kuvvet metodu

YAPI STATİĞİ II

(Hiperstatik Sistemler)

Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN

Yapı Sistemleri:

•İzostatik (Statikçe Belirli) Sistemler :

Bir sistemin tüm kesit tesirlerini (iç kuvvetlerini) ve mesnet reaksiyonlarını denge denklemleri yardımıyla hesaplayabiliyorsak sistem izostatiktir.

Yapı Sistemleri:İzostatik (Statikçe Belirli) Sistemler :

Yapı Sistemleri:

•Hiperstatik (Statikçe Belirsiz) Sistemler :

Bir sistemin tüm kesit tesirlerini (iç kuvvetlerini) ve mesnet reaksiyonları denge denklemleri yardımıyla hesaplanamıyorsa sistem hiperstatiktir.

Yapı Sistemleri:

•Hiperstatik Sistemlerin Çözümü için :

* Denge Denklemleri

* Geometrik uygunluk şartları

* Bünye Denklemleri (Gerilmeler ve Deformasyonlar arasındaki ilişkiler)

Hiperstatik Sistemlerde Kesit tesiri oluşturan etkiler

* Dış yükler

* Mesnet çökmesi

* Sıcaklık değişimi

Hiperstatik Sistemlerde Çözüm Yöntemleri

Kuvvet Metodu

Deplasman Metodu

Deplasman Metodları

Açı Metodu

Cross (Moment Dağıtma) Metodu

Rijitlik Matrisi Metodu

Hiperstatik Sistemler :

Dolu gövdeli sistemlerin hiperstatiklik derecesi iki gruba ayrılır.

1) Dıştan hiperstatiklik : Yapıda hesaplanamayan mesnet

reaksiyonu sayısına eşittir.

Mesnet reaksiyon sayısı (r) ise

r-3 (dıştan hiperstatiklik derecesi)

2 t/m

15 m 12 m

8 t

12 m

I I

I

8 m

5 t/m

12 m

20 t

15 m

I I

I

18 m

I

2) İçten Hiperstatiklik : Yapıda hesaplanamayan iç kuvvet sayısıile ilglidir.

Dolu gövdeli sistemlerde

n = 3*m + r - 3j denklemiyle bulunur.

n: Hiperstatiklik derecesi

m: Eleman Sayısı

r : Mesnet reaksiyonları sayısı

j : Düğüm noktası sayısı

Sistem dıştan izostatik ancak içten hiperstatiktir. Yani sistemin tüm mesnet reaksiyonları hesaplanabilir ancak tüm çubuk kuvvetleri bulunamaz.

Düğüm noktası sayısı (j): 6

Mesnet reaksiyonu sayısı (r) : 3

Eleman sayısı (m): 6

Hiperstatiklik derecesi

n : 3*m+r-3j

n : 3*6 + 3 – 3*6 = 30 hiperstatik

Düğüm noktası sayısı (j) : 9

Mesnet reaksiyonu sayısı (r) : 6

Eleman sayısı (m) : 10

Hiperstatiklik derecesi

n : 3*m+r-3j

n : 3*10 + 6 – 3*9 = 90 hiperstatik

Sistem 90 hiperstatiktir. Mesnet reaksiyonları incelendiğinde

sistemin Dıştan 30 hiperstatik olduğu görülür. Yani sistem

İçten 60 hiperstatiktir

Mafsal olması durumunda

Eğer mafsal eleman üzerinde ise

hiperstatiklik derecesi 1 azaltılır.

Eğer mafsal düğümde ise düğümde birleşen eleman sayısının 1 eksiği kadar hiperstatiklik derecesi azaltılır.

Düğümde 3 eleman birleşiyor

3-1=2 derece azaltılır.

KUVVET METODU

Düzlem Hiperstatik sistemlerin sabit yükler,sıcaklık

değişimi ve mesnet çökmesi gibi dış etkilerlerden dolayı oluşan

kesit tesirleri ve yer değiştirmelerini bulmaya yarayan virtuel iş

ilkesine dayalı çözüm yöntemidir.

Kuvvet metodu ile çözüm yapılırken yapılacak ilk iş

izostatik esas sistemin seçilmesidir.

