T.C. MLL ETM BAKANLII MAKNE TEKNOLOJS KUVVET SSTEMLER 521MMI660 Ankara, 2012 -Bumodl,meslekiveteknikeitimokul/kurumlarndauygulananereve retimProgramlarndayeralanyeterliklerikazandrmayaynelikolarak rencilererehberliketmekamacylahazrlanmbireyselrenme materyalidir. -Mill Eitim Bakanlnca cretsiz olarak verilmitir. -PARA LE SATILMAZ. i AIKLAMALAR ................................................................................................................... iii GR ....................................................................................................................................... 1 RENME FAALYET-1 ..................................................................................................... 2 1. Genel kavram ve tanmlar .................................................................................................... 2 1.1. Mekaniin tanm ve nemi ........................................................................................... 2 1.2. Mekaniin Uygulama Alanlar ...................................................................................... 2 1.3. Mekaniin Blmleri .................................................................................................... 3 1.3.1. Svlarn Mekanii (Hidrostatik) ............................................................................ 3 1.3.2. Gazlarn Mekanii (Aerodinamik) ......................................................................... 4 1.3.3. Katlarn Mekanii ................................................................................................. 4 1.4. Birim Sistemleri ............................................................................................................ 7 1.4.1. Temel Birimler ....................................................................................................... 7 1.4.2. Trev Birim Sistemi ............................................................................................... 8 UYGULAMA FAALYET ............................................................................................... 10 LME VE DEERLENDRME ..................................................................................... 12 RENME FAALYET-2 ................................................................................................... 13 2. KUVVETLER SSTEM ................................................................................................... 13 2.1. Kuvvetin Tanm .......................................................................................................... 13 2.2. Kuvvetin Elemanlar ve Vektrleri ............................................................................. 14 2.2.1. Kuvvetin Elemanlar ............................................................................................. 14 2.2.2. iddeti ................................................................................................................... 14 2.2.3. Dorultusu ............................................................................................................ 14 2.2.4. Yn ..................................................................................................................... 14 2.2.5. Tatbik Noktas ...................................................................................................... 14 2.3. Kuvvet Birimleri .......................................................................................................... 14 2.4. Kuvvetlerin Snflandrlmas ...................................................................................... 16 2.4.1. Uzaydaki Kuvvetler .............................................................................................. 16 2.4.2. Dzlemdeki Kuvvetler ......................................................................................... 16 UYGULAMA FAALYET ............................................................................................... 19 LME VE DEERLENDRME ..................................................................................... 20 RENME FAALYET-3 ................................................................................................... 21 3. KUVVETLERN BRLETRLMES VE BLEKE KUVVETNN BULUNMASI ... 21 3.1. Bileke Kuvvetinin Tanm ......................................................................................... 21 3.2. Kesien Kuvvetlerin Bilekelerinin Analitik ve Grafik Olarak incelenmesi ............... 22 3.2.1. Analitik Metot ...................................................................................................... 22 3.2.1. Dar Ada Kesien Kuvvetlerin Bilekesi ............................................................ 23 3.2.2. Dik Ada Kesien Kuvvetlerin Bilekesi ............................................................ 24 3.2.3. Geni Ada Kesien Kuvvetlerin Bilekesi ......................................................... 24 3.3.kidenFazlaSaydakiKuvvetlerinBilekesiniGrafikveAnalitikHesaplamalarla Bulmak .................................................................................................................................... 25 3.3.1. Grafik Metodu ...................................................................................................... 26 UYGULAMA FAALYETLER ....................................................................................... 28 LME VE DEERLENDRME ..................................................................................... 30 RENME FAALYET-4 ................................................................................................... 31 4. KUVVETLERN AYRITIRILMASI VE BLEENLERNN BULUNMASI .............. 31 4.1. Bileen Kuvvetlerin Tanm ........................................................................................ 31 NDEKLER ii 4.2. Grafik Metotla Bileenleri Bulmak ............................................................................. 32 4.3. Analitik Metotla Bileenlerini Bulma ......................................................................... 33 4.3.1. Sins (Lami) Teoremi .......................................................................................... 34 4.3.2. zdm Yntemine Gre .................................................................................... 35 UYGULAMA FAALYETLER ....................................................................................... 36 LME DEERLENDRME ........................................................................................... 42 5. MOMENT VE MESNET TEPKLER ............................................................................... 43 5.1. Momentin Tanm ........................................................................................................ 43 5.2. Noktaya Gre Moment Alma ...................................................................................... 44 5.3. Denge Sistemlerine Gre Moment Hesaplama ........................................................... 46 5.4. Mesnetlerde Oluan Kuvvetler ve Ynleri .................................................................. 47 5.4.1. Mafsall Mesnetler ................................................................................................ 48 5.4.2. Hareketli mesnetler ............................................................................................... 48 5.4.3. Ankastre mesnetler ............................................................................................... 48 5.5. Moment Uygulamalar ................................................................................................ 49 5.5.1. Dolayl yklere gre ............................................................................................. 49 5.5.2. Al yklere gre moment: .................................................................................. 49 UYGULAMA FALYETLER .......................................................................................... 51 LME VE DEERLENDRME ..................................................................................... 56 RENME FAALYET-6 ................................................................................................... 58 6. AIRLIK MERKEZ ......................................................................................................... 58 6.1. Arlk Merkezinin Tanm ......................................................................................... 58 6.2. Arlk Merkezini Bulmak .......................................................................................... 59 6.2.1. Analitik Metotla Arlk Merkezini Bulmak ........................................................ 59 6.2.2. Grafik Metotla Arlk Merkezini Bulmak ........................................................... 59 6.3. Yzeylerin Arlk Merkezinin Bulunmas ................................................................. 60 6.3.1. Dzgn Yzeylerin Arlk Merkezini Bulmak ................................................... 60 6.3.2. i Bo Yzeylerin Arlk Merkezini Bulmak .................................................... 60 6.3.3. st ste Katlanm Yzeylerin Arlk merkezini Bulmak ................................. 