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Felix Calcerrada Zamora

Las Matemticas y la Arquitectura

INDICE1. INTRODUCCIN BREVE HISTORIA DE LAS MATEMTICAS EN LA ARQUITECTURA HASTA NUESTRO DIAS 2. ESPACIO GEOMTRICO Y ARQUITECTNICO 3. LA GEOMETRA DE LA ARQUITECTURA 4. LA SIMETRA Y LA ARQUITECTURA 4.1 Movimientos en el plano 4.2 Grupo de simetra de una figura plana 4.3 Grupos de simetra de Leonardo 4.4 Grupos de simetras de los frisos 4.5 Grupos de simetra en el plano 4.6 Teora de mosaicos 4.7 Arabescos de la Alhambra de Granada 4.8 Mosaicos de Escher 5. PROPORCIN 5.1 El problema armnico 5.2 La proporcin del rectngulo 5.2.1 Proporciones conmensurables o estticas 5.2.2 Proporciones inconmensurables o dinmicas 6. LA SECCIN AREA 6.1 Construccin geomtrica de la seccin area 6.2 La seccin area en los polgonos 6.3 Semejanzas y espirales 7. 8. EL MODULOR BIBLIOGRAFA1

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LAS MATEMATICAS Y LA ARQUITECTURA1. INTRODUCCIN. BREVE HISTORIA DE LAS MATEMTICAS EN LA ARQUITECTURA HASTA NUESTROS DAS No es mi intencin desarrollar aqu, ni siquiera de forma esquemtica, un compendio de Historia de la Matemtica, ni profundizar en todos sus conceptos, sino que me limitar a apuntar algunos datos relacionados con la materia propia de este trabajo, las matemticas y la arquitectura. La arquitectura se revela como una de las ms complejas actividades de sntesis del pensamiento humano; opera en el espacio mediante la construccin y su fin ltimo es dotar al hombre de un escenario para su vida. Es una disciplina autnoma, integradora, con un lenguaje propio en el que se barajan el Arte, la Ciencia, el Humanismo, la Tecnologa... Hay un paralelismo innegable entre las concepciones matemticas y el pensamiento arquitectnico: la geometra euclidiana, configurando el ser sensible segn dimensiones mensurables y precisas, acompaa a la sensibilidad griega. Si Leibniz no hubiera trabajado en el Clculo Integral y no se hubiera desarrollado la Geometra Descriptiva, Guarini no hubiera podido construir la cpula de San Lorenzo en Turn. Sin la cuarta dimensin del cubismo, surgida de la revolucin de la fsica contra la concepcin absoluta de Newton y de la convergencia declarada por la ciencia moderna de las entidades espacio y tiempo, junto con la contribucin de Einstein al concepto de simultaneidad, no habra tenido Le Corbusier la idea de igualar las cuatro fachadas de la Ville Savoie, rompiendo la distincin entre fachada principal, laterales y posterior, implcita en la representacin en perspectiva, donde el punto de vista establece una jerarqua... Por ello es evidente que la arquitectura se ver beneficiada de cada paso que da el hombre en el progreso cientfico, como bagaje comn de la sociedad, y as cada etapa2

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de la civilizacin posee su propia arquitectura y utiliza unos medios materiales especficos para llevar a cabo sus realizaciones, por lo que la Historia de la Arquitectura es tan antigua como la de la humanidad misma, desde el punto de vista en que sta abandon los refugios naturales y prepar o construy refugios artificiales para protegerse del entorno. En las civilizaciones orientales existe el sabio, el hombre que sabe, el hombre que conoce los secretos de la divinidad y, como depositario de ellos, acta de mago, taumaturgo, poeta... De las prcticas de los agrimensores del antiguo Egipto nacin la geometra mediterrnea. Demcrito de Abdera se jacta de no haber encontrado a nadie que lo supere en el arte de trazar lneas en las figuras y demostrar sus propiedades... ni an entre los agrimensores egipcios. Entre los sumerios y los propios egipcios se dan tambin los primeros sistemas de numeracin escrita, encontrados en papiros o tablillas, de los que hoy conservamos el sistema sexagesimal de medida de ngulos y del tiempo. En Mesopotamia aparece adems un cierto matiz abstracto, lo que podamos llamar precedente del lgebra, en el tratamiento de adivinanzas y recreaciones matamticas, que incluyen casos de proporcionalidad, regla de tres y progresoines aritmticas y geomtricas, que en el caso egipcio adoptan una forma ms aritmtica. En Egipto se conocan ya casos particulares del Teorema de Pitgoras (el 3-4-5). Debido a la importancia religiosa que atribuan a la orientacin de sus tumbas y templos, recurrieron a un crculo de orientacin, trazado sobre el mismo terreno, en el que marcaban la sombra de alcance mnimo de un mstil colocado en su centro. Con una cuerda dividida por medio de nudos en 3 + 4 + 5 = 12 segmentos iguales, trazaban una perpendicular rigurosa a esta lnea que les daba exactamente la direccin EsteOeste. Por otra parte el investigador Moessel observ que el crculo director se divida, para el trazado de planos, tanto de planta como de alzados, en diversas combinaciones o bien de la segmentacin natural astronmica (4, 8, 16 partes), o bien en otra ms sutil (5 o 10 partes), de manera que las distintas variaciones sugeridas por los puntos y lneas as obtenidas suministraban la armazn del plano, mediante la inscripcin en uno o varios crculos directores de polgonos regulares. Incluso se encuentran en determinados casos3

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dos crculos directores concntricos, el mayor de los cuales, que corresponde al trazado exterior del edificio, esta dividido en 8 o 16 partes, mientras el correspondiente al ncleo se divide en 5 o 10 segmentos. El trazado vertical est regido por el mtodo pentagonal, pero en uno de sus elementos lineales est suministrado por el crculo exterior, lo que crea un en lace orgnico entre los dos temas. La segmentacin relacionada con elementos rectangulares o hexagonales se ha venido llamando esttica, mientras que la que hace intervenir relaciones pentagonales se denomina dinmica. En los diversos cnones sugeridos para descifrar la compleja geometra de la arquitectura egipcia, y ms tarde la griega e incluso la gtica, aparece, segn Matila C. Ghyka, un hecho relevante: el empleo de superficies de un nmero de encuadramientos rectangulares cuya razn entre los lados o mdulo (a/b) no es ya un nmero racional, sino nmeros irracionales, conmensurables en potencia, que aparecieron en cuanto se trat de intercalar una media geomtrica entre dos puntos. La Cmara del Rey en la Gran Pirmide de Kops tiene por base un doble cuadrado, y por altura la mitad de la longitud de la base, lo que significa una proporcionalidad respecto a las magnitudes 4, 5 y 2, es decir la presencia de un irracional. La particin asimtrica ms sencilla de un segmento en dos partes a y b viene dada por la proporcin a + b es a a, como a es a b, lo que nos da un valor para el mdulo a/b = (1+5)= 1,618.... Esta razn aparece en todas las figuras pentagonales y en los poliedros formados con caras poligonales de cinco, diez, etc. lados, por lo que todo trazado, toda proyeccin que represente esos cuerpos, requiere la particin inicial segn esa seccin, denominada por Leonardo da Vinci seccin area. Kepler cita como segunda joya de la Geometra la seccin area (la primera es el Teorema de Pitgoras). Los sistemas vitales de materia organizada, el crecimiento de los seres vivos, que acta de dentro a fuera, por impulso de turgencia, no de aglutinacin, tiende a producir formas homotticas con base en la proporcin asimtrica de la razn area (disposicin folicular, composicin pentameral en las flores, as como en las proporciones del cuerpo humano), mientras la materia inerte, los sistemas cristalinos, se ordenan en sistemas de tipo cbico o hexagonal.

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La civilizacin griega crea un tipo nuevo de personalidad: el pensador, el hombre que piensa, que tiene ideas propias o sabe imprimir un sello personal a los conocimientos que adquiere de otros. Ese ser pensador, suplanta al sabedor de cosas, encuentra el camino de la demostracin para asegurar la viabilidad de un sistema, cuyos miembros se encadenan de manera lgica, e inventa la Episteme, la Ciencia tal y como hoy la concebimos. No obstante, esta ciencia, y en particular la ciencia por excelencia, la Matemtica, est intrnsecamente unida a lo mgico, a lo esotrico, al secretismo y al mito, cuya muestra ms genuina se dan en la escuela pitagrica. Trata de la mstica del nmero que se entremezcla tanto con la Metafcia de la armona del gran todo, como con la msica y la euritmia en general. El concepto matemtico director de esta sntesis es la analoga o proporcin, la equivalencia o concordancia de dos o ms relaciones, la conmensurabilidad del todo y sus partes: la proporcin geomtrica, en suma. Esta concordancia, esta simetra (en un sentido completamente distinto al que nosotros damos al trmino), se da en forma perfecta en el cuerpo humano y resulta del vnculo que, mediante el prototipo de medida comn o mdulo, une los distintos elementos entre s y con el todo. Esta concepcin de la armona pitagrica llega a Platn, quien a pesar de no pertenecer a la Escuela del maestro de Samos, mantuvo, como sus miembros, el secreto de sus enseanzas: Entonces fue cuando todos los gneros, constituidos de esta manera recibieron de l su figura, por la accin de las ideas y los nmeros. Pues en la medida que era posible, de estos gneros el Demiurgo ha hecho un conjunto, el ms bello y mejor. Platn, Timeo-53,b En este ritual de silencio y secreto, la contrasea fue un smbolo, el pentagrama, el pentgono estrellado, emblema de la armona, cuya transmisin se produjo por las tcnicas ocultas de los arquitectos y las sociedades secretas de carcter mgico, continuando con la logia masnica, que veneraba en el centro de sus altares la letra G, inicial de geometra.

