kalkulus ii

Download Kalkulus II

If you can't read please download the document

Post on 02-Feb-2016

179 views

Category:

Documents

21 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

kalkulus

TRANSCRIPT

  • KALKULUS II

    Prof.Dr.Ir.SRI REDJEKI MT

  • MATERI YANG AKAN DIBERIKAN1. FUNGSI TRANSENDENA. LOGARITMIK DAN EKSPONENSIALB. FUNGSI LOGARITMIK DAN FUNGSI EKSPONENSIALC. FUNGSI INVERSD. FUNGSI INVERS TRIGONOMETRIE. TURUNAN DAN INTEGRAL FUNGSI INVERS/TRIGONOMETRIK

    2. TEKNIK INTEGRASIA. INTEGRASI PARSIAL DAN INTEGRASI FUNGSI TRIGONOMETRIB. INTEGRASI FUNGSI RASIONAL PECAHAN PARSIALC. TEKNIK-TEKNIK INTEGRASI YANG LAIN

    2. APLIKASI-APLIKASI INTEGRAL TERTENTUA. MENGHITUNG LUAS BIDANG DATARB. MENGHITUNG ISI BENDAC. PANJANG SUATU KURVA PADA BIDANG

  • LogaritmikLogaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.Rumus dasar logaritma:bc= a ditulis sebagai blog a = c (b disebut basis)Beberapa orang menuliskan blog a = c sebagai logba = cDalam aljabar, logaritma didefinisikan sebagai pangkat. Lebih tepatnya jika b > 0 dan b 1, maka untuk x positif didefinisikan logbx(baca, logaritma berbasis b dari x) sebagai pangkat untuk b yang menghasilkan x.

  • Kegunaan logaritma

    Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.

  • Contoh:Log10 100 = 2Sebab 10 harus berpangkat 2 untuk menghasilkan 100. Dengan cara sama,Log2 8 = 3,karena 23 = 8Log10 1/1000 = -3,karena 10-3 = 1/1000Log10 1 = 0,karena 100 = 1Log3 81 = 4,karena 34 = 81

  • Umumnya jika y = logb x, maka y merupakan pangkat untuk b yang harus menghasilkan x, jadi x = by. Kebalikannya, jika x = by, maka y = logb x, sehingga pernyataan :Y = logb x dan x = by adalah ekivalen. Dengan mensubsitusikan setiap persamaan diperoleh :logb by = y dan blogb x = x (1.1)Logaritma yang pertama kali dipelajari adalah logaritma dengan basis 10, yang disebut logaritma umum (common logarithmsi). Untuk logaritma seperti itu biasanya basis tidak secara eksplisit dirujuk dan ditulis log tidak log10. Jadi, (1.1) menjadi:Log 10x = x dan 10log x = x

    logba= x dan logb c = y (1.2)

  • TEOREMAa). Logb 1 = 0 b) logb b = 1c). Logb ac = Logb a + Logb c d) logb a/c = logb a logb ce). Logb ar = r Logb a f) logb 1/c = -logb c

  • Akan dibuktikan (a) dan (c), Bukti (a). karena b0 = 1, maka logb 1 = 0

    Bukti (c). Misalkan

    x = logb a dan y = logb cJadi, bx = a dan by = cOleh karena itu,ac = bxby = bx+y atau ekivalen dengan logb ac = x+yselanjutnya, dari (1.2)logb ac = Logb a + Logb c

  • Bilangan e logaritma naturalLogaritma yang paling penting dalam aplikasi adalah yang disebut logaritma natural; ini mempunyai basis irrasional tertentu yang ditunjukkan dengan e. e ~ 2,718282

    dan Diturunkan menjadi :

  • Standar untuk mengartikan logaritma natural dari x adalah ln x dan tidak log e x. jadi ln x itu merupakan pangkat untuk e yang harus menghasilkan x, contoh :ln 1 = 0 (karena e0 = 1) Secara umum: a. y = ln x dan x = ey ekivalen ln e = 1 (karena e1 = e) b. ln ex = x dan e ln x = x ln 1/e = -1 (karena e-1 = 1/e)ln (e2) = 2 (karena e2 = e2)

