permütasyon – kombinasyon 6. bÖlÜm de geriye kalan 3 harf gelebilir. ... cek şekilde kaç...

M A T E M A T İ K www.akademivizyon.com.tr

www.akademivizyon.com.tr ÖZ E L AC AR KA L İT E D E Ğ ER M İL AT T EM EL L İS E Sİ

1

TEMEL SAYMA KURALLARI

1. TOPLAM A YOLUYLA SAYM A A ve B kümeleri sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere AB nin eleman sayısı s(AB) = s(A) + s(B) dir. İki kümenin birleşimlerinin eleman sayısını bu yolla bulma-ya toplama yoluyla sayma denir.

Bir torbada 5 sarı, 7 lacivert top vardır. Bu torbadan bir sarı veya bir lacivert top kaç yolla alınabilir?

ÇÖZÜM

5 sarı top içerisinden 1 sarı top 5 yolla, 7 lacivert top içerisinden 1 lacivert top 7 yolla alınabilir.

O halde 5 + 7 = 12 yolla alınabilir.

2 . ÇARPM A YOLUYLA SAYM A: İkişer ikişer ayrık ve her biri sonlu olan a elemanlı b tane kümenin eleman sayısı a. b dir.

Bu kümelerin birleşiminin eleman sayısını bu yolla bul-maya çarpma yoluyla sayma denir.

Bir kolinin içinde 10 tane kutu ve her bir kutunun içinde 12 tane kalem olduğuna göre kolinin içinde kaç kalem vardır?

A) 10 B) 20 C) 40 D) 60 E) 120

ÇÖZÜM

Her kutuda 12 kalem olduğundan toplam 10 .12 = 120 kalem vardır.

Cevap E’dir.

3.SAYM ANIN TEM EL İLKESİ S(A1)=k1, s(A2) = k2, …….., s(An) = kn elemanlı sonlu kümeler olsun. Bu kümelerden birinci elemanı A1 den, ikinci elemanı A2 den ve n inci elemanı An kümesinden

alınarak oluşturulan birbirinden farklı sıralı n lilerin sayı-sı,

k1 . k2 . k3 ………..kn tanedir.

Yani n tane işin sıralı gerçekleşmesi için k1. k2…….kn tane farklı yol vardır.

Farklı renkte 5 gömleği ve 7 kravatı olan bir kişi 1 gömlek ve 1 kravatı kaç farklı yolla seçebilir?

A) 12 B) 35 C) 45 D) 70 E) 140

ÇÖZÜM

Gömleklerin kümesi G = {g1, g2, g3, g4, g5,} kravatların kümesi K = {k1, k2, k3, k4, k5, k6, k7}

s(G x K) = s(G). s(K) = 5.7= 35

değişik yolla seçme işlemi yapılabilir. Cevap B’dir.

3 kişi 5 sandalyeye kaç değişik biçimde oturabilir?

A) 8 B) 15 C) 60 D) 90 E) 120

ÇÖZÜM

Birinci kişi 5 sandalyeden birine, ikincisi kalan 4 sandal-yeden birine, üçüncüsü ise 3 sandalyeden birine otura-bilir. O halde 3 kişi 5 sandalyeye

5.4.3 = 60 değişik şekilde oturabilir. Cevap C’dir.

10 kişiden oluşan bir şirketin yönetim kuruluna bir başkan bir de başkan yardımcısı kaç değişik şekilde seçilebilir?

A) 10 B) 20 C) 40 D) 70 E) 90

ÇÖZÜM

10 kişiden biri başkan seçilir. Kalan 9 kişiden biride başkan yardımcısı seçilir. 10 9 = 90 değişik biçimde seçim yapılır.

Cevap E’dir.

Permütasyon – Kombinasyon Binom - Olasılık 6. BÖLÜM

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK


M AT EM AT İK - 2 K ON U AN L AT IM L I SO R U B AN KA SI www.akademivizyon.com.tr 2

10 soruluk bir testte her sorunun 4 seçeneği vardır.

Bu testin cevap anahtarı kaç değişik şekilde hazırla-nabilir?

A) 410 B) 45 C) 44 D) 40 E) 10

ÇÖZÜM

Her soru için 4 seçenek vardır.

10

10 tan e4 4 4 4 4

Cevap A’dır.

A = {a, b, c, d, e}

kümesinin elemanları ile anlamlı veya anlamsız,

A) 3 harfli

B) 3 harfli, harfleri birbirinden farklı

C) Sesli bir harf ile başlayıp, sessizle biten, 3 harfli, harfleri birbirinden farklı

D) 4 harfli a ile başlayan

E) 3 harfli içerisinde b nin bulunup e nin bulunmadığı harfleri farklı kaç sözcük yazılabilir?

ÇÖZÜM

a) Birinci kutuya beş harf, ikinciye beş harf ve üçüncü-ye beş harf yazılabilir.

5 5 5

3. 2. 1. = 125 sözcük yazılabilir.

b) Birinci kutuya 5 harf, ikincisine kalan 4 harf, üçüncü-

ye de geriye kalan 3 harf gelebilir.

