre 0 y t tenemos: t0
d
dt
(dx
dt
)dt = 2 sen
t0
dy
dtdt
t0
d
dt
(dy
dt
)dt = 2 sen
t0
dx
dtdt 2 cos
t0
dz
dtdt t
0
d
dt
(dz
dt
)dt = g
t0
dt+ 2m cos
t0
dy
dtdt
De modo que:
x(t) x(0) = 2y seny(t) y(0) = 2(x sen+ z cos)z(t) z(0) = gt+ 2y cos
Pero~v0 = v0x i+ v0y j + v0zk
Entonces
x = 2y sen+ v0x (3.4)
y = 2(x sen+ z cos) + v0y (3.5)z = gt+ 2y cos+ v0z (3.6)
Sustituyendo (3.4) y (3.5) en (3.2) tenemos:
y = 2[sen(2y sen+ v0x) + cos(gt+ 2y cos+ v0z)]y = 2[2y sen2 + v0x sen gt cos+ 2y cos2 + v0z cos]
35
-
y = 42y sen2 2v0x sen+ 2gt cos 42y cos2 2v0z cos
Recordando que en primera aproximacion tenemos:
y = 2v0x sen+ 2gt cos 2v0z cos t0
d
dt
(dy
dt
)dt = 2v0x sen
t0
+2g cos
t0
tdt 2v0z cos t0
y(t) y(0) = 2v0x sen t+ 2g cos t2 2v0z cos t
y(t) = v0y 2v0x sen t+ 2g cos t2 2v0z cos t/ t
0
y = v0yt t2v0x sen+ 13gt3 cos t2v0z cos+ ky
Finalmente:
y = v0yt t2 (v0x sen+ v0z cos) 13gt3 cos+ ky
Ahora evaluemos x:x = 2y sen+ v0x
x = 2 sen
(v0yt t2 (v0x sen+ v0z cos) 1
3gt3 cos+ ky
)+ v0x
x = v0x + 2v0yt sen 22t2 (v0x sen+ v0z cos) 232gt3 cos+ 2ky sen
En primera aproximacion 2 0:
x = v0x + 2v0yt sen+ 2ky sen
x = v0xt+ 2v0yt2 sen+ 2kyt sen+ kx
Ademas z = gt+ 2y cos+ v0z
z = v0z gt+ 2v0yt cos 22t2(v0x sen cos+ 2v0z cos
2 ) 2
32gt3 cos2 + 2ky cos
Pero 2 0z = v0z gt+ 2v0yt cos+ 2ky cos
z = v0zt 12gt2 + v0yt
2 cos+ 2kyt cos+ kz
Luego las ecuaciones para el movimiento de una partcula libre en las cercanias de la Tierra son:
x = v0xt+ 2v0yt2 sen+ 2kyt sen+ kx (3.7)
y = v0yt t2 (v0x sen+ v0z cos) 13gt3 cos+ ky (3.8)
z = v0zt 12gt2 + v0yt
2 cos+ 2kyt cos+ kz (3.9)
36
-
Problemas resueltos
Lanzamiento de un proyectil.
Un proyectil se dispara horizontalmente sobre la superficie de la Tierra. Demostrar que en primeraaproximacion, el angulo de desviacion con respecto a la direccion del disparo vara linealmente conel tiempo, siendo la constante de proporcionalidad igual a sen, donde es la rapidez angular de larotacion de la Tierra y la latitud del lugar del disparo.
Solucion: Analicemos el plano (N S)(E 0), la proyeccion es:
FIGURA
Recordemos que las ecuaciones para el movimiento de una partcula libre estan dadas por
x = v0xt+ 2v0yt2 sen+ 2kyt sen+ kx
y = v0yt t2 (v0x sen+ v0z cos) 13gt3 cos+ ky
z = v0zt 12gt2 + v0yt
2 cos+ 2kyt cos+ kz
Dado que el disparo es horizontal v0z = 0 y v0z , v0y 6= 0 y el valor de z no interesa, ya que estamosen el plano xy. Por otro lado en el caso del disparo de un proyectil los tiempo son cortos, por lo tantodespreciamos los terminos t3. Asi:
x = v0xt+ 2v0yt2 sen+ 2kyt sen+ kx
y = v0yt t2 (v0x sen+ v0z cos) + kyz = 1
2gt2 + v0yt
2 cos+ 2kyt cos+ kz
El origen del sistema coordenado es ubicado en el lugar de latitud , donde se ejecuta el disparo, porlo tanto:
x(0) = y(0) = 0
Aplicando estas condiciones iniciales tenemos:
x(0) = kx = 0
y(0) = ky = 0
De modo que las ecuaciones se convierten en:
x = v0xt+ t2v0y sen
y = v0yt t2v0x sen
Para analizar el problema es conveniente utilizar coordenadas polares. Consideremos el eje polar co-incidiendo con la direccion inicial del disparo. Sabemos que:
x = r cos
y = r sen
r =x2 + y237
-
De lo anterior vemos que r nos da la distancia al punto de lanzamiento del proyectil en cualquierinstante t, y:
tan =y
x
nos da el angulo de desviacion de la partcula con respecto a la direccion inicial del disparo.
En primera aproximacion tenemos 2 0, t3 0 y potencias mayores de t asi:
r =(v0xt+ t2v0y sen)2 + (v0yt t2v0x sen)2
r =v20xt
2 +((((((((2v0xt
3v0y sen+ 2t4v20y sen2 + v20yt
2 ((((((((
2v0yt3v0x sen+ 2t4v20x sen
2
r =(v20x + v
20y)t
2 + 2t4 sen2 (v0x2 + v20y)
Pero v20 = v20x + v
20y y en primera aproximacion
r = v0t
.
La magnitud del vector posicion ~r del proyectil crece con rapidez constante r = v0.
Veamos ahora el angulo de desviacion con respecto a la direccion inicial.
tan =y
x
tan =v0yt t2v0x senv0xt+ t2v0y sen
=v0y tv0x senv0x + tv0y sen
tan =v0y tv0x sen
v0x
(1 + t
v0yv0x
sen)
Esto puede ser escrito:
tan =(v0y tv0x sen)
v0x
(1
1 + tv0yv0x
sen
)
Por otro lado sabemos:
tan = +1
33 +
2
155...
1
1 + x= 1 x+ x2 ...
Con x = tv0yv0x
sen
+1
33 +
2
155 + ... =
v0y tv0x senv0x
(1 tv0y
v0xsen+ ...
