matematİk permÜtasyon – kombİnasyon – bİnom ve … · 2020. 3. 16. · matematİk...

13

SA Y MA N IN T E ME L İLK E LE R İ

T O P L A M A K U R A L I

A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kü-

menin birleşiminin eleman sayısı, kümelerin eleman

sayılarının toplamına eşittir.

s(AB) = s(A) + s(B)

O halde, ayrık iki işlemden biri A değişik yoldan, diğeri B

değişik yoldan gerçekleşiyorsa bu iki işlemden biri veya

diğer (A + B) yoldan gerçekleşir.

4 pantolonu ve 3 gömleği olan Enis, 1 pantolonu

veya 1 gömleği kaç değişik şekilde seçerek giyebi-

lir?

ÇÖZÜM

1 pantolonu 4 pantolon arasından 4 değişik şekilde, 1

gömleği 3 gömlek arasından 3 değişik şekilde seçebilir.

O halde, 1 pantolon veya 1 gömlek 4 + 3 = 7 değişik

biçimde seçilebilir.

ÇARPMA KURALI

Sıralı n’liler:

(a1, a2,…,an) sıralı n’lisi n tane elemandan oluşur.

(a1, a2) sıralı ikili,

(a1, a2, a3) sıralı üçlüdür.

A1, A2,...,An kümeleri sonlu ve ayrık kümeler olmak

üzere,

s(A1) = m1, s(A2) = m2,…,s(An) = mn olsun.

Bu kümelerden; a1 A1, a2 A2,…,an An olmak üzere,

(a1, a2,…,an) biçiminde birbirinden farlı n tane işlemin

gerçekleşmesinde,

1. işlemin gerçekleşmesi için m1 tane farklı yol

2. işlemin gerçekleşmesi için m2 tane farklı yol,

.

.

.

n. işlemin gerçekleşmesi için mn tane farlı yol varsa, n

tane işlemin birlikte oluşması için,

s(A1 x A2 x A3 x …xAn) = s(A1).s(A2).s(A3)…s(An)

= m1.m2.m3…mn

saymanın temel ilkelerinden olan bu kurala da “çarpım

kuralı” denir.

4 mektup zarfı, 5 posta kutusuna kaç farklı şekilde

atılabilir?

ÇÖZÜM

Mektup zarflarının kümesi: M = {m1, m2, m3, m4}

Posta kutularının kümesi: P = {p1, p2, p3, p4, p5} olsun.

O halde,

s(P)s(M) = 54 = 625 farklı şekilde atılabilir.

A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarını kullanarak

3 basamaklı,

a) Kaç değişik sayı,

b) Rakamları farklı kaç değişik sayı,

c) Rakamları farklı kaç değişik tek sayı,

d) Rakamları tekrarsız 200 ile 500 arasında kaç

değişik sayı,

e) 5 ile bölünebilen rakamları farklı kaç değişik

sayı,

f) Rakamlarından sadece birisi 3 olan kaç değişik

sayı,

yazılabilir?

ÇÖZÜM

Üç basamaklı sayı abc olsun.

Bu çeşit sorularda öncelikli basamaklar önem taşımak-

tadır.

a) Öncelikli basamak yüzler basamağıdır. Çünkü bu

basamağa sıfır gelemez.

O halde; yüzler basamağına “0” hariç geriye kalan “5”

rakamdan birisi, onlar ve birler basamağına da 7 ra-

kamdan birisi gelebilir.

6 7 7

Bu durumda, 6.7.7 = 294 değişik sayı yazılabilir.

b) Yüzler basamağına, “0” hariç diğer 6 rakamdan birisi

gelebilir. Kümeye ait rakamlardan herhangi biri bu ba-

samağa yazıldıktan sonra, rakamları birbirinden farklı

olacağından, onlar basamağına geriye kalan 6 rakam-

dan biri, birler basamağına ise yüzler ve onlar basama-

ğına yazılan rakamların dışında kalan 5 rakamdan biri

gelebilir.

6 6 5

{0}

PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – BİNOM

VE OLASILIK

MATEMATİK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

P E R M Ü T A S Y O N K O M B İ N A S Y O N B İ N O M V E O L A S I L I K

14

gelemez

Bu durumda, 6.6.5 = 180 tane rakamları farklı sayı

yazılabilir.

c) 5 5 3 {1, 3, 5}

gelebilir.

Bu durumda, 5.5.3 = 75 tane tek sayı yazılabilir.

d) Öncelikle yazılması gereken basamak yüzler basa-

mağıdır.

200 ile 500 arasındaki sayılar 2, 3, 4 ile başlayacağın-

dan, yüzler basamağına bu üç rakamdan birisi gelmeli-

dir.

Yani yüzler basamağı 3 farklı şekilde yazılabilir. Rakam-

ları tekrarsız olduğundan onlar basamağına geriye kalan

6 rakamdan birisi, birler basamağına ise geriye kalan 5

rakamdan birisi gelebilir.

3 6 5

{2, 3, 4}

gelebilir.

Bu durumda, 3.6.5 = 90 tane rakamları farklı 200 ile 500

arasında sayı yazılabilir.

e) Bir sayının 5 ile kalansız bölünebilmesi için, birler

basamağının “0” veya “5” olması gerekir.

Öncelikli basamak birler basamağıdır.

I) Sayının birler basamağı “0” olsun. Rakamları tekrar-

sız olduğundan yüzler basamağına geriye kalan 6 ra-

kamdan birisi, onlar basamağına da geriye kalan 5

rakamdan birisi gelebilir.

6 5 1 {0}

olsun.

Bu durumda, sonu 0(sıfır) olan, rakamları tekrarsız

6.5.1 = 30 değişik sayı vardır.

II) Sayının birler basamağı 5 olsun. Yüzler basamağına

0 (sıfır) gelemeyeceğinden ve rakamları tekrarsız oldu-

ğundan geriye kalan 5 rakamdan birisi, onlar basamağı-

na da geriye kalan (sıfır dahil) 5 rakamdan birisi gelebi-

lir.

5 5 1 {5}

olsun.

Bu durumda, sonu 5 olan, rakamları tekrarsız 5.5.1 = 25

değişik sayı yazılabilir.

O halde toplam, 30 + 25 = 55 değişik sayı yazılabilir.

f)

I) Önce sayının yüzler basamağı 3 olsun. Onlar ve

birler basamağına geriye kalan 6 rakamdan birisi gelebi-

lir.

