lİse - permÜtasyon kombİnasyon 2 (slayt)
DESCRIPTION
LİSE - PERMÜTASYON KOMBİNASYON 2 (SLAYT)TRANSCRIPT
Faktoriyel Kavram
Genel Çarpma KurallarıPermütasonTest
Faktoriyel Kavram
n N -{1} olmak üzere; 1,2,3...n çarpımına n faktoriyeldenir. Ve n! şeklinde gösterilir.
• 0! = 1 ve 1!=1 olarak tanımlanır.• n! = n.(n-1).(n-2)...,3.2.1
+
= n.(n-1).(n-2)!= n.(n-1)! Şeklinde yazılabilir.
Örnek:7!+8!6!+7!
İşleminin sonucu kaçtır?
A) 56! B) 15! C) 63! D) 15! E) 42! 13! 8! 14!
çözüm
!12
!15
Faktoriyel Kavram
n N -{1} olmak üzere; 1,2,3...n çarpımına n faktoriyeldenir. Ve n! şeklinde gösterilir.
• 0! = 1 ve 1!=1 olarak tanımlanır.• n! = n.(n-1).(n-2)...,3.2.1
+
= n.(n-1).(n-2)!= n.(n-1)! Şeklinde yazılabilir.
Örnek:7!+8!6!+7!
İşleminin sonucu kaçtır?
A) 56! B) 15! C) 63! D) 15! 42! 13! 8! 14!
çözüm
7! + 8! 7.6! + 8.7.6!6! + 7! 6! + 7.6!
6!(7+56)6!(1+7)
63 olur. Cevap C 8
=
=
=
Faktoriyel Kavram
Örnek:x ve y doğal sayı olmak üzere, x > y dir. Buna göre x!y!
in alacağı en küçük değer kaçtır?
A) 2x B) y C) x+1 D) y+1 E) 2y+x
çözüm
Faktoriyel Kavram
Örnek:x ve y doğal sayı olmak üzere, x > y dir. Buna göre
in alacağı en küçük değer kaçtır?
A) 2x B) y C) x+1 D) y+1 E) 2y+x
çözüm
x > y iken en küçük değeri alabilmesi için x = y + 1 olmalıdır.!
!
y
x
!
!
y
x
!
)!1(
!
!
y
y
y
x
!
!1).1(
y
y
1y olur. Cevap D
Faktoriyel Kavram
Örnek:
A) {0, 1} B) {0, 2, 3} C) {2} D) {1} E) {1,2}
3)!1(
)!1(0
n
x İse n doğal sayısının alabileceği değer-
ler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
çözüm
Faktoriyel Kavram
Örnek:
A) {0, 1} B) {0, 2, 3} C) {2} D) {1} E) {1,2}
3)!1(
)!1(0
n
x İse n doğal sayısının alabileceği değer-
ler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
çözüm
3)1(
)!1(0
n
n İse
3)!1(
)!1.().1(0
n
nnn
3)1.(0 nn
n=0 ise n.(n+1) = 0.(0+1) = 0
n=1 ise n.(n+1) = 1.(1+1) = 2n=2 ise n.(n+1) = 2.(2+1) = 6Olacağından n nin alabileceği değerler kümesi;{1} olur
Cevap D
Faktoriyel Kavram
Örnek:
A) 286 B) 258 C) 243 D) 146 E) 120
!4!.2
!6
!6!.2
!8
!3)!.313(
13İşleminin sonucu kaçtır?
çözüm
Faktoriyel Kavram
Örnek:
A) 286 B) 258 C) 243 D) 146 E) 120
!4!.2
!6
!6!.2
!8
!3)!.313(
13İşleminin sonucu kaçtır?
çözüm
!4!.2
!6
!6!.2
!8
!3)!.313(
13ise
!4.1.2
!4.5.6
!6.1.2
!6.7.8
1.2.3!.10
!10.11.12.13
=286-(28+15)=243 olur Cevap D
Genel Çarpma Kuralları
Bir işlem a farklı yolla, bunu izleyen her bir işlem, bir önceki işleme bağlıolarak b,c,d ... Farklı yolla elde edilsin. Bu işlemlerin tamamı sıralı şekilde;
a.b.c.d....Farklı şekilde elde edilebilir
Buna saymanın temel prensibi veya genel çarpma kuralı denir.