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Segn palabras de Bertrand Rusell lo ms curioso de la ciencia moderna sea tal vez su retorno a Pitgoras La vuelta a una pura ley del nmero de la que ya es posible deducir el Anlisis, la Lgica, las Geometras... y que marc una nueva forma de entender la Matemtica como un absoluto a comienzos de este siglo. Pero regresando al hilo conductor, Vitruvio, que si bien no hizo aportaciones originales a la Arquitectura, s hizo una recopilacin de conocimientos desde varios siglos anteriores a l, se ocupa mucho de esta cuestin, esta sinfona perfecta de las proporciones en el cuerpo humano, y de proporciones anlogas, idnticas a veces, que el arquitecto debe establecer en los planos de los edificios sagrados. As, en esta combinacin de superficies, unidas por relaciones racionales, en las que figuras semejantes, pero de distinta magnitud, se agrupan rtmicamente reflejando a diversas escalas la forma fundamental, entiende Vitruvio la conmodulatio o juego de proporciones en la simetra. Euclides, cuya Teora de las proporciones fue copiada por Eudoxio de Cnido, heredero directo del sistema de Platn, no lo entenda de otro modo cuando distingua entre las proporciones racionales que se expresan por nmeros y las otras que se representan por lneas, superficies o slidos. No en vano el problema de la duplicacin del cubo haba dejado al descubierto lo que hoy denominamos una ecuacin de tercer grado, no resoluble por mtodos euclidianos y que se poda expresar en trminos de proporciones como el problema de intercalar dos medias continuas entre dos longitudes, la segunda de las cuales es el doble que la primera. En Grecia, y en el Oriente helnico existan cofradas de tcnicos de la construccin que, an despus de que Constantino estableciera el culto cristiano, continuaron manteniendo las tradiciones tcnicas y el mismo ritual de secreto profesional inicitico. Los principios de composicin arquitectnica eran asimismo transmitidos como secretos de familia de padres a hijos, y as aparecen los smbolos y trazados geomtricos de la escuela pitagrica, y en particular todo lo concerniente a la proporcin area, a travs del Imperio de Carlomagno y en la poca de las grandes construcciones religiosas de las magnficas abadas benedictinas. Estos monjes conservaron y transmitieron los textos

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matemticos de la antigedad griega o bizantina que han llegado hasta nosotros, incluyendo el propio tratado de Vitruvio. Disendose ya en esa poca la lenta Reconquista de Espaa, se lleg a un nuevo contacto, debido a los intercambios con los arquitectos rabes que aportaron frmulas y soluciones arquitectnicas evolucionadas en la cuenca oriental del Mediterrneo, bajo la triple influencia helenstica, persa y egipcia. En la misma poca, las Cruzadas, crearon otra va de comunicacin entre los guardianes de la tradicin geomtrico-arquitectnica occidental, tanto laica como eclesistica y la oriental. Fue entonces cuando los arquitectos y maestros constructores se reagruparon en sociedades casi secretas, puramente laicas y constituyeron en el Sacro Imperio Germnico, que persisti hasta el siglo XVII, la Bauhtte, Federacin de las Logias de los talladores de piedra, cuyo primer gran maestre fue el arquitecto de la Catedral de Estrasburgo, Erwin de Steinbach. De una u otra forma estas agrupaciones de arquitectos-constructores funcionaron en toda Europa, siendo para todos ellos la Geometra una Ciencia fundamental y mantuvieron una relacin mtua que se evidencia en los signos lapidarios que aparecen en todas las construcciones del romnico y el gtico, y que son pequeos tratados de geometra, concedidos nicamente a los oficiales y maestros, para los que constitua una marca o firma. Lucca Pacioli, en 1494, publica en Venecia la Summa de Arithmtica, Geometra, Proportione et proportionalit en cuyo prefacio insiste ya en el carcter fundamental de la Ciencia Matemtica, cuyos principios deben servir como gua de todas las ciencias y las artes. La lite de artistas-matemticos de la poca refleja sin duda el ambiente que el Renacimiento haba creado en el ltimo tercio del siglo XV: Alberti, Piero della Francesca, Giovanni Bellini, Mantegna, Boticelli, Perugino, Ghirlandaio, Verrochio, Leonardo... maestros en las artes del dissegno, pintura, escultura, arquitectura, etc. pusieron de manifiesto la preocupacin que les mova para sacar conclusiones prcticas de la Teora matemtica de la visin. La perspectiva matemtica constituy una garanta para lograr la correccin y verosimilitud en la representacin del espacio, y lo que es ms, una garanta de perfeccin esttica. El uso riguroso de la regla y el comps confiere la proporcin que hace perfectas y admirables las obras de estos artistas.

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Las partes de la Summa dedicadas al lgebra, la Geometra y la Aritmtica se apoyan fundamentalmente en Euclides y, sobre todo, en los escritos de Leonardo de Pisa, conocido con el sobrenombre de Fibonacci, considerado el ms grande matemtico de la Edad Media, que introdujo en el Occidente cristiano el clculo aritmtico rabe, de enorme repercusin en la matemtica europea. Ms tarde, Gerolamo Cardano denunci grandes errores en la Summa de Pacioli, sin dejar de reconocer que sin ella nunca habra podido llegar a escribir su Ars Magna. Es en 1498 cuando termina Luca Pacioli su obra mas universal, el tratado De Divina Proportione, ilustrado con sesenta dibujos coloreados de mano de Leonardo da Vinci, su amigo en la corte de Ludovico el Moro. La edicin impresa en 1509 incluye un Tractato de la Architectura de inspiracin netamente vituviana: Quien de Vitruvio se aparta, cava enn el agua y cimienta en la arena y muy pronto malogra el arte, dice refirindose a los arquitectos que se alejan de las reglas matemticas, con peligro de que sus construcciones no se sostengan en pie. La rectitud moral y el deseo de renovacin de la arquitectura se ligan en Pacioli a la esmerada preparacin matemtica, a la exaltacin del ngulo recto, sin el cual no es posible distinguir el bien del mal, ni en modo alguno se puede dar medida cierta. La arquitectura debe reflejar la estructura matemtica del universo. La proporcin matemtica, principio universal y objetivo de belleza son el punto de referencia obligado del arte. El carcter inconmensurable de la proporcin area fue la causa de su restringida aplicacin real en la arquitectura del Renacimiento, pues sus propiedades irracionales son difciles de conciliar con una anotacin fidedigna y conmensurable de las dimensiones. El atractivo de la divina proporcin era de una especie ms intelectual, y no ser hasta el siglo XIX, con el renovado inters por el estudio de las proporciones irracionales, cuando la seccin area ser de nuevo pieza clave en las especulaciones artsticas y estticas. En el tratado de Luca Pacioli son especialmente interesantes los captulos destinados a la construccin de los cinco poliedros platnicos, demostrando mediante razonamientos filosficos-matemticos por qu no puede haber ms de cinco. Su caracterstica ms sugerente es la inclusin progresiva de cada uno en el siguiente, culminando en la esfera. A partir de ellos y, haciendo uso de la proporcin area, se8

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pueden obtener otros, como aparecen en las ilustraciones de Leonardo. Hace referencia especial al poliedro de 72 caras y asegura que el Panten romano, la capilla de San Scettro de Miln y el altar mayor de Santa Mara de Gracia de la misma ciudad, estn inspirados en este cuerpo, aunque un examen de estas construcciones no permite la constatacin literal de este hecho. Miguel Angel encarg al orfebre Giovanni di Baldassarre una bola con la forma de este cuerpo para que coronara su capilla Mdici, identificndose con las tendencias platnicas del maestro Pacioli. En arquitectura hay que construir con ciencia: Ars sine Sciencia nihil, deca el arquitecto parisiense Jean Vignot, que en 1398 fue consultado por el consejo de constructores de la catedral de Miln. Una composicin arquitectnica debe ser geomtrica, pero esta geometra ha de ser una concepcin consciente, no una mera red de lneas. El hecho de que los puntos de un trazado se escojan entre las intersecciones de lneas de un diagrama no basta para hacer que un plano sea geomtrico, es necesario que el diagrama y la eleccin tengan un sentido. Existe adems un nuevo problema, ya detectado desde antiguo: Una edificacin perfecta, en cuanto a su planificacin geomtrica eurtmica, proyectada para proporcionar placer esttico por su armona, ha de contar con el observador, con el sujeto que la contempla. Esa sensacin rtmica sigue siendo percibida, aunque para el observador permanezca oculta alguna de sus partes, pues ste puede reconstruirlas automticamente en su espritu. Pero no es as si el edificio se contempla desde una posicin anormal, muy cerca por ejemplo, pues entonces, dado que el proceso de visin no es instantneo, sino compuesto de imgenes sucesivas en las que el ojo examina la obra en sentido vertical, o bien horizontalmente, no existe ya un plano vertical de proyeccin, sino una serie de planos perpendiculares a los ejes momentneos de visin. Todo ello ha dado lugar a profundos estudios matemticos, conocidos como correcciones pticas, que se inician ya en Grecia, donde Vitruvio denomina explcitamente Escenografa a la parte de la ciencia que, una vez realizado el plano terico, se ocupa de determinar esas correcciones, utilizando para ello rigurosas soluciones matemticas, como arcos de parbola, hiprbola, etc., mientras que los arquitectos bizantinos o gticos las realizaron de modo ms emprico.

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Las deformaciones pticas, entre ellas la ley de reduccin aparente de los segmentos lineales, fue descubierta de nuevo por el arquitecto Violet-le-Duc, que explica: cuando se trata de proyectar un edificio hay que tener muy en cuenta el punto o los puntos desde donde ser posible verlo, las disminuciones producidas por las alturas, las descargas y los salientes. Ni que decir tiene que en el Renacimiento, con su obsesin racionalista, se dedicaron grandsimos esfuerzos a luchar contra este elemento de imperfeccin introducido por el subjetivismo de la visin humana. Ms prxima a nuestros das ha surgido por parte de los arquitectos de grandes edificios, de volmenes rigurosamente geomtricos, una nueva idea a este respecto, ya que se atribuye al ojo, o ms bien a la conciencia visual, la capacidad de percibir directamente el esquema deseado, es decir de efectuar automticamente las correcciones pticas necesarias, sin que el arquitecto tenga que preocuparse de ellas. Una ayuda inesperada para el estudio de las perspectivas viene dada por los avances desarrollados en la trigonometra, gracias a los estudios astronmicos de Coprnico o Rhaeticus, (el nombre mismo de esta especialidad se utiliza por primera vez en esta poca, en la segunda mitad del siglo XVI), aunque los progresos ms decisivos se deben a Franois Vite, que trabaja en las principales relaciones entre las funciones circulares, tanto en trigonometra plana como esfrica. Inicia tambin el simbolismo, mediante lo que llama logstico speciosa o especies que representan no un nmero o cantidad, sino todos los nmeros, todas las cantidades, estos es, da comienzo lo que hay llamamos lgebra. Descartes, ya en 1620, siendo oficial voluntario en el ejrcito del Duque de Baviera, compone sus Progymnasmata de Solidorum elementis en los que analiza, despus de pasar por el intermedio de los nmeros piramidales, los nmeros slidos contenidos en poliedros regulares y semirregulares. Una de las caractersticas del pensamiento cartesiano es su afn cosmico, el intento de realizar una sntesis de la ciencia por concatenacin o encadenamiento de smbolos, considerando a las Matemticas (ya en plural) como modelo de la ciencia, a la que dicta sus preceptos lgicos y su mtodo. En su tercer escrito o apndice del discurso del Mtodo, su primer libro trata de Cmo el clculo de la aritmtica se relaciona con las operaciones de la Geometra, dando nacimiento a la Geometra Analtica que produce una autntica revolucin en el estudio