61 6.3.4. Bileik Yzeylerin Arlk Merkezini Bulmak .................................................... 61 UYGULAMA FAALYETLER ....................................................................................... 64 LME VE DEERLENDRME ..................................................................................... 68 MODL DEERLENDRME .............................................................................................. 70 CEVAP ANAHTARLARI ..................................................................................................... 72 KAYNAKA ......................................................................................................................... 74 iii AIKLAMALAR KOD521MMI660 ALANMakine Teknolojisi DAL/MESLEKMakine Teknolojisi Alan Tm Dallar MODLN ADIKuvvet Sistemleri MODLN TANIMI Makineparalarimalatndaparalarnalacaklar konumlardakarlaabileceklerihareketvekuvvet sistemlerininanalizini ieren renme materyalidir. SRE40/24 N KOULBu modln n koulu yoktur. YETERLKKuvvetlerle ilgili hesaplar yapmak MODLNAMACI Genel Ama Bumodlilegerekliortamvearagerelersalandndamakineparalarndakuvvetanalizi,moment,arlkmerkezi hesaplarn yapabileceksiniz. Amalar 1.Kuvvetlerin bilekelerinin bulunmas ile ilgili hesaplar yapabileceksiniz. 2.Kuvvetlerin bileenlerinin bulunmas ile ilgili hesaplar yapabileceksiniz. 3.Moment ve mesnet hesaplarn yapabileceksiniz. 4.Cisimleri arlk merkezlerini bulma ile ilgi hesaplar yapabileceksiniz. ETM RETM ORTAMLARI VE DONANIMLARI Ortam: Snf, Makine atlyesi,Donanm: Bilgisayar, projeksiyon, izim takmlar. LME VE DEERLENDRME Modl iinde yer alan her renme faaliyetinden sonra verilen lme aralar ile kendinizi deerlendireceksiniz. retmen modl sonunda lme arac(oktan semeli test, doru-yanl testi, boluk doldurma vb.) kullanarak modl uygulamalar ile kazandnz bilgi ve becerileri lerek sizi deerlendirecektir.AIKLAMALAR 1 GR Sevgili renci, MekanikFizikbilimlerinineneskisidir.Kaldralarvesuyunkaldrmakuvvetini kapsayantarihtekiilkyazlmekanikprensiplerArimeteM..287-M..212aittir. Kendisinden sonra gelen ibn-i Heysem, ibn-i Sina, ibn Bacce gibi mslman bilim adamlar ile Galilei, Kepler, Leonardo da Vinci, Varignon,D Alembert, Stevinus, Newton, Lagrange gibi batl bilim adamlarnn almalar sayesinde Mekanik bugnk seviyesine gelmitir. nsan yaantsnda dn olduu gibi bugn de mekanik biliminin yeri byktr. Suyun akndantutunda,insannyaamnkolaylatrmakiintasarlananuanuuuna, makinelerinalmasnakadartabiattakibtnhareketlermekanikprensiplerinegre gerekleir.bata Makine olmak zere mhendisliin tm uygulamalarnda,mekanik bilimi veprensipleribyknemesahiptirvebusahalardaalanlartarafndanzmsenmesi gerekir. GR 2 RENME FAALYET-1 Makineparalarndakuvvetanalizi,moment,arlkmerkezihesaplarn yapabileceksiniz. Bu faaliyet ncesinde yapmanz gereken aratrmalar unlardr: Mekanik biliminin kullanld alanlar aratrarak snfta sunum yapnz. MakineTeknolojisialanndamekanikbilimininkullanmalanylailgili aratrma yaparak bunu modelleyiniz. 1. GENEL KAVRAM VE TANIMLAR 1.1. Mekaniin tanm ve nemi Mekanik,cisimlereetkiedenkuvvetsistemlerinivebusistemlerincisimde oluturduklar hareketleri grafik ve analitik olarak inceleyen bir bilimdir diye tanmlanabilir. Mekanik,fizikbilimlerinineneskisidir.Kaldralarvesuyunkaldrmakuvvetini kapsayantarihtekiilkyazlmekanikprensiplerArimet'e(M..287-M..212)aittir. Makara,eikdzlemvesomunanahtarileilgilialmalardaantikmetinlere kaydedilmitir.Budnemdemekanikbinainaatgereksinimlerinikarlamaklasnrlyd. Arimetten sonra gelen bn-i Heysem, bn-i Sina, bn Bacce gibi Mslman bilim adamlar ileGalilei,Kepler,LeonardodaVinci,Varignon,d'Alembert,Stevinus,Newton,Lagrange gibi batl bilim adamlarnn almalar sayesinde mekanik bugnk seviyesine gelmitir. nsanyaantsndadnolduugibibugndemekanikbilimininyeribyktr. Suyunakndantutunda,insannyaamnkolaylatrmakiintasarlananuanuuuna, makinelerinalmasnakadartabiattakibtnhareketlermekanikprensiplerinegre gerekleir. Bata Makine olmak zere mhendisliin tm uygulamalarnda, mekanik bilimi ve prensipleri byk neme sahiptir. 1.2. Mekaniin Uygulama Alanlar nsan yaantsnda mekanik bilgilerinin yeri byktr. Bir kapnn almas, vidann sklmas,suyunak,uanuuu,otomobilinhareketedebilmesi,insanlarnhertrl hareketi,makinelerinalmalarvedahasaylabilecekpekokeymekanikprensiplerine RENME FAALYET-1 ARATIRMA AMA 3 uyar. Bir kaldratan, zaman lmekte kullanlan saate ve en gelimi uzay aralarna kadar heryerdemekanikbilgilerigereklidir.zellikleteknikretimgrenlerinyaantlarnn nemlibirblmmekaniksistemlerleuramakolacaktr.Bubakmdan,btnbilim dallarndaolduugibi,mekaniktedebilgilerinbellikurallaragredzenlenmesive blmlenmesizorunludur.Dzenlenmikurallarnanlamayveyaantykolaylatraca gerektir. Resim 1.1: Hzl trenin hareketi Bu alanda alan bilim adamlar yaptklar uzun ve hassas almalarla, cisimlerdeki hareketleri birtakm prensiplere balamlardr. Mekanik problemleri ile uraan ve bugnk endstriyelgelimelerintemelinioluturanprensiplerinsahiplerinden,konumuzlailgili olanlarnbalcalar;Aristetle(Aristo),Archlmedes(Arimet),Newton(Nivton),Pascal (Paskal), Gallleo (Galile),Hooke (Huk), Euler ( OyIer )adlarndaki bilim adamlardr. 1.3. Mekaniin Blmleri 1.3.1. Svlarn Mekanii (Hidrostatik) Hidrostatikhareketsizsvlarndengeartlarninceler.Svlar,bulunduklarkabn tabanna bir basn uygular. Ayrca svlar, akc zellii olan ve bulunduklar kabn eklini alanmaddelerdir.Pascal(Paskal)prensibiuyarnca,zerlerineuygulananbasnc dokunduklaryzeylereayneniletirler.Bununsonucunda;kkbirkuvvetilebykbir alanda,bykbirkuvvetmeydanagelirMakinecilikte,basnlsvlarnsahipolduklar enerjiden faydalanarak eitli hareketler retmek iin kurulan sisteme Hidrolik sistem denir. ekil 1.1 Hidrolik Prensipler dorultunda alan bir vin 4 Svlar, akkan maddeler olup basnlar olduu gibi iletirler. Bu nedenle bir sv madde, etki ettii yzey alan ile doru orantl olarak kuvvet iletir. ekil 1,1de grld gibi hidrolik krikonunsalad basn, sv tarafndan byk pistona iletilir ve byk bir kuvvetednr.Buzelliindendolaysvlar;preslerde,kaldrmamakinelerinde, pompalarda, hidrolik santralarda vb. basn ve kuvvet retimi iin kullanlr. 1.3.2. Gazlarn Mekanii (Aerodinamik) Aerodinamik:Havayadagazhalindekibtnakkanlarnhareketleriniinceler. rnein;uaklarnuuverimininartrlmasiin,kanat1araverilecekbiimlerbudalile hesaplanr.Kanatlarnnvebazblmlerininovalbirbiimdeyaplmasgibi.Gazlars etkisiilehacimvebasndeiimisalayabilenakcveuucumaddelerdir.Isletkisiile genleenbirgaz,Resim1.2degrldgibisilindirvepistonsistemindemotorun almasn salar. Resim 1.2: Pnmatik sistem Gazlarnmekanii,gazmaddeninhacim,scaklkvebasndeiiminegre oluturduukuvvetlerin sonularn inceler. 1.3.3. Katlarn Mekanii Kuvvetleretkisialtndakiherhangibircisimbtndurumlardageometrikekilve llerini aynen koruyorsa yani bir ekil deiimi ortaya kmyorsa byle cisimlere "Kat Cisim" denir. Bununla beraber, hibir cisim bu zellii tam olarak gstermez. Her cisim kuvvet etkisiyle bir miktar ekil deitirir. Ancak kuvvetin byklne ve cismin llerine gre, ekil deiim miktar nemsenmeyecek kadar kkse byle cisimler kat cisim kabul edilebilir. rnein, elik atomlar birbirine ok kuvvetli ekilde balanmlardr. Dolaysyla elik,kolaycaekildeitirmez.Buzelliindendolaybirokmakineelemann malzemesinde elii grrz. 5 1.3.3.1. Statik Statik,kuvvetlerleetkilenencisimlerindengedurumlarninceler.Mekaniinok eskibirkoluolanstatiinilkprensiplerieskiMsrveBabil'depiramitlervetapnaklarn yaplmasnda kullanlmtr. lk yazl statik prensipleri Arimet (M. . 287212) tarafndan ubuklaraetkiedenkuvvetlerindengedurumlariinsaptanmvegnmzekadar gelmitir. Statik esas gelimesini 17. yzylda Stevinus, Varignon ve Newton gibi bilim adamlar nderliiyle yapmtr. Genellikle, btn cisimlerin kat cisim olarak kabul edilemeyeceini daha nce belirtmitik. Kuvvetlerle yklenen cisimlerde az veya ok bir ekil deitirme meydana gelir. Bu ekil deiimi ok azsa nemsenmeyebilir ve sistemin denge durumu hi ekil deimesi olmamgibidnlerekincelenebilir.Statiktecisimlerzerinde,kuvvetleretkisiyle meydanagelecekekildeiikliklerinihibirekildegznnealmayacakvecismi kuvvetler sisteminin etkisi altnda tam kat olarak kabul edeceiz. Cisim zerinde meydana gelenekildeiiklikleriniincelemekdahaokcisimlerindayanmkonularnagirer. Dayanm bilgisinde, cismin moleklleri veya kristallerinin, kuvvet etkisiyle, bal hareketleri gz nne alnr. Bu tr hareket cisimde ekil deiimini oluturur. 