A B C D
3 yol 5 yol 2 yol
A dan C ye 3 . 4 = 12 farklı şekildeA dan D ye 3 . 4 .2 = 24 faklı şekilde gidilebilir.
• 5 ceket, 3 pantolon, 6 gömleği olan bir kişi5.3.6 = 90 farklı şekilde giyinebilir.
Genel Çarpma Kuralları
Örnek:Ankara ile Konya arasında 8, Konya ile Adana arasında 9farklı otobüs yolu olduğunu varsayalım. Bir otobüs her seferinde Konya’ya uğramak şartıyla Ankara’dan Adana’yakaç farklı şekide gidebilir?
A) 9! B) 8! C) 72 D) 17 E) 77çözüm
Genel Çarpma Kuralları
Örnek:Ankara ile Konya arasında 8, Konya ile Adana arasında 9farklı otobüs yolu olduğunu varsayalım. Bir otobüs her seferinde Konya’ya uğramak şartıyla Ankara’dan Adana’yakaç farklı şekide gidebilir?
A) 9! B) 8! C) 72 D) 17 E) 77çözüm
Ank
ara
Kon
ya
Ada
na
8 farklı yol 9 farklı yol
Bir otobüs Akara’dan Adana’ya her seferinde Konya’ya uğramak şartıyla8.9 = 72 farklı şekilde gidebilir. (Genel Çarpma Kuralı) Cevap C
Genel Çarpma Kuralları
Örnek:A={1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile iki basamaklı ve basamaklarındakirakamlar birbirinden farklı kaç sayı yazılabilir.
A)10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50
çözüm
Genel Çarpma Kuralları
Örnek:A={1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile iki basamaklı ve basamaklarındakirakamlar birbirinden farklı kaç sayı yazılabilir.
A)10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50
çözüm
6 5{1,2,3,4,5,6} 6 sayıdan bir tanesi
Geriye kalan 5 sayı
6.5=30 tane sayı yazılabilir Cevap C
Genel Çarpma Kuralları
Örnek:{1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanlarını kullanarak basamaklarındakirakamları birbirinden farklı ve 45 ile biten 6 basamaklı en fazla kaçtane doğal sayı yazılabilir?
A)12 B) 24 C) 60 D) 120 E) 240
çözüm
Genel Çarpma Kuralları
Örnek:{1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanlarını kullanarak basamaklarındakirakamları birbirinden farklı ve 45 ile biten 6 basamaklı en fazla kaçtane doğal sayı yazılabilir?
A)12 B) 24 C) 60 D) 120 E) 240
çözüm
4 3 2 1 1 1
{4} {5}{geriye kalan 1 sayı gelebilir.}{geriye kalan 2 sayıdan biri gelebilir.}{geriye kalan 3 sayıdan biri gelebilir.}{4,5 in dışında geriye kalan 4 sayıdan biri gelebilir}
Cevap B=4.3.2.1.1.1=24 olur.
Genel Çarpma Kuralları
Örnek:Bir rafta 5 tane matemaik, 2 tane edebiyat ve 3 tane tarih kitabı vardır.Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmamak üzere, kaç değişik şekildeyan yana sıralanabilir?
A)30 B) 90 C) 1440 D)8640 E)8460
çözüm
Genel Çarpma Kuralları
Örnek:Bir rafta 5 tane matemaik, 2 tane edebiyat ve 3 tane tarih kitabı vardır.Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmamak üzere, kaç değişik şekildeyan yana sıralanabilir?
A)30 B) 90 C) 1440 D)8640 E)8460
çözüm
Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmayacağından;5 matematik kitabı = 5! şeklinde2 edebiyat kitabı = 2! şeklinde3 tarih kitabı = 3! Şeklinde sıralanır.
