permÜtasyon, kombİnasyon bİnom, olasilik ve İstatİstİk · permütasyon, kombinasyon, binom,...

PERMÜTASYON, KOMBİNASYONBİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTPermütasyon

1. Kazanım : Eşleme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini açıklar.

2. Kazanım : n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarını belirleyerek n, r ∈ N ve n ≥ r olmaküzere, n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısının

P(n, r) = n(n – 1)(n – 2)…(n – r + 1) = ( ) !

!n r

n–

olduğunu gösterir.

3. Kazanım : Dönel (dairesel) permütasyon ile ilgili uygulamalar yapar.

4. Kazanım : Tekrarlı permütasyon ile ilgili uygulamalar yapar.

Kombinasyon

1. Kazanım : n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarını belirleyerek n, r ∈ N ve n ≥ r olmaküzere, n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısının

C(n, r) = !

( , )! ( ) !

!r

P n rr n r

n–

= olduğunu ve kombinasyonun özelliklerini gösterir.

Binom Açılımı

1. Kazanım : Binom açılımını yapar.

Olasılık

1. Kazanım : Deney, çıktı, örneklem uzay, örneklem nokta, olay, kesin olay, imkânsız olay, ayrık olaylarkavramlarını açıklar.

2. Kazanım : Olasılık fonksiyonunu belirterek bir olayın olma olasılığını hesaplar ve olasılık fonksiyo-nunun temel özelliklerini gösterir.

3. Kazanım : Eş olasılı (olumlu) örneklem uzayı açıklar ve bu uzayda verilen bir A olayı için

P(A) = ( )( )

s Es A olduğunu belirtir.

4. Kazanım : Koşullu olasılığı açıklar.

5. Kazanım : Bağımsız ve bağımlı olayları örneklerle açıklar, A ve B bağımsız olayları için

P(A ∩ B) = P(A).P(B) olduğunu gösterir.

İstatistik

1. Kazanım : Verilen bir gerçek yaşam durumuna uygun serpilme grafiği ve kutu grafiği çizer ve bugrafikler üzerinden çıkarımlarda bulunur.

2. Kazanım : Verilen bir gerçek yaşam durumunu yansıtabilecek en uygun grafik türünün hangisi oldu-ğuna karar verir, grafiği oluşturur ve verilen bir grafiği yorumlar.

3. Kazanım : Merkezi eğilim ve yayılma ölçüleri kullanılarak gerçek yaşam durumları için hangi eğilimveya yayılım ölçüsünü kullanması gerektiğine karar verir.

4. Kazanım : Verilen iki değişken arasındaki korelasyon kat sayısını hesaplar ve yorumlar.

154

ÖRNEK 1

4 erkek ve 2 kadın arasından 1 erkek ve 1 kadın kaç

değişik şekilde seçilebilir?

Çözüm

ÖRNEK 2

3 mektup 5 posta kutusuna kaç değişik şekilde atı-labilir?Çözüm

PERMÜTASYON, KOMBİNASYONBİNOM, OLASALIK ve İSTATİSTİK

Bire Bir Eşleme Yoluyla SaymaBir kümenin eleman sayısını, sayma sayıları kümesinin yani N+ = {1, 2, 3, .....} kümesinin elemanları ile bire bir eşleyerek bulmaya bire bir eşleme yoluyla sayma denir.Örneğin; bir sınıftaki öğrenci sayısını veya bir kitaptaki yaprakların sayısını bu yolla bulabiliriz.

Toplama Yoluyla SaymaA ve B ayrık ve sonlu iki küme olmak üzere, A ve B kümelerinin toplam kaç elemanı olduğunu,s(A ∪ B) = s(A) + s(B) , ( A ∩ B = ∅ ) şeklinde toplama yaparak buluruz.Örneğin; bir sınıfta 12 kız, 15 erkek öğrenci varsa, toplam kaç öğrenci olduğunu bulmak için öğrencilerin hepsini saymaya gerek yoktur. Kısaca, sınıfta 12 +15 = 27 öğrenci vardır diyebiliriz. Bu yolla yapılan sayma işlemine toplama yoluyla sayma denir.

Çarpma Yoluyla Saymaİkişer ikişer ayrık ve her biri a elemanlı b tane kümenin birleşiminin eleman sayısı a.b dir. Birleşim kümesinin eleman sayısını bu şekilde bulma işlemine çarpma yoluyla sayma denir.Örneğin; bir okulda 10 sınıf ve her sınıfta 30 öğrenci varsa, bu okulda 10.30 = 300 öğrenci vardır.

Saymanın Temel İlkesiBir olaylar dizisinde birinci olay n1 değişik biçimde, bunu izleyen ikinci olay n2 değişik biçimde ve bu şekilde işleme devam edildiğinde r. olay nr farklı biçimde oluşuyorsa, olayın tamamı n1.n2. ... nr çarpımı kadar değişik biçimde oluşur.

Örneğin, 3 farklı gömleği, 2 farklı kravatı olan bir kişi, bir gömlek ve bir kravatı 3.2 = 6 farklı biçimde giyebilir.

g1

k1 k2

g2

k1 k2

g3

k1 k2

Bu durumu ağaç diyagramı adı verilen yandaki

yöntemle de bulabilirdik.

Gömlekler: g1, g2, g3 , Kravatlar: k1, k2, k3

olmak üzere biçiminde 6 farklı durum vardır.Burada, G = {g1, g2, g3}, K = {k1, k2} olmak üzere, 1 gömlek ve 1 kravattan oluşan gömlek - kravat ikilisinin seçileceği kartezyen çarpım kümesi ise G x K = {(g1, k1), (g1, k2), (g2, k1), (g2, k2), (g3, k1), (g3, k2)} dir. G x K kümesi 3.2 = 6 tane ikiliden oluşmaktadır. Yani, 3 gömlek ve 2 kravatı olan bir kişinin, bir gömlek ve bir

kravatı 6 farklı biçimde giyebileceğini bu yolla da bulabiliriz.

SAYMA KURALLARI

Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik

ES

EN

YAY

INLA

RI

155

ÖRNEK 3

Bir kutuya en çok bir mektup atmak koşulu ile 3 mek-tup 5 posta kutusuna kaç değişik şekilde atılabilir?

Çözüm

ÖRNEK 4

Birbirinden farklı 3 matematik, 4 fizik ve 2 kimya kitabı arasından 1 matematik, 1 fizik ve 1 kimya kitabı kaç farklı şekilde seçilebilir?

Çözüm

ÖRNEK 5

5 kişilik bir komisyondan bir başkan, 1 başkan yar-dımcısı ve bir sekreter kaç farklı şekilde seçilebilir?

Çözüm

ÖRNEK 6

{ 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak;

a. Üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?

b. Rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?

c. Üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?

d. Üç basamaklı ve rakamları farklı kaç tek sayı

yazılabilir?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

156

ÖRNEK 7

{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak;


b. Rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir?

c. Üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?

d. Üç basamaklı ve rakamları farklı kaç çift sayı

yazılabilir?

e. 5 ile bölünebilen üç basamaklı kaç farklı sayı

yazılabilir?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

157

ÖRNEK 8

{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanları ile 4000 den büyük, rakamları farklı dört basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?

Çözüm

ÖRNEK 9

{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanları ile 300 den büyük 500 den küçük, rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir?

Çözüm

ÖRNEK 10

İ, S, T, A, N, B, U, L

harflerini bir kez kullanmak şartıyla 4 harfli anlamlı ya

da anlamsız kelimeler yazılacaktır.

Bu kelimelerin kaç tanesinde A harfi vardır?

Çözüm

ÖRNEK 11

5 kişinin katıldığı bir yarışta ilk üç derece kaç farklı

biçimde oluşabilir?

Çözüm

ÖRNEK 12

3 farklı oyuncak 6 çocuğa kaç değişik biçimde dağı-

tılabilir?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

158

ÖRNEK 13

3 farklı oyuncak 6 çocuğa, bir çocuğa birden fazla

oyuncak vermemek koşulu ile kaç değişik biçimde

dağıtılabilir?

Çözüm

ÖRNEK 14

{ 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanları ile en az iki ra-

kamı birbirinin aynı olan, üç basamaklı kaç farklı sayı

yazılabilir?

Çözüm

ÖRNEK 15

{ 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak

yazılan, rakamları birbirinden farklı olan tüm beş ba-

samaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor.

Buna göre, 50. sırada hangi sayı vardır?

Çözüm

ÖRNEK 16

{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak

yazılan, rakamları birbirinden farklı olan tüm dört

basamaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor.

Buna göre, 3214 sayısı kaçıncı sırada yer alır?

Çözüm

ÖRNEK 17

A B C

Şekildeki çizgiler A, B ve C kentleri arasındaki yolları

göstermektedir. Buna göre, A kentinden hareket edip

C kentine gidecek olan bir kimse kaç değişik yol iz-

leyebilir?


ES

EN

YAY

INLA

RI

159

Çözüm

ÖRNEK 18

Bir toplantıda herkes birbiri ile tokalaşmıştır. Toplam 45 tokalaşma olduğuna göre, toplantıda kaç kişi vardır?

Çözüm

FAKTÖRİYEL (ÇARPANSAL)

n ∈ N+ olmak üzere, 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel (çarpansal) denir ve n! ile gösterilir. Buna göre,

n! = 1.2.3. ......... (n – 1).n olur.

1! = 1

2! = 1.2 = 2

3! = 1.2.3 = 6

4! = 1.2.3.4 = 24

5! = 1.2.3.4.5 = 120

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n! = 1.2.3..............n

n! = (n – 1)!.n

n! = (n – 2)!.(n – 1).n

0! = 1 dir.

ÖRNEK 19

15! = 14!.15 = 13!.14.15

= 12!.13.14.15 olur.

ÖRNEK 20

Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz.

a. !!

810 b.

!! !10

8 9+

c. ( ) !( ) !nn

11

–+ d.

! !! !

5 45 6

–+ e.

!( !) !73

Çözüm

ÖRNEK 21

0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ………+19!

sayısının birler basamağındaki rakamı kaçtır?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

160

ÖRNEK 22

20! sayısı 19! sayısından kaç fazladır?

Çözüm

ÖRNEK 23

85! sayısının sondan kaç basamağı 0 (sıfır) dır?

Çözüm

ÖRNEK 24

23! + 24! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır?

Çözüm

ÖRNEK 25

78! – 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı vardır?

Çözüm

ÖRNEK 26

A ve n doğal sayılar olmak üzere, 26! = 6n.A eşitli-

ğini sağlayan n değeri en çok kaç olabilir?

Çözüm

ÖRNEK 27

x ve y birer doğal sayıdır.

x! = 6. y! ise y kaç farklı değer alabilir?

Çözüm

161

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. 2 mektup 4 posta kutusuna kaç farklı şekildeatılabilir?

2. Bir kutuya en çok 1 mektup atmak koşuluyla 2mektup 4 posta kutusuna kaç değişik biçimdeatılabilir?

3. 20 kişilik bir sınıftan bir başkan, bir başkan yar-dımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?

4. 10 kişilik bir arkadaş grubunda herkes birbiri iletokalaşmıştır. Kaç tokalaşma olmuştur?

5. Beş soruluk bir test sınavında her soru için 5seçenek vardır. Bu sınav için kaç farklı cevapanahtarı hesaplanabilir?

6. 2 kişi 6 farklı şehire kaç farklı şekilde gidebilir?

7. Herkesin birbirine bir fotoğraf verdiği bir topluluk-ta dağıtılan fotoğraf sayısı 56 olduğuna göre butoplulukta kaç kişi vardır?

8. A kentinden B kentine 3 farklı yol, B kentinden Ckentine 4 farklı yol vardır. B ye uğramak koşuluy-la A dan C ye

a. Kaç türlü gidilebilir?

b. Kaç türlü gidilip gelinebilir?

c. Giderken kullanılan yolu dönerken kullanma-mak koşuluyla kaç türlü gidilip gelinebilir?

9. Birbirinden farklı 4 Geometri, 5 Matematik ve xTürkçe kitabı arasından, 1 Geometri, 1 Matematikve 1 Türkçe kitabı 60 farklı şekilde seçilebildiğinegöre x kaçtır?

ALIŞTIRMALAR – 1


162

ES

EN

YAY

INLA

RI

10. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere A kümesininelemanlarını kullanmak koşuluyla aşağıdakiler-den doğru olanlar için boş kutulara “D” yanlışolanlar için “Y” yazınız.

Üç basamaklı 216 sayı yazılabilir.

Rakamları farklı üç basamaklı 120 sayı

yazılabilir.

Rakamları farklı, üç basamaklı 60 çift sayı yazılabilir.

Rakamları farklı ve 400 den büyük 60 sayı yazılabilir.

En az iki rakamı aynı olan 96 sayı yazıla-bilir.

Üç rakamı aynı olan 6 sayı yazılabilir.

11. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarınıkullanarak


b. Rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazı-labilir?

c. Rakamları farklı 5 ile bölünebilen üç basa-maklı kaç sayı yazılabilir?

d. Rakamları farklı üç basamaklı 300 den büyükkaç sayı yazılabilir?

e. Rakamları farklı 500 den küçük 200 denbüyük kaç sayı yazılabilir?

12. Aşağıdakilerden doğru olanlar için boş kutulara“D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.

G, İ, Z, E, M harflerini bir kez kullanarak

4 harfli, 120 tane sözcük yazılabilir?

A, Y, B, E, N, İ, Z harflerini bir kez kulla-narak 5 harfli 840 tane sözcük yazılabilir?

Ü, Ç, G, E, N harflerini bir kez kullanarak yazılabilecek 4 harfli sözcüklerin 98 tane-sinde E harfi vardır?

13. Aşağıdaki işlemlerin her birinin sonucunu bulu-nuz.

a.!!

1012

b. !

! !8

6 7+

c. ( ) !( ) !nn

13

++

d. ! !! !

5 64 5

++


163

ES

EN

YAY

INLA

RI

14. Aşağıdakilerden doğru olanlar için boş kutulara“D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.

0! = 0 dır.

1! = 1 dir.

10! sayısı 8! sayısının 90 katıdır.

(n + 2)! = (n – 2)!.(n – 1)n(n + 1) dir.

6!.7! = 10! dir.

!( ) !

nn2

2= dir.

15. 2! + 4! + 6! + ..... + 80! sayısının birler basama-ğındaki rakam kaçtır?

16. 2! + 3! + 4! + ..... + 40! sayısının 40 ile bölümün-den kalan kaçtır?

17. 72! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?

18. 23! + 24! + 25! sayısının sondan kaç basamağısıfırdır?

19. 60! – 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamıvardır?

20. Aşağıdaki eşitliklerin herbirinde x ve y doğalsayılardır. Buna göre bu eşitlikleri sağlayan enbüyük x değerlerini bulunuz.

a. 32! = 3x.y

b. 40! = 6x.y

c. 28! = 4x.y

d. 46! = 12x.y

21. 10! sayısı 8! sayısından kaç fazladır?


ES

EN

YAY

INLA

RI

164

PERMÜTASYON (SIRALAMA)

A sonlu bir küme olmak üzere, A dan A ya tanımlanan

bire bir ve örten her fonksiyona, A nın bir permütas-

yon fonksiyonu ya da kısaca permütasyonu denir.

A = { 1, 2, 3 } olsun.

1

2

3

1

2

3

A Af

Yukarıdaki şema ile tanımlanan bire bir ve örten f

fonksiyonu bir permütasyon fonksiyonudur.

f fonksiyonunu,

f = { (1, 2) , (2, 1) , (3, 3) } veya f 12

21

33

= c m

biçiminde gösterebiliriz.

ÖRNEK 28

A = { 1, 2, 3 } kümesinde tanımlanan tüm permütas-

yon fonksiyonlarını gösteriniz.

Çözüm

Permütasyonların Sayısı

n, r ∈ N+ ve r ≤ n olmak üzere, n elemanlı bir küme-

nin birbirinden farklı r tane elemanından oluşmuş sı-

ralı r lilerin her birine n nin r li permütasyonu denir.

n elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısı,

( , )( ) !

!P n rn r

n–

= olur.

r = n ise n elemanlı bir kümenin permütasyonlarının

sayısı, P(n, n) = n! olacaktır.

ÖRNEK 29

A = { a, b, c } kümesinin ikili permütasyonlarının sa-

yısını bulunuz.

Çözüm

ÖRNEK 30

Bir A kümesinin üçlü permütasyonlarının sayısı 60

ise s(A) kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 31

P(n, 1) = P(8, 2) ise n kaçtır?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

165

ÖRNEK 32

A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 3 lü permütasyonları-

nın kaç tanesinde a bulunur?

Çözüm

ÖRNEK 33

5 kişi, 3 kişilik bir banka kaç farklı şekilde oturabilir?

Çözüm

ÖRNEK 34

5 kişi, 5 kişilik banka kaç değişik şekilde oturabilir?

Çözüm

ÖRNEK 35

Birbirinden farklı 3 matematik, 2 fizik ve 1 kimya kitabı

bir rafa kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Çözüm

ÖRNEK 36

Birbirinden farklı 3 matematik ve 4 tarih kitabı bir

rafa, matematikler bir arada olmak koşulu ile kaç türlü

sıralanabilir?

Çözüm

ÖRNEK 37

5 farklı matematik, 4 farklı fizik ve 3 farklı kimya kitabı

bir rafa aynı tür kitaplar bir arada bulunmak koşuluyla

kaç değişik biçimde sıralanabilir?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

166

ÖRNEK 38

Ayşe ve Fatma’nın da aralarında bulunduğu 6 kişi,

Ayşe ile Fatma art arda gelmemek şartıyla bir kuy-

rukta kaç farklı şekilde dizilebilirler?

Çözüm

ÖRNEK 39

6 kız ve 3 erkek öğrenci, erkeklerden herhangi ikisi

yan yana gelmemek şartı ile bir sırada kaç farklı

şekilde dizilerek fotoğraf çektirebilirler?

Çözüm

ÖRNEK 40

4 erkek ve 3 bayan, bir erkek – bir bayan düzeninde yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilirler?

Çözüm

TEKRARLI PERMÜTASYON

n elemanlı bir kümenin;

n1 tanesi aynı tür, n2 tanesi aynı tür, .........., nr tanesi aynı tür ve n1 + n2 + ......... + nr = n ise bu n tane

elemanın permütasyonlarının sayısı

P(n; n1, n2, ..., nr) = !. !…… !

!n n n

nr1 2

kadardır.

ÖRNEK 41

Özdeş 2 sarı ve 3 kırmızı bilye bir sırada kaç farklı

şekilde dizilebilir?

Çözüm

ÖRNEK 42

333221 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek

altı basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

167

ÖRNEK 43

ANKARA sözcüğünün harflerinin yerleri değiştirilerek

anlamlı ya da anlamsız 6 harfli kaç farklı sözcük ya-

zılabilir?

Çözüm

ÖRNEK 44

MATEMATİK sözcüğünün harflerinin yerleri değiştiri-

lerek anlamlı ya da anlamsız, 9 harfli ve M ile başla-

yıp M ile biten kaç farklı sözcük yazılabilir?

Çözüm

ÖRNEK 45

4442200 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek

7 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?

Çözüm

ÖRNEK 46

KELEBEK kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek

yazılabilen anlamlı ya da anlamsız 7 harfli kelimelerin

kaç tanesinde E harfini K harfi takip eder?

