Begzada Kišić

Kvadratne funkcije su funkcije oblika y=ax2+bx+c, gdje su a,b,c realni brojevi i a≠0

Definisane su za sve realne vrijednosti x Prvo ćemo ispitivati funkcije oblika y=ax2

, b=0 i c=0 Funkcije imaju dvostruku nulu x=0

za a=1 imamo y=x2

za a=2 imamo y=2x2

za a=½ imamo y= ½x2

za a=-1 imamo y=-x2

za a=-2 imamo y=-2x2

za a=- ¼ imamo y=- ¼ x2

zaključak

Grafik funkcije y=ax2 je parabola sa tjemenom u tački T(0,0)

Za a>0 funkcija u tjemenu ima minimum parabola je otvorena prema gore

Za a<0 funkcija u tjemenu ima maksimum parabola je otvorena prema dolje

Funkcija ima znak parametra a Tok funkcije mijenja se u tjemenu

Sada ćemo ispitivati funkcije oblika y=ax2+c , b=0

Vrijednosti funkcije su za c veće ili manje od vrijednosti funkcije y=ax2

za a=1 i c=-5 imamo y=x2-5

za a=1 i c=3 imamo y=x2+3

za a=-1 i c=6 imamo y=-x2+6

za a=-1 i c=-2 imamo y=-x2-2

zaključak

Parametar c pomjera grafik funkcije y=ax2 , prema gore ako je c>0 a prema dolje kad je c<0

Tjeme parabole se pomjera duž ose y i ima koordinate T(0,c)

Za a>0 i c>0 funkcija je uvijek pozitivna Za a<0 i c<0 funkcija je uvijek negativna Funkcija mijenja znak, grafik siječe osu x, kad

su parametri a i c suprotnog predznaka

Posmatrajmo funkcije oblika y=a(x-x0)2, a≠0

Ove funkcije imaju dvostruku nulu x= x0, a to će biti tačka u kojoj grafik dodiruje osu x

Za x ≠ x0 funkcija ima znak parametra a

za a=1 i x0=4 imamo y=(x-4)2

za a=1 i x0=-3 imamo y=(x+3)2

za a=-1 i x0=3 imamo y=-(x-3)2

za a=-1 i x0=-2 imamo funkciju y=-(x+2)2

zaključak

Parametar x0 pomjera parabolu duž ose x

Tjeme parabole se takođe pomjera duž ose x i ima koordinate T(x0,0)

Funkcija ne mijenja znak , on zavisi samo od parametra a

Posmatrajmo funkcije oblika y=a(x-x0)2+y0, a≠0

Parametar y0 će grafik funkcije y=a(x-x0)2, a≠0 pomjerati prema gore kad je y0>0, a prema dole za y0<0

y=(x-3)2,y=(x-3)2+2,y=(x-3)2-3

y=-(x+2)2,y=-(x+2)2+1,y=-(x+2)2-3

zaključak

Tjeme parabole ima koordinate T(x0, y0)

Funkcija nema nula i ne mijenja znak kad su a i y0 istog predznaka

Funkcija ima dvije realne i različite nule kad su a i y0 suprotnog predznaka i u tim tačkama mijenja znak

Neka je data funkcija y=ax2+bx+c, a≠0

Da bismo skicirali njen grafik (parabolu) potrebne su nam karakteristične tačke:

- Nule funkcije tražimo iz uslova y=0 - Tačku u kojoj grafik siječe osu y tražimo iz uslova x=0 - Tjeme možemo odrediti ako funkciju svedemo na oblik y=a(x-x0)2+y0

dakle a4

D2abxay

a4ac4b

2abxay

a4ac4b

2abxay

ac

a4b

a4bxa

bxay

acxa

bxacbxaxy

2

2

2

2

2

2

22

22

2

2

2

a4Dyy i a2

bxx T0T0

Koordinate tjemena možemo odrediti i na drugi način

Kako je parabola simetrična u odnosu na pravu koja prolazi kroz tjeme paralelno osi y apscisa tjemena xT je aritmetička sredina nula tj.

a4Dy

a4ac4b2by

ca2b

a4by

ca2bba2

ba)x(fy

imamo pa ,a2b

2xx

x

T

22

T

22

T

2

TT

21T

Dakle tjeme funkcije y=ax2+bx+c je

Primjer 1. y=2x2-8x+6 a=2, b=-8, c=6 Nule: 2x2-8x+6=0, D=16 x1=1, x2=3 (1,0) i (3,0) Presjek sa osom y: x=0,y=6 (0,6) Tjeme: T(2,-2)

a4

D,a2bT

y=2x2-8x+6

Osobine kvadratne funkcije y=2x2-8x+6

određujemo sa grafika

Funkcija je definisana za sve realne brojeve Grafik je parabola otvorena prema gore,

funkcija ima minimum ymin=yT=-2 Funkcija opada za xє(-∞,2), a raste za xє(2,+∞) Funkcija ima realne i različite nule i u njima

mijenja znak: y>0 za xє(-∞,1) i xє(3,+∞) y<0 za xє(1,3) Vrijednosti funkcije (kodomen) su yє[-2, ∞)

Zadaci po grupama

GRUPA I

Odredi karakteristične tačke funkcije y=2x2-4x-6, a zatim skiciraj njen grafik i odredi njene osobine.

GRUPA II

Odredi karakteristične tačke funkcije y=-x2+4x-3, a zatim skiciraj njen grafik i

odredi njene osobine.

GRUPA III

Odredi karakteristične tačke funkcije y=-3x2+6x-5, a zatim skiciraj njen grafik i

odredi njene osobine.

GRUPA IV

Odredi karakteristične tačke funkcije y=x2-6x+9, a zatim skiciraj njen grafik i odredi njene osobine.

GRUPA V

Odredi karakteristične tačke funkcije y=-2x2+6x, a zatim skiciraj njen grafik i

odredi njene osobine.

GRUPA VI

Odredi karakteristične tačke funkcije y=x2+4x+5, a zatim skiciraj njen grafik i

odredi njene osobine.

Rješenje grupe I

Rješenje grupe II

Rješenje grupe III

Rješenje grupe IV

Rješenje grupe V

Rješenje grupe VI

Osobine kvadratne funkcije y=ax2+bx+c, a≠0

a>o funkcija ima minumum

ymin=yT

f-ja opada za x<xT, a raste za x>xT

za D>0 funkcija mijenja znak u nulama

y>0 za xє(-∞, x1 )υ(x2,+∞) y<0 za xє(x1,x2) za D=0 funkcija ima

dvostruku nulu za D<0 y>0 za svako x

a<0 funkcija ima maksimum ymax=yT

f-ja raste za x<xT, a opada za x>xT

za D>0 funkcija mijenja znak u nulama

y<0 za xє(-∞, x1 )υ(x2,+∞) y>0 za xє(x1,x2) za D=0 funkcija ima

dvostruku nulu za D<0 y<0 za svako x

HVALA NA PAŽNJI!