1.3.3.2. Sinematik Fiziin bir konusu olan sinematik (ok defa kinematik olarak da sylenir) cisimlerin hareketlerini inceleyen bir ilimdir. Sinematikte kat cisimlerin hareketlerini, hareket sebeplerinigznnealmadanyol(x),zaman(t),hz(v)veivme(a)arasndakibantlar inceler. X= v.t ekil 1.2: Dzgn hareket Statikle kyaslanacak olursa, sinematik olduka yeni bir konudur. Hareketlere ait ilk prensipler, bilimsel olarakGalile tarafndan saptanmtr (1564 1642). Milattan nce 2000 yllarnda Aristotle tarafndan belirlenen, tabii filozofinin, Galile alarnda bile hi hata yapmaz olduu kabul ediliyordu. Deneysel hibir zellik gstermeyen tabii filozofiye ait prensipleri,Galiledaha26yandaykenkabuletmemeyebalad.rnein:"Deiik arlktaki iki cisim ayn ykseklikten braklacak olursa farkl zamanlarda yere derler" tezinikabuletmedi.Pizakulesindenkitlelerioldukafarklikitaaynyksekliktenve ayn anda brakarak ktle ile dme zamann arasnda bir bant olmadn gsterdi. Galile eik dzlem zerinde cisimleri kaydrarak yapt deneylerle kuvvet ve ivme arasndabireitbantolduusonucunavarmt.Fakatzamannllmesiiinistenilen niteliktesaatinyaplmamolmasdolaysyladeneyselaklamayapamamtr.Ancak 6 snrlaklamayapabilmitir.Dahasonralar,ngilizbilginiNewtontarafndankuvvetve ivmearasndakibantlaranalitikvedeneyselolarakincelenmivebazprensiplere balanmtr. Bugn "Newton prensipleri" olarak tannmaktadr. Sinematiinamac,hareketleringrafikveanalitikolarakincelenmesiniyapmaktr. Hareketin durumuna gre, inceleme yntemi grafik veya analitik olarak saptanr. Endstriyel sinematikproblemleriounluklagrafikmetotlazmlenir.Nedeni,genimatematik bilgisine gerek gstermemesi ve grafik zmle elde edilen sonularn yeter derecede hassas olmasdr.Bukonuda,sinematikbilgileribasitletirilerekilenmitir.Ancak,buseviyede hareketlerintannpincelenebilmesiiinyeterlibilgiverilmitir.Sinematik,hareketlerin geometrisidir.Maddeselbirnoktannhareketini,kuvvetinetkisinigznnealmadan inceler. Aslnda, sinematik yol, hz ve ivme arasnda gerekli bantlar inceleme demektir. rnek: Dzgn dorusal hareket yapan bir otomobil 300 km yolu 4 saatte almaktadr. Hzn; km/h ve m/s cinsinden bulunuz? 1.3.3.3. Dinamik Statiktekat cisimleridengehalindednpbunlaraetkiedenkuvvetsistemlerini, kinematikte cisimlerin hareketlerini, arlklar ve zerlerine etki yapan kuvvetleri gz nne almadaninceler.Dinamikteisekuvvetlerleetkilenencisimlerinhareketinivebununlailgili olay ve kanunlar inceler. Statiin olduka eski bir tarihi olmasna karn dinamik epeyce yeni bir konudur. Balangc Galile zamanna kadar gider. Genellikle 16. yzyln ikinci yars dinamiin dou yllardr. Dinamiin bu kadar ge gelimesine sebep, deneysel fiziin henz bilimsel alandayeralmamolmasdr.Dinamikolaylarndeneyselincelenebilmesiiin,kuvvet uzunlukvezamannhassasolarakllebilmesigerekir.Kuvvetveuzunlukllmesi olduka basit olduu iin tarihin ilk alarnda bulunup gelitirilmitir. Zamann llmesi ise ancak 17. yzyln ortalarnda gerekli nitelikte olabilmitir. Dolaysyla ufak zaman aralklarnn llmee balamasyla dinamik gelime ortam bulmutur. Dinamikte,bircisminveyaherhangibirsisteminuygulanankuvvetlerlenetrbir hareket yapld veya yapaca, istenilen hareketin salanabilmesi iin uygulanmas zorunlu kuvvet sisteminin karakterinin ne olmas gerektiini aratrlr. Bircisminduraanbirhaldenhareketlihalegemesiveyahareketdurumunu deitirmesi iin o cisme dtan bir kuvvetin etki yapmas gerekir. Bir kuvvetin herhangi bir cismi etkilemesi ile meydana gelen hareket, kuvvetin bykl, dorultusu, yn ve tatbik noktas gibi esas karakteristikleri ile cismin maddesel zelliine baldr. Bir kuvvet deiik zelliklerdekicisimlerietkilediizamanbunlarnherbirindebakabirhareketmeydana getirdiigibi,ayncismietkileyendeiikkuvvetlerdebucisimdedeiikhareketler oluturur.BununlaberaberGalileyaptdeneylerle,Newton'aaitolduusylenilenbu prensiplerdenilkikitanesinibulmutur.Bununlaberaber,bulgularNewtonformleetmi ve astronomik ngrleri bu prensiplere dayamakla dinamie esasl bir balang yapmtr. 7 Newtonkanunlar,yldzlarn,hareketleriniincelediktensonrasaptamtr. Dolaysyla, kanunlar yalnz maddesel noktalar iin uygulanabilir. Cismin btn noktalarn ayn hz ve ivmeye sahip olduklar kabul edildiinden, Newton kanunlar direkt olarak cisimlerin hareketlerine uygulanamazlar. Bununla beraber cisimlerin kmelemi maddesel noktalardan meydana geldii dnlerek, bu kanunlar cisimler iinde geniletilebilir. 1.4. Birim Sistemleri Varolanhereyinsays,byklvebenzerizellikleriayncinstenseilen deimez byklkteki bir parayla kyaslanarak sylenir.te, bu kyasa temel tekil eden, daha evvelce tanm ve kabul edilmi deimez deerlere birim ad verilir. Genel mekanikte birimlerininayrayrveyabiletirilmesiilemeydanagelir.Birimlerikitemelsistemde toplanmlard. Temel birimler olan uzunluk, ktle ve zaman'n kat ve askatlar kullanlarak iki gurupta toplanr. 1.4.1. Temel Birimler Birimler iki temel sistemde toplanmlardr. Mutlakbirimsistemi:ncelerifiziktekullanlanbusistem,birimlerde birlikteliksalanmasiinsonzamanlardamekaniindallarndada kullanlmaya balamtr. ekimsel(Gravitasyonel) birim sistemi 1.4.1.1. cgs Temel Birim Sistemi cgsBirimsistemi:Busistemdec(cm)olarakuzunluu,g(gr)olarakktleyives (saniye) olarak zaman gsterir. cgsmutlakbirimsisteminde kuvvetbirimiisebirgr.kitlelikcismebircm/snivme veren deer olarak kabul edilir ve din (Dyn) ad verilir. 1.4.1.2. mks Temel Birim Sistemi mksmutlakbirimsisteminde;m(metre)olarakuzunluu,k(kilogram)olarak ktleyi ve s (saniye) olarak zaman gsterir. MutlakMKSsistemindekuvvetbirimi(N)Newtondur.Newton,birkilogram ktlelik cisme bir m/sn lik ivme veren byklktr. Uluslararas birim sisteminde ( SI ) ; ktle birimi (kg) .. Kuvvet birimi de ( N ) kabul edilmitir.Teknik birimlerolarakta(MKSA)adlandrlanbirimler vesembolleritabloda verilmitir. 8

Tablo 1.1 SI teknik birimler (M K S A) sembolleri 1.4.2. Trev Birim Sistemi Temel birimler, uygulama alanlarnda kullanlan formllere gre yeni isimler alrlar vesembollerleifadeedilirler.Bunagreuzunluk,kuvvetvezamanbirimlerininikiveya dahafazlasbirletirilmeksuretiyleyenibirimlertretilir.Eldeedilenbuyenitrbirimlere trev birimler denir. rnek:Kuvvetbirimi(kg),uzunlukbirimimetre(m)ilebirletirildiindetrev birime dnr. Birimi kgm olur Teknik alanda karlalan baz trev birimleri unlardr. Pa=(Paskal) FP = =1N/m= 1Pa 1 bar= 100000 PaA1mbar=100Pa 1 bar = 10N/cm 1 bar= 1 daN/cm (daN= deka nevton) Resim 1.3: Dinamik p= Basn A= Alan N(Newton) F=ma

9 F =m .a= kg. m/s V= Hz (m/s) m= Ktle(kg)a= vme(m/s2) F= tme kuvveti(N) F= 1N (1kglk ktleye 1m/s2 lik ivme kazandran kuvvet) 10 UYGULAMA FAALYET Trigonometricetvelindenverilenalarntrigonometrideerlerinibulmakiinaadaki uygulamalar yapnz. GULAMAF UYGULAMA FAALYET 11 Trigonometrik cetvelden sin = 350 = 0,5736 cos = 350 = 0,8192 tan = 350 = 0,7002 cot = 350 = 1,4281 sin = 600 = 0,5000 cos = 600 = 0,8660 tan = 600 = 0,5774 cot = 600 = 1,732 LYET lem basamaklarneriler Ay yatay stundan bulunuz. Cetvel kullanrken a yatay stundan bulunuz ki stunun kesitii yer ann trigonometrik deerini verir. Trigonometrik fonksiyonu dey stundan belirleyiniz Trigonometrik fonksiyonu dey stundan belirleyiniz. KONTROL LSTES Bu faaliyet kapsamnda aada listelenen davranlardan kazandnz becerileri Evet, kazanamadnz becerileri Hayr kutucuuna(X) iareti koyarak kendinizi deerlendiriniz. Deerlendirme ltleriEvetHayr 1.Bulacanz ay blirlediniz mi? 2.Ay yatay stundan buldunuz mu? 3.Trigonometrik fonksiyonu dey stundan belirlediniz mi? DEERLENDRME DeerlendirmesonundaHayreklindekicevaplarnzbirdahagzdengeiriniz. Kendiniziyeterligrmyorsanzrenmefaaliyetinitekrarediniz.Btncevaplarnz Evet ise lme ve Deerlendirmeye geiniz. 12 LME VE DEERLENDRME Aadakicmlelerinsonundabobraklanparantezlere,cmlelerdeverilenbilgiler doru ise D, yanl ise Y yaznz. 1.( ) Mekanik cisimlere etki eden kuvvetlerin oluturduu hareketleri inceler. 2.( ) Motorun yaps svlarn mekaniine gzel bir rnektir. 3.( ) Kriko katlarn mekaniine gzel bir rnektir. 4.( ) cgs birim sisteminde birimler; metre kilogram ve zamandr. 5.( ) mks birim sisteminde, kuvvet birimi Newtondur. DEERLENDRME Cevaplarnzcevapanahtarylakarlatrnz.Yanlcevapverdiinizyadacevap verirkentereddtettiinizsorularlailgilikonularfaaliyetegeridnerektekrarlaynz. Cevaplarnzn tm doru ise bir sonraki renme faaliyetine geiniz. LME VE DEERLENDRME 13 PERFORMANS DEERLENDRME RENME FAALYET-2 Bu faaliyette kuvvet, kuvvet elamanlarn ve kuvvet sistemlerinin snflandrlmas ile ilgili bilgileri reneceksiniz. Kuvvet sistemleri nelerdir ve kuvvet birimleri nelerdir? Aratrdnz bilgileri retmeninizle ve arkadalarnzla paylanz. 2. KUVVETLER SSTEM 2.1. Kuvvetin TanmCisimlerzerindeekildeiikliiyaratan,duranbircismihareketegeirenveya hareket halindeki cismi durduran etkene kuvvet denir.

ekil 2.1:Kuvvet Yerekimikuvvetietkisiylearlklarndorultusudeydir.Uygulamanoktas arlk merkezidir. iddeti cismin arl kadardr. Yn dnyann merkezine dorudur. RENME FAALYET-2 ARATIRMA AMA 14 2.2. Kuvvetin Elemanlar ve Vektrleri 2.2.1. Kuvvetin Elemanlar Kuvvetin drt eleman vardr(ekil 2.2). ekil 2.2: Kuvvetin elemanlar 2.2.2. iddeti Kuvvetin etki miktarnnbykldr. Birimi Newtondur (N).(1N = 1Kg ktleye 1m/sn lik ivme kazandran kuvvetin deeridir.) 2.2.3. Dorultusu Kuvvetin zerinde bulunduu yrngedir. 2.2.4. Yn Hareketin etkilendii yndr. Ok ynyle belirtilir.2.2.5. Tatbik Noktas Kuvvetincisimzerindeuygulandnoktadr.Etkinoktascisimlerinarlk merkezidir. 2.3. Kuvvet Birimleri Kuvvetinbirimleriniiyikavrayabilmekiin,ncektlevearlktanmlamalarn incelemek gerekir. Ktle: Bir cismin deimez madde miktardr. Ktle miktar bulunduu yere gre deimez, hep ayndr. Arlk: Ktlenin, bulunduu yerdeki yerekimi kuvvetinin sonucudur. Arlk bulunduu yere gre deiir. Uzaydaki insann ktlesi ayn olduu halde, arlnn dnyaya gre az olduu gzlenir. 15 Teknikmhendislikalannda,Fransa'dabulunanlrudyumluplatindenyaplm silindirin arl ve onu yere eken kuvvet esas alnmtr. Buna gre yer ekimi ivmesi g=9,81m/salnmtr.Pratikhesaplamalarda,g=10m/skabuledilebilmektedir.Uluslararasbirimsisteminde(SI)ktlebirimikg,kuvvetbirimideNkabuledilmektedir. Kuvvet birimi olarak kg kullanlmas hataldr, Newton (N) kullanlmaldr. Resim 2.3: Ktle ve arlk m=kg (Ktle) G =m . g =kg. m/s (arlk) g= m/s(Yer ekim ivmesi) G=Newton(N) F=(N) Kuvvet birimi Newtondur (N). Gerektiinde trev birimlerde kullanlmaktadr. 