İzostatik esas sistem, hiperstatik sistemde hiperstatiklik

derecesi kadar bilinmeyenin belirlenmesi ile elde edilir. Hiperstatik

sistemde hangi bilinmeyenlerin hesaplanacağı belirlenerek sistem

izostatik hale getirilir.

İzostatik Esas Sistem: Hiperstatik sistem izostatik hale getirilir. Bunu

yaparken ya sisteme mafsal yerleştirilir yada mesnetlerdeki

serbestlikler arttırılır. İzostatik esas sitem seçilirken hangi sistemi daha

kolay çözebileceğimizi düşünüyorsak o sistemi seçebiliriz. Bir

hiperstatik sistemin pek çok izostatik esas sistemi vardır.

Mafsal eklenmesi durumunda mafsalın her iki yanına

bilinmeyen olarak moment yazılır.

Mesnetlenme durumunun değiştirilmesi durumunda ise hangi

yönde serbestlik arttırılırsa o yönde yönde bilinmeyen kuvvet veya

moment yazılır.

X1X1

1. Dereceden hiperstatik sistem

İzostatik Esas Sistem

X1

İzostatik esas sistem belirlenirken mesnetlenme durumu izostatik hale getirilir bu arada

serbest bırakılan her mesnet reaksiyonu için bir bilinmeyen yazılır veya sisteme mafsal

yerleştirilerek mafsalın olduğu yerde bilinmeyen olarak moment yazılır.

İzostatik esas sistem belirlenirken aynı zamanda hesap

edilecek bilinmeyenlerde seçilmiş olmaktadır. Bu yüzden izostatik esas

sistem belirlenirken hesaplarda kolaylık sağlayacak sistemlerin

seçilmesine çalışılır. Yani izostatik esas sistem ve bilinmeyenlerin

birim yüklemeleri için yapılacak hesapların daha kolay yapılabileceği

sistemler izostatik sistem olarak seçilmeye çalışılır.

Mafsal eklenmesi durumunda mafsalın her iki yanına bilinmeyen olarak moment yazılır.

X2

X1

X2

X1

Mesnetlenme durumunun değiştirilmesi durumunda ise hangi yönde serbestlik arttırılırsa o yönde yönde bilinmeyen kuvvet veya moment yazılır.

X1

X22. Dereceden hiperstatik sistem

İzostatik esas sistem

2. Dereceden hiperstatik sistem için izostatik esas sistemler

X2

X1

X1X2

Kuvvet Yöntemine göre Hiperstatik sistemdeki etkiler,

İzostatik esas sistemdeki etkiler ile X1, X2,……,Xn bilinmeyen

kuvvetlerin oluşturduğu etkilerin uygun şekilde birleştirilmesiyle

bulunur. X1, X2,……,Xn bilinmeyenlerinin bulunması hiperstatik

sistemdeki etkilerin bulunması için şarttır. Bilinmeyen sayısı

sistemin hiperstatiklik derecesi kadardır.

Kuvvet Yöntemine göre Hiperstatik sistemdeki etkiler hesaplanırken, hiperstatiklik derecesi belirlenip izostatik esas sistem seçildikten sonra sistem uygunluk denklemi yazılır.

nnnnnnntnwn

nntw

nntw

nntw

XXX

XXX

XXX

XXX

δδδδδδδ

δδδδδδδ

δδδδδδδ

δδδδδδδ

++++++=

++++++=

++++++=

++++++=

.............

.............

............

.............

22110

323213130333

222212120222

121211110111

M

Uygunluk denklemi hiperstatiklik derecesi kadar yazılır.