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de esta ciencia, que durante siglos haba sido subsidiaria de los descubrimientos helnicos. Quiz fueron Palladio y Miguel Angel los ltimos arquitectos que utilizaron conscientemente en sus composiciones las proporciones nacidas de la armona pitagrico-platnica. A fines del siglo XVII, el sentido exacto de la palabra simetra es olvidado y reemplazado por la acepcin que utilizamos hoy: reparticin de elementos idnticos a una y otra parte de un eje o plano, lo que produce un equilibrio esttico, no teniendo ya ninguna relacin con la simetra dinmica de las figuras semejantes, no idnticas. La arquitectura se mecaniza y slo el barroco, tan maltratado en ocasiones, contina presentando una geometra catrtica en piedra o estuco. Nace con el siglo XVII lo que podemos llamar la Matemtica Clsica. Los nombres de Newton, Leibniz, Fermat, Barrow o Pascal nos indican el florecimiento de nuevas concepciones de la Matemtica, de los principios del Anlisis o de la Teora de las Probabilidades. No sera posible describir aqu sus aportaciones al mundo, no ya de la propia Ciencia Matemtica, sino al progreso de las actividades del pensamiento humano en general. La Historia de la Cultura y del Conocimiento inicia un proceso de aceleracin que impida cualquier intento de compilacin en un breve espacio. La Tcnica comienza a ser beneficiaria de las aportaciones de los matemticos: desde el clebre problema de la capacidad de los toneles de Kepler, que le hace estudiar los volmenes de ms de 90 cuerpos de revolucin, hasta la construccin de relojes de sol, que llev a Jean Desargue a iniciar la Geometra Proyectiva. El mismo Desargue (no olvidemos su condicin de arquitecto) confesaba no interesarse por las investigaciones cientficas ms que en la medida en que puedan ofrecer al espritu un medio de lograr algn conocimiento de las cosas, o que puedan traducirse en actos para la conservacin de la salud o en las aplicaciones o prcticas de algn arte, a pesar de lo cual su teora proyectiva es ciertamente en gran medida abstracta, de tal forma que ni fue comprendida ni continuada hasta casi despus de un siglo. Si con pocas palabras quisiramos caracterizar la Matemtica del siglo de las luces diramos que es la etapa algortmica por excelencia, donde el anlisis, tanto algebraico como infinitesimal, adquiere vida propia y tie toda la matemtica de un marcado carcter formal. Mientras en el siglo anterior la geometra analtica y los mtodos11

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infinitesimales haban servido como instrumentos para solucionar problemas geomtricos o para la investigacin de las leyes de la naturaleza, ahora, el anlisis, an persiguiendo los mismos fines, se estudia adems a s mismo. El mximo exponente en esta corriente es Leonhard Euler, formado en el ambiente de la familia de los Bernouilli. En este perodo la Geometra queda relegada y eclipsada, y como venimos observando a lo largo de toda su historia, su suerte corre pareja a la de la Arquitectura que, en este perodo neoclsico, decide no correr riesgos aventurados. Su resurgimiento se ver ya a fines del siglo con Gaspar Monge y muy especialmente con el autntico creador de la Geometra Proyectiva, Jean Victor Poncelet, que en 1820 dio a conocer un Ensayo sobre las propiedades proyectivas de las secciones cnicas enunciando el principio de dualidad. El proceso de rigorizacin de la Matemtica toma cuerpo en la figura de Karl Friedrich Gauss, y con l y la gran plyade de matemticos que se ocuparon de dar forma, tal y como hoy las conocemos, a las distintas ramas de la Matemtica clsica, se construy el consistente edificio que pareca no aceptar grieta alguna. Todo apareca perfecto, lgico y cohesionado. En este ambiente de segura tranquilidad solo restaba la profundizacin y la expansin de los conocimientos, ensanchar sus lmites y extender su mbito a un nmero creciente de casos y cuestiones pendientes. No obstante, fue el propio Gauss, quin primero vio que los cimientos no eran tan inamovibles cuando percibi que el sistema euclidiano haba de ser revisado, que el V postulado era prescindible. No public sus resultados por temor a la gritera de los beocios y cuando tuvo noticia de que Bolyai y Lobachewski trabajaban en idntico sentido, decidi no hacerlo, aunque a su muerte se encontraron sus deducciones, absolutamente rigurosas, que le condujeron a la Geometra no euclidiana, la geometra hiperblica, que ms tarde se completara con la incorporacin por Riemann de la geometra elptica. A fines del siglo XIX se vivi por tanto un perodo crtico de revisin de los fundamentos de esta ciencia, de la que hable al comienzo del trabajo. En el tema que nos importa realmente, las aplicaciones a las tcnicas de la Arquitectura nos encontramos con la cristalizacin de la actual Geometra Descriptiva, gracias a los trabajos de Wilhem Fiedler, sobre cuya influencia en la Arquitectura o la Ingeniera, as como en la Tcnica en general no es preciso insistir, pues desde su12

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aparicin es una de las materias bsicas en la formacin acadmica de todos los profesionales de la construccin en sus distintas facetas, mientras naca, tambin fundada en la Geometra Proyectiva, la Esttica Grfica, cuyos mtodos bien pronto superaron a los de la Esttica Analtica y cuya primera sistematizacin se deba a Karl Cullman. En nuestros das ha desaparecido prcticamente la figura del arquitecto que rene a la vez las figuras del artista, del gemetra y del calculista. Hoy los clculos se dejan para el ingeniero, el verdadero tcnico en el manejo de estructuras; el gemetra simplemente ha desaparecido de este escenario, y son protagonistas el hecho de la edificacin el arquitecto-compositor que disea los planos, (al cual es de esperar no le sea totalmente ajeno el Arte) y el responsable de que el constructor realice fidedignamente lo que fue previamente proyectado, es decir, el Arquitecto Tcnico. Esta organizacin es del todo eficaz, pero resta una oportunidad a la unidad orgnica del resultado. El criterio generalmente aceptado es el de la adaptacin al fin (fitness), que comprende la solidez y la economa. Pero an as existen dos vas de eleccin para el arquitecto: si es un creador autntico, provisto de inspiracin, pero no compone geomtricamente, si no medita sobre las proporciones... podr hacer cosas magnficas, pero tambin podr abortar en un solo detalle su obra perfecta, como Soufflot, al no espaciar suficientemente las columnas del tambor que soporta la cpula del Panten de Hombres Ilustres de Pars. De igual modo, entre dos arquitectos sin brillante inspiracin, ser ms tolerable aqul que componga geomtricamente, valindose de una tcnica armnica, porque esta geometra lo guiar de manera automtica a un resultado aceptable. Esto tiene su importancia pues los mediocres son la mayora, y han sido la mayora hasta en las grandes pocas, pero si trabajan con moldes bien proporcionados, transmitidos por conceptos geomtricos, en ltimo caso el resultado ser, no genial, pero si bueno. Cito como mximo apstol de estas tendencias a Le Corbusier, utilizando lo que l llama trazados reguladores, y que a propsito de su proyecto para el Mundaneum de Ginebra dice:

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El Mundaneum fue concebido como una ciudad rectangular. La razn entre la longitud y profundidad est dada por la seccin area, reinando as una gran unidad y una proporcin armoniosa Y actualmente, como se manifiestan las tendencias de la Geometra?. Observamos la invasin creciente de la geometra por las tcnicas: analticas, topolgicas, algebraicas, informticas... Esto ha llevado a campos de una elevada abstraccin. Sin volver a la Geometra Eucldea, se piensa en una geometra actual que preste ms atencin a las ideas que engendra que a los mtodos que las desarrollan. Se lamenta la prdida de la visin y del goce de las configuraciones geomtricas. Lo expresa Guggenheimer: He encontrado la fuerza esencial de la geometra y temo que nuestros jvenes hayan sido privados demasiado tiempo de este placer Volveremos a una geometra figurativa? Apuntar en esa direccin la Geometra Fractal? Se podr encontrar orden y regularidad en formas geomtricas aparentemente caticas? Podremos construir una geometra para las formas irregulares?. La matemtica, una vez mas, no se deja asustar por el reto y nace la Geometra Fractal, abriendo paso incluso a una arquitectura fractal. Louis Kahn interpreta la idea fractal en alguna de sus obras.

La voluntad de trascendencia y permanencia que expresa su arquitectura va ligada a la influencia del pensamiento de Platn, y es expresin de su convencimiento de que la recuperacin de la dignidad humana se puede producir a travs de la dignificacin de la arquitectura de las instituciones humanas.14

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El trmino fractal ha sido acuado recientemente por Mandelbrot y designa objetos geomtricos de estructura irregular que estn presentes en muchos comportamientos y formas de la naturaleza, aunque ya haban sido tratados desde finales del siglo XIX dentro de la Teora Geomtrica de la Medida.

Los fractales son objetos matemticos encuadrados en el campo de la teora geomtrica de la medida, si bien su delimitacin exacta an est por establecer. La mejor forma de describirlos consiste en sealar lo que tienen en comn los procesos matemticos que los generan. Sus rasgos caractersticos son la simplicidad de su construccin y la aparente complejidad del producto final. El fractal tpico con el que surgieron las especulaciones en este campo el el conjunto de Cantor. Para construirlo se toma un segmento. Se divide en tres partes iguales. Se elimina el segmento central. Con cada uno de los dos restantes se procede del mismo modo... y as infinitas veces. Lo que queda es el conjunto de Cantor.

