Departamento de Fsica USACH, Luis Rodrguez V1Movimiento de un sistema de partculas1. Scadapartculadeunsistemaesatradahacaunpuntofijo0conunafuerzaproporcional a su masa y a su distancia al punto 0, demuestre que el centro de masas semueve como s fuera una partcula del sistema2. Unconjuntodepartculasdemasasm,puedendeslizarlibrementesobrealambresparalelos y se atraen una a otras con fuerzas proporcionales al producto de sus masas yasusdistancias.Demuestrequelaspartculasefectanoscilacionesarmnicasdelmismo perodo relativas a un plano perpendicular a los alambres y que pasa por el centrode masas supuesto en reposo.3. Dospartculasigualesseatraenconunafuerzainversamenteproporcionalalcuadradodesudistancia.Slaspartculasdeslizansobrecorrederaslisasenngulorecto,demuestre que el centro de masas describe una cnica con su foco en la interseccin delas correderas. 4. Dospartculasdeslizansobrecorrederaslisasperpendicularesqueseinterceptanen0.Demuestrequesilaspartculas.seatraenyellaspartendesdeelreposodeposicionescualquiera sobre las correderas, ellas llegarn simultneamente a la interseccin. 5. Dospartculasdemasasigualesamsemuevensobrelascorrederaslisasperpendiculares OX y OY y se atraen con una fuerza proporcional a su distancia siendo Kla constante de proporcionalidad. Inicialmente:x a y ax V y( ) , ( ) ,&( ) ( ) ,0 00 0 00 a) Determine x(t) , y(t).b) Determine la ecuacin cartesiana de la trayectoria del centro de masas del sistema.6. Dos partculas de igual masa estn unidas por un resorte de constante K y largo naturala.Ademsactaentreambaspartculasunafuerzaamortiguadoraproporcionalalarapidezdelavariacindeladistanciaentreellas.ElsistemasecolocaenmovimientodndoleaunadelaspartculasunavelocidadV0perpendicularalalneaqueunelaspartculas.DetermineV0si despus de un tiempo muy largo, el largo del resorte es 2a.Departamento de Fsica USACH, Luis Rodrguez V27. DospartculasAyBdeidnticamasam,estnunidasentresporunacuerdainextensibledelargoa.LapartculaAsemueveporunacorrederahorizontallisaOX,mientrasquelapartculaBsemueveporunacorrederaverticallisa OY, ambas en un plano vertical.InicialmenteB est en 0 y OA = a, con el sistema en reposo.Si es el ngulo en B:a) Calcular en funcin de las reacciones queejercen las correderas sobre las partculas.b) Calcular la tensin en la cuerda en funcin de 8. Se tiene el sistema de dos partculas m1 y m2 delafiguraenqueelresorte,deconstanteknotienemasa.DeterminarelvalormnimodelacompresinX del resorte, medido respecto desulargonatural,paraquealsoltarm1sedespegue m2 .9. Tres partculas iguales estn inicialmente en lnea recta igualmente espaciadas sobre unplanohorizontallisoyunidaspordoshilosdelargos"a".LapartculadelmedioinicialmenteestenreposoyalaspartculasexternasselesdaunavelocidadV0perpendicular a la lnea que las une.Calcule la velocidad con que chocan las partculas.Sistemas de masa variable10.UnacadenadelongitudLymasatotalMsesuspendeverticalmentedemodoquesuextremoinferiorestjustoaniveldelsuelo.Silacadenasesuelta,determinelareaccin la accin contra el suelo mientras la cadena se deposita cayendo por su propiopeso.11.Una cadena de longitud L y masa total M est amontonada sobre el suelo. Si la cadenaselevantadeunextremoaplicandounafuerzaconstanteFhaciaarriba,determinelaalturaquesubelacadenaenfuncindeltiempo.DiscutasobrelaalturamximaqueYXOBAmmmm12Departamento de Fsica USACH, Luis Rodrguez V3alcanzalacadena,supuestamentemuylargadetalmodoquesiemprequedacadenadepositada.12.Una gota esfrica de agua atraviesa una capa de nube en reposo. Suponiendo que secondensaaguaporunidaddetiemposobrelagota,proporcionalmenteasusuperficieconconstantedeproporcionalidadKconocida,determinecomocreceelradiodelagota con el tiempo y como vara la altura de ella a medida que transcurre el tiempo.13.Un carrito, inicialmente de masa M y en reposo sobre un plano horizontal liso, comienzaamoversedebidoaqueesimpulsadoporunchorrocontinuodemasaqueselevaincorporando.Dichasmasassalendesdeelpuntodepartida(comodeunaametralladora) con rapidez Uo y a razn de unidades de masa por unidad de tiempo yseincrustanenelcarritocuandoloimpactan.Determinelaformaenquevaranlaaceleracin, la velocidad y la posicin el mvil con el tiempo.14.UncohetedemasatotalMdelacualunafraccinfM,confmenorqueuno,esdecombustible,descansaverticalmenteantesdeencenderlosmotores.Siseenciendenlosmotoresquearrojanmasaarazndeunidadesdemasaporunidaddetiempoycon rapidez relativa al cohete Uo , establezca la condicin que debe cumplirse para queelcohetecomienceadespegardeinmediato.Paraestecaso,determinelamximaalturaquealcanza,suponiendoaceleracindegravedadconstanteydespreciandoelroce con el aire. 15.Una cadena de largo total M y longitud L, flexible, es sostenida colgando de modo quesu extremo inferior est justo al nivel del suelo. Si el extremo superior de la cadena sesuelta, determine la reaccin del suelo contra la parte depositada, en funcin del tiempo. 