SadržajUVOD...................................................................................................................................................1

KVADRATNA FUNKCIJA y = ax2............................................................................................................2

KVADRATNA FUNKCIJA y = ax2 + c.......................................................................................................4

KVADRATNA FUNKCIJA y = a(x – x0)2...................................................................................................4

KVADRATNA FUNKCIJA y = a(x – x0)2 + y0.............................................................................................5

KVADRATNA FUNKCIJA y = ax2 + bx + c...............................................................................................5

EKSTREMNE VRIJEDNOSTI I TOK KVADRATNE FUNKCIJE y = ax2 + bx + c............................................6

NULE I ZNAK KVADRATNE FUNKCIJE y = ax2 + bx + c...........................................................................9

ZAKLJUČAK.........................................................................................................................................15

LITERATURA.......................................................................................................................................16

Uvod

Tema mog maturskog rada jeste kvadratna funkcija. Funkcija je preslikavanje koje svakom elementu x skupa A pridružuje tačno jedan element y skupa B. Označavamo ga simbolom x → y (čita se: x se preslikava u y). Kažemo da je y funkcija od x, definisana na A i s vrijednostima u B. Skup A zovemo domenom ili područjem definicije funkcije f, a podskup skupa B zovemo kodomen ili područjem vrijednosti funkicje f.

Graf kvadratne funkcije u koordinatnom sistemu je parabola čija je osa simetrije paralelna sa y-osom. Jednačina kvadratne funkcije sadrži promenljivu x, njen kvadrat i slobodan član, tj. glasi:

y = ax2 + bx + c odnosno

f(x) = ax2 + bx + c.

Na ovu temu o kvadratnim funkcijama bavit ću se njenim različitim oblicima i njihovim svojstvima te njihovom primjenom u rješavanju kvadratnih jednačina.

1

KVADRATNA FUNKCIJA y = ax2

Polinom drugog stepena (kvadratna funkcija) je funkcija f: R → R oblika

f(x) = ax2 + bx + c

gdje su a ≠ 0, b i c realni brojevi.

Broj a naziva se kvadratni ili vodeći koeficijent polinoma f, b linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma f.

Grafik polinoma drugog stepena (kvadratne funkcije) zove se parabola.

Potrebno je proučiti oblik parabole y = ax2 za različite vrijednosti vodećeg koeficijenta a. Najjednostavnija je parabola y = x2. Nju ćemo nacrtati tako što ćemo odrediti dovoljan broj tačaka koje joj pripadaju. Učinimo to tabelarno:

x 0 1 2 3 -1 -2 -3 1/2 -1/2

y = x2 0 1 4 9 1 4 9 1/4 1/4

Nacrtajmo tačke (x,y) u Kartezijev koordinantni sistem i povežimo ih glatkom krivuljom. Dobili smo crtež parabole, odnosno grafik kvadratne funkcije y = x2.

Istknimo neka svojstva parabole y = x2:

Ona leži u gornjem dijelu ravninie, iznad x-ose. Razlog tome je što funkcija y = x2 za x ≠ 0 poprima samo pozitivne vrijednosti, a u nuli vrijednost nula.

U koordinantnom početku parabola dodiruje x-osu; tu kvadratna funkcija y = x2

poprima svoju najmanju vrijednost. Kažemo da je u koordinantnom početku tjeme parabole. U intervalu (-∞,0) funkcija f opada, a u intervalu (0,+∞) ona raste;

Parabola je simetrična s obzirom na y-osu. Uzrok tome je što funkcija f poprima jednake vrijednosti za svaka dva suprotna broja x i –x, jer vrijedi

2

f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x), što znači da je funkcija f(x) = x2 parna.

Grafik kvadratne funkcije y = ax2 možemo dobiti kao i grafik kvadratne funkcije y =x2 tako da odredimo dovoljan broj tačaka koje nu pripadaju. Oblik parabole ovisi o predznaku i vrijednosti vodećeg koeficijenta a.

Razmotrimo dva slučaja.

1 a > 0. U ovom će slučaju parabole imati „otvor prema gore“.