Çözüm

ÖRNEK 47

A

B

Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokak-

larını göstermektedir. A dan hareket edip B noktasına

en kısa yoldan gidecek olan bir kimse kaç değişik yol

izleyebilir?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

168

ÖRNEK 48

333001 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek 1

ile başlayan 6 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?

Çözüm

ÖRNEK 49

1103334 sayısının rakamları ile 7 basamaklı kaç fark-

lı çift doğal sayı yazılabilir?

Çözüm

DÖNEL (DAİRESEL) PERMÜTASYON

Sonlu bir kümenin elemanlarının bir daire üzerinde

birbirlerine göre farklı dizilişlerinin her birine bu ele-

manların bir dönel (dairesel) permütasyonu denir.

Sonlu n elemanın farklı dairesel permütasyonlarının

sayısı (n – 1)! tanedir.

ÖRNEK 50

Ahmet, Barış ve Ceylan’ın yuvarlak bir masa etrafın-

da kaç değişik şekilde oturabileceklerini bulunuz.

Çözüm

ÖRNEK 51

2 kız ve 3 erkek, yuvarlak bir masa etrafında kaç de-

ğişik şekilde oturabilirler?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

169

ÖRNEK 52

3 kız ve 4 erkek, yuvarlak bir masa etrafında, kızlar

yanyana olmak koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilir?

Çözüm

ÖRNEK 53

3 kız ve 4 erkek, yuvarlak bir masa etrafında, kızlar

yanyana olmamak koşulu ile kaç farklı şekilde otu-

rabilir?

Çözüm

ÖRNEK 54

4 öğretmen, 3 mühendis ve 2 doktor yuvarlak bir

masa etrafında oturacaklardır. Aynı meslekten olan-

lar birbirinden ayrılmamak koşulu ile kaç farklı şekilde

oturabilirler?

Çözüm

ÖRNEK 55

4 kız ve 4 erkek öğrenci yuvarlak bir masa etrafına

2 erkek arasında 1 kız olmak koşulu ile kaç değişik

şekilde oturabilirler?

Çözüm

ÖRNEK 56

Renkleri farklı 5 boncuk bir halkaya kaç değişik şekil-

de dizilebilir?

Çözüm

170

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. A = {1, 2, 3, 4} kümesinin üçlü permütasyonları-nın herbirini yazınız.

2. A = {a, b, c, d, e} kümesinin dörtlü permütasyon-larının kaç tanesinde a bulunur?

3. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş ku-tulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.

Üçlü permütasyonlarının sayısı 24 olan

küme 4 elemanlıdır.

İkili permütasyonlarının sayısı 20 olan küme 5 elemanlıdır.

P(n, 0) = 120 ise n = 4 tür.

P(4, 2) + P(3, 2) = 18 dir.

4. Aşağıda sol sütunda verilen ifadelerin eşitini sağsütundan bulup eşleştiriniz.

P(n, 0)

P(n, 1)

P(n, 2)

P(n, n)

n2 – n

n

n!

1

5. Aşağıdaki eşitliklerin her birinde n değerlerinibulunuz.

a.( , )( , )

P nP n

65

32=

b. P(n + 1, 2) = 2.P(n, 2)

c. P(n, 5) = 5.P(n – 1, 3)

d. P(n, 0) + P(n, 1) + P(n, 2) = 10

6. 4 kişilik bir banka 120 farklı şekilde oturabilen birgrupta kaç kişi vardır?

7. 5 erkek ve 5 bayan, bir erkek - bir bayan düzenin-de yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?

ALIŞTIRMALAR – 2


171

ES

EN

YAY

INLA

RI

8. Birbirinden farklı 4 Matematik, 3 Fizik ve 2 Türkçekitabı bir kütüphanenin rafına,

a. Kaç farklı şekilde sıralanabilir?

b. Matematikler bir arada olmak üzere kaç türlüsıralanabilir?

c. Türkçelerin biri başta, diğeri sonda olacakşekilde kaç türlü sıralanabilir?

d. Belli iki Matematik kitabı bir arada olmaküzere kaç türlü sıralanabilir?

9. 5 erkek ve 4 bayan, bir erkek - bir bayan düzenin-de yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?

10. Bir grup arkadaş, yan yana bulunan iki koltuğa 30farklı şekilde oturabiliyorsa, yan yana bulunan 4koltuğa kaç farklı şekilde oturabilirler?

11. ECEM sözcüğündeki harfleri yer değiştirerekanlamlı ya da anlamsız 4 harfli kaç farklı sözcükyazılabilir?

12. OLASILIK sözcüğündeki harfleri yer değiştirerekanlamlı ya da anlamsız 8 harfli, O ile başlayankaç farklı sözcük yazılabilir?

13. 12232100 sayısının rakamlarını yer değiştirerek8 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?

14. FİRİKİK sözcüğündeki harflerin yerleri değiştiri-lerek yazılabilen 7 harfli sözcüklerin kaç tanesin-de İ harfini K harfi takip eder?

15. Aybars ile Ecem’in de aralarında bulunduğu 7kişi, Aybars ile Ecem yan yana gelmemek koşu-luyla bir sıra halinde kaç farklı şekilde sıralanabi-lirler?


172

ES

EN

YAY

INLA

RI

16. 21130751 sayısının rakamları ile 8 basamaklıkaç farklı çift sayı yazılabilir?

17. A

C

D

B

Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını göstermektedir. A dan harekete baş-layıp B ve C ye uğrayarak D kentine en kısa yoldan gitmek isteyen biri kaç değişik yol izleye-bilir?

18. 5 kız, 5 erkek arkadaş yuvarlak masa etrafında2 erkek arasında 1 kız olmak koşuluyla kaç türlüoturabilirler?

19. 4 evli çift yuvarlak masa etrafında, eşler birbi-rinden ayrılmamak koşuluyla kaç farklı şekildeoturabilirler?

20. 5 erkek, 3 kız arkadaş yuvarlak masa etrafında

a. Kaç türlü oturabilirler?

b. Kızlar bir arada olmak üzere kaç türlü otura-bilirler?

c. Erkekler bir arada olmak üzere kaç türlü otu-rabilirler?

21. 2 kız ve bir grup erkekten oluşan topluluk yuvar-lak masa etrafında, kızlar bir arada olmak koşu-luyla 48 farklı şekilde oturabiliyorsa bu topluluktakaç erkek vardır?

22. x kişi yuvarlak masa etrafına a farklı şekilde,

bir bankın üzerine b farklı şekilde oturabiliyorsa

ab kaçtır?


173

ÖRNEK 57

A = {a, b, c} kümesinin 2 elemanlı kombinasyonları ile 2 elemanlı permütasyonlarını karşılaştırınız.

Çözüm

ÖRNEK 58

.n

nn

12

2–=c cm m olduğuna göre, n kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 59

n n5 7

=c cm m ise n kaçtır?

Çözüm: l. Yol

ES

EN

YAY

INLA

RI

r, n ∈ N ve r ≤ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li

kombinasyonu denir ve n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısı

( , )( ) !. !

!C n rnr n r r

n–

= =c m biçiminde ifade edilir.

nr

nn r–

=c cm m nn

n0

1= =c cm m n

nn

n1 1–

= =c cm m n

rnr

nr1

1–

+ =+

c c dm m n

P(n, r) = C(n, r).r! n n n n

n0 1 22… n+ + + + =c c c cm m m m

nx

ny

=c dm n ⇒ x = y veya x + y = n dir.

Kombinasyonda sıranın önemi yoktur. n elemanın r li seçimleri söz konusudur. Permütasyonda ise sıralı diziliş vardır.

KOMBİNASYON (SEÇME)


ES

EN

YAY

INLA

RI

174

ÖRNEK 60

n62

61

=+

d dn n ise n nin alabileceği değerlerin toplamı

kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 61

62

63

74

85

96

+ + + +d d d d dn n n n n toplamının sonucu kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 62

n n n

r5 61

719

+ ++

=c c d dm m n n ise n + r kaç olabilir?

Çözüm

ÖRNEK 63

A = {1, 2, 3, 4} kümesinin 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?

Çözüm

ÖRNEK 64

9 elemanlı bir kümenin en çok 7 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 65

7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

175

ÖRNEK 66

8 kişilik bir sporcu grubundan, 5 kişilik bir basketbol takımı, kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Çözüm

ÖRNEK 67

7 soruluk bir sınavda öğrencilerden 5 soruyu cevap-lamaları istenmiştir.

Bu sınava giren bir öğrenci bu seçimi kaç farklı şekil-de yapabilir?

Çözüm

ÖRNEK 68

Bir öğrencinin seçmesi gereken 7 seçmeli dersin 3 ü aynı gün ve aynı saatte okutulmaktadır. 4 ders seçmek isteyen bu öğrencinin kaç değişik seçeneği vardır?

Çözüm

ÖRNEK 69

Bir öğrenciden 8 soruluk bir sınavda 5 soruyu cevap-laması isteniyor. İlk 3 sorudan en az ikisinin cevap-lanması zorunluluğu olduğuna göre, bu öğrenci bu soruları kaç farklı biçimde cevaplayabilir?

Çözüm

ÖRNEK 70

A = {3, 5, 7} ve B = {2, 4, 6, 8} kümeleri veriliyor.

Bu kümelerden seçilen 2 tek ve 3 çift rakam ile 5 ba-samaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?

Çözüm

ÖRNEK 71

5 erkek, 4 kız arasından 3 kişilik bir grup oluşturula-caktır. Grupta en az 2 erkek olması koşulu varsa, bu grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

176

ÖRNEK 72

15 kişilik bir sporcu grubundan takıma girecek 3 kişi bellidir. Buna göre, bu gruptan 11 kişilik futbol takımı kaç değişik biçimde seçilebilir?

Çözüm

ÖRNEK 73

6 sı doktor, 6 sı hemşire olan bir gruptan 4 kişilik bir sağlık ekibi oluşturulacaktır. Ekipte en az bir doktor bulunması istenirse, bu seçim kaç farklı biçimde yapılabilir?

Çözüm

ÖRNEK 74

Bir otelde 3 yataklı bir oda ve 2 yataklı üç oda boştur. 9 kişi bu odalara kaç farklı biçimde yerleştirilebilir?

Çözüm

ÖRNEK 75

4 ü subay, 6 sı er olan bir gruptan 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Ekipte en çok 2 er bulunması istenir-se, bu seçim kaç farklı biçimde yapılabilir?

Çözüm

ÖRNEK 76

10 kız öğrenci ve 8 erkek öğrenci arasından 2 kız öğ-renci ve 2 erkek öğrenci kaç farklı şekilde seçilebilir?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

177

ÖRNEK 77

10 kişiden 6 sı Urfa’ya ve 4 kişi Çorum’a gidecektir. Bu iki grup kaç farklı biçimde oluşturulabilir?

Çözüm

ÖRNEK 78

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile a < b < c olmak üzere kaç farklı abc üç basamaklı sayısı yazılabilir?

Çözüm

ÖRNEK 79

a, b, c, d birer rakam olmak üzere, a < b < c < d koşulunu sağlayan kaç farklı abcd dört basamaklı sayısı yazılabilir?

Çözüm

ÖRNEK 80

Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir ailenin elinde 3

kişilik bir davetiye vardır. Anne veya babadan en az

birisinin davete katılması gerektiğine göre, bu davete

3 kişi kaç farklı şekilde katılabilirler?

Çözüm

ÖRNEK 81

5 farklı oyuncağın 3 ü Özge’ye, 2 si Özlem’e kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

Çözüm

ÖRNEK 82

Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 noktanın ikisinden geçen en fazla kaç doğru çizilebilir?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

178

ÖRNEK 83

Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 farklı noktadan, köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir?

Çözüm

ÖRNEK 84

Aynı düzlemde bulunan 10 farklı doğru en fazla kaç noktada kesişebilir?

Çözüm

ÖRNEK 85

A, B, C, D, E, F, G, H noktaları aynı düzlemde olup herhangi üçü doğrusal değildir.

Köşeleri bu noktalar olan üçgenlerden kaç tanesinin bir köşesi A noktasıdır?

Çözüm

ÖRNEK 86

d1

d2D E GF

A B C

Yukarıdaki şekilde d1 // d2 olmak üzere, köşeleri bu 7 noktadan herhangi üçü olan kaç üçgen çizilebilir?

Çözüm

ÖRNEK 87

d1

d2

DB

C

AE

GF

Yukarıdaki şekilde A noktasında kesişen iki doğru üzerindeki bazı noktalar verilmiştir. Köşeleri bu 7 nok-tadan herhangi üçü olan kaç tane üçgen çizilebilir?


ES

EN

YAY

INLA

RI

179

Çözüm

ÖRNEK 88

Düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi doğrusaldır. Köşeleri bu noktalar olan en çok kaç tane üçgen çizilebilir?

Çözüm

ÖRNEK 89

Birbirine paralel olan 4 doğru ile birbirine paralel olan 5 doğru kesiştirilirse oluşan şekilde kaç tane paralel-kenar vardır?

Çözüm

ÖRNEK 90

6 farklı çemberin kesişmesi ile en çok kaç tane kesi-şim noktası oluşur?

Çözüm

ÖRNEK 91

dA B

C D

E

GF

Yukarıdaki şekilde verilen A, B, C, D, E, F, G nok-talarının herhangi ikisinden geçen kaç farklı doğru çizilebilir?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

180

ÖRNEK 92

Bir çember üzerindeki 8 noktayı birleştirerek köşeleri bu noktalar olan kaç tane üçgen çizilebilir?

Çözüm

ÖRNEK 93

B C

A

D G

E

F H

Köşeleri şekildeki noktalar olan kaç farklı üçgen çi-zilebilir?

Çözüm

ÖRNEK 94

B C

A

G HE F

D

Yukarıdaki şekilde kaç tane üçgen vardır?

Çözüm

ÖRNEK 95

5 farklı dikdörtgenin herhangi iki kenarının veya ke-narlarının bir parçasının çakışmadan kesiştirilmesiyle en çok kaç kesişim noktası oluşur?


ES

EN

YAY

INLA

RI

181

Çözüm

ÖRNEK 96

4 farklı üçgenin herhangi iki kenarının veya kenarla-rının bir parçasının çakışmadan kesiştirilmesiyle en çok kaç kesişim noktası oluşur?

Çözüm

ÖRNEK 97

B K CE

A

L

N

MF

D

Şekilde kaç tane dörtgen vardır?

Çözüm

ÖRNEK 98

Yandaki şekilde, bir hareketliC

B

A

A noktasından sağ veya

yukarı yönde ilerleyerek B

noktasından geçmemek

koşulu ile çizgiler üzerinden

C noktasına kaç farklı şekilde gider?

Çözüm

182


C(n, 0) = 1

C(n, n) = n

C(n, 1) = n

C(n, n–1) = 1

C(n, r) + C(n, r+1) = C(n+1, r+1)

P(n, r) = r!.C(n, r)


a. C(2n, 1) = 2.C(n, 2)

b. P(n, 2) = 2.C(n, 3)

c. P(n, 2) + C(n, 2) = 30


a.n n2 5

=c cm m

b. nn

n2 11

2 14–

+=

+d dn n

4. Aşağıdaki ifadelerin her birinin eşitini bulunuz.

a. 82

83

84

85

86

87

+ + + + +d d d d d dn n n n n n

b. 91

92

99

……+ + +d d dn n n

c. 41

42

53

64

75

+ + + +d d d d dn n n n n

5. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin

a. 3 elemanlı kaç alt kümesi vardır?

b. En az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?

c. En çok 3 elemanlı kaç tane alt kümesi var-dır?

6. Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 noktanın;

a. İkisinden geçen kaç tane doğru çizilebilir?

b. Köşeleri bu noktalar olan kaç tane üçgençizilebilir?

c. Köşeleri bu noktalar olan kaç tane çokgençizilebilir?

ES

EN

YAY

INLA

RI

ALIŞTIRMALAR – 3


183

ES

EN

YAY

INLA

RI

7. 10 kişilik bir sporcu grubundan 5 kişilik bir basket-bol takımı oluşturulacaktır. Takıma girecek olan 2kişi biliniyorsa kaç farklı takım oluşturulabilir?

8. 6 kız ve 4 erkek öğrencinin bulunduğu bir gruptan

a. 4 kişilik kaç ekip oluşturulabilir?

b. 3 kız, 1 erkekten oluşan 4 kişilik kaç ekip

oluşturulabilir?

c. En az 3 ü kız olan 4 kişilik kaç ekip oluşturu-

labilir?

d. En çok 3 ü erkek olan 4 kişilik kaç ekip oluş-

turulabilir?

9. A B

C

D

E

K

F

Bir çember üzerindeki 7 farklı noktadan çizilebile-cek üçgenlerden kaç tanesinin bir köşesi A dır?

10. Bir sınavda sorulan 10 sorunun ilk dördünden enaz üçünü cevaplandırmak koşuluyla 7 soru kaçdeğişik biçimde seçilebilir?

11. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı altkümelerinin kaç tanesinde,

a. 3 bulunur?

b. 2 bulunmaz?

c. 2 ve 3 bulunur?

d. 2 veya 3 bulunmaz?

12. 5 elemanlı alt kümeleri sayısı 4 elemanlı alt kü-melerinin sayısına eşit olan kümenin 2 elemanlıkaç tane alt kümesi vardır?

13. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile,

a < b < c olmak üzere kaç farklı abc üç basa-maklı sayısı yazılabilir?


184

ES

EN

YAY

INLA

RI

14. Aynı düzlemde bulunan 8 doğru en fazla kaçnoktada kesişebilirler?

15. A

B

C

D

E

K

L

M

F

Şekildeki 5 nokta doğrusal, diğer 4 nokta bir çem-ber üzerindedir. Köşeleri bu 9 noktadan seçilen en çok kaç üçgen çizilebilir?

16.

A

BC

DE

LM

K

Yukarıdaki şekilde B noktasında kesişen iki doğru üzerinde 8 nokta verilmiştir.

Bu noktaların,

a. En az ikisinden geçen kaç doğru çizilebilir?

b. Köşeleri bu noktalardan seçilen kaç üçgençizilebilir?

c. Bir köşesi C olan ve diğer köşeleri öteki nok-talardan seçilen kaç üçgen çizilebilir?

17. 4 farklı çemberin kesişmesiyle en çok kaç tanekesim noktası oluşur?

18.

B C

A

K

D E F

Yukarıdaki şekilde kaç tane üçgen vardır?

19. 1 1 1 1

1 1 1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

Yukarıda bir kenar uzunluğu 4 br olan kare çizil-miştir.

a. Şekilde kaç tane dikdörtgen vardır?

b. Kaç tane kare vardır?

c. Karelerden kaç tanesinin kenar uzunluğu1 den büyüktür?


185

ÖRNEK 99

Aşağıdaki açılımları inceleyiniz.

1. (x + y)1 = x1 +d dn n

2. (x + y)2 = x xy y2 2+ +d d dn n n = x2 + 2xy + y2

3. (x + y)3 = x x y xy y3 2 2 3+ + +d d d dn n n n = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

4. (x + y)4 = x x y x y xy y4 3 2 2 3 4+ + + +d d d d dn n n n n = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

n pozitif tam sayı olmak üzere, (x + y)n ifadesinin açılımına binom açılımı denir.