Burada matematik, edebiyat, tarih kitapları birer kitap gibi düşünülür, böyle olunca 3!Şeklinde de bunlar sıralanır. Öyleyse;3! (5! .2! .3!) = 8640 olur. Cevap D
MMMMM EE TTT
Permütasyon
1.tanımn tane elemanın bir sıra üzerinde r li sıralanışlarından her birinen nin r li bir permütasyonu denir. n elemanının r li permütasyonlarınınsayısı, n r olmak üzere;
bu formulden şu sonuçlar çıkarılabilir.
)!(
!),(
rn
nrnp
•P(n,r) permütasyonlarının sayısını bulmak için, n den geriye doğru,r tane ardışık çarpan çarpılır.•P(n,n) = n!•P(n,1) = n•p(0,0) = 1•p(n,0) = 1
Permütasyon
Örnek:
işleminin sonucu nedir?
A)14 B)22 C)28 D)36 E)42
)2,3(,3
1)4,5(,
5
1PP
çözüm
Permütasyon
Örnek:
işleminin sonucu nedir?
A)14 B)22 C)28 D)36 E)42
)2,3(,3
1)4,5(,
5
1PP
çözüm
)!(
!),(
rn
nrnp
veya n den geriye doğru, r tane ardışık çarpan
çarpılarak bulunabilir.
22
224
)2.3(3
1)2.3.4.5.(
5
1
Olur. cevap B
Permütasyon
Permütasyonlarda birbirinden farklı elemanların değişiksıralanışları söz konusudur.
Permütasyon olan ifadeler genelde;• Kaç türlü sıralanabilir? Dizilebilir? Poz verebilir?• Kaç türlü sayı yazılabilir? Anlamlı yada anlamsız kaç türlükelime yazılabilir?• Yuvarlak masa etrafında kaç türlü oturulabilir? Şeklindedir.
!
!
Permütasyon
2. Dairesel dönel permütasyon
n elemanlı bir kümenin elemanlarının, bir çemberin etrafındabirbirinden farklı dizilişlerinden her birine, dairesel permütasyon denir.
n elemanlı bir çember etrafında;(n-1)! Farklı bir şekilde sıralanır
Permütasyon
Örnek:7 kişilik bir aile, anne ile baba yan yana oturmak şartıyla, daireşeklindeki bir masa etrafına kaç değişik şekilde oturabilirler?
A) 24 B) 48 C) 120 D) 240 E) 90
çözüm
Permütasyon
Örnek:7 kişilik bir aile, anne ile baba yan yana oturmak şartıyla, daireşeklindeki bir masa etrafına kaç değişik şekilde oturabilirler?
A) 24 B) 48 C) 120 D) 240 E) 90
çözüm
Anne ile baba yan yana oturacağından 1 kişi gibi düşünülür.6 kişi yuvarlak masa etrafında 5! Değişik şekilde oturur. anneile baba kendi aralarında 2! Değişik şekilde oturacağından;
5! . 2! = 120 . 2 = 240 değişik şekilde oturabilir. Cevap D
Permütasyon
3 tekrarlı permütasyonÖnce sanki tekrar eden yokmuş gibi sıralanır. Sonra tekrar edendurumların sıralanış sayısı atılır. Çarpım durumundaki ifadeden, fazlalıkların atılması bölme ile yapılır.
Tekrarlı
FarklıSankiHepsi
Permütasyon
Örnek:MATEMATİK kelimesindeki harflerle anlamlı yada anlamsız kaçkelime yazılabilir?
A) 9! B) 8! C) 45360 D) 32424 E) 7!
çözüm
Permütasyon
Örnek:MATEMATİK kelimesindeki harflerle anlamlı yada anlamsız kaçkelime yazılabilir?
A) 9! B) 8! C) 45360 D) 32424 E) 7!
çözüm
M -> 2 taneA -> 2 taneT -> 2 tane tekrar edilmiştir.
Olur cevap C45360!2!.2!.2
!9
Test
1- K={0,1,2,3,4} kümesinin elemanları ile üç basamaklı rakamları tekrarsız farklı çift sayı yazılabilir?