Sistem 1 dereceden hiperstatik ise denklem 1 tanedir

11110111 Xtw δδδδδ +++=

Sistem 2. dereceden hiperstatik ise denklem 2 tane olacaktır

22212120222

21211110111

XX

XX

tw

tw

δδδδδδ

δδδδδδ

++++=

++++=


33323213130333

32322212120222

31321211110111

XXX

XXX

XXX

tw

tw

tw

δδδδδδδ

δδδδδδδ

δδδδδδδ

+++++=

+++++=

+++++=

Sistemde sıcaklı değişimi ve mesnet çökmesi yok ise sadece dışyük etkisi var ise denklem şu hale gelir:

11110111 Xtw δδδδδ +++=


22212120222

21211110111

XX

XX

tw

tw

δδδδδδ

δδδδδδ

++++=

++++=


33323213130333

32322212120222

31321211110111

XXX

XXX

XXX

tw

tw

tw

δδδδδδδ

δδδδδδδ

δδδδδδδ

+++++=

+++++=

+++++=

Uygunluk denkleminde görülen deplasman ifadelerinin altındaki ilk indis yeri, ikinci indis ise sebebi göstermektedir.

in

i

i

i

it

iw

i

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

M

2

1

0

i yönündeki deplasman

i yönünde mesnet çökmesinden dolayı oluşan deplasman değeri

i yönünde sıcaklık değişiminden dolayı oluşan deplasman değeri

i yönünde dış yükten oluşan deplasman değeri

i yönünde 1 nolu birim yüklemeden dolayı oluşan deplasman değeri

i yönünde 2 nolu birim yüklemeden dolayı oluşan deplasman değeri

i yönünde n nolu birim yüklemeden dolayı oluşan deplasman değeri.

X1


X2

2. dereceden hiperstatik sistem

P1

P2

Kuvvet metodu ile çözüm yapılırken hiperstatiklik

derecesi belirlenip izostatik esas sistem belirlendikten sonra

uygunluk denklemleri yazılır. Bundan sonra uygunluk

denklemindeki değerleri bulmak sırasıyla yüklemeler yapılır.

X1

X2

Sistem 2. dereceden hiperstatik ise

denklem 2 tane olacaktır

222121202

212111101

XX

XX

δδδδ

δδδδ

++=

++=

P1

P2

10δ20δ X1

11δ

21δ

X0 Yüklemesi

İzostatik esas sisteme dış yük yüklenerek sistemde oluşan M0 N0

T0 değişim diyagramları çizilir.

P1

P2

• X0 Yüklemesi

İzostatik esas sistemde sadece dış yük etkisinde M, N, T kesit tesirleri diyagramları çizilir.

M0 : İzostatik esas sistemde dış etkilerden dolayı oluşan moment

N0 : İzostatik esas sistemde dış etkilerden dolayı oluşan normal kuvvet

To : İzostatik esas sistemde dış etkilerden dolayı oluşan kesme kuvveti.

•Birim Yüklemeler

İzostatik esas sistemde, sırasıyla seçilen her bir

bilinmeyen için birim yüklemeler yapılır.

X1=1 , X2 =1 , X3 =1 ,………., X n =1

Bu durumda her bir birim yükleme için sistem kesit

tesirleri (M, N, T) çizilir. Bu kesit tesirleri hesaplanırken sistemde

dış yük yoktur.

X1

X1 Yüklemesi

İzostatik esas sistemde sadece 1 nolu bilinmeyen yönünde birim yükleme yapılması durumu. Bu durumda izostatik esas sistemde oluşacak M1 : İzostatik esas sistemde 1 nolu birim yüklemeden etkilerden dolayı oluşan moment N1 : İzostatik esas sistemde 1 nolu birim yüklemeden dolayıoluşan normal kuvvetT1 : İzostatik esas sistemde 1 nolu birim yüklemeden dolayıoluşan kesme kuvveti.


X2

X2 Yüklemesi

İzostatik esas sistemde sadece 2 nolu bilinmeyen yönünde birim yükleme yapılması durumu. Bu durumda izostatik esas sistemde oluşacak M2 : İzostatik esas sistemde 2 nolu birim yüklemeden etkilerden dolayı oluşan moment N2 : İzostatik esas sistemde 2 nolu birim yüklemeden dolayıoluşan normal kuvvetT2 : İzostatik esas sistemde 2 nolu birim yüklemeden dolayıoluşan kesme kuvveti.

Uygunluk denklemindeki deplasman ifadelerinin bulunması için

mukavemette görülen virtuel iş teoremi kullanılır. Dolu gövdeli

sistemler için bu ifade şu şekildedir:

FG

dsTT

EF

dsNN

EI

dsMM jijijiij

′++= ∫∫∫δ

Bu denklemde görülen

EI= Eğilme Rijitliği

EF= Uzama Rijitliği

GF’= Kayma Rijitliği , ifadeleridir.

