Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 1

STATİK- MUKAVEMET 2- Düzlem ve Uzay Kuvvetler

KUVVET 2.1 Kuvvet vektörü ve kuvvein Tanımı 2.2 Vektörün Şiddeti ve Vektörlerin Toplamı 2.3 Üç Boyutlu Uzayda Kuvvet Bileşenleri 2.4 Üç boyutlu uzayda kuvvetlerin toplamı ve denge denklemleri

MOMENT 2.5 Bir Kuvvetin Bir Noktaya Göre Momenti 2.6 VARIGNON prensibi: 2.7 Momentin üç boyutlu uzaydaki gösterimi 2.8 Bir kuvvetin, bir eksene gore momenti 2.9 Kuvvet Çifti 2.10 Bir Kuvvetin Tesir Çizgisi Dışında Bir Noktaya Taşınması 2.11 Kuvvetler Sisteminin Bir Noktaya İndirgenmesi

KUVVET 2.1 Kuvvet vektörü ve kuvvein Tanımı Kuvvet bir cismin diğer bir cisme yaptığı etkidir. Bir kuvvetin:

Uygulama noktası Şiddeti Yönü. vardır.

Kuvvet vektörünün, şiddeti vektörün uzunluğudur.

Paralel kenar kuralıyla bileşkesi hesaplanabilir:

F

x

y

Fx

Fy i

j

F

Başlangıç noktası

Şiddeti

Yönü

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 2

2.2 Vektörün Şiddeti ve Vektörlerin Toplamı F Kuvvet vektörünün şiddeti, Fx ve Fy kuvvet bileşenlerinin karelerinin toplamının karekökü ne eşittir. Fx=F cos Fy=F sins tan =Fy/Fx,

22yx FFF

P ve Q vektörünün toplamı R vektörü aşağıdaki gibi hesaplanabilir. RQP

jRiRjQiQjPiP yxyxyx

jRiRjQPiQP yxyYXx )()( Rx=Px+Qx, Ry=Py+Qy

xx FR , yy FR jRiRR yx

cos2 212

22

12 FFFFR

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 3

2.3 Üç Boyutlu Uzayda Kuvvet Bileşenleri

Üç Boyutlu uzayda F kuvvetinin bileşenleri, Fx, Fy, Fz kuvvetleridir.

22hy FFF ,

22zxh FFF

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 4

222zyx FFFF

i, j, k vektörler ; x,y,z eksenlerinin birim vektörleridir.

kFjFiFF zyx

kjiFF zyx coscoscos

kjiFF zyx

FF Landa birim vektördür

zyx 2222 coscoscos

1 1coscoscos 222 zyx

Iki açı bağımsız, 3. açı diğer açılara bağımlı Üç boyutlu uzayda F kuvveti aşağıdaki şekilde tanımlanabilir.

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 5

kdjdidBA zyx

dx=x2-x1, dy=y2-y1, dz=z2-z1 d, AB doğrusunun uzunluğu

)(1 kdjdiddAB

BAzyx

222zyx dddAB

)( kdjdiddFFF zyx

dFdF xx

, dFd

F yy , d

FdF zz

xx

x dd

cos,

yy

y dd

cos,

zz

z dd

cos

2.4 Üç boyutlu uzayda kuvvetlerin toplamı ve denge denklemleri

FR

,

xx FR , yy FR , zz FR

222zyx RRRR

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 6

0FR

, 0 xx FR , 0 yy FR , 0 zz FR

Durum Diyagramı Serbest Cisim diyagramı Kuvvet diyagramı Denge denklemiyle çözüm

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 7

Örnek:

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 8

Örnek:

Cevap 1. adım : Serbest cisim diyagramı

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 9

Eleman uzunlukları

2. Adım Her elemanın x , y, z yönündeki kuvvetleri

3. Adım Denge denklemleri ve sonuçlar 3 Bilinmeyen FB, FC ve FD 3 denklem ile çözülür

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 10

0 Fx , 0 Fy , 0 Fz

ÖRNEK SORULAR

SORU 1

Çözüm Rx=0 olmalı a) Rx=240cos-120-80cos60=0 Cos=2/3, =48.20 b) Rx=140cos-120-80cos60=0 Cos=8/7> 1 olduğundan, bu mümkün değil

120N

80N

60o

F

Şekildeki kuvvetler sisteminin bileşkesi düşey olabilmesi için ne olmalıdır.