(x + y)n = n

xn

x yn

x ynn

y0 1 2

…n n n n1 2 2– –+ + + +c c c cm m m m açılımı;

x in azalan, y nin artan kuvvetlerine göre yapılmıştır.

y nin yerine –y yazılırsa (x – y)n ifadesinin açılımı elde edilir.

Her terimdeki dereceler toplamı n dir.

n + 1 tane terim vardır.

Kat sayılar toplamı x = y = 1 alınarak bulunur.

Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin kat sayıları eşittir.

(x + y)2n açılımında, ortadaki terim .nn

x y2 n nd n dir.

.nr

x yn r r–c m terimine genel terim denir. Genel terim; baştan (r +1). terim, sondan (n – r + 1). terimdir.

Pascal Üçgeni

1051 1510

641 14

31 13

1 12

1 1

1(x + y)0 →

(x + y)1 →

(x + y)2 →

(x + y)3 →

(x + y)4 →

(x + y)5 →

(x + y)0 ⎯→ 00d n

(x + y)1 ⎯→ 10

11

d dn n

(x + y)2 ⎯→ 20

21

22

d d dn n n

(x + y)3 ⎯→ 30

31

32

33

d d d dn n n n

(x + y)4 ⎯→ 40

41

42

43

44

d d d d dn n n n n

........... ............................................................... ............. .............................................

Kombinasyon konusu işlenirken verilen, n

rnr

nr1

1–

+ =+

c c dm m n bağıntısını, Pascal üçgenini kombinasyon

biçiminde yukarıdaki gibi yazdığımızda rahatlıkla görebiliriz.

Örneğin, , gibi10

11

21

21

22

32

+ = + =d d d d d dn n n n n n

BİNOM AÇILIMI


ES

EN

YAY

INLA

RI

186

ÖRNEK 100

(2x – 5y)3 ifadesinin açılımını yapınız.

Çözüm

ÖRNEK 101

a b23

2+c m ifadesinin açılımını yapınız.

Çözüm

ÖRNEK 102

(2a + 3)4 ifadesinin açılımını yapınız.

Çözüm

ÖRNEK 103

(2a – b2 + c)5 açılımında kat sayılar toplamı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 104

(3x – 4y)n açılımında 8 tane terim bulunduğuna göre, bu terimlerin kat sayıları toplamı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 105

(x3 – 5x + 2)6 açılımında sabit terim kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 106

(x + 2y)6 açılımında ortadaki terim nedir?

Çözüm

ÖRNEK 107

(2x + y)10 açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sırala-nırsa baştan 4. terim ne olur?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

187

ÖRNEK 108

(x – 2y)n = xn + ...... + Ax6y4+.......

biçiminde x in azalan kuvvetlerine göre açılım yapıldı-ğına göre A kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 109

(x2 – y)12 açılımı x in azalan kuvvetlerine göre sırala-nırsa sondan 4. terim ne olur?

Çözüm

ÖRNEK 110

xx12

6+c m ifadesinin açılımındaki x6 lı terimin kat sa-

yısı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 111

aa1–32

5c m ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

188

ÖRNEK 112

xx

13 8+c m ifadesinin açılımındaki x li terimin kat

sayısı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 113

5 53 5 11+^ h açılımında rasyonel terim kaça eşittir?

Çözüm

ÖRNEK 114

(x + y + z)n açılımındaki terimlerden birisi A.x2.y3.z5

olduğuna göre, A kaçtır?Çözüm

(ax + by + cz)n ifadesinin açılımında xp.yq.zt li

terimin kat sayısı ap.bq.ct.!. !. !

!p q t

n dir.

ÖRNEK 115

(x – 3y + 2z)6 ifadesinin açılımındaki terimlerden biri

A.x3.y2.z olduğuna göre, A kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 116

(x2 + 2y3 – z4)10 açılımı yapıldığında, içinde x6 çar-panı olup başka x çarpanı olmayan kaç terim vardır?

Çözüm

189


(a + b)n açılımında;

Baştan r. terim nr

a bn r r–c m dir.

Sondan (r + 1). terim nr

a br n r–c m dir.

Kat sayılar toplamı 2n dir.

n çift olmak üzere ortadaki terim için

r n2

= dir.

Baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimle-rin kat sayıları eşittir.

2. (2x – y)6

ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açılırsa baştan 3. terim ne olur?

3. Aşağıdaki açılımların her birinde sabit terimleribulunuz.

a. (x – 1)3

b. (3x – 2)4

c. (x2 – x + 2)5

4. Aşağıdaki açılımların her birinde kat sayılar top-lamını bulunuz.

a. (2x – 1)20

b. (3x + 1)4

c. (2x – 3y)7

d. (2x – 3y + z)40

e. (x – 2y + 3z)7

5. (2x2 – y)8

ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre açılırsa sondan 4. terim ne olur?

ES

EN

YAY

INLA

RI

ALIŞTIRMALAR – 4


190

ES

EN

YAY

INLA

RI

6. xx

3 1–2

6c m

açılımında ortadaki terim nedir?

7. (x – 3y)n = xn + ..... + Ax4y2 + .....

eşitliğine göre A kaçtır?

8. xx1–3

7c m

ifadesinin açılımında x5 li terimin kat sayısı kaçtır?

9. x

x1 –2

6c m

ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır?

10. (x2 – 3y2)n

açılımında terimlerden biri Ax4y8 ise A kaçtır?

11. xx2–23

5c m

açılımında sabit terim baştan kaçıncı terimdir?

12. (x – y + 3z)6

açılımında terimlerden biri Ax2yz3 ise A kaçtır?

13. (v2 – 1)6

açılımında elde edilen terimlerden rasyonel olan-ları bulunuz.


191

ÖRNEK 117

Bir madeni paranın atılması deneyinin;

çıktıları: Y (yazı) ve T (tura) dır.

Örnek uzayı: E = {Y, T} dir.

Buna göre, bir madeni paranın atılması sonucu, yazı veya tura gelmesi olayına (örnek uzaya) kesin olay

denir. Paranın dik gelmesi olayı ise olanaksız olaydır.

ÖRNEK 118

Bir tavla zarının atılması deneyindeki örnek uzay

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dir.

Üste gelen sayının tek gelmesi olayı, T = {1, 3, 5} ve

çift gelmesi olayı Ç = {2, 4, 6} dır. Bu iki olayın kesi-

şimleri boş küme olduğundan, bu iki olaya ayrık (ba-

ğımsız) olaylar denir. Gelen sayının asal sayı olması

olayı, A = {2, 3, 5} olup A ∩ T ≠ Ø ve Ç ∩ A ≠ Ø dır. Yani, A olayı ile T ve Ç olayları ayrık olaylar değildir.

ÖRNEK 119

İki madeni paranın atılması deneyinin örnek uzayını yazınız.

Çözüm

Olasılık, sonucu kesin olmayan olayları sayılarla ifade eder. Olasılık teorisi günümüzde şans oyunlarının yanı-

sıra, ekonomi, spor, siyaset, bilimsel tespitler, meteoroloji, sigortacılık, bankacılık ve milli savunma gibi pek çok

uygulama alanında kullanılmaktadır.

Deney ve Çıktı

Yeni bilgi kazanmak ve olayların gelişimini incelemek için yapılan deneme ve testlere deney denir. Bir deneyin

mümkün olan her türlü sonucuna çıktı adı verilir. Düzgün bir zemine bir madeni paranın atılması bir deneydir.

Yazı gelmesi ve tura gelmesi ise bu deneyin çıktılarıdır. Aynı şekilde bir tavla zarının atılması bir deneydir.

1 gelmesi, 2 gelmesi, 3 gelmesi, 4 gelmesi, 5 gelmesi ve 6 gelmesi ise bu deneyin çıktılarıdır.

Örnek (Örneklem) Uzayı

Bir deneyde elde edilebilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın her

bir elemanına ise örnek nokta denir.

Olay

Örnek uzayın her bir alt kümesine bir olay denir. E örnek uzayına kesin olay, boş kümeye ise olanaksız (imkan-

sız) olay denir. Bir örnek uzaya ait iki olayın ara kesitleri (kesişimleri) boş küme ise bu iki olaya ayrık (bağımsız)

olaylar denir.

OLASILIK


ES

EN

YAY

INLA

RI

192

ÖRNEK 120

Üç madeni paranın atılması deneyinin örnek uzayını yazınız.

Çözüm

Art arda yapılan madeni para atma deneyinde, para n kez atıldığında örnek uzayın eleman sayısı s(E) = 2n olur.

ÖRNEK 121

İki tavla zarının birlikte atılması deneyindeki örnek uzayı yazınız.

Çözüm

ÖRNEK 122

İçinde 3 kırmızı ve 4 beyaz bilye bulunan torbadan bir çekilişte 2 bilye çekme deneyindeki;

a. Örnek uzayın eleman sayısı kaçtır?

b. Çekilen bilyelerin aynı renkte olması olayınıneleman sayısı kaçtır?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

193

OLASILIK FONKSİYONU

E örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturduğu

küme (kuvvet kümesi) K olsun.

P : K → [0, 1]

fonksiyonu aşağıdaki aksiyomları sağlarsa P fonk-

siyonuna olasılık fonksiyonu, P(A) görüntüsüne de

A olayının olasılığı denir.

A ⊂ E ⇒ 0 ≤ P(A) ≤ 1

P(E) = 1

A, B ⊂ E ve A ∩ B = ∅ ise

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

ÖRNEK 123

Bir madeni paranın düzgün bir zemine atılması dene-

yini inceleyelim.

E = {Y, T} örnek uzay ve

K = {∅, {Y,}, {T}, {Y, T}} kuvvet kümesidir.

A olayının olma olasılığı da P(A) dır.

P(∅) = 0 ∈ [0, 1]

P(Y) = 21 ∈ [0, 1]

P(T) = 21 ∈ [0, 1]

P(Y, T) = P(E) = 1 ∈ [0, 1]

P(Y ∪ T) = P(Y) + P(T) = 21

21 1+ =

olduğundan olasılık fonksiyonunun tanımındaki 3 aksiyom da sağlanır.

Yani, P : K → [0, 1] fonksiyonu bir olasılık fonksi-

yonudur.

Teorem:

A, B ⊂ E ve P bir olasılık fonksiyonu ise

a. P(∅) = 0

b. A ⊂ B ise P(A) ≤ P(B)

c. A′ = E – A ise P(E) = P(A) + P(A′) = 1

d. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) dir.

ÖRNEK 124

E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A′)= 31

P(B) = 41 ve P(A ∩ B)

61 ise P(A ∪ B) kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 125

E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A) = 31

P(B) = 53 ve P(A ∩ B) =

41 olduğuna göre aşağıdaki

olasılıkları hesaplayınız.

a. P(A ∪ B)

b. P(B′)

c. P(A′ ∩ B′)

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

194

Eş Olumlu Örnek Uzay

E = {a1, a2, ...., an} bir sonlu örnek uzay olsun.

P(a1) = P(a2) = .... = P(an) ise E örnek uzayına

eş olumlu örnek uzay adı verilir.

Eş olumlu bir uzayda, aksi belirtilmedikçe,

olasılık fonksiyonu

( )( )( )

ıP A

s Bs A

T m durumlar n say sstenen durumlar n say s

ü › ›‹ › › ›

= = dır.

ÖRNEK 126

E = {1, 2, 3, 4, 5} eş olumlu örnek uzay ise

P(2) + P(5) toplamı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 127

Bir madeni paranın düzgün bir zemine atılması dene-yinde, yazı (Y) ve tura (T) olmak üzere,

E = {Y, T} olup s(E) = 2 dir. Buna göre,

P(Y) = ( )( )

s Es Y

21= ve P(T) =

( )( )

s Es T

21= olur.

P(Y) = P(T) = 21 olduğundan bu deneydeki örnek

uzay, eş olumlu örnek uzaydır.

ÖRNEK 128

İki madeni paranın düzgün bir zemine atılması sonu-cu ikisinin de tura gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 129

Bir madeni paranın arka arkaya üç kez atılması sonu-cu en az iki yazı gelmesi olasılığı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 130

Bir madeni paranın arka arkaya 5 kez atılması sonu-cu 2 tura, 3 yazı gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 131

Bir tavla zarı bir kez atıldığında üst yüze gelen sayı-nın asal sayı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

195

ÖRNEK 132

Bir tavla zarı arka arkaya iki kez atıldığında üst yüze gelen sayıların aynı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 133

Bir tavla zarı arka arkaya iki kez atıldığında üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olma olasılığı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 134

Bir torbada 3 sarı, 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır.

Torbadan bir bilye çekildiğinde, bu bilyenin kırmızı olma olasılığı nedir?

Çözüm

ÖRNEK 135

Bir torbada 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele 2 bilye çekildiğinde, bilyelerin farklı renkte olma olasılığı kaçtır?Çözüm

ÖRNEK 136

Bir torbada 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan arka arkaya 2 bilye çekildiğinde, çekilen birinci bilye-nin kırmızı, ikinci bilyenin beyaz olma olasılığı kaçtır?Çözüm

ÖRNEK 137

Bir torbada 5 siyah ve 3 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele 3 bilye çekildiğinde ikisinin siyah, birinin beyaz olma olasılığı kaçtır?Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

196

ÖRNEK 138

7 kız ve 5 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıfta kız-

ların 3 ü, erkeklerin 2 si gözlüklüdür. Sınıftan rastgele

seçilen iki öğrencinin,

a. İkisinin de kız olma olasılığı,

b. İkisinin de gözlüklü olma olasılığı,

c. Birisinin kız diğerinin erkek olma olasılığı,

d. İkisinin de gözlüklü ve kız olma olasılığı,

e. İkisinin de gözlüklü veya ikisinin de kız olma ola-

sılığını hesaplayınız.

Çözüm

ÖRNEK 139

5 doktor ve 6 hemşire arasından 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Bu ekipte en az 2 doktor bulunma olasılığı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 140

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilen 4 basamaklı ve rakamları farklı sayılardan bir tanesi seçiliyor. Seçilen bu sayının 5 ile bölünebi-len bir sayı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

197

ÖRNEK 141

Bir oylama sırasında, birinci sandıkta 4 siyah 5 beyaz ve ikinci sandıkta, 5 siyah 3 beyaz oy pusulası vardır. Birinci sandıktan bir oy pusulası alınarak rengine bakılmadan ikinci sandığa atıldıktan sonra ikinci san-dıktan alınan bir oy pusulasının beyaz olma olasılığı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 142

İki torbadan her birinde 4 beyaz, 3 siyah bilye vardır. Birinciden bir bilye alınıp ikinciye ve sonra da ikinci-den bir bilye alınıp birinci torbaya atılıyor. Renk bakı-mından ilk durumu elde etme olasılığı kaçtır?

Çözüm

KOŞULLU OLASILIK

E örnek uzay ve A ile B herhangi iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması halinde A olayının ger-çekleşmesi olasılığına A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A / B) biçiminde gösterilir.

P(A / B) = ( )

( )P B

P A B+ dir.

E eş olumlu örnek uzay ise,

P(A / B) = ( )

( )s B

s A B+ dir.

A nın B koşullu olasılığı hesaplanırken B küme- si örnek uzay olarak düşünülüp hesap yapılabilir.

ÖRNEK 143

E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun. P(A) = 31

P(B) = 21 ve P(A ∪ B) =

43 ise P(A / B) kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 144

Bir madeni paranın iki kez arka arkaya atılması de-neyinde yazı geldiği bilindiğine göre, ikisinin de yazı gelmesi olasılığı kaçtır?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

198

ÖRNEK 145

İki tavla zarının birlikte atılması deneyinde üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olduğu bilindiğine göre, sayıların ikisinin de çift sayı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 146

I. torbada 2 sarı 3 kırmızı top, II. torbada 3 sarı 4 kırmızı top vardır. Torbaların birinden rastgele bir top çekildiğinde topun kırmızı renkte olduğu bilindiğine göre, I. torbadan çekilmiş olma olasılığı nedir?

Çözüm

BAĞIMSIZ OLAYLAR

İki olaydan birinin gerçekleşmesi veya gerçekleşme-mesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir.

P(A ∩ B) = P(A).P(B)

Eğer iki olay bağımsız değilse bu olaylara bağımlı olaylar denir.

A ve B olaylarının meydana gelme olasılığı P(A ∩ B) demektir.

A veya B olaylarının meydana gelme olasılığı

P(A ∪ B) demektir.

ÖRNEK 147

A ve B bağımsız olaylardır.

P(A) = 32 ve P(B) =

61 ise

P(A ∩ B) ve P(A ∪ B) kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 148

Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın tura ve zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

199

ÖRNEK 149

Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın tura veya zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 150

Bir topluluktaki 12 bayanın 7 si gözlüklü ve 9 erkeğin 6 sı gözlüklüdür. Bu topluluktan seçilen bir kişinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: I. Yol

ÖRNEK 151

Bir sınava giren Ali’nin sınavı geçme olasılığı 53 ve

Barış’ın aynı sınavı geçme olasılığı 31 tür. Buna göre,

a. Her ikisinin de sınavı geçme olasılığı kaçtır?

b. Sadece Ali’nin sınavı geçme olasılığı kaçtır?

c. En az birisinin sınavı geçme olasılığı kaçtır?

d. İkisinin de sınavı geçememe olasılığı kaçtır?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

200

SONSUZ ÖRNEK UZAYI

E örnek uzayı sonsuz çoklukta örnek noktalardan

(uzunluk, alan, hacim, ağırlık, açı ölçüsü, ...) oluşuyor-

sa bu örnek uzaya sonsuz örnek uzay denir. A olayı da

E örnek uzayında bir olay ise bu A olayının olasılığı,

A nın ölçüsüP(A) = –––––––––––– olur.

E nin ölçüsü

ÖRNEK 152

Yarıçapı r cm olan bir dairenin içinden seçilen bir nok-tanın, dairenin merkezine olan uzaklığının, dairenin çevresine olan uzaklığından daha kısa olma olasılığı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 153

Boyutları 20 cm ve 30 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir kağıt üzerinde rastgele işaretlenen bir noktanın, kağıdın ağırlık merkezine en çok 10 cm uzaklıkta olma olasılığı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 154

E = { x : |x| ≤ 3, x ∈ R }

örnek uzayında seçilen bir noktanın

[0, 2] aralığına ait olma olasılığı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 155

CD

BA

N M

K L

35

4

2

Şekildeki ABCD dikdörtgeni, K, L, M, N dikdörtgen-

sel bölgelerinin birleşiminden oluşmaktadır ve kenar

uzunlukları şekildeki gibidir.

Buna göre, ABCD dikdörtgeni içinde bir nokta rast-

gele işaretlendiğinde bu noktanın M bölgesinde olma

olasılığı kaçtır?

Çözüm

201

ES

EN

YAY

INLA

RI


Bir para üst üste 4 kez atılırsa örnek uzayı 16 elemanlı olur.

Bir zar üst üste 3 kez atılırsa örnek uzayı 216 elemanlı olur.

5 para atıldığında örnek uzayı 25 eleman-lı olur.

Bir A olayının olasılığı P(A) ise

–1 ≤ P(A) ≤ 1 dir.

A kesin olay ise P(A) = 1 dir.

2. İki madeni para atıldığında en çok bir yazı gelme-si olasılığı kaçtır?

