Mecánica clásica

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<ul><li> 1. Este documento es de distribucin gratuita y llega gracias aCiencia Matemtica www.cienciamatematica.com El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!</li></ul><p> 2. MECANICA CLASICALuis Rodrguez Valencia1 Departamento de Fsica Universidad de Santiago de Chile 13 de marzo de 20081 email: lhrodrig@lauca.usach.cl 3. II 4. Contenidos1. Sistema de Partculas1 1.1. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.1.1. Sistema Inercial de referencia . . . . .. . . . . . . . .21.1.2. Ecuaciones de movimiento . . . . . . .. . . . . . . . .41.1.3. Torque en punto arbitrario . . . . . . .. . . . . . . . .71.1.4. Teorema Energa Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . .81.1.5. Sistema de dos partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2. Campo Central de Fuerza . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 141.2.1. Ecuacin diferencial para la rbita . . . . . . . . . . . 161.2.2. Relacin entre energa y excentricidad. . . . . . . . . 181.2.3. Expresin integral para la trayectoria . . . .. . . . . . 20 1.3. Estabilidad de una rbita circular . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.1. Otro punto de vista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.2. Un caso inestable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.3. Otro caso estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4. Problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5. Sistemas de masa variable . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 26 1.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.6.1. Sistema de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.6.2. Sistemas de masa variable . . . . . . . . . . . . . . . . 401.6.3. Movimiento en un campo central de Fuerza .. . . . . . 492. Sistema de referencia no inercial 81 2.1. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.2. Movimiento relativo a la tierra . . . . . . . .. . . . . . . . . . 832.2.1. Vertical y aceleracin de gravedad dellugar . . . . . . 832.2.2. Ecuacin de movimiento aproximada . . . . . . . . . . 87 5. IV CONTENIDOS2.2.3. Pndulo de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . .882.2.4. Pndulo esfrico . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .90 2.3. Teorema de Larmor . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .90 2.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .923. Rotaciones. 105 3.1. Rotaciones de un sistema. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1053.1.1. Rotaciones de un sistema de coordenadas. . .. . . . . 1053.1.2. ngulos de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.1.3. Parmetros de Cayley Klein. . . . . . . . . . . . . . . . 1143.1.4. Transformaciones de similaridad. . . . . . . .. . . . . 1153.1.5. Relaciones entre matrices de Pauli. . . . . . . . . . . . 1163.1.6. Parmetros de Euler. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 117 3.2. Velocidad angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.2.1. Descomposicin del movimiento. . . . . . . . .. . . . . 1183.2.2. Teorema de adicin de velocidades angulares.. . . . . 119 3.3. Ejercicios resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1204. Sistema rgido de partculas 127 4.1. Cantidades cinemticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.1.1. Energa cintica y momentum angular . . . . . . . . . 1294.1.2. Algunas propiedades de la matriz de inercia . . . . . . 1294.1.3. Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1304.1.4. El elipsoide de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.2. Ecuaciones dinmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.2.1. Movimiento Plano . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1344.2.2. Un ejemplo en ms dimensiones, la bola de billar. . . 141 4.3. Movimiento en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.3.1. Ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.3.2. Torque nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.3.3. Cuerpo simtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1454.3.4. Trompo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 150 4.4. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.5. Movimiento con loops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.5.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 6. CONTENIDOSV5. Ecuaciones de Lagrange 189 5.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.2. Restricciones o vnculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.2.1. Vnculos holonmicos y coordenadas generalizadas . .. 1905.2.2. Fuerzas de vnculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.2.3. Desplazamientos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.3. Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.3.1. Vnculos no holonmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1935.3.2. Condicin de integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . 195 5.4. Sistemas Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.4.1. Momentos cannicos . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1955.4.2. El hamiltoniano del sistema . . . . . . . . . . . . . . . 1965.4.3. Teoremas de conservacin . . . . . . . . . . . . . . .. 1985.4.4. Hamiltoniano y energa . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1995.4.5. Fuerzas dependientes de la velocidad . . . . . . . . .. 2005.4.6. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 202 5.5. Ejemplos y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2045.5.1. Trompo simtrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.5.2. Bola que rueda sobre un plano, sometida en su centroa una fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 5.6. Las ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2145.6.1. Sistemas autnomos . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2145.6.2. Puntos crticos o de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . 2145.6.3. Estabilidad de un punto de equilibrio . . . . . . . . . . 2225.6.4. La bifurcacin de Saddle point . . . . . . . . . . . . .. 2225.6.5. Anlisis de estabilidad ms en general . . . . . . . .. 2245.6.6. La bifurcacin de pitchfork . . . . . . . . . . . . . . . . 2245.6.7. La bifurcacin de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2255.6.8. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2285.6.9. Otro punto de vista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2335.6.10. Un caso inestable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2335.6.11. Otro caso estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 234 5.7. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2346. Ecuaciones de Hamilton253 6.1. La Accin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2536.1.1. Principio variacional de Hamilton . . . . . . . . . . . . 254 6.2. Transformaciones cannicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 7. VICONTENIDOS6.2.1. Formas de la transformacin . . . . . . . . .. . . . . . 256 6.3. Parntesis de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2576.3.1. Propiedades de los Parntesis de Poisson . . . . . . . . 258 6.4. Ecuaciones de Movimiento . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 258 6.5. Problemas y Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 6.6. Mtodo de Hamilton Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2626.6.1. Funcin principal de Hamilton . . . . . . . .. . . . . . 2636.6.2. Relacin con la accin S . . . . . . . . . . . . . . . . . 