a) F=240N, b) F=140N

Örnek Öğrenci No 010030403 ---------------xaxxxxbcd

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 11

SORU 2

Durum

Yatay Dengeden S1=S2 Sinüs teoreminden W/(sin(2x53.12))=S1/sin36.87 W=10kN S1=S2=6.25kN Durum

Yatay Dengeden S1=S2 Sinüs teoreminden W/(sin(2x36.87))=S1/sin53.13 W=10kN S1=S2=8.33kN

60cm

75cm

Cos=60/75=0.8

=36.87

W

S1 S2

45cm

75cm

Cos=45/75=0.6

=53.13

W

S1 S2

Şekildeki blokların boyutları 90cm- 120cm, ağırlıkları 10kN ve halat uzunlukları da 150cm olduğuna göre, her iki durumda da halatlardaki çekme kuvvetlerini bulunuz

I II

Üç boyutlu uzayda bir vektörün x ve y eksenleriyle yaptığı açı 45 derece olduğuna göre z ekseniyle yaptığı açı kaç derece olabilir.

2/245cos45sin A) 0, B) 45 C) 90 D)180

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 12

SORU 3

Test sorusu BA nın pozisyon vektörü hangisidir.

A) BA=-6i+3j+2k B) BA=-6i+3j+8k C) BA=6i-3j+8k D) BA=-6i+0j+2k E) BA=6i+0j+8k

BC nin uzunluğe nedir

A) 9m, B) 6m C) 7m D) 8m E) 6.7m AB kablosundaki kuvvet 350 N, BC kablosundaki kuvvet 450 N dur.

Kablodan B noktasına gelen kuvvetlerin bileşkesini bulunuz.

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 13

SORU 4

A(-3, 2, 0), B(0, 0, 6), C(2, -3, 0), D(0, -3, 0) Ağırlığı500N olan OB çubuğu yukarıda koordinatlarıverilen üçtel halatla A, C, D noktalarına sabitlenmiştir. Sistemin dengede kalabilmesi için halat germe kuvvetlerinin minimum ne olmasıgerektiğini hesaplayınız

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 14

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 15

MOMENT 2.5 Bir Kuvvetin Bir Noktaya Göre Momenti Kuvvet vektörü F, konum vektörü r ile vektörel çarpımdır.

FxrM

0 M0=Frsin=F.d Momentin şiddeti

Örnek 1. Diagram 3, te 10 foot uzunluğundaki kiriş, P noktasında bağlıdır, 100 lb. Kuvvet kirişe yukarı doğru etkimektedir

F

d

O

F Kuvvetinin Ekseni

r

F||

F

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 16

Moment = F x d = 100 lb. x 10 ft = 1000 ft-lb. 2.5 foot mesafeden etkirse Moment = F x d = 100 lb. x 2.5 ft. = 250 ft-lb. Örnek 2: Bu örnekte kuvvet 37 derece açı ile etkimektedir. Moment = Kuvvet x dik mesafe

d = 10 sin 37o = 6 ft, Moment = 100 lb. x 6 ft = 600 ft-lb. Veya kuvvet iki bileşene ayrılır

Moment = 100 lb. sin 37o x 10 ft. = 600 ft-lb Vektörel Çarpım:

QxPV

Özellikleri -1 V vektörü, P ve Q vector düzlemine diktir. -2 V nin Şiddeti V=PQsin -3 V vektörünün yönü sağ el kuralına uyuyor.

)( PxQQxP

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 17

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 18

Birim vektörlerin vektörel çarpımları:

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 19

2.6 VARIGNON prensibi:

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 20

2.7 Momentin üç boyutlu uzaydaki gösterimi

iki vektörün skaler çarpımı:

Şekil Skaler çarpımın geometrik anlamı

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 21

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 22

2.8 Bir kuvvetin, bir eksene gore momenti F Kuvvetinin a-a eksenine gore Momenti

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 23

2.9 Kuvvet Çifti M=F.d

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 24

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 25

2.10 Bir Kuvvetin Tesir Çizgisi Dışında Bir Noktaya Taşınması

2.11 Kuvvetler Sisteminin Bir Noktaya İndirgenmesi

n

ixix FR

1)(

,

n

ixio MM

1)(

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 26

ÖRNEK SORULAR

Rx=100-40=60kN Ry=-80-30=-110 R=125.3kN Md=80x2-100x4+40x2+30x6 Md=20kNm M0=xRy-yRx Mo=-80x2-100x4+30x2+40x2 Mo=-420kNm 60y=-110x+420 x=0 için y=7 y=0 için x=3.82

A(4;4) 100kN

80kN

B(2;2) C(-2;2)

