poštovani...

Nastavna cjelina: 2. KVADRATNA JEDNADŽBA Razred: II

Autor: E. M . Fotografije: E. M .

Poštovani učenici!

U ovoj nastavnoj cjelini trebate naučiti:

prepoznati i rješavati kvadratne jednadžbe

prepoznati i rješavati jednadžbe koje se svode na kvadratne

jednadžbe

znati vezu među rješenjima kvadratne jednadžbe

primjenjivati Viètove formule (poučak)

rješavati sustave kvadratne i linearne jednadžbe



Opća kvadratna jednadžba

a, b, c - koeficijenti kvadratne jednadžbe

a - vodeći koeficijent mora biti različit od nule

b - koeficijent linearnog člana

c - slobodni član

brojevi realnicib0,a

Rješenje kvadratne jednadžbe su:

realni brojevi

ili

kompleksni brojevi

Kvadratne jednadžbe posebnog oblika

Posebne oblike kvadratnih jednadžbi dobivamo ako je neki od

koeficijenata b ili c jednak nuli.

Rješavamo na jednostavni način.

1. Posebna kvadratna jednadžba kada je koeficijent linearnog člana

b jednak nuli

0c0,aR,ca,0,b



a

cx

/

a

c2x

a:/c2xa

predznaka caimaginarna akonjugiran kompleksno dva istih

suprotnih

i su ako rješenja

ki2

x,ki1

xbrojevi imaginarni su rješenja 0, k je Ako

k2

xik1

x brojevirealnisurješenja 0, k je Ako

kx

a

ckx

jedaUzmimo

predznakacarealna dva i su ako rješenja

jegdje0kk 2x



1. Riješi jednadžbe:

1)

2)



3)

3)



2. Posebna kvadratna jednadžba kada je slobodni član c jednak nuli

0c0,aR,ba, ,0b

brojrealni01

x

0)bax(x

0 x

brojrealni

a

b-

2x

a:/b-2

ax

0b2

xa

Jednadžba uvijek ima dva realna različita rješenja, a jedno od rješenja

je uvijek jednako nuli.



2. Riješi jednadžbe:

1)

2)



3)

4)



5)

3. Posebna kvadratna jednadžba kada je koeficijent linearnog člana

b i slobodni član c jednak nuli

0ci0b

2x

1x

02x

/02x

a:/02xa

r ješenja jednaka dva-r ješenjedvostruko012

x



Svođenje na potpuni kvadrat

Jedan od načina rješavanja opće kvadratne jednadžbe je

svođenje na POTPUN KVADRAT odnosno nadopuna na potpun

kvadrat.

Nastojimo opću kvadratnu jednadžbu svesti na jedan od dvaju

posebnih oblika.

1) Riješite jednadžbu nadopunom na potpun kvadrat

Izraz na lijevoj strani jednadžbe nadopunjavamo na potpun kvadrat.

Postupak - nadopuna na potpun kvadrat

Uočimo da na lijevoj strani zadane jednadžbe nedostaje + 4 da bi

bio potpun kvadrat pošto ga nema moramo oduzeti 4 od razlike kvadrata

da bi lijeva strana odgovara zadanoj jednadžbe.



Kontrola:



2.

Izraz na lijevoj strani jednadžbe nadopunjavamo na potpun kvadrat.

Uočimo da na lijevoj strani zadane jednadžbe nedostaje + 9 da bi

bio potpun kvadrat pošto ga nema moramo oduzeti 9 od razlike kvadrata

da bi lijeva strana odgovarala zadanoj jednadžbi.

Provedite kontrolu!



3. Riješite jednadžbu nadopunom na potpun kvadrat i provedite

kontrolu

R:


kontrolu

R:


kontrolu

R:

6. Nadopunimo na potpun kvadrat zadan izraz:

izraz nadopunjeno na piše se kao



Da li je moguće vizualizirati nadopunu na potpun kvadrat?

Da.

Vizualizacija svođenje na potpuni kvadrat kvadratne jednadžbe

b

2 2

x + b

2 2

- b

2 2

x

=

x

x

b

2

b

2

=

+

x

x

b

2

b

2

+

x

x

x

b

x2 + bxx2 + bx

Rješenje opće kvadratne jednadžbe

Opća kvadratna jednadžba

Rješenje opće kvadratne jednadžbe



1. Koristeći se formulom za rješavanje kvadratne jednadžbe riješi

slijedeće jednadžbe:

1)



2) 16

3)



Više primjera različitih težih zadataka možete naći u ispitnim

zadacima slijedeće sedmice

Normirani oblik kvadratne jednadžbe

Normirani oblik kvadratne jednadžbe je kada je koeficijent

kvadratnog člana jednak

Kako dobijemo normirani oblik kvadratne jednadžbe?

