las matematicas y la arquitectura

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Felix Calcerrada Zamora

Las Matemticas y la Arquitectura

INDICE1. INTRODUCCIN BREVE HISTORIA DE LAS MATEMTICAS EN LA ARQUITECTURA HASTA NUESTRO DIAS 2. ESPACIO GEOMTRICO Y ARQUITECTNICO 3. LA GEOMETRA DE LA ARQUITECTURA 4. LA SIMETRA Y LA ARQUITECTURA 4.1 Movimientos en el plano 4.2 Grupo de simetra de una figura plana 4.3 Grupos de simetra de Leonardo 4.4 Grupos de simetras de los frisos 4.5 Grupos de simetra en el plano 4.6 Teora de mosaicos 4.7 Arabescos de la Alhambra de Granada 4.8 Mosaicos de Escher 5. PROPORCIN 5.1 El problema armnico 5.2 La proporcin del rectngulo 5.2.1 Proporciones conmensurables o estticas 5.2.2 Proporciones inconmensurables o dinmicas 6. LA SECCIN AREA 6.1 Construccin geomtrica de la seccin area 6.2 La seccin area en los polgonos 6.3 Semejanzas y espirales 7. 8. EL MODULOR BIBLIOGRAFA1

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LAS MATEMATICAS Y LA ARQUITECTURA1. INTRODUCCIN. BREVE HISTORIA DE LAS MATEMTICAS EN LA ARQUITECTURA HASTA NUESTROS DAS No es mi intencin desarrollar aqu, ni siquiera de forma esquemtica, un compendio de Historia de la Matemtica, ni profundizar en todos sus conceptos, sino que me limitar a apuntar algunos datos relacionados con la materia propia de este trabajo, las matemticas y la arquitectura. La arquitectura se revela como una de las ms complejas actividades de sntesis del pensamiento humano; opera en el espacio mediante la construccin y su fin ltimo es dotar al hombre de un escenario para su vida. Es una disciplina autnoma, integradora, con un lenguaje propio en el que se barajan el Arte, la Ciencia, el Humanismo, la Tecnologa... Hay un paralelismo innegable entre las concepciones matemticas y el pensamiento arquitectnico: la geometra euclidiana, configurando el ser sensible segn dimensiones mensurables y precisas, acompaa a la sensibilidad griega. Si Leibniz no hubiera trabajado en el Clculo Integral y no se hubiera desarrollado la Geometra Descriptiva, Guarini no hubiera podido construir la cpula de San Lorenzo en Turn. Sin la cuarta dimensin del cubismo, surgida de la revolucin de la fsica contra la concepcin absoluta de Newton y de la convergencia declarada por la ciencia moderna de las entidades espacio y tiempo, junto con la contribucin de Einstein al concepto de simultaneidad, no habra tenido Le Corbusier la idea de igualar las cuatro fachadas de la Ville Savoie, rompiendo la distincin entre fachada principal, laterales y posterior, implcita en la representacin en perspectiva, donde el punto de vista establece una jerarqua... Por ello es evidente que la arquitectura se ver beneficiada de cada paso que da el hombre en el progreso cientfico, como bagaje comn de la sociedad, y as cada etapa2

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de la civilizacin posee su propia arquitectura y utiliza unos medios materiales especficos para llevar a cabo sus realizaciones, por lo que la Historia de la Arquitectura es tan antigua como la de la humanidad misma, desde el punto de vista en que sta abandon los refugios naturales y prepar o construy refugios artificiales para protegerse del entorno. En las civilizaciones orientales existe el sabio, el hombre que sabe, el hombre que conoce los secretos de la divinidad y, como depositario de ellos, acta de mago, taumaturgo, poeta... De las prcticas de los agrimensores del antiguo Egipto nacin la geometra mediterrnea. Demcrito de Abdera se jacta de no haber encontrado a nadie que lo supere en el arte de trazar lneas en las figuras y demostrar sus propiedades... ni an entre los agrimensores egipcios. Entre los sumerios y los propios egipcios se dan tambin los primeros sistemas de numeracin escrita, encontrados en papiros o tablillas, de los que hoy conservamos el sistema sexagesimal de medida de ngulos y del tiempo. En Mesopotamia aparece adems un cierto matiz abstracto, lo que podamos llamar precedente del lgebra, en el tratamiento de adivinanzas y recreaciones matamticas, que incluyen casos de proporcionalidad, regla de tres y progresoines aritmticas y geomtricas, que en el caso egipcio adoptan una forma ms aritmtica. En Egipto se conocan ya casos particulares del Teorema de Pitgoras (el 3-4-5). Debido a la importancia religiosa que atribuan a la orientacin de sus tumbas y templos, recurrieron a un crculo de orientacin, trazado sobre el mismo terreno, en el que marcaban la sombra de alcance mnimo de un mstil colocado en su centro. Con una cuerda dividida por medio de nudos en 3 + 4 + 5 = 12 segmentos iguales, trazaban una perpendicular rigurosa a esta lnea que les daba exactamente la direccin EsteOeste. Por otra parte el investigador Moessel observ que el crculo director se divida, para el trazado de planos, tanto de planta como de alzados, en diversas combinaciones o bien de la segmentacin natural astronmica (4, 8, 16 partes), o bien en otra ms sutil (5 o 10 partes), de manera que las distintas variaciones sugeridas por los puntos y lneas as obtenidas suministraban la armazn del plano, mediante la inscripcin en uno o varios crculos directores de polgonos regulares. Incluso se encuentran en determinados casos3