Deplasman ifadelerinin simetri özelliği vardır.

FG

dsTT

EF

dsNN

EI

dsMM

′++= ∫∫∫ 21212112δ

jiij δδ =

Mesela 12 deplasmanı ile 21 deplasmanı birbirine eşittir ve şu

denklemle bulunur:

2112δδ =

Bu deplasmanların bulunması sırasında genellikle N ve T kesme

ifadeleri ihmal edilir. Moment ifadeleri de matematiksel olarak

yazılır ve uzunluk boyunca integral alınır.

X1

X2

222121202

212111101

XX

XX

δδδδ

δδδδ

++=

++=

Deplasman ifadeleri hesaplandıktan sonra aşağıdaki uygunluk denkleminde yerine konarak denklem takımı çözülür ve bilinmeyenler olarak seçilen X1 ve X2reaksiyon kuvvetleri bulunur.

X1

X2

X1

X2

P1

P2

Bundan sonra hesaplanan X değerleri kullanılarak hiperstatik sistemde oluşacak kesit tesirleri bulunabilir. Bunun için hesaplanan X değerleri dış yükler ile sisteme etki ettirilir.

Yada süperpozisyon denklemleri yazılarak daha önce çizilen M,N,T diyagramları kullanılarak hiperstatik sistemin kesit tesirleri hesaplanır.

Sistemde herhangi bir noktadaki kesit tesirlerini hesaplamak için

M=M0+ M1 X1 + M2 X2 + M3 X3 +……..+Mn Xn

T = T0 + T1 X1 + T2 X2 + ………..+Tn Xn

N = N0 + N1 X1 + N2 X2 +………...+NnXn

Süperpozisyon denklemleri kullanılabilir. Bu denklemler yardımıyla sistemde istenilen noktadaki kesit tesirleri hesaplanabilir.

2 m 2 m

20 kN

Hiperstatik sistem (1. dereceden)

X1

20 kN


20 kN

X1 İzostatik esas sistem

X1

20 kN


2 m 2 m

20 kN


X1

20 kN


1. Dereceden hiperstatik olduğu için uygunluk denklemi

111101 Xδδδ +=

A

B

C

20 kN

X0 Yüklemesi2 m 2 m

M0 Diyagramı2 m

40

20 kN

20 kN

40 kN.m ΣFy = 0 Ay=20

ΣMA = 0 MA= 20*2 = 40 kN.m

ΣFy = 0 Ay=20

X1 Yüklemesi

X1=14 m

1 kN

4 kN.m

ΣMA = 0 MA= 1*4 = 4 kN.m

ΣFy = 0 Ay=1

X1=1

M1 Diyagramı2 m

4

2 m

2

M0 Diyagramı2 m

40

ihmalEI

dsMM += ∫ 0110

δ

111101 Xδδδ +=

∫ −+=

2

0

10)20).(2( dxxxEI δ

M1 Diyagramı2 m

4

2 m

2

333.13310 −=δEI

ihmalEI

dsMM += ∫ 1111

δ

∫=

4

0

11)).(( dxxxEI δ

333.213\6411 ==δEI

M0 Diyagramı

2 m

i=40

ihmalEI

dsMM += ∫ 0110

δ

111101 Xδδδ +=

)2(6

12110 kkiLEI +=δ

M1 Diyagramı

333.133)4*22(*)40(*2*6

110

−=+−=δEI

2 m 2 m

k1=2k2=4

111101 Xδδδ +=

M1 Diyagramı

ihmalEI

dsMM += ∫ 1111

δ

333.213/644*4*4*3

1

3

111 ==== kiLEI δ

2 m 2 m

k1=2k2=4

111101 Xδδδ +=

11 333.21333.1330 X+−==δ

2 m 2 m

20 kN

X1=6.25

20 kN

X1 =6.25

X1=6.75

20 kN

6.25

13.75

-+

-+13.5

15

A BC

T

M

M0 Diyagramı

2 m

i=40

M1 Diyagramı

2 m 2 m

24

MA= M0A+M1A*X1= (-40)+ 4*(6.25) = - 15

MB= M0B+M1B*X1= (0)+ 2*(6.25) = 13.5

MC= M0C+M1C*X1= (0)+ 2*(0) = 0

AB

CA B C

A

B C-+13.5

15

2 m 2 m

20 kN


20 kN


Aynı sistemi çözmek için izostatik esas sistemi farklı seçelim.