100g = 1 N 1 Kg = 10 N (Newton) 10 N = 1 daN (Deka Newton) 1000 N = 1 KN (Kilo Newton) 1000 KN = 1 MN (Mega Newton) Kuvvet birimleri unlardr; Mutlak cgs birim sistemine gre din (dyn) Mutlak mks birim sistemine gre Newton ( N ) ekimsel cgs birim sistemine gre gramkuvvet ( gf ) ekimsel mgs birim sistemine gre kilogram kuvvet ( kgf ) 16 2.3.1. Vektrle Gsterilmesi Ynlendirilmidoruparasnavektrdenir.lemlerdezerineokkonmuharflerle belirtilir. 2.4. Kuvvetlerin Snflandrlmas Bircismeetkiedenikiveyadahafazlakuvvetinmeydanagetirdiitoplulua "kuvvet sistemi" ad verilir. Kuvvet sistemleri kuvvetlerin dorultularnn konumlarna gre genellikle iki blmde incelenirler. 2.4.1. Uzaydaki Kuvvetler Bolukta yani uzaydaki kuvvetler, vektrler ile ifade edilirler ve boyutlu olarak (X, Y, Z) koordinatlar sistemi iinde incelenir. Bu seviyede konular iki boyutlu sistem iinde ele alnacaktr. 2.4.2. Dzlemdeki Kuvvetler Kuvvetler, iki boyutlu (X, Y) olarak dzlem zerinde incelenir. Bir kuvvetlerin dzlem zerindeki durumunu belirlemek iin, iki koordinat deerinin (X, Y) belirli olmas gerekir. Buradaki kuvvetler bir cisme etki yaptklarnda, hepsi birden ayn bir dzleme teet veya paralel olurlar. 2.4.2.1. Dorultular Ayn Olan Kuvvetler Dorultular ayn olan kuvvet sistemlerinde btn kuvvetler ayn dorultu zerinde toplanmlardr. Bir ipi ayn dorultuda eken birok kimsenin uygulad kuvvetler bu cins kuvvetlerdendir.Ayndorultulukuvvetlere"Edorultulukuvvetler"addaverilebilir. (ekil2.3)KuvvetlersistemindeayndorultuzerindebulunankuvvetlereDorultular AynKuvvetlerdenir.Bukuvvetlerinbilekelerininbulunmas,cebirseltoplamaveya geometrik toplama ile bulunur. 17 Dorultu ve ynleri ayn olan kuvvetler Dorultuveynleriaynolankuvvetlerinbilekelerikuvvetlerintoplanmasyla bulunur. Grafik : F1 F2F1 F2 Analitik :R ekil 2.4 Ayn dorultulu kuvvetler Dorultular ayn, ynleri ters olan kuvvetler Dorultularayn,ynleriztolankuvvetlerinbilekelerikuvvetlerinbirbirinden karlmasyla bulunur(ekil 2.4). Bileke kuvvetlerin farkdr. Grafik :F2 F1 F1 Analitik :F1 F2 = RR F2 ekil 2.5: Dorultular ayn, ynleri ters olan kuvvetler 2.4.2.2. Kesien Kuvvetler ekil 2.6: Kesien kuvvetler Vektrleri veya dorultular bir noktada birleen kuvvetlere kesien kuvvetler denir. Kesien kuvvetler; dar al, dik al, geni al olmak zere ekilde incelenir(ekil 2.5) 2.4.2.3. Paralel Kuvvetler Paralelkuvvetlersistemidorultularbirnoktadakesimeyenbirbirineparalelolan kuvvetlerin meydana getirdikleri topluluklardr (ekil 2.6). ekil 2.7: Paralel kuvvetler F1 + F2 = R F1 - F2 =R 18 2.4.2.4. Geliigzel Kuvvetler Ayndzlemdeoluptabirbirineneparalelnedeaynnoktadakesienkuvvetlerdir. Bylekuvvetsistemlerine,geliigzelkuvvetlersistemiadverilir.Ancakayndzlem zerinde bulunurlar(ekil 2.7) ekil 2.8: Gelii gzel kuvvetler 19 UYGULAMA FAALYET ekildekigibiverilenkuvvetlerinbilekelerinihesaplamakiinaadaki uygulamalar yapnz ekilde grlen kuvvetler ayn ynl olduklarnda kuvvetler toplam bilekeyi verir. F1= 50 N R = F1 + F2 + F3 N F2 = 40 NR = 50 + 40 + 60 F3 = 60 NR = 150 N lem basamaklarneriler Kuvvetleri snflandrnz Dorultu ve ynlerine gre kuvvet tipini belirleyiniz Kuvvetleri vektrler eklinde izinizGnye kullannz Hesaplamasn yapnzGerekli ilemleri yapnz. KONTROL LSTES Bu faaliyet kapsamnda aada listelenen davranlardan kazandnz becerileri Evet, kazanamadnz becerileri Hayr kutucuuna(X) iareti koyarak kendinizi deerlendiriniz. Deerlendirme ltleriEvetHayr 1.Kuvvetleri snflandrdnz m? 2.Kuvvetleri vektrler eklinde izdiniz mi? 3.Hesaplamasn yaptnz m? DEERLENDRME DeerlendirmesonundaHayreklindekicevaplarnzbirdahagzdengeiriniz. Kendiniziyeterligrmyorsanzrenmefaaliyetinitekrarediniz.Btncevaplarnz Evet ise lme ve Deerlendirmeye geiniz. UYGULAMA FAALYET 20 LME VE DEERLENDRME Aadaki cmlelerde bo braklan yerlere doru szckleri yaznz. 1.Madde zerinde ekil veya hareket deiiklii oluturan etkiye, denir. 2.Kuvvet vektrnn drt eleman vardr. Bunlar: A). B).. C).. D). dr. 3.ekimsel mgs birim sistemine gre, kuvvet birimi ..dr. 4.Bir Kuvvetin uygulama noktas, . zerinde kaydrlrsa deimez. Aadakicmlelerinsonundabobraklanparantezlere,cmlelerdeverilen bilgiler doru ise D, yanl ise Y yaznz. 5.Vektrleri veya dorultular bir noktada birleen kuvvetlere kesien kuvvetler denir. DEERLENDRME Cevaplarnzcevapanahtarylakarlatrnz.Yanlcevapverdiinizyadacevap verirkentereddtettiinizsorularlailgilikonularfaaliyetegeridnerektekrarlaynz. Cevaplarnzn tm doru ise bir sonraki renme faaliyetine geiniz. LME VE DEERLENDRME 21 RENME FAALYET-3 Bu faaliyette verilen bilgiler ile kuvvetlerin bilekelerinin bulunmas ile ilgili hesaplar yapabileceksiniz. Geometrikolarakdika,geniavedaradeerleriniiletkiveyaaler yardmylaiziminirenerekuygulaynz.Trigonometricetvelinikullanarak alarn Sin, Cos, deerlerini bulmay reniniz. 3. KUVVETLERN BRLETRLMES VE BLEKE KUVVETNN BULUNMASI Herhangibirbyklnllmesindeobykleaitlbirimivelaletine gereksinim vardr. lme ileminde kullanlan yntem, analitik ya da grafiktir. Byklk iki deiikekildebulunabilir.Skalerbyklk,lmeninsaysaldeertad(F=10N) anlamndadr.Saysaldeerinyetmediiayrcaynbelirtmeningerektiibyklklm vektrel olarak (F=10N) adlandrlr. 3.1. Bileke Kuvvetinin Tanm Bircismeikiveyadahaokkuvvetetkiederse,kuvvetlersistemimeydanagelir. Sistemlercisimlere,sonutatekkuvvetgibietkiederler.Sisteminyerinegeenbutek kuvvetesisteminbilekesi denir.Bilekeyi oluturan kuvvetlere bileen denir. Bileke grafik ve analitik hesaplamalarda R sembol ile gsterilir(ekil 3.1). ekil 3.1: Bileke kuvvet RENME FAALYET-3 ARATIRMA AMA 22 3.2. Kesien Kuvvetlerin Bilekelerinin Analitik ve Grafik Olarak incelenmesi 3.2.1. Analitik Metot Kesienikikuvvetinbilekesinibulmakiintrigonometrikformllerebavurulur. Trigonometride buna uygunu cosins (Kosins) teoremidir. ekil 3.2: Analitik metot hesab ABC dik geninde AB2 = AC2 + BC2(Pisagor)1 AC2 = (DC + AD)2 BC2 = BD2 DC2(Pisagor) AD = F2 BD = F1 CD = F1CosoBC=F1Sino deerleriyazlp1numaralformldeyerine konulursa AB2 = (DC + AD)2 + BC2 AB2 = DC2 + 2DCAD +AD2 + BC2 AB2 = DC2 + 2DCAD + AD2 + BD2 + DC2 R2 = 2F1Coso F2 + F21 +F22denklemi bulunur. Denklem dzenlenecek olursa R2 = F21 + F22 +2F1F2coso 23 R =o cos 22 12221 + + F F F Fo 900 olursaR =o cos 22 12221 + F F F Folur o = 00 Cos 00 = 1 olduundan R2 =F21+ F22 + 2F1F21 = (F1 + F2)2 R = F1 + F2 olur o = 900 Cos900 = 0 olduundan 2F1F20 = 0 olduundan R2 = F21+F22 bulunur. R2 = 2221F F +o = 1800 Cos 1800 = -1 olduundan R2 = F21+F22+2F1F2(-1) = (F1- F2)2 R = F1-F2 olur. 3.2.1. Dar Ada Kesien Kuvvetlerin Bilekesi F1veF2kuvvetlerininucundanbirbirineparalelizilir.Bunoktaile0noktas arasndaki doru bileke kuvveti verir. F1 ve F2 kuvvetlerine bileenleri denir. R bilekesi F1 ileF2bileenlerindenbyktr. o as90odenkktr.ekil3.3degrldgibidar ada(o)kesimektedir.Bukuvvetleri,geometrikolaraktoplayacakolursakbilekeyi bulmu oluruz. Geometrik toplam, kuvvetlerin ucundan karlkl paraleller izilmesiyle olur. ekil 3.3: Dar al 24 Sonuolarak:Kesienkuvvetlerinbilekesi,bukuvvetlerikenarkabuledenparalel kenarnuygulamanoktasndangeenkegenidir.BileenkuvvetlerF1 veF2 olarakkabul edersek, Bileke kuvveti R dir. o 900 R2 = F12 + F22 + 2 F1 . F2 .(- cos )R =( ) o cos 22 12221 + + F F F F bulunur. 3.3. kiden Fazla Saydaki Kuvvetlerin Bilekesini Grafik ve Analitik Hesaplamalarla Bulmak Bir sisteme ikiden fazla kuvvet etki ettii zaman, sistem bu kuvvetlerin bilekesi kadar etkilenir. Kuvvet, bir vektrel deer olduundan, birletirilmesi de geometrik olarak yaplr. Paralel kenar ve kuvvetler okgeni metotlar ile zme gidilir. Bir baka zm yani analitik metot ise, ayrtrma ksmnda ele alnacaktr. ekil 3.6: kiden fazla kuvvetlerin bilekesi 26 3.3.1. Grafik Metodu Kuvvetvektrlerininlekliizimiilezmsalar.KesienKuvvetlersisteminde bilekenin grafiksel olarak bulunmas iin eitli yntemler kullanlr. 3.3.1.1. Paralel Kenar Metodu (Drtgen Metodu) Paralelkenarmetoduuygulanarakveherkuvvetbirdefakullanlarakgerekbileke bulunur.Bumetotda,kuvvetlerinsraileelealnmasgerekmez.Herilemsonunda,bir nceki kuvvet yok olacandan, yok etme ya da indirgeme metodu da denir. ekil 3.7 ' de, F1 ve F2 'nin bilekesi R1 bulunduktan sonra, R1 ile F3 'n bilekesi olan R2 ve R2 ile R4 'n bilekesi de R yani gerek bilekeyi verir.

ekil 3.7: kiden fazla kuvvetler paralel kenar metodu 3.3.1.2. gen Yntemi Bilindii gibi kesien her iki kuvvet, bilekesi ile bir gen oluturur. Buna gre F1 ve F2 kuvvetleri kendi dorultularna paralel olarak u uca dizilirse oluan genin ak kenar, bileke R1,2 kuvvetini verir. Ayn nitelikte devam edilirse R1,2 ve F3 geninde bileke; R1,2,3 ve F4 geninden sistemin bilekesi, R bulunur(ekil 3.8). ekil 3.8: kiden fazla kuvvetler gen yntemi 27 3.3.1.3. Kuvvetler okgeni Metodu Bumetot, kuvvetlerin genmetoduna gre vektrel toplamdr.Her vektrn, kendi dorultusuna paralel olmak zere u uca eklenmesi ile bileke bulunur. ekil 3.9 'e gre birim lek dahilinde, F2 kuvveti izilir. F2' nin ucundan F1' e paralel izgiizilir.BuizgizerindeF1iddetiaynlekdahilindeiaretlenir.Bunoktaile balang0noktasarasnyanigenikapatandoruRbilekesiniverir.R'ninaynlek dahilindednmdeeriiddetiniverir.zellikleikidenfazlakuvvetlerinbilekesinin bulunmasnda kolaylk salar.