5 4 3 = 60 sözcük yazılabilir.

c) Kelime sesli harf ile başlayacağından 1. kutuya a

veya e den birisi, Sessizle biteceğinden 3. kutuya b, c, d den birisi, 1. kutuya 1 harf 3. kutuya 1 harf seçi-leceğinden 2. kutuya geriye kalan 3 harften biri yazı-lır.

2 3 3 = 18

d) Birinci kutuda kesinlikle a harfi vardır. Diğer kutulara

ise 5 harften biri gelir.

1 5 5 = 15 5 a

e) İçerisinde e nin bulunmadığı sözcüklerin sayısı

4 3 2 = 24

İçerisinde b nin bulunmadığı sözcüklerin sayısı

3 2 1 = 6

24 – 6 = 18 b nin bulunup e nin bulunmadığı sözcüklerin sayısı

0, 1, 2, 4, 5, 7 rakamları kullanılarak

a) 3 basamaklı kaç tek sayı yazılabilir?

b) 3 basamaklı, rakamları farklı, kaç çift sayı yazılabi-lir?

c) 3 basamaklı 400 den büyük, rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?

d) 4 basamaklı rakamları farklı 2000 ile 7000 arasında kaç sayı yazılabilir?

ÇÖZÜM

a) 5 6 6 =180

(Her kutu bir basamağı göstermektedir. Birler basamağı hariç her basamağa 6 rakam gelebilir.)

b) Sayının çift olması için birler basamağı çift sayı olmalıdır. Bu durumda birler basamağına 0, 2, 4 ra-kamları gelebilir.

Birler basamağına 0 gelirse

5 4 1 = 20 (0)

Birler basamağına 2, 4 gelirse

4 4 2 = 32 (2,4)

c) Sayının 400 den büyük olabilmesi için yüzler basa-mağına 4, 5, 7 sayılarından biri gelebilir.

3 5 4 = 60 (4,5,7)

d) Sayının 2000 den büyük 7000 den küçük olması için binler basamağı 2, 4, 5 sayılarından biri olabilir.

3 5 4 = 180 3 (2,4,5)

PERMÜTASYON (SIRALAMA): r, n N+ ve i n olmak üzere n elemanlı bir A kümesi-nin birbirinden farklı r elemanlı her sıralı r lisine, A kü-mesinin r li permütasyonu denir.

P(n, r) veya rnP ile gösterilir.

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

http://www.akademivizyon.com.tr/




3

n!P(n,r)(n r)!

P(n, n) = n!

Farklı dizilişler permütasyonla çözülebilir.

Permütasyonla çözülen her soru saymanın temel ilkesi ile de çözülebilir.

A {1, 3, 5, 7, 9}

kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?

A) 5 B) 25 C) 50 D) 120 E) 125

ÇÖZÜM

6!P(6,3) = 120 tanedir(6 3)!

Cevap D’dir.

20.(n,3) = P(n.5)

eşitliğini sağlayan n kaçtır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

ÇÖZÜM

20. P(n.3) = P(n.5) n! n!20

(n 3)! (n 5)!

20.(n 5)! (n 3)!

20.(n-5)! = (n – 3). (n – 4). (n – 5)!

20 = n2 – 7 n + 12 n2 – 7n – 8 = 0 n = 8 olur

Cevap D’dir.

5 farklı matematik ve 3 farklı türkçe kitabı bir rafa yan yana dizilecektir. Matematik kitaplarının 3 ü ve türkçe kitaplarının tamamı aynı dersin kitapları bir arada olmak şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilir?

ÇÖZÜM

P(5,3) P(3,3) P(3,3) P(5,3)MMM TTT veya TTT MMM

Buna göre, 2! . P(5,3) . P(3, 3) = 2. 3. 4. 5. 6 = 720

6 hemşire ile 4 doktor bir sırada oturacaklardır.

a) Kaç farklı şekilde oturabileceklerini

b) Doktorlar yanyana ve hemşirelerde yan yana olmak şartıyla kaç farklı şekilde oturabileceklerini,

c) Hemşireler yanyana ve kenarlara birer doktor gele cek şekilde kaç farklı şekilde oturabileceklerini bula lım.

ÇÖZÜM

a) 10 kişi bir sıraya P(10 , 10) = 10! şekilde oturabilir.

b) Doktorlar kendi aralarında P(4, 4) = 4! ve hemşireler kendi aralarında P(6,6) = 6! şekilde sıralanır.

O halde,

4! . 6!. 2! şekilde oturabilirler.

c) 4 doktordan ikisi kenarlara P(4,2) si şeklinde sırala nabilir. Hemşireler yan yana oturacağında 1 eleman olarak düşünülürse geriye kalan 2 doktorla birlikte 3 elaman P(3, 3) = 3!, hemşirelerde kendi aralarında P(6, 6) = 6! şeklinde sıralanabilir.

