Poblacin(miles de millones)

1,52,55,0

9,0

Poblacin(miles de millones)

5,05,05,0

15,0

demogrfico,loblacin contina

100

despus de haberse

ic que alcanzar la dellones. Finalmente, elsar la fecundidad dei mundial continuarademogrfico son ob-

Captulo 3. Las matemticas del crecimiento 127

15

12

9

a 6

Reduccin lenta de la fecundidad ..--""

Fecundidad constante

Reduccin moderada de la fecundidad

Reduccin rpida de la fecundidad

1980 2000 2025 2050 2075 2100

FIGURA 3.20. Cuatro escenarios para la poblacin mundial. La traza de reduccin moderadarepresenta un declive moderado hasta alcanzar la fecundidad de reemplazo en 2035, con unmomentum que lleva a la poblacin a los 10.000 millones a finales del siglo xxi.(Fuente: Haupt and Kane, 1985.)

PROBLEMAS3.1. La poblacin mundial en 1850 se estimaba en 1.000 millones de personas aproxima-

damente. sta alcanz los 4.000 millones en 1975.a) Usar la aproximacin del tiempo de duplicacin (3.5) para estimar la tasa de cre-

cimiento exponencial.b) Usar la ecuacin de crecimiento exponencial (3.6) para hallar la tasa de creci-

miento.

3.2. Las tarifas acadmicas de una gran universidad crecieron desde 1.500 /ao en 1962hasta 20.000 /ao en 1995.a) Qu tasa de crecimiento exponencial ha caracterizado a este periodo de tiempo?b) Si esta tasa fuera a continuar por otros 25 aos (tiempo suficiente para que los

hijos de los actuales estudiantes lleguen al centro) cul sera entonces la tarifa?3.3. Se estima que la poblacin mundial hace 10.000 aos era de 5 millones de personas

aproximadamente. Qu tasa de crecimiento exponencial resulta si la poblacin en1850 era de 1.000 millones? Si hubiera continuado creciendo a esa tasa cul habra

128 Introduccin a la Ingeniera medioambiental

sido la poblacin en el ao 2000?

3.4. Supongamos que expresamos la extensin de tierra cultivable como el producto decuatro factores:

Tierra = (tierra/alimentos) x (alimentos/Kcal) x (Kcal/persona) x (poblacin)

Las tasas de crecimiento anual para cada factor es: (1) la tierra requerida para creceruna unidad de alimento, 1% (debido a la mayor productividad por unidad de tierra);(2) la cantidad de alimento por calora ingerida por una persona, +0,5% (porque conmayor nivel de vida la gente consume ms productos animales, lo que reduce en granmedida la eficiencia en el uso de la tierra); (3) el consumo de caloras per capita,+ 1%; y (4) el tamao de la poblacin, +1,5%. A estas tasas, cunto tiempo tardaraen duplicarse la cantidad de tierra cultivable necesaria? En ese tiempo, cunta tierramenos sera necesaria para producir una unidad de alimento?

3.5. Supongamos que las emisiones de carbono se pueden expresar como el siguiente pro-ducto:

Emisiones de carbono = (energa/persona) x (carbono/energa) x (poblacin)

Si la demanda de energa per capita aumenta el 1,5%, las emisiones de carbono decombustibles fsiles por unidad de energa el 1%, y la poblacin mundial el 1,5% ca-da ao,

a) Cunto tardaremos en emitir el doble de carbono que en la actualidad?b) En ese momento, en cunto se habr incrementado la demanda de energa per

capita?c) En ese momento en cunto se habr incrementado la demanda total de energa?

3.6. Con las condiciones del Problema 3.5, si nuestra tasa inicial de emisiones de carbonoes de 5.000 millones de toneladas de carbono por ao y ya hay 700.000 millones detoneladas en la atmsfera,

a) Cunto tardaremos en emitir una cantidad total igual al contenido actual de laatmsfera?

b) Si la mitad del carbono que emitimos permanece en la atmsfera (la otra mitad esabsorbida por otros agentes de la biosfera), cunto se tardar, quemando com-bustibles fsiles, en duplicar la concentracin de carbono en la atmsfera?