3. Bir madeni para art arda 3 kez atıldığında, 2 kezyazı 1 kez tura gelme olasılığı kaçtır?

4. Bir madeni para art arda 5 kez atıldığında, 2 kezyazı 3 kez tura gelme olasılığı kaç olur?

5. Bir çift zar atıldığında üste gelen sayıların

a. Aynı olma olasılığını

b. Farklı olma olasılığını

c. Toplamlarının 9 olma olasılığını

d. Birinin tek, diğerinin çift sayı olma olasılığını

e. Toplamlarının 13 olma olasılığını

f. Toplamlarının en az 2 olma olasılığını bulu-

nuz.

6. 4 kız, 5 erkek arkadaş yanyana fotoğraf çek-tireceklerdir. Kızların bir araya gelme olasılığıkaçtır?

ALIŞTIRMALAR – 5


202

ES

EN

YAY

INLA

RI

7. Aynı büyüklükte 5 kırmızı ve 3 beyaz bilyeninbulunduğu bir torbadan, rastgele 3 bilye çekiliyor.Çekilen bilyelerin,

a. Üçünün de beyaz olma olasılığını

b. Üçünün de kırmızı olma olasılığını

c. Üçünün de aynı renk olma olasılığını

d. İkisinin beyaz, birinin kırmızı olma olasılığını

e. En az birinin kırmızı olma olasılığını bulunuz.

8. 4321132 sayısının rakamları yer değiştirilerekoluşturulan 7 basamaklı sayılardan biri rastgelealındığında bunun 4 ile başlayıp 3 ile biten birsayı olma olasılığı kaçtır?

9. Bir torbada, aynı büyüklükte 4 sarı, 3 lacivert ve5 beyaz bilye vardır. Torbadan geri atılmamakkoşuluyla art arda 3 bilye çekildiğinde birincisi-nin sarı, ikincisinin lacivert, üçüncüsünün beyazolma olasılığı kaç olur?

10. 5 elemanlı bir kümenin alt kümelerinden herhangi2 tanesi rastgele alındığında ikisinin de 3 ele-manlı olma olasılığı kaç olur?

11. E örneklem uzayına ait iki olay A ve B olmak

üzere, P(A) = 41 , P(B′) =

87 ve

P(A ∩ B) = 161 ise P(A ∪ B) kaçtır?

12. 20 kişilik bir sınıfta bulunan öğrencilerin 12 sierkektir. Erkeklerin 4 ü, kızların 3 ü gözlüklü oldu-ğuna göre, sınıftan rastgele seçilen bir öğrencininerkek veya gözlüklü olma olasılığı kaç olur?

13. İki madeni para ve bir zar aynı anda atılıyor.Paraların birinin yazı, diğerinin tura ve zarın çiftsayı gelme olasılığı kaç olur?


203

ES

EN

YAY

INLA

RI

14. Bir madeni para iki kez atılıyor. Birinci atışta turageldiği biliniyorsa, ikinci atışta yazı gelme olasılı-ğı kaç olur?

15. Bir çift zar atıldığında zarların üstündeki sayılarıntoplamının 10 olduğu biliniyorsa ikisinin de teksayı olma olasılığı kaç olur?

16. İki torbadan birincisinde 3 kırmızı, 5 beyaz; ikinci-sinde 4 kırmızı, 3 beyaz bilye vardır. Torbalardanbiri rastgele alınıp içinden bir bilye alınırsa bubilyenin kırmızı olma olasılığı kaç olur?

17. İki torbadan birincisinde 4 beyaz, 5 yeşil; ikinci-sinde 3 beyaz, 4 yeşil bilye vardır. Birinci torba-dan bir bilye rastgele alınıp, ikinci torbaya konu-yor ve ikinci torbadan rastgele bir bilye alınıyor.Bu bilyenin yeşil olma olasılığı nedir?

18. İki torbadan birincisinde 6 kırmızı, 4 mavi; ikinci-sinde 5 kırmızı, 3 mavi bilye vardır. Torbalardanbiri rastgele alınıp, içinden bir bilye çekiliyor. Bubilyenin kırmızı olduğu biliniyorsa, birinci torba-dan çekilmiş olma olasılığı kaç olur?

19. s(A) = 3 ve s(B) = 4 olmak üzere, A dan B yetanımlı bağıntılardan biri rastgele seçilirse bununA dan B ye bir fonksiyon olma olasılığı kaç olur?

20. Şekildeki O merkezli

5 puan

3 puan

1 puan

BC

A O

hedef tahtasında

|CB| = |BA| = |AO|

olmak üzere,

alınabilecek puanlar

verilenler gibidir.

Tek atış yapan birisinin tahtayı vurduğu bilindiği-ne göre, 3 puan alma olasılığı kaçtır?

21. Yandaki şekilde A, B, C, D

50°120°

80°

BA

D

Cfabrikalarının ürettiği mallarındairesel grafiği verilmiştir.

Bu fabrikaların ürettiği mal-lardan seçilen bir malın Cveya D fabrikasında üretilmişolma olasılığı kaçtır?

204


İstatistik; örnek verilerden hareket ederek popülasyon (ana kitle – yığın) hakkında yorumlama, genelleme ve tahmin yapma bilimidir. 20. yüzyıldan itibaren istatistik; muhasebe, yönetim, finansman ve pazarlama gibi pek çok uygulama alanı bulmuştur.

Trafik kazaları, evlenme, boşanma, doğum, ölüm, kâr, zarar gibi konular istatistiğin ilgilendiği konulardır.

İstatistikte incelenen olayın özellik ya da özelliklerinin aldığı değerler rakamlarla ifade edilebilmelidir.

Bir olaylar kümesindeki tek bir olay, tüm olaylar kümesini temsil edebiliyorsa bu tür olaylar istatistiğin ilgi alanına girmez. (Suyun 100°C de kaynaması gibi, aynı yerde aynı koşullarda yapılan her deneyin sonucu aynı olur.)

Ölçülmeye veya sayılmaya elverişli tüm canlı ve cansız varlıklar ve olaylara; okul, insan, bina, araba, doğum, ölüm, evlenme, kâr zarar gibi kavramlara istatistiki birim denir.

Sevinç, korku, rüya, renk ve koku gibi soyut kavramlar sayılamadıkları ve ölçülemedikleri için istatistik için birim olamazlar.

Birimlerin sahip olduğu özelliklere değişken, değişkenlerin aldığı değerlere de şık denir.

Belirlenen amaçlar için gözlenecek olan birimlerin ölçülmesi, sayılması ve aldıkları değerlerin belirlenmesi ve kaydedilmesine veri derleme denir. Elde edilen bu verilerin istatistiksel yöntemlerle değerlendirildikten sonra uygun araçlar kullanarak sunumunun yapılması istatistiğin amacıdır.

İstatistik;

Yeni bilgilere ulaşmak ve bunları geliştirmek için yapılan araştırmalardan elde edilen verileri düzenlemek,

Problem çözümleri için çalışma teknikleri oluşturmak,

Değişkenlerin ürünleri ve üretim süreçlerini nasıl etkileyeceğini tahmin etmek,

Yapılan gözlem ve deneylerden elde edilen sonuçları, doğru yorumlamak ve anlaşılır bir biçimde sunmak,

Sonuçların güvenilirliğini test etmek gibi birçok amaç için çoğu bilim dalına yardımcı olmaktadır.

İstatistiksel çalışmalar yapılırken,

Grafikler Frekans Tabloları

Merkezi Eğilim Ölçüleri Merkezi Yayılma (Dağılım) Ölçüleri (Değişkenlik Ölçüleri)

gibi yöntemlerden yararlanılır.

İstatistiksel verileri sözel ifadelerle açıklayarak, frekans tabloları yaparak ve grafik gösterimler kullanarak daha anlamlı ve kolay anlaşılabilir hale getirebiliriz. Verileri ise iki ana grup altında toplayabiliriz.

Veri

Kategorik (‹simsel)

Sayısal

Kesikli Marka, kanal adı,ders adı, ülke,flehir v.b. gibi

SürekliKardefl sayısı,araç sat›fl adedi,yafl, v.b. gibi

Boy, a¤›rl›k,s›cakl›k v.b. gibi

İSTATİSTİK


205

GRAFİKLER

Verilerin veya karşılaştırılması yapılacak değişkenlerin çizgi, tablo, nokta veya şekillerle ifade edilmesine grafik denir. Grafikler verilerin sunumuna görsellik katararak daha kolay yorumlanmasını sağlar. Veri türlerine ve istenen amaca göre çizilebilecek çeşitli grafik türleri vardır. Bunlar;

Çizgi grafiği Sütun grafiği (Çubuk - Histogram) Daire grafiği

Serpilme grafiği Kutu grafiği

başlıkları altında ifade edilebilir.

ÇİZGİ GRAFİĞİ

Verilerin yatay ve dikey eksendeki değerleri işaretlenerek bulunan noktaların çizgilerle birleştirilmesi sonucunda elde edilen grafikler çizgi grafikleridir. Özellikle bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini (artma, azalma) ince-lemek için kullanılan en uygun grafiktir.

ÖRNEK 156

Yanda bir hareketlinin belli zaman aralığında aldığı yolu1

2

3

4

5

100

150

175

175

200

Zaman (dk) Yol (m)

gösteren tablo verilmiştir. Bu tablodan yararlanarak hare-ketlinin aldığı yolu zamana göre ifade eden çizgi grafik aşağıda çizilmiştir.

200

175

150

125

100

75

50

25

0

Yol (m)

Zaman (dk)1 2 3 54 76

Hareketin toplam süresi 5 dakikadır.

Hareket süresince alınan toplam yol 200 metredir.

1. dakikanın sonunda alınan yol 100 metredir.

2. ve 3. dakikalar arasında alınan yol 175 – 150 = 25 metredir.

3. ve 4. dakikalar arasında yol alınmamıştır. Yani bu zaman diliminde hareketli durmuştur.

Hız = zaman

yol olduğundan, hareketlinin en yüksek hıza sahip olduğu aralık 0-1 dakika aralığıdır.

Bu aralıktaki hızı V = 1 0

100 0 100–

– = m/dk dır.

En çok yol aldığı aralık 0-1 dakikalar arasıdır. Bu aralıkta 100 metre yol almıştır.

2. ve 3. dakikalar arasında aldığı yol, 4. ve 5. dakikalar arasında aldığı yola eşittir (25 m).

Aynı süre içinde (1 dk) aldığı yollar eşit olduğundan bu aralıklarda hızları da eşittir.


ES

EN

YAY

INLA

RI

206

ÖRNEK 157

1

25

2

30

3

20

4

30

5

40

S›nav No

Netlerin Say›s›

Yukarıdaki tabloda Serasu’nun 40 ar sorudan oluşan 5 farklı matematik sınavındaki netlerinin sayısı göste-rilmiştir. Tablodaki verileri çizgi grafiği ile gösterelim.

Çözüm

Uyarı

En düşük netin 3. sınavda çıkarılmış olmasına bakarak, bu sınavlar içinde en zor olanın 3. sınav olduğunu söyleyemeyiz. Çünkü netlerin düşüklü-ğü başka sebeplere de bağlı olabilir; rahatlık, çok işlem hatası, konsantre bozukluğu vs. gibi.

Aynı şekilde, en kolay sınavın 5. deneme sınavı olduğu söylenemez.

Serasu’nun sınıfının içindeki ve okul genelindeki sıralaması ile ilgili bir yorum yapılamaz.

ÖRNEK 158

10

8

6

4

2

0

Ö¤renci Say›s›

Notlar1 2 3 54

Yukarıdaki grafik bir sınıftaki tüm öğrencilerin mate-matik dersinden aldığı notları gösterdiğine göre, aşa-ğıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır?

I. 3 alan 9 kişi vardır.

II. En düşük geçme notu 2 ise matematik dersindenkalan öğrenci yoktur.

III. 2 alanların sayısı 5 alanların sayısına eşittir.

IV. Sınıf mevcudu 27 kişidir.

V. 1 ve 3 alan öğrenci sayılarının toplamı sınıfın ya-rısından azdır.

VI. Sınıfın 31 ünün notu 3 tür.

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

207

ÖRNEK 159

8

10

6

8

12

14

16

12

20

18

22

22

fiehirler

Aylar

Ankara

Çorum

Oca

k

fiub

at

Mar

t

Nis

an

May

›s

Haz

iran

Yukarıdaki tabloda Ankara ve Çorum’daki 2010 yılı-nın ilk 6 ayına ait güneşli gün sayıları verilmiştir. Bu tabloya ait çizgi grafiği aşağıda çizilmiştir. İnceleyiniz.

22

20

18

16

14

12

10

8

6

Güneflli Gün Say›s›

Aylar

AnkaraÇorum

Oca

k

fiub

at

Mar

t

Nis

an

May

›s

Haz

iran

ÖRNEK 160

Sıcaklık (°C)

Aylar

40

30

20

10

0

–109 101 2 3 7 85 64 11 12

Bir kentin 1 yıl boyunca aylık ortalama hava sıcak-lıkları yukarıdaki grafikle ifade edilmiştir. Buna göre, elde edilen aşağıdaki bilgileri inceleyiniz.

En soğuk ay ocak, en sıcak ay ise temmuzdur.

Kuzey yarımkürede yer alır.

Yıllık sıcaklık farkı 37°C civarındadır.

Kar yağışı ve donma görülebilir.

Şubat ve aralık aylarının sıcaklık değerleri aynıdır.

Üç ayın sıcaklık değerleri 0°C nin altındadır.

Yazı sıcak, kışı ise soğuktur.

ÖRNEK 161

Alınan yol (km)0 600

Yakıt miktarı (litre)

60

Deposu 60 litre yakıt alan bir aracın, şehirler arası yolda bir depo benzinle alabildiği yol 600 km dir. Bu durum yukarıdaki grafikle ifade edilmiştir. Buna göre,

a. Bu araç 1 L benzinle kaç km yol alabilir?

b. Şehir içinde, % 20 daha fazla yakıt tükettiğinegöre aynı araç bir depo yakıt ile şehir içinde kaçkm yol alabilir?

c. Aracın deposunda 50 km lik yola yetecek yakıtkaldığında uyarı ışığı yandığına göre, deposundakaç litre benzin kaldığında uyarı ışığı yanar?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

208

SÜTUN GRAFİĞİ

Bu grafik türünde toplanan bilgiler sütun şeklindeki grafiklerle gösterilir. Sütun grafiğinde iki eksen vardır. Yatay ve düşey eksende ölçülen değerlerin birbirine göre durumları sütunlarla (çubuklarla) belirtilir.Çiftli sütunlar halinde çizildiğinde farklı iki veri kümesi-nin karşılaştırılmasını da sağlarlar. İsimsel veriler için zorunlu bir sıralama koşulu yoktur. Süreksiz (aralıklı) veriler için çubuk grafiği, sürekli veriler için de his-togram olarak çizilir. Histogramda sütunlar birbirine bitişik ve veriler sıralıdır.

Çubuk Grafiği

ÖRNEK 162

Ülke Üretim Miktarı (ton)

İspanya 3.500.000

İtalya 2.700.000

Yunanistan 2.100.000

Türkiye 1.800.000

Tunus 1.000.000

Dünya zeytin üretimi ile ilgili bilgiler yukarıdaki tablo ile verilmiştir. Bu verilere ilişkin çubuk grafiğini oluş-turalım.

Çözüm

ÖRNEK 163

876543210

Ö¤renci sayısı

Notlar1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Yukarıdaki grafik bir sınıftaki öğrencilerin matematik dersinin 1. yazılısından aldıkları notları göstermekte-dir. Buna göre, sınıfın yüzde kaçı 9 almıştır?

Çözüm

ÖRNEK 164

Ülke Sınır Uzunluğu (km)

Brezilya 15.000

Rusya Federasyonu 20.000

Çin 22.000

Hindistan 14.000

A.B.D. 12.000

Dünyada en uzun kara sınırlarına sahip ülkelerle ilgili bilgiler yukarıda tablo halinde verilmiştir. Bu verilere ilişkin çubuk grafiği çizelim.

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

209

Bazı çubuk grafiklerinin çiziminde aşağıdaki yollar takip edilir. Veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır. Grup genişliği (aralık) bulunur. Bu aralık en büyük veri ile en küçük verinin farkıdır.

Verilerin kaç alt grupta toplanacağına karar veri-lir. Tespit edilen sayı grup genişliğine bölünerek alt grup genişliği bulunur. Bu sayı ondalık bir sayı ise yuvarlanarak tam sayı tespit edilir.

Bazen işlemi kolaylaştırmak için alt grup sayısı-nı bulduğumuz sayının yakınındaki başka sayı ile değiştirebiliriz.

ÖRNEK 165

20 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin, matematik dersin-deki I. yazılı sınav sonuçları;

24, 28, 32, 36, 38, 40, 44, 46, 48, 52, 54, 60, 60, 64, 70, 78, 82, 86, 92, 94

olarak verilmiştir. Bu notları çubuk grafiği ile göste-relim.

Çözüm

Çubuk grafiği çizerken değişkenleri y ekseninde, aldıkları değerleri de x ekseninde gösterebiliriz.

ÖRNEK 166

Göl Yüzölçümü (km2)

Eğirdir 470

İznik 300

Manyas 170

Tuz 1500

Van 3700

Ülkemizdeki tanınmış 5 gölün yüzölçümleri (yaklaşık) yukarıda tablo halinde verilmiştir. Bu verilere ilişkin çubuk grafiğini çizelim.

Çözüm

Frekans TablosuGruplama sonucunda oluşan ve belirli bir özelliği temsil eden birey sayısına frekans denir. Frekans, bir özelliğin olayda kaç kez tekrarlandığını gösterir.

x(Puan Aralığı)

f(Frekans)

35 – 44 4

45 – 54 5

55 – 64 6

65 – 74 5

75 – 84 3

Yukarıda, bir sınıfta bulunan 23 öğrencinin matema-tik sınavına ilişkin puanların frekans tablosu verilmiş-tir. Bu tabloya göre, puanı 35 – 44 arallığında olan 4 öğrencinin bulunduğu v.s. söylenebilir.


ES

EN

YAY

INLA

RI

210

HistrogramAlanı, ilgili sınıfın frekansına, tabanı da ilgili sınıfın aralığına eşit olan ve birbirine bitişik dikdörtgenlerden oluşan bir grafik çeşitidir. Sürekli verileri göstermek için çizilirler. Tek bir değişkenin dağılımını göstermek için oldukça kullanışlı bir grafik sunumudur.

ÖRNEK 167

Sürekli bir K değişkeninin aldığı değerler aşağıda tablo ile gösterilmiştir.

Sınıflar Frekans

0 – 4 20

4 – 8 16

8 – 12 28

12 – 16 24

16 – 20 12

Bu verilerin histogram grafiğini çizelim.

Çözüm

ÖRNEK 168

Bir otoparkta bulunan 20 otomobilin modelleri aşağı-da verilmiştir.

1986, 1990, 1993, 1994, 1994, 1996, 1998, 1998, 2000, 2001, 2002, 2002, 2004, 2005, 2006, 2007, 2007, 2008, 2009, 2009

Bu araçların modellerine göre dağılımı için histogram oluşturunuz.

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

211

DAİRE GRAFİĞİEldeki verilerin daire dilimleri biçiminde sunulmasıdır. Değişkenlerin bir bütün içerisindeki oranları, yüzde veya merkez açı ölçüleri gösterilerek hazırlanır. Her bir dilimin içine veya dilimin yakınındaki bir yere, o değişkenin adı ve yüzdelik dilimi yazılır. Eğer merkez açılar kullanılacaksa her bir değişkene düşen merkez açılar ve bunların toplamları 360° olacak şekilde daire dilimlere ayrılır. Bu grafik türüne pasta grafiği de de-nilmektedir. Kesikli veriler için uygundur.