20 kN


20 kN

10 kN 10 kN

20 kN.m

M0+

20 kN


0.25 kN 0.25 kN

1 kN.m

4 m

M1-

1 kN.m0.5

20 kN.m

M0 Diyagramı

+

ihmalEI

dsMM += ∫ 0110

δ

111101 Xδδδ +=

)2(6

1

3

12110 kkiLkiLEI ++=δ

M1 Diyagramı

20))1()5.0(*2(*)20(*2*6

1)5.0(*)20(*2*

3

110

−=−+−+−=δEI

-

1 kN.m

0.5

333.1)1).(1.(43

1

3

11111

=−−=== ∫ kiLEI

dsMMδ

111101 Xδδδ +=

M1 Diyagramı

333.111 =δEI

-

1 kN.m0.5

111101 Xδδδ +=

11 333.1200 X+−==δ

2 m 2 m

20 kN

X1 =15

20 kN

X1=15

20 kN

X1=15

6.25

13.75

-+

-+13.5

15

T

M


3 m3 m

2 t/m

4 m (2I)

( I )( I )

X2

3 m3 m

4 m (2I)

( I )( I )

X1


222121202

212111101

XX

XX

δδδδ

δδδδ

++=

++=

3 m3 m

2 t/m

4 m (2I)

( I )( I )

16 tm

0

8 t

M0

16

16(2o)

( -

)

( - )

3 m

4 m

X1=1t

3 m

4 m

X2=1

4 tm

0

1 t

0

1

0

M1

4( - )

( -

)

3 3

M2

( +

)

(+

)

( + )

M0

16

16(2o)

( -

)

( - )

222121202

212111101

XX

XX

δδδδ

δδδδ

++=

++=

M1

4( - )

( -

)

3 3

M2

( +

)

(+

)

( + )

M0

16

16(2o)

( -

)

( - )

M1

4( - )

( -

)

∫=EI

dsMM

0110δ kiLkiLEI += )

4

1(*

2

110δ

16*4*3))16(*)4(*4*4

1(*

2

110 −−+−−=δEI

22410

=δEI

M0

16

16(2o)

( -

)

( - ) 3 3

M2

( +

)

(+

)

( + )

∫=EI

dsMM

0220δ )

2

1()

3

1(*

2

120 kiLkiLEI +=δ

)3*16*3*2

1()3*16*4*

3

1(*

2

120 −+−=δEI

10420

−=δEI

M1

4( - )

( -

)

∫==EI

dsMM

212112δδ )

2

1()

2

1(*

2

112 kiLkiLEI +=δ

302112 −== δδ EIEI

3 3

M2

( +

)

(+

)

( + )

)4*3*3*2

1()4*3*4*

2

1(*

2

112 −+−=δEI

M1

4( - )

( -

)

∫=EI

dsMM

1111δ

667.5811 =δEI

)()3

1(*

2

111 kiLkiLEI +=δ

)4*4*3()4*4*4*3

1(*

2

111 −−+−−=δEI

∫=EI

dsMM

2222δ

3622 =δEI

3 3

M2

( +

)

(+

)

( + )

)3*3*3*3

1()3*3*4(*

2

1)3*3*3*

3

1(22 ++=δEI

3 3

M2

( +

)

(+

)

( + )

)3

1()(*

2

1)

3

1(22 kiLkiLkiLEI ++=δ

222121202

212111101

XX

XX

δδδδ

δδδδ

++=

++=

22410

=δEI

667.5811 =δEI

3622 =δEI

302112 −== δδ EIEI

10420

−=δEI

03630104

030667.58224

212

211

=+−−=

=−+=

XX

XX

δ

δ

51.0

079.4

2

1

−=

−=

X

X

3 m3 m

2 t/m

4 m (2I)

( I )( I ) X2

X1

3 m3 m

2 t/m

4 m (2I)