1 6 6 {3}

olsun

1.6.6. = 36 sayı vardır.

II) Onlar basamağı 3 olsun. Yüzler basamağına 0 (sıfır)

gelemeyeceğinden geriye kalan 5 rakamdan birisi gele-

bilir. Birler basamağına ise 3 hariç geriye kalan 6 ra-

kamdan birisi gelebilir.

5 1 6 {3}

olsun

5.1.6 = 30 sayı vardır.

III) Aynı şekilde birler basamağı 3 olsun.

5 6 1 {3}

olsun

5.6.1 = 30 sayı vardır.

O halde, toplam olarak 36 + 30 +30 =96 tane içinde 3

rakamının bir kez kullandığı üç basamaklı sayı yazılabi-

lir.

Farklı, 5 Türkçe, 4 Felsefe, 3 Kimya kitabı bir rafa yan

yana dizilecektir.

a) Kaç farklı diziliş vardır?

b) Aynı tür ders kitapları yan yana gelmek şartıyla

kaç farklı diziliş vardır?

c) Türkçe kitapları yan yana gelmek şartıyla kaç

farklı diziliş vardır?

d) Başa ve sona Kimya kitabı gelmek şartıyla kaç

farklı diziliş vardır?

e) Belli iki kitap yan yana gelmek şartıyla kaç farklı

diziliş vardır?

ÇÖZÜM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112(Rafýn Sýralarý)

a) Toplam 5 + 3 + 4 = 12 kitap vardır.

1. Sıraya dizilecek kitap 12 yolla,

(1. Sıraya bir kitap konduktan sonra)


(2. Sıraya da bir kitap konduktan sonra)


(3. Sıraya da bir kitap konduktan sonra)

.

.

.

ÖRNEK

M A T E M A T İ K

15

12. Sıraya dizilecek kitap 1 yolla dizilebilir.

O halde, 12 kitap yan yana saymanın çarpma ilkesine

göre,

12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 12! kadar dizilebilir.

b) Aynı tür kitaplar, tek bir kitap gibi düşünülürse,

Türkçe kitapları kendi aralarında 5! kadar,

Felsefe kitapları kendi aralarında 4! kadar,

Kimya kitapları kendi aralarında 3! kadar,

farklı dizilişe sahiptir.

Diğer yandan 3 farklı kitap kendi aralarında 3! kadar yer

değiştirebilir.

O halde, aynı tür kitaplar yan yana gelmek şatıyla,

3!. 5!.4!.3! kadar farklı diziliş biçimi vardır.

T1 T2 T3 T4 T5 F1 F2 F3 F4 K1 K2 K3

Türkçe Felsefe Kimya

5! 4! 3!

c) Türkçe kitapları tek bir kitap gibi düşünülürse toplam

kitap sayısı, 1 + 4 + 3 = 8 olur.

8 kitap yan yana 8! kadar,

5 Türkçe kitabı kendi arasında 5! kadar değişik şekilde

dizilebileceğinden Türkçe kitapları yan yana gelmek

şartıyla, çarpma ilkesine göre, 8!.5! kadar diziliş biçimi

vardır.

d) 1. sıraya ve 12. sıraya Kimya kitapları,

2., 3.,…,11. sıralara da geriye kalan 10 kitap dizilirse

uygun diziliş sağlanmış olur.

Buna göre, 1. sıraya gelecek Kimya kitabı, 3 Kimya

kitabı arasından 3 değişik yolla, (1 sıraya konacak Kim-

ya kitabı belirlendikten sonra)

12. sıraya gelecek Kimya kitabı, kalan 2 Kimya kitabı

arasından 2 değişik yolla dizilebilir.

Aradaki 10 kitap kendi aralarına 10! yer değiştirebilir.

O halde; 12 kitap kenarlara Kimya kitapları gelecek

şekilde çarpma ilkesine göre,

3.10!.2 = 10!.3!

kadar farklı dizilişe sahiptir.

e) 12 kitabın belli ikisi A ve B olsun. A ve B tek bir kitap

gibi düşünülürse, bu durumda 11 kitap olur. 11 kitap

kendi arasıda 11! kadar, A ve B kitapları da kendi arala-

rında 2! kadar yer değiştirebilir.

A B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1

11!

12 kitap A ve B yan yana gelmek şartıyla çarpma ilkesi-

ne göre, 2!.11! kadar diziliş oluşturur.

Permütasyon (Sıralama)

Tanım: r n ve r, n N olmak üzere, n elemanlı A

kümesinin birbirinden farklı r elemanının her bir dizilişine

(sıralanışına) A kümesinin r’li permütasyonu denir.

(x1, x2,….,xr) sıralı r’lisinde, x1 yerine n elemandan birisi,

x2 yerine (n – 1) elemandan birisi, x3 yerine (n – 2)

elemandan birisi, bu şekilde devam edilerek xr yerine

(n–(r – 1)) elemandan birisi yazılabilir.

(Çarpma kuralı)

n elemanlı bir A kümesinin r’li permütasyonlarının sayı-

sı, P(n, r) veya rnP şeklinde gösterilir ve

n!P(n,r)

(n r)!

formülü ile hesaplanır.

I. P(n, r) kısaca, n! sayısı r defa açılarak

çarpılır.

II. n = r olması durumunda P(n, n) = n! olur

ki bu n elemanın yan yana diziliş sayısı-

dır.

P(2.n, 2) = 22.n

olduğuna göre, n kaçtır?

ÇÖZÜM

P(2n,2) 22 n

(2n)!22 n

(2n 2)!

(2n)(2n 1)(2n 2)!22 n

(2n 2)!

(2n)(2n 1) 22 n

2n 1 11

2n 12

n 6 olur.

Farklı, 5 Fizik, 4 Kimya kitabı yan yana aynı tür kitap-

lar bir arada olmak üzere kaç farklı şekilde dizilebi-

lir?

ÖRNEK

ÖRNEK


16

ÇÖZÜM

Aynı tür kitaplar tek bir kitap gibi düşünülürse,

5 Fizik kitabı yan yana, P(5, 5) = 5! kadar,

4 Kimya kitabı yan yana, P(4, 4) = 4! kadar dizilebilir.

Fizik ve Kimya kitapları da yan yana 2! kadar farklı

dizilebileceğine göre, aynı tür kitaplar yan yana olmak

şartıyla 2!.5!.4! kadar diziliş biçimi vardır.