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Como hemos visto, para describirlo y construirlo se requiere muy poco informacin. Lo caracterstico de las estructuras fractales es la iteracin infinita de este simple proceso. Otros ejemplos de fractales del tipo de Cantor son la curva de Koch, la curva de Hilbert y el conjunto de Martn-Mattila:

2. ESPACIO GEOMTRICO Y ARQUITECTNICO El concepto de espacio no es unvoco. Debe abordarse con una gran apertura de ideas. Es espacio arquitectnico no puede reducirse ni al espacio fsico ni a la dualidad espacio interior-exterior, ni siquiera al concepto de parcelacin habitable. El espacio arquitectnico posee un rasgo absolutamente diferencial: es creado por el hombre para el uso del hombre Por otro lado, la Geometra elabora modelos matemticos capaces de describir parcelas concretas del espacio. Cabe considerar as el espacio geomtrico, como una aportacin terica, sugerente y clara al estudio de ciertas facetas formales del espacio arquitectnico. La realizacin de un proyecto arquitectnico introduce en el ambiente una alteracin, una alteracin espacial. Volmenes, superficies, lneas y sus articulaciones plsticas y cromticas concurren juntas al crear, tanto en el interior como en el exterior del edificio, espacios cuya calidad depender tambin de la relacin dimensional con el hombre. El espacio es siempre, en alguna medida, dinmico, precisamente porque es visible y disfrutable desde diferentes puntos de vista, y porque nunca es posible hablar de un solo espacio: por lo menos son dos, el exterior y el interior; pero habitualmente son muchos16

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ms, porque hasta un edificio sencillo presenta numerosas articulaciones. En el exterior, Kahn defiende que se debe buscar la capacidad evocativa que las formas geomtricas puras poseen intrnsicamente. El significado debe dejarse implcito, latente, con voluntad de permanecer y nunca quedar del todo explicado. En este sentido es heredero de Wright y de su predileccin por las formas y volmenes elementales. Para entrar en la definicin del concepto de espacio arquitectnico, expondr la definicin de Nikolaus Pevsner: Un cobertizo para guardar bicicletas es un edificio. La catedral de Lincoln es una obra de arquitectura. Todas o casi todas las estructuras que delimitan un espacio de medida suficiente para que se mueva un ser humano, son un edificio... Un edificio puede provocar sensaciones estticas de tres maneras: La primera de estas maneras es en dos dimensiones; es la manera propia del pintor. Son sensaciones producidas por el tratamiento de la superficie, por las proporciones, por las relaciones de los vacos con los llenos y por la ornamentacin. La segunda, en tres dimensiones, trata el edificio como un volumen, es la manera del escultor. Es estticamente significativo el tratamiento exterior de un edificio en su conjunto, sus contrastes, los efectos. La tercera manera tambin es en tres dimensiones, pero se refiere al espacio; mas que las anteriores es propia del arquitecto. Las sensaciones estticas se provocan por el efecto en nuestros sentidos del tratamiento del interior, la sucesin de los ambientes, el ensanchamiento de una nave en el crucero, el movimiento majestuoso de una escalinata barroca. Lo que distingue la arquitectura de la pintura y de la escultura es su caracterstica espacialidad. En este campo, y slo en este campo, ningn otro artista puede emular al arquitecto. Por tanto, la historia de la Arquitectura es, ante todo, la historia del hombre que modela el espacio. La definicin la recoge tambin Bruno Zevi ... la pintura acta en dos dimensiones, aunque pueda sugerir tres o cuatro. La escultura acta en tres dimensiones, pero el hombre se queda en el exterior, separado. En cambio, la arquitectura es como una gran escultura excavada en cuyo interior el hombre penetra y camina Volviendo al proceso proyectual de un edificio, para formular su esquema, el arquitecto deber emplear un medio de representacin preciso y fiable. Este medio se lo proporciona la GEOMETRA DESCRIPTIVA, y sobre todo, la GEOMETRA EUCLIDEA, que es la geometra base del arquitecto al tratar la economa del espacio,17

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aunque tambin puede recibir ayuda de otra geometra, la GEOMETRA PROYECTIVA, que es la base matemtica de la descriptiva. La arquitectura no puede expresarse ni comunicarse ms que con medios grficos y stos tienen gran importancia porque, convenientemente elegidos y usados con maestra, pueden efectivamente representar y simular la deseada realidad proyectual. Es muy dificil, por ejemplo, proponer soluciones si no se conoce la geometra de una estructura, por ejemplo. Para el tcnico, la forma es una ecuacin matemtica; para el arquitecto es adems proporcin, espacio y armona.

3. LA GEOMETRA DE LA ARQUITECTURA Para proyectar se necesita poseer un mtodo grfico de proyeccin: la geometra. Una geometra del diseo arquitectnico, en la que la palabra diseo reviste el doble significado de invencin-proyectacin y de operacin grfica para la construccin de la propia invencin. La geometra es pues el instrumento con el que delimitamos, cortamos, precisamos y formamos el espacio. En palabras de Giancarlo De Carlo: La forma tridimensional de la arquitectura no es el exterior de un slido, sino la envoltura cncava y convexa de un espacio; y a su vez el espacio no es el vaco sino el lugar volumtrico en el que se desenvuelve toda una serie de actividades posibles y variadas. En consecuencia, en el caso de la arquitectura, la invencin se refiere a un sistema espacial organizado que experimentamos a travs de su utilizacin y que percibimos a travs de su forma.

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Al ser la reconocibilidad de las formas una condicin indispensable para que el mensaje arquitectnico sea recibido, las formas sern pues tanto ms perceptibles y reconocibles cuanto ms sencillas y regulares sean. Es ms, los caracteres formales especficos, intrnsecos, de las figuras geomtricas son tan fuertes que generan en el hombre, cualquiera que sea su grado de evolucin, inmediatas e instintivas referencias simblicas. Segn el Diccionario de Oxford la geometra es la ciencia de las propiedades y relaciones de magnitudes en el espacio. Para el arquitecto es una base y un medio disciplinar, un instrumento indispensable en el tratamiento de las formas que entran en la composicin de los espacios. La geometra es una construccin del cerebro humano, si bien la observacin de la naturaleza nos llevara a considerarla como un conjunto de leyes que estn fuera del hombre. Al observar los procesos de formacin de los minerales y el crecimiento de los vegetales y de los animales, la racionalidad humana, ha sido capaz de reconocer ciertas formas sencillas, hallando relaciones particulares entre ellas y el interior de ellas, es decir, construyendo los sistemas de lgica matemtica que se llaman geometras. Lo que el hombre hace no puede hacerlo la naturaleza, si bien el hombre, para hacerlo, se vale de todas las leyes de la naturaleza. Lo que preside la creacin, el deseo de hacerlo, no existe en toda la naturaleza (Louis Kahn).

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Las arquitecturas son creaciones de las que slo el hombre es capaz, del mismo modo que creacin humana es la geometra; pero se trata de dos cosas distintas, aunque haya muchas relaciones recprocas entre ellas. La Geometra y la Arquitectura son creaciones distintas. La Geometra, que es matemticas, se ocupa en efecto del espacio abstracto, mientras que la Arquitectura, que es tcnica y arte, se ocupa del espacio concreto, del espacio en relacin al hombre, a su presencia como observador, a su dimensin como beneficiario de ella.

4. SIMETRA Y ARQUITECTURA La simetra es una idea por medio de la cual, el hombre de todas las pocas ha tratado de comprender y crear la belleza, el orden y la perfeccin (Weyl) Las primeras concepciones sobre simetra arquitectnica identificaban simetra con la proporcin, el equilibrio y la belleza.

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Vitruvio la define como el vnculo armnico de cada uno de los miembros del edificio respecto a la figura global de la obra. Esta concepcin influy notablemente en el Renacimiento: Durero, Miguel Angel, Piero de la Francesca, Paccioli, Leonardo da Vinci... contribuyeron al estudio de la simetra sin desligarla del proporcionado de la obra.

La referencia de Palladio: entiendo que los edificios deben parecer un entero y bien definido cuerpo en el que un miembro convenga al otro y todos los miembros sean necesarios a aquel que se quiere hacer, sintetiza perfectamente esta vinculacin arquitectnica de simetra y proporcin en su aspecto global. Esta bsqueda constante del canon y el orden se reflej no slo en los diseos de plantas y fachadas sino en todos los elementos integrantes del edificio: frisos, columnatas, mosaicos.... Sigue Palladio y se debe advertir que las estancias de la parte derecha respondan y sean iguales a las de la izquierda a fin de que la fbrica sea as en una parte como en la otra. En Viollet le Duc encontramos un nuevo concepto:

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simetra significa hoy, en el lenguaje de los arquitectos, no un equilibrio ni relacin armoniosa de las partes con el todo, sino una similitud de partes opuestas, la reproduccin exacta a la izquierda de un eje, de lo que hay a la derecha.

En el fondo, esta definicin desmarca la teora de la proporcin de la teora de la simetra, reduciendo sta a su aspecto eucldeo puramente geomtrico. En este sentido, la TEORA DE LA SIMETRA es una parte de la geometra que, operando sobre el espacio eucldeo, engloba como transformaciones a todas las isometras, siendo su inters especfico el estudio de los grupos de isometras que dejan invariantes las figuras. 4.1 MOVIMIENTOS EN EL PLANO Consideramos el espacio afn eucldeo R. Un movimiento f: R R es una transformacin afn que se caracterza por conservar la distancia, es decir, D[f(P),f(Q)] = d(P,Q) Para todo P, Q R siendo la distancia eucldea: d(P,Q) =PQ Los movimientos en el plano afn reciben tambin el nombre de isometras; la palabra isometra proviene del griego y significa igual medida. Recordemos que las traslaciones, los giros y las simetras son movimientos en el plano, y cualquier otro movimiento que se realice es composicin de ellos. Descripcin de los movimientos en el plano.

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Todo movimiento en un plano es o bien la identidad o una traslacin o una rotacin (movimientos directos, que no cambian la orientacin del objeto despus de aplicarle el movimiento), o bien una simetra o una simetra deslizante (movimientos indirectos, que cambian la orientacin). El conjunto de los movimientos del plano GM(R) tiene estructura de Grupo con la composicin de aplicaciones. La transformacin identidad es el elemento neutro de este grupo. Es el movimiento que deja invariantes todos los puntos del plano. Id(P) = P Todo movimiento tiene movimiento inverso. El movimiento inverso del giro Gc, es el giro Gc,-, ya que la composicin de ambos nos da la identidad. En el caso de una simetra Sr, es ella misma. Por ltimo, el movimiento inverso de una traslacin T es la traslacin T-. (Gc,- o Gc,) (P) = Id (P) = P (Sr o Sr) (P) = Id (P) = P (T- o T) (P) = Id (P) = P

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Isometras en la organizacin de ciudades

Izda.: Place de la Concorde, Pars Centro: Planta de Sforzinda, Filarete (hacia 1465) Dcha.: Planta de Place Dauphine, Pars (1607)

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En el estudio de los movimientos del plano (o isometras) es interesante considerar un tipo especial de puntos, los puntos fijos. Un punto P es un punto fijo de una isometra f si f(P) = P. En los movimientos descritos anteriormente, los puntos fijos del giro se reducen al centro. En la simetra son fijos los puntos del eje, y la traslacin no deja fijo ningn punto. En funcin de estos puntos fijos podemos clasificar las isometras como sigue: Toda isometra con un punto fijo es una rotacin o una simetra axial. Toda isometra indirecta sin puntos fijos es una simetra con deslizamiento.