Buna göre,

P(4, 2). 3! .6! = 51840 farklı şekilde oturabilirler. TEKRARLI PERM ÜTASYON n1 tanesi birinci cinsten , n2 tanesi ikinci cinsten, n3

tanesi üçüncü cinsten, ……nr tanesi r inci cinsten olsun.

n1 + n2 + n3+ ….+nr = n olmak üzere bu n elemanın dizilişlerinin sayısı,

1 2 3 r

n! dir.n ! n ! n ! n !

KELEK kelimesindeki harfler ile 5 harfli

a) Anlamlı veya anlamsız kaç sözcük yazılabileceğini

b) K ile başlayıp E ile biten kaç sözcük yazılabileceğini

bulalım.

ÇÖZÜM

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK





a) 5! 302! 2! 1!

kelime yazılabilir.

b) K ile başlayıp E ile biteceğine göre geriye kalan L , E, K bu harflerin arasına sıralanacaktır. Bu üç harfin sıralanışlarının sayısı,

3! 6 dır.1! 1! 1!

1100444 sayısının rakamları ile 7 basamaklı

a) Kaç sayı yazılabileceğini, b) Kaç çift sayı yazılabileceğini bulalım.

ÇÖZÜM

a) 7! 2102! 2! 3!

şekilde sıralanır. Bu sıralanışlar

içerisinde 0 ile başlayanların sayısını bulalım. 0’ın sağına geriye kalan 1,1,0,4,4,4 sıralanacaktır.

Buda 6! 60 dır.2! 1! 3!

Buna göre 210 – 60 = 150 dir.

b) Önce 0 ile biten çift sayıların kaç tane olduğunu bulalım. 0 ın önüne 1,1,0,4,4,4 sayıları dizilir.

Buna göre 6! 603! 2! 1!

tanedir.

0 ile başlayıp 0 ile biten sıralanışların sayısını bulmak için iki sıfırın arasına geriye kalan 1, 1, 4, 4, 4 sıralana-caktır.

5! 103! 2!

tanedir.

Buna göre; 60 – 10 = 50 tane 0 ile biten çift sayı vardır.

Şimdide 4 ile biten çift sayıları bulalım 4 ün önüne 1,1,0,0,4,4 sıralanır.

6! 90 tanedir.2! 2! 2!

0 ile başlayıp 4 ile biten sayıların sayısını bulalım. 0 ile 4 ün arasında 0,1,1,4,4 sıralanır.

5! 30 tane2! 2! 1!

Buna göre 90 – 30 = 60 tane 4 ile biten çift sayı vardır.

Toplamda 50 + 60 = 110 tane çift sayı yazılabilir.

DÖNEL (DAİRESEL) PERMÜTASYON

n tane elamanın, bir çember etrafındaki sıralanışlarının her birine n elemanın dairesel permütasyonu denir.

n elemanın dairesel permütasyonu (n–1)! olur.

3 fizik, 2 kimya, 1 biyoloji öğretmeni bir yuvarlak masa etrafında oturacaktır.

a) Kaç farklı şekilde oturabilirler? b) Kimyacılar ayrılmamak şartıyla kaç farklı şekilde

oturabilirler?

ÇÖZÜM

a) (6 – 1)! = 5! = 120 farklı şeklide oturabilirler.

b) Kimyacılar biri kişi gibi düşünülürse toplam 5 kişi olur.

5 kişi yuvarlak masa etrafında 4! şekilde oturur. Kimya-cılar kendi arasında 2! şekilde oturabilirler. Buna göre bu öğretmenler 4! . 2! = 48 farklı şekilde otururlar.

n tane farklı anahtar maskotsuz yuvarlak bir

anahtarlığa (n 1)!2 , maskotlu yuvarlak bir

anahtarlığa n!2

şekilde sıralanabilir.

7 tane boncuk bir kolyeye kaç değişik biçimde sıra-lanabilir?

ÇÖZÜM

Burada kolyeyi ters çevirirsek aynı sıralamaların başka çeşitleri oluşur. Bu nedenle (n –1)! in yarısını bulmalıyız. (7 1)! 6! 360

2 2

7 anahtar maskotlu bir anahtarlığa kaç farklı biçimde takılabilir?

ÇÖZÜM

7! 2520dir2

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK





5

KOMBİNASYON (GRUPLAMA) n, r N ve 0 r n olmak üzere n elemanlı A kümesi-nin r elemanlı alt kümelerinden herbirine bu n elemanın

r li kombinasyonu denir. C(n,r), nr , r

nC , K(n, r) sem-

bolleriyle gösterilebilir.

n!n dir.r (n r)! r!

Kombinasyonda sıranın önemi yoktur. Kombi-nasyon alt küme olduğundan küme içerisinde sıranın değişmesi kümeyi değiştirmez. Kombinasyonda seçim söz konusudur.

8 elemanlı bir kümenin 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

ÇÖZÜM

8! 8!8 56 dır.5 (8 5)! 5! 3! 5!

KOM BİNASYONLA İLGİLİ ÖZELLİKLER 1.

n nr n r

n nx y

yani,

x y n

veya x y dir.