Tekrarlı Permütasyon

Tanım: n tane elemanın n1 tanesi I. çeşit, n2 tanesi II.

çeşit, nr tanesi r. çeşit olsun. Bu durumda r tane grup

oluşur ve her bir grupta sırasıyla; n1, n2…,nr tane ele-

man vardır.

Bu r tane elemanın oluşturacağı sıralamaya tekrarlı

permütasyon denir.

Permütasyon sayısı: 1 2 r

n!

n !.n ! n ! olur.

KAPKARA kelimesindeki harflerle 7 harfli,

a) Anlamı ya da anlamsız kaç değişik kelime yazı-

labilir?

b) Bu kelimelerden kaç tanesi K ile başlar A ile

biter?

ÇÖZÜM

a) K harfi 2 kez, A harfi 3 kez tekrarlandığından,

7!420

2!.3! tane anlamlı ya da anlamsız kelime yazıla-

bilir.

b) Kelimeler K ile başlayıp A ile sona ereceğine göre, K

ile A arasına geriye kalan A, P, K, A, R harfleri gelecek-

tir. Bu 5 harfin sıralanışı: 5!

602!

tane olacaktır.

4343041 sayısındaki rakamlar aralarında yer değiş-

tirdiğinde 7 basamaklı kaç farklı doğal sayı oluşur?

ÇÖZÜM

3 rakamı iki kez, 4 rakamı üç kez tekrarlandığından,

verilen sayının rakamları kendi aralarında yer değiştirdi-

ğinde, 7!

4202!.3!

tane değişik doğal sayı yazılabilir.

Ancak, bunların bazılarının başında 0 (sıfır) vardır.

Başında 0(sıfır) olan sayılar, 6!

602!.3!

tanedir.

O halde, 420 – 60 = 360 tane 7 basamaklı rakamları

farklı doğal sayı yazılabilir.

Dönel (Dairesel) Permütasyon

Tanım: n tane elemanın bir çember üzerinde farklı

sıralanışlarının sayısı,

(n – 1)! olur.

6 kişi yuvarlak bir masa etrafında

(6 – 1)! = 5! = 120 değişik biçimde oturabilir.

Kombinasyon (Gruplandırma)

Tanım: r ve n doğal sayılar (r n) olmak üzere, n ele-

manlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her

birine, A kümesinin r’li kombinasyonu denir.

n elemanlı bir kümenin r elemanlı kombinasyonlarının

sayısı C(n, r), rnC veya

n

r

biçimlerinden birisi ile

gösterilir.

n n! P(n,r)C(n,r)

r r!.(n r)! r!

formülleri ile hesaplanır.

– Permütasyon sıralama, kombinasyon

seçme işlemidir.

– n n n

1, n, 10 1 n

– n n

r n r

– Tüm alt kümelerin toplamı,

nn n n2

0 1 n

olur.

– n n n 1

r r 1 r

0 4C(0,0) 1, C(4,0) 1

0 0

3 7C(3,1) 3,C(7,7) 1

1 7

8 8x 5

3 x

55 5 5 5 5 52

0 1 2 3 4 5

6 6 7

3 2 3

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

M A T E M A T İ K

17

5 erkek, 3 kız öğrenci arasından 3 kişilik bir ekip oluştu-

rulacaktır.

a) Kaç farlı ekip oluşturulur?

b) Kız öğrenci olmamak üzere kaç ekip oluşturulur?

c) 2 erkek, 1 kız öğrenciden oluşan kaç ekip oluştu-

rulur?

d) En az bir erkek öğrencinin olacağı kaç ekip oluş-

turulur?

ÇÖZÜM

a) 8 öğrenci arasından 3 öğrenci

8 8 7 6

563 3 2 1

farklı ekip oluşur.

b) 5 erkek öğrenci arasından, hepsi de erkek olan

5 5 4 3

103 3 2 1


c) 2 erkek, 1 kız öğrenciden oluşan

5 3

302 1


d) En az bir erkek olacak şekilde,

5 3 5 3 5 3

1 2 2 1 3 0

= 5.3 + 10.3 + 10.1

= 55 farklı ekip oluşur.

Düzlemde herhangi 3’ü doğrusal olmayan 10 nokta

veriliyor.

a) Köşeleri bu noktalar olan kaç üçgen çizilebilir?

b) İki köşesi, belli iki nokta olan kaç farklı üçgen

çizilebilir?

ÇÖZÜM

a) Bir üçgen, aynı doğru üzerinde olmayan 3 nokta ile

belirlenir.

O halde,

10 10 9 8

1203 3 2 1

farklı biçimde üçgen çizilebilir.

b) Üçgenlerin iki köşesi sabit olduğuna göre, 3. köşe

diğer 8 noktadan biri olacaktır.

O halde, 8

81

farklı biçimde üçgen çizilebilir.

d1 d2 d3 d4

I1

I2

I3

I4

I5

Yukarıdaki şekilde,

d1 // d2 // d3 // d4 ve I1 // I2 // I3 // I4 // I5

doğruları ile kaç tane paralelkenar oluşturulabilir.

ÇÖZÜM

Bir paralelkenar, iki şeridin kesişmesiyle oluşur. Karşılık-

lı kenarlar paralel olduğundan, yatay ve düşey doğrultu-

daki paralel doğrular ikişerli gruplanacaktır.

O halde,

4 5 4 3 5 4

2 2 2 1 2 1

6 10

60 paralelkenar oluþur.

Binom Açılımı

Tanım: n N+ ve a, b R olmak üzere,

n n n 1 n r r nn n n n(a b) a a b a b b

0 1 r n

açılımına binom alçımı (formülü) denir.

(a + b)n açılımında,

I. n + 1 tane terim vardır.

II. Baştan (r + 1). Terim, n r rna b

r

dir.

III. n

n n r r

n 0

n(a b) a b

r

dir.

IV. Katsayılar, n n n

, ,...,0 1 n

olup, katsayılar toplamını

bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır.

nn n n2

0 1 n

dir.

V. Sabit terim, içinde değişken olmayan (x’li terimi

bulunmayan) terimdir. Sabit terimi bulmak için de-

ğişkenler yerine 0 yazılır.

VI. Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin katsayı-

ları eşittir.

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK


18

Baştan 2. terimin katasayısı:n

1

Sondan 2. terimin katsayısı: n

n 1

olduğuna göre, n n

1 n 1

olur.