)
Luego en primera aproximacion tenemos:
=v0y tv0x sen
v0x
38
-
De modo que la desviacion de la direccion en primera aproximacion es:
=v0yv0x
t sen
Ademas el vector posicion gira con rapidez:
= sen
Vectorialmente corresponde a:~ = ~ sen
Y dado que consideramos que ~ esta en rotacion antihoraria tenemos que el proyectil es desviado endireccion horaria en el hemisferio norte y en direccion antihoraria en el hemisferio sur.
Luego, por efecto de la rotacion de la Tierra el proyectil experimenta una pequena desviacion hacia laderecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur (Ley de Ferel).
Encontremos ahora la fuerza que experimenta el proyectil por efecto de la rotacion de la Tierra.
En primera aproximacion tenemos:
r = v0t
=v0yv0x
sen t
La aceleracion en coordenas polares viene dada por:
~a = (r r2)r + (2r+ r)
La aceleracion en la direccion radial es:
~ar = (r r2)r
La aceleracion normal a la direccion del movimiento es:
~a = (2r+ r)
Luego la fuerza lateral que desvia la partcula es:
~F = m~a = m(2r+ r)
En efecto:r = v0 r = 0
= sen = 0
De modo que:~ar = (v0t)(2 sin2 )r = 2v0t sen2 r~a = (2)(v0)( sen) = 2v0 sen
39
-
Finalmente la fuerza desviadora es:
~F = 2m sen
40
-
Captulo 4
Principio de los Trabajos Virtuales
Objeto: Suministrar una tecnica alternativa a las ecuaciones de Newton para resolver problemas deestatica.
Conceptos basicos: Los conceptos fundamentales, son Desplazamiento Virtual y Trabajo Virtual
4.1. Dezplazamiento Virtual
La posicion de una partcula en mecanica newtoniana, esta definida con relacion a un marco dereferencia inercial por 4 variables:
(xi, t) (x1, x2, x3, t) xi(t)
Figura 4.1: Desplazamiento de una partcula.
El desplazamiento de la partcula en un intervalo dt se representa por:
dxi = xi(t+t) xi(t)
Los mecanicistas encontraron conveniente imaginar, y por lo tanto definir, desplazamientos puramentegeometricos que se producen fuera del tiempo y que son conocidos como desplazamientos virtuales.
41
-
Para esto se utilizara la siguente notacion:
Desplazamiento fsico: dxi : d~x
Desplazamiento virtual: xi : ~x
Ejemplo: En la figura (4.2) el tornillo esta en equilib-rio. No tiene ningun grado de libertad, por lo tantono puede tener ningun desplazamiento dxi.Sin embargo, nada impide imaginar que el tornillo sepuede mover. Por ejemplo a las posiciones A o B.Estos desplazamientos xi(0 A), xi(0 B) sonejemplos de desplazamientos virtuales.
Figura 4.2: Desplazamiento virtual de un tornillo.
4.1.1. Clasificacion de los Desplazamientos Virtuales
Consideremos un cuerpo vinculado. Por ejemplo, el objeto A sobre una superficie horizontal H comomuestra la figura.
Figura 4.3: Esquema de desplazamientos de un cuerpo.
Hipotesis: Supongamos que el objeto A esta en reposo sobre la mesa horizontal H . Demos al objeto Ados desplazamientos virtuales sobre la mesa segun la direccion de la recta L. Sean ellos (A,B) y (A,C).Estos desplazamientos pueden tambien ser imaginados en el sentido inverso (B,A) y (C,A).
Ademas de estos desplazamientos podemos dar otros desplazamientos virtuales. Por ejemplo realicemos
42
-
un desplazamiento virtual (A,P ) que eleva el cuerpo por encima de la mesa, o podemos dar al objeto Ael desplazamiento (A,Q) para lo cual deberamos, en la practica, destruir la mesa.
Clasificacion:
- Desplazamientos virtuales compatibles con los vnculos: Son los desplazamientos virtuales que re-spetan la condicion de vnculo. Ejemplo: (A,B), (A,C)
- Desplazamientos virtuales incompatibles con los vnculos: Son los desplazamientos virtuales que norespetan la condicion de vnculo. Ejemplo: (A,P ), (A,Q)
Otra clasificacion de los desplazamientos virtuales en correspondencia con la anterior es:
- Desplazamientos virtuales invertibles: Son los desplazamientos virtuales que se pueden realizar enuno u otro sentido compatible con los vnculos.
Desplazamientos virtuales no inversibles: Son los desplazamientos virtuales que no se pueden realizarde manera inversa.
4.2. Trabajo Virtual
El trabajo realizado por una fuerza ~F en un desplazamiento d~x, esta dado por dW = ~F d~x. Encorrespondencia con la definicion anterior, se tiene:
El trabajo virtual W realizado por una fuerza ~F en un desplazamiento virtual ~x, esta dado por:
W = ~F ~x (4.1)
4.2.1. Partcula libre en equilibrio
Para una partcula libre es valido
Figura 4.4: Fuerzas actuando sobre una partcula libre.
i
~Fi = 0, i = 1, 2, 3...
Sean x1, x2, x3 tres escalares no nulos y construyamos el vector:
~xi (x1, x2, x3)
43
-
Entonces, para una partcula libre se tiene:
W =i
~Fi ~x = 0 (4.2)
El trabajo virtual de las fuerzas externas aplicadas sobre una partcula libre en equilibrio es igual acero, cualquiera que sea el desplazamiento virtual de la partcula.
4.2.2. Partcula vinculada en equilibrio
Figura 4.5: Esquema de una partcula bajo condiciones de vnculo.
Consideremos una partcula en equilibrio sometida a la accion de N fuerzas activas ~Fi y M reaccionesvinculares ~(p) en ausencia de roce ( = 0).
De la Primera Ley de Newton: i
~Fi +p
~(p) = 0 (4.3)
Si aplicamos a la partcula un desplazamiento virtual ~x, entonces el trabajo virtual es:
W =i
~Fi ~x+p
~(p) ~x = 0 (4.4)
Si definimos:W (i) =
i~Fi ~x: trabajo virtual realizado por fuerzas activas.
W (p) =
p~(p) ~x: trabajo virtual realizado por las reacciones vinculares.
Tenemos:
W = W (i) +W (p) = 0W (i) = W (p)
En general W (p) 6= 0
Consideremos el caso en que el trabajo virtual realizado por las reacciones vinculares sea igual acero.Para ello consideremos la siguiente situacion:
Por definicion, las reacciones vinculares vienen dadas por ~ = ~N + ~fr, donde ~N es la fuerza normal y~fr es la fuerza roce.