ÖRNEK 169

Ülke Üretim Miktarı (Bin ton)

Hindistan 870

Çin 650

Kenya 300

Sri Lanka (Seylan) 280

Endonezya 150

Türkiye 135

Toplam 2385

Dünya çay üretiminde en büyük paya sahip 6 ülke ve üretim miktarları yukarıda tablo şeklinde verilmiştir.Bu tabloya karşılık gelen daire grafiğini oluşturunuz.

Çözüm

ÖRNEK 170

Örnek 13 teki tabloya karşılık gelen daire grafiğini merkez açılar kullanarak gösteriniz.

Çözüm


212

ÖRNEK 171

Ezgi, sınıfındaki 20 arka-

% 40TRT 1

% 15Show TV

ATV

% 20

Kanal D% 25

daşına TRT 1, Kanal D, Show TV, ATV kanalların-dan hangisini daha çok iz-lediğini sormuş ve sonuç-ları aşağıdaki daire grafi-ğinde göstermiştir.

Grafikteki verileri kullanarak aşağıdaki tabloyu dol-durunuz.

TVkanalı

İzleyicisayısı

Daire dilimin-deki merkez açının ölçüsü

TRT 1

Kanal D

Show TV

ATV

Toplam 20 360°

Çözüm

SERPİLME GRAFİĞİİki değişkenin bir arada incelenmesi için çizilen gra-fiklerdir. Değişkenlerden birinin değerleri yatay, diğer değişkenin değerleri de düşey eksende gösterilir.

ÖRNEK 172

Aşağıda 5 öğrencinin matematik ve fizik derslerinden aldıkları notlar sırasıyla verilmiştir.Matematik Notu : 30, 40, 50, 65, 75Fizik Notu : 20, 40, 45, 70, 80

Bu verilere ait grafiği oluşturalım.

20 40 60 80

80

60

40

20

0Matematik

Notu (X)100

Fizik Notu (Y)

Noktaların dağılımına bakarak, matematik notu yük-sek olan öğrencilerin fizik notu da yüksektir sonucunu çıkarabiliriz. Başka bir deyişle, notlar arasında doğru orantı vardır diyebiliriz.

ÖRNEK 173

Aynı yayın saatinde farklı kanallarda yayınlanan iki TV dizisi için 6 defa izlenme ölçümü yapılmış ve iz-lenme oranları zamana göre sıralı olarak aşağıdaki serpilme grafiğinde verilmiştir.

10

8

6

4

2

0

B dizisinin izlenme oranı

A dizisinin izlenmeoranı

2 4 6 108 12

Grafikten yararlanarak elde edilen aşağıdaki bilgile-ri inceleyiniz.

A dizisinin izlenme oranı arttıkça B dizisinin izlenme oranı azalmıştır.

İki dizinin izlenme oranları ters orantılıdır. Dizilerin yayına başladığı ilk zamanlarda B dizisi-

ni izleyenlerin oranı daha fazladır. B dizisinin izlenme oranı sürekli azalmıştır.

ES

EN

YAY

INLA

RI


213

60

40

25

125

MarkaYıllar

A

B

C

Toplam

2007

45

20

20

85

2008

55

30

25

110

2009

50

40

30

120

2010Bir araba galerisindeki 4 yıllık otomobil satışları

yandaki tablo ile verilmiştir.

Araç markaları ve satışları ile ilgili aşağıdaki

grafikler oluşturulabilir.

Üç markanın yıllara göre satış adetlerini incelemek için çizgi grafiği ile sütun grafiğinden yararlanabiliriz.

Bu grafikler aşağıda çizilmiştir.

Satıfllar (Adet)

Yıllar2007 2008 2009 2010

70

60

50

40

30

20

10

0

A: B: C:A CB

70

60

50

40

30

20

10

0

Satıfllar (Adet)

2007Yıllar

2008 2009 2010

Sadece A markasının yıllara göre satış adet-lerini incelemek için çizgi ve sütun grafiğini bir arada ifade edebiliriz. Bunlar aşağıda çi-zilmiştir.

B markasının satışlarını, toplam satış adetle-ri ile kıyaslamak için sütun grafiğinden yarar-lanabiliriz. Bu grafik aşağıda çizilmiştir.

60

40

20

0

Satıfllar (Adet)

2007Yıllar

2008 2009 2010 2007

150

100

50

0

Sat›fllar (Adet)

Y›llar

ToplamB

2008 2009 2010

2010 yılı satış adetlerinin üç marka için hangi

oranda olduğunu kolay bir şekilde incelemek

için daire grafiğinden yararlanabiliriz.

Bu grafik yanda çizilmiştir.

A% 41,7

C% 25

B% 33,3

ETKİNLİK


ES

EN

YAY

INLA

RI

214

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

Gözlenen verilerin düzenlenerek, tablolarla, grafik-lerle sunulması çoğu durumda yeterli olmaz. Genel durumu yansıtacak bir takım ölçülere gereksinim vardır. Bu ölçüler merkezi eğilim ölçüleri olup en çok kullanılanları; ortalama (aritmetik ortalama), ortanca (medyan), mod (tepe değeri) olmak üzere üç grupta toplanabilir. Ayrıca geometrik ortalama ve harmonik ortalama da merkezi eğilim ölçüleridir.

ORTALAMAMerkezi eğilim ölçülerinin en sık kullanılanıdır.

Aritmetik ortalamayı ifade eder.

Eldeki veriler toplamının veri sayısına bölümüdür.

x ile gösterilir.

Veri değerleri x1, x2, ...., xn olan n tane veri için,

...x

x x x

nn1 2+ + +

= dir.

Ağırlıklı Ortalama: Aritmetik ortalamada, her bir ve-ri değerinin öneminin eşit olduğu varsayılmaktadır. Fakat bazı değerlerin önemi diğerlerinden farklı olabi-lir. Bu durumlarda ağırlıklı ortalama kullanılır.

ÖRNEK 174

7, 6, 7, 8, 10, 12, 6

veri grubundaki sayıların ortalaması kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 175

Ö¤renci say›s›

Kardefl say›s›

5

1

12

2

8

3

3

4

0

5

0

6

1

7

29 öğrenci bulunan bir sınıftaki öğrencilere, kardeş sayıları sorulmuş ve verilen cevaplara göre yuka-rıdaki tablo oluşturulmuştur. Buna göre, bu sınıfta bulunanların ortalama kardeş sayısı kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 176

Kredi

4

3

2

2

Ders

Matematik

Fizik

Kimya

Biyoloji

Not

84

72

65

70

Furkan’ın sayısal derslerinden aldığı yıl sonu notları ve bu derslerinin haftalık kredileri yukarıda tablo halinde verilmiştir. Furkan’ın sayısal karnesinin not ortalamasını, kredi ağırlığına göre bulunuz.

Çözüm

MEDYAN (ORTANCA)

Bir sayı dizisinin medyanını bulmak için, sayılar kü-çükten büyüğe doğru sıralanır.

Dizinin terim sayısı tek ise ortadaki terim med-

yandır.

Dizinin terim sayısı çift ise ortadaki iki terimin

aritmetik ortalaması medyandır.

Başka bir deyişle, n terimli bir sayı dizisinde

n tek ise medyan : xn2

1+

n çift ise medyan : x x

2

n n2 2 1

++

dir.

ÖRNEK 177

3, 2, 2, 1, 4, 5, 5, 7, 4

verilerinin ortancası (medyan) kaçtır?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

215

ÖRNEK 178

2, 7, 2, 5, 3, 4, 4, 1

verilerinin ortancası (medyan) kaçtır?

Çözüm

MOD (Tepe Değeri)

Bir veri grubundaki en çok (en sık) tekrarlanan de-ğere mod (tepe değeri) denir. Tekrar sayıları frekans olarak adlandırılır.

ÖRNEK 179

5, 11, 4, 13, 7, 6, 11

verilerinin tepe değeri (mod) kaçtır?

Çözüm

Bir veri grubunda birden fazla tekrar eden değer yoksa, bu veri grubunun modu yoktur.

ÖRNEK 180

1, 2, 3, 4, 5, 6 veri grubunun modu yoktur.



Bir veri grubunda aynı sayıda tekrar eden birden fazla değer varsa, mod değeri de birden fazla ola-bilir. Fakat, tüm değerler eşit sayıda tekrar ediyorsa mod yoktur.

ÖRNEK 181

1, 3, 5, 2, 4, 3, 7, 9, 5

sayı dizisinin modu kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 182

7, 19, 11, 3, 3, 5, 7, 6, 7, 1, 19

verilerinin modu kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 183

Meyve suyu üreten bir fabrikada, rastgele seçilen 15 şişe meyve suyunun bozulma süreleri ay olarak aşa-ğıdaki gibi tespit edilmiştir.

18, 20, 21, 22, 22, 22, 24, 25, 25, 26, 27, 30, 30, 31, 32

Bu süreler için merkezi eğilim ölçüleri olan; ortalama, ortanca ve mod değerleri nelerdir?

Çözüm

Not: Ortalama, mod ve ortanca değerler birbirine yakın olduğu için dağılım düzgündür veya veriler ho-mojen dağılmıştır diyebiliriz.


ES

EN

YAY

INLA

RI

216

ÖRNEK 184

Bazı özelliklerde Türkiye’nin dünya sıralamasındaki yeri aşağıdaki tablo ile belirtilmiştir.

Özellik Dünya Sıralamasındaki Yeri

Nüfus sayısı 17

Yüzölçümünün büyüklüğü 36

Kentli nüfus oranı 13

Ekonomik büyüme 16

Kişi başına düşen milli gelir 21

Bor ve krom üretimi 1

Altın ve toryum üretimi 2

Cıva, mermer ve jeotermalenerji üretimi 7

Fındık, incir ve kiraz üretimi 1

Çelik üretimi 9

Çimento üretimi 2

Kömür üretimi 15

İlaç üretimi 18

Koyun, keçi sütü üretimi 1

Dış satım (ihracat) 30

Tekstil ihracatı 3

Çimento ihracatı 2

Mermer ihracatı 8

En çok tatil yapılan ülkeler 3

Tablodan elde edilen verilerin modu, medyanı ve ortalamasını bulunuz.

Çözüm

Geometrik Ortalama: x1, x2, ... xn gibi n tane verinin

geometrik ortalaması . .....x x xnn

1 2 dir. Gözlem so-

nuçlarının her biri bir önceki gözlem sonuçlarına bağ-lı olarak değişiyorsa bu değişimin hızını belirtmek için geometrik ortalama daha sağlıklı sonuçlar verir.

Örnekİstanbul’da bir sitedeki ev kiraları aşağıda verilmiştir.

Yıllar Kira (TL)––––– –––––––– 1980 100 1995 800 2010 1600

1980-2010 yılları arasındaki ortalama kira artış oranı-nı hesaplayınız.Çözüm

Harmonik Ortalama: x1, x2, ... xn gibi n tane verinin

harmonik ortalaması .....

x x x

n1 1 1

n1 2+ + +

dir.

Harmonik ortalama sık kullanılmayan bir ortalama çeşitidir. Genellikle ekonomik olaylarda 1 birim ile alı-nabilen ortalama miktara veya bir ürünün bir birimi-nin üretimi için harcanan ortalama gideri hesaplarken kullanılır. Ayrıca ortalama hız hesabında da kullanılır.

Örnek

B CAO

Şekilde |OA| = |AB| = |BC| dir. Bir aracın hızı O – A arası 60 km/saat, A – B arası 80 km/saat ve B – C arası 100 km/saattir. Bu aracın bu yolculuk esnasın-daki ortalama hızı kaç km/saattir?Çözüm

ETKİNLİK


ES

EN

YAY

INLA

RI

217

MERKEZİ YAYILMA (DAĞILIM) ÖLÇÜLERİ

Merkezi eğilim ölçüleri, birimlerin kendi aralarında nasıl bir dağılım (yayılım) gösterdiklerini ifade etmede yetersiz kalırlar. Örneğin;

VER‹LER

Y

2

25

30

31

32

X

22

23

24

25

26

Z

7

9

11

13

80

x, y ve z verilerinin ortalamaları eşit ( )x y z 24= = = olduğu halde verilerin dağılımları oldukça farklıdır.

Bu nedenle verilerin ortalamaya göre veya kendi ara-larında nasıl bir dağılım gösterdiklerini incelemek için merkezi dağılım ölçüleri kullanılır. Bunlar,

Açıklık – Çeyrekler açıklığı

Varyans (değişim) – Standart Sapma

olarak ifade edilirler.

AÇIKLIK (Aralık – Ranj)Bir veri kümesinde bulunan en büyük ve en küçük değer arasındaki farktır ve genellikle R ile gösterilir.

R = En Büyük Değer – En Küçük Değer

ÇEYREKLER AÇIKLIĞI (Q)Bir veri grubundaki terimler küçükten büyüğe doğ-ru sıralandığında ilk terime alt uç, son terime üst uç, bunların ortasındaki terime de ortanca denir.

Ortancadan küçük terimlerin ortancasına alt çeyrek (Q1) denir.

Ortancadan büyük terimlerin ortancasına üst çeyrek (Q3) denir.

Bir başka ifade ile veri kümesinin ilk % 50 lik kısmının ortancasına Q1 , sonraki % 50 lik kısmının ortanca-sına da Q3 denir.

Çeyrekler açıklığı = Üst çeyrek – Alt çeyrek

Q = Q3 – Q1

% 0 % 25 % 50 % 75 % 100

Çeyrekler açıklı¤›

ortanca üst uç de¤eralt uç de¤er

Q1 Q3

ÖRNEK 185

7, 3, 4, 9, 2, 7, 5

veri grubunun açıklığı ile çeyrekler açıklığını bulunuz.

Çözüm

ÖRNEK 186

16, 18, 30, 4, 6, 10, 8, 8, 12, 17, 20, 24, 36, 22, 28

veri grubunun çeyrekler açıklığını bulunuz.

Çözüm

ÖRNEK 187

1, 3, 4, 6, 7, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 20

veri grubunun açıklığı ile çeyrekler açıklığını bulunuz.

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

218

KUTU GRAFİĞİ

Bir değişkenin sıklık dağılımını göstermek için kullanı-lan kutu grafikleri, dağılımın şekli, merkezi eğilimi ve değişkenlerin yayılım düzeyini göstermesi açısından kullanışlıdır. Kutu grafiği, veri için çeyreklere dayalı grafiksel gösterimlerdir. Kutu grafiğinin çizimi için,

en küçük değer (alt uç değer)

alt çeyrek (Q1), ortanca, üst çeyrek (Q3) ve

en büyük değer (üst uç değer) bulunur.

Kutu gösteriminde;

Kutunun uç noktaları Q1 ve Q3 tedir.

Kutunun uzunluğu Q3 – Q1 dir. Bu fark, verilerin ortadaki yarısının yayılma ölçüsüdür.

Ortanca, kutunun içinde çizgi ile işaretlenir.

Kutu dışındaki iki çizgi, alt uç değer ve üst uç de-ğere kadar uzatılır.

Kutu grafiğinde, dağılımın merkezi, verilerin yayılma genişliği ve uç değerleri kolaylıkla görülür.

En KüçükDe¤er

AltÇeyrek Ortanca

ÜstÇeyrek

En BüyükDe¤er

ÖRNEK 188

Bir sınıftaki öğrencilerin bir dakikalık zaman dilimi içe-risinde nabızlarını saymaları istenmiştir. Ölçüm so-nuçları cinsiyet değişkenine göre aşağıdaki tabloya aktarılmıştır.

56

60

En DüflükDe¤er

Erkek

Kız

60

68

AltÇeyrek

66

74

Ortanca

76

80

ÜstÇeyrek

96

110

En BüyükDe¤er

Bu tabloya karşılık gelen kutu grafiği aşağıdaki gibidir.

85657060

Erkek

Kız

Nabız Sayısı80756555 11010090 10595

Cinsiyet

Bu grafik üzerinden kızlarla erkeklerin nabız sayıla-rını, farklı açılardan (ortanca, en büyük ve en küçük değerler, çeyrekler) karşılaştırabiliriz.

ÖRNEK 189

Bir okulun 11–K ve 11–L şubelerindeki öğrencilerin, fizik dersinde uygulanan aynı sınavın sonucunda al-dıkları puanlar aşağıda verilmiştir.

70

80

11 – K

11 – L

40

20

50

40

50

30

80

50

60

70

40

40

90

50

60

80

Bu notlara ait kutu grafiğini oluşturalım ve sınıfların fizik notlarını yorumlayalım.

Çözüm


219

VARYANSGözlemlenen değerlerin (verilerin) ortalama etrafında nasıl yayıldıklarının (dağıldıklarının) ölçüsüne var-yans denir.

Belli karakterleri ortak olan birimlerin oluşturduğu top-luluğa popülasyon (kitle - yığın) denir. (Hayvan popü-lasyonu, bitki popülasyonu, öğrenci popülasyonu gibi)n (mü) : Yığın aritmetik ortalamasıN : Yığını oluşturan birimlerin sayısıv2 : Yığın varyansı

olmak üzere, v2 = ( )

N

x –ii

N2

1n

=/

dir.

( ) ( ) ( ) ..... ( )x x x x– – – –ii

N

N2

1

2 2 21 2n n n n= + + +

=f p/

Popülasyonda üzerinde çalışılan obje veya bireyle-ri teker teker incelemek; zaman, maliyet, işçilik ve-ya yasalar açısından çoğu zaman mümkün değildir. Bundan dolayı, popülasyonun tümünün üzerinde ça-lışılması yerine ondan belli yöntemlerle alınan örnek-ler üzerinde çalışılır.

x (x bar) : Örnek aritmetik ortalaması

n : Örneği oluşturan birimlerin sayısı

s2 : Örnek varyansı

olmak üzere, s2 = ( )

n

x x

1–

–ii

n2

1=/

dir.

n ve v2 popülasyonun özelliklerini tanımlayan para-

metrelerdir. İstatistikler, parametrelerin birer tahmini

değerleridir. Yani; x , n nün, s2 ise v2 nin tahmini değerleridir.

N

( μ, σ 2

)

n

( x, s2 )

Parametreler ‹statistikler

Y›¤›n

Örnek

Örnekleme

Yorumlama

İstatistik bilimi, örnek verilerden hareket ederek po-pülasyon (ana kitle – yığın) hakkında yorumlama ve genelleme yapar.

Çizgi Grafiği Bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini incelemek için en uygun grafik türüdür.• Birden çok sürekli veri grubunun kıyaslanması kolaylıkla görülebilir.

SÜTUN

GRAFİĞİ

Çubuk Grafiği

• Görselliği kuvvetlidir.• 2 veya 3 veri grubu kolaylıkla kıyaslanabilir.• Her bir kesikli veri ayrı sütunda gösterildiği için incelenmesi kolaydır ve verinin gerçek

değeri kolaylıkla görülebilir.

Histogram• Gruplanmış (sınıflandırılmış) sürekli verilerin gösterimi için iyi bir görselliğe sahiptir.

• Her bir kategoriye düşen frekans sayıları kolaylıkla görülebilir.