    Tabel 1.1.2

    x

    1

    2

    2,000000

    10

    1,1

    2,593742

    100

    1,01

    2,704814

    1.000

    1,001

    2,716924

    10.000

    1,0001

    2,718146

    100.000

    1,00001

    2,718268

    1.000.000

    1,000001

    2,718280

  • Teorema : 1.1.2

    Bukti ;Misalkan y = logb x. Jadi by = xLoga by = Loga xy Loga b = Loga x

  • Contoh soal:1. Nyatakan :Kedalam penjumlahan, pengurangan dan perkalian: =

    =

  • Contoh Soal 2:Tulis dalam bentuk logaritma tunggal:a. 2 log 5 + log 8 log 2 = Log 52 + log 8 log 2 = Log 25 + log 8 log 2 = Log 25.8 log 2 = Log 200/2 = log 100 = 2b.1/3 ln x ln(x2 +1)+5 ln(x-2)= ln x1/3 ln(x2+1) + ln(x-2)5 = Ln

  • Contoh 3;a. log x = -3, x = 10-3 = 0,001b. ln(2x-3) = 7, 2x-3 = e7, x = (e7+3)c. 2x = 3, log 2x = log 3 x log 2 = log 3 x = log3/log2 = 1,585d. e2x = 81, ln e2x = ln 81 2x = ln 92 2x = 2 ln 9 x = ln 9 = 2,197225

  • TIPE LAIN DARI PERSAMAAN LOGARITMIK DAN EKSPONENSIAL.Metode metode yang digunakan dalam contoh contoh sebelumnya dapat dimodifikasi untuk menyelesaikan tipe tipe lain logaritmik dan eksponensial.

    Contoh 1.1.5 Selesaikan untuk x.

    Penyelesaian. Kalikan kedua sisi dengan 2 pada persamaan yang diberikan, diperoleh

    Kalikan kedua sisi dengan ex diperoleh :

    atau

    Ini jelas persamaan kuadrat yang samar; ini dapat diliat dengan menulis ulang persamaan menjadi :

    Dan misalkan u = ex, maka

    u2 2u 3 = 0

    penyelesaian untuk u adalah

    (u 3) (u + 1) = 0, yang menghasilkan u = 3 dan u = -1

    Jadi,

    ex = 3 atau ex = -1

    tetapi ex tidak dapat negative,sehingga nilai ex = -1 diabaikan; jadi

    ex = 3

    ln ex = ln 3

    x = ln (3) ~ 1,098612

  • Fungsi logaritmik dan fungsi eksponensialPERAN LOGARITMA NATURAL DALAM KALKULUSPada sub bab ini akan diperlihatkan logaritma dan pangkat dari sudut pandang fungsi. Untuk b > 0, bx disebut fungsi eksponensial berbasis b dan logb x disebut fungsi logaritma berbasis b. dalam kasus dimana b = e, ex disebut fungsi eksponensial natural dan ln x = logb x disebut logaritma natural.Fungsi logaritma natural mempunyai peran khusus dalam kalkulus yang dapat memotivasi pendiferensialan f (x) = logb x, dimana b sembarang basis. Dengan mengasumsikan bahwa fungsi logb x dapat didiferensialkan, oleh karena itu kontinu untuk x > 0.

  • TURUNAN DAN INTEGRAL YANG BERKAITAN DENGAN Ln XJika u(x)>0, dan fungsi u dapat dideferensilkan di x, maka diperoleh : dan Diferensiasi LogaritmikContoh : Turunan dari ; Turunan Pangkat Irrasional x: y=xr

  • Turunan dan Integral yang berkaitan dengan bxUntuk memperoleh turunan dari bx, andaikan y = bx, gunakan diferensiasi logaritmik :Ln y = ln bx = x ln b1/y dy/dx = ln b, dy/dx = y ln b = bx ln bJadi : dlm kasus khusus b=eLn e= 1, shg ; Jika u fungsi x yg terdiferensial, maka diperoleh : dan

  • Integral Fungsi EksponensialRumus Integral yg terkait dgn turunan-turunan

    dan

    Contoh :1.