VII. (a+b)2n açımında ortadaki terim: n n2na b ,

n

katsayısı ise, 2n

n

dir.

4 4 3 2 2 3 4

4 3 2 2 3 4

3 3 2 2 3

3 2 2 3

4 4 4 4 4(a b) a a b a b ab b

0 1 2 3 4

a 4a b 6a b 4ab b

3 3 3 3(x y) x x y xy y

0 1 2 3

x 3x y 3xy y

(x + 3)8 açılımında,

a) Kaç terim vardır?

b) Terimlerden biri Ax6 ise, A kaçtır?

c) Baştan 4. Terim nedir?

ÇÖZÜM

a) n = 8 olduğundan, n + 1 = 8 + 1 = 9 terim vardır.

b) Genel terim 8 r r8x 3

r

dir.

x8–r = x6 8 – r = 6

r = 2

O halde, A = 2 28 8 73 3 28 9 252

2 2 1

olur.

c) Baştan 4. terim r + 1 = 4 r = 3 olur.

8 3 3 5

5

5

8 8x 3 27 x

3 3

8 7 627 x

3 2 1

1512 x olur.

62 1

xx

açılımında,

a) Katsayılar toplamı kaçtır?

b) Sabit terim nedir?

c) Orta terim nedir?

ÇÖZÜM

a) x = 1 yazılırsa katsayılar toplamı,

62 61

1 (1 1) 01

olur.

b) Genel terim

r2 6 r6 1

(x )r x

dir.

Düzenleme yapılırsa, 12 3r r6x ( 1)

r

olur.

Sabit terimde x olamayacağına göre üssü sıfır olma-

lıdır.

12 – 3r = 0 r = 4 tür.

O halde, sabit terim: 46 6 5( 1) .1 15

3 2 1

olur.

c) Ortanca terim,

32 3 3 3 36 61

(x ) ( 1) x 20 x3 3x

olur.

O LA SIL IK

Temel Kavramlar

Örnek Uzay: Bir deneyde çıkabilecek, değişik tüm sonuçla-

rın kümesine örnek uzay denir. E ile gösterilir.

Olay: Örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir. A, B,

… vb. gibi harflerle gösterilir. A E dir.

Kesin Olay: E örnek uzayına kesin olay denir.

Bir torbada 5 tane kırmızı bilye vardır. Bu torbadan

çekilen bir bilyenin kırmızı bilye çıkma olayı

Olanaksız Olay: (boş küme) ye olanaksız olay denir.

Bir torbada 5 tane beyaz bilye vardır.

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

M A T E M A T İ K

19

Bu torbadan çekilen bir bilyenin kırmızı bilye çıkma olayı

Ayrık Olaylar: E örnek uzayının A ve B alt kümeleri için,

A B = ise A ve B ayrık olaylardır denir.

Bir zar atılıyor. Bu deneyde,

a) Örnek uzay

b) Üste gelen yüzün çift sayı olması olayı

c) Üste gelen yüzün tek sayı olması olayı nedir?

ÇÖZÜM

Bir zarın 6 yüzü vardır. Zarın atılması deneyinde gelebi-

lecek sonuçlar {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanların-

dan biridir.

Örnek Uzayı: E,

Üste gelen yüzün çift sayı olması olayı: Ç,

Tek sayı gelmesi olayı: T olsun.

a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) Ç = {2, 4, 6}

c) T = {1, 3, 5} olur.

A B = olduğundan A ve B ayrık olaylardır.

I. Bir madeni paranın atılması deneyinde

21 = 2

II. İki madeni paranın birlikte atılması de-

neyinde 22 = 4

III. Üç madeni paranını birlikte atılması

deneyinde 23 = 8

.

.

.

IV. n madeni paranın birlikte atılması dene-

yinde 2n sonuç vardır.

V. Bir zarın atılması deneyinde 61 = 6

VI. İki zarın birlikte atılması deneyinde

62 = 36

sonuç vardır.

Olasılık Fonksiyonu

Tanım: E örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturdu-

ğu küme K (kuvvet kümesi) olsun.

K dan [0, 1] aralığına tanımlanan bir P fonksiyonu aşa-

ğıdaki şartları sağlıyorsa,

P fonksiyonu bir olasılık fonksiyonudur.

A K için P(A) reel sayısına A olayının olasılığı (ihtima-

li) denir.

E örnek uzayında iki olay A ve B, imkansız (olanaksız)

olay olmak üzere,

– A K için 0 P(A) 1

– P(E) = 1 (Kesin olay)

– P() = 0 (olanaksız olay)

– A, B K olmak üzere,

A B = ise, P(A B) = P(A) + P(B)

A B ise, P(AB) = P(A)+P(B) – P(AB)

– A B için P(A) P(B)

– Aı, A’nın tümleyeni olmak üzere,

P(A) + P(Aı) = 1

1P(A)

2

1P(B)

3

1P(A B)

4 olduğuna göre,

P(Aı), P(Bı), P(A B), P(Aı Bı) değerlerini bulunuz.

ÇÖZÜM

a) P(Aı) + P(A) = 1 olduğundan,

P(Aı) = 1 – P(A)

= 1 1

12 2

b) P(Bı) + P(B) = 1 olduğundan,

P(Bı) = 1 – P(B)

= 1 2

13 3

c) P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

=1 1 1 6 4 3 7

2 3 4 12 12

d) Aı Bı = (A B)ı olduğundan,

P(Aı Bı) = P[(A B)ı]

= 1 – P(A B)

= 7 5

112 12

Eş Olumlu Örnek Uzay

Tanım: E = {e1, e2,…, en} sonlu bir örnek uzay olsun.

P(e1) = P(e2) = … = P(en) ise E örnek uzayına eş olumlu

örnek uzay denir.

E eş olumlu örnek uzay olmak üzere,

A E ise, s(A)

P(A)s(E)

olur.

ÖRNEK

ÖRNEK


20

İki hilesiz madeni para birlikte atılıyor.

Buna göre, paraların farklı gelme olasılığını bulunuz.

ÇÖZÜM

Örnek uzay: E = {(Y, Y), (Y, T), (T, Y), (T, T)}

Olay: A = {(Y, T), (T, Y)}

olduğundan, s(E) = 4, s(A) = 2 olur.

s(A) 2 1P(A)

s(E) 4 2 bulunur.