Daire GrafiğiBir değişkenin bir bütün içerisindeki oranını belirlemek için en uygun grafik türüdür.• Göze hoş gelen bir sunumu vardır.

• Her bir kategorinin toplam içindeki payı çok rahat anlaşılır.

Kutu Grafiği

Verilerin genişliğini, yığılımını öğrenmek için en uygun grafik türüdür.• Uç değerleri ve sapan değerleri görmek çok kolaydır.• Veri sayısı çok olduğunda bile kolaylıkla gösterilebilir.• Dağılımın şekli, merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri hakkındaki bilgileri çok rahat sunar.

Serpilme Grafiği

İki değişken arasındaki ilişkiyi göstermek için en uygun grafik türüdür.• Veriler arasındaki ilişkiyi (doğru orantılı, ters orantılı, ilişki yok gibi) açıklamak için çok

uygundur.• Verilerin gerçek değerleri göz önündedir.

Grafik Türünün Seçimi ve Avantajları


ES

EN

YAY

INLA

RI

220

ÖRNEK 190

1, 2, 3, 4, 5 veri grubunun örnek varyansı kaçtır?

Çözüm

Verilerin ortalama etrafında daha uzak (geniş) bir dağılım göstermeleri durumunda varyans büyük, ortalamaya daha yakın değerler alması durumunda varyans küçük olur. Varyansın küçük olması daha homojen ve birbirine yakın bir veri grubu olduğunu gösterir. Başka bir deyişle küçük varyans daha is-tikrarlı bir durum, büyük varyans ise daha riskli bir durum olduğunun göstergesi olarak yorumlanabilir.

ÖRNEK 191

A veri grubu : 2, 3, 4

B veri grubu : 1, 3, 5

olmak üzere bu veri gruplarına ait örnek varyansları bulup birbiriyle kıyaslayınız.

Çözüm

STANDART SAPMA

Varyansın karekök değerine standart sapma denir. En yaygın merkezi yayılım ölçüsüdür. Varyansa ben-zer şekilde verilerin ortalama etrafında nasıl bir yayıl-ma gösterdiğinin ölçüsüdür. Düşük standart sapma değeri, bir araya toplanmış ve ortalamaya daha yakın verilerin çok olduğunun ölçüsüdür.

ÖRNEK 192

5, 3, 7 veri grubunun standart sapması kaçtır?

Çözüm

ÖRNEK 193

Araç aküsü üreten bir firmanın ürettiği 61 akünün dayanma sürelerine ait frekans tablosu aşağıda ve-rilmiştir.

Yıl

1 – 5

6 – 10

11 – 15

16 – 20

Toplam

21

15

19

6

61

Frekans

Tablo: Akülerin Dayanma Süreleri

Akülerin ortalama ömürleri ve dayanma sürelerinin standart sapması nedir?

Çözüm


ES

EN

YAY

INLA

RI

221

ÖRNEK 194

Gün Alper Burak

1 4 3

2 2 3

3 5 4

4 3 5

5 4 5

6 6 4

Bir pazarlama şirketi Alper ve Burak isminde iki ele-mandan birisini 6 günlük deneme süresi sonunda işe alacaktır. Bu elemanların 6 günlük (yığın verisi) satış-ları yukarıdaki gibidir. Buna göre, bu şirketin daha is-tikrarlı bir eleman almak için Alper ve Burak’tan han-gisini tercih etmesini gerektiğini bulunuz.

Çözüm

A, B ve C oyuncularının son 7 maçta attıkları basket sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir.

A B C

12 18 24

13 21 14

12 15 14

14 13 22

11 16 25

20 18 16

16 18 11

a) Bu tablo yardımıyla A, B ve C basketçilerine aitmerkezi eğilim ve yayılma ölçülerini bulunuz.

b) Bu oyunculara sahip basketbol takımının koçusu-nuz ve önünüzdeki maçı çok farklı bir şekilde ka-zanmanız gerekiyor. Aksi takdirde takımınız ele-necek. A, B ve C oyuncularından birini seçerekmaça başlamak istiyorsunuz. Hangi basketçiyiseçersiniz?

c) Bir takımın koçusunuz ve sezon başında istikrarlıbir takım oluşturmak istiyorsunuz. Bu oyuncular-dan hangisini takımınıza alırsınız?

Çözüm

ETKİNLİK


222

1 TL, 7 TL, 8 TL, 9 TL, 10 TL, 13 TL, 50 TL

Bir lokantadaki 7 masada 13.00 – 14.00 saatleri arasında ödenen hesaplar yukarıdaki gibi olsun.

Bu verilerden yararlanarak sonraki 1 saatlik dilim içinde gelen yeni bir müşterinin yaklaşık ne kadar hesap ödeyeceğini tahmin etmeye çalışalım ve hangi ölçülerin bize nasıl bir bilgi verebilece-ğini inceleyelim.

Ortalama: 7 8 9 10 13 501x7

14+ + + + + += =

Ödenen hesapların birçoğu ortalamadan çok uzakta olduğu için ortalama çok faydalı bir gösterge değildir.

Mod: Mod olmadığından incelemeye katkısı yoktur.

Medyan: 1, 7, 8, , 10, 13,9 50a k

Aşırı uç değerlerden (1 ve 50) etkilenmediği için medyan iyi bir göstergedir.

Yani gelecek olan bir müşterinin ortalama 9 TL hesap ödeyeceği beklentisi oldukça gerçekçidir.

Standart Sapma:

s2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 1

1 14 7 14 8 14 9 14 10 14 13 14 50 14–

– – – – – – –2 2 2 2 2 2 2+ + + + + + ≅ 265

Standart sapma: s = 265 , 16

x – s = 14 – 16 = –2 , x + s = 14 – 16 = 30

Yeni gelecek bir müşterinin –2 TL ile 30 TL arasında bir hesap ödeyebileceği tahmini bize katkı sağlayan bir ölçü değildir. Ortalamaya göre kıyaslandığında oranı çok yüksek olduğu için standart sapmayı göz önüne ala-rak yapılan tahmin oldukça riskli olacaktır.

Şimdi de 1 TL ve 50 TL lik hesapların genellikle olmadığını düşünerek bu sapan değerleri veri grubundan çıkararak tahminde bulunmaya çalışalım. 7 TL , 8 TL , 9 TL , 10 TL , 13 TL

Ortalama: x = .5

7 8 9 10 13547 9 2,

+ + + + =

Sapan değerler veri grubundan atılarak elde edilen bu değer öncekine göre daha gerçekçidir.

Medyan: Medyan 9 TL olup bu durumda da iyi bir hesap tutarı tahmini yansıtmaktadır.

Standart Sapma:

s2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 1

9 13 97 9 8 9 9 9 10–

– – – – –2 2 2 2 2+ + + + = .4

22 5 5=

Standart sapma: . .5 5 2 3,

x – s = 9.2 – 2.3 = 6.9 , x + s = 9.2 + 2.3 = 11.5

Yeni gelecek müşterilerin ortalama 6.9 TL ile 11.5 TL arasında bir hesap ödeyecekleri beklentisi gerçekçidir.

Standart sapma değeri öncekine göre daha düşük çıktığı için veriler birbirine daha yakın olup tahminlerde yanılma payı daha azdır.

ETKİNLİK


ES

EN

YAY

INLA

RI

223

STANDART PUANLAR

Standart puan gözlenen puanların ortalamadan olan farklarını standart sapma cinsinden belirtilmesidir.

Standart puanlar, yapılan ölçümlerden elde edilen puanların aritmetik ortalamasının sıfır (0), standart sapmasının bir (1) kabul edildiği puanlardır.

z puanı

z-puanı bir verinin ortalamadan kaç standart sapma kadar uzakta olduğunu gösterir ve

z puanı = darttan sapma

Ham puan Aritmetik ortalama–S

z = s

X x–

formülü ile hesaplanır.

Herhangi bir kişinin almış olduğu puanı z puanına dö-nüştürerek, verilen bir puanın standart sapmaya göre ortalamanın ne kadar altında veya üstünde kaldığı belirlenebilir.

z puanının (–) veya sıfır (0) çıkması mümkündür.

T puanız puanı nasıl ki verilen puanları ortalaması 0, standart sapması 1 olan puanlara dönüşüyorsa, T puanı da verilen puanları ortalaması 50, standart sapması 10 olan puanlara dönüştürür. z puanlarından T punlarına geçiş T = 50 + 10.z formülü ile elde edilir.

ÖRNEK 195

Bir ülkedeki insanlar bir yılda 19 standart sapma ile ortalama 249 gün çalışmaktadırlar. z puanı 2 oldu-ğunda bu durum, ortalama kaç günlük çalışma süre-sini ifade eder?

Çözüm

ÖRNEK 196

Öğrenci Puanı

Melis 30

Zeynep 50

Burcu 90

Ezgi 70

Efe 40

Mesut 80

Tabloda 6 öğrencinin kimya dersi I. yazılı sınavından

aldığı notlar (standart puanlar) verilmiştir.

Melis ve Ezgi’nin bu sınav için aldıkları kimya notları-

nın z ve T puanlarını bulalım.

Çözüm


224

ES

EN

YAY

INLA

RI

ÖRNEK 197

3 kişinin katıldığı bir sınavda puanlar hesaplanırken;

I. Her öğrenciye 100 taban puan verilmektedir.

II. En yüksek puan alan öğrencinin puanı 500 eçekilerek diğer puanların dağılımı buna göreyapılmaktadır.

III. Test farkı gözetilmeksizin her sorunun puan geti-risi eşit kabul edilmektidir.

Aşağıdaki tablodaki verileri kullanarak Aybars’ın pua-nını hesaplayalım.

Ö¤renci

Ecem

Aybars

Gizem

28

34

39

MatematikNeti

32

36

36

FenNeti

30

30

35

TürkçeNeti

24

26

30

SosyalNeti

Çözüm

ÖRNEK 198

‹statistik

Fatma’n›n notu ( X )

S›n›f ortalamas› ( x )

Standart sapma ( s )

70

60

5

Matematik

75

70

10

EdebiyatDers

Fatma’nın matematik ve edebiyat derslerinin I. yazı-

lılarından aldığı notlar, sınıfın ortalaması ve standart

sapması yukarıda verilmiştir. Buna göre, Fatma’nın

bu sınavları ile ilgili z ve T puanlarını bulunuz.

Çözüm

KORELASYON

İki değişken arasında ilişki olup olmadığını, varsa bu ilişkinin derecesini gösteren kat sayıya korelasyon kat sayısı denir.

Korelasyon kat sayısı [–1, 1] aralığında değerler alır.

Korelasyon kat sayısı sıfıra eşit ise değişkenler arasında bir ilişkiden söz edilemez.

Korelasyon kat sayısının 1 e yaklaşması, değişkenler arasında olumlu ve kuvvetli bir ilişkinin bulunduğunu; –1 e yaklaşması, değişkenler arasında olumsuz ve kuvvetli bir ilişkinin bulunduğunu gösterir.

ÖRNEK 199

B

0,9A

C

0,2

D

– 0,1

E

– 0,8

Yukarıdaki tabloda A ile B, C, D ve E değişkenleri arasındaki korelasyon kat sayıları gösterilmiştir.

Buna göre, bu ilişkileri yorumlayınız.

Çözüm

225

1. 12, 12, 13, 14, 14, 15 (saniye)

6 kişilik bir sporcu grubunun 100 metreyi koşma süreleri yukarıdaki gibidir. Buna göre, bu spor-cuların 100 metreyi koşma süreleri ortalama kaç saniyedir?

2. I. 7, 9, 6, 8, 9, 4, 2

II. 1, 4, 3, 2, 1, 5, 5, 3

Yukarıda verilen I ve II nolu sayı dizilerinin med-yanlarının toplamı kaçtır?

3. 8, 9, 11, 11, 7, 8, 6, 13, 6, 6, 4

Yukarıda verilen sayı dizisinin mod ve medyanı-nın toplamı kaçtır?

4. 14, 17, 10, 12, 19, 21, 9, 24

verilenlerin açıklığı kaçtır?

5. 4, 5, 8, 12, x, x + 1

sayı dizisinin aritmetik ortalaması 9 olduğuna göre, tepe değeri kaçtır?

6. 10 öğrencinin matematik dersinden aldıkları not-lar,

25, 30, 30, 45, 45, 50, 60, 60, 60, 85

şeklindedir. Bu veri grubunun,

a. Ortancasını b. Tepe değerini (mod)

c. Alt uç değerini d. Üst uç değerini

e. Alt çeyrek değerini f. Üst çeyrek değerini

g. Çeyrek açıklığını h. Grup açıklığını

bulunuz.

7. 50, 54, 58, 60, 66, 72

Yukarıda, bir sınıfta bulunan herhangi 6 öğren-cinin geometri sınavından aldıkları puanlar veril-miştir. Bu puanların standart sapmasını bulunuz.

8. Sınav ortalaması 60, standart sapması 4 olan birsınavda 40 alan Ali ile 100 alan Barış’ın z puan-larını bulunuz.

9. Sınav ortalaması 70, standart sapması 8 olanbir sınavda 60 alan Fatma’nın T standart puanıkaçtır?

ALIŞTIRMALAR – 6

ES

EN

YAY

INLA

RI


ES

EN

YAY

INLA

RI

226

10. Şekilde verilen grafik bir

Di¤er% 45

Kira% 30

Yiyecek

ailenin aylık harcamala-rını göstermektedir. Buailenin aylık kira gideri450 TL olduğuna göre,aylık yiyecek gideri kaçTL dir?

11.

1 2 3 4 5

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Ö¤renci sayısı

Alınan Not

Yukarıdaki grafik bir sınıftaki öğrencilerin tarih dersinin sınavından aldıkları notları göstermekte-dir. 2 ve üzeri not alanlar başarılı olduğuna göre, bu sınıfın yüzde kaçı tarih dersinden başarılıdır?

12. 25

20

15

10

5

0

Benzin (L)

Zaman (gün)1 2 3 54 6

Yukarıdaki grafik, bir aracın benzin tüketimini göstermektedir. Buna göre, bu aracın hangi gün-ler arasında benzin tüketim hızı en fazladır?

13. Aşağıdaki grafik bir otobüsteki yolcuların meslek-lerine göre dağılımını göstermektedir.

Ö¤r

etm

en

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Kifli sayısı

Meslek

Mem

ur

Esn

af

‹flçi

a. Otobüsteki yolcular mesleklerine göre bir dairegrafiğiyle gösterildiğinde öğretmenleri gösterendaire diliminin merkez açısının ölçüsü kaç dereceolur?

b. Bu otobüsten x sayıda yolcu inip otobüse x sayı-da yolcu binerse otobüste her meslek grubundaneşit sayıda yolcu oluyor. Buna göre, x en az kaç-tır?

c. Otobüsten belirli sayıda işçi inip otobüse işçi ol-mayan 8 kişi binerse otobüsteki işçilerin sayısı,tüm yolcuların sayısının % 25’i oluyor. Buna gö-re, otobüsten inen işçilerin sayısı kaçtır?

ES

EN

YAY

INLA

RI

231

TEST – 1

1. 0! + 2! + 4! + ..... + 400! sayısının birler basama-ğındaki rakam kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8

2. 13! + 14! toplamının sonunda kaç tane sıfır var-dır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

3. 4! + 6! + 8! + ..... + 120! sayısının onlar basama-ğındaki rakam kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

4. 40! – 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamıvardır?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

5. 3! + 4! + 5! + ..... + 140! sayısının 30 ile bölü-münden kalan kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 3 D) 12 E) 17

6. x ve y doğal sayılar olmak üzere 24! = 4x.yeşitliğini sağlayan x en çok kaçtır?

A) 22 B) 20 C) 18 D) 14 E) 11

7. x ve y doğal sayılar olmak üzere

!y2440

x= eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı

kaçtır?

A) 80 B) 79 C) 78 D) 77 E) 76

8. x ve y doğal sayılar olmak üzere 32! = 12x.yeşitliğini sağlayan en büyük x değeri kaçtır?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

Faktöriyel ve Permütasyon


ES

EN

YAY

INLA

RI

232

1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 6.E 7.C 8.C 9.A 10.E 11.D 12.C 13.A 14.C 15.C 16.D

9. 5 soruluk bir test sınavında her soru için 5 se-çenek vardır. Ardışık iki sorunun doğru yanıtları aynı seçenek olmayacak şekilde kaç farklı cevap anahtarı hazırlanabilir?

A) 1280 B) 1240 C) 1220 D) 1140 E) 1020

10. 7 rakamlı telefon numarasının ilk 5 rakamı bilin-mektedir. Kaç değişik deneme ile bu telefon nu-marası kesin olarak tespit edilebilir?

A) 80 B) 90 C) 96 D) 98 E) 100

11. 3 öğrenci 5 farklı dersten birer tane seçecektir. Her birinin seçtiği ders farklı olmak koşuluyla kaç seçim yapılabilir?

A) 24 B) 32 C) 48 D) 60 E) 72

12. 18 takımın bulunduğu süper ligde her takım birbi-riyle 2 maç yapacaktır. Toplam kaç maç oynanır?

A) 304 B) 305 C) 306 D) 308 E) 309

13. A = {0, 1, 3, 4} kümesinin elemanlarını kullana-rak rakamları farklı üç basamaklı kaç tek sayı ya-zılabilir?

A) 8 B) 12 C) 18 D) 24 E) 30

14. {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesindeki rakamlar kullanı-larak, rakamları farklı, 4 basamaklı kaç tane çift sayı yazılabilir?

A) 96 B) 120 C) 156 D) 180 E) 196

15. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarını kul-lanarak 400 den küçük rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir?

A) 46 B) 47 C) 48 D) 49 E) 50

16. A = {2, 4, 5, 7, 9} kümesinin elemanları ile ra-kamları farklı 4 ile bölünebilen 3 basamaklı kaç sayı yazılabilir?

A) 30 B) 24 C) 18 D) 12 E) 9

ES

EN

YAY

INLA

RI

235

TEST – 3

1. 2 kız ve 4 erkek arkadaş yanyana, başta vesonda birer erkek bulunacak şekilde kaç türlü sı-ralanabilir?

A) 288 B) 240 C) 220 D) 144 E) 120

2. 3 öğretmen, 5 öğrenci arasından seçilen 1 öğret-men ve 2 öğrenci yanyana kaç değişik biçimdefotoğraf çektirebilirler?

A) 120 B) 136 C) 140 D) 160 E) 180

3. Murat 6 arkadaşından 2 sini tiyatroya davet ede-cektir. Belli iki arkadaşı birlikte olmak istemiyor-lar. Buna göre Murat 2 arkadaşını kaç değişikşekilde seçer?

A) 6 B) 10 C) 14 D) 15 E) 20

4. 9 kişiden belli iki kişi aynı odada kalmamak koşu-lu ile bir oteldeki 4 ve 5 kişilik iki odaya kaç deği-şik biçimde yerleşebilir?

A) 60 B) 62 C) 68 D) 70 E) 72

5. Bir çember üzerinde bulunan 7 nokta ile köşeleribu noktalar olan kaç çokgen oluşturulabilir?

A) 64 B) 72 C) 89 D) 99 E) 101

6. C(n + 1, 11 – n) = C(n + 1, 6) eşitliğini gerçekleyenn değerlerinin çarpımı aşağıdakilerden hangisi-dir?

A) 8 B) 12 C) 24 D) 40 E) 48

7. 5 kız ve 4 erkek arasından seçilen 3 kız ve 2erkek yuvarlak masa etrafına erkekler yanyanaolmak koşuluyla kaç değişik biçimde oturabilir?