( I )( I )X2=0.51

X1= 4.079

3 m3 m

2 t/m

4 m (2I)

( I )( I )X2=0.51

X1= 4.0790.316

0.51

3.921

-

N

0.51

3.921

( -

)

( -

)

4.079

0.51

3.921

T

( -

)

( -

)

0.51

(+)

( - )

4.079

1.53

0.316

1.21

( -

)

- -

+

1.21

M(

-)

3 m

X1

4 m

X2


3 m

2 t/m

4 m

X0 Yüklemesi

3 m

4 m

2 t/m

0

0

4

4

04

4

0

3 m

4 m

2 t/m

0

0

4

4

04

4

0

4

+ +

M0

3 m

X1=1

4 m

3 m

X1=1

4 m

0.250.25

X1=1

4 m

3 m

0.25

0.25

0.25

0

0

0

0

-1

I M1

3 m

4 m

X2=1

0 0

4 m

3 m

X2=1

X2=1

0

0

0

0.333

0.333

0.333

0.333

1+

M2

++

1 1

4

+ +

M0

-1

I M1

222121202

212111101

XX

XX

δδδδ

δδδδ

++=

++=

∫=EI

dsMM

0110δ )

3

1(*

2

110 kiLEI =δ

))1(*4*4*3

1(*

2

110 −=δEI

667.210

−=δEI

4

+ +

M0

1+

M2

++

1 1

∫=EI

dsMM

0220δ )

3

2(*

2

120 kiLEI =δ

)1*4*4*3

2(*

2

120 =δEI

333.520

=δEI

-1

I M1

∫=EI

dsMM

1111δ

667.311 =δEI

)()3

1(*

2

111 kiLkiLEI +=δ

)3*1*1()4*1*1*3

1(*

2

111 +=δEI

1+

M2

++

1 1

∫=EI

dsMM

2222δ

422 =δEI

)1*1*3*3

1()1*1*4(*

2

1)1*1*3*

3

1(22 ++=δEI

)3

1()(*

2

1)

3

1(22 kiLkiLkiLEI ++=δ

-1

I M1

1+

M2

++

1 1

∫==EI

dsMM

212112δδ )

2

1()

2

1(*

2

112 kiLkiLEI +=δ

5.22112 −== δδ EIEI

)1*1*3*2

1()1*1*4*

2

1(*

2

112 +−+−=δEI

222121202

212111101

XX

XX

δδδδ

δδδδ

++=

++=

667.210

−=δEI

667.311 =δEI

422 =δEI

5.22112 −== δδ EIEI

333.520

=δEI

045.2333.5

05.2667.3667.2

212

211

=+−=

=−+−=

XX

XX

δ

δ

53.1

316.0

2

1

−=

=

X

X

3 m

X1=0.316

4 m

X2= -1.53

1.53

0.316

1.846

( -

) ( -

)

- -

+

1.846

M

ÖRNEK

3 m

2 N/m

3 m

Yandaki hiperstatik sistemin moment ve kesme kuvveti değişim grafiklerini çiziniz.


X1

X1

1. Dereceden hiperstatik111101 Xδδδ +=

ÖRNEK

2 N/m

3 m 3 m

X0 Yüklemesi

+

M0 =2.25

3 N 3 N

M0 Moment diyagramı

ÖRNEK

X1 Yüklemesi

3 m 3 mX1 = 1 N

3 N.m

+ + M1 Moment diyagramı

ÖRNEK

3 N.m

+ +


+

M0 =2.25


111101 Xδδδ +=

∫=EI

dsMM

0110δ

∫=EI

dsMM

1111δ

183*3*3*3

13*3*3*

3

1)

3

1()

3

1(11 =+=+= kiLkiLEI δ

75.625.2*3*3*3

1)

3

1(10 === kiLEI δ

ÖRNEK

0111101 =+= Xδδδ

6.75+18 X1=0 X1= -0.375

3 m 3 mX1 = 0.375

2 N/m

ÖRNEK

3 m 3 mX1 = 0.375

2 N/m

3.752.625

2.625

3.375

0.375 0.375

+ +

-

-

+

-1.125

T

M

kuvvet metodu

Documents