44
-
Figura 4.6: Diagrama de fuerzas vinculares.
En nuestro caso ~fr = 0~ = ~N
Por lo tanto la reaccion vincular es normal al vnculo.
De la figura vemos:
~x1: Paralelo a H compatible con el vnculo.
~x2: Perpendicular a H incompatible con el vnculo.
~x3: Arbitrario incompatible con el vnculo.
~x4: Arbitrario incompatible con el vnculo.
As, el trabajo virtual de la reaccion vincular debido a cada uno de estos desplazamientos es:
~x1 W = ~(p) ~x1 = |~(p)||~x1| cos(90) = 0~x2 W = (p) x 2 = |~(p)||~x2| cos(0) > 0~x3 W = ~(p) ~x3 = |~(p)||~x3| cos() > 0 0 < < 90
~x4 W = ~(p) ~x4 = |~(p)||~x4| cos() < 0 90 < < 180
El trabajo virtual realizado por las reacciones vinculares en ausencia de roce, puede ser cero, positivoo negativo.
El trabajo virtual es distinto de cero cuando los desplazamientos virtuales son incompatibles con losvnculos.
Por lo tanto, el trabajo virtual de las reacciones vinculares en ausencia de roce es cero para desplaza-mientos virtuales compatibles con los vnculos.
W (p) = 0 Desplazamientos virtuales compatibles con los vnculos.
W = W (i) + W (p) = 0 W (i) = W (p)
45
-
Teorema: El trabajo virtual de las fuerzas activas aplicadas sobre una partcula vinculada es iguala cero para desplazamientos virtuales compatibles con los vnculos.
Consideremos una partcula en equilibrio, sometida a la accion de N fuerzas activas ~Fi y M reaccionesvinculares ~(p) en presencia de roce ( 6= 0).
Cuando el roce esta presente, la reaccion vincular ~(p) ya no es mas perpendicular al vnculo.
Figura 4.7: Esquema de un cuerpo con roce como vnculo.
Al usar el principio de los trabajos virtuales, llamamos reaccion vincular a la normalN y consideramos
a la fuerza de roce como una fuerza activa.
4.3. Reacciones vinculares en el Principio de los Trabajos Vir-
tuales
Hipotesis: La reaccion vincular ~ es siempre perpendicular a la superficie de contacto (la superficiede contacto es el vnculo).
Supongamos que el vnculo es holonomo, es decir, el vnculo puede expresarse como una ecuacion deltipo:
f(~x) = 0
Un vector normal al vnculo es el gradiente de dicho vnculo, es decir ~f . Dado esto, la hipotesis puedeser expresada matematicamente como:
~ = ~f (4.5)donde ~ es la reaccion vincular normal a la superficie de contacto y es una constante dimensionada.
Para el caso de una partcula vinculada, es valido escribir
W = W (a) + W () = 0
Como:
W (a) = ~F ~xW () = ~ ~x = ~f ~x W = ~F ~x+ ~f ~x = 0
46
-
W = (~F + ~f) ~x = 0 (4.6)y puesto que por definicion de desplazamiento virtual ~x 6= ~0, tenemos:
~F + ~f = ~0donde
f(~x) = 0
con esto se soluciona el problema.
Veamos esto de la siguente forma. Consideremos ahora desplazamientos virtuales compatibles con losvnculos, en este caso tenemos:
W (a) = ~F ~x = 0W () = ~ ~x = ~f ~x = 0
Entonces el problema puede ser considerardo como:
~F ~x = 0 (4.7)~f ~x = 0 (4.8)
Sumando estas dos ecuaciones tenemos:
(~F + ~f) ~x = 0donde puede ser interpretado como un multiplicador de Lagrange.
~F ~x+ ~f ~x
F1x1 + F2x2 + F3x3 +
(f
x1x1 +
f
x2x2 +
f
x3x3
)= 0(
F1 + f
x1
)x1 +
(F2 +
f
x2
)x2 +
(F3 +
f
x3
)x3 = 0
Recordando la ecuacion de f(~x) y dado que (x1, x2, x3) es un sistema l.i. tenemos:
F1 + f
x1= 0
F2 + f
x2= 0
F3 + f
x3= 0
f(~x) = 0
Sistema de ecuaciones conocido al utilizar multiplicadores de Lagrange.
4.3.1. Teorema de Torricelli
Supongamos que todas las fuerzas activas son conservativas, entonces ~F = ~V , donde V es elpotencial del sistema.
dW = ~F d~x = ~V d~x = dV
47
-
dW = dV (4.9)
En el caso de los trabajos virtuales
W = ~F ~x = ~V ~x = V
Para un sistema sobre el que actuan fuerzas conservativas, se tiene:
W = V
pero dado que:
W =i
~Fi ~xi
es nulo para desplazamientos virtuales compatibles con los vnculos.
Entonces el principio de los trabajos virtuales para fuerzas conservativas puede ser establecido de laforma:
V = 0
Teorema de Torricelli: La energa potencial de un sistema de partculas en equilibrio, asume unvalor extremo (maximo, mnimo o punto de inflexion).
Analisis:
Equilibrio inestable: La partcula no retorna a su posicion original de equilibrio.
Figura 4.8: Partcula en equilibrio inestable.
Equilibrio indiferente: La partcula permanece en equilibrio en su nueva posicion.
Figura 4.9: Partcula en equilibrio indiferente.
Equilibrio estable: La partcula retorna a su posicion de equilibrio.
Figura 4.10: Partcula en equilibrio estable
48
-
4.4. Principio de DAlembert
Consideremos un sistema de N partculas sometidas a vnculos holonomos, pero que no estan enequilibrio por efecto de fuerzas externas ~Fi.
Si el sistema no esta en equilibrio, entonces dicho sistema es descrito por la Segunda Ley de Newton.Por ejemplo, para la i-esima partcula:
~Fi + ~i = mi ~xi
La pregunta es: Como aplicar la tecnologa del principio de los trabajos virtuales a un sistema queno esta en equilibrio?
La solucion a este problema, ideada inicialmente por Bernoulli y perfeccionada despues por DAlembert,radica en la definicion de fuerzas inerciales ~:
~i = mi ~xi
Entonces la Segunda Ley del movimiento de Newton toma la forma:
~Fi + ~i + ~i = ~0
Hemos cambiado de marco de referencia. Es decir, hemos pasado a un marco donde el sistema esta enequilibrio. Donde ~ aparece como una fuerza aplicada. Por lo tanto, el principio de los trabajos virtualeses aplicable.