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dos crculos directores concntricos, el mayor de los cuales, que corresponde al trazado exterior del edificio, esta dividido en 8 o 16 partes, mientras el correspondiente al ncleo se divide en 5 o 10 segmentos. El trazado vertical est regido por el mtodo pentagonal, pero en uno de sus elementos lineales est suministrado por el crculo exterior, lo que crea un en lace orgnico entre los dos temas. La segmentacin relacionada con elementos rectangulares o hexagonales se ha venido llamando esttica, mientras que la que hace intervenir relaciones pentagonales se denomina dinmica. En los diversos cnones sugeridos para descifrar la compleja geometra de la arquitectura egipcia, y ms tarde la griega e incluso la gtica, aparece, segn Matila C. Ghyka, un hecho relevante: el empleo de superficies de un nmero de encuadramientos rectangulares cuya razn entre los lados o mdulo (a/b) no es ya un nmero racional, sino nmeros irracionales, conmensurables en potencia, que aparecieron en cuanto se trat de intercalar una media geomtrica entre dos puntos. La Cmara del Rey en la Gran Pirmide de Kops tiene por base un doble cuadrado, y por altura la mitad de la longitud de la base, lo que significa una proporcionalidad respecto a las magnitudes 4, 5 y 2, es decir la presencia de un irracional. La particin asimtrica ms sencilla de un segmento en dos partes a y b viene dada por la proporcin a + b es a a, como a es a b, lo que nos da un valor para el mdulo a/b = (1+5)= 1,618.... Esta razn aparece en todas las figuras pentagonales y en los poliedros formados con caras poligonales de cinco, diez, etc. lados, por lo que todo trazado, toda proyeccin que represente esos cuerpos, requiere la particin inicial segn esa seccin, denominada por Leonardo da Vinci seccin area. Kepler cita como segunda joya de la Geometra la seccin area (la primera es el Teorema de Pitgoras). Los sistemas vitales de materia organizada, el crecimiento de los seres vivos, que acta de dentro a fuera, por impulso de turgencia, no de aglutinacin, tiende a producir formas homotticas con base en la proporcin asimtrica de la razn area (disposicin folicular, composicin pentameral en las flores, as como en las proporciones del cuerpo humano), mientras la materia inerte, los sistemas cristalinos, se ordenan en sistemas de tipo cbico o hexagonal.

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La civilizacin griega crea un tipo nuevo de personalidad: el pensador, el hombre que piensa, que tiene ideas propias o sabe imprimir un sello personal a los conocimientos que adquiere de otros. Ese ser pensador, suplanta al sabedor de cosas, encuentra el camino de la demostracin para asegurar la viabilidad de un sistema, cuyos miembros se encadenan de manera lgica, e inventa la Episteme, la Ciencia tal y como hoy la concebimos. No obstante, esta ciencia, y en particular la ciencia por excelencia, la Matemtica, est intrnsecamente unida a lo mgico, a lo esotrico, al secretismo y al mito, cuya muestra ms genuina se dan en la escuela pitagrica. Trata de la mstica del nmero que se entremezcla tanto con la Metafcia de la armona del gran todo, como con la msica y la euritmia en general. El concepto matemtico director de esta sntesis es la analoga o proporcin, la equivalencia o concordancia de dos o ms relaciones, la conmensurabilidad del todo y sus partes: la proporcin geomtrica, en suma. Esta concordancia, esta simetra (en un sentido completamente distinto al que nosotros damos al trmino), se da en forma perfecta en el cuerpo humano y resulta del vnculo que, mediante el prototipo de medida comn o mdulo, une los distintos elementos entre s y con el todo. Esta concepcin de la armona pitagrica llega a Platn, quien a pesar de no pertenecer a la Escuela del maestro de Samos, mantuvo, como sus miembros, el secreto de sus enseanzas: Entonces fue cuando todos los gneros, constituidos de esta manera recibieron de l su figura, por la accin de las ideas y los nmeros. Pues en la medida que era posible, de estos gneros el Demiurgo ha hecho un conjunto, el ms bello y mejor. Platn, Timeo-53,b En este ritual de silencio y secreto, la contrasea fue un smbolo, el pentagrama, el pentgono estrellado, emblema de la armona, cuya transmisin se produjo por las tcnicas ocultas de los arquitectos y las sociedades secretas de carcter mgico, continuando con la logia masnica, que veneraba en el centro de sus altares la letra G, inicial de geometra.

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Segn palabras de Bertrand Rusell lo ms curioso de la ciencia moderna sea tal vez su retorno a Pitgoras La vuelta a una pura ley del nmero de la que ya es posible deducir el Anlisis, la