2666.6.3. Funcin caracterstica de Hamilton . . . . . . . . . . . 2666.6.4. El oscilador armnico . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 268 6.7. Variables de Accin Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2706.7.1. Sistemas peridicos con un grado de libertad . . . . . . 2707. Oscilaciones pequeas273 7.1. La energa cintica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 7.2. La energa potencial . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 2747.2.1. Posicin de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2747.2.2. Estabilidad . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 274 7.3. Linealizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 7.4. El lagrangiano aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 7.5. Solucin de las ecuaciones de movimiento. . . . . . . . . . . . 2767.5.1. Diagonalizacin . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 2787.5.2. Solucin del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 7.6. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 2818. Sistemas continuos291 8.1. Oscilaciones transversales . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 291 8.2. Lmite continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2928.2.1. Lagrangiano para la cuerda continua . . . . .. . . . . 2938.2.2. Densidad Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2948.2.3. Principio de Hamilton para sistemas continuos. . . . . 294 8.3. Soluciones de la ecuacin de onda . . . . . . . . . . . . . . . . 2958.3.1. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2978.3.2. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 298 8.4. Mtodo de las series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 8.5. Solucin de DAlembert . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3018.5.1. Condiciones iniciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3018.5.2. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . .. . . . . 302 8. CONTENIDOS VII 8.5.3. Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 8.5.4. Extensin de F (x) o V (x) . . . . . . . . . . . . . . . . 3038.6. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 8.6.1. Si la cuerda parte recta con un perl de velocidades iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3048.7. Consideraciones energticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 8.7.1. Potencia en ondas armnicas . . . . . . . . . . . . . .. 307 8.7.2. Membranas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 308 8.7.3. Solucin para geometras especcas . . . . . . . . . .. 3108.8. Elementos de mecnica de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . .. 313 8.8.1. Cambio del volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 8.8.2. Lneas de ujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3178.9. Ecuacin de movimiento de un uido ideal . . . . . . . . . .. 319 8.9.1. Onda sonoras en un uido . . . . . . . . . . . . . . . . 320 8.9.2. Ondas de canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 8.9.3. Ondas de supercie en lquidos . . . . . . . . . . . . . 325 8.9.4. Ms sobre ondas de supercie . . . . . . . . . . . . . . 334 8.9.5. Ecuacin no lineal efectiva . . . . . . . . . . . . . . .. 337 8.9.6. Una solucin aproximada . . . . . . . . . . . . . . . .. 339 8.9.7. Algunas soluciones de la ecuacin de onda. . . . . . . . 339 8.9.8. A) Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 339 8.9.9. B) Ondas esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 8.9.10. Las ondas electromagnticas . . . . . . . . . . . . . . . 341 8.9.11. Ondas electromagnticas planas . . . . . . . . . . . .. 343 8.9.12. Velocidad de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 346 8.9.13. Efecto Doppler clsico . . . . . . . . . . . . . . . . .. 348 8.9.14. Efecto Doppler relativista . . . . . . . . . . . . . . .. 349 8.9.15. Efecto Doppler para ondas luminosas . . . . . . . . . . 3498.10. Ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3509. Problemas complementarios 35710.Problemas resueltos 365 9. VIIICONTENIDOS11.Apndice393 11.1. Una ecuacin diferencial. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 393 11.2. Las funciones elptica Jacobianas. . . . . . . . . . . . . . . . . 395 11.3. El pndulo esfrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 11.4. Operador . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 401 11.4.1. Gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 11.4.2. Divergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 11.4.3. Rotor de un campo vectorial. . . . . . . . . . . . . . . 403 11.4.4. Algunas propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 11.4.5. El Laplaciano 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 10. ndice de guras 1.1. Transformacin de Galileo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Sistema de partculas . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. seccin cnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4. Tipos de cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1. Sistema no inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.2. Sistema jo a la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.3. Gravedad local, tierra esfrica (a) y real (b) . . . . . . . . . . 86 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.2. Rotacin en torno a un eje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.3. Rotacin activa de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.4. Adicin de velocidades angulares . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.1. velocidades de un cuerpo rgido. . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.2. Elipsoide de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.3. Bola de billar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.4. Cuerpo simtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.5. Conos del espacio y del cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.6. Conos del espacio y del cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 4.7. Choque cuerpos rgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.1. Transformacin de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.2. Trompo simtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 5.3. Esfera atraida hacia el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 5.4. Autovalores reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 5.5. Autovalores complejos . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 5.6.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 5.7.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 11. X NDICE DE FIGURAS5.8.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2275.9.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2375.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2395.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2425.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2435.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2485.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2497.1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2827.2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2857.3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2878.1. Potencia en unaonda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3088.2. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3098.3. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3158.4. . . ....</p>

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