Si damos al sistema un desplazamiento virtual ~x compatible con los vnculos, tenemos que el trabajovirtual es dado por:
W (i) = [ ~Fi + ~i + ~i] ~xi = 0y para el sistema
W =Ni
[ ~Fi + ~i + ~i] ~xi = 0
Dado que el desplazamiento virtual es compatible con los vnculos,tenemos:
~i ~xi = ~0 i
Ni
[ ~Fi + ~i] ~xi = 0
As, el principio de DAlembert puede escribirse como:
Ni
( ~Fi mi ~xi) ~xi = 0 (4.10)
49
-
Captulo 5
Vnculos, grados de libertad y
coordenadas generalizadas
La segunda ley de Newton para un sistema de partculas es:
m(i) ~xi =i
~Fi(I)
+i
~Fi(E)
Para resolver el problema es necesario conocer ademas de las fuerzas que actuan sobre las partculas,las ligaduras o vnculos.
Ligaduras o vnculos: Son modelos para describir cualquier objeto que restringe el movimiento de uncuerpo.
Ejemplos:
1) La partcula de masa m es un sistema vincula-do por los objetos cuerda y plano que restringen sumovimiento.
Figura 5.1: Ejemplo de partcula con vnculos.
2) Las moleculas de un gas en un deposito rgido es unsistema vinculado. El recipiente obliga a las molecu-las delgadas a moverse dentro del deposito.
Figura 5.2: Ejemplo de sistema de partculas convnculos.
50
-
3) La partcula P desliza sobre una esfera. Es unsistema vinculado. P esta obligada a moverse en elexterior de la esfera. El objeto esfera restringe elmovimiento del cuerpo.
Figura 5.3: Ejemplo de una partcula con un vnculos.
5.1. Clasificacion de los vnculos
- Vnculos Holonomos: Si las condiciones de ligadura pueden expresarse como ecuaciones que relacionanlas coordenadas de las partculas y el tiempo en la forma f( ~x1, ~x2, ~x3, ..., t) = 0 entonces los vnculos sonllamados vnculos holonomos.
- Vnculos Anholonomos: Si los vnculos no son suceptibles de expresarse en la forma f( ~x1, ~x2, ~x3, ..., t) =0 entonces son llamados vnculos anholonomos.
- Vnculos Escleronomos: Son vnculos que no dependen del tiempo.
- Vnculos Reonomos: Son vnculos que dependen explcitamente del tiempo.
Ejemplos:
1) Un ejemplo de vnculo holonomo es el de unapartcula obligada a moverse a lo largo de una curva,o bien sobre una superficie. La partcula esta obligadaa moverse sobre la circunferencia
x2 + y2 = L2
z = 0
}Vnculo holonomo escleronomo
Figura 5.4: El pendulo es un sistema con vnculosholonomos.
2) Partcula moviendose a lo largo de una circunfer-encia.
r = R , en(I)r > R , en(II)
}Vnculo anholonomo escleronomo
Figura 5.5: Una partcula puede poseer dos vinculosdistintos en dos instantes distintos.
51
-
5.2. Grados de libertad
Partcula libre: La partcula no esta vinculada, por lo tanto queda descrita por tres coordenadas. Dadoque no existe ninguna restriccion sobre x1, x2, x3, tenemos que la partcula tiene tres grados de libertad.
Figura 5.6: Esquema de una partcula libre.
Partcula vinculada:
a) Consideremos la partcula P que se mueve sobre un plano paralelo a x1, x2. Entonces existerestriccion sobre x3. Por lo tanto, la posicion queda descrita por:
Figura 5.7: Esquema de una partcula vinculada a un plano.
x1 : (,)x2 : (,)x3 = cte
Como existe un vnculo, entonces la partcula posee los tres grados de libertad inicial menos el numerode vnculos, que es uno. Esto es 3 1 = 2, por lo tanto la partcula posee dos grados de libertad.
b) Consideremos la partcula P en la interseccion de dos planos. Un plano paralelo a Ox1, x2 y unplano paralelo a Ox1, x3, la posicion queda descrita por
Como existen dos vnculos, entonces 3-2=1, la partcula posee un grado de libertad.
Se observa que el numero de grados de libertad de la partcula cumple con la relacion
3Numero de vnculos = Grados de libertad
Definicion: El numero de coordenadas independientes es el numero de grados de libertad.
52
-
Figura 5.8: Esquema de una partcula vinculada a la interseccionde dos planos.
x1 : (,)x2 : cte
x3 = cte
Consideremos un sistema de N partculas (i = 1, 2, ..., N) sometido a n vnculos holonomos (k =1, 2, ..., n), es decir, sometido a vinculos descritos por
fk(~xi) = 0
Para definir la configuracion del sistema necesitamos en principio 3N coordenadas (tres por cadapartcula). Pero tenemos n vnculos holonomos, expresadons mediante n ecuaciones que pueden ser usadaspara eliminar n de las 3N coordenadas. As, nos quedan 3N n coordenadas independientes. Entoncesel sistema tiene 3N n grados de libertad.
Sea f = 3N n los grados de libertad. Entonces de las 3N coordenadas ~xi existen f que son indepen-dientes.
Ejemplo: Una partcula se mueve sobre un plano
Ax+By + Cz + d = 0
x = By Cz DA
Por lo tanto la partcula queda en libertad de asumir cualquier valor de y y z. Entonces f = 3 1 = 2grados de libertad.
5.3. Coordenadas Generalizadas
Los vnculos introducen dos tipos de dificultades en la resolucion de los problemas mecanicos.
1) Las coordenadas ~xi dejan de ser todas independientes debido a que se hallan relacionadas mediantelas ecuaciones de vnculo. Entonces las ecuaciones de movimiento
mi ~xi =i
~Fi +i
~i
no son todas independientes.
2) Las fuerzas de ligadura no se conocen a priori.
53
-
5.3.1. Caso de ligaduras holonomas
La dificultad que producen los vnculos, al hacer que no todas las coordenadas ~xi sean independientes,puede ser solucionada por medio de la introduccion de coordenadas generalizadas.
Si tenemos un sistema con i = 1, 2, ..., N partculas sin ligadura, entonces tenemos 3N coordenadasindependientes, es decir 3N grados de libertad.