ekil 3.9. Kuvvetler okgeni yntemi 28 UYGULAMA FAALYETLER F1 = 30 N ve F2 = 50 N iddetindeki iki kuvvet, 0 noktasndan kesimektedir. Kuvvetler arasnda ki a, 1o= 300

2o= 900

3o= 1200 olduundabilekelerinianalitikolarakhesaplamakiinaadakiuygulamalar yapnz lem basamaklarneriler Kuvvetleri snflandrnz Dorultu ve ynlerine gre kuvvet tipini belirleyiniz Kuvvetleri vektrler eklinde izinizGnye kullannz Hesaplamasn yapnzTrigonometrik cetveli kullannz Gerekli ilemleri yapnz. zm: o= 300F1 = 30 NF2 = 50 Ncos 300 = 0,866 R =o cos 22 12221 + + F F F FR =866 , 0 50 30 2 50 302 2 + +R =2598 2500 900 + +R =5998R =77,44 N o= 900 F1 = 30 NF2 = 50 N cos 900 = 0 R =o cos 22 12221 + + F F F FUYGULAMA FAALYET 29 R =0 50 30 2 50 302 2 + +R =0 2500 900 + +R =2500 900 +R =2400R = 48,98 N 3o= 1200F1 = 30 NF2 = 50 Ncos 1200 = - 0,5 R =o cos 22 12221 + + F F F FR =( ) 5 , 0 50 30 2 50 302 2 + +R =1500 2500 900 +R =1900R = 41,1 N KONTROL LSTES Bu faaliyet kapsamnda aada listelenen davranlardan kazandnz becerileri Evet, kazanamadnz becerileri Hayr kutucuuna(X) iareti koyarak kendinizi deerlendiriniz. Deerlendirme ltleriEvetHayr 1.Kuvvetleri snflandrdnz m? 2.Kuvvetleri vektrler eklinde izdiniz mi? 3.Hesaplamasn yaptnz m? DEERLENDRME DeerlendirmesonundaHayreklindekicevaplarnzbirdahagzdengeiriniz. Kendiniziyeterligrmyorsanzrenmefaaliyetinitekrarediniz.Btncevaplarnz Evet ise lme ve Deerlendirmeye geiniz. 30 LME VE DEERLENDRME Aadakicmlelerinsonundabobraklanparantezlere,cmlelerdeverilenbilgiler doru ise D, yanl ise Y yaznz 1.( ) ki veya daha fazla kuvvetin yapabilecei etkiyi tek bana yapabilen kuvvete, bileke denir.2.( ) Geni ada kesien kuvvetlerin bilekesi R = F1 + F2 forml ile hesaplanr. Aadaki cmlelerde bo braklan yerlere doru szckleri yaznz. 3. Dar ada Kesien kuvvetlerin bilekesi, bu kuvvetleri kenar kabul eden .. .. . geen kegenidir. 4.Dik ada kesien kuvvetlerin arasndaki a ..dir 5.Kesien kuvvetler, dorultularna parelel olaraku uca dizildiklerinde kuvvetler aras akl kapatan kenar .verir. 6. Aralarnda dik a yapacak ekilde duran iki kii bir cismi ekiyor. Birinci kii700 N ikinci kii 500N luk kuvvetlerle bir cisme etkimektedir.A)Bu iki kuvvetin yapaca etkiyi tek bana yapabilecek kuvvetin (bilekenin) deeri nedir? B)Cismin takip edecei dorultu ile birinci ahs arasndaki a ka derecedir? DEERLENDRME Cevaplarnzcevapanahtarylakarlatrnz.Yanlcevapverdiinizyadacevap verirkentereddtettiinizsorularlailgilikonularfaaliyetegeridnerektekrarlaynz. Cevaplarnzn tm doru ise bir sonraki renme faaliyetine geiniz. LME VE DEERLENDRME 31 RENME FAALYET-4 Kuvvetlerin bileenlerinin bulunmas ili ilgili hesaplar yapabileceksiniz. Bileenkuvvetlernelerdir,bilekekuvvetiilefarklarnelerdir,bileen kuvvetlerinbulunmasndauygulananyntemlernelerdir.Analitikvegrafik yntemi aklaynz. 4. KUVVETLERN AYRITIRILMASI VE BLEENLERNN BULUNMASI 4.1. Bileen Kuvvetlerin Tanm Verilenbirarlnbirdenfazlabileeneblmeileminedenir.Kuvvetvektrelbir miktarolduundanbirletirilmesigibi,bileenlereayrlmasvektrel(Paralelkenar metoduna gre) olarak yaplr. ekil4.1: Ayrtrma ve bileenler Kuvvetlerinayrtrlmasileoluankuvvetlerebileendenir.Bilekekuvvetinin meydana gelmesinde etkili olan kuvvetlerin her birine bileen kuvvet denir(ekil 4.1). RENME FAALYET-4 ARATIRMA AMA 32 4.2. Grafik Metotla Bileenleri BulmakBirkuvvet,paralelkenarmetoduileetkidorultusuzerindebirnoktadangeeniki bileeneayrlabilir.Aslndabileenler,bilekekuvvetikegenkabuledenparalelkenarn kenarlarna eit vektrlerdir. Grafik yntemi: ekil 4.2. Bilekenin paralel kenar yntemi ile ekil 4.3 Kuvvetlerin iddetlerinin farkl bileenlerine ayrtrlmas.pergel yardmyla ayrtrlmas. ekil'de bileke ve AA ile BB dorultular bellidir. Buna gre F1 ve F2 bileenlerinin bulunmasbirlekdahilindeRbilekesiizilir.BubilekeninucundanAAveBB dorultularnaparalellerizilir.BununsonucundadorultularilebirletirildiindeF1veF2 bileenleri bulunur(ekil 4.4). ekil 4.4 Ayrtrma grafik yntemi 33 Birkuvvet,bileenlerininiddetleribelli,dorultularbelliolmadndaikibileene ayrlabilir. art, F1 + F2 > R olmaldr. ekil 4.5 Ayrtrma grafik yntemi ekildekigibi,F1veF2ileR'niniddetleribellideildir.Bunagreayrtrmau ekilde bulunur. Bir lek dahilin de R bilekesi izilir. Yine ayn lek dahilin de F1 kuvveti alnr, pergel bu deer kadar alr ve O ucundan bir yay izilir. Ayn ekilde F2 alnr, yine pergelle bu deer kadar alr ve biraz nceki yay kestirilir. Meydana gelen A noktas ile O noktasarasndakidoruzerindeF1kuvvetiiaretlenir.DahasonraBucundanF1'eveO ucundanAB'yeparalellerizildiindekesimnoktasCileOnoktalarnbirletirendoru zerinde de F2 bileeni iaretlenir(ekil 4.5). ekil 4.6 Ayrtrma grafik yntemi Birkuvvet,bileenlerindenbirininiddeti,dierinindorultusubelliolduundaiki bileeneayrlabilir.ekil4.6dagrldgibi,RbilekesiF2'nindorultusuveF1'n iddeti bellidir BellibirlekdahilindeRbilekesiizilir.PergelaynlekleF1kadaralr,B ucundanitibarenODdorultusuzerindekestirilir.BulunanABdorusuF1'eeittir. Dolays ile O ucundan AB dorusuna bir paralel izilir ve zerinde F1 iaretlenir. Daha nce bulunan OA dorusuda F2' ye eittir. 4.3. Analitik Metotla Bileenlerini Bulma Bir kuvvetin iki bileene ayrlmas, kuvvetlerin ayrtrlmasnn temelini oluturur. Bu nedenle kuvvetlerin bileenlerine ayrlmasnda uygulanan yntemler unlardr. 34 4.3.1. Sins (Lami) Teoremi Buteoreminuygulanlabilmesiiin,kuvvetsaysolmalvebirnoktada kesimelidir.Ayrca,kuvvetlerinvektreltoplamsfraeitolmaldr.Yanikuvvetlerinu uca toplamnda gen kapanmaldr. 4.3.1.1. Lamiye (Sins) Gre Buteorem,dikgenlereayrlamayankuvvetlerinayrtrlmasndakolaylksalar. Birkuvvetayrtrlacakuvvetlerlegeliigzelbirgenoluturduunda,kuvvetlerin karlarndaki alar biliniyorsa, lami teoremine gre ilem yaplr. Dik gen oluturan kuvvetlerin karlarndaki alarn sinsne oran birbirine eittir. ekil 4.7. Lami yntemi AlarnsinsleribelliolduundanorantlarndaF1,F2veF3ayrankuvvetleri, analitik olarak bulunur.4.3.1.2. D Lamiye (Sins) Gre Lami teoremine gre, kesien kuvvet dengede ise bunlardan herhangi birinin, br ikisiarasndakiannsinsneoransabittir.Kuvvetlerarasabilindiitakdirde,lami teoremine gre problem zlr.Kuvvetin, dnda kalan kuvvetlerin arasndaki ann sinsne oran birbirine eittir. ekil 4.8. D Lami yntemi 35 4.3.2. zdm Yntemine Grezdmyntemi,genelbiryntemoluphertrlkuvvetlereuygulanabilir.Bu yntemde, kuvvetlerin yatay ve dey koordinatlara gre durumlar deerlendirilir. Sistemde kullanlankuvvetlerkoordinatzerineaktarlarakeksenlerzerindekiizleriyardmyla ayrtrma veya birletirme yaplr. ekil 4.9 z Dm yntemi 36 UYGULAMA FAALYETLER Aada verilen problemleri hesaplamak iin aadaki uygulamalar yapnz lem basamaklarneriler Kuvvetleri snflandrnz Dorultu ve ynlerine gre kuvvet tipini belirleyiniz Kuvvetleri vektrler eklinde izinizGnye kullannz Hesaplamasn yapnzTrigonometrik cetveli kullannz Gerekli ilemleri yapnz. Uygulama 1 ekilde grlen F kuvvetinin x ve y iz dmlerini grafik ve analitik metotla bulunuz. zm xveykoordinatlarizilirvexkoordinatile300ayapanbirdorultuveonun zerindeFkuvvetiiaretlenir.Fkuvvetininucundankoordinatlaragnderilendiknlarn, koordinatlardeldiidnlennoktalarnOnoktasilebirletirilmesisonucundaiz dmleri bulunur. FX = 43 mm = 43 daN FY = 25mm = 25 daN kikuvvetbulunduuiin,lami(sins)teoremiuygulanmaz.Trigonometrik fonksiyonlardan faydalanarak zme gidilir. UYGULAMA FAALYETLER 37 Buna gre OAB dik geninden cos 300 = FFX FX = 50cos300 Cos 300 = 50XFFX = 500,866 FX = 43,3 daN FY = 50sin 300 Sin 300 = 50YFFY = 500,5 FY = 25 daN Uygulama 2 ekildegrleneikdzlemdekicisimarlkkuvvetininsonucuolaraknekadarbir kuvvetle ekilir. Grafik ve analitik metotla znz. zm Grafik zm aadaki ekildeki gibidir. FG = 150 daN o= 300 38 lek: 30 daN = 10 mm FG = 150daN = 50 GX = 25 mm = 1030 25 = 75 daNGY = 43 mm = 1030 43 = 129 daN Analitik zm: sin 30 = GGX GX = Gsin 300 = 1500,5 = 75 daN Cos 300 = GGY GY = Gcos300 = 1500,866 = 129,9 daN Uygulama 3 ekildekisistemdengededir.o =30eikve50Nyklmakarannubuundaki denge kuvveti ne kadar olur? zm SisteminsabitmakarasndandolayFG=F=50N,(yk=kaldrankuvvet) olmaktadr.BuradaFGveFkuvvetleri,makaraubuundakiFpkuvvetiyle dengelenmektedir.Bylecekuvvetdiyagram,ekil4.15bdekigibiolur.Lamiteoremine gre zm yaplabilir. 