3.7. Consideremos la siguiente subdivisin para las emisiones de carbono.

Energa (kJ/ao) Carbono (kg C)Emisiones de carbono (kg C/ao) = Poblacin x - - x -

Persona Energa (kJ)

Utilizando las estimaciones siguientes para los Estados Unidos y considerando que lastasas de crecimiento permanecern constantes,

imo el producto de

L) x (poblacin)

querida para crecer)r unidad de tierra);f 0,5% (porque conque reduce en grancaloras per cpita,into tiempo tardarampo, cunta tierra

no el siguiente pro-

) x (poblacin)

mes de carbono denundial el 1,5% ca-

ctualidad?.nda de energa per

la total de energa?

siones de carbono00.000 millones de

tenido actual de la

:ra (la otra mitad es, quemando com-a atmsfera?

no.

Carbono (kg C)x

Energa (kJ)

msiderando que las

Captulo 3. Las matemticas del crecimiento 129

Poblacin (kJ/ao)/Persona kg C/kJCantidades a 1990Crecimiento, r (%/aflo)

250 x 1060,6

320 x 1060,5

15 x l(T6-0,3

a) Hallar la tasa de emisin de carbono en 2020.b) Hallar el carbono total emitido en esos 30 aos.c) Hallar la demanda total de energa en 2020.d) Hallar la tasa de emisin per cpita en 2020.

3.8. Las reservas mundiales de cromo son de, aproximadamente, 300 millones de tonela-das, y la tasa actual de extraccin es de 2 millones de toneladas por ao. Si el creci-miento en la demanda de cromo es exponencial a una tasa constante del 2,6% anual,cunto tiempo transcurrir hasta agotar las reservas? Supngase que los recursos to-tales fueran de cinco veces estas reservas; si la tasa de explotacin contina crecien-do al 2,6%, cunto tiempo tardaramos en acabar con ellas?

3.9. Supongamos que la produccin de cromo se ajusta a una curva de Gauss. Si su mxi-mo alcanza un valor seis veces la tasa actual de 2 millones de toneladas/ao, cuntotardaremos en alcanzar ese mximo, si la cantidad total ya extrada fuera de 4.000millones de toneladas (cinco veces las reservas actuales estimadas)? Cunto se tar-dara en consumir el 80% de los recursos totales?

3.10. Supongamos que:a) Todo el clorofluorocarbono (CFC) liberado a la atmsfera, permanece all inde-

finidamente.b) A las tasas actuales de emisin, la concentracin atmosfrica de CFC se dupli-

car en 100 aos (qu indica esto sobre Q/P1).c) Las tasas de liberacin a la atmsfera no son constantes, sino que crecen a razn

de un 2% anual. Cunto tiempo transcurrir hasta que se dupliquen las concen-traciones atmosfricas de CFC?

3.11. El bismuto-210 tiene una vida media de 4,85 das. Si comenzamos con 10 g cuntonos quedar al cabo de 7 das?

3.12. Supongamos que un canal de alcantarillado arrastra una corriente de aguas residualesque se descompone con un coeficiente de reaccin k igual a 0,2/da. Cul ser lavida media de estos desechos? Cunto quedar de ellos despus de 5 das?

3.13. Supongamos que la poblacin humana crece desde 6.300 millones en 2000 hasta unacifra final de 10.300 millones, siguiendo una curva logstica. Asumiendo una tasa decrecimiento del 1,5% en 2000, cundo se alcanzarn los 9.000 millones? Cul se-ra la poblacin en 2050? Comprense estos datos con el escenario de reduccin mo-derada de la fecundidad de la Figura 3.20.

3.14. Imaginemos que se utiliza una curva de crecimiento logstica para hacer un modeloretrospectivo de la poblacin mundial en 1970, cuando haba 3.650 millones de habi-tantes, y la tasa de crecimiento era del 2%. Si se estima una poblacin estacionaria

130 Introduccin a la Ingeniera medioambiental

final de 10.300 millones (la curva moderada de la Figura 3.20), cul sera la pobla-cin proyectada para 1995 (cuando fue realmente de 5.700 millones)? Y para 2025?