Si el sistema esta sometido a k = 1, 2, ..., n vnculos holonomos expresados mediante k = 1, 2, ..., necuaciones de la forma fk(~xi) = 0, entonces ellas pueden ser utilizadas para eliminar n de las 3N coor-denadas. Entonces nos quedan f = 3N n coordenadas independientes y diremos que el sistema tiene fgrados de libertad.
La eliminacion de las coordenadas dependientes pueden ser tambien expresadas de otra forma. In-troduciendo f = 3N n nuevas variables independientes q1, q2, ..., q3Nn = qf , designadas por qj , conj = 1, 2, ..., f , las cuales son conocidas como coordenadas generalizadas.
En funcion de las coordenadas ~xi tenemos que:
qj = qj(~xi) , j = 1, 2, ..., f = 3N n~xi = ~xi(qj)
Normalmente, las coordenadas generalizadas qi, al contrario de las coordenadas cartesianas, no puedendividirse en grupos de 3, suceptibles de asociarse para formar vectores.
Definicion: Si xr, r = 1, 2, ..., 3N son las coordenadas cartesianas de N partculas, las cuales estansometidas a n vnculos holonomos
(xr, t) = 0 , = 1, 2, ..., n (5.1)
Entonces solo 3N n de las 3N coordenadas xr son independientes. Esto nos permite elegir 3N nfunciones de los xr independientes
qs = qs(xr , t) , s = 1, 2, ..., 3N n (5.2)
Usando (5.1) podemos escribir cada xr como una funcion de las variables qs y del tiempo t:
xr = xr(q1, q2, ..., q3Nn, t) , r = 1, 2, ..., 3N (5.3)
En otras palabras, usando la representacion xr dada por (5.3), las ligaduras (5.1) son obedecidasidenticamente y las variables qs pueden ser tratadas como independientes.
Las variables qs son llamadas Coordenadas Generalizadas.
54
-
Captulo 6
Ecuaciones de Euler-Lagrange
Consideremos un sistema de s = 1, 2, ..., N partculas sometido a k vnculos. Apliquemos a este sistemael principio de DAlembert
W =
Ns=1
[F(s)i m(s)x(s)i ]x(s)i = 0 (6.1)
Si los vnculos son holonomos, entonces:
fk(x(s)i , t) = 0 (6.2)
fk(x(s)i , t) = 0 (6.3)
As tenemos el problema
W =Ns=1
[F(s)i m(s)x(s)i ]x(s)i = 0 (6.4)
con la condicionfk = 0 (6.5)
El problemaW (a) + W = 0
toma la formaNs=1
[F(s)i msx(s)i ]x(s)i +
nk=1
(k)f (k) = 0 (6.6)
donde
fk =
Ns=1
(s)i f (k)x(s)i (6.7)
Ns=1
[F(s)i m(s)x(s)i ]x(s)i +
nk=1
(k)Ns=1
(s)i f (k)x(s)i = 0
Ns=1
([F
(s)i m(s)x(s)i ] +
nk=1
(k)(s)i fk)x
(s)i = 0 (6.8)
55
-
Puesto que tenemos n vnculos holonomos y 3N coordenadas x(s)i entonces existen n coordenadas que
son dependientes de las otras, por lo tanto tenemos 3N n coordenadas independientes.
Eligiendo n parametros (k) asociados con las n coordenadas x(s)i dependientes de modo tal que n de
las ecuaciones (6.8) se anulen.
Por lo tanto nos quedan 3N n parentesis relacionados por medio de la ecuacion
[F(1)i +m
(1)x(1)i ]x
(1)i + ...+ [F
(p)i +m
(p)x(p)i ]x
(p)i = 0
Pero dado que los x(s)i son linealmente independientes, tenemos que cada parentesis es nulo:
F(j)i +m
(j)x(j)i = 0
As tenemos entonces 3N ecuaciones llamadas Ecuaciones de Lagrange de primera especie.
F(s)i +
nk=1
(k)(s)i f (k) m(s)x(s)i = 0
6.1. Ecuaciones de Lagrange de Segunda Especie
Consideremos el movimiento de un sistema de de N partculas sometidas a n vnculos holonomoscompatibles con los vnculos. Utilizando el princio de DAlembert:
Ns=1
[F(s)i m(s)x(s)i ]x(s)i = 0 (6.9)
Dado que tenemos 3N coordenadas y n vnculos holonomos, existen por lo tanto f = 3N n gradosde libertad.
Se define la configuacion del sistema por medio de f coordenadas generalizadas qj ; j = 1, 2, ..., f =3N n. Supongamos que las qj se han elejido de modo que:
qj = qj(xi, t)
xi = xi(qj , t)
xi(qk, t) = xiqk
qk (6.10)
xi =xiqk
qk +xit
(6.11)
Estudiemos ahora cada termino de la ecuaciones de DAlembert:
a) Fixi :
Fixi = Fixiqk
qk =
(Fixiqk
)qk
Por lo tanto, el trabajo virtual en funcion de las coordenadas generalizadas es dado por:
W = Fixi =
(Fixiqk
)qk (6.12)
56
-
La analogia formal entre los miembros de esta ecuacion nos conduce a definir el concepto de fuerzageneralizada Qk:
Qk = Fixiqk
(6.13)
Entonces el trabajo virtual expresado en funcion de las coordenadas generalizadas es:
W = Qkqk (6.14)
donde:
Qk: Fuerza generalizada correspondiente a la coordenada generalizada qk.
qk: Desplazamiento virtual generalizado.
De la misma manera que las coordenadas generalizadas qi, no necesitan ser longitudes (cartesianas),tampoco las fuerzas generalizadas necesitan tener las dimensiones de una fuerza, aunque el trabajo virtualgeneralizado debe tener siempre dimensiones de trabajo.
Qk tendra dimensiones de una fuerza solo si las qk son coordenadas cartesianas.