2. n n0 n 1ve

n n1 n 1 n dir

3. n n n 1r r 1 r

4. n n n n n0 1 2 n 2

n elemanlı bir kümenin r – li bütün kombinasyonla-rının sayısı C(n, r) ile gösterildiğine göre,

C(0,0)+C(6,3) = 3 C(m,m–1)

eşitliğinde m kaç olmalıdır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

ÇÖZÜM

C(0,0) + C(6,3) = 3C(m, m–1) 6!1 3m 1 20 3m

3! 3!m 7dir

Cevap D’dir.

BİNOM AÇILIMI a ve b karmaşık sayılar ve n N olmak üzere,

n n n 0 n n 1 1 n n 2 20 1 2

n n r r n 0 nr n

(a b) ( ) a b ( ) a b ( ) a b .....

( ) a b ( ) a b

açılımına Binom açılımı (Binom formülü) denir.

n(a b) binom açılımında katsayılar toplamını bul-

mak için a = b = 1 alınır.

n n n n n(1 1) ( ) ( ) ( ) 2n0 1

n(a b) açılımından baştan (r+1). terim n n r r( ) a br

dır.

Sondan k ıncı terim, n k 1 n 1 kn 1 k a b dır.

2n(a b) açılımında ortadaki terim, 2n n nn a b dir.

n(a b) açılımında baştan ve sondan eşit uzaklıkta

ki terimlerin katsayıları eşittir.

(3x – 2)6 ifadesi açıldığında x3 lü terimin katsayısı ne olur?

A) –420 B) –1040 C) –2080 D) –4320 E) –5060 ÇÖZÜM

(3x – 2)6 açılımında (r +1). terim x3 lü terim olsun

6 6 r rr (3x) ( 2)

x3 lü terim sorulduğuna göre 6 r 3x x 6 r 3

r 3 tür

6 3 3 33 (3x) ( 2) 20 27 x ( 8)

–4320x3 Cevap D’dir.

58(5x - 4y) in açılımındaki katsayılar toplamı nedir?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK





ÇÖZÜM

x = y = 1 yazarsak 58 58(5 4) 1 1dir

Cevap D’dir.

OLASILIK ( İHTİMAL HESABI) ÖRNEK UZAY: Bir deneyin mümkün olan tüm sonuçlarının kümesine örnek uzay denir. E ile gösterilir.

Örnek uzayın herhangi bir elemanınada örnek nokta denir.

Bir madeni para atıldığında örnek uzay,

E1 = {Y, T}

iki madeni para atıldığında

E2 = {(Y, Y), (Y, T), (T, Y), (T, T)}

üç madeni para atıldığında

E3 = {(YYY), (YYT), (YTY), (YTT), (TYY), (TYT), (TTY), (TTT)} dir.

Buna göre n tane madeni para atıldığında örnek uzay n

n tan e2 2 2 2 2

n tan zarın havaya atılması durumunda ise n

n tane6 6 6 6 6 6 dir.

OLAY: Örnek uzayın alt kümelerinden her birine olay denir.

Boş kümeye imkansız olay, E örnek uzayına da kesin olay denir.

Bir örnek uzaya ait iki olayın kesişimi boş küme ise bu olaylar ayrık olaydır.

5 kız ve 4 erkek arasından seçilen 3 kişiden 2’sinin kız 1 inin erkek olma olayının eleman sayısı kaçtır?

A) 10 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

ÇÖZÜM

5 kızdan 2 si, 4 erkekten 1 i seçileceğinden,

5 42 1

5! 4 40tır.3! 2!

Cevap C’dir.

OLASILIK FONKSİYONU Bir E örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturduğu küme S olsun

P: S [0, 1] biçiminde tanımlanan ve aşağıdaki aksi-yomları sağlayan P fonksiyonuna S üzerinde olasılık fonksiyonu denir. A S ise P(A) reel sayısına A olayının olasılığı denir.

1. A S için 0 P(A) 1

2. P(E) = 1 (Kesin olay)

3. A, B S ve A B = ise P(A B ) = P(A) + P(B) dir.

2 madeni para atıldığında birinin yazı birinin tura gelme olasılığı kaçtır?

A) 16

B) 15

C) 14

D) 13

E) 12

ÇÖZÜM

E = {(Y,Y), (Y,T), (T,Y), (T,T)}

A = {(Y, T), (T, Y)}

olduğuna göre A ya uygun durumP(A)Tüm durumlar

2 1P(A) dir.4 2

Cevap E’dir.

TEOREM :

A ve B, E örnek uzayında iki olay olup, P olasılık fonksi-yonu olmak üzere, 1) P(A) + P(A ) 1

2) P ( ) = 0

3) A B P(A) P(B)

4) P(AB)=P(A) + P(B) – P(A B) dir.

A ve B, E örnek uzayında iki olay olsun, 2 2P(A) , P(B)8 4

1P(A B)3

olduğuna göre P(A B) kaçtır?

A) 16

B) 18

C) 110

D) 112

E) 114

ÇÖZÜM

P(A B) P(A B) P(A)1 2 2 1P(A B)3 8 24 12

Cevap D’dir.