3.15. Supongamos que introducimos 100 peces en un estanque y observamos que la pobla-cin se duplica en el primer ao (sin recoleccin), pero despus de unos aos se es-tabiliza, en lo que debemos aceptar como la capacidad de soporte del estanque, en2.000 peces. La poblacin parece haber seguido una curva logstica.a) Qu tamao de poblacin debera mantenerse para obtener un mximo rendi-

miento sostenible de la instalacin y cul sera ste?b) Si la poblacin se mantiene en 1.500 peces, cul sera ahora el mximo rendi-

miento sostenible?

3.16. Cul sera el mximo rendimiento sostenible del estanque en el Ejemplo 3.9 si lapoblacin se mantiene en 3.000 peces?

3.17. Un lago tiene una capacidad de soporte de 10.000 peces. Al actual nivel de pesca, secapturan 2.000 peces al ao de una forma uniformemente distribuida en el tiempo.Se observa que la poblacin se mantiene razonablemente constante en unos 4.000. Sise desea maximizar la produccin sostenible, qu se podra sugerir en trminos detamao de poblacin y rgimen de capturas?

3.18. Supongamos que repoblamos una isla con 250 conejos y observamos que la pobla-cin es de 450 al cabo de un ao (sin caza). Despus de unos cuantos aos, la po-blacin se estabiliza a lo que se estima debe de ser la capacidad de soporte de la isla:3.500 conejos. Admitiendo que el crecimiento ha seguido una curva logstica:a) Queremos comenzar a cazar conejos para la venta con el objetivo de obtener el

mayor nmero posible de ellos al ao. Qu tamao de poblacin debera man-tenerse para conseguir el mximo rendimiento y cul sera ste?

b) Si la poblacin se mantuviera estable en 1.200 conejos cul sera el rendimien-to sostenible?

3.19. El Parque Nacional Devastado tiene una capacidad de soporte de 7.000 ciervos. Alnivel actual de caza deportiva, se cobran 300 piezas al ao durante las dos semanasen que se abre la veda. Despus de la estacin de caza, la poblacin de ciervos essiempre de 2.200 ciervos. Queremos maximizar la captura sostenible de ciervos.a) Cul debera ser el tamao de la poblacin de ciervos en el parque?b) Cul ser el mximo rendimiento sostenible de ciervos del parque?c) Si se prohibiera la caza de modo que no se capturaran ms ciervos, cunto

tiempo transcurrira hasta alcanzar el tamao de poblacin calculada en el apar-tado a), para el mximo rendimiento sostenible?

3.20. Los siguientes datos estadsticos son de la India en 1985: poblacin, 762 millones;tasa bruta de natalidad, 34; tasa bruta de mortalidad, 13; tasa de mortalidad infantil,118 (las tasas se entienden por cada mil habitantes y por ao). Hallar:a) La fraccin de las muertes totales habidas en nios menores de un ao.b) Los fallecimientos evitables, suponiendo que al mejorar la sanidad, alimentacin

e higiene puede restringirse la mortalidad infantil a 10.c) El incremento anual de poblacin de la India.

cul sera la pobla-res)? Y para 2025?vamos que la pobla-de unos aos se es-

>rte del estanque, entica.r un mximo rendi-

el mximo rendi-

el Ejemplo 3.9 si la

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:in, 762 millones;mortalidad infantil,piar:ie un ao.lidad, alimentacin

Captulo 3. Las matemticas del crecimiento 131

3.21.

3.22.

3.23.

3.24.

3.25.