    2.Tentukan nilai :

    3. Tentukan nilai :

  • Untuk menyajikan persoalan-persoalan yang lebih rumit, kita memerlukan perluasan fungsi-fungsi yang dapat dipakai.

    Fungsi Logaritma NaturalFungsi Logaritma Natural (disingkat ln), ditulis f(x)=ln x, didefinisikan sebagai,

    Daerah definisi (Df) dan Daerah nilai (Rf) fungsi iniadalah Df = (0,+) dan Rf = R.Fungsi ini ada hubungannya dengan fungsi logaritmayang telah dipelajari pada sekolah lanjutan.

  • uuudx

    Grafik dari fungsi f(x)=ln x adalah,

    Teorema 1 (Turunan Fungsi Logaritma Natural)

    1.

    d dx

    (ln x ) = 1 ,

    x

    x > 0;

    2.d

    (lnu) =

    1 . du = u ,

    u( x ) >

    0, u

    ada .

    dx u dx u

  • Teorema 2 (Sifat Logaritma Natural). Jika a, b > 0 dan r Q dan r -1, maka

    1. ln 1 = 0;

    2. ln a.b = ln a + ln b;

    3. ln a/b = ln a ln b;

    4. ln ar = r.ln a.

    Contoh 1.

    d(ln 1

    x ) =

    ln(1

    x ) ln(1 +

    x ) =

    11=2

    dx1 + x

    1 x

    1 + x

    x 2 1

    (Menggunakan rumus turunan dan sifat logaritma natural. Selain itu, dapat juga menggunakan Aturan Rantai).Sedangkan Df = (-1,1).

  • Setiap bentuk turunan itu ada rumus integralnya. Akibatnya dari teorema 1, diperoleh

    1 du u

    = ln u

    3

    + C,

    x

    u 0.

    Contoh 2. Hitung

    dx .

    1 x

    Jawab. Misalkan u=10-x2, du=-2x dx, maka

    xdx

    = 1

    11 ln u

    + C =

    1 ln 10 x 2 + C

    10 x 2

    2 u22

    Menurut Teorema dasar kalkukus diperoleh,

    3x

    2 dx

    = 1 ln 10 2

    = 1 ln 9.

    110 x 2

    1 2

    Agar perhitungan di atas berlaku, 10-x20 pada [-1,3].

    2

    10

    =

    du

    x

    3

  • Fungsi Balikan (Invers).Misalkan fungsi y=f(x), dengan x Df dan y Rf. Bila fdapat dibalik, maka diperoleh fungsi x= f -1(y). Fungsi f -1 disebut balikan (invers) dari fungsi f.Sebagai contoh, jika y=f(x)=x3-1, maka x=f-1(y)= Tidak semua fungsi mempunyai balikan. Sebagai contoh, jika y=f(x)=x2 tidak mempunyai balikan, kecuali kalau daerah definisinya dibatasi.Teorema 3. Eksistensi Fungsi Balikan.Jika fungsi f monoton murni pada daerah definisinya, maka f mempunyai balikan.

  • Langkah-langkah mencari inver fungsi y=f(x),1. Nyatakan x dengan y dari persamaan y=f(x);2. Nyatakan bentuk dalam y sebagai f-1(y)x= f -1(y);3. Ganti y dengan x dan x dengan y dari x= f -1(y), diperoleh y= f -1(x).

    Contoh 3. Tentukan rumus untuk f -1(x) bila y=f(x)=x/(1-x).Jawab.Langkah1: y = x/(1-x)(1-x).y=x x(1+y)=yx=y/(1+y); Langkah2: f -1(y) = y/(1+y);Langkah3: f -1(x) = x/(1+x);

  • Bila f mempunyai balikan f -1 maka f -1 juga memiliki balikan f sehingga diperoleh,f -1(f(x)) = x dan f(f -1(y)) = y.

    Jika f mempunyai balikan, maka

    x = f-1(y) y = f(x).

    Catatan. Lamba