16.UnacadenaflexibletienemasatotalMylongitudL.Lacadenaestinicialmenteamontonada en el suelo. Una cuerda se hacepasarsobreunapolealisa,unodelosextremosunidoaunextremodelacadenayel otro extremo de la cuerda a un partcula demasaM.Silapartculasesueltapartiendodel reposoa) escriba la ecuacin de movimiento para elextremo de la cadena.b) determine la rapidez del extremo de lacadena en funcin de su posicin.MDepartamento de Fsica USACH, Luis Rodrguez V4Movimiento en un campo de fuerzas centrales17.Una partcula describa una rbita circular en un, campo de fuerzas dado porFrKr( ) 2Demostrarquesikdisminuyebruscamentealamitaddesuvalorinicial,larbitalapartculasehaceparablica.Calcularexplcitamentelamediatemporal,.(osea,lamedia en un periodo completo) de la energa potencial de una partcula que se, mueve,sobreunarbitaelpticaenuncampocentralenelquelafuerzaobedecelaleydeinversa del cuadrado de la distancia.Expresar. el resultado en funcinde la constantede proporcionalidad de la fuerza y del semieje mayor de la elipse.Efectuar un clculosimilarparalaenergacintica.Compararlosresultadosycomprobarelteoremadelvirial en este caso.18.Dospartculasigualesquesemuevenbajolainfluenciaatraccingravitacionalmutua,describenrbitascircularesunaentornodelaotracon.unperodo.Sirepentinamente se detienen y caen una sobre la. otra, demostrar que chocarndespusde un tiempo4 2.19.Dos masas que se atraen, m1,, y m2 (m1+ m2= M), estn separadas una distancia ro y selassueltaapartirdelreposo.Demostrarquecuandoladistanciasearmenorquero,las velocidades sern v mGM r rv mGM r r1 202 102 1 12 1 1 ( )( )20. Demuestre que la velocidad areolar es constante en, el caso de una partcula se muevabajolaaccindeunafuerzaatractivadadaporFr Kr ( ) .Calculelasmediastemporalesdelasenergascinticaypotencialycompararconlosresultadosquedaelteorema del virial.21.Estudiarelmovimientodeunapartcularepelidaporuncentrodefuerzasdeacuerdocon la ley F(r)=kr.Demostrar que la rbita slo puede ser hiperblica.22.UnapartculasemuevebajolainfluenciadeunafuerzacentraldadaporFrKrn( ) .Demuestre si la rbita es circular y pasa por el centro de fuerzas, entonces n=5.Departamento de Fsica USACH, Luis Rodrguez V523.Suponga un cometa que describe una rbita parablica en el mismo plano que la rbitaterrestre.SilamenordistanciadelcometaalSolesRt dondeRt eselradiodelarbitadelaTierra(supuestacircular)y0.Demuestre que la trayectoria es una elipse que rotao precesa25.Determinelaexpresindelafuerzadeuncampocentralquepermitaaunapartculadescribir una rbita espiral dada por r=k, siendo kuna constante. 26.Determinelaexpresindelafuerzadeuncampocentralquepermitaaunapartculadescribir una rbita espiral logartmica dada porr Kea siendo k y a constantes. 27.Una partcula de masa unidad se desplaza desde el infinito a lo largo de una recta que,deseguir,haraquelapartculapasaseaunadistanciab 2 deunpuntoP.SilapartculaesatradahaciaPconunafuerzaproporcionala kr5yelmomentoangularrespecto de P esk b /, demuestre que la trayectoria est dada porr b coth( / ) 228.Una partcula es atrada haca un centro fijo de fuerzas con una fuerza proporcional a ladistanciadelapartculadelcentro.Demuestrequelatrayectoriaesunacurvaplanaque puede ser representada por las ecuaciones:Departamento de Fsica USACH, Luis Rodrguez V6x A nty B nt + +cos( )sen( ).29.Determine la fuerza central si la rbita es una circunferencia y el centro de fuerza estsituado sobre la circunferencia. 30.Una partcula es atrada hacia un centro fijo de fuerza 0 por una fuerza de forma Kr2 Lapartcula es lanzada desde un punto P con una velocidad. de magnitud V0 en un ngulorespectodeOP.DemuestrequelarbitaesunaelipsesOP KV 202Determineademsentrminosdem,K,V0,,yOP=rolaexcentricidaddelarbitaylainclinacin del eje mayor respecto de OP. 31.Admitiendo que la tierra es una esfera fija de radio R y despreciando la resistencia delaire, considere el lanzamiento de un proyectil con rapidez inicial Vo formando un nguloo con la vertical del lugar. SiVGMR*,22 dondeGeslaconstantedegravitacin,MlamasaterrestreyV V0