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK





7

EŞ OLUM LU ÖRNEK UZAY: Bir deneyde tüm çıktıların olasılıkları birbirine eşit ise bu şekildeki örnek uzaylara eş olumlu örnek uzay denir.

s(A) istenen durumların sayısıP(A)s(E) Tüm durumların sayısı

KOŞULLU (ŞARTLI ) OLASILIK: A ve B, E örnek uzayında iki olay olsun. B olayının gerçekleşmesi durumunda A olayının gerçekleşmesi olasılığı P(A/B) ile gösterilir

P(A B)P(A /B)P(B)

dir.

BAĞIM SIZ OLAY: İki olaydan birinin gerçekleşmesi veya gerçekleşmemesi durumu diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir. P(A B) P(A) P(B)

Bir torbada 2 beyaz, 4 siyah ve 6 mavi bilye vardır.

Aynı anda çekilen 2 bilyeden birinin beyaz öbürünün siyah olma olasılığı kaçtır?

A) 16

B) 111

C) 211

D) 433

E) 533

ÇÖZÜM

İlk çekilen bilyenin beyaz, ikincisinin siyah olma olasılığı, 2 4 2

12 11 33

İlk çekilen bilyenin siyah, ikincisinin beyaz olma olasılığı, 4 2 2

12 11 33

2 2 433 33 33

Cevap D’dir.

Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vardır.

Bu torbadan rastgele seçilen 3 bilyeden birinin be-yaz, diğer ikisinin siyah olma olasılığı kaçtır?

A) 310

B) 319

C) 415

D) 514

E) 513

ÇÖZÜM

Rastgele çekilen bilyeler B S S, S B S, SSB gibi üç değişik durumda çekilebilir. Buna göre bir olay için bulu-nan olasılık 3 ile çarpılır.

Bu durumda 6 4 3 33 olur.

10 9 8 10

Cevap A’dır.

Bir madeni para ile bir zar birlikte havaya atılıyor.

Paranın yazı veya zarın üst yüzüne 4 ten büyük bir sayının gelmesi olasılığı kaçtır?

A) 16

B) 13

C) 12

D) 23

E) 25

ÇÖZÜM

Paranın yazı gelmesi olasılığı 1P(Y)2

Zarın üst yüzüne 4 ten büyük 5 ve 6 gelebilir. 2 1P(B)6 3

P(YB) = P(Y) + P(B) – P(YB)

Y ve B olayları bağımsız olay olduğundan,

P(YB) =P(Y) + P(B) – P(Y) . P(B)

= 1 1 1 1 2 tür.2 3 2 3 3

Cevap D’dir.

20 kişilik bir sınıfta 12 kişi gözlüklü, 8 kişide gözlüksüz-

dür. Gözlüklü öğrencilerin yarısı, gözlüksüzlerin 1ü4

mavi gözlüdür.

Bu sınıftan seçilen bir öğrencinin gözlüksüz veya mavi gözlü olması olasılığı kaçtır?

A) 610

B) 710

C) 810

D) 910

E) 1

ÇÖZÜM

Gözlüksüz olma olayı A ise s(A) = 8, mavi gözlü olma olayı B ise, s(B) = 6 +2 = 8 P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) =

8 8 2 7=20 20 20 10

olur.

Cevap B’dir.

ÖRNEK 1992 – ÖYS

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK





1. n!

1)!(n1)!(n1)!(n

işleminin sonucu nedir?

A) n2 + n B) 1n

1

C) n – 1

D) n1 E)

1nn

2. Üç atıcı 5 farklı silahla kaç değişik antrenman

müsabakası yapabilir?

A) 5 B) 15 C) 20 D) 30 E) 60 3. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} rakamlarını kullanarak 4

basamaklı rakamları farklı 10 ile bölünebilen 3400 den büyük kaç sayı yazılabilir?

A) 36 B) 48 C) 72 D) 80 E) 120 4. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} rakamları kullanılarak 4’lük

tabanda, 3 basamaklı ve rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?

A) 12 B) 18 C) 54 D) 180 E) 210 5. “KARABÜK” sözcüğündeki harfleri kullanarak

anlamlı anlamsız kaç tane “KA” harfleri ile baş-layan 7 harfli kelime yazılabilir?

A) 7! B) 1260 C) 720 D) 180 E) 120

6. 3’ü gözlüklü 6 kişi bir sıraya oturacaktır. Sıranın kenarlarına gözlüklüler oturmak şartıy-

la kaç farklı şekilde oturabilirler?

A) 18 B) 36 C) 60 D) 72 E) 144 7. 2.C(n, 2) + C(5, 2) = P(n + 1, 2) eşitliğindeki n’ nin değeri nedir?

A) 2 B) 4 C) 5 D) 8 E) 10

8.

6n

8 C

n8

C

olduğuna göre, P(n, 4) ifadesinin değeri nedir?