Conviene distinguir estos subespacios de puntos fijos de los subespacios afines invariantes. Un subespacio afn M es invariante por un movimiento f si f(M) = M, es decir, el conjunto se transforma globalmente en s mismo, aunque no tenga puntos fijos. Por ejemplo, una traslacin de vector deja invariante cualquier recta paralela a ese vector, pero ningn punto de la recta permanece fijo. 4.2 GRUPO DE SIMETRA DE UNA FIGURA PLANA Entendemos por figura plana cualquier subconjunto de R. Una figura plana F puede ser estudiada estticamente, analizando sus propiedades mtricas, o bien dinmicamente, analizando bajo qu isometras permanece invariante. Observando las letras E y A encontramos inmediatamente su simetra bilateral; en el primer caso el eje de simetra (reflexin) es horizontal y el segundo caso, vertical. La letra N es simtrica por un giro de amplitud

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Consideramos todos los movimientos que transforman la figura en s misma, Gf = {f GM(R) f(F) = F}. Pues bien, Gf con la composicin de aplicaciones tiene estructura de grupo que llamar grupo de simetra de la figura F. Si la figura es completamente irregular, su grupo de simetra consiste solamente en la identidad. Algunos ejemplos: Tomamos una recta r Esta recta es invariable por todas las traslaciones de vector paralelo a r, por todas las simetras con eje ortogonal a r y por todos los giros de 180 con centro en un punto de r. Estos movimientos generan Gr.

Sea un tringulo equiltero F de vrtices ABC y centro de gravedad O.

Gf, grupo de simetra del tringulo, est formado por los siguientes movimientos: Los giros de centro O y amplitud 120 y 240, las simetras de ejes OA, OB y OC y la identidad Id que coincide con el giro de centro O amplitud 360.

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La composicin de esos movimientos da lugar a la siguiente tabla, que muestra su estructura de grupo.

Analizando las siguientes figuras observamos que el nico movimiento que las deja invariante es la identidad.

Estas figuras, bien distintas entre s, tienen el mismo grupo de simetra Gf = Id. Vemos que Gf no caracteriza unvocamente a la figura F.

4.3 GRUPOS DE SIMETRA DE LEONARDO Estos grupos tuvieron gran inters en el Renacimiento para disear plantas de capillas adyacentes a un ncleo central sin romper la simetra central de ese ncleo. Leonardo hizo un estudio sistemtico con vistas a establecer los mtodos ptimos para realizarlo. Un grupo de simetra Lf de una figura plana F se llama grupo puntual o de Leonardo si es un grupo finito y existe un punto P de F que es fijo para todos los elementos de Lf.

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As lo demuestran las siguientes capillas:

Un diseo donde se hace ms evidente la organizacin central son estos estudios de Sebastiao Serlio en los que utiliza polgonos regulares.

Arquitectnicamente, en tiempos recientes, el uso de estos grupos se ha visto enriquecido con una nueva idea: la existencia de un punto central de simetra en la planta permite localizar en el centro todos los servicios comunes e instalaciones de inters general (escaleras, ascensores, conducciones elctricas, de agua, luz, patios...). Esta centralizacin geomtrica aporta un notable ahorro econmico, y sobre todo, un encubrimiento natural de esas instalaciones..

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Desde el punto de vista de la arquitectura generativa, estos grupos de Leonardo tienen el mximo inters. Por ejemplo, una distribucin poligonal con edificios en los vrtices o en las aristas, permite generar en el centro un espacio comn susceptible de contener una plaza o zona ajardinada o un edificio de uso comunitario.

Ejemplos de distribucin poligonal

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Izda.: Planta de Victoria (1849) Dcha.: Place des Bosgues, Pars (1610) Puesto que los grupos de Leonardo se caracterizan por dejar un punto fijo, voy a hacer un estudio de aquellas isometras que cumplen esta propiedad. En primer lugar, si Lf es un grupo con un punto fijo P estamos seguros de que en Lf no hay traslaciones. Entonces Lf slo podr contener giros con centro P y simetras axiales con ejes que pasan por P. Si el giro de centro P y ngulo est en Lf, tambin debern estar todos los giros de centro P y ngulo k. Por ser un grupo finito, llegar un momento para k = n, que n = 2. Entonces valdr 2/n. Si una de las isometras de Lf es un giro, ste ser de ngulo 2/n, y Lf contendr tambin a los n giros que se obtienen por composicin reiterada de G:

A este grupo, que llamaremos Cn, se le llama Grupo cclico generado por G, y diremos que tiene orden n. Partiendo de un motivo y aplicndole las isometras de un grupo cclico Ck, obtenemos una figura cuyo grupo de simetra de Leonardo es precisamente Ck.

-

Si Lf contiene una simetra axial Sr, respcto a una recta r, tal que P pertenece a r, en este grupo debarn estar, al menos, Sr y la identidad. Si otra de las isometras Lf es la simetra Sr con r r y P r, la composicin Sr o Sr = Sro Sr = G estar en el grupo, siendo el doble del ngulo formado por r y r. Por lo anterior, es 2/n para n > 1. Entonces todos los elementos del grupo

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cclico Cn ms todas las n simetras axiales obtenicas al girar la recta r segn los ngulos 2k/n, para k = 1, 2,...n, pertenecen a Lf. A este grupo lo llamaremos Dn, grupo diedral.

Segn Wiyl, se debe a Leonardo el descubrimiento de que los nicos grupos finitos de isometras en el plano son los Cn y los Dn. Los grupos predominantes en arquitectura han sido principalmente D y D2. En las pirmides de Egipto se exhibe el grupo D4, en el Pentgono de Washington el D5... Teorema de Leonardo Los nicos grupos puntuales de simetra son los grupos cclicos Cn o los grupos diedrales Dn, para n = 1, 2,.... siendo:

Para la letra E, el grupo diedral generado por una sola reflexin es: D1 = {Sr1, Id} Para la letra A es el mismo D1, el grupo de simetra de la letra n est generado por un giro de 180 y el de la letra H es D2, el grupo diedral que generan dos reflexiones Sr1 y Sr2.

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Para terminar con este apartado, aqu tenemos un resultado de inters geomtrico: Para todo n 3, el grupo diedral de n es exactamente el grupo de simetra del polgono regular de n lados.

Como curiosidad, he encontrado un grupo de Leonardo, grabado en un azulejo vidriado con una inscripcin que se repite sobre cada uno de los cuatro lados del cuadrado, que reza as: Al, no hay otro Dios que l.

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4.4 GRUPOS DE SIMETRAS DE LOS FRISOS Los frisos, elementos sustanciales de la ornamentacin clsica, constan de un determinado mdulo, figura o motivo que se repite a lo largo de una banda rectangular, dndose siempre una periodicidad sistemtica en la repeticin del mdulo, que es la base del ritmo que el friso comunica. Sorprende que motivos similares aparezcan en lugares y tiempos muy diferentes y distantes.

En el diseo del friso existen dos grados de libertad: la eleccin del motivo y la eleccin de las transformaciones que aplicadas al motivo inicial permiten llenar la banda horizontal que contiene al friso.

Estas transformaciones se limitan a una gama de siete tipos distintos de frisos. Esta limitacin, lejos de frenar las posibilidades creativas, muestra la esencia geomtrica que se esconde tras estos diseos.

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Aparecen a lo largo de toda la historia, siendo notables por su riqueza ornamental los frisos rabes.

En el templo griego es donde el friso adquiere notoriedad constructiva: como banda que limita el acabamiento de los muros o las columnas sobre el arquitrabe, marcando la cornisa. Con ello comienza a desempear el doble papel de elemento arquitectnico y espacio susceptible de ornamentacin.

Actualmente surge el friso de edificaciones enlazadas. Con ello, el clsico motivo geomtrico que se repite a lo largo de una banda, se sustituye por la planta de un edificio, capaz de generar, por traslacin horizontal, edificios en hilera.

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A nivel conceptual, esta idea de frisos lleva directamente al problema de la coordinacin modular.

Pasemos ahora a hacer un estudio geomtrico del friso: Sea una recta r con vector director a. Un grupo de simetra de un friso es cualquier grupo de isometras del plano que deje fija r y que contenga como nicas traslaciones al grupo generado por la traslacin Ta. Las nicas isometras que pueden formar parte de un grupo de friso con recta fija r son las traslaciones del vector n x a, Tna, siendo a el vector director de la recta r, la simetra axial respecto de r, Sr, las simetras axiales con eje m ortogonal a r, Sm, los giros Ga de centro en A r y ngulo y las composiciones de todos los movimientos anteriores. Llamamos L a la simetra con deslizamiento, de eje de simetra r y vector de traslacin en la direccin de r. Teorema Existen slo siete grupos de frisos cuyos generadores son:

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En el teorema anterior he indicado nicamente las isometras que generan el grupo, a partir de las cuales por composicin, obtenemos todas las isometras que aparecen en el friso. Por ejemplo, en el caso F2, existen giros de amplitud con centro en los puntos de la recta r que se indican en la siguiente figura

En el grupo de simetra F12 la composicin de las isometras generadoras dan lugar a simetras de ejes perpendiculares a r tal y como se seala, a continuacin en el esquema

Tambin podemos encontrar una simetra con deslizamiento que se obtiene por composicin de Tn o Sr. Aqu tenemos algunos ejemplos de frisos:

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4.5 GRUPOS DE SIMETRA DEL PLANO El recubrimiento del plano es una cuestin que ha suscitado gran inters en todos los tiempos. Esta inquietud, que ha dado lugar a diseos de gran belleza, ha surgido de problemas tan cotidianos como levantar muros, decorar paredes, pavimentar suelos, estampar tejidos....

En todos los casos se observa que, a partir de una determinada figura, aplicando diversas isometras, se genera un motivo que, por repeticin, es susceptible de cubrir el plano.