39 FG FP aras a 1800 300 = 1500 olduundan 0 075 sin 150 sinPF F= den FP =NF59 , 965 , 0 9659 , 0 50150 sin75 sin00== Kesienkuvvettenikisininbilekesi,nckuvveteeitsenckuvvetin bileenleri de bu iki kuvvete eit demektir. Bu durumda dengedeki sistem, bileke kuvvetin ikibileeninibulmakeklindedezlr.zmdegenlereayrmayntemi uygulanabiliyorsa, gerektiinde bu yolla da sonuca gidilebilir. Uygulama 4 ekilde grlen kuvvet sisteminin bilekesini iz dm metoduna gre bulunuz 40 zm: Analitik metot: Bu metotta eimleri belli olan kuvvetler ayn tatbik noktasnda getii dnlr,bunoktaaynzamandabilekenintatbiknoktasveyageeceibirnokta olduunagre,bunoktadangemekzerekoordinateksenlerialnr.Kuvvetlerin izdmleribueksenlerzerinedrlr.Bunedenleherkuvvetbirbirinedikikibileene ayrlmolur.Ayneksenzerindebulunankuvvetlerynlerinegrematematikselolarak toplanr. X ekseni zerindeki bileenlerin toplam F1 = kuvvetinin X ekseni zerindeki izdmFx1 = - F1cos1oF2 = kuvvetinin X ekseni zerindeki izdmFX2 = F2cos2oF3 = kuvvetinin X ekseni zerindeki izdmFX3 = F3cos3oF4 = kuvvetinin X ekseni zerindeki izdmFX4 = - F4cos4o + + =4 3 2 1 X X X X XF F F F F( )4 4 3 3 2 2 1 1cos cos cos cos o o o o + + + =F F F F FX Y ekseni zerindeki bileenlerin toplam F1 = kuvvetinin Y ekseni zerindeki izdmFY1 = F1sin1oF2 = kuvvetinin Y ekseni zerindeki izdmFY2 = F2sin2oF3 = kuvvetinin Y ekseni zerindeki izdmFY3 = - F3sin3oF4 = kuvvetinin Y ekseni zerindeki izdmFY4 = - F4sin4o + =4 3 2 1 Y Y Y Y YF F F F F + + + = ) sin ( ) sin ( sin sin4 4 3 3 2 2 1 1o o o o F F F F FY Btnkuvvetlerineksenlerzerindekibileenleribulunuptoplandktansonra yaplacakitatbiknoktalarbirvearalarndakia900olanikikuvvetinbilekesini bulmaktan ibarettir. Bu da daha nce grdmz gibi R = +2 2Y XF F denklemi ile bulunur. KuvvetlerinXveYekseninegreizdmleribulunurkeniaretlerineokdikkat etmek gerekir. Terimler bileenlerin ynlerine gre pozitif veya negatif olarak iaretlenir. Bu 41 iaretlemedeXeksenizerindeynlerisaadoruolankuvvetler(+)pozitifsoladoru olanlar ( - ) negatif olarak Y ekseni zerinde ise yukar doru olanlar ( + ) pozitif aa doru olanlar ( - ) negatif olarak iaretlenir. + + + = ) 45 cos 100 ( 45 cos 250 30 cos 200 ) 60 cos 300 (0 0 0 0XF= N FX2 , 129 + + + = ) 45 sin 100 ( ) 45 sin 250 ( 30 sin 200 60 sin 3000 0 0 0YF= N FY4 , 112R = +2 2Y XF F R = 2 2) 4 , 112 ( ) 2 , 129 ( +R = 17,12Nbulunur. Bilekenin X ekseni ile yapm olduu a 869 , 02 , 129 4 , 112tan = = =XYXFFoX Xo o = = 869 , 0 tan = 410olur. KONTROL LSTES Bu faaliyet kapsamnda aada listelenen davranlardan kazandnz becerileri Evet, kazanamadnz becerileri Hayr kutucuuna(X) iareti koyarak kendinizi deerlendiriniz. Deerlendirme ltleriEvetHayr 1.Kuvvetleri snflandrdnz m? 2.Kuvvetleri vektrler eklinde izdiniz mi? 3.Hesaplamasn yaptnz m? DEERLENDRME DeerlendirmesonundaHayreklindekicevaplarnzbirdahagzdengeiriniz. Kendiniziyeterligrmyorsanzrenmefaaliyetinitekrarediniz.Btncevaplarnz Evet ise lme ve Deerlendirmeye geiniz. 42 LME DEERLENDRME Aadaki cmlelerde bo braklan yerlere doru szckleri yaznz. 1.Kuvvetlerinayrtrlmasileoluankuvvetlere..denir.Bilekekuvvetinin meydana gelmesinde etkili olan kuvvetlerin her birine .. denir. Aadakicmlelerinsonundabobraklanparantezlere,cmlelerdeverilen bilgiler doru ise D, yanl ise Y yaznz. 2.()Bileenler,bilekekuvvetikegenkabuledenparalelkenarnkenarlarnaeit vektrlerdir. 3.()Lami(sins)teoremidikgenlereayrlamayankuvvetlerinayrtrlmasnda kolaylk salar. 4.()LamiTeoreminegre,BilekeveBileenkuvvetleringeninde,kuvvetlerin karlarndaki alarn cosinslerine oran sabittir. 5.()zdmyntemi,sistemdekikuvvetleribirbirinedikxveykoordinatlar dorultusunda ayrtrmak iin kullanlr. 6.ekildeki kuvvet sisteminin bilekesini ve bilekenin X ekseni ile yapm olduu ay analitik olarak bulunuz. DEERLENDRME Cevaplarnzcevapanahtarylakarlatrnz.Yanlcevapverdiinizyadacevap verirkentereddtettiinizsorularlailgilikonularfaaliyetegeridnerektekrarlaynz. Cevaplarnzn tm doru ise bir sonraki renme faaliyetine geiniz. LME VE DEERLENDRME 43 RENME FAALYET- 5 Moment ve mesnet hesaplar yapabileceksiniz. Moment nedir, nasl hesaplanr. eitli moment alma yntemlerini aratrnz. Moment alma ile ilgili gncel ve somut rnekler nelerdir? aratrnz. 5. MOMENT VE MESNET TEPKLER 5.1. Momentin Tanm KuvvetindndrmeetkisinemomentdenirMomentinoluabilmesiiincismeetki edenkuvvetindorultusu,dndrmenoktasnndndangemelidirAksihaldemoment olumaz. (ekil 5.1) Bir momentin deeri, kuvvetin bykl ile kuvvet kolunun uzunluu arpmkadardr(Kuvvetkoluuzunluu,dndrmenoktasndankuvvetindorultusuna inilen dikmenin boyudur.). ekil5.1:Moment ekil5.2grlenkapy,eitlinoktalarndaniterekkapatmayaalalm.Kapnn (A)noktasndaF1kuvvetiilerahatitilerekkapatldnvementeeetrafndadndn gzleriz. B noktasnda, F2 kuvveti ile biraz zor, C noktasnda daha zor, itilerek kapatldn anlarz. D noktasnda (mentee ekseni), ne kadar ok kuvvet uygulanrsa uygulansn kapnn dnme hareketi yapmad ve kapanmadn grrz. RENME FAALYET-5 ARATIRMA AMA 44 ekil 5.2 Moment etkisi Sonuolarak,uygulanankuvvetlermenteedenuzaklatkakapnndnme hareketinin kolaylat aksi durumda ise zorlat tespit edilmektedir. Menteeler, moment noktasndan geen eksen zerinde olduundan, kuvvet uygulansa da kapnn dnme hareketi yapmad da grlmtr. Buna gre moment olabilmesi iin, kuvvet uygulanan cismin bir eksenetrafndadnmesi,gerekmektedir.Birkuvvet,dorultusuzerindekaydrlrsada momentin deeri korunur. 5.2. Noktaya Gre Moment Alma Kuvvetin(F)momentiiinseilennokta(0),birekseninkuvvetdzleminideldii noktadr.Bunoktadankuvvetdorultusunainilendikmeninuzunluu(r),kuvvetkolunu verir. Bylece noktaya ve eksene gre. Moment,M0 = Fr olur. Burada moment ekseninin kuvvetdzleminideldiinoktayamomentmerkezidenir(ekil5.3).Momentbirarpm olduundan;merkeziyadaeksenininbelirlenmesiveikielamannbilinmesigerekir. Bunlardanbirieksikolursamomenttanmlanamaz.Momentgenellikle(M)ilegsterilir. Ancakalndnoktaydabelirlemekiinbuharfinsaaltkesinebiriaretkonulabilir (ndis).Birnoktayagremomentlerintoplamda,()iaretiilebelirtilir.Bir(0)noktasna gre alnan momentlerin toplam, (Mo) eklinde ifade edilir ekil 5.3Noktaya gre moment alma 45 M = MomentNm F = KuvvetN r = Kuvvet kolu isem M=FrNm olur.Kuvvet,ynlbyklkolduuiin,bununbiruzaklklaarpmolanmomentde ynl bir byklk olur. Bu nedenle moment bir vektrle gsterilebilir (ekil 5.4.) e dikkat edilecekolursabirkuvvetinmomenti,kuvvetiniddetitabanvemomentmerkezidetepe noktasolmakzereizilengenalannnikikatkadardr.OABgeninde,Fkuvveti taban; r moment kolu da yksekliktir. ekil 5.4 Momentin vektrel gsterimi gen alan, A= Fr 21m olur. Moment, gen alannn iki kat olacandan.M=22 r F - Nm sonucu kar. M=Fr Nm Birimi:M=Nm=1j(SI sistemine gre) M=dyncm=1Erg 1N=105dyn Birdzlemzerindebirdenfazlakuvvetbulunabilir.Bunlardanbazlarsaatakrebi ynnde, bazlar da ters ynde dndrme etkisi yapabilirler. Bunlarla ilgili olarak, iaretleri kendimizdeseebiliriz.Saatakrebiyn(-)negatif,tersyn(+)pozitifalnmas allagelmitir.Ancakbubirkuraldeildir.Dahancedesylenildiigibi,ynleriarzu ettiimiz ekilde iaretleyebiliriz. Ancak burada nemli olan ynleri balangta seip btn problemlerdeaynekildekullanmaktr.Aksihalde,setiimiziaretleriprobleminbir blmnde kullanr, baka blmnde de dier ynleri alrsak karkla ve yanlla sebep olur. 46 5.3. Denge Sistemlerine Gre Moment Hesaplama Tersynlvebirbirineparalel,aynzamandaiddetlerieitkuvvetlerinmeydana getirdii sisteme "kuvvet ifti" denir(ekil 5.5). ekil 5.5 Kuvvet iftti a = Kuvvet ifti kolu N = Kuvvet ifti dzlemi Bir kuvvet ifti elamanlar ve deerleri sabit olmak zere, baka bir kuvvet ifti ile deitirilebilir. Bir kuvvet ifti, kendi dzlemi zerinde baka bir yere kaydrlabilir. Bir kuvvet ifti, bulunduu dzleme paralel baka dzleme doru hareket ettirilebilirMomentvektrelbirdeerolduundan,kuvvetiftindemomentvektrleriile gstermek,zmlerdenemlikolaylksalar.Klavuzilevidaekmeileminde,buji kolununikiucunauygulanankuvvetlerkuvvetiftineiyibirrnektir.Buradaklavuzun dn yn moment vektrnn dn yndr(ekil 5.6). ekil 5.6: Dn yn M=F.a 5.3.1. Bilekenin sfr olmas art (Kuvvetler okgeninin kapal olmas hali) kiveyadahaokkuvvetlerin,herhangibirnoktayagremomentlerinintoplam,bu kuvvetlerin yerini tutan bilekenin, ayn noktaya gre momentine eittir. 47 Birdzlemierisindebulunanikiveyadahafazlakuvvetinbudzlemierisindeki herhangibirnoktayaveyaeksenegremomentlerinincebirseltoplamkuvvetlerin bilekesinin ayn nokta veya eksene gre momentine eittir(ekil 5.7). ekil 5.7.Varignon prensibi Fr=F1r1+F2r2