A) 200 B) 400 C) 560 D) 720 E) 840 9. 10 kişilik bir gruptan 6’sı İstanbul’a, 4’ü Mersin’e

gidecektir. Bu gruplar kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

A) 420 B) 360 C) 300 D) 210 E) 180 10. Bir okulda 7 dersten 2’ si aynı saatte verilmektedir. Bu derslerden 3 tanesini seçmek isteyen bir

kimse kaç farklı şekilde seçebilir?

A) 35 B) 30 C) 25 D) 20 E) 15

Ç Ö Z Ü M L Ü T E S T





9

11. İki madeni para ile bir zar birlikte havaya atılı

yor. Paraların aynı ve zarın tek sayı gelmesi ola sılığı nedir?

A) 21 B)

31 C)

41 D)

32 E)

43

12. Tayga’nın matematik sınavından başarılı olma

olasılığı ,43 Berkin’in başarılı olma olasılığı ise

76 dir.

Tayga’nın matematik sınavında başarısız, Berkin’in ise başarılı olma olasılığı nedir?

A) 72 B)

73 C)

143 D)

145 E)

149

13. Ali, Mete ve Sami isimli üç kişi bir soru çöze-ceklerdir. Soruyu tek başlarına çözme olasılıkları sıra-

sıyla 21 ,

32 ve

52 dir.

Üçünün birlikte bu soruyu çözme olasılığı kaçtır?

A) 101 B)

103 C)

53 D)

54 E)

109

14. Mavi ve sarı bilyelerin bulunduğu bir torbada, mavi bilyelerinin sayısı sarı bilyelerin sayısının 2 katıdır. Bu torbadan yerine konulmamak koşulu ile ard arda iki bilye çekiliyor.

İkisinin de mavi olma olasılığı 52 ise ilk durumda

torbada kaç bilye vardır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

15. İki torbadan birincisinde 4 kırımızı, 5 beyaz, ikicisinde ise 3 kırmızı, 2 beyaz top vardır. Torbalardan biri rasgele seçiliyor ve seçilen torbadan bir top çekiliyor.

Çekilen topun beyaz olma olasılığı nedir?

A) 94 B)

9041 C)

157 D)

9043 E)

4522

16. İki torbanın birincisinde 6 siyah, 4 kırmızı, ikincisinde ise 3 siyah, 4 kırmızı bilye vardır. Torbanın birincisinden bir bilye çekilip, ikincisine atılıyor. Sonra ikinci torbadan bir bilye alınıyor.

Bu bilyenin siyah olma olasılığı nedir?

A) 209 B)

21 C)

2011 D)

53 E)

2013

17. Futbol ve voleybol oyunlarından en az birini oynayan 25 kişilik bir takımda futbol oynayanlar 18 kişi, voleybol oynayanlar 13 kişidir.

Bu takımdan rasgele seçilen bir kişinin yalnız futbol veya yalnız voleybol oynama olasılığı kaçtır?

A) 2512 B)

2514 C)

2518 D)

2519 E)

2521

18. “KIVIRCIK” kelimesindeki harfler ile anlamlı ya da anlamsız 8 harfli kelimeler kartlara yazılarak bir kutuya atılıyor.

Bu kutudan rasgele çekilen bir karttaki kelimenin “C” ile başlayıp “K” ile bitme olasılığı kaçtır?

A) 281 B)

283 C)

71 D)

143 E)

41




M AT EM AT İK - 2 K ON U AN L AT IM L I SO R U B AN KA SI www.akademivizyon.com.tr 1 0

1. )!1n(.n

)!1n()!1n.(n.)1n(

)!1n(!n

)!1n()!1n()!1n(

1n

1)1n(.n

n)1n(.n1n1

n1

)1n(.n1

)1n(

bulunur. Cevap B’dir.

2. Üç atıcı 5 farklı silahla atış müsabakasını, 1. atıcı için 5 farklı seçenek 2. atıcı için 4 farklı seçenek ve 3. atıcı için 3 farklı seçenek olacağından, üç atıcı

müsabakayı 5 . 4 . 3 = 60 değişik şekilde yapabilir-ler.

Cevap E’dir.

3. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} rakamları kullanılarak, 4 basa-maklı, 3400 den büyük rakamları farlı 10 ile bölü-nebilen sayıları bulunurken önce 3400 ile 4000 a-rasındaki sayıları ve sonra 4000 de büyük olan sayıları bulmalıyız.

3400 – 4000 arasındaki sayılar:

1 3 4 1 = 1 . 3 . 4 . 1 = 12 tanedir. {3} {4,5,6} {0} 4000 den büyük sayılar;

3 5 4 1 = 3 . 5 . 4 . 1 = 60 tanedir. {4,5,6} {0} Öyleyse 3400 den büyük, rakamları farklı 60 + 12 = 72 tane sayı yazılabilir.

Cevap C’dir.

4. (a, b, c)4 0 < a < 4, 0 b, c < 4 olmalı {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} rakamları kullanılarak 4 lük

tabanda 3 basamaklı sayı yazılabilmesi için ra-kamların {0, 1, 2, 3} olması gerekir.

4

233 = 3 . 3 . 2 = 18 sayı yazılabilir. {1,2,3}

Cevap B’dir.

