kalkulus ' integral ii
TRANSCRIPT
McGraw-Hill/Irwin Copyright © 2008, The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
4-2
Pendahuluan Persamaan Diferensial
CxFdxxf )()(
sehingga
CxFdxxdF )()(
)()(' xfxF
dxxfxdF )()(
4-3
Contoh
Carilah persamaan –xy dari kurva yang melalui titik (-1, 2) dan yang kemiringannya pada setiap titik pada kurva itu sama dengan dua kali absis (koordinat –x) titik itu.
xdx
dy2
Cxy 2
12 xy
Syarat yang berlaku
sehingga
Untuk memperoleh nilai C, substitusikan x = -1 dan y = 2, sehingga akan diperoleh
Penyelesaian
4-4
Contoh
Selesaikan persamaan diferensial berikut :
xxydx
dysin2
2
23
y
xx
dx
dy
a.
b.
c.
Beberapa contoh persamaan diferensial
dxxdyy )1( 3
0232
2
xydx
dy
dx
yd
4-5
Contoh
Carilah persamaan –xy dari kurva yang melalui titik (1, 2) dengan kemiringan pada seberang titik adalah tiga kali koodinat –x nya.
21;0 xyy
x
dx
dya.
b.
Tunjukkan bahwa fungsi yang diberikan merupakan penyelesaian persamaan diferensial di bawah ini :
xCxCyydx
ydcossin;0 212
2
Contoh
Contoh
1; yy
x
dx
dy
a.
c.3
1;22 zzt
dt
dz
d. 100;1416 2 sttdt
ds
pada 1x
pada 1t
pada 0t
e. 6;)12( 4 yxdx
dy pada 0x
Carilah penyelesaian umum dan khusus untuk persamaan diferensial berikut :
1,12 yxdx
dy
b. pada 1x
4-7
Masalah Gerak
Andaikan s(t), v(t), dan a(t) yang masing-masing menyatakan posisi, kecepatan, percepatan, pada saat t dari suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat, maka berlaku
dt
dststv )(')(
2
2
)(')(dt
sd
dt
dvtvta
ContohDekat permukaan bumi, percepatan benda jatuh karena gravitasi adalah 32 kaki per detik kuadrat, asalkan kita menganggap hambatan udara dapat diabaikan.
4-8
Jika suatu benda dilempar ke atas dari ketinggian 1000 kaki dengan kecepatan 50 kaki perdetik, carilah kecepatan dan tingginya 4 detik kemudian.
32dt
dv
PenyelesaianTinggi (s) PositifPercepatan Negatif
Ctdtv 3232
Oleh karena, v = 50 pada t = 0, maka nilai C = 50, sehingga
5032 tv
4-9
sekarang
Ktts 5016 2
Penerapan integral pada kedua ruas, diperoleh
Oleh karena, s = 1000 pada t = 0, maka nilai K = 50, sehingga
5032 tdt
ds
10005016 2 tts
Untuk t = 4, maka
78
50)4(32
v
944
1000)4(50)4(16 2
s
4-10
Andaikan v = v0 dan s = s0 pada t = t0, maka contoh di atas dapat dituliskan kembali dalam bentuk
002
0
16
32
32
stvts
vtv
a
ContohPercepatan suatu objek yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat diberikan oleh a(t) = (2t + 3)-3 dalam meter per detik kuadrat. Jika kecepatan pada saat t = 0 adalah 4 meter perdetik, carilah kecepatan 2 detik kemudia.
4-11
Penyelesaian
3)32( tdt
dv
Ct
dttv
2
3
)32(4
1
)32(
Oleh karena v = 4 pada saat t = 0, sehingga nilai C = 145/36,
36
145
)32(4
12
tv
Pada t = 2 023,4
36
145
)3)2(2(4
12
v
4-12
Penyelesaian
3)32( tdt
dv
Ct
dttv
2
3
)32(4
1
)32(
Oleh karena v = 4 pada saat t = 0, sehingga nilai C = 145/36,
36
145
)32(4
12
tv
Pada t = 2 023,4
36
145
)3)2(2(4
12
v
4-13
Penyelesaian
3)32( tdt
dv
Ct
dttv
2
3
)32(4
1
)32(
Oleh karena v = 4 pada saat t = 0, sehingga nilai C = 145/36,
36
145
)32(4
12
tv
Pada t = 2 023,4
36
145
)3)2(2(4
12
v
4-14
Notasi SigmaPenjumlahan untuk n dari a1, a2, a3, . . ., an dapat dituliskan sebagai
n
ini aaaaa
1321
dengan i adalah indeks penjumlahan.
6
1i
i
Contoh
654321 1.
2.
5
0
)1(i
i 654321
3.
7
3
2
j
j 22222 76543
4-15
n
kn k
1
21 )1(
Contoh
)1()13()12()11( 21212121 nnnnn 4.
2.
n
ii xxf
1
)(
Jika semua ci dalam mempunyai nilai yang sama, misalkan c mak berlaku
n
ii ncc
1
xxfxxfxxf n )()()( 21
n
iic
1
sukun
cccc
n
iic
1
4-16
n
ii
n
ii acca
11
Kelineran
1.
2.
n
ii
n
ii
n
iii baba
111
)(
n
i
nnni
1 2
)1(321
3.
n
ii
n
ii
n
iii baba
111
)(
Bentuk Khusus
1.
2.
n
i
nnnni
1
22222
6
)12)(1(321
4-17
23333
1
3
2
)1(321
nnni
n
i
3.
n
j
jj1
)5)(2(
Carilah suatu rumus untuk
Contoh
4.30
)196)(1(321
234444
1
4
nnnnnni
n
i
Penyelesaian
n
j
n
j
jjjj1
2
1
)103()5)(2(
4-18
n
j
n
j
n
j
jj1 11
2 103
nnnnnn
102
)1(3
6
)12)(1(
6
60
6
)1(9
6
)12)(1( nnnnnn
3
)343( 2
nnn
60991326
2 nnnn
4-19
1. Carilah nilai dari jumlah yang ditunjukkan
Contoh
6
11
)1(k
ka.
b.
8
1
22)1(m
mm
2. Tuliskan jumlah yang ditunjukkan
a.
1001
31
211 b.
41321
4-20