Dengedeolankuvvetsistemlerindebilekesfraeittir.Dolaysileherhangibir noktayaveyaeksenegremomentidesfrdr.Bilekeninmomentininsfrolmas,sistemi meydanagetirenbileenlerinaynnoktayagremomentlerinintoplamnnsfraeitolmas arttr. F=Fn(Varignon prensibi) Mc= 0 (Varignon teoremi prensibi) -Fnr + F1r1 + F2r2 = 0Bublmdenitibarenadetdenklemkurularak,bilinmeyenliproblemler zlebilir. Fx = 0 Fy = 0 M = 0 5.4. Mesnetlerde Oluan Kuvvetler ve Ynleri Yataykonumdayktayanelemanlarakiri,kirileritayansistemlerede mesnet(dayanak)denir.Mesnettepkilerininbulunabilmesiiin,mesnetlerinincelenmesi gerekir. ekil 5.8Mesnet eitleri 48 ekil.5.8 de (A) noktasnda kiriin oturduu dayanak, mafsall mesnet ve (B) ucundaki dayanak ise serbest, kayan mesnet adn alr. ekil B de ise, bir beton iine gmlm ucu ile dierblmserbestolankiritekiAksmna,ankastremesnetdenir.Mesnetlerde,kirie yaplanetkieklinegrekarkuvvetler(tepkiler)oluur.Statiintemelprensipleri gereince etki=tepki' dir. 5.4.1. Mafsall Mesnetler Birpimilesabitlenmiolupxveyeksenleriynndehareketyapamazlar.Dolays ile x ve y eksenleri ynnde iki kuvvet tayabilirler(ekil 5.9). ekil 5.9. Mafsall mesnet Ax ve Ay tepkilerinin ynleri, balangta doru ya da geliigzel seilebilir. Kurulan Fxve Fy =Odenklemlerisonucunda deeri(+)karsayndoruseilmitir.Deer(-) karsatepkiynhatalalnmtr.Dzeltilerekzmedevamedilmesigerekir.Ksaca mesnet tepkilerinin ynleri sabit olmayp seilen ynlere gre deiebilir. 5.4.2. Hareketli mesnetler Kayardurumdaolduklarndansadecedeykonumdayktayabilirler.Dey konumda ay tepkisi oluur (ekil 5.10). Etki ekline gre; x ynnde bir kuvvet gelirse kiri kayar ve sistemin dengesi bozulur. Dey konumda ay tepkisi oluur. ekil 5.10 Hareketli mesnet 5.4.3. Ankastre mesnetler Birucundandesteklenipdierucubotadr.Dnmehareketiniengelleyicive sabitlendii yerden kma durumuna gre Ax, Ay ve M tepkileri meydana gelir(ekil 5.11). 49 ekil 5.11. Ankastre mesnet Buna gre bilinmeyenleri vardr. Daha nce belirtilen Fx = OFy = OEM = O denklemleri kurularak zme gidilir. 5.5. Moment Uygulamalar 5.5.1. Dolayl yklere gre ekil 5.12 Dolayl yklere gre moment Ndzlemiy-yekseninediktir.F1veF2kuvvetleriNdzlemizerinde bulunduklarndan, izdmleri de kendileri kadardr. Dolayl yk olarak (O) noktasn kendi iddetleri kadar etkilerler(ekil 5.12). MF = - F1r1 F2r2 5.5.2. Al yklere gre moment: SilindirNdzleminedikolduundan,Fkuvvetidirektolarakdndrmeetkisi yapamaz.FkuvvetininNdzlemineparalelyadayapk,yaniizdmkuvvetietkili olur(ekil 5.13) Fx = FcosoMy y = Fxr (y-y gre moment) 50 ekil 5.13 Al yklere gre moment My y = Frcoso olur. 51 UYGULAMA FALYETLER Aada verilen mement problemleri hesaplamak iin aadaki uygulamalar yapnz lem basamaklarneriler Sistemi inceleyinizDorultu ve ynlerine gre kuvvet tipini belirleyiniz Gerektiinde Kuvvetlerin eklini izinizGnye kullannz Hesaplamasn yapnzTrigonometrik cetveli kullannz Gerekli ilemleri yapnz. Uygulama1:ekildegrlencvataikiazlanahtarilesklmaktadr.Meydana gelecek momenti bulunuz. D = 600 mm F = 200 N zm D = 600 mm = 0,6m r = 300 mm = 0,3 m F = 200 N Moment = Kuvvet Kuvvet kolu M = F r M = 200 0,3 = 60 Nm M = 60 Nm UYGULAMA FAALYETLER 52 Uygulama2:ekildegrlenkasnadndren100Niddetindekikuvvetiftinin meydana getirdii momenti bulunuz. D = 500 mm = 0,5 m F = 100 N M = ? Burada kasnak bir kuvvet iftti tarafndan zorlanyor. Moment = Kuvvet Kuvvet iftti koluM = 100 0,5 = 50 Nm M = 50 Nm Veya aadaki yntem kullanlarak sonuca varlr. = 0AM- Md +0,25 100 + 0,25 100 = 0 Md = 2 (0,25100) Md = 2 25 Md = 50 Nm eklinde bulunur. 53 Uygulama3:ekildeitirmeyenvearlkszABubuuekildegrldgibi yklenmitir. BC ipini geren kuvveti hesaplaynz. zm: ABubuunaetkiedenkuvvetlerdengededir.Dengedeolankuvvetsisteminin herhangi bir eksene gre toplam momenti sfrdr. Moment ekseni A' dan geirilecek olursa: = 0AM10002 +5003-SC4sin300 = 0 SC= 1750235005 , 0 41500 2000= =+ N olur. Uygulama4:AnoktasndasrtnmesizpimlebalABubuununBdayanma yerindeki aksi tesirinin 600 N. olabilmesi iin 1000 N. luk kuvvet A ucundan ne kadar uzaa (x = ?) etki ettirilmelidir? zm: ABubuunaetkiedenkuvvetlersistemidengededir.Bubakmdan,herhangibir eksene gre bu kuvvetlerin momentlerinin cebrik toplam sfrdr. A pimine etki eden kuvveti denkleme sokmamak iin, buradan geen bir eksene gre moment alrsak: = 0AM denkleminden 54 1000X 600120=0 X=72 cmbulunur. Uygulama 5: ekilde grlen kuvvetlerin y-y eksenine gre momentlerini bulunuz ve bir moment vektr ile gsteriniz. zm: N dzlemi y - y eksenine dik olduu iin kuvvetlerin izdm kendileri kadardr. Bu sebeptenmomentleri,iddetleriilemomentkollararpmnaeittir.Etkikuvvetin momentleri cebri toplam bileke momentini verir. Buna gre bileke moment: MR = F112 + F220 MR = 30012 + 45020 MR = 3600 + 9000 MR = 12600 N cm = 126 Nm Bilekemomentvektr,kuvvetlerinbulunduudzlemedikvemomentekseni zerinde alnr. Bykl MR kadardr. Yn ise sa el kuralna gre saptanr. Uygulama6:ekildegrlenubuunBveCmesnetlerindekiaksitesirleri hesaplaynz. 55 zm:= 0YF denkleminden -3000 + RA + RB = 0 RA+RB=3000 = 0BM denkleminden 30002-RA1,2=0 50002 , 12 3000==AR N RA+RB=3000 denkleminde yerine konulursa RB= 3000-RB RB = 30005000 RB= -2000 N RA=5000 N yukar doru, RB=-2000 N aa doru KONTROL LSTES Bu faaliyet kapsamnda aada listelenen davranlardan kazandnz becerileri Evet, kazanamadnz becerileri Hayr kutucuuna(X) iareti koyarak kendinizi deerlendiriniz. Deerlendirme ltleriEvetHayr 1.Kuvvetleri snflandrdnz m? 2.Kuvvetleri vektrler eklinde izdiniz mi? 3.Hesaplamasn yaptnz m? DEERLENDRME DeerlendirmesonundaHayreklindekicevaplarnzbirdahagzdengeiriniz. Kendiniziyeterligrmyorsanzrenmefaaliyetinitekrarediniz.Btncevaplarnz Evet ise lme ve Deerlendirmeye geiniz. 56 LME VE DEERLENDRME Aadaki cmlelerde bo braklan yerlere doru szckleri yaznz. 1.Kuvvetin dndrme etkisine . denir. 2.Moment ekseninin kuvvet dzlemini deldii noktaya ....denir. Aadaki cmlelerin sonunda bo braklan parantezlere, cmlelerde verilen bilgiler doru ise D, yanl ise Y yaznz. 3.( ) Bir momentin deeri, kuvvetin bykl ile kuvvet kolunun uzunluu fark kadardr. 4.( ) Bir kuvvet sistemi dengede ise bileke sfr olacandan momenti de sfr olur. 5.( ) Kuvvetlerin dndrme ynne gre momentlerin de yn ortaya kar. 6.ekildeki mafsall kol sisteminde F1 kuvveti ne kadardr? 7.ekildeki sistemde denge salanabilmesi iin L uzunluu ka cm olmaldr? LME VE DEERLENDRME 57 8.Bir AB ubuuna ekilde grld gibi 8000 N luk kuvvet etki ettirilmitir. B mesnedindeki aksi tesiri bulunuz. DEERLENDRME Cevaplarnzcevapanahtarylakarlatrnz.Yanlcevapverdiinizyadacevap verirkentereddtettiinizsorularlailgilikonularfaaliyetegeridnerektekrarlaynz. Cevaplarnzn tm doru ise bir sonraki renme faaliyetine geiniz. 58 RENME FAALYET-6 Cisimlerin arlk merkezlerini bulma ile ilgili hesaplar yapabilmektir. Makineciliktearlk merkezlerinin kullanm alanlarn aratrnz. 6. AIRLIK MERKEZ 6.1. Arlk Merkezinin Tanm Bircisminktlesineaityerekimikuvvetiningetiivecisminherkonumunagre deimeyen noktaya arlk merkezi denir. ekil 6.1:Arlk merkezi Simetrik cisimlerin arlk merkezleri teoremi Simetrimerkezi bulunan ekillerin (izgi, yzey, hacim) arlk merkezi simetri merkezi zerindedir. Simetri ekseni bulunan ekillerin arlk merkezi, simetri ekseni zerindedir. Bir yzey bir apa sahipse arlk merkezi, o ap zerindedir. Bir hacmin ap dzlemi varsa arlk merkezi, o ap dzlemi zerinde bulunur. Buteoremegre;birdoruparasnnarlkmerkeziortasnda,krenin,dairenin, elipsinarlkmerkezlerigeometrikmerkezlerde,karenin,dikdrtgenin,ekenardrtgenin arlk merkezleri simetri eksenlerinin kesim noktalarnda bulunur. ekil 6.2. Simetrik cisimlerin arlk merkezleri RENME FAALYET-6 ARATIRMA AMA 59 6.2. Arlk Merkezini Bulmak 6.2.1. Analitik Metotla Arlk Merkezini Bulmak Cisimlerboyutluolduklarndanarlkmerkeziuzaydakiyerinix,yvez koordinatlarna gre belirlemek gerekir. Ancak cismin; simetri dzleminin, simetri ekseninin veya simetri noktasnn olmas halinde koordinatn hesaplanmasna gerek yoktur. Simetrisi ve homojenlii olmayan cisimlerde arlk merkezi, youn olan tarafa kayar. Arlk merkezi bulunurken homojen cismin geometrik ekli dikkate alnr. Buna gre: izgilerin arlk merkezi; Tel ubuk gibi cisimlerin arlk merkezi, izgilerin arlk merkezine gre hesaplanr. Yzeylerinarlkmerkezi;Sa,levha,inceplakagibicisimlerinarlkmerkezi yzeylerin arlk merkezine gre hesaplanr. Yzeyi oluturan dzgn yzeylerin alanlar (A1, A2) bulunur. Alanlar arlk merkezlerinin y eksenine uzakl ile arplarak toplanr (A1x1 + A2x2 ). Bulunan toplam deer bileke yzeyinin alanna (A1 +A2) blnrse arlk merkezinin x uzakl bulunur. Ayn ilem x eksenine gre yaplarak y uzakl bulunur. X0 =2 12 2 1 1A Ax A x A+ + Y0 = 2 12 2 1 1A Ay A y A+ + Hacimlerinarlkmerkezi;Cisminboyutudikkatealnarakarlkmerkezi hesaplanr. 