50kN

4 3

x

y

0 D(4;0)

Şekildeki kuvvetler sistemini D noktasına indirgeyiniz Tesir Çizgisinin denklemini yazınız

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 27

Ağırlığıihmal edilen ve boyu L olan bir çubuk bir pim ile şekilde görüldüğügibi zemine bağlanmıştır. Ayrıca çubuğun üst kısmıda bir kablo ile zemine bağlanmıştır. Eğer çubuğun ortasına bir F kuvveti yatay olarak uygulanırsa; a) Teldeki çeki kuvvetinib) Çubuğa ve civatayaetkiyen yatay ve dikey kuvvet bileşenlerini bulunuz.

y

z

2

4

4

A

x

M momenti için hangi kuvvet çifti gerekir

B C

M=4 kNcm

A) A noktasına Fy=2kN, B noktasına Fy=-2kN B) A noktasına Fy=-2kN, B noktasına Fy=2kN C) B noktasına Fx=2kN, C noktasına Fx=-2kN D) B noktasına Fx=-2kN, C noktasına Fx=2kN

Kenar uzunlukları 2cm olan altı gen şekilindeki levhaya etkiyen kuvvetler sistemini A) O noktasına indirgeyiniz. B) Bileşkenin etki çizgisinin x ve y eksenlerini kestiği noktaları bulunuz. bulunuz.

P=(a+b+c+d+e) kN

y

x

Herbir yatay çizginin arası a ise, Aşağıdaki hangi kuvvet sistemi yandaki kuvvet sistemine eş değerdir.

P M=Pa

P

P

P

P

A) B)

C) D) P, Q ve S birer vektör olmak üzere aşağıdakilerden hangisi yanlıştır A) (P+Q)+S=(P+S)+Q B) (PxQ)+S=S+(PxQ) C) (PxQ)= - (QxP) D) (PxQ)xS=Px(QxS)

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 28

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 29

Verilen kuvvetleri ve kuvvet çiftlerini O’ya indirgeyiniz.F1= 2 kN F2= 3 kN M1= 5 kNm M2= 10 kNm

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 30

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 31

Given: The boom OA carries a load P and is supported by 2 cables as shown. the tension in cable AB is 732 N. y C B 720 500 mm 480 mm mm 580 mm O A x z 960 mm P Find: Determine the tension in cable AC, and the magnitude of P if the resultant of P and the forces exerted at A by the two cables must be directed along OA.

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 32

RF

RPTT ACAB

jPP ˆ

A(0.96, 0, 0)

iRR x ˆ

B(0, 0.58, 0.48) C(0, 0.5, -0.72)

ABABAB uTT

222 48.058.096.0

ˆ)048.0(ˆ)058.0(ˆ)96.00(732 kjiTAB

kjiTAB ˆ288ˆ348ˆ576

ACACAC uTT

222 72.05.096.0

ˆ)072.0(ˆ)05.0(ˆ)96.00( kjiTT ACAC

kTjTiTT ACACACAC ˆ554.0ˆ384.0ˆ738.0

Substituting in the sum of forces equation and collecting like terms:

iRkTjPTiT xACACAC ˆˆ)554.0288(ˆ)384.0348(ˆ)738.0576( Equating coefficients: z coefficients: 0554.0288 ACT NTAC 520 y coefficients: 0)520(384.0348 P NP 548 ). Given: The tension in cable AC is 945 N

3.6 m

3.9 m

3.6 m1.8 m 4.5 m

2.7 mP

x

y

z

A

B

C

D

Find: a). Angle between cable AC and the boom AB. b). Projection of the force in cable AC on AB. A(3.6,2.7,0) B(0,0,0) C(0,3.9,1.8) a).

Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe Sayfa 33

05.59)2.4(5.4

)8.1)(0()2.1)(7.2()6.3(6.3cos

))((cos

cos))((

ACABACABACABACAB

ACAB

zzyyxx

ACAB

2.4

ˆ8.1ˆ2.1ˆ6.3

5.4

ˆ0ˆ7.2ˆ6.3

ACkji

ABkji

AC

AB

b).

NFF

ABFABFABFABFABFF

ABonAC

ABonAC

ABonACzACzyACyxACx

ACABAC

486)5.4()0(405)7.2(270)6.3(810

)(cos)(

kjiF

kjiF

uFF

AC

AC

ACACAC

ˆ405ˆ270ˆ810

2.4

ˆ8.1ˆ2.1ˆ6.3945

Note:

NFF

FF

AConAB

AConAB

ACAConAB

486)09.59cos(945

cos