A) 720 B) 600 C) 540 D) 480 E) 240

8. 21 kişilik bir grupta erkeklerden oluşturulabilecekikişerli grupların sayısı kızların sayısına eşittir.

Bu grupta kaç erkek vardır?

A) 6 B) 9 C) 12 D) 14 E) 15

Kombinasyon


ES

EN

YAY

INLA

RI

236

1.A 2.E 3.C 4.D 5.D 6.D 7.A 8.A 9.B 10.C 11.D 12.E 13.A 14.E 15.E 16.C

9. 10 doğrudan 2 tanesi bir A noktasında kesişmiş-tir. Diğer doğrulardan 3 tanesi paralel olduğunagöre bu 10 doğru en fazla kaç noktada kesişir?

A) 41 B) 42 C) 43 D) 44 E) 45

10.

d1

d2

d3

d4

d5 d6 d7 d8

d1 // d2 // d3 // d4 ve d5 // d6 // d7 // d8 olduğu-na göre, yukarıdaki şekilde kaç tane paralelkenar vardır?

A) 16 B) 20 C) 36 D) 40 E) 48

11. 8 kenarlı bir konveks çokgenin kaç köşegeni var-dır?

A) 16 B) 18 C) 19 D) 20 E) 22

12. 6 sı kız olan 11 kişilik bir gruptan 4 kişilik bir ekipoluşturulacaktır. Grupta en az bir kız öğrenci bu-lunması koşuluyla kaç grup oluşturulabilir?

A) 332 B) 330 C) 328 D) 326 E) 325

13. 6 farklı oyuncak her çocuğa ikişer tane verilmeküzere 3 çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

A) 90 B) 80 C) 72 D) 60 E) 54

14. 6 kişi her birinde en az bir kişi bulunan üç grubakaç farklı şekilde ayrılabilirler?

A) 72 B) 80 C) 90 D) 120 E) 180

15. A

B C

Şekildeki üçgen üzerinde işaretlenmiş 12 nokta-dan kaç farklı üçgen çizilebilir?

A) 190 B) 189 C) 188 D) 187 E) 186

16. A

B CD E K L MF

Yukarıdaki şekilde kaç üçgen vardır?

A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E) 30

ES

EN

YAY

INLA

RI

237

TEST – 4

1. (ax – 2y2)6 açılımında kat sayılar toplamı 64 ise a nın alabileceği değerler toplamı kaç olur?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. (3x – 2y)n açılımında 8 terim varsa, bu terimlerin kat sayılar toplamı kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

3. (x – 2y)7 ifadesi, x in azalan kuvvetlerine göre açılırsa, baştan 4. terim ne olur?

A) –120x3y4 B) –120x4y3 C) –280x4y3 D) –240x4y3 E) –240x3y4

4. (2x – y2)6 ifadesi, x in azalan kuvvetlerine göre açılırsa, sondan 3. terimin kat sayısı kaç olur?

A) 32 B) 48 C) 50 D) 58 E) 60

5. xx1–2

6c m ifadesinin açılımında ortadaki terim

nedir?

A) x10–

3 B)

x20–

3 C)

x30–

3

D) x20

3 E)

x30

3

6. xx2

138

+c m ifadesinin açılımında sabit terim kaç-

tır?

A) 167 B)

21 C)

169 D)

85 E)

1611

7. x

x1 – 26

c m ifadesinin açılımında sabit terim

baştan kaçıncı terimdir?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

8. xxa–

8b l ifadesinin açılımında sabit terim 70 ise

a nın pozitif değeri kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Binom Açılımı


ES

EN

YAY

INLA

RI

238

1.D 2.D 3.C 4.E 5.B 6.A 7.D 8.A 9.B 10.B 11.C 12.E 13.D 14.A 15.A 16.A

9. (x + y)16 ifadesinin açılımında kat sayılarn enbüyük olanı nedir?

) ) ) ) )A B C D E159

168

167

169

158

d d d d dn n n n n

10. (vx + x)6 ifadesinin açılımında x5 li terim baştankaçıncı terimdir?

A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

11. (x + y)n ifadesinin açılımında x4 lü terimin kat sa-yısı 5 ise y3 lü terimin kat sayısı kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15

12. (x2 – 2y)n açılımındaki terimlerden biri Ax6y2 iseA kaçtır?

A) 112 B) 102 C) 80 D) 60 E) 40

13. (x2 + vx)8 ifadesinin açılımında terimlerden biri7ax7 dir. Buna göre a kaçtır?

A) 8 B) 7 C) 6 D) 4 E) 3

14. xx

241–5

2

10c m = 210.x50 + ..... + K.x29 + .....

eşitliğinde K kaçtır?

A) –240 B) –216 C) –196 D) –172 E) –150

15. (2x2 + y2)n açılımı yapıldığında bir terim,

A.x6.y18 olduğuna göre A kaçtır?

A) 8129

d n B) 129

d n C) 128

d n

D) 6128

d n E) 1412d n

16. (1 – 23 )6 ifadesinin açılımı düzenlenirse oluşanrasyonel terim kaç olur?

A) –35 B) –34 C) –33 D) –32 E) –31

ES

EN

YAY

INLA

RI

239

TEST – 5

1. Bir sınıfta 5 siyah 4 kırmızı 3 beyaz elbiseli öğ-renci vardır. Rastgele seçilen iki öğrencinin ikisi-nin de kırmızı elbiseli olma olasılığı nedir?

) ) ) ) )A B C D E51

61

71

101

111

2. 40 mevcutlu bir sınıftaki öğrencilerin 14 tanesi matematikten, 20 tanesi kimyadan başarılı ol-muştur. 10 öğrenci de hem matematik hem de kimyadan başarılı ise rastgele seçilen 1 öğren-cinin matematik veya kimyadan başarılı olması olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E103

107

54

53

52

3. s(A) = 3 ve s(B) = 3 olmak üzere A dan B ye ta-nımlı fonksiyonlardan biri rastgele alınırsa, bunun bire bir ve örten bir fonksiyon olma olasılığı kaç-tır?

) ) ) ) )A B C D E91

92

31

94

95

4. Bir zarın iki yüzü beyaz, bir yüzü mavi, üç yüzü sarıya boyanmıştır. Bu zar üç kez atıldığında, bi-rinci ve ikinci atışlarda beyaz, üçüncü atışta mavi gelme olasılığı nedir?

) ) ) ) )A B C D E271

481

541

601

721

5. Bir torbada 5 mavi, 3 beyaz bilye vardır. Bir zar atılıp torbadan bir bilye çekildiğinde; zar tek sayı gelirse beyaz bilye, zar asal sayı gelirse, mavi bilye çekme olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E21

31

41

51

61

6. 20 den 100 e kadar olan (20 ve 100 dahil) doğal sayılar içerisinden rastgele seçilen bir sayının 6 veya 8 ile tam bölünen bir sayı olma olasılığı nedir?

) ) ) ) )A B C D E8119

8120

10019

277

10021

7. İki torbadan birincisinde 2 sarı 4 beyaz, ikincisin-de 3 sarı 5 beyaz bilye vardır. Rastgele seçilen bir torbadan alınan bir bilyenin sarı olduğu bili-niyorsa, 2. torbadan alınmış olma olasılığı kaç olur?

) ) ) ) )A B C D E179

178

176

174

161

8. Bir yarışı A nın kazanma olasılığı 52

B nin kazanmama olasılığı 31 tür.

A ve B den sadece birinin kazanma olasılığı kaç-tır?

) ) ) ) )A B C D E52

157

158

53

32

Olasılık


240

ES

EN

YAY

INLA

RI

1.E 2.D 3.B 4.C 5.A 6.A 7.A 8.C 9.B 10.A 11.A 12.A 13.D 14.A 15.A 16.C

9. Bir torbada üzerinde 1 den 10 a kadar numara-lar bulunan 10 top vardır. Bu torbadan seçileceküç topun üzerindeki sayıların toplamının çift olmaolasılığı nedir?

) ) ) ) )A B C D E32

21

31

41

51

10. 5 kız ve 4 erkek öğrencinin bulunduğu bir grup-ta 3 ve 4 kişilik iki ayrı grup oluşturulacaktır.Gruplarda kızların ve erkeklerin bir araya gelme-me olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E421

211

4217

4231

4241

11. 7 evli çift arasından rastgele seçilen iki kişininkarı-koca olma olasılığı nedir?

) ) ) ) )A B C D E131

111

91

71

51

12. 4 kırmızı, 2 sarı, 3 lacivert bilye bulunan bir torba-dan aynı anda 3 bilye çekiliyor. Çekilen bilyeleriniçinde en az bir kırmızı bilye olma olasılığı nedir?

) ) ) ) )A B C D E4237

4337

4336

4940

4943

13. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı alt kü-melerinden biri rastgele seçildiğinde bu kümeninelemanları arasında 5 in bulunma olasılığı kaçolur?

) ) ) ) )A B C D E43

54

65

32

31

14. Bir yarışmada A, B, C kişileri yarışacaktır. A nınkazanma olasılığı B nin kazanma olasılığının 3katı, C nin kazanma olasılığının yarısı ise bu ya-rışı A veya B nin kazanma olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E52

21

53

97

94

15. ALPAY sözcüğündeki harflerin yerleri değiştirile-rek oluşturulan 5 harfli sözcüklerden biri rastge-le seçiliyor. Bu sözcüğün PA ile başlayan sözcükolma olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E101

51

103

52

21

16. Bir torbada 3 tanesi beyaz olan bir miktar beyazve kırmızı bilye vardır. Bu torbadan, çekilen geritorbaya konmamak koşuluyla art arda iki bilyeseçildiğinde birincisinin beyaz, ikincisinin kırmızıolma olasılığı

41 ise bu torbada kaç tane kırmızı

bilye olabilir?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

ES

EN

YAY

INLA

RI

243

TEST – 7

1. Bir marketin 2011 yılının 1. yarısındaki aylara göre, kâr-zarar durumu aşağıdaki grafikte veril-miştir.

18000

15000

12000

9000

6000

3000

0

Miktar (TL)

KârZarar

Oca

k

fiub

at

Mar

t

Nis

an

May

›s

Haz

iran Aylar

Grafiğe göre, bu marketin kâr-zarar durumu aşa-ğıdakilerden hangisidir?

A) 3000 TL kâr B) 9000 TL kâr

C) 3000 TL zarar D) Ne kâr, ne de zarar

E) 9000 TL zarar

2. Bir ülkede üretilen kömür miktarlarının cinslerine göre oranları aşağıdaki grafikte verilmiştir.

Linyit

TaflkömürüKok

Yalnızca bu grafikten yararlanarak aşağıdaki bil-

gilerden hangisine kesinlikle ulaşılabilir?

A) Üretim miktarı az olduğu için en pahalı kömür

koktur.

B) Linyit üretim miktarı, toplam kömür üretim

miktarının yarısından azdır.

C) Bu ülkedeki kömür üretiminde taşkömürünün

maddi değeri en yüksektir.

D) Kok ve taşkömürü üretim miktarları toplamı,

linyit üretim miktarından azdır.

E) Kok kömürünün elde edilmesi daha masraflı

bir süreçtir.

3.

1995 2000 2005 2010

40

30

20

10

0

Nüfus (milyon kifli)

Y›llar

ErkekKad›n

Grafikte bir ülkedeki kadın-erkek nüfusunun 4

nüfus sayımına göre değişimi gösterilmiştir.

I. 2000 yılı sayımında erkek nüfusu bir önceki

sayıma göre artmamıştır.

II. Toplam nüfustaki artış oranı en yüksek 2000-

2005 yılları arasında olmuştur.

III. Kadın sayısı, erkek sayısını hiç geçmemiştir.

IV. 2010 yılındaki kadın/erkek sayıları oranı 1995

yılındaki orana eşittir.

Yukarıdaki ifadelerin Doğru(D) ve Yanlış(Y)

olarak sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

A) D – D – D – Y B) D – Y – D – Y

C) D – Y – D – D D) Y – Y – D – Y

E) D – D – D – D

4. Bir işyerinde çalışan 8 kişi A ve B diye iki gruba ayrılmıştır. Bu kişilerin isimleri ve maaşlarını gös-teren tablo aşağıda gösterilmiştir.

B grubu Maaş (TL)

Derya 1.400

Selma 1.800

Fatma 1.500

Soner 2.100

A grubu Maaş (TL)

Hülya 1.800

Ümit 1.600

İlhami 3.200

Turan 2.600

A ve B gruplarındaki hangi iki kişi yer değiştirirse

gruplardaki maaşların ortalaması eşit olur?

A) İlhami ile Soner B) Turan ile Derya

C) Hülya ile Derya D) İlhami ile Selma

E) Turan ile Selma

İstatistik


ES

EN

YAY

INLA

RI

244

1.D 2.D 3.B 4. B 5.D 6.A 7.E 8.E

5.

120°

60°80°

2000

60°

2010

61 ekran

67 ekran

106 ekran

51 ekran

60°

Dairesel grafiklerde, 2000 ve 2010 yılı ekranla-

rına göre TV satış oranları verilmiştir. 106 ekran

TV satışındaki değişim için ne söylenebilir?

A) 2000 yılına göre % 90 artmıştır.

B) 2010 yılı daire grafiğindeki merkez açısı 120°

olmuştur.

C) Toplam satış içindeki payı 41 oranında art-

mıştır.

D) 2010 yılı satışları, 2000 yılına göre % 150 art-

mıştır.

E) 2000 yılında 61 lık paya sahipken, 2010 yılın-

da 31 lük paya sahip olmuştur.

6. 3 tane 11. sınıfı bulunan bir okuldaki öğrencilerin sınıflara dağılımı aşağıda sütun grafiği ile göste-rilmiştir.

24

20

16

12

8

4

0

Ö¤renci say›s›

S›n›flar11–A 11–B 11–C

B

C

A

E

D

Erkek

K›z

Bu sınıflar arasından seçilecek 11. sınıf temsil-

cisinin kız veya 11-C sınıfından olma olasılığı 32

olduğuna göre, 11-C sınıfındaki kız öğrenci sayı-

sına hangi harf karşılık gelir?

A) A B) B C) C D) D E) E

7.

32028024020016012080400

Yukarıdaki grafikte bir veri grubuna ait kutu grafi-

ği verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi

yanlıştır?

A) Alt uç değer 40 tır.

B) Medyan 160 tır.

C) Veri grubunun aralık (genişliği) değeri 280 dir.

D) Üst çeyrek değeri 280 dir.

E) Çeyrekler açıklığı 160 tır.

8. Aşağıdaki grafikte bir işletmenin 2005-2010 yılla-rı arasındaki gelir-gider durumları gösterilmiştir.

100

80

60

40

20

0

Para (bin TL)

Y›llar2005 2006 2007 2008 2009 2010

Gelir Gider

Grafiğe göre, bu işletme için aşağıda verilen bil-

gilerden hangisi yanlıştır?

A) 2008 yılında kâr etmemiştir.

B) En yüksek kârı 2010 yılında yapmıştır.

C) 2006 yılında, 2005 e göre geliri artmamış

fakat kârı artmıştır.

D) 2008-2009 arasında zarar etmiştir.

E) Bu yıllar içindeki toplam kârı 140 bin TL dir.

ES

EN

YAY

INLA

RI

247

TEST – 9

1. 400

300

200

100

0

Nükleotit Sayısı

G S A TNükleotit Çeflitleri

Bir DNA molekülünde Adenin (A) nükleotit sa-yısı, Timin (T) nükleotit sayısına ve Guanin (G) nükleotit sayısı, Sitozin (S) nükleotit sayısına eşit olmak zorundadır. Yukarıda verilen grafikte be-lirtilen nükleotitlerin bulunduğu bir ortamda üreti-lecek bir DNA molekülü en fazla kaç nükleotide sahip olabilir?

A) 400 B) 500 C) 600 D) 700 E) 800

2. Bir ailenin aylık har-

%30

%30

%25

Kira

E¤itim

YiyecekgiyecekE¤lence

camalarının tümharcamalarına oran-ları yandaki grafikte

verilmiştir.

Eğlence için harca-

ması 150 TL olan bu

ailenin aylık harcamaları toplamı kaç TL dir?

A) 750 B) 850 C) 900 D) 1000 E) 1150

3. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Dağılım ölçüleri, verilerin değişkenliğini gös-

terir.

B) Varyans ve standart sapma dağılım ölçüleri-

dir.

C) Varyansın ölçüm birimi, değişkenin ölçüm

birimidir.

D) Standart sapmanın ölçüm birimi, değişkenin

ölçüm birimidir.

E) Ortalama, merkezi eğilim ölçüsüdür.

4. Ankara’da Mart ayının ilk haftasına ait günlükhava sıcaklıkları aşağıdaki grafikte gösterilmiştir.

Sıcaklık (°C)

Günler

6

4

3

0

–21 2 3 75 64

ABCDE

Bu haftaya ait hava sıcaklığı ortalaması 3°C oldu-

ğuna göre, grafik 7. gün hangi noktadan geçer?

A) A B) B C) C D) D E) E

5. Yandaki silindirik tankın

h

h

A

•

•

r

2r

altta bulunan silindirinin

yarıçapı 2r, yüksekliği h

tır. Üstteki silindirinin ise

yarıçapı r, yüksekliği h tır.

Sabit debili A musluğu

açıldıktan sonra tanktaki

su seviyesini zamana

karşı gösteren grafik aşa-

ğıdakilerden hangisidir?

2h

t

A)

h

2t 3t 4t 5t

2h

t

B)

h

2t 3t 4t 5t

2h

t

C)

h

2t 3t 4t 5t

2h

t

D)

h

2t 3t 4t 5t

2h

t

E)

h

2t 3t 4t 5t

Su seviyesi (m)

Zaman (dk)

Su seviyesi (m)

Zaman (dk)

Su seviyesi (m)

Zaman (dk)

Su seviyesi (m)

Zaman (dk)

Su seviyesi (m)

Zaman (dk)

İstatistik


ES

EN

YAY

INLA

RI

248

1.C 2.D 3.C 4.B 5.A 6.A 7.A 8.D 9.D 10.C 11.D

6. Aşağıda üç atletin 200 m koşusunda zamanakarşı koştukları mesafeyi gösteren çizgi grafik ve-rilmiştir.

200

150

100

50

0

Koflulan mesafe (m)

Zaman (sn)

Ali

Veli

Selami

5 10 15 20

Grafikteki bilgilere göre, yarışla ilgili yapılan yo-

rumlardan hangisi yanlıştır?

A) Yarışı Veli kazanmıştır.

B) Yarışa en hızlı başlayan Selami’dir.

C) Veli tüm yarış boyunca sabit hızla koşmuştur.

D) 150. metrede üçü yanyana gelmişlerdir.

E) Ali sürekli artan bir tempo ile koşmuştur.

7. Bir liseden mezun olan 180 öğrencinin üniversi-teye giriş sınavında aldığı MF4 puanları aşağıdatablo halinde verilmiştir.

Puan: x Öğrenci Sayısı

x < 300 36

300 ≤ x < 350 50

350 ≤ x < 400 64

400 ≤ x 30

Bu verilere uygun daire grafiği çizildiğinde, en

büyük merkez açı ile en küçük merkez açının

farkı kaç derecedir?