Los siguientes datos estadsticos son de la India en 1995: poblacin, 931 millones;tasa bruta de natalidad, 29; tasa bruta de mortalidad, 9; tasa de mortalidad infantil,74 (las tasas se entienden por cada mil habitantes y por ao). Hallar:a) La fraccin de las muertes totales habidas en nios menores de un ao.b) Los fallecimientos evitables, suponiendo que al mejorar la sanidad, alimentacin

e higiene puede restringirse la mortalidad infantil a 10.c) El incremento anual de poblacin de la India. (Para comparar, en 1985 la pobla-

cin creca a un ritmo de 16 millones de personas, y las muertes evitables erande 2,8 millones anuales.)

Consideremos una distribucin por edad simplificada que divide a una poblacin entres grupos: 0-24, con 3 millones; 25-49, con 2 millones; y 50-74, con 1 milln. Parasimplificar, impondremos las siguientes restricciones: todos los nacimientos ocurrencuando la mujer abandona la categora 0-24, y nadie muere hasta su setenta y cincocumpleaos, da en el que se produce el fallecimiento sin excepcin. Supngase quecomenzamos con un nivel de fecundidad de reemplazo. Dibujar la distribucin poredad en 25, 50 y 75 aos. Cul es el tamao de la poblacin total en cada uno deesos momentos?

Usar la misma distribucin de poblacin inicial dada en el Problema 3.22, con todoslos nacimientos en madres que acaban de cumplir 25 aos. Dibujar la distribucinpor edad correspondiente a 25, 50 y 75 aos bajo las siguientes condiciones: nadiemuere hasta cumplir los 55 aos, da en el que fallece el 20% de las personas; elresto mueren el da en que cumplen los 75. Para los primeros 25 aos, el ndice sin-ttico de fecundidad es de 4 (2 hijos/persona), y de ah en adelante, vale 2.Consideremos la siguiente distribucin por edad simplificada: todos los nacimientosocurren el da en que la madre cumple 20 aos y todas las defunciones el da que lapersona cumple 60. La poblacin total al inicio es de 290.000 (mitad hombres y mi-tad mujeres) y crece a una tasa constante del 3,5% anual (vase Figura P3.24). (Pis-ta: qu dice esto sobre el tiempo de duplicacin?).Dibujar la distribucin por edad en 20 aos. Si el ndice sinttico de fecundidad esun valor constante durante esos 20 aos, cunto vale?

Edad

40-5920-390-19

Nmerode individuos

10.00080.000200.000

FIGURA P3.24.

La siguiente distribucin por edad y datos de supervivencia son de China en 1980.Supngase que los ndices de natalidad (correspondientes a un ndice sinttico de fe-cundidad de 1) son los que se muestran. Estimar la poblacin de China en 1990.

132 Introduccin a la Ingeniera medioambiental

Edad Poblacin (millones) LX+W/LX bx

0-910-1920-2930-3940-4950-5960-6970-7980-89Total:

235224182124956942246

1.001

0,9570,9870,9800,9640,9240,8260,6330,3160

00,250,25000000

3.26. Utilizar una hoja de clculo para hacer una previsin de la poblacin de China dadaen el Problema 3.25, hasta el ao 2030. Cul sera la poblacin en ese ao?

3.27. Utilizar una hoja de clculo para hacer una previsin de la poblacin de China dadaen el Problema 3.25, hasta el ao 2030 pero retrasando los nacimientos en un inter-valo de 10 aos (esto es, blo = O, >2o = 0>25, 30 = 0,25). Comparar la poblacin depico del Problema 3.25 a la obtenida posponiendo los nacimientos 10 aos.

3.28. La tasa de natalidad de China en el Problema 3.25 era para un escenario muy opti-mista de un hijo por familia (ISF = 1). En realidad, el ISF ha sido prximo a 2. Su-poniendo que cada mujer tenga 2 hijos mientras pertenezca al grupo de edad 20-30(y ninguna a otro)a) Repetir la previsin de China para 1990.b) Continuando con este ndice de natalidad, hallar la poblacin en 2000.

REFERENCIASBrock, T. D., 1974, Biology of Microorganisms, 2nd ed., Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ.Bouvier, L. F., and C. J. De Vita, 1991, The Baby Boom-Entering Midlife, Population Reference Bu-reau, Inc., Washington, DC.

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