Svaku kvadratnu jednadžbu normiramo tako da podijelimo sa a da bi

dobili .

Prilagođena formula za rješavanje kvadratne jednadžbe:



Diskriminanta



Primjer:

Vièteove formule

opća kvadratna jednadžba

Zbroj rješenja opće kvadratne jednadžbe iznosi



Umnožak rješenja opće kvadratne jednadžbe iznosi

Izravna primjena Vièteovih formula

Kada su zadana rješenja kvadratne jednadžbe, a treba se

napisati kvadratnu jednadžbu

Faktorizacija kvadratnog trinoma

Izvod:



Jednadžbe koje se svode na kvadratne

Sustavi jednadžbi

(linearne i kvadratne jednadžbe)

Jednadžba drugog stupnja kvadratna jednadžba s dvije nepoznanice ima

oblik:

A, B, C, D, E, F su koeficijenti jednadžbe.

Simetrični sustavi jednadžbi

Simetrični sustavi jednadžbi nazivaju se sustavi kada u nekoj

algebarskoj jednadžbi zamjenom nepoznanica dobijemo istu jednadžbu.

Općenito: Rješenje simetričnog sustava jednadžbi je uređen par brojeva

(u, v) i njegov simetričan par (v, u).

Pri rješavanju simetričnih sustavi jednadžbi mogu se primijeniti

Vièteove formule1

1



Postupak:

iz linearne jednadžbe izražavamo jednu od nepoznanica

provodimo zamjenu te iste nepoznanice u drugoj jednadžbi

dobivamo kvadratnu jednadžbu samo s jednom nepoznanicom i

izračunavamo tu nepoznanicu

izračunatu nepoznanicu uvrštavamo u prvu nepoznanicu čiji smo

izraz dobili iz linearne jednadžbe

dobivena rješenja napišemo kao uređeni parovi (x1, y1); (x2, y2);

(x3, y3)…

1. Riješi sustav jednadžbi:

Iz linearne jednadžbe izražavamo jednu od nepoznanica

Uvrštavamo y u prvu jednadžbu:



Izračunatu nepoznanicu uvrštavamo u prvu nepoznanicu čiji smo izraz

dobili iz linearne jednadžbe odnosno uvrštavamo t1 i t2 u .

Uvrštavamo u



Rješenja jednadžbe su uređeni parovi:

(-1, -2); (1, 2); (-2, -1); (2,1)


Samostalno!

R: uređeni parovi:


Prvu kvadratnu jednadžbu zapisujemo u obliku:

Drugu linearnu jednadžbu zapisujemo u obliku:

Zamjenjujemo , a i sustav jednadžbi poprima oblik:



Iz prve jednadžbe:

uvrstimo u drugu:

uvrstimo u

za :



za :

uvrštavamo u



Napomena: isto tako samostalno izračunajte

uvrštavamo u

Napomena: isto tako samostalno izračunajte za y2

Rješenja su uređeni parovi:



Bikvadratna jednadžba

Jednadžbe koje nisu kvadratne ali nas podsjećaju na njih i pri računanju

svodimo ih na kvadratne.

Zamjenjujemo:

Jednadžba ima četiri rješenja:

a) ako je i

b) ako je i

c) ako je i

Iracionalna jednadžba

U iracionalnim jednadžbama nepoznanica se pojavljuje u izrazu pod

korijenom.

Za rješavanje upotrebljavamo metodu koja se zasniva na definiciji

korijena - .

1. Riješi slijedeću iracionalnu jednadžbu



Kako odrediti uvjeta za koje je jednadžba određena?

Po definiciji drugog korijena

Rješenja zadovoljavaju uvjet uvjeta za koje je jednadžba određena.



Provedite samostalno kontrolu!

2. Riješi iracionalnu jednadžbu:

Uvjeti za koje je jednadžba određena:

Rješenja zadovoljavaju uvjet uvjeta za koje je jednadžba određena.

Provedite samostalno kontrolu!



3. Riješi iracionalnu jednadžbu:

R:

Postupak rada potražite u ispitnim zadacima koji će biti napisani oko

20.10.2013

poštovani...

Documents