Düzgün bir madeni para arka arkaya üç kez atıldığına

göre, ikisinin tura birinin yazı gelmesi olasılığını bulunuz.

ÇÖZÜM

Düzgün bir madeni para arka arkaya üç kez atıldığında,

örnek uzay 23 = 8 elemanlı olur.

Bunlardan ikisinin tura, birisinin yazı olduğu sonuçların

kümesi: A = [(T, T, Y), (T, Y, T), (Y, T, T)}

olduğuna göre,

s(A) 3P(A)

s(E) 8 bulunur.

Bağımsız Olaylar

Tanım: A ve B aynı E örnek uzayının iki olayı olsun. Bu

olaylardan birinin elde edilmesi, diğerinin elde edilmesini

etkilemiyorsa A ve B olaylarına bağımsız olaylar denir.

A ve B bağımsız olaylar olmak üzere,

P(A) > 0 ve P(B) > 0 ise

P(A B) = P(A).P(B) olur.

Bir torbada 4 beyaz 3 kırmızı bilye vardır. Enis torbadan

bir bilye çekerken, İzem hilesiz bir zarı havaya atıyor.

Bilyenin beyaz, zarın 3 ten büyük sayı gelmesi olası-

lığını bulunuz.

ÇÖZÜM

Bilyenin beyaz gelmesi olayı, zarın 3 ten büyük sayı

gelmesi olayını etkilemediğinden bu olaylar bağımsız

olaylardır.

Zar ne gelirse gelsin bilyenin beyaz gelmesi olayı A ise,

4P(A)

7 dir.

Bilye ne renk olursa olsun zarın 3 ten büyük gelmesi

olayı B ise, 3 1

P(B)6 2

dir.

Bu nedenle, bilyenin beyaz, zarın 3 ten büyük gelmesi

olasılığı,

P(A B) = P(A).P(B)

=4 1 2

7 2 7 olur.

Bağımlı Olaylar (Koşullu Olasılık)

Tanım: E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun. A olayı-

nın gerçekleşmesi, B olayının gerçekleşmiş olmasına

bağlı ise A ve B olayları bağımlı olaylardır.

B olayının olmuş olmasına karşılık, A olayının gerçek-

leşmesi olasılığı,

P(A B)P(A /B)

P(B)

veya

P(A B) = P(B).P(A/B)

Bu formüle koşullu olasılık formülü veya çarpım kuralı

denir.

Bir torbada 6 sarı 5 beyaz bilye vardır. Torbadan bir

bilye çekiliyor ve tekrar içine atılmadan ikinci bir bilye

daha çekiliyor.

Birincinin sarı, ikincinin beyaz gelmesi olasılığı

kaçtır?

ÇÖZÜM

Birincide sarı gelmesi olayı S ise,

6P(S)

11 dir.

Birincinin sarı gelmesi koşulu ile, ikincinin beyaz gelmesi

olayı B ise, bir top eksildiğinden, 5

P(B)10

dur.

Buna göre, birincinin sarı, ikincinin beyaz gelmesi olası-

lığı, çarpım kuralı ile,

P(S B) = P(B).P(B/S) = 6 5 3

11 10 11 olur.

A kutusunda 3 siyah 3 beyaz,

B kutusunda 4 siyah 2 beyaz,

C kutusunda 2 siyah 3 beyaz

tebeşir vardır.

Rastgele seçilen bir torbadan çekilen 2 tebeşirin

siyah olduğu bilindiğine göre, C den alınmış olması

olasılığı kaçtır?

ÇÖZÜM

3 kutu olduğundan, kutuların her birinin seçilmesi olası-

lığı eşit ve 1

3tür. A dan alınan 2 tebeşirin siyah olması

olasılığı,

3 3 22 3 12 1P(S)

6 56 15 5

2 12

dir.

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

M A T E M A T İ K

21

B den alınan 2 tebeşirin siyah olması olasılığı,

4 4 32 6 22 1P(S)

6 56 15 5

2 12

dir.

C den alınan 2 tebeşirin siyah olması olasılığı,

2

2 1P(S)

6 10

2

dir.

Çekilen iki siyah kalemin C den alınmış olması olasılığı

(koşulu olasılık),

1P(C S) 110P(C/S) olur.

1 2 1P(S) 7

5 5 10

1. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

kümesinin elemanlarını kullanarak 3 basamak-lı, rakamları birbirinden farklı kaç çift sayı yazı-labilir?

A) 90 B) 60 C) 45 D) 30 E) 20

2. 4 Erkek ve 3 kız, kızlar yan yana olmak şartıyla yuvarlak bir masa etrafına kaç farklı şekilde oturabilirler?

A) 144 B) 134 C) 124 D) 102 E) 72

3. 543530 sayısının rakamları yer değiştirilerek 6 basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir?

A) 100 B) 120 C) 130 D) 140 E) 150

4. 7 değişik anahtar yuvarlak bir anahtarlığa kaç değişik biçimde takılabilir?

A) 1080 B) 720 C) 640 D) 360 E) 180

5. 3 çocuğu olan bir aile dede ile birlikte yuvarlak masadaki 6 sandalyeye oturacaklardır.

Dedenin baba ve anne arasında oturması şar-tıyla kaç türlü oturma biçimi vardır?

A) 8 B) 12 C) 16 D) 24 E) 36

6. 7 kız, 5 erkek arasından 2 si erkek olmak üzere, 5 kişilik kaç farklı ekip kurulabilir?

A) 150 B) 350 C) 380 D) 400 E) 510

7. Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 10 nokta veriliyor.

Bu 10 noktadan geçen doğruların sayısının üçgenlerin sayısına oranı kaçtır?

A) 3

16 B)

3

14 C)

3

11 D)

3

8 E)

3

5

8. d1

d2

d3

d4

d5

C B A

Yukarıdaki şekilde, d1 // d2 // d3 // d4 // d5 oldu-ğuna göre, kaç yamuk oluşturulabilir?

A) 30 B) 24 C) 22 D) 18 E) 12

Ç Ö Z Ü M L Ü T E S T


22

9. 12 soruluk bir sınavda öğrencinin 10 soruyu ce-vaplaması istenmektedir.

İlk 3 soruyu cevaplamak zorunlu olduğuna göre, sınava giren bir öğrenci kaç türlü seçim yapabilir?

A) 24 B) 30 C) 36 D) 48 E) 56

10. 12 kişiden 5 kişilik bir futbol takımı kurulacaktır.