El estudio matemtico de este problema se conoce con el nombre de grupo de simetra del plano. Aunque los artistas rabes tenan un conocimiento geomtrico de los distintos grupos de simetra del plano, hasta el siglo XIX no se obtuvieron resultados matemticos importantes. A raiz de la aparicin de los rayos X se observ que estos grupos corresponden a la estructura de los cristales. Tras un estudio sistemtico, el cristalgrafo Fedorov demostr en 1891 que existen nicamente 17. En 1869 Jordan haba descrito 16 de los grupos y en 1874, Sohncke reconoci el que faltaba, olvidando sin embargo

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tres de los que Jordan ya haba indicado. En nuestro siglo, fueron redescubiertos por Poyla y Niggli (1924).

Un grupo G de isometras del plano se dice grupo de simetra del plano si: Existe una figura compacta y conexa (limitada por una curva cerrada) que verifique: R = U g(F), g G, es decir todo el plano queda cubierto por los desplazamientos de la figura F segn las isometras de G. Si g[int(F)] h[int(F)] entonces g(F), g, h G, es decir F y sus imgenes se van acoplando sin solapamientos. El conjunto {Tnu o Tmv, n, m Z} necesariamente est contenido en G, siendo u y v dos vectores linealmente dependientes de R. Estas traslaciones forman una red de paralelogramos en el plano, que llamaremos malla fundamental. Los vrtices de la malla son los vrtices de los paralelogramos que la componen: si P es un vrtice de la malla, todos los puntos de la forma P + un + mv, con n, m Z, tambin lo son. (u y v son los vectores linealmente independientes) A continuacin har una descripcin de los 17 grupos de simetra del plano, de acuerdo con la notacin cristalogrfica internacional. Esta notacin utiliza las letras p, m, g para designar al grupo, en funcin del tipo de isometras que lo componen. As, si en dicho grupo existen giros de amplitud 2/n, el nombre contendr las letras pn. La letra m (del ingls mirror) que aparece en la notacin cristalogrfica, hace referencia a las simetras axiales o reflexiones del grupo. La letra g (glide) nos indica que existen simetras con deslizamiento. Para estudiar el grupo de simetra de un recubrimiento del plano, determinamos en primer lugar, el orden del grupo buscando el mnimo ngulo de rotacin del diseo. Si

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este ngulo es 2/n, el orden del grupo es n (repitiendo n veces el giro obtenemos un giro completo de 360). A partir de 5 de estos grupos, describiremos el resto. Teorema Existen slo 5 grupos de simetra del plano p1, p2, p3, p4 y p6 que contienen isometras que conservan la orientacin y cada uno est generado por las isometras que aparecen entre llaves.

Los giros de los distintos grupos tiene sus centros en vrtices de la malla fundamental. En este teorema he indicado nicamente las isometras que generan el grupo, a partir de las cuales por composicin, obtenemos todas las isometras que aparecen en el mosaico. Si consideramos la posibilidad de que el grupo de simetra contenga tambin reflexiones y simetras con deslizamiento, aparecen 12 nuevos grupos.

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La caracterstica principal de los grupos que se obtienen a partir de p1 es que no contienen rotaciones. Al aadir reflexiones y simetras con deslizamiento, se consiguen los grupos cm ,, pm y pg.

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p1: Las nicas isometras son las traslaciones. cm: Hay reflexiones y adems simetras con deslizamiento cuyos ejes son paralelos y distintos a los de reflexin. pm: Existen reflexiones pero no hay simetras con deslizamiento con ejes diferentes de los ejes de las reflexiones. pg: No existen reflexiones pero si existen simetras con deslizamiento.

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Los grupos de perodo 2, que se obtienen a partir de p2 aadiendo reflexiones y simetras con deslizamiento, son los siguientes p2: No hay reflexiones ni simetras con deslizamiento, slo existen giros de amplitud 180. cmm: hay reflexiones cuyos ejes pasan por centros de rotacin y centros de rotacin por los que no pasa ningn eje de reflexin. pmm: Por todos los centros de rotaciones de 180 pasan ejes de reflexin (hay reflexiones con ejes perpendiculares que se cortan en los centros de rotacin). pmg: Los ejes de reflexin no pasan por los centros de rotacin (todas las reflexiones tienen los ejes de reflexin paralelos y existen simetras con deslizamiento cuyos ejes son perpendiculares a los ejes de las reflexiones).

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pgg: No hay reflexiones, pero s simetras con deslizamiento de ejes perpendiculares entre s.

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Ampliando p3 con simetras y deslizamientos obtenemos los grupos: p3m1, p31m. p3: No hay reflexiones, slo giros de amplitud 120. p3m1: Por todos los centros de las rotaciones de 120 pasan ejes de reflexin. p31m: Existen reflexiones, pero hay centros de rotacin de 120 por los que no pasa ningn eje de reflexin.

La ampliacin de p4 (grupo de perodo 4) con simetras y deslizamientos da lugar a: p4m, p4g p4: No hay reflexiones, slo existen rotaciones de 90. p4m: Hay reflexiones cuyos ejes pasan por los centros de rotacin.

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p4g: Existen reflexiones, pero sus ejes no pasan por los centros de rotacin y existen simetras con deslizamiento cuyos ejes no son paralelos a ningn eje de reflexin.

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Ampliando p6 con reflexiones resulta p6m. p6: No hay reflexiones, y las rotaciones son de 60. p6m: Existen reflexiones.

Teorema Slo existen 17 grupos de simetra del plano,5 de ellos contienen isometras que conservan la orientacin y en los 12 restantes aparecen reflexiones y simetras con deslizamiento. Si se utilizan dos colores, se encuentran 80 tipos de grupos de simetra plana. Aqu tenemos unos ejemplos de simetras.

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Tambin se pueden obtener gran variedad de mosaicos con simples ladrillos. Si se emplean distintos colores y texturas, el nmero de posibilidades aumenta considerablemente.

4.6 TEORA DE MOSAICOS Un mosaico es un recubrimiento especial del plano, que se genera con la repeticin, en dos direcciones distintas, de un mdulo que cumple ciertas caracterasticas de acoplamiento y regularidad. Los mosaicos suelen estar fabricados en piedra, cermica, yeso.... y las piezas que los componen encajan, sin huecos, recubriendo el plano u otra superficie.

Kepler fue el primero, probablemente, en investigar las posibles maneras de llenar el plano con polgonos regulares. Sus trabajos fueron olvidados durante mucho tiempo. Las siguientes figuras aparecen en su libro Harmonoice Mundi publicado en 1619.

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Los mosaicos regulares son los geomtricamente ms sencillos. Estn formados por polgonos convexos iguales y regulares. El plano slo puede rellenarse con polgonos regulares, ya que necesitamos que los ngulos que confluyen en cada vrtice sumen 360. Si eligisemos pentgonos, con un nmero finito de ellos convergiendo en un punto cubriramos el plano, pero con solapamiento.

4.7. ARABESCOS DE LA ALHAMBRA DE GRANADA En la historia de las Matemticas los rabes ocupan un lugar destacado por sus aportaciones en el terreno de la Geometra, la Aritmtica y la Astronoma. Gracias a ellos conocemos la mayora de las obras de los griegos ya que trajeron a Europa los manuscritos traducidos de la Geometra Eucldea. Desde un punto de vista esttico nos han dejado una importante herencia que culmina en los mosaicos de la Alhambra, autnticas joyas geomtricas que hacen de este conjunto artstico el mximo exponente del arte nazar. Este monumento, el ms famoso islmico medieval, es un conjunto de edificios construido como acrpolis y ciudad de la corte de la dinasta nazar que contiene exquisitas estancias y bellos jardines. Sus paredes, con yeseras interrumpidas por hileras de ventanas, tienen zcalos alicatados cermicos e inscripciones ornamentales que hacen de la Alhambra la expresin ms hermosa del arte geomtrico.

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A qu se debe esta abundancia en el arte hispano-musulman? La razn fundamental es de carcter religioso. En primer lugar, porque el Corn prohibe expresamente cualquier representacin icnica de Al. Y por otra parte, la divinidad se identifica con la singularidad. Si analizamos los mosaicos de la Alhambra, el efecto visual que producen es que ningn punto es singular ni ms importante que otros. Este efecto se consigue con la utilizacin de la simetra y el recubrimiento de la superficie de forma regular y armoniosa, obligando a los artesanos musulmanes no slo a recurrir a la Geometra, sino adems a la Geometra Dinmica basada en la composicin de movimientos en el plano. El hecho ms sorprendente de estas composiciones artsticas es que su estructura geomtrica se ajusta a los 17 grupos de simetra del plano; esto revela el profundo conocimiento matemtico de los artistas granadinos, y causa gran asombro teniendo en cuenta que la teora sobre grupos de simetra aparece cuatro siglos ms tarde. Entre las tcnicas que utilizaban para elaborar los motivos de los mosaicos destaca la transformacin de los polgonos regulares, como es el caso de la pajarita nazar y el hueso nazar. La pajarita se obtiene modificando un tringulo equiltero. Cada parte sombreada en negro se recorta y se aade sobre cada uno de los lados del tringulo.

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La transformacin del rombo, nos da este motivo floral.

As obtenemos el hueso nazar.

Otro de los recursos geomtricos empleados para disear los motivos de un mosaico consista en girar un polgono regular en torno a un punto fijo, producindose un solapamiento de figuras que da lugar a un polgono estrellado.

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4.8 MOSAICOS DE ESCHER La Alhambra ha inspirado a muchos artistas a lo largo de los siglos, entre ellos se encuentra el holands M. C. Escher. Su visita a este conjunto le sirvi para introducirse en el arte del recubrimiento de superficies.

Al igual que los nazares, transforma polgonos regulares para obtener los elementos generadores de sus mosaicos. Aqu tenemos algunos ejemplos.