W = Fixi = Fixiqk
qk = Qkqk
b) Observemos ahora el termino m(s)x(s)i x
(s)i . Puesto que:
xi = xi(qj , t) xi = xiqk
qk
mxixi = mxi xiqk
qk (6.15)
Consideremos
xixiqk
=d
dt
(xixiqk
) xi d
dt
(xiqj
)
De (6.11) sabemos que:
xi =xiqk
qk +xit
/
qk
xiqk
=xiqk
(6.16)
xi xiqk
=d
dt
(xixiqk
) xi d
dt
(xiqk
)(6.17)
Haciendo (qk, t) =xiqk
, tenemos:
d
dt=
qjqj +
t
d
dt
(xiqj
)=
qk
(xiqj
)qk +
t
(xiqj
)d
dt
(xiqj
)=
2xiqkqj
qk +2xitqj
(6.18)
57
-
De (6.11) vemos que:
xi =xiqk
qk +xit
xiqj
=2xiqjqk
qk +2xiqjt
(6.19)
Del teorema de Schwarz:xiqj
=2xiqkqj
qk +2xitqj
(6.20)
De (6.18) y (6.20) tenemos:d
dt
(xiqj
)=
xiqj
(6.21)
Introduciendo (6.21) en (6.17) tenemos:
xixiqj
=d
dt
(xixiqj
) xi xi
qj(6.22)
Dado que:
qj(xixi) = xi
xiqj
+xiqj
xi = 2xixiqj
qj(xixi) = xi
xiqj
+xiqj
xi = 2xixiqj
Tenemos:
xixiqj
=d
dt
[1
2
qj(xixi)
] 1
2
qj(xixi) (6.23)
multiplicando por m(i)
m(i)xixiqj
=d
dt
[
qj
(1
2mxixi
)] qj
(1
2mxixi
)(6.24)
Se define la energa cinetica del sistema como:
T =1
2m(i)xixi (6.25)
Entonces (6.24) toma la forma:
m(i)xixiqj
=d
dt
qjT
qjT (6.26)
m(i)xixiqj
qj =
[d
dt
(T
qj
) Tqj
]qj = m
(i)xixi (6.27)
Reemplacemos ahora estos resultados en la ecuacion (6.9)
Ns=1
[F(s)i m(s)xi]x(s)i = 0
58
-
Para hacer el reemplazo es necesario hacer el cambio de notacion y escribirla en la forma:
[Fi mixi]xi = 0 (6.28)Fixi m(i)xixi = 0 (6.29)
Qkqk [d
dt
(T
qj
) Tqj
]qj = 0[
Qk ddt
(T
qj
)+
T
qj
]qj = 0 (6.30)
Y dado que los qj son linealmente independientes podemos escribir:
d
dt
(T
qj
) Tqj
= Qk j = 1, 2, ..., f = 3N n (6.31)
Estas ecuaciones son conocidas como ecuaciones de Lagrange de Segunda Especie. Estas ecuacionesno son otra cosa que el principio de DAlembert expresado en coordenadas generalizadas.
6.2. Funcion de Lagrange o Lagrangiano
Hemos visto que las ecuaciones de Lagrange de Segunda Especie estan dadas por:
d
dt
(T
qj
) Tqj
= Qk (6.32)
donde Qj = Fixiqj
Si Fi es una fuerza conservativa, entonces existe una funcion potencial V = V (xi), tal que:
Fi = ~iV (6.33)en este caso
Qj = ~iV xiqj
Vxi
xiqj
= Vqj
(6.34)
(6.32) toma la forma:d
dt
(T
qj
) Tqj
= Vqj
ddt
(T
qj
) Tqj
+V
qj= 0
d
dt
(T
qj
) qj
(T V ) = 0 (6.35)
Puesto que V = V (qj) y no depende de t ni de qj tenemos:
V
qj= 0
d
dt
(V
qj
)= 0
Esto nos permite escribir:d
dt
qj(T V )
qj(T V ) = 0 (6.36)
59
-
Definicion: Se define la funcion lagrangiana del sistema, conocida tambien como potencial cinetico osimplemente lagrangiano, como:
L = T V (6.37)
Con esta definicion, la ecuacion de Lagrange de Segunda Especie toma la forma:
d
dt
(L
qj
) Lqj
= 0 (6.38)
6.3. Potenciales generalizados
Las ecuaciones de Lagrange (6.38) son validas para sistemas conservativos, es decir, para el caso en
que Qj = Vqj
.
Sin embargo, las ecuaciones pueden ser aplicadas a sistemas no conservativos siempre que sea posiblehallar una funcion U llamado potencial generalizado, que satisfaga la condicion:
Qj = Uqj
+d
dt
U
qj(6.39)
En efecto, para un sistema no conservativo es valida la ecuacion:
d
dt
(T
qj
) Tqj
= Qj
Si existe un potencial U dependiente de la velocidad que satisface (6.39), entonces:
d
dt
(T
qj
) Tqj
= Uqj
+d
dt
U
qj
ddt
qj(T U)
qj(T U) = 0
Si definimos la funcion L = T U tenemos:d
dt
L
qj Lqj
= 0 (6.40)
Las ecuaciones tienen la misma forma que las ecuaciones de Lagrange para un sistema conservativo.U es llamado Potencial Generalizado o Potencial dependiente de la velocidad.
La posibilidad de usar este potencial aparece en un importante tipo de fuerzas, a saber las fuerzaselectromagneticas sobre las cargas en movimiento.
6.4. Formulacion lagrangiana para sistemas con vnculos holonomos
El hecho que la ecuacion (6.31) sea valida para cualquier tipo de fuerzas, no necesariamente fuerzasproducidas por un potencial, nos permitira trabajar en particular con fuerzas vinculares. Estas son las
60
-
fuerzas de vnculo o ligadura que restringen el movimiento de una partcula y que no necesariemente tienela forma ~F = ~V .
Consideremos un sistema que esta restringido por vnculos holonomos, es decir, su ecuacion de ligadurapuede ser representada como:
f(qk, t) = 0
Dado este caso, con n coordenadas generalizadas, es posible escribir
df(qk, t) =
nk=1
f
qkdqk +
f
tdt = 0
Conciderando que el vnculo no vara en el tiempo (escleronomo) y quef
qk= ak tenemos:
df =
nk=1
akdqk = 0 (6.41)
Como se vio en la seccion de Reaciones vinculares en el principio de los trabajos virtuales, la fuerzavincular ~ es normal al vnculo. Esto quiere decir que:
~ = ~f
donde es una constante dimensionada que depende de cada vnculo.
