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INSTITUTO TECNOLÓGICO

SUPERIOR

DE POZA RICA.

Introducción al modelado por computadora

M.C. David Cruz Alejandre

Ponce Lara Esther Guadalupe

Ingeniería en Nanotecnología

Introducción

La teoría cuántica en espacios curvos ha recibido mucha atención en los últimos años. Ha

sido aplicado en el estudio de los agujeros negros y grandes estructuras de escalas en el

universo. Sin embargo, la transferencia de nuestras formulaciones existentes de la teoría

cuántica a los espacios curvos no es sencilla y cualquier enfoque se verá obstaculizado con

un número de cuestiones. Nanoestructuras proporcionan un espacio experimental que

potencialmente puede proporcionar evidencia directa de la interacción entre la geometría y

la teoría cuántica. La capacidad de fabricar micro y nanométricas superficies tiene abrir

nuevas perspectivas que debería ser utilizada con el fin de obtener un control más firme

sobre la teoría cuántica de partículas que viven en ellos estructuras curvas. Hasta el

momento la formulación más aceptada (la formulación "estándar") de la teoría Schrödinger

en superficies y estructuras lineales en común se da el espacio euclidiano tridimensional. A

continuación, aplicamos este marco para derivar una la teoría cuántica en el catenoide en el

espacio euclidiano tridimensional. Esto pondrá de relieve algunas características

importantes relacionadas con la interacción entre la teoría cuántica y la geometría (Jense).

Luego sigue un marco parcial para una formulación alternativa de la teoría de Schrödinger

sobre una superficie en la que nosotros utilizamos las propiedades de conformación únicas

de superficies bidimensionales. Los trabajadores en el campo de la mecánica cuántica en las

estructuras de menor dimensión en un espacio plano se han preocupado principalmente con

Teoría Schrödinger. En la parte restante de este breve relato nos ocuparemos con la teoría

de Dirac en superficies en el espacio euclidiano tridimensional. Nos fijamos en las

diferencias entre el primer y segundo orden, formulaciones y dispositivo el marco adecuado

para la formulación de la teoría de Dirac en las superficies y estructuras lineales de una

manera que hace contacto con la formulación estándar de la teoría Schrödinger en estas

estructuras. Luego exploramos diferentes cuestiones, incluida la cuestión de si es

"suficiente" para emplear una intrínsecamente la teoría cuántica se define en una superficie

en comparación con el enfoque estándar en el contexto de La teoría de Dirac. Este

problema debe ser de particular importancia en la formulación de teorías efectivas para los

portadores de carga en el grafeno (Jense).

Teoría cuántica

La teoría o mecánica cuántica es una de las ramas principales de la Física y uno de los más

grandes avances del siglo XX en el conocimiento humano. Explica el comportamiento de la

materia y de la energía. Su aplicación ha hecho posible el descubrimiento y desarrollo de

muchas tecnologías, como por ejemplo los transistores, componentes profusamente

utilizados en casi todos los aparatos que tengan alguna parte funcional electrónica. La teoría

cuántica describe, en su visión más ortodoxa, cómo en cualquier sistema físico. Y por

tanto, en todo el universo existe una diversa multiplicidad de estados, los cuales habiendo

sido descritos mediante ecuaciones matemáticas por los físicos, son denominados estados

cuánticos. De esta forma la mecánica cuántica puede explicar la existencia del átomo y

desvelar los misterios de la estructura atómica, tal como hoy son entendidos; fenómenos

que no puede explicar debidamente la física clásica o más propiamente la mecánica clásica

(Vega , 2013).

El estudio teórico de la estructura electrónica de los sólidos ha sido un fértil campo de

investigación desde los primeros días de la teoría cuántica. Esta teoría nació de los intentos

de interpretación de los espectros atómicos, la distribución de frecuencias de la radiación

térmica, el efecto fotoeléctrico y otros fenómenos de interacción entre los sólidos y la

radiación. Max Planck propuso por primera vez, en 1900, la idea de la cuantización del

intercambio de energía en la interacción radiación-materia para poder explicar la

distribución espectral de la energía radiante del cuerpo negro. Esa idea tan particular y

relativamente marginal inspiro los trabajos de Einstein sobre la capacidad calorífica de los

sólidos y el efecto fotoeléctrico, dos problemas muy bien caracterizados en el laboratorio y

en cuya interpretación encontraba dificultades insalvables la física teórica del momento

(Pueyo, 2005).

Reducción de dimensiones

Considere un fluido bidimensional S superficial estática en el espacio tridimensional

ordinario. Seguimos la parametrización y el trazo del espacio de tres dimensiones con la

incrustación de coordenadas X. Escribimos la métrica como:

Donde Gab (Xa) es la métrica en el S superficie definida por las coordenadas xa. Suponemos

que podemos definir un campo vector normal Ñ por todas partes en S. La dirección

coordenada x3 se supone que es a lo largo de Ñ en la proximidad inmediata de S. Nuestros

convenciones serán tales que los índices en el principio del alfabeto se referirán a las

coordenadas en el xa superficie, mientras que los índices en el medio del alfabeto se refieren

a las coordenadas globales XI. De ello se deduce que

El enfoque desarrollado es la suposición de la presencia de fuerzas que limitan la partícula

a S. Se supone que estas fuerzas actúan en todas partes normal a S y que se pueden derivar

de un Vλ potencial (X3). λ es un parámetro que mide la fuerza del potencial. La ecuación de

Schrödinger que describe una partícula eléctricamente neutra en el espacio de la

incrustación en este marco viene dado por (usamos unidades tales que c ≡ H ≡ 1)

m representa la masa de partículas. Con el fin de derivar una teoría cuántica en S tenemos

que reducir dimensionalmente la ecuación de Schrödinger Por lo tanto, descomponer la

derivada covariante de una manera invariante coordinar calibre como una suma de una

parte que actúa a lo largo de la superficie (||), y una parte que actúa normal a la superficie

(⊥).

El término puramente cinética en la ecuación Schrödinger puede entonces ser escrito:

En la última relación que hemos utilizado la coordenada Ec calibre. (1). Γijk representa los

símbolos de Christoffel de segunda especie. Vamos a suponer que la función de onda es

normalizable en el espacio de tres dimensiones incrustación, de manera que la norma está

dada por

Probabilidad de conservación requiere que ψ (Xi) = ξ (xi) -1 / 2χ (xi). Utilizamos esta

relación para calcular el término cinético y reescribir la ecuación de Schrödinger en

términos de ¨ χ. Claramente

También encontramos esto:

Vemos que un potencial efectivo ha surgido en función de escalares que caracterizan la

curvatura extrínseca de S. V0 es claramente no positivo en cualquier superficie. Si χ es

separable en una parte que es independiente de x 3 y una parte que sólo depende de esta

coordenada hemos deducido efectivamente una teoría cuántica en la superficie S. Este

programa también puede ser adaptado para estructuras lineales por continuar con el

procedimiento de reducción de dimensión arriba. El resultado es

x es la coordenada a lo largo de la estructura, y κ (x) es su curvatura local.