A) 30 B) 36 C) 42 D)47 E)52 cevap A
2- A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin rakamları 500 ile 700 arasında rakamları tekrarsız kaç değişik çift sayı yazılabilir yazılabilir?
A) 32 B) 40 C) 44 D)72 E)84 cevap D
3- A={1,2,3} kümesinin harfleriyle yazılabilecek rakamları tekrarsız 3 basamaklı sayıların toplamı kaçtır?
A)1200 B)1332 C)2440 D)2684 E)3156 cevap B
4- Bir lokantadaki 6 çeşit çorba, 4 çeşit tatlı ve 3 çeşit kebapdan birer tane isteyen müşteri üç kaplık yemeği kaç farklı şekilde isteyebilir?
A)13 B)72 C) 6!4!31 D) E)144 cevap B
5- olduğuna göre n kaçtır?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 cevap B
222246
..
35!
!)!1()!2(
n
nnn
Test
6- A={0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarıyla yazılabilecek 4 basamaklı sayılardan kaç tanesi 5 ile kalansız bölünür ?
A) 108 B) 120 C) 240 D)320 E)380 cevap E
7- 4 matematik, 4 fizik kitabı aynı dersin herhangi iki kitabı yanyana gelmemek şartıyla bir rafa kaç farklı biçimde dizilebilir?
A) 120 B) 248 C) 256 D)576 E)1152 cevap E
8- 4 çocuklu bir aile 6 kişilik bir banka anne ile babanın arasına 2 çocuk oturmak şartıyla kaç farklı biçimde oturabilirler?
A)66 B)120 C)144 D)240 E)256 cevap C
9- “KARABAŞ” kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek yazılabilecek 7 harfli anlamlı yada anlamsız kelimelerin kaç tanesinde A dan sonra B harfi gelir?
A)64 B)120 C) 230 D) 320 E)360 cevap E
Test
Yandaki şekilde noktalar kullanılarak en az iki köşesi çember üzerinde olmak üzere kaç farklı üçgen çizilebilir?(Çember üzerindeki herhangi iki nokta ile doğru üzerindeki herhangi bir nokta doğrusal değil)
A) 75 B) 85 C) 90 D) 95 E) 105 cevap D
10-
Yandaki şekilde noktalar kullanılarak en az iki köşesi çember üzerinde olmak üzere kaç farklı üçgen çizilebilir?(Çember üzerindeki herhangi iki nokta ile doğru üzerindeki herhangi bir nokta doğrusal değil)
A) 256 B) 315 C) 355 D) 395 E) 435 cevap D
11-
Test
1- A={0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarıyla 3 basamaklı 400’den büyük, rakamları tekrarsız kaç tek sayı yazılabilir ?
A) 7 B) 12 C) 15 D) 18 E) 30 cevap E
2- 8 kişilik bir ailede en küçük çocuk anne ile baba arasında olmak üzere yuvarlak bir masa etrafında kaç değişik şekilde oturabilirler?
A) 2.5! B) 3!.5! C) 2.7! D)3.6! E)6! cevap C
3- “KAPKARA” kelimesinin harfleriyle 7 harfli anlamlı yada anlamsız kelimelerin kaç tanesi A ile başlar, fakat A ile bitmez?
A) 3! B) 4! C) D) 5! E) 6! cevap D
4- Farklı 3 matematik ve 2 Fizik kitabı, herhangi iki matematik kitabı yanyana gelmemek şartıyla kaç farklı biçimde sıralanabilir?
A)10 B) 12 C) 16 D) 18 E)24 cevap B
5- 1023355 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek 7 basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?A) 220 B) 240 C) 260 D) 280 E) 300 cevap A
-Zor-
2
!5
Test -Zor-
6-
Şekildeki noktalardan kaç değişik doğru çizilebilir?
A) 16 B) 21 C) 22 D) 24 E)28
Şekildeki 9 noktadan üç tanesini köşe kabul eden kaç üçgen çizilebilir?
A) 84 B) 80 C) 72 D) 60 E) 48 cevap C
7-