Nacrtajmo uz parabolu y = x2 i parabole y = 2x2, y = 12 x2. U svim slučajevima dobit

ćemo parabole čije je tjeme u koordinantnom početku i koje su i dalje simetrične s obzirom na y-osu.

Primjećujemo da se povećanjem koeficijenta a parabola „sužuje“ prema y-osi, dok se njegovim smanjivanjem ona širi.

2 a < 0. Parabole će sad imati „otvor prema dolje“.

Tjeme parabole y = ax2 je tačka T(0,0).

U tački x0 = 0 funkcija y = ax2 poprima najmanju vrijednost ako je a > 0, najveću vrijednost ako je a < 0.

3

KVADRATNA FUNKCIJA y = ax2 + c Za svaki broj x vrijednost kvadratne funkcije y = ax2 + c razlikuje se za iznos c od

vrijednosti kvadratne funkcije y = ax2. Ako je c > 0, onda je povećana za iznos c, a ako je c< 0 onda je smanjena za iznos |c|.

Grafik kvadratne funkcije y = ax2 + c dobivamo translacijom parabole y = ax2, prema gore za c > 0 i prema dolje za c < 0. Tjeme ove parabole nalazi se u tački (0,c).

Primjer. Nacrtati grafike sljedećih kvadratnih funkcija:

a. y = x2 + 2, y = 2x

2 -1,

b. y = -x2 + 2, y = -2x

2 – 1,

KVADRATNA FUNKCIJA y = a(x – x0)2

Grafik kvadratne funkcije y = a(x – x0)2 dobiva se translacijom grafika y = ax2 za iznos x0; udesno ako je x0 > 0, ulijevo ako je x0 < 0. Tjeme parabole y = a(x –x0)2 je tačaka (x0,0). Zaključujemo da parabole y = a(x – x0)2 imaju tjeme uvijek na x-osi, okrenute su prema gore ako je a > 0 a prema dolje za a < 0.

Primjer. Nacrtati grafik funkcije y = a(x – 2)2 u kojem je a = 1

4

KVADRATNA FUNKCIJA y = a(x – x0)2 + y0

Grafik kvadratne funkcije y = a(x – x0)2 +y0 nacrtat ćemo primjenom dviju uzastopnih translacija. Krećemo od grafika parabole y = ax2, njega translatiramo za broj x0

u smjeru x-ose. Tako dobivamo parabolu y = a(x – x0)2. Translacijom ovog grafika za broj y0 u smjeru y-osi dobit ćemo grafik kvadratne funkcije y = a(x – x0)2 +y0. Naravno da nije potrebno crtati početna dva grafika. Nakon ove dvije translaciji tjeme parabole prešlo je iz koordinantnog početka u tačku (x0,y0).

Zaključujemo da je grafik kvadratne funkcije y = a(x – x0)2 + y0 parabola s tjemenom u tački T(x0,y0), dobivena translacijom parabole y = ax2.

U tački x0 funkcija poprima najmanju vrijednost ako je a > 0, najveću vrijednost ako je a < 0 i te vrijednosti su ymin = y0 i ymax = y0.

KVADRATNA FUNKCIJA y = ax2 + bx + c Za polinom drugog stepena ax2 + bx + c kažemo još da je kvadratni trinom. Da bismo kvadratnu funkciju iz općeg oblika y = ax2 + bx + c preveli u oblik y = a(x – x0)2 + y0 čiji grafik znamo nacrtati, potrebno je kvadratni trinom ax2 + bx + c nadopuniti na potpun kvadrat.

To ćemo uraditi na sljedeći način:

y = ax2 + bx + c = a(x2+ ba

x+ ca )

y = a(x2+ ba

x+ b2

4 a2−b2

4 a2 + ca )

y = a[(x+ b2a )

2

−b2−4 ac4 a2 ]

y = a(x+ b2a )

2

- b2−4 ac4 a

5

Uporedbom sa y = a(x – x0)2 + y0 nalazimo tražene vrijednosti brojeva x0 i y0:

x0 = - b

2 a, y0 = - b

2−4 ac4 a

Ti su brojevi koordinate tjemena parabole y = ax2 + bx + c.