6.2.2. Grafik Metotla Arlk Merkezini Bulmak AsmaMetodu:Cisimbiripileaslacakolursa,ipindorultusuilearlk merkezinin getii doru ayn olur. ekil 6.3. Asma metodu 60 DengeMetodu:Cisimbakgibibirmesnetzerindedengelenirse,budoru arlk merkezinden geer. BasnMetodu:Bircisimzerindekikkbiralanaetkiedenkuvveteani kuvvet,genibiralanaetkiedenkuvveteyaylmkuvvetdenirvebirok paralel ani kuvvetlerin bilekesidir. Bileke merkezi 6.3. Yzeylerin Arlk Merkezinin Bulunmas 6.3.1. Dzgn Yzeylerin Arlk Merkezini Bulmak ekil 6.4. Dzgn yzeyler nce dzgn bir ubuun arlk merkezi, ubuun ortasdr. Dikdrtgen, kare, ekenar drtgenin arlk merkezi, kegenlerinin kesim noktasdr. Dairenin ise, merkezidir. Dzgn yzeylerde arlk merkezi, simetri ekseni zerindedir (ekil 6.4 ). 6.3.2. i Bo Yzeylerin Arlk Merkezini Bulmak i bo yzeyler, dzgn ekilde ise arlk merkezleri yine kegenlerin kesim noktas ya da dairenin merkezidir. Arlk merkezinin uygulama noktas, simetri ekseni zerindedir. Ancakbunoktaboksmdakalr.Hayaliolarakbunoktadanetkiyaplyormugibi dnlr.ibo yzeylerdeboaltlanksmlarsimetrikdeilse,arlkmerkezigrafikve analitikmetotlarlabulunur.Ancak,boaltlanksmlardenklemde,negatif(-)olarak iaretlenir. Arlk merkezi ise, dolu ksma doru kayar(ekil 6.5). ekil 6.5: i bo yzeyler 61 6.3.3. st ste Katlanm Yzeylerin Arlk merkezini Bulmak ekil 6.6. Katlanm yzeyler Katlanmcisimler,telyadasaclevhaolabilir(ekil6.6).Dzgnveiibo yzeylerde,yzeyalanesasalnabiliyordu.Buradaise,katlananblgedearlkfark meydanagelir.Dolaysileyzeydeil,cisminarlnnesasalnmasdahadoruolur. zm,paralelkuvvetlerinbilekesininbulunmaseklindedir.Grafikveanalitikzm uygulanabilir. Pratik olarak, katlanm yzeyler, vektrel olarak bir izgi ile ifade edilerek u denklem kurulabilir; G1 D01 = G2 E01 6.3.4. Bileik Yzeylerin Arlk Merkezini Bulmak Bileikyzeyler;belligeometrikeklesahipyzeylerinbirletirilmesisonucu meydanagelir.Bileikyzeylerinarlkmerkezibulunurken,ekilbasitvedzgn yzeylereayrlrHeryzeyinarlkmerkezibilinenmetotlaiaretlenir.Grafikolarak, finkler okgeni uygulanr. Analitik olarak Varignon Teoremi uygulanr. 6.3.4.1. Grafik Yntemle Bileik Yzeylerin Arlk Merkezini Bulmak Bazbasityzeylerinarlkmerkezlerionlarngeometrikmerkezleridir.Dzgn olmayanveyabirleikyzeylerinarlkmerkezlerigrafikolarakaadakiyolagre bulunur(ekil 6.7). 62 ekil 6.7. Grafik yntemle arlkmerkezinin bulunmas Arlkmerkezibulunacakdzlemselyzeybasityzeylereayrlr.Arlk merkezleri iaretlenir. Her basit yzeyin alan ile doru orantl kuvvetler seilir. Seilenbukuvvetlerbirbirineparalelolacakekildeaitolduklarmerkezlere uygulanr. Bu kuvvetlerin bileke si ve dorultusu herhangi bir geometrik metotla bulunur. (ekil 6.7) de finkler metodu uygulanmtr. Basityzeylerinalanlariledoruorantlolankuvvetlerintatbiknoktalanve iddetlerideimedeneskidorultusuileherhangibirakadar dndrlr.(rnekte 90 dndrlmtr). Bilekeleri ve bilekenin dorultusu tekrar bulunur. ki bileke dorultusunun kesime yeri aranan arlk merkezidir 63 6.3.4.2. Analitik Yntemle Bileik Yzeylerin Arlk Merkezini Bulmak ekil 6.8: Bileik yzeylerin arlk merkezi analitik yntem X0 =2 12 2 1 1A Ax A x A+ + Y0 = 2 12 2 1 1A Ay A y A+ + ekil 6.9: i Bo yzeylerin arlk merkezi analitik yntem X0 = 2 12 2 1 1A Ax A x A Y0 = 2 12 2 1 1A Ay A y A 64 UYGULAMA FAALYETLER Aadaverilenarlkmerkezibulmaproblemlerinihesaplamakiinaadaki uygulamalar yapnz lem basamaklarneriler Sistemi inceleyinizArlk merkezini bulacanz ekli inceleyiniz. Gerektiinde sistemin eklini izinizizim ara gereleri kullannz. Hesaplamasn yapnzGerekli ilemleri yapnz. Uygulama 1:ekildeki, parann arlk merkezi koordinatlarn bulunuz. zm: X0 =2 12 2 1 1A Ax A x A+ + Y0 = 2 12 2 1 1A Ay A y A X1= 5 cmX2 =20cmY1= 22,5 cmY2 = 5cm A1 =250 cm2A2 = 400cm2A1 = 250 cm2A2 = 400 cm2 UYGULAMA FAALYETLER 65 6508000 1250400 25020 400 5 2500+=+ + = X 400 2505 400 5 , 22 2500+ + = Y =400 2502000 6375++ 65092500 = X Y0=6508375 cm X 23 , 140 = Y0= 12,88 cm Uygulama2:ekildekiststekatlanmparannarlkmerkezikoordinatlarn bulunuz. zm: Taral alann arlk merkezi koordinatlar bulunacaktr. 3 2 13 3 2 2 1 10A A AX A X A X AX+ + + + =3 2 13 3 2 2 1 10A A AY A Y A Y AY+ + + + =X1= 1,5 cm X2= 6 cmX3 = 4,5 cm A1 = 36 = 18 cm2A2 = 26 = 12 cm2A3 = 34 = 12 cm2 3 2 13 3 2 2 1 10A A AX A X A X AX+ + + + = 66 4254 72 2712 12 185 , 4 12 6 12 5 , 1 180+ +=+ + + + = X 421530 = X 64 , 30 = X cm Y1 = 3 cmY2 = 1 cmY3 = 4 cm A1 = 36 = 18 cm2 A2 = 26 = 12 cm2A3 = 34 = 12 cm2 3 2 13 3 2 2 1 10A A AY A Y A Y AY+ + + + =4248 12 5412 12 184 12 1 12 3 180+ +=+ + + + + = Y 421140 = Y71 , 20 = Ycm Uygulama3:ekildekiiiboaltlmparanarlkmerkezikoordinatlarn bulunuz. 2 12 2 1 10A AX A X AX =2 12 2 1 10A AY A Y AY = 67 zm: X1 = 4 cm X2 = 2,2 cm A1 = 5 8 = 40 cm2 A2 = 4 25 , 6 14 , 34 5 , 2 14 , 342 2== D t =9 , 4462 , 19=cm2 2 12 2 1 10A AX A X AX =1 , 3522 , 1491 , 3578 , 10 1609 , 4 402 , 2 9 , 4 4 400== = X25 , 40 = XcmY1 = 2,5 cm Y2 = 2 cm A1 = 5 8 = 40 cm2 A2 = 4 25 , 6 14 , 34 5 , 2 14 , 342 2== D t =9 , 4462 , 19=cm2 2 12 2 1 10A AY A Y AY = 1 , 352 , 901 , 358 , 9 1009 , 4 402 9 , 4 5 , 2 400== = Y56 , 20 = Ycm KONTROL LSTES Bu faaliyet kapsamnda aada listelenen davranlardan kazandnz becerileri Evet, kazanamadnz becerileri Hayr kutucuuna(X) iareti koyarak kendinizi deerlendiriniz. Deerlendirme ltleriEvetHayr 1.Sistemi incelediniz mi? 2.Gerektiinde Kuvvetlerin eklini izdiniz mi? 3.Hesaplamalaryaptnz m? DEERLENDRME DeerlendirmesonundaHayreklindekicevaplarnzbirdahagzdengeiriniz. Kendiniziyeterligrmyorsanzrenmefaaliyetinitekrarediniz.Btncevaplarnz Evet ise lme ve Deerlendirmeye geiniz. 68 LME VE DEERLENDRME Aadaki cmlelerde bo braklan yerlere doru szckleri yaznz. 1.Bircisminktlesineaityerekimikuvvetiningetiivecisminherkonumunagre deimeyen noktaya ... denir. 2.Cisimler boyutluolduklarndan arlk merkezi uzaydaki yerini, .. veKoordinatlarna gre belirlemek gerekir. 3.Bir ktleye ait arln, bulunduu etki noktasna .. denir. Aadakicmlelerinsonundabobraklanparantezlere,cmlelerdeverilen bilgiler doru ise D, yanl ise Y yaznz. 4.()Kegenleregreeitparalaraayrlabilenyzeylerinarlkmerkezi,bu kegenlerin kesitii noktadr. 5.()Bir cisim, arlk merkezinden asld her konumda dengededir. 6.ekildekibileikyzeyinarlkmerkezinianalitikyntemle(X0)bulunuz(ller cm olarak alnacak). LME VE DEERLENDRME 69 5.ekilde grld gibi dikdrtgen levhadan 5070 cm llerindeki ksm kartlmtr. Meydana gelen eklin arlk merkezini analitik metotla bulunuz (ller cm olarak alnacak). DEERLENDRME Cevaplarnzcevapanahtarylakarlatrnz.Yanlcevapverdiinizyadacevap verirkentereddtettiinizsorularlailgilikonularfaaliyetegeridnerektekrarlaynz. Cevaplarnzn tm doru Modl Deerlendirmeye geiniz. 70 MODL DEERLENDRME Aadaekliverilenparannarlkmerkezinianalitikyntemlebulunuzverilen arlk merkezi bulmaprobleminihesaplamak iin aadaki uygulamalar yapnz lem basamaklarneriler Sistemi inceleyiniz Arlk merkezini bulacanz ekli inceleyiniz. Gerektiinde sistemin eklini izinizizim ara gereleri kullannz. Hesaplamasn yapnzGerekli ilemleri yapnz. MODL DEERLENDRME 71 KONTROL LSTES Bu faaliyet kapsamnda aada listelenen davranlardan kazandnz becerileri Evet, kazanamadnz becerileri Hayr kutucuuna(X) iareti koyarak kendinizi deerlendiriniz. Deerlendirme ltleriEvetHayr 1.Sistemi incelediniz mi? 2.Gerektiinde Kuvvetlerin eklini izdiniz mi? 3.Hesaplamalaryaptnz m? DEERLENDRME Cevaplarnzcevapanahtarylakarlatrnz.Yanlcevapverdiinizyadacevap verirkentereddtettiinizsorularlailgilikonularfaaliyetegeridnerektekrarlaynz. Cevaplarnzn tm doru ise bir sonraki modle gemek iin retmeninize bavurunuz. 72 CEVAP ANAHTARLARI RENME FAALYET1N CEVAP ANAHTARI 1Doru 2Doru 3Yanl 4Yanl 5Doru RENME FAALYET2NN CEVAP ANAHTARI 1Kuvvet 2iddeti, Dorultusu, yn, Uygulama noktas 3Kilogramkuvvet kgf 4Dorultusu bykl 5Doru RENME FAALYET3NN CEVAP ANAHTARI 1Doru 2Yanl 3Paralelkenarn uygulama noktasdr. 4 = 90 5Bilekeyi 6a) R= 860,2 N b) 35 RENME FAALYET4N CEVAP ANAHTARI 1Bileen, bileen kuvvet 2Doru 3Doru 4Yanl 5Doru 6R = 48,6 N 070 =Xu CEVAP ANAHTARLARI 73 RENME FAALYET5N CEVAP ANAHTARI 1Moment 2Moment merkezi 3Yanl 4Doru 5Doru 6F1 = 40 N 7L=90 cm 8RB= 282,8 N RENME FAALYET6NIN CEVAP ANAHTARI 1Arlk merkezi 2x, y, z3Basn merkezi 4Doru 5Doru6X0=2,2cm 7X0 =7,5cm Y0 =4,5cm 74 KAYNAKA ASLAN Mehmet, Cisimlerin Dayanm, stanbul,1998. BAYVAS M. evki, Genel Mekanik, Ankara, 1978. BAYVAS M. evki, Genel Mekanik, stanbul,1966. BAYVAS M. evki, Cisimlerin Dayanm, Ankara, 1974. CURUN Nurettin, Cisimlerin Dayanm, Ankara, 1981. ETNKAYASelim,BALCIMustafa,StandartBirimler,YksekTeknik retmen Okulu Matbaas, 1979. DURKAL Dursun, Cisimlerin Dayanm, stanbul, 1998. ERASLAN N, Teknik Mekanik, Teknik Okul Yaynlar, 1960. ZKARA Hamdi, Cisimlerin Dayanm, Ankara, 2000. ZKARA Hamdi, Mekanik, Ankara, 2000. TSE, DIN, ISO Standartlar ve eitli Makine Kataloglar. KAYNAKA