5. “KARABÜK” sözcüğündeki harfleri kullanarak “KA” ile başlayan 7 harfli kelime oluşturulurken “KA” harflerinin sağına sıralanacak olan “RABÜK” keli-mesinin sıralanışı kadar kelime meydana gelir. Öy-leyse;

K A R A B Ü K

P(5,5)

120!1.!1.!1.!1.!1

!5 dir.

Cevap E’dir.

6. 3 gözlüklüden 2 si kenarlara !223

ve geriye

kalan 4 kişi 4! farklı şekilde oturacaklarından;

14424.2.3!4.!223

farklı şekilde otururlar.

Cevap E’dir. 7. 2.C(n,2) + C(5,2) = P(n + 1, 2)

n.)1n(!24.5

!2)1n(.n2

n . (n – 1) + 10 = n . (n + 1) n2 – n + 10 = n2 + n 2n = 10 n = 5 bulunur.

Cevap C’dir.

8.

6n

8C

n8

C n + n – 6 = 8 2n = 14

n = 7 bulunur. P(n,4) = P(7,4) = 7 . 6 . 5 . 4 = 840 bulunur.

Cevap E’dir.

9. 10 kişilik bir gruptan 6 sı İstanbul’a

6

10 farklı

şekilde ve geriye kalan 4 kişiden 4 ü Mersin’e

44

farklı şekilde giderler. Öyleyse 6 kişi İstanbul’a ve 4 kişi Mersin’e

2101.2.3.47.8.9.101

410

44

610

farklı şekilde

gidebilirler. Cevap D’dir.

10. 7 dersten 2 si aynı saatte verildiğine göre, aynı saatin dersleri A1, A2, diğer dersler B, C, D, E, F

olsun. Aynı saatte verilen 2 dersten 1 i

12

ve 5

dersten 2 si

25

veya aynı saatte verilen 2 ders-

ten hiçbiri

02

ve 5 dersten 3 ü

35

seçilebilir.

Öyleyse 3 ders seçmek isteyen bir kişi

3010201.2.33.4.51

!24.52

35

02

25

12

değişik şekilde seçebilir. Cevap B’dir

Ç Ö Z Ü M L E R

2





1 1

11. Paraların aynı gelmesi olayı A ise A = {(Y, Y), (T, T)}, s(A)=2 dir.

Zarın tek sayı gelmesi olayı B ise B = {1, 3, 5}, s(B)=3 dür.

P(A B) = P(A) . P(B) = 41

63

42

olur.

Cevap C’dir

12. Tayga’nın başarılı olma olasılığı 43)A(P ise

başarısız olma olasılığı 41)A(P ı dür.

Berkin’in başarılı olma olasılığı 76)B(P ise

143

76

41)B(P).A(P)BA(P ıı olur.

Cevap C’dir. .

13. Ali’nin soruyu çözememe olasılığı 21

211 dir.

Mete’nin soruyu çözememe olasılığı 31

321 dür.

Sami’nin soruyu çözememe olasılığı 53

521 dir.

Olaylar bağımsız olduklarından, üçünün birlikte bu soru-

yu çözememe olasılığı 101

53

31

21

dur.

Öyleyse üçünün birlikte bu soruyu çözme olasılığı;

109

1011 dur.

14. ÇÖZÜM

Mavi bilyelerin sayısı 2x ise sarı bilyelerinin sayısı x dir.

Çekilen 2 bilyenin ikisi de mavi olduğundan;

52

2x3

0x

2x2

)M(P

tür. 52

2)1x3.(x3

12

)1x2.(x2

52

3x92x4

20x – 10 = 18x – 6 2x = 4 x = 2 dir.

Torbadaki bilye sayısı 3x = 3 . 2 = 6 dır. Cevap B’dir.

15. I

4K 5B

II

3K 2B

I. torbanın seçilip ve beyaz top çekilmesi olasılığı

185

95

21

dir veya

II. torbanın seçilip ve beyaz top çekilmesi olasılığı

51

52

21

dir.

Buna göre rasgele seçilen bir torbadan, beyaz top çe-

kilmesi olasılığı; 9043

51

185

dır.

Cevap D’dir.

16.

I

6S 4K

II

3S 4K

Birinci torbadan siyah çekip ikinci torbaya atıldığında,

ikinci torbadan siyah çekme olasılığı 103

84

106

veya

Birinci torbadan kırmızı çekip ikinci torbaya atıldığında,

ikinci torbadan siyah çekme olasılığı 203

83

104

dir.

Öyleyse ikinci torbadan siyah bilye çekme olasılığı;

209

203

103

dir.

Cevap A’dır.

17. a + b + c = 25 a + b = 18, 18 + c = 25 c = 7 b + c = 13 b + 7 = 13 b = 6 a + b = 18 a + 6 = 18 a = 12 dir.

a b c

F V

s(E) = 25 ve yalnız futbol oynayanlar s(F / V) = 12

yalnız voleybol oynayanlar s(V / F) = 7

P[(F / V) (V / F)] = P(F / V) + P(V / F)

= 2519

257

2512

dir.

Cevap D’dir.