A) 68 B) 56 C) 40 D) 28 E) 12

8. 7, 4, 8, 6, 5, 12, x

sayılarından oluşan veri grubunun ortalama, mod ve medyan değerinin aynı olması için x kaç ol-

malıdır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

9. Aşağıdakilerden hangisi merkezi eğilim ölçüsü-dür?

A) Varyans B) Aralık

C) Standart sapma D) Medyan

E) Varyasyon kat sayısı

10.

14131211109876543210

Yukarıda kutu grafiği verilen, veri gurubu aşağı-

dakilerden hangisi olabilir?

A) 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14

B) 1, 2, 4, 5, 6, 8, 12, 14

C) 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 14

D) 1, 2, 4, 5, 5, 8, 10, 14

E) 2, 3, 4, 5, 5, 8, 10, 10

11. Bir sınıfta bulunan 15 öğrenciye ayakkabı numa-raları sorulmuş ve aşağıdaki çetele elde edilmiş-tir.

38 :

39 :

40 :

41 :

Bu veriler için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Modu 41 dir.

B) Medyanı 40 tır.

C) Aritmetik ortalaması 40 tan küçüktür.

D) Açıklığı 2 dir.

E) İlk çeyrek değeri 39 dur.

ES

EN

YAY

INLA

RI

249

TEST – 10

1. 6 farklı kitaptan 4 tanesi üst rafa, 2 tanesi alt rafa kaç türlü sıralanabilir?

A) 320 B) 600 C) 720 D) 900 E) 1440

2. 2! + 3! + 4! + ..... + 20! toplamında, faktöriyeli alınmış her sayı 1 artırılır-

sa toplamın sonucu ne kadar artar?

A) 21! B) 21! + 1 C) 21! – 1 D) 21! – 2 E) 21! + 2

3. 8 televizyon programından 3 tanesi aynı saatte yayınlanmaktadır. Bu programlardan iki tanesini izlemek isteyen biri kaç değişik seçim yapabilir?

A) 30 B) 25 C) 24 D) 20 E) 18

4. A = {1, 2, 3, 5, 7} kümesinin elemanlarını kulla-narak rakamları farklı, 5 basamaklı, 4 ile bölüne-bilen kaç sayı yazılabilir?

A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30

5. 12334 sayısının rakamları yer değiştirilerek 4 basamaklı kaç sayı yazılabilir?

A) 72 B) 68 C) 64 D) 60 E) 52

6. En çok 2 elemanlı 16 tane alt kümesi olan bir kü-menin, 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

7. P(n+1, 2) – C(n+2, n+2) = C(n+2, 3) + C(n+3, 0) eşitliğini sağlayan n kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8.

A

B C

D

E

FK

L

MN

Yukarıdaki şekilde L, M, N ve D doğrusaldır. Köşeleri verilen 10 nokta olan en çok kaç üçgen

çizilebilir?

A) 116 B) 115 C) 114 D) 113 E) 112


ES

EN

YAY

INLA

RI

250

1.C 2.D 3.B 4.B 5.D 6.E 7.C 8.A 9.C 10.A 11.C 12.C 13.E 14.E 15.A 16.E

9. 6 kişinin katıldığı bir sınavda 2 kişinin başarısız,4 kişinin başarılı olması durumu kaç farklı şekildegerçekleşebilir?

A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18

10. Kenar uzunlukları farklı ve herhangi iki kenarı ça-kışık olmayan 5 kare en fazla kaç noktada kesi-şir?

A) 80 B) 75 C) 72 D) 70 E) 64

11. yx

xy

–2 2

6d n ifadesinin açılımında

yx

9

3 içeren teri-

min kat sayısı kaçtır?

A) –18 B) –12 C) –6 D) 6 E) 12

12. (x + y + z)9 açılımında oluşacak terimlerden kaçtanesinde y5 bulunur?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

13. Madeni bir para 3 defa atıldığında en az 1 keztura gelme olasılığı kaç olur?

) ) ) ) )A B C D E81

41

83

85

87

14. İki zar birlikte atılıyor. Gelen zarların üzerinde-ki sayıların toplamının 6 olduğu bilindiğine göre,zarlardan birinin 2 olma olasılığı kaç olur?

) ) ) ) )A B C D E76

65

54

53

52

15. Üç yarışmacının, bir yarışı kazanma olasılıkları

, ve52

61

85 dir.

Bu yarışmacılardan en az birinin yarışı kazanma olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E1613

87

1615

1211

2423

16. 112334 sayısının rakamları ile oluşturulan 6 ba-samaklı sayılardan bir tanesi rastgele seçilirsebu sayının 1 ile başlayıp 4 ile bitme olasılığı kaçolur?

) ) ) ) )A B C D E52

103

51

101

151

ES

EN

YAY

INLA

RI

253

TEST – 12

1. Bir zar art arda iki kez atıldığında gelen sayıların ardışık olma olasılığı nedir?

) ) ) ) )A B C D E185

31

95

3617

3619

2. Aralarında Elif ve Arman’ın da bulunduğu 10 kişi-lik bir grupta herkes birbiri ile tokalaşacaktır.

İlk tokalaşacak iki kişinin Elif ve Arman olma ola-sılığı nedir?

) ) ) ) )A B C D E451

452

151

454

91

3. x pozitif tam sayı olmak üzere 2x sayıları içinden seçilen bir sayının 2 ile biten bir sayı olma olası-lığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E21

31

41

61

81

4. 1 den 100 e kadar (1 ve 100 dahil) olan sayılar arasından seçilen iki sayıdan birinin diğerinin iki katı olması olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E91

991

253

174

85

5. A = { Ç, A, R, P, I, M } kümesinin elemanlarını bir kez kullanarak oluşturulabilecek 6 harfli sözcük-lerin kaç tanesinde sesli harfler alfabedeki sırala-rına göre yer alır?

A) 180 B) 240 C) 300 D) 360 E) 420

6. Suat ile Seçkin’in de bulunduğu 7 kişi bir sırada, Suat ile Seçkin arasında hep 3 kişi olacak şekilde kaç farklı biçimde oturabilirler?

A) 180 B) 360 C) 420 D) 600 E) 720

7. d1

d2

A B C

D E GF

d1 // d2 olmak üzere, d1 üzerinde 3 ve d2 üze-rinde 4 nokta vardır. Köşeleri verilen bu 7 nok-tadan herhangi üçü olan üçgenler içinden seçilen bir üçgenin bir köşesinin A olma olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E154

31

52

157

158

8. Ali ve Barış bir madeni para ile oyun oynuyorlar. Tura atan oyunu kazanacaktır. Parayı ilk kez Ali atacağına göre, oyunu Barış’ın kazanma olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E32

21

31

41

81


ES

EN

YAY

INLA

RI

254

1.A 2.A 3.C 4.B 5.D 6.E 7.D 8.C 9.D 10.D 11.E 12.A 13.A 14.B 15.C 16.D

9. İki zar birlikte atıldığında zarlardan en az biri-nin 4 geldiği bilindiğine göre, toplamlarının 6 danbüyük olma olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E61

31

21

32

65

10. Bir kapıyı açmak için denenen 5 anahtardan yal-nız biri bu kapıyı açabilmektedir. Anahtarlar sı-rayla denerek kapı açılmaya çalışılırsa en çokikinci denemede kapının açılması olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E259

254

53

52

51

11.

A B

CD

1 1 1 1 1

1

1

1

Üsteki şekilde alanı 1 br2 olan 15 tane kare var-dır. Buna göre, şekilde oluşan dikdörtgenler için-den rastgele birisi boyanırsa, bu boyalı dikdörtge-nin kare olma olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E51

92

4511

154

4513

12. 4 madeni para aynı anda atıldığında 3’ünün yazı,birinin tura gelme olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E41

81

83

161

163

13. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin elemanlarındanikisi rastgele seçiliyor. Seçilen bu iki sayının çar-pımının çift sayı olma olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E75

74

73

72

71

14. Farklı 6 çift ayakkabı arasından rastgele seçilen1 çift ayakkabının birbirinin eşi olma olasılığı kaç-tır?

) ) ) ) )A B C D E121

111

112

61

31

15. Fatih ve Mehmet poligonda aynı hedefe birer kez

ateş etmişlerdir. Fatih’in hedefi vurma olasılığı32

ve Mehmet’in hedefi vurma olasılığı 43 ise hede-

fin yalnız bir kez vurulmuş olma olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E127

31

125

21

1712

16. Anne, baba ve 4 çocuğun bulunduğu bir aile yu-varlak masa etrafında oturacaklardır. Buna göre,anne ile babanın yan yana oturmama olasılıklarıkaçtır?

) ) ) ) )A B C D E61

65

52

53

54

255

ES

EN

YAY

INLA

RI

1. 1990 – ÖYS

Sıfırdan ve birbirinden farklı A, B, C, D rakamla-rının yerleri değiştirilerek elde edilen dört basa-maklı 24 sayı toplanıyor. Bu toplam için aşağıda-kilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) 6 ile bölünebilir.

B) 9 ile bölünebilir.

C) 14 ile bölünebilir.

D) Tek sayıdır.

E) Beş basamaklı bir sayıdır.

2. 1990 – ÖYS

x

x2 – 27

c m nin açılımında x8 li terimin kat sayısı

kaçtır?

A) 84 B) 48 C) 28 D) – 48 E) –84

3. 1990 – ÖYS

A B C D E

Şekildeki A, B, C, D, E noktaları bir doğru ve ay-rıca C, D noktaları bir çember üzerindedir.

Bu noktalardan seçilecek olan herhangi iki nokta-dan yalnız birinin çembere ait olma olasılığı kaç-tır?

) ) ) ) )A B C D E32

52

53

65

107

4. 1991 – ÖYS

n elemanlı bir kümenin r li bütün kombinas-yonlarının (kombinezonlarının) sayısı C(n, r) ile gösterildiğine göre, C(n, 2) + C(n, 3) = 4C(n, 1) eşitliğinde n kaç olmalıdır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

5. 1992 – ÖYS

Bir torbada 2 beyaz, 4 siyah ve 6 mavi bilye vardır. Aynı anda çekilen 2 bilyeden birinin beyaz öbürünün siyah olma olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E61

111

112

334

335

6. 1995 – ÖYS

8 kişilik bir gruptan 5 kişilik kaç değişik takım ku-rulabilir?

A) 336 B) 224 C) 168 D) 112 E) 56

7. 1995 – ÖYS

Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vardır.

Bu torbadan rasgele çekilen 3 bilyeden birinin beyaz, diğer ikisinin siyah olma olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E103

193

154

145

135

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI


ES

EN

YAY

INLA

RI

256

8. 1996 – ÖSS

d1

d2

A B C

D E F G H

A, B, C ∈ d1

D, E, F, G, H ∈ d2

Yukarıdaki şekilde d1 // d2 olduğuna göre, kö-şeleri bu 8 noktadan (A, B, C, D, E, F, G, H) her-hangi üçü olan kaç üçgen çizilebilir?

A) 45 B) 48 C) 52 D) 56 E) 72

9. 1996 – ÖYS

xx12

6+c m ifadesinin açılımındaki sabit terim kaç-

tır?

A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22

10. 1997 – ÖYS

(x2 – 2y2)n açılımında x4y4 lü terimin kat sayısıkaçtır?

A) – 48 B) –24 C) 12 D) 24 E) 48

11. 1997 – ÖYS

A torbasında 3 beyaz, 4 kırmızı; B torbasında5 beyaz, 2 kırmızı top vardır. Aynı anda her ikitorbadan birer top alınıyor ve öteki torbaya (A tor-basından alınan B ye, B torbasından alınan Aya) atılıyor.

Bu işlemin sonucunda torbalardaki kırmızı vebeyaz top sayılarının başlangıçtakiyle aynı olmaolasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E4918

4919

4920

4922

4923

12. 1998 – ÖYS

(3x + 2y)23 ün açılımında baştan 11. terimininkat sayısı kaçtır?

A) 210.313 C(23, 10)

B) 211.312 C(23, 11)

C) 211.312 C(23, 12)

D) 212.311 C(23, 12)

E) 213.311 C(23, 11)

13. 1998 – ÖYS

Bir torbada 2 tane mavi, 5 tane yeşil mendil var-dır. Bu torbadan, geri atılmamak koşulu ile iki kezbirer mendil çekiliyor. Bu iki çekilişin birincisindemavi, ikincisinde de yeşil mendil çekme olasılığıkaçtır?

) ) ) ) )A B C D E1270

4920

4510

2110

215

14. 1999 – ÖSS

Bir düzgün dörtyüzlünün (bütün yüzleri eşkenarüçgen olan üçgen piramit) iki yüzünde A, iki yü-zünde de T harfleri yazılıdır. Bu düzgün dörtyüz-lü bir kez atıldığında yan yüzlerinde, sırasına veyönüne bakılmaksızın A, T, A harflerinin görülmeolasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E21

31

32

41

43

15. 1999 – ÖSS

5, 6, 7, 8, 9 rakamları kullanılarak rakamları bir-birinden farklı olan, üç basamaklı ve 780 denküçük kaç değişik sayı yazılabilir?

A) 46 B) 42 C) 36 D) 30 E) 24


ES

EN

YAY

INLA

RI

257

16. 2000 – ÖSS

l. fiekil lI. fiekil

16 küçük kareden oluşan l. şeklin her satır ve her sütununda bir ve yalnız bir küçük kare karalana-rak ll. şekildeki gibi desenler elde edilmektedir.

Bu kurala göre, en çok kaç farklı desen elde edi-lebilir?

A) 16 B) 20 C) 24 D) 32 E) 36

17. 2001 – ÖSS

B

C

A

Şekildeki çizgiler bir kentin dik kesen sokaklarını göstermektedir. A dan hareket edip C ye uğra-yarak B noktasına en kısa yoldan gidecek olan kimse kaç değişik yol izleyebilir?

A) 24 B) 18 C) 16 D) 12 E) 9

18. 2003 – ÖSS

Yükseköğrenim için A ve B ülkelerine gönderil-mek üzere 5 öğrenci seçilmiştir. Her iki ülkeye enaz birer öğrenci gideceğine göre, bu 5 öğrencikaç farklı gruplama ile gönderilebilir?

A) 10 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40

19. 2004 – ÖSSA

B C

Yukarıdaki ABC üçgeninin kenarları üzerinde 9 nokta verilmiştir. Köşeleri bu 9 noktadan üçü olan kaç üçgen oluşturulabilir?

A) 64 B) 69 C) 74 D) 79 E) 84

20. 2005 – ÖSS

3 tane madeni 1 TL, kumbaralara istenen sayıdaatılmak suretiyle değişik bankalardan alınmış 5farklı kumbaraya kaç değişik şekilde atılabilir?

A) 10 B) 21 C) 24 D) 35 E) 45

21. 2006 – ÖSS

A = {1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlarıyla, en az ikibasamağındaki rakamı aynı olan üç basamaklıkaç sayı yazılabilir?

A) 52 B) 40 C) 38 D) 30 E) 24

22. 2007 – ÖSS

A = {–2, –1, 0, 1}

B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4} kümeleri veriliyor.

A x B kartezyen çarpımından alınan bir elemanın(a, a) biçiminde olma olasılığı kaçtır?

) ) ) ) )A B C D E41

61

81

121

245


ES

EN

YAY

INLA

RI

258

23. 2008 – ÖSSK = { –2,–1, 0, 1, 2, 3 }

kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden kaç ta-nesinin elemanları çarpımı bir negatif tam sayıya eşittir?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

24. 2008 – ÖSSAşağıdaki yedi nokta, eş karelerin köşeleri üze-rinde bulunmaktadır.

Bu yedi noktadan rastgele seçi-len üç noktanın bir üçgen oluş-turma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir? (Aynı doğru üzerin-

deki üç noktanın bir üçgen oluşturmadığı kabul edilecektir.)

) ) ) ) )A B C D E3532

3527

3524

75

73

25. 2009 – ÖSSBir mağazadan belirli miktarın üzerinde alışverişyapan müşteriler, 4 eş parçaya ayrılmış birinciçarkı iki defa çevirmektedir. Bu iki çevirişte geleniki sayının toplamı 6 ya da 6 dan büyükse 6 eşparçaya ayrılmış ikinci çarkı çevirerek çıkan he-diyeyi almaktadır.

II. çarkI. çark

ütü

ütüütü

çamafl›rmakinesi

kahvemakinesi

tostmakinesi

1 2

3 4

Buna göre, birinci çarkı çevirmeyi hak eden bir müşterinin çamaşır makinesi kazanma olasılığı kaçtır?

A) 141 B)

161 C)

245 D)

283 E)

325

26. 2009 – ÖSSAynı düzlemde alınan 4 farklı çember en fazlakaç noktada kesişir?

A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18

27. 2010 – YGSBir torbada 2 kırmızı, 2 beyaz ve 1 sarı bilyevardır. Torbadan rastgele 4 bilye alındığında tor-bada kalan bilyenin kırmızı renkte olma olasılığıkaçtır?

A)21 B)

32 C)

43 D)

52 E)

53

28. 2010 – LYSA = {1, 2, 3, 4} ve B = {–2, –1, 0} olmak üzereA x B kartezyen çarpım kümesinden alınan her-hangi bir (a, b) elemanı için a + b toplamınınsıfır olma olasılığı kaçtır?

A)41 B)

51 C)

61 D)

71 E)

72

29. 2011 – YGSMeriç’in elinde kırmızı ve beyaz renklerde top-lam 10 top vardır. Meriç bu topları iki torbaya herbir torbada en az bir kırmızı ve bir beyaz top ola-cak şekilde dağıttıktan sonra şunları söylüyor:“Birinci torbada 3 kırmızı top vardır. Torbalardanrastgele birer top çekildiğinde topların ikisinin de

kırmızı olma olasılığı 21 dir.”

Buna göre, ikinci torbada kaç beyaz top vardır?

A) 3 B) 5 C) 1 D) 2 E) 4


ES

EN

YAY

INLA

RI

259

30. 2011 – LYS6 kız ve 7 erkek öğrencinin bulunduğu bir grup-tan 2 temsilci seçiliyor. Seçilen bu iki temsilcidenbirinin kız, diğerinin erkek olma olasılığı kaçtır?

A)43 B)

83 C)

132 D)

137 E)

139

31. 2012 – YGSBoyları farklı dört öğrenci bir çizgi boyunca rast-

gele sıraya giriyor. Buna göre, en kısa ve en

uzun boylu öğrencilerin uçlarda olma olasılığı

kaçtır?

A)21 B)

31 C)

41 D) 1

6 E)

121

32. 2012 – LYS

Bir çiçekçide 5 farklı renkten çok sayıda gül ve

2 çeşit vazo vardır. Bir müşteri, 2 farklı renkten

toplam 3 gül ve 1 vazo satın almak istiyor.

Bu müşteri alışverişini kaç farklı şekilde yapabi-

lir?

A) 15 B) 20 C) 25 D) 40 E) 50

33. 2012 – LYS

Bir torbada 5 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır.

Bu torbadan aynı anda rastgele 3 bilye çekil-

diğinde her bir renkten en fazla 2 bilye olma

olasılığı kaçtır?

A)32 B)

43 C)

65 D)

87 E)

98

permÜtasyon, kombİnasyon bİnom, olasilik ve İstatİstİk · permütasyon, kombinasyon, binom,...

Documents