Takım girecek 2 kişi belli olduğuna göre, kaç farklı takım kurulabilir?

A) 180 B) 150 C) 120 D) 100 E) 72

11.

123 1

xx

açılımında sabit terim kaçtır?

A) 220 B) 110 C) 100 D) 90 E) 50

12. (x2 + 2x)6 açılımında x10 lu terimin katsayısı kaçtır?

A) 20 B) 32 C) 48 D) 56 E) 60

13.

62 1

xx

açılımında baştan 5. terimin katsayısı 5.m ol-duğuna göre, m kaçtır?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

14. a 0 olmak üzere,

82 2

axx

açılımında katsayılar toplamı 256 olduğuna göre, ortanca terimin katsayısı kaçtır?

A) 12 82

4

B) 8 82

4

C) 6 82

4

D) 8

84

E) 8

44

15. (x – 2y)n açılımında ortadaki terim Ax4y4 oldu-ğuna göre, A kaçtır?

A) 1120 B) 1240 C) 1280 D) 1420 E) 1560

16. Bir çift zarın atılması deneyinde üste gelen yüzlerin aynı olmama olasılığı kaçtır?

A) 1

6 B)

1

3 C)

1

2 D)

2

3 E)

5

6

17. İki zar birlikte atılıyor.

En az birinin 5 gelmesi olasılığı kaçtır?

A) 2

9 B)

1

4 C)

5

18 D)

11

36 E)

1

3

18. Bir torbada 4 sarı, 5 yeşil, 3 mavi bilye vardır. Çekilen bilye yerine konmaksızın art arda 3 bilye çekiliyor.

İlk çekilen bilyenin mavi, diğer iki bilyenin sarı ve yeliş olması olasılığı kaçtır?

A) 1

11 B)

1

12 C)

1

13 D)

1

14 E)

1

15

19. 6 Matematik ve 4 fizik öğretmeni arasında art arda iki öğretmen seçiliyor.

M A T E M A T İ K

23

Birincinin Matematik öğretmeni, ikincinin Fizik öğretmeni olma olasılığı kaçtır?

A) 1

3 B)

4

15 C)

1

5 D)

2

15 E)

1

15

20. 1, 2, 3, 4, 5 rakamlarını kullanarak yazılabilecek iki basamaklı doğal sayılardan rastgele biri se-çildiğinde bu sayının 40 dan küçük olma olası-lığı kaçtır?

A) 1

5 B)

3

5 C)

4

5 D)

6

7 E)

8

9

1. 6 5 1 = 6.5.1 = 30 tane sonu sıfır olan sayı vardır.

{0} olsun.

5 4 3 = 5.4.3 = 60 tane sonu 2, 4 veya 6 {0} {2, 4, 6} olamaz. olsun.

olan sayı vardır.

Buna göre, 30 + 3.20 = 90 tane rakamları farklı 3 basamaklı çift sayı yazılabilir.

Cevap A’dır.

2. Üç kız bir kişi gibi düşünülürse toplam kişi sayısı

4 + 1 = 5 olur.

5 kişi yuvarlak bir masa etrafına (5 – 1) = 4! kadar değişik şekilde, 3 kız ise kendi aralarında 3! kadar yer değiştirebileceğine göre,

4!.3! = 24.6 = 144

değişik oturma biçimi vardır.

Cevap A’dır.

3. 5 ve 3 rakamları ikişer kez tekrarlandığından, tekrarlı permütasyon formülüne göre,

6!

1802!.2!

tane 6 basamaklı sayı yazılabilir.

Bu sayıların 5!

302!.2!

tanesinin yüz binler basa-

mağı 0 olduğundan, 180 –30 = 150 sayı yazılabilir.

Cevap E’dir.

4. 7 değişik anahtar yuvarlak bir anahtarlığa

(7 – 1)! = 6! kadar değişik biçimde takılabilir.

Anahtarlık tersine de çevrilebileceğinden sonuç,

6!360

2 olur.

Cevap D’dir.

5. Anne, Dede, Baba grubu bir eleman gi-bi düşünülürse top-lam 3 + 1 = 4 ele-man vardır. 4 ele-man yuvarlak masa etrafına(4 – 1)! = 3! kadar farklı şekilde dizilebilir.

1

4

3 5

2 6 D Dede Ç

B Ç

A

Ç

Baba

Anne

Anne, Dede, Baba birlikte olmak şartıyla A ile B yer değiştirebileceğine göre, toplam olarak

2.3! = 2.6 = 12 oturma biçimi vardır.

Cevap B’dir.

6. 5 kişiden 2 si erkek, 3 ü kız olan,

7 5 7! 5!

3 2 3!(7 3)! 2!(5 2)!

7 6 5 5 435 10 350 ekip kurulabilir.

3 2 1 2 1

Cevap B’dir.

7. Düzlemde, doğrusal olmayan üç nokta bir üçgen belirtirken, iki noktadan ise bir doğru geçer. Üç-genlerin sayısını bulmak için noktalar 3 erli, doğru-ların sayısını bulmak için noktaları 2 şerli gruplara ayırmak gerekir.

Buna göre,

10

2 10 9 10 9 8 3: olur.

10 2 1 3 2 1 8

3

Cevap D’dir.

8. Yamuğun tanımına göre, tabanlar

d1, d2, d3, d4, d5 doğrularından ikisi, yan kenarları ise A, B, C doğularından ikisi üzerinde olacaktır.

O halde,

yamukların sayısı: 5 3 5 4

3 30 olur.2 2 2 1

Cevap A’dır.

9. Seçilecek 10 sorunun 3 ü belli olduğuna göre, geriye kalan 7 soru 9 soru arasından seçilecektir.

O halde, 9 9! 9 8

367 7!(9 7)! 2 1

türlü seçim

yapılabilir.

Cevap C’dir.

10. 5 kişilik futbol takımının 2 oyuncusu belli olduğuna göre, geriye kalan 3 kişi 12–2 = 10 oyuncu arasın-dan seçilecektir.

O halde 10 10 9 8

3 3 2 1

farklı takım kurulabilir.

Ç Ö Z Ü M L E R


24

Cevap C’dir.

11. (a+b)n açımında genel terim, n r rna b

r

dir.

Buna göre, r

12 r312 1

xr x

yazılabilir.

Düzenleme yapılırsa,

36 3r r12x x

r

olur.