5. PROPORCIN El concepto de proporcin deriva histricamente del proceso de comparacin. Si nos fijamos en los mtodos de medicin de longitudes de las antiguas civilizaciones: el dedo, la palma, el codo, el brazo, el pie, el paso, etc., representaban unidades bsicas, de referencia humana, con las que se establecieron sistemas de medicin consistentes. La comparacin relativa de dichas unidades de medida dio lugar a diferentes sistemas metrolgicos de proporciones. As, en Babilonia: 1 palma = 1/6 codo y en Grecia: 1 palma = 4 dedos

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El carcter antropomrfico de estos sistemas de medicin hizo que la teora de proporciones tuviera un papel relevante no slo en la construccin de edificios notables, sino tambin en la pintura y en la escultura. La teora de la proporcin asumi una particular importancia en el Renacimiento. Segn Vitruvio: la proporcin es la conmensurabilidad de cada uno de los miembros de la obra y de todos los miembros del conjunto de la obra mediante una determinada unidad de medida o mdulo. Su sistema de medicin que se ha denominado armnico, considera como unidad de medida la altura (o el rostro) de un hombre (bien formado). Alberti con su tratado Sobre la pintura de 1435 y Durero con su obra Los cuatro libros de las proporciones humanas contribuyeron enormemente a esta teora de proporciones que culminara con los estudios de Leonardo da Vinci sobre la figura humana. A partir del siglo XVII comenz una lenta transformacin del concepto de proporcin y de su aplicacin a la arquitectura. Tras un perodo de decadencia, que durara hasta el siglo XIX, la tora matemtica acerca de las proporciones dinmicas toma un impulso decisivo gracias a las nuevas tendencias artsticas: Escuela Cubista, Spirit Nouveau y el movimiento Dstijl y el Bauhaus. En la segunda mitad del siglo XX la teora de la proporcin deja paso a la coordinacin modular. 5.1 EL PROBLEMA ARMNICO Al concepto aritmtico de relacin entre dos magnitudes se le denomina razn o proporcin. En el caso de dos longitudes al compararlas con respecto a una unidad, la razn a/b es la medida de la magnitud a si se toma como unidad la magnitud b. En la obra de Euclides, cuya teora de razones y proporciones est basada en Eudoxio, discpulo de Platn, encontramos la siguiente definicin: Razn es la relacin cuantitativa en lo que se refiere a la dimensin entre dos magnitudes homogneas. La proporcin es la igualdad de razones. Esto conduce a la ecuacin general de la proporcin geomtrica de cuatro magnitudes (proporcin discontnua)48

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a c = b d que en el caso en el que b = c se obtiene la proporcin geomtrica continua a b = b d Podemos obtener una proporcin continua partiendo nicamente de dos magnitudes a y b: a+b a = a b Esta ecuacin dice: La razn entre la suma de dos magnitudes consideradas y una de ellas (la mayor), es igual a la razn entre sta y la otra (la menor). Aplicada a las longitudes que dividen un segmento AC en dos partes AB y BC por un punto B, de tal modo que AC AB = AB BC Corresponde a lo que Euclides llama divisin de una longitud en media y extrema razn. Esta razn fue llamada divina proporcin por Fray Lucca Paccioli di Borgo y mostrar ms adelante su influencia en los cnones arquitectnicos. Los griegos, y entre otros Nicmano de Gerasa (siglo I) escriban una proporcin bajo la forma de una progresin. Por ejemplo, en una progresin geomtrica del tipo 1, k, k, k, ....., k... los elementos que definen una proporcin geomtrica continua, es decir, l k = k k Adems, dados tres elementos de una progresin geomtrica a, b, c, el trmino b se denomina media geomtrica y puesto que a b = b c se obtiene que49

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b = ac En el caso de que tres elementos a, b, c, estn en proporcin aritmtica, b se define como la media aritmtica y su valor es a+c b = 2 ya que los trminos de esta proporcin cumplen que b a = c b. En las proporciones armnicas (b a) (c b) = a c la media armnica es 2ac b = a+c Tanto los tres tipos de proporcin (la proporcin aritmtica, la proporcin geomtrica y la proporcin armnica) como las medias proporcionales se atribuyen a Pitgoras. 5.2 LA PROPORCIN DEL RECTNGULO Dada su importancia geomtrica dentro de la arquitectura voy a pasar a estudiar la proporcin del rectngulo. Sea un rectngulo, de lados a y b, se define la proporcin del rectngulo como el cociente: Mximo (a, b) p(a, b) = Mnimo (a, b) Es decir es el cociente entre el lado mayor y el lado menor del rectngulo. Su valor, por tanto, es siempre mayor o igual que 1. Slo en el caso del cuadrado la proporcin es 1.

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Adems esta proporcin as definida no depende del orden de los lados puesto que: Max (a, b) = Max (b, a) Min (a, b) = Min (b, a)

Algunas propiedades de este tipo de proporcin que pueden resultar de inters son las siguientes: Propiedad 1. La proporcin es aditiva en ciertas condiciones. Si a Min (b, c) entonces p(a, b) + p(a, c) = p(a, b + c)

Propiedad 2. La proporcin es una funcin continua. Limn p(an, bn) = p(a, b)

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Propiedad 3. La proporcin es invariante por homotecias y semejanzas. Si > 0 entonces p(a, b) = p(a, b)

Propiedad 4. Dado un rectngulo de lados a, b, sus rectngulos recprocos son dos rectngulos construidos sobre cada uno de sus lados que tienen a su vez como lados a, a/b y b, b/a.

Propiedad 5. La proporcin entre las reas de los cuadrados sobre los lados de un rectngulo es el cuadrado de la proporcin de dicho rectngulo. Es decir si el rectngulo tiene de lados a, b entonces p(a, b) = p(a, b)

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5.2.1. PROPORCIONES CONMENSURABLES O ESTTICAS. Se dice que p(a, b) es conmensurable si es un nmero racional positivo, es decir m p(a, b) = n siendo m y n nmeros positivos. Este tipo de proporcin de origen pitagrico tuvo un papel relevante en los arquitectos del Renacimiento. Un claro ejemplo de cmo las proporciones entre las distintas partes de una obra arquitectnica se pueden expresar por relaciones de nmeros enteros, lo podemos observar en Santa Mara Novella de Florencia, de Palladio, quien dio gran importancia a estas relaciones estticas. Su novedad fundamental consisti en conectar sistemticamente una estancia con otra por medio de proporciones armnicas. Los mtodos de Palladio invertan el modo clsico de proceder. En lugar de subdividir en partes menores las dimensiones globales del edificio segn relaciones por nmeros enteros, determina una serie de proporciones para las estancias: 1:1, 1:2, 2:3, 3:4... y las yuxtapone luego con un procedimiento aditivo.

5.2.2. PROPORCIONES INCONMENSURABLES O DINMICAS Se dice que p(a, b) es inconmensurable si es un nmero irracional positivo.

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El nmero 2 fue el primer nmero irracional que suscit el inters de los antiguos. Este nmero, que representa la diagonal de un cuadrado de lado unitario, tambin aparece incidentalmente en Vitruvio. Es posible hallar 2 en algunas plantas de antgual baslicas como la de San Pedro y Sta. Prxedes en Roma. La proporcin 3 y 5 aparecen en el trazado de la catedral de Pisa.

Los nmeros 2, 3, 5, son tales que los cuadrados construidos sobre s mismos conducen a sucesiones ligadas por proporciones conmensurables. La importancia de estas proporciones irracionales (irracionales linealmente pero racionales en su cuadrado), se intuye en el uso que de ellas hace Vitruvio en delicados problemas de simetra, y se conforma con la frase de Paccioli che la proporzione si molto pi ampia in la quantit continua che in la discreta (Divina Proportione, lib II, cap XX), llamando discreta o esttica a , 2/3, y continua o dinmica a 2, 3, 5. Geomtricamente esto indica que el rectngulo de proporcin p(a, b) no es repeticin de un cuadrado, o bien que sus lados no se pueden medir simultneamente por repeticin de una misma unidad. Si consideramos los rectngulos de proporcin n P(a, b) = n

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Observamos que una de las caractersticas de estos rectngulos es que forman una seria autogenerable.

Adems estos rectngulos son los nicos que se pueden obtener como reunin de n veces el rectngulo recproco, es decir, dividiendo estos rectngulos en n partes por el lado mayor, se obtienen n rectngulos de idntica proporcin al dado.

En los siguientes dibujos se puede apreciar la descomposicin armnica de los rectngulos de proporcin 2, 3, 5.

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Rectngulo 2:

Rectngulo 3:

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Rectngulo 5:

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El octgono regular tambin ha sido muy utilizado en arquitectura en plantas de iglesias, catedrales, torres... especialmente en el arte bizantino, rabe y romnico ya que su simetra est relacionada con el cuadrado y con su diagonal 2.

El octgono estrellado y el pseudo-octgono estrellado (formado por dos cuadrados superpuestos) se encuentran en muchos mosaicos y ornamentaciones de Arabia e India.

6. LA SECCIN AREA Esta proporcin ha mantenido un inters creciente y una constante actualidad con el paso de los siglos. El nombre de Seccin Area se debe a Leonardo da Vinci y se simboliza con la letra griega , inicial de Fidias, escultor griego que la utiliz. Una primera definicin de ella se halla en Euclides: un segmento se divide en media y extrema razn cuando todo el segmento es a su parte mayor como esta es a la menor.

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El monje Luca Paccioli di Borgo, nacido a mediados del siglo XV en Toscana, estudiando en Platn y Vitruvio el papel trascendental de la Seccin area en cuanto a regir las proporciones de los cinco cuerpos platnicos, compone el tratado sobre la Divina Proporcin (ilustrado si recuerdan por Leonardo). En el Vitruvio editado en Bolonia en 1532, se encuentra un comentario muy iluminador de Caporali de Perusa: La analoga de Vitruvio en que se apoya la symetra no es la proporcin geomtrica continua en general, sino la la divina proporcin de Fra Luca y de Durero, es decir, la Seccin area. Palladio y Miguel Angel fueron probablemente los ltimos arquitectos que aplicaron conscientemente a sus composiciones las proporciones nacidas de la Seccin area y los conceptos vitruvianos de simetra. A fines del siglo XVII, el sentido exacto de la palabra simetra es olvidado y reemplazado por acepcin an corriente hoy da: la reparticin de elementos idnticos a una y otra parte de un eje o plano de simetra. Estos elementos son a menudo iguales entre s, lo que da un equilibrio esttico aritmtico, sin ninguna relacin con la simetra dinmica de los antiguos. En general, la arquitectura se ha mecanizado. Aunque las obras de Paccioli sirvieronn de base a los trabajos matemticos del sglo XV, los matemticos tambin olvidaron la armona de estas proporciones, Kepler es el ltimo que menciona la Seccin area, citndola como una de las joyas de la Geometra. A mediados del siglo XIX fue descubierta nuevamente por Zeysing (hacia 1850) y como proporcin plana ideal (bajo la forma del rectngulo de mdulo ), fue actualizada por Fechner unos veinte aos despus. Este rectngulo sugiere al que lo contempla la unidad en la variedad, y ha entrado triunfalmente en la arquitectura a travs de Le Corbusier. A comienzos del siglo XIX los sencillos trazados geomtricos son sustituidos por trazados ms rigurosos basados en la seccin area. En lugar de la simetra bilateral y rotatoria, consideradas demasiado estticas, los artistas prefieren la euritmia (eu = bien, ritmia = ritmo) generada a travs de la composicin equilibrada, pero no simtrica, de elementos.