Na ovaj način smo dokazali da grafik kvadratne funkcije y = ax2 + bx + c dobivamo translacijom parabole y = ax2, tako da mu tjeme bude u tački T(x0,y0) pri čemu je:

x0 = - b

2 a , y0 = - b2−4 ac

4 a

Primjer. Nacrtati grafik kvadratne funkcije y = 2x2 – 20x + 48.

Svedimo funkciju na potpuni kvadrat:

y = 2x2 – 20x + 48 = 2(x2 -10x) + 48 =

= 2(x2 – 10x + 25 – 25) + 48 = 2(x – 5)2 – 2.

Odavde čitamo x0 = 5 i y0 = -2.

Te smo vrijednosti mogli izračunati direktno po formulama:

x0 = - b

2 a = -

−202∗2

= 5

y0 = 4 ac−b2

4 a =

4∗2∗48−(−20)2

4∗2 =

384−4008

= -2.

Parabolu crtamo tako da joj je tjeme u tački T(5,-2) a vodeći koeficijent 2.

EKSTREMNE VRIJEDNOSTI I TOK KVADRATNE FUNKCIJE y = ax2 + bx + c

Napišimo kvadratnu funkciju y = ax2 + bx + c u obliku:

6

y = a(x – x0)2 + y0.

Razmotrimo dva slučaja, ovisno o mogućnosti predznaka vodećeg koeficijenta a.

a > 0. U tom slučaju proizvod a(x – x0)2 veći je ili jednak nuli.

Zato vrijedi:

y = a(x – x0)2 + y0 ≥ y0.

S druge strane za vrijednost nepoznanice x = x0 dobivamo:

y = a(x0 – x0)2 + y0 = y0.

Prema tome vidimo da je y0 najmanja vrijednost ili (minimum) kvadratne funkcije.

Tu vrijednost funkcija ima u tački x0.

Za bilo koje dvije tačke x1, x2 iz intervala (-∞, x0) za koje je x1 < x2 vrijedi f(x1) > f(x2). Kažemo da funkcija f opada na intervalu (-∞, x0).

Uzmemo li po volji tačke x1, x2 iz intervala (x0, +∞) za koje je x1 < x2, onda je f(x1) < f(x2). Kažemo da je funkcija f raste na intervalu (x0, +∞).

Time je određen tok kvadratne funkcije

x -∞ x0 +∞y = f (x) -∞ y0 +∞

7

a < 0. Sad slično prethodnom:

y = a(x – x0)2 + y0 ≤ y0,

a jednakost se postiže u tački x = x0.

Zato je y0 najveća vrijednost (maksimum) kvadratne funkcije. Ona se postiže u tački x0.

Tok funkcije prikazujemo ovako:

x -∞ x0 +∞y = f (x) -∞ y0 +∞

Minimum i maksimum jednim imenom zovemo ekstrem funkcije.

Iz svega izloženog zaključujemo:

Kvadratna funkcija y = ax2 + bx + c ima ekstrem u tački

x0 = - b

2 a

Vrijednost ekstrema iznosi:

y0 = 4 ac−b2

4 a .

Ekstrem je minimum ako je a > 0, a maksimum ako je a < 0, tj:

1 Ako je a > 0 funkcija je na intervalu (-∞, x0) opadajuća, a na intervalu (x0, +∞) rastuća;

2 Ako je a < 0 funkcija je na intervalu (-∞, x0) rastuća, a na intervalu (x0, +∞) opadajuća.

Primjer:

1. Odredi ekstrem funkcije y = -x2 – 4x + 3

8

Koeficijent a < 0. To znači da je grafik funkcije parabola s otvorom prema dolje; i ekstrem funkcije bit će maksimum. Određujemo ga svođenjem na potpun kvadrat:

y = -x2 – 4x + 3 = -(x2 + 4x) + 3 =

= -(x2 + 4x + 4 – 4) + 3 = -(x + 2)2 + 7

Primjećujemo da je najviša vrijednost ove funkcije y0 = 7 a postiže se za x0 = -2.