36 – 4r = 0 ise, r = 9 olur.

Buna göre sabit terim,

12 12 11 10

2209 3 2 1

dir.

Cevap A’dır.

12. n = 6 dır. x10 lu teriminin katsayısını bulmak için genel terimi yazarsak,

6 r r2 r 12 r6 6

x 2x 2 xr r

olur.

12 – r = 10 r = 2 dir. O halde, A.x10 terimindeki

katsayı 26A 2 60

2

bulunur.

Cevap E’dir.

13. 6

2 1x

x

açılımında genel terim

r

6 r26 1

xr x

dir.

r = 4 için baştan 5. terim bulunur.

Buna göre,

4

6 426 1

x4 x

tür.

Katsayı: 6

4

olduğundan

65 m

4

6 55 m

2 1

5 m 15

m 3 bulunur.

Cevap D’dir.

14. Açılımında katsayılar toplamını bulmak için,

x = 1 yazılır.

Buna göre,

82

8 8

2a 1 256

1

a 2 2

a 2 2

a 4 tür.

Ortanca terimin katsayısı ise,

44 128 84 2 2

4 4

bulunur.

Cevap A’dır.

15. (x – 2y)n açılımında ortadaki terim,

Ax4y4 olduğundan n = 4 + 4 = 8 olur.

Ortadaki terim: 448

x 2y4

4 4 4 4 482 x y A x y

4

48

2 A 11204

bulunur.

Cevap A’dır.

16. Bir çift zar atıldığında, örnek uzay 6.6 = 36 ele-manlıdır. s(E) = 36 dır. Üste gelen yüzlerin aynı olması olayı A, olmaması olayı Aı olsun.

P(A) + P(Aı) = 1 dir.

A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} oldu-

ğundan 6 1

P(A)36 6

dır.

O halde, ý 1 5P(A ) 1 P(A) 1

6 6 dır.

Cevap E’dir.

17. İki zar birlikte atıldığında 6.6 = 36 sonuç vardır. En az birinin 5 gelmesi olayı A ise

A = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6)} dır.

O halde,

s(A) 11

P(A) dýr.s(E) 36

Cevap D’dir.

18. I II

M, S, Y M, Y, S

biçiminde olabilir. O halde,

Olasılık: 3 4 5 3 5 4 1

dir.12 11 10 12 11 10 11

Cevap A’dır.

M A T E M A T İ K

25

19. I. öğretmen 10 öğretmen arasından seçilecektir. I. öğretmenin Matematik öğretmeni olma olasılığı

6P(M)

10 dur. II. öğretmen kalan 9 öğretmen ara-

sından seçilecektir. II. öğretmenin Fizik öğretme-

nin olma olasılığı 4

P(F)9

dur. I. nin M, II. nin F

öğretmeni olma olasılığı 6 4 4

P(M F) dir.10 9 15

Cevap B’dir.

20. E = {1, 2, 3, 4, 5} rakamları ile yazılabilecek iki basamaklı sayılar, s(E) = 5.5 = 25 tir.

A = {1, 2, 3, 4, 5} rakamları ile yazılabilecek 40 dan küçük sayılar s(A) = 3.5 = 15 tir.

O halde;

s(A) 15 3

P(A) tir.s(E) 25 5

Cevap B’dir.

1. 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamları kullanılarak 4 basamak-lı kaç sayı yazılabilir?

A) 64 B) 6.53 C) 63 D) 54 E) 5.43

2. 20 kişilik bir sınıftan önce bir başkan ve sonra bir başkan yardımcısı seçilecektir.

Bu seçim kaç farklı şekilde gerçekleşebilir?

A) 400 B) 380 C) 360 D) 200 E) 150

3. 3’ ü erkek 3’ ü kız 6 kişi, erkekler ve kızlar ken-di aralarında yan yana gelmemek üzere kaç değişik şekilde sıralanır?

A) 27 B) 36 C) 56 D) 72 E) 75

4. 45456767 sayısının rakamlarıyla kaç tane 8 basamaklı sayı yazılabilir?

A) 2520 B) 2430 C) 2320

D) 2130 E) 2110

5. 3 çeşit olan çikolatalardan 6 çocuğa birer tane dağıtılacaktır.

Buna göre dağıtım kaç farklı şekilde yapılabi-lir?

A) 30 B) 60 C) 90 D) 100 E) 120

6. d1 ve d2 doğruları üzerindeki noktalar kullanılarak kaç farklı üçgen oluş-turulabilir?

A

B

C F

E

d1

D G

H

I d2

A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

7. Aynı düzlemde birbirine paralel 5 doğru ile bu doğrularla dik kesişen ve birbirine paralel 4 doğru kaç tane dörtgen oluşturur?

A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

8. A = {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde b ve c bulunurken a bulunmaz?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16

K O N U T E K R A R T E S T İ

1


26

9. 4 doktor 3 hemşire arasından içinde en az 1 doktorun olduğu 3 kişilik ekip kaç değişik şe-kilde seçilir?

A) 12 B) 16 C) 18 D) 26 E) 34

10. 7 kişilik bir gruptan 3’ erden 2 grup kaç değişik

şekilde seçilir?

A)

3

4

3

7 B)

3

72 C)

3

4

3

6

D)

2

3

3

7 E)

3

6

1

7

11. 8

m

132m

ifadesinin açılımındaki sabit terim

kaçtır?

A) 112 B) 168 C) 242 D) 292 E) 312

12. 1

2 m2n

8

açılımındaki ortadaki terim

a.mb.nc olduğuna göre, cb.

asonucu kaçtır?

A) –140 B) –70 C) –42 D) 70 E) 140

13. a 2 36

açılımında bir terim k.a4 olduğuna

göre, k kaçtır?

A) 180 B) 60 C) 0

D) –60 E) –180

14. (m + 1)13 açılımında sabit terim M, bu terimlerin kat sayılarının toplamı K dır.

Buna göre, K

M oranı kaçtır?

A) 213 B) 1 C) 0 D) –1 E) 213

15. 83n2m ifadesinin açılımında kaç tane terim

vardır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 11

16. Bir kutudaki topların %25’ i pembe geriye kalanları beyazdır.

Bu kutudan alınan rasgele bir topun beyaz gelme olasılığı kaçtır?

A) 2

1 B)

4

1 C)

4

3 D)

8

1 E)

8

7

17. İki kutunun her birinde 6 sarı, 4 siyah boncuk bulunmaktadır. Birinden bir boncuk çekilip diğerine atılıyor.