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Las teoras proporcionales reservan una particular atencin, en el campo de la arquitectura, a las tcnicas de los trazados reguladores desarrollados en la segunda mitad del siglo XIX y principios del XX. Surge el deseo de controlar la composicin con leyes matemticas. Todos los artistas de los movimientos de vanguardia se interesaban por el instrumento geomtrico y matemtico, para investigar la estructura interna de la obra. A mediados del siglo XX la aparicin del Modulor (Pars, 1948) (module = unidad de medida y section dor) de Le Corbusier, marca un punto culminante de la teora de la proporcin. La propuesta de diseo que hace Le Corbusier es el establecimiento de un mdulo arquitectnico que contemple a la vez el dimensionamiento humano y la necesidad internacional de produccin en serie. Propone para la arquitectura un sistema modular susceptible de crear armona arquitectnica. A partir de rectngulos areos por superposicin y divisin, construye la malla fundamental: fijada la unidad d, altura del hombre, considera dos series, la serie roja y la serie azul: Serie roja: d, d, d, d,.... Serie azul: 2d, 2d, 2d, 2d,...

Este sistema proporcional es fuente de rectngulos areos y de cuadrados dobles. Uno de sus mritos es enlazar las series proporcionales y el mundo de la industrializacin de la construccin. A partir de la Convencin sobre La Divina Proporcin en Miln en 1951, disminuye gradualmente el inters por la teora de la proporcin para dejar paso a los problemas de coordinacin modular, para evitar que sean sencillamente la repeticin de un producto.

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6.1 CONSTRUCCIN GEOMTRICA DE LA SECCIN AREA Consideremos un cuadrado de lado la unidad y realicemos la siguiente construccin geomtrica: abatir sobre el lado AB, el segmento que une el punto medio de AB con D obteniendo el punto C.

Como el segmento AB es el lado del cuadrado, la longitud del segmento AC es . 6.2 LA SECCIN AREA EN LOS POLGONOS El tringulo de la Gran Pirmide. Si consideramos la seccin de la Gran Pirmide de Keops, observamos que est formada por dos tringulos que tienen en comn el mayor de los lados que forman el ngulo recto y que sus lados son proporcionales a 1, , . Adems es el nico tringulo rectngulo cuyos lados estn en progresin geomtrica.

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Tringulo Sublime. El tringulo sublime es un tringulo issceles de ngulo desigual 36.

Este tringulo que no es solamente un elemento del pentgono, sino tambin del decgono, verifica que AB = BC ang (ACB) = ang (ABC) = 72 Estas dos relaciones le confieren al carcter de sublime y sus armnicas propiedades. Los siguientes diseos se basan en este tringulo.

El rectngulo areo. El rectngulo de proporcin area se obtiene trazando la perpendicular en el punto C y cerrando el rectngulo que resulta a partir de la figura obtenida en el punto 6.1.

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Si realizamos dos veces esa construccin se obtienen dos rectngulos areos superpuestos, que poseen en comn el cuadrado inicial.

Entre las propiedades de este rectngulo resalta que se le aadimos un cuadrado o se lo sustraemos, queda un rectngulo semejante. Rectngulos armnicos y 5

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La satisfaccin esttica de estos rectngulos la expresa Timerding ... the reassuring impresin given by what remains similar to itself in the diversity of evolution. Una serie de segmentos con medidas proporcionales a sus trminos se puede construir por adicin o sustraccin de segmentos por simples movimientos del comps.

La descomposicin armnica est fundada en el simple trazado de las diagonales y las perpendiculares bajadas sobre stas desde los vrtices de los diferentes rectngulos, obtenidos de forma recurrente a partir de un rectngulo areo inicial. Esta subdivisin determina un cuadrado adems de un rectngulo de proporcin dispuesto perpendicularmente al primero. Esta subdivisin decreciente se puede repetir indefinidamente tomando diagonales sobre el cuadrado mximo incluido en el rectngulo areo o bien tomando las diagonales de rectngulos en l. Los siguientes diseos corresponden a este tipo de descomposicin:

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Otro diseo basado en esta descomposicin armnica se muestra en la siguiente figura:

El Pentagrama. Si inscribimos el pentgono regular en una circunferencia y dibujamos sus diagonales obtenemos el pentagrama mstico. Sugiere un ritmo indefinidamente recurrente y continuo basado en la proporcin por excelencia.

En l, todos los tringulos son issceles. Como los tringulos ACD y CDQ son semejantes, AD QC = y QC = AQ QC QD Resulta: AD AQ = AQ QD

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Luego la diagonal AD queda dividida en extrema y media razn (llamada as antes del siglo XVII), o sea, en Seccin Area. AQ es la seccin area de AD Podemos observar unos esquemas de crecimiento regulados por la seccin area:

6.3 SEMEJANZAS Y ESPIRALES Si dibujamos un rectngulo de base y altura 1, y cortamos un cuadrado unidad, tenemos

1

= 1 1 es decir, el rectngulo que queda tiene tambin sus lados en razn :1. El proceso puede repetirse indefinidamente. Se observa que el rectngulo cuarto tiene la misma orientacin que el inicial. Estas construcciones continuas exigen que las diagonales AD y BE sean tambin diagonales de todos los rectngulos y por tanto, que su interseccin O, sea el punto lmita alrededor del cual se anidan.

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Por un procedimiento anlogo en los tringulos se verifica:

Aqu la semejanza ocurre despus de una rotacin de 108 en lugar de 90. El tringulo FGH es el quinto en esa sucesin (sin contar al propio ABC) y hasta que no llegamos al dcimo tringulo no volvemos a encontrar la misma orientacin que el ABC. La interseccin de cualesquiera dos de las diez rectas posibles que unen un vrtice con el del siguiente tringulo opuesto, AF y BG, intersecan en el punto lmite O, que es comn a todos. En el caso del pentgono, hay varias espirales para elegir:

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Aadiendo imaginacin y creatividad podemos obtener figuras derivadas del pentgono regular que expresen diseos grficos interesantes:

7. EL MODULOR Le Corbusier (1887-1965) establece un mdulo de arquitectura que contempla, al mismo tiempo, las dimensiones humanas y la necesidad de produccin en serie. La frmula ideada por l es EL MODULOR, ensayo sobre una medida armnica a la escala humana aplicable universalmente a la arquitectura y a la mecnica, frmula que responde al intento de equilibrar la obra creada con el ambiente que la rodea. Las palabras, instrucciones, que dirige a su discpulo Hanning en 1943 desvelan su propsito: Tome el hombre con el brazo levantado de 2m20 mts de alto, inscrbalo en dos cuadrados superpuestos de 1,10 mts, mntelo a caballo sobre los cuadrados y el tercer cuadrado que resulte le dar la solucin. El lugar del ngulo recto debe poderle ayudar a colocar el tercer cuadrado. Con este enrejado, regido por el hombre instalado en su interior, estoy seguro de que usted llegar a una serie de medidas que pondrn de acuerdo la estatura humana y la matemtica.

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Un detenido anlisis nos muestra que estas medidas estn en proporcin area lo que da lugar a una malla fundamental construida a partir de rectngulos areos. El enrejado da tres medidas: 113, 70, 43 (en centmetros) que estn en razn area 113 70 = 70 43 y forman parte de una serie de Fibonacci: 43 + 70 = 113 113 + 70 = 183 113 + 70 + 43 = 226 Las tres medidas 113, 183, 226 caracterizan la ocupacin del espacio por un hombre de 183 cm de altura.

El hombre en pie confirma estos tres valores esenciales del Modulor, efectivamente 113 marca el plexo solar, 183 el vrtice de la cabeza y 226 la extremidad de los dedos con el brazo levantado. La medida 113 da la seccin area 70-43 e inicia la sere roja de medidas ideales: 4, 6, 10, 16, 27, 43, 70, 113, 183, 296......

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y la medida 226, doble de 113, da la seccin area 140-86 e inicia la otra serie, la serie azul: 3, 33, 53, 86, 140, 226, 366, 592..... Estas dos series se obtienen al tomar la unidad d = 183, en la expresin general dada en funcin de d, d, d, d,...... para la serie roja, y 2d, 2d, 2d, 2d,....... para la serie azul. Las series de Fibonacci: 6, 5, 11, 16, 27, 43, 70, 113, 183, 296....... 12, 10, 22, 32, 54, 86, 140, 226, 366, 592...... son buenas aproximaciones de las anteriores series definidas en funcin de . La recurrencia de estos valores permiten infinitas combinaciones.

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Las medidas del enrejado son aplicadas por Le Corbusier tanto a la planificacin urbanstica como a los planos de una ciudad de alojamiento: planta, alzado, estancias, carpintera, utensilios, amueblamiento.... es interesante conocer su obra La unidad de la vivienda de Marsella en el Bulevar Michelet, inmueble proyectado para 1600 personas con 26 servicios comunes, de dimensiones 140 m de largo x 24 m de ancho x 56 m de alto. Hasta entonces no se haban aplicado con tal rigor matemtico y armonioso estas proporciones a la vida cotidiana.

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8. BIBLIOGRAFA

Lecciones de lgebra y Geometra, Alsina, C. Y Trillas. Editorial Gustavo Gili, Barcelona, 1984 Retorno a la Geometra, Coxeter, DLS Euler Editores Estructuras fractales y sus aplicaciones, Guzman Ozamiz, M. Y otros. Labor Matemticas El pensamiento matemtico de la antigedad a nuestros das, Kline, M. Barcelona Introduccin a la arquitectura, Benvolo, L. Celeste Ediciones Arabescos y Geometra, Costa, A. CEMAV Nuevas tecnologas en Geometra, Roanes Mancas, E. Editorial Complutense Arquitectura: forma, espacio y orden, Ching, F. Editorial Gustavo Gili El nmero de oro, Ghyka, M. Editorial Poseidn El modulor y El modulor 2, Le Corbusier. Editorial Poseidn El pentgono, Monti, A. Editorial Gustavo Gili Tambin expresar mi agradecimiento a los profesores de la universidad Politcnica de Madrid que me atendieron Ana Casaravilla Gil M ngeles Gil Sanz M Agripina Sanz Garca Ascensin Moratalla de la Hoz

Y especialmente quiero agradecer la colaboracin de Don J. L. Pinilla, director del departamento de Matemtica Aplicada a la edificacin, medio ambiente y urbanismo.

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