Dado esto, es posible descomponer la fuerza generalizada Q en dos, distinguiendo entre dos tipos defuerzas. Una parte debido a las fuerzas vinculares ~i y otra debido a las fuerzas libres que interactuan en
el sistema ~F i , esto es:~Fi = ~i + ~F i
Qk = ~Fi~riqk
Qk = ~i~riqk
+ ~F i~riqk
Qk =~if ~ri
q+Q
Qk = f
qk+Qk
Qk = ak +Qk (6.42)donde Qk son las fuerzas generalizadas producto de las fuerzas libres que interactuan en el sistema. Dadoque el termino ak tiene la misma unidad de medida de las fuerzas generalizadas, es llamado fuerza dereacion vincular, representado por:
Q(v)k = ak (6.43)
Reemplazando (6.42) en (6.31) tenemos:
d
dt
(T
qk
) Tqk
ak Qk = 0d
dt
(T
qk
) Tqk
Qk = ak
61
-
Dado que las fuerzas generalizadas Qk son todas producidas por fuerzas libres, podemos suponer queestas son producidas por potenciales. De esta manera, el termino de la izquierda de la ecuacion toma laforma de (6.38), as tenemos que:
d
dt
(L
qk
) Lqk
= ak (6.44)
Las ecuaciones (6.41) y (6.44) forman el siguente sistema de ecuaciones a resolver para problemas convnculos holonomos.
d
dt
(L
qk
) Lqk
= ak
nk=1
akdqk = 0
Sistema con multiplicadores de Lagrange
Como se puede ver por la forma del problema, los son llamados multiplicadores de Lagrange y elproblema finalmente queda reducido a un sistema de ecuaciones soluble.
En el caso que exita mas de un vnculo, el desarrolo es analogo. Si se tienen m vnculos holonomos, setiene:
mj=1
fj(qk, t) = 0
mj=1
dfj(qk, t) =
mj=1
( nk=1
fjqk
dqk +fjt
dt
)= 0
Aplicando las mismas concideraciones anteriores y haciendofjqk
= ajk tenemos:
mj=1
dfj =
mj=1
nk=1
ajkdqk = 0 (6.45)
Esto representa las n ecuaciones vinculares en su forma diferencial.
Dado esto, las n fuerzas vinculares puden ser escritas como:
nj=1
~j = j ~fj
Luego, por el mismo procedimiento anterior, tenemos que:
Qk =
mj=1
jfjqk
+Qk Qk =mj=1
jajk +Qk (6.46)
Reemplazando este resultado, de la misma manera que se hizo para un solo vnculo, finalmente tenemosque el sitema de ecuaciones es:
d
dt
(L
qk
) Lqk
=
mj=1
jajk
mj=1
nk=1
ajkdqk = 0
62
-
6.5. Caso electromagnetico
Las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial vienen dadas por:
~ ~E = 0
S
~E d~s = q0
=1
0
dV (6.47)
~ ~B = 0S
~B d~s = 0 (6.48)
~ ~E = ~B
t = dB
dtC
~E ~l = ddt
~B d~s (6.49)
~ ~B = 0~j + 00 ~E
t
C
~B d~l = 0S
~j d~s+ 00 ddt
S
~E d~s (6.50)
La fuerza sobre una carga q es dada por
~F = q( ~E + ~v ~B) (6.51)
De la ecuacion (6.48) ~ ~B = 0 y el conocido resultado ~ ~ ~() = 0, tenemos que existe un potencialvectorial ~A tal que:
~B = ~ ~A (6.52)
Introduciendo (6.52) en la ecuacon de Maxwell (6.49) tenemos:
~ ~E = ~B
t=
t(~ ~A) = ~
~A
t
~(~E +
~A
t
)= 0 (6.53)
De ~ ~~() = 0 tenemos que existe un potencial escalar tal que:
~E +~a
t= ~ = ~E = ~
~A
t
As tenemos que le potencial vectorial ~A y el potencial escalar son definidos como:
~B = ~ ~A
~E = ~ ~A
t(6.54)
En terminos del los potenciales ~A y , la fuerza de Lorentz toma la forma:
~F = q( ~E + ~v ~B) = q(~
~A
t+ ~v ~ ~A
)(6.55)
Del calculo diferencial sabemos:
~f (~ ~g) = ~(~f ~g) (~f ~)~g
63
-
~v (~ ~A) = ~(~v ~A) (~v ~) ~A (6.56)
Por otro lado sabemos que dado que ~A = ~A(x, y, z, t), tenemos:
d ~A = ~A
xdx+
~A
ydy +
a
zdz +
~A
tdt
= dx ~A
x+ dy
~A
y+ dz
a
z+ dt
~A
t
d ~A = (d~r ~) ~A+ dt~A
t
d~A
dt=
(d~r
dt ~)~A+
~A
t
d~A
dt=(~v ~
)~A+
~A
t(6.57)
(~v ~
)~A =
d ~A
dt
~A
t(6.58)
Introduciendo (6.58) en (6.56) tenemos:
~v ~ ~A = ~(~v ~A) d~A
dt+ ~A
t(6.59)
~F = q
(~
~A
t+ ~(~v ~A) d
~A
dt+ ~A
t
)
~F = q
(~+ ~(~v ~A) d
~A
dt
)
Puesto que ~A = ~~v(~v ~A) vi (~v ~A)
~F = q
(~( ~v ~A) d
dt[~~v(~v ~A)]
)~F = ~[q( ~v ~A)] d
dt~~v[q~v ~A)]
Fi = xi
[q( viAi)] ddt
[
vi(qviAi)
](6.60)
Dado que = (xi) ~v = vi = 0 ddt vi = 0
Fi = xi
[q( viAi)] + ddt
xiq d
dt
xiqviAi
Fi =d
dt
xi[q( viAi)]
xi[q( viAi)] (6.61)
Fi =d
dt
U
x Uxi
U = q( viAi) (6.62)
El lagrangiano para la partcula cargada en un campo electromagnetico puede ser escrito como:
L = T U = T q+ q ~A ~v (6.63)
64
-
Debe ser notado que en el caso que no toda las fuerzas que actuan sobre el sistema sean derivables deun potencial, las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden siempre ser escritas en la forma:
d
dt
(L
qj
) Lqj
= Q(d)j (6.64)
donde L contiene el potencial de la parte conservativa y Q(d)j representa las fuerzas que no provienen
de un potencial.
6.6. Formalismo Lagrangiano de la Mecanica Clasica
Un sistema de N partculas sometido a n vnculos holonomos, es descrito mediante una funcion Lllamado Lagrangiano del sistema:
L = L(qi, qi, t) i = 1, 2, ..., f = 3N n
Las ecuaciones del movimiento del sistema vienen dadas por:
d
dt
(L
qi
) Lqi
= Qi
con Qi = Fkxkxi
Las coordenadas q permiten determinar la configuracion de sistema en un intante dado t, por lo tantola evolucion del sistema es descrita por el movimiento de un punto M en un espacio lineal f -dimensionalllamado espacio de configuracion del sistema con ejes q1, q2, ..., qf .
Que se entiende por movimiento del sistema entre los tiempos t1 y t2?