Diğerlerinden de bir boncuk çekilirse, bunun ilk çekilen boncukla aynı renkte olma olasılığı kaçtır?

A) 110

31 B)

55

31 C)

55

21 D)

110

21 E)

56

11

18. İki torbanın birincisinde 4 sarı 5 mavi, ikincisinde 4 mavi 5 sarı top vardır. I. torbadan bir top çekiliyor ve rengine bakılmadan II. torbaya konuyor. II. tor-badan bir top çekilip I. torbaya konuyor.

Torbadaki renk durumunun değişmeme olası-lığı kaçtır?

A) 2

1 B)

30

13 C)

30

27 D)

90

41 E)

90

49

M A T E M A T İ K

27

19. 20 kişilik bir sınıfta 10 erkek vardır. 7 gözlüklü öğrenciden de 4 ü kızdır. Bu sınıftan rasgele bir öğrenci seçiliyor.

Seçilen bu öğrencinin gözlüklü ve erkek olma olasılığı kaçtır?

A) 5

1 B)

10

3 C)

20

3 D)

10

1 E)

20

1

20. Bir zar 3 kez atılıyor.

İkisinin 5 gelme olasılığı kaçtır?

A) 5

6 B)

12

5 C)

72

5 D)

72

1 E)

72

7

1–A 2–B 3–D 4–A 5–E 6–E 7–E 8–B 9–E 10–A 11–A 12–B 13–A 14–A 15–D 16–C 17–B 18–E 19–C 20–C

1. Bir A kentinden B kentine 5 yol, B kentinden C kentine 4 yol olsun.

A dan C ye B ye uğramak koşuluyla kaç farklı şekilde gidilebilir?

A) 10 B) 12 C) 18 D) 20 E) 24

2. R= {0, 2, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin elamanları ile üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?

A) 60 B) 180 C) 210 D) 294 E) 343

3. A= {0, 1, 2}

B= {1, 2, 3, 4}

Kümelerinin elemanları kullanılarak aA ve

bB olmak üzere b>a koşuluna uyan kaç tane iki basamaklı ba sayısı yazılabilir?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 15

4. A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesi veriliyor.

Bu kümenin elemanlarını bir kez kullanmak şartıyla 400 den büyük üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?

A) 90 B) 100 C) 120 D) 140 E) 150

5. “HANEDAN” kelimesindeki harfleri kullanarak anlamlı ya da anlamsız 7 harfli kaç kelime yazı-labilir?

A) 1200 B) 1260 C) 1280

D) 1290 E) 2000

6. A

D

E

L

B K F L

Şekilde verilen üçgen üzerindeki 8 noktadan kaç doğru geçer?

A) 8 B) 12 C) 16 D) 19 E) 24

7. 5 erkek 7 kızdan oluşan 12 kişilik bir gruptan, en az biri kız olan 3 kişilik bir grup, kaç değişik biçimde oluşturulabilir?

A) 35 B) 70 C) 105 D) 210 E) 370

8. Bir toplantıda bulunan 10 kişi tokalaşıyor.

K O N U T E K R A R T E S T İ

2


28

Toplam kaç tokalaşma olmuştur?

A) 10 B) 20 C) 45 D) 55 E) 100

9. Yandaki şekilde

çember ve doğru üzerinde toplam 15 tane nokta verilmiş-tir.

Buna göre, bu noktalarla en çok kaç üçgen çizilebilir?

A) 330 B) 345 C) 365 D) 378 E) 399

10. 6 erkek ve 5 bayan milletvekili arasından 3 erkek 2 bayan olmak üzere 5 kişilik bir komisyon kurula-caktır.

Buna göre komisyon kaç farklı şekilde kurula-bilir?

A) 50 B) 75 C) 150 D) 200 E) 250

11. (m – 2n)8 = m8 – 16m7n+ … + km5n3+ … + 28n8 olduğuna göre, k kaçtır?

A) 448 B) 112 C) 0

D) –112 E) –448

12. 10

m

2m

açılımındaki sabit terim kaçtır?

A)

5

10 B)

5

10 C)

4

10

D) 10

3

E)

5

1032

13. k pozitif reel sayı olmak üzere,

(m3 + kn2)c = … + 160m9n6 + … açılımında, k + c toplamı kaçtır?

A) 9 B) 8 C) 7 D) 5 E) 3

14. 9

5

2

1m -

m

açılımında bir terim n.m10 olduğuna

göre n kaçtır?

A) 136 B) 126 C) 116

D) –126 E) –136

15. (3a – 2)13

ifadesinin açılımında katsayılar top-lamı kaçtır?

A) 1 B) 5 C) 213 D) 313 E) 513

16. Bir torbada 4 sarı, 3 lacivert, 2 yeşil, 1 beyaz top vardır.

Bu torbadan rasgele alınan bir bilyenin yeşil olmaması olasılığı kaçtır?

A) 5

1 B)

5

3 C)

3

1 D)

3

2 E)

5

4

17. 2 çocuk, anne, baba ve dede yan yana sıralana-caktır.

Çocukların yan yana gelme olasılığı kaçtır?

A) 2

1 B)

5

2 C)

5

3 D)

4

3 E)

4

1

18. 5 çift ve 6 tek tamsayı arasından seçilen iki sayının toplamının tek sayı olma olasılığı kaç-tır?

A) 3

1 B)

11

5 C)

11

6 D)

3

2 E)

5

2

M A T E M A T İ K

29

19. 1 zar ile 2 madeni para birlikte havaya atılıyor.

Zarın üst yüzeyinde asal sayı, madeni paralar-dan en az birinin tura gelmesi olasılığı kaçtır?

A) 8

5 B)

4

1 C)

8

3 D)

2

1 E)

8

7

20. Bir kutuda 3 kırmızı, 2 mavi, 2 siyah top vardır.

Bu kutudan seçilen üç bilyeden en az birinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?

A) 35

4 B)

35

31 C)

6

5 D)

7

6 E)

8

7

1–D 2–D 3–C 4–C 5–B 6–C 7–D 8–C 9–E 10–D 11–E 12–E 13–B 14–D 15–A 16–E 17–B 18–C 19–C 20–B

matematİk permÜtasyon – kombİnasyon – bİnom ve … · 2020. 3. 16. · matematİk...

Documents