Ove vrijednosti smo mogli izračunati i formulama

x0 = - b

2 a , y0 = - b2−4 ac4 a

2. Broj n rastaviti na dva sabirka tako da zbir kvadrata sabiraka bude što je moguće manji.

Označimo sa x prvi sabirak. Onda je drugi sabirak n – x. Znači moramo pronaći minimum funkcije

f(x) = x2 + (n – x)2 = 2x2 – 2nx + n2.

Koeficijent a > 0. To znači da će funkcija imati najmanju vrijednost y0 u tački s apcisom

x0 = - b

2 a = -

2n4

= n2

.

Dakle, oba sabirka moraju biti jednka, a minimalana vrijednost zbira njihovih kvadrata iznosi:

y0 = f(x0) = f( n2 ) = ( n

2 )2

+ (n−n2 )

2

= n2

2.

3. Odredi ekstrem i tok kvadratne funkcije f(x) = x2 + 4x + 3.

Pošto je a = 1, tj. a > 0, funkcija ima minimum.

Njegova vrijednost je:

y0 = 4 ac−b2

4 a =

12−164

= -1,

a funkcija ga postiže za x0 = - b

2 a = -2.

U intervalu (-∞, -2] funkcija opada od +∞ do -1, a u intervalu [-2, +∞) ona raste od -1 do +∞.

NULE I ZNAK KVADRATNE FUNKCIJE y = ax2 + bx + c

Neka je data kvadratna funckcija y = ax2 + bx + c.

Rješavajući kvadratnu jednačinu ax2 + bx + c = 0, nalazimo one vrijednosti nepoznanince x za koje je f (x) = 0. Zovemo ih nultačkama kvadratne funkcije f.

Definicija:

9

Za broj x0 kažemo da je nula funkcije f ili nultačka ako vrijedi f (x0) = 0.

Na osnovu date definicije izvedimo formulu za određivanje nula kvadratne funkcije.

Krenimo od jednačine:

ax2 + bx +c = 0

Dijeljenjem sa a ≠ 0 jednačina se svodi na normalni oblik:

x2 + ba

x + ca

= 0.

Prebacimo slobodan član na desnu stranu:

x2 + bax = -

ca .

Koeficijent uz nepoznanicu x je ba

, njegova polovina b

2 a. Kvadrat ovog izraza

dodajemo lijevoj i desnoj strani jednačine:

x2 + ba

x + ( b2a )

2

= ( b2a )

2

- ca

.

Nakon sređivanja dobivamo:

(x+ b2a )

2

= b2−4 ac4a2 .

Odavde:

x + b

2 a = ±√b2−4 ac

2 a

Nule kvadratne funkcije y = ax2 + bx + c su brojevi:

x1, 2 = −b ±√b2−4 ac2a

Potkorjenu veličinu b2 – 4ac nazivamo diskriminanta i označavamo sa D.

Diskriminanta je:

D = b2 – 4ac

10

Nule kvadratne funkcije y = ax2 + bx + c napisane pomoću diskriminante, glase:

x1, 2 = −b ±√D

2 a

Postoje tri mogućnosti za vrijednosti diskriminante:

Ako je D > 0 kvadratna funkcija ima dvije realne i različite nule;

Ako je D = 0 kvadratna funkcija ima dvije realne i jednake nule;

Ako je D < 0 kvadratna funkcija ima kompleksno-konjugovane nule.

Posmatrano grafički realne nule funkcije su tačke u kojima grafik funkcije siječe ili dodiruje x-osu.

Primjer:

1. Odrediti nule te skicirati grafik funkcije y = 2x2 + x – 3.

Diskriminanta je D = b2 – 4ac = 25 > 0.

Nule su

x1,2 = −b ±√D

2 a, x1 = -

32

, x2 = 1.

Parabola siječe x-osu u tačkama s apcisom x1 i x2.

2. Odrediti nule i skicirati grafik funkcije y = x2 – 2x + 4.

Diskriminanta je D = 0.

Funkcija ima jednu (dvostruku!) nulu koja iznosi:

x1,2 = −(−2)

2 = 1.

Parabola dira x-osu u tački s apcisom x1.