La configuracion instantanea de un sistema esta determinada por los valores de las f coordenadasgeneralizadas q1, q2, ..., qf , y corresponde a un punto particular de un hiperespacio cartesiano en el quelas q forman los f ejes coordenados.
La expresion movimiento del sistema se refiere al movimiento del punto representativo a lo largo deuna trayectoria en el espacio de configuracion, la cual es una curva en el espacio de configuracion.
Debe ser notado que no existe necesariamente alguna relacion entre el espacio de configuracion y elespacio fsico tridimensional, del mismo modo que las coordenadas generalizadas no son coordenadas deposicion.
Tampoco la trayectoria del movimiento en el espacio de configuracion tiene que parecerse a la trayec-toria espacial de una particula real.
6.7. Momentum Canonico de una coordenada generalizada
Las variables dinamicas que definen el estado del sistema en un instante t son f coordenadas qi y fvelocidades qi. Es conveniente introducir las cantidades Pi definidas por:
Pi =L(qi, qi, t)
qi(6.65)
65
-
llamado momentum canonico a las coordenadas qi llamada tambien cantidad de movimiento general-izado.
Justificacion: Comparemos las ecuaciones de Newton con las de Lagrange
Newton:
d
dtPi = F
ci + F
di =
d
dt(mxi) F
(c)i =
V
xi
Lagrange:
d
dt
(L
qi
) Lqi
= Q(d)i
ddt
(L
qi
)=
L
qi+Q
(d)i
En el caso de fuerzas conservativas y coordenadas cartesianas:
d
dt
(L
qi
)=
L
qi
Pi =L
qi;
L
qi=
qi(T V ) = V
qi
Ya que T = T (qi)
ddtPi = V
qi= F ci
Nota: En general Pi 6= mqi. Pi = mqi solo en coordenadas cartesianas:
T =1
2mq2
L
qi=
T
qi= mqi
6.8. Coordenas cclicas o ignorables
Sea un sistema de f grados de liberad cuya configuracion viene dada por:
L = L(q1, q2, ..., qf , q1, q2, ..., qk, t)
Hipotesis: Supongamos que en la expresion calculada del lagrangiano no aparece la coordenada qk.Esto es:
L = L(q1, ..., qj , ...,qk, q1, ..., qj , ..., t)
Definicion: Si qk no aparece en el lagrangiano entonces qk es llamada una coordenada cclica.
66
-
Teorema: El momentum canonico Pk conjugado en la coordenada qk se conserva si qk es cclica.
Prueba: qk cclica Lqk = 0
De la ecuacion de Lagrange tenemos
d
dt
(L
qi
) Lqi
= 0 ddt
(L
qi
)= 0
Lqi
= cte Pk = Lqk
= cte (6.66)
(6.66) constituye una primera integral de la ecuacion, si se utiliza para eliminar la coordenada cclica,entonces el problema podra resolverse por completo, en funcion de las coordenadas generalizadas restantes.
6.9. Principio de correspondencia
El principio de correspondencia exige que esta representacion incluye la representacion newtoniana.
La obtencion de las ecuaciones de Lagrange presentadas antes partio de una consideracion acerca delestado instantaneo del sistema y de un pequeno desplazamiento virtual del estado instantaneo. Es decirpartio de un principio diferencial como lo es el principio de DAlembert.
Debemos notar que es tambien posible obtener las ecuaciones de Lagrange a partir de un principio queconsidere el movimiento del sistema entre los tiempos t1 y t2 y considere pequenas variaciones virtuales delmovimiento respecto del movimiento real. Un principio de esta naturaleza es conocido como un principiointegral.
Ejercicios resueltos.
Coordenadas ignorables.
Con la intencion de ejemplificar el concepto de coordenada ignorable en el formalismo lagrangiano,resolvamos el problema de la figura (6.1).
Dos masas m y M estan conectadas por una cuerda de longitud constante l = r + s. La masa dela cuerda es muy pequena comparada con m +M . La masa m puede rotar con la cuerda en el plano.La cuerda va desde m hasta M a traves de un agujero en el plano, desde donde cuelga la masa M .Dependiendo de los valores de la rotacion de m en el plano, el arreglo puede subir o bajar. Asi, la masaM se mueve solo en el eje z. Los vnculos que caracterizan el sistema son holonomos y escleronomos.Este arreglo tiene 2 grados de libertad. Las dos coordenadas generalizadas y s describen unicamente elestado del movimiento de este sistema conservativo.
Podemos escribir las coordenadas cartesianas en funcion de las coordenadas generalizadas de la forma:
x = r cos = (l s) cos
y = r sen = (l s) sen
67
-
Figura 6.1: Masas conectadas por una cuerda con dos grados de libertad.
La energa cinetica del sistema es:
T =1
2mv2 +
1
2Ms2
Calculemos ahora el termino v2 de la energa cinetica correspondiente al plano xy. Para esto recordemosque v2 = ~v ~v por lo tanto:
v2 = ~v ~v = x2 + y2
Calculemos ahora x2:
x =
[d
dt(l s)
]cos (l s) sen
x2 =
[d
dt(l s)
]2cos2
[d
dt(l s)
](l s) sen cos + (l s)2 sen2 2
Calculemos ahora y2:
y =
[d
dt(l s)
]sen+ (l s) cos
y2 =
[d
dt(l s)
]2sen2 +
[d
dt(l s)
](l s) sen cos+ (l s)2 cos2 2
Sumando x2 + y2 obtenemos:
v2 = x2 + y2 =
[d
dt(l s)
]2cos2
[d
dt(l s)
](l s) sen cos+ (l s)2 sen2 2
+
[d
dt(l s)
]2sen2 +
[d
dt(l s)
](l s) sen cos+ (l s)2 cos2 2
v2 =
[d
dt(l s)
]2+ (l s)22
68
-
Finalmente, le energa cinetica es:
T =1
2m
[d
dt(l s)
]2+
1
2m(l s)22 + 1
2Ms2
T =1
2(m+M)s2 +
1
2(l s)2m2
La energa potencial esta dada por:V = Mgs
Finalmente, el lagrangiano queda:
L = T V = 12(m+M)s2 +
1
2(l s)2m2 +Mgs
Ahora, calculemos cada termino de las ecuaciones de Lagrange. Primero para la coordenada s:
d
dt
L
s=
d
dt((m+M)s) = (m+M)s
L
s= (l s)m2 +Mg
Para la coordenada :
d
dt
L
=
d
dt((l s)2m)
L
= 0
Como L/ = 0, es llamada coordenada cclica