18. 8 harfli yazılabilecek tüm kelimeler;

3360!3.!2

!8)E(s dır.

“C” ile başlayıp “K” ile biten kelimelerin kümesi A ise; C I V I R I K K

sıralanacak harfler

120!3!6)A(s dir.

Öyleyse; çekilen kartın “C” ile başlayıp “K” ile bitme olasılığı;

281

3360120

)E(s)A(s)A(P bulunur.

Cevap A’dır.




M AT EM AT İK - 2 K ON U AN L AT IM L I SO R U B AN KA SI www.akademivizyon.com.tr 1 2

1.

n 1 ! n! 36

n 1 n 2 ! 2 n 2 !

olduğuna göre,

n değeri kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

2. 9P(n, 2) = P(n, 3) olduğuna göre, n değeri kaçtır?

A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7

3. Ankara’dan, Konya’ya 5 farklı yol, Konya’dan İzmir’e ise 3 farklı yol vardır. Ankara’dan İzmir’e gitmek isteyen bir kişi Kon-ya’ya uğramak şartıyla kaç farklı yolla gidebilir?

A) 8 B) 9 C) 15 D) 25 E) 40

4. Ankara’dan Afyon’a 4 farklı yol, Afyon’dan İzmir’e 3 farklı yol vardır. Ankara’dan İzmir’e gidip dönmek isteyen bir kişi, gidiş dönüşünde Afyon’a uğramak şartıyla ve gittiği yolu kullanmamak üzere kaç değişik yoldan gidip dönebilir?

A) 7 B) 12 C) 24 D) 72 E) 144

5. İçinde siyah ve beyazın bulunduğu farklı renklerde 4 kravat, 3 gömlek ve 3 pantolonu olan bir kişi, Beşiktaş futbol takımını tutuğu için kravatlarından sadece siyah ve beyaz olanları takmaktadır. Buna göre, bu kişi kaç farklı şekilde kıyafet değiş-tirebilir?

A) 8 B) 18 C) 24 D) 27 E) 36

6. 3 kız, 4 erkek öğrenci yan yana fotoğraf çektirecekler-dir. Kaç değişik şekilde fotoğraf çektirilebilir?

A) 7 B) 72 C) 144 D) 720 E) 5040

7. 3 kız ve 4 erkek yan yana fotoğraf çektireceklerdir. Kızlar yan yana olmak şartıyla, kaç farklı şekilde fotoğraf çektirilebilir?

A) 144 B) 288 C) 576 D) 720 E) 5040

8. 3 kız ve 4 erkek yan yana fotoğraf çektireceklerdir. 4 erkeğin dördüde yan yana olmamak şartıyla kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilirler?

A) 4464 B) 4320 C) 4000 D) 576 E) 288

9. 30 kişilik bir sınıfta başkan ve başkan yardımcısı seçilecektir. Başkanlığa aday olan birisi başkan yardımcısı olamayacağına, ve diğer bütün sınıf öğrencilerinin başkan yardımcısı olabileceği bir seçim yapılacaktır. Bu sınıfta 8 kişi başkan adayı olduğuna göre, kaç farklı şekilde başkan ve başkan yardımcısı seçile-bilir?

A) 870 B) 240 C) 232 D) 210 E) 176

10. 11 adayın katıldığı bir yarışmada birinci, ikinci ve üçüncü kaç farklı biçimde belirlenir?

A) 240 B) 360 C) 480 D) 550 E) 990

K O N U T E K R A R T E S T İ





1 3

11. (2a – 4b)n ifadesinin açılımı 10 terimden oluştuğuna göre n kaçtır?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

12. (x + y) nin kaçıncı kuvvetinde 3. ve 9. terimlerin katsayıları birbirine eşit olur?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

13.

53 1x +

x açılımında x3 lü terimin katsayısı kaçtır?

A) 1 B) 5 C) 10 D) 20 E) 40

14. (2x + y)4 açılımında katsayılar toplamı kaçtır? A) 3 B) 9 C) 27 D) 81 E) 243

15. (3a + b)6 açılımında a2 b4 teriminin katsayısı kaçtır?

A) 45 B) 90 C) 105 D) 135 E) 180

16. (5x2 + y)6 açılımında x6 y3 teriminin katsayısı kaçtır?

A) 250 B) 1250 C) 1500 D) 1750 E) 2500

17.

143 2x +

x açılımının Ax18 terimi baştan kaçıncı

terimdir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

18.

123 1x +

x açılımının sabit terimi kaçtır?

A) 66 B) 110 C) 220 D) 300 E) 495

19. (x2y + y2)n açılımından elde edilen katsayılar top-

lamı aşağıdakilerden hangisi olamaz? (n N+) A) 8 B) 16 C) 24 D) 32 E) 64

20.

81x -x

açılımında baştan 7. terimi nedir?

A) 28.x5 B) 56.x3 C) –28.x3 D) 2128.x

E) 28x



permütasyon – kombinasyon 6. bÖlÜm de geriye kalan 3 harf gelebilir. ... cek şekilde kaç...

Documents