3. Odrediti nule i skicirati grafik funkcije y = -x2 + x – 1.

Diskriminanta je D = -3 < 0. Funkcija nema realnih nula.

Parabola ne siječe niti dodiruje apcisnu osu.

4. Odrediti nule funkcije y = x2

+ 4x + 3

11

a = 1, b = 4, c = 3

x1,2 = −b ±√b2−4 ac2a

x1 = −4+2

2

x1,2 = −4 ±√16−12

2x1 = -1

x1,2 = −4 ± 2

2x2 =

−4−22

x2 = -3.

Ako kvadratnu funkciju y = ax2 + bx + c svedemo na oblik

y = a[(x+ b2 a )

2

+ 4ac−b2

4a2 ]odnosno:

y = a[(x+ b2a )

2

+ D4a2 ].

Onda je ovaj oblik veoma pogodan za izvođenje zaključaka o znaku i nulama kvadratne funkcije:

1. Ako je diskriminanta D > 0. Tada kvadratna funkcija ima dvije realne i različite nule i samim time siječe osu x u dvjema tačkama apcisa x1 i x2. Ako sa x1 označimo manju nulu tj. x1 < x2.

Nule x1 i x2 dijele osu x na tri intervala:

I1 = (-∞,x1], I2 = [x1,x2], I3 = [x2,+∞).

U intervalima (-∞,x1] i [x2,+∞) funkcija ima znak koeficijenta a.

U intervalu [x1,x2] funkcija ima suprotan znak od znaka koeficijenta a.

Znak funkcije bitno zavisi od znaka koeficijenta a i znaka diskriminante D, a postojanje realnih nula zavisi samo od znaka diskriminante.

12

2. Ako je diskriminanta D = 0 funkcija ima znak koeficijenta a za sve vrijednosti

x ≠ -b

2 a.

Za x = - b

2 a je y = 0 pa je -

b2 a

nula funkcije.

Parabola dira osu x u tački čija je apcisa - b

2 a.

3. Ako je diskriminanta D < 0, tada je - D

4 a2 > 0, a kako je za svaki x ∈ R (x+ b2a )

2

≥0

onda slijedi da funkcija ima znak koeficijenta a za sve vrijednosti x ∈ R i nema nijednu realnu nulu.

Grafik funkcije nema zajedničkih tačaka sa osom x.

U sljedećoj tabeli preko primjera najbolje se mogu prikazati izvedeni zaključci:

a > 0

D > 0

f(x) = x2 – 4x + 3

f(x) > 0 x ∈ (-∞, x1) ∪( x2, +∞)

f(x) < 0 x ∈ (x1, x2)

D = 0

f(x) = x2 – 4x + 4

f(x) > 0 x ≠ x1

f(x) < 0 ∅D < 0

f(x) = x2 – 4x + 5

f(x) > 0 x ∈ R

f(x) < 0 ∅

a < 0

D > 0

f(x) = -x2 – 4x - 3

f(x) > 0 x ∈ (x1, x2)

f(x) < 0 x ∈ (-∞, x1) ∪( x2, +∞)

D = 0

f(x) = -x2 – 4x - 4

f(x) > 0 ∅f(x) < 0 x ≠ x1

D < 0

f(x) = -x2 – 4x - 5

f(x) > 0 ∅f(x) < 0 x ∈ R

13

5. Ispitati znak funkcije y = x2 +4x + 3.

U primjeru 4. odredili smo nule date funkcije i utvrdili da su to brojevi x1 = -3 i x2 = - 1.

Pošto je a = 1, tj. a > 0 to za znak funkcije imamo:

y > 0 za x < -3 i za x > -1

y < 0 za -3 < x < -1.

6. Za koju vrijednost parametra K je funkcija y = (K -2)x2 – 2(K -4)x + K pozitivna za svaki x ∈ R?

Očito je da pripadna parabola mora biti sva iznad ose x, što znači da njen „otvor“ mora biti okrenut prema gore i ona ne smije imati zajedničkih tačaka sa osom x. Obadva uslova bit će ispunjena ako je:

a > 0 i D < 0,

odakle nakon sređivanja, dobivamo sljedeći sistem nejednačina

K – 2 > 0 ˄ -6K + 16 <0.

Iz prve nejednačine slijedi K > 2 a iz druge K > 83

, pa su zajednička rješenja obje

nejednačine svakako K > 83

, te je svako K ∈ ( 83

,+∞) funkcija pozitivna, za svako x ∈ R.

Želimo li parabolu y = ax2 + bx +c nacrtati preciznije postupit ćemo na sljedeći način:

1. Utvrdimo predznak koeficijenta a.

2. Odredimo nule x1, x2.

3. Izračunamo apcisu x0 tjemena, po formuli:

x0 = - b

2 a ili x0 =

x1+x2

2.

Formulama x0 = x1+x2

2 slijedi iz svojstva simetrije grafika. Parabola je simetrična s

obzirom na pravac koji njezinim tjemenom, paralelno s y-osom. Jednačina tog pravca je

x = x0.

To znači da je apcisa tjemena x0 polovište intervala [x1, x2]

4. Izračunamo ordinatu tjemena, po formuli:

y0 = - b2−4 ac

4 aili y0 = f(x0)

5. Pročitamo vrijednost slobodnog člana c koji predstavlja odsječak parabole na y-osi.

6. Na osnovu nacrtanog grafika ispitamo tok funkcije.

7. Nacrtati grafik i ispitati tok funkcije y = x2 + 4x + 3.

1. a = 1; a > 0 parabola će imati „otvor prema gore“.

2. Pošto je D = b2 – 4ac = 4 tj. D > 0, data funkcija ima realne i različite nule, koje odredimo po formuli:

14

x1,2 = −b ±√D

2 a =

−4 ±√42

= -2 ± 1

x1 = -2 + 1 = -1, x2 = -2 – 1 = -3.

3. Apcisa tjemena je:

x0 = - b

2 a = - 42 = -2 ili x0 = x0 =

x1+x2

2 =

−1−32 = -2.

4. Ordinata tjemena je:

y0 = 4 ac−b2

2 a =

12−164

= −44

= -1 ili y0 = f(x0)

y0 = (-2)2 + 4(-2) + 3 = -1.

5. Odsječak parabole na y-osi je c = 3.

6.

Tok funkcije:

x -∞ -3 -2 -1 0 +∞

y +∞ 0 -1 0 3 +∞

ymin = -1 za x = -2

15

Zaključak

Razmatranje svojstava kvadratne funkcije često je na neki način uvod u analizu sve složenijih matematičkih funkcija i uvod u matematičku analizu općenito. Kvadratnu funkciju vrlo često nalazimo u prirodi u različitim fizikalnim sustavima. U tim fizikalnim sistemima brojne veličine ovise o kvadratu drugih veličina te se kvadratna jednadžba često nalazi i u vrlo praktičnoj primjeni. Na primjer, u svakom ubrzanom gibanju prijeđeni put ovisan o kvadratu vremena, električna snaga na otporniku ovisna je o veličini otpora i kvadratu struje koja prolazi kroz njega, električna energija pohranjena u kondenzatoru ovisi o njegovu kapacitetu i kvadratu napona koji postoji na njegovim oblogama, centrifugalna sila razmjerna je kvadratu obodne brzine, pri jednoliko ubrzanom gibanju prijeđeni put je razmjeran kvadratu vremena itd.

16

LiteraturaŠEFIK PRGO

Matematika za 2. razred gimnazije i drugih srednjih školaIP „SVJETLOST“ d. d. Sarajevo, 2004.

RADOMIR ŽIVKOVIĆ

Matematika za II razred srednjeg usmjerenog obrazovanja„SVJETLOST“, OOUR Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Sarajevo, 1981., V

izdanje, adaptirano

http://hr.wikipedia.org/wiki/Kvadratna_funkcija (21.3.2015.)

http://hr.wikipedia.org/wiki/Kvadratna_jednad%C5%BEba (21.3.2015.)

http://symbolicalgebra.etf.bg.ac.rs/mb_dipl/pages/kvadratna.html (21.3.2015.)

https://profesorka.wordpress.com/2011/12/13/podsecanje-na-kvadratne-funkcije/ (21.3.2015.)

17