pra kalkulus ii(parametrik)

8/19/2019 Pra Kalkulus II(Parametrik)

1/147

BUKU DIKTAT

PRA KALKULUS II

SAMSUL ARIFIN

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

STKIP SURYA

2012


2/147

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, atas segala rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikanpenyusunan Handout yang berjudul Pra Kalkulus II ini. Modul ini digunakan sebagai panduan dalam

mata kuliah Pra Kalkulus II. Semua materi yang ada di dalam Handout ini diharapkan dapat

memenuhi kompetensi dasar dalam menunjang seluruh perkuliahan di STKIP Surya.

Banyak pihak yang telah membantu penulis dalam penyusunan Handout ini. Oleh karena itu

dengan segala kerendahan hati, penulis ingin mengucapkan banyak terima kasih. Semoga amal baik

kalian semua mendapatkan balasan yang setimpal dari Allah SWT. Penulis memohon maaf atas

semua kesalahan yang pernah dilakukan baik secara sengaja atau tidak sengaja.

Penulis sadar bahwa tulisan penulis ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, saran dan

kritik selalu penulis terima demi perbaikan Handout Logika dan Himpunan ini. Akhirnya, penulis

berharap semoga Handout ini dapat bermanfaat bagi para pembaca.

Tangerang, Januari 2012

Samsul Arifin


3/147

Table of Contents KATA PENGANTAR ................................................................................................................................ 2

Bab 1. Garis Singgung Lingkaran, Parabola, dan Elips ............................................................................. 6

A. Garis Singgung Lingkaran ........................................................................................................... 11

Diketahui Gradien Garis Singgung ................................................................................................. 11

Diketahui Titik Singgung Pada Lingkaran ....................................................................................... 13

Cara lain menurunkan persamaan garis singgung yang malalui titik (x1, y1) pada lingkaran: ....... 14

Latihan ........................................................................................................................................... 16

B. Garis Singgung Elips ................................................................................................................... 18

Apabila Diketahui Nilai Gradien ..................................................................................................... 18

Apabila Diketahui Titik Pada Elips .................................................................................................. 19

Diketahui Titik Di Luar Elips ........................................................................................................... 22

Latihan ........................................................................................................................................... 23

C. Persamaan Garis Singgung Parabola ......................................................................................... 26

Apabila diketahui gradien .............................................................................................................. 26

Apabila diketahui titik pada parabola ........................................................................................... 28

Untuk parabola dengan titik puncak (a, b) .................................................................................... 30

Bab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub .................................................................. 33

A. Persamaan Parametrik .............................................................................................................. 33

Membuat Sketsa Kurva Persamaan parametrik ........................................................................... 33

Mengubah Persamaan Parametrik Menjadi Persamaan Kartesian ............................................... 36

Mengubah Persamaan Kartesian Menjadi Persamaan Parametrik ............................................... 37

Latihan ........................................................................................................................................... 38

B. SISTIM KOORDINAT KUTUB ....................................................................................................... 40

Konversi koordinat kutub ke koordinat kartesius ......................................................................... 41

Mengkonversi persamaan kartesian ke kutub .............................................................................. 43

Mengkonversi persamaan kutub ke kartesian .............................................................................. 44

Membuat grafik pada sistim koordinat kutub ............................................................................... 45

Latihan 46


4/147

Bab 3. Vektor ......................................................................................................................................... 48

A. Pengertian Vektor .................................................................................................................. 48

B. Penjumlahan Vektor Secara Geometri .................................................................................... 3

Metode Poligon ............................................................................................................................... 3

Metode Jajar Genjang ...................................................................................................................... 3

C. Representasi Vektor 1D, 2D dan 3D ........................................................................................ 6

1DIMENSI ......................................................................................................................................... 6

2DIMENSI ......................................................................................................................................... 7

3DIMENSI ......................................................................................................................................... 7

D. Vektor Satuan ........................................................................................................................ 10

E. Operasi-operasi Pada Vektor ..................................................................................................... 12

F. Pembagian Ruas Garis ............................................................................................................... 17

G. Perkalian Titik/Skalar (Dot Product) ...................................................................................... 20

H. Perkalian Silang (Cross Product) ............................................................................................ 22

H. Proyeksi.................................................................................................................................. 24

Bab 4. Sistem Persamaan Linier dan Matriks ........................................................................................ 42

A. Sistem Persamaan Linier ............................................................................................................ 42

Sistem Persamaan Linear Dua Peubah .......................................................................................... 42

Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel .......................................................................................... 45

Sistem Persamaan Linier-Kuadrat.................................................................................................. 48

Latihan ........................................................................................................................................... 48

B. Matriks ....................................................................................................................................... 49

Ordo matriks .................................................................................................................................. 49

Latihan ........................................................................................................................................... 50Jenis-Jenis Matriks ......................................................................................................................... 51

Kesamaan Dua Matriks .................................................................................................................. 53

Transpose Matriks ......................................................................................................................... 53

Operasi Matrik ............................................................................................................................... 56

Latihan ........................................................................................................................................... 59

Perkalian Matriks dengan Matriks ................................................................................................. 61

Latihan ........................................................................................................................................... 61

Determinan dan Invers Matriks 65


5/147

Latihan ........................................................................................................................................... 66

Minor Kofaktor dan Adjoin Matriks ............................................................................................... 67

Invers Matriks ................................................................................................................................ 68

C. Aplikasi Matrik Dalam Sistem Persamaan Linear ...................................................................... 72

Aturan Cramer ............................................................................................................................... 72

Latihan ........................................................................................................................................... 74

SPL dan Matriks Invers ................................................................................................................... 74

Latihan ........................................................................................................................................... 76

Latihan Tambahan ......................................................................................................................... 77

BAB 5. BARISAN DAN DERET .................................................................................................................. 79

A. BARISAN DAN DERET ARITMATIKA ............................................................................................ 79

Barisan Aritmatika ......................................................................................................................... 79

Deret Aritmetik .............................................................................................................................. 82

LATIHAN A ...................................................................................................................................... 84

LATIHAN B ...................................................................................................................................... 85

B. BARISAN DAN DERET GEOMETRI ............................................................................................... 86

Barisan Geometri ........................................................................................................................... 86

Deret Geometri .............................................................................................................................. 89

LATIHAN A ...................................................................................................................................... 91

LATIHAN B (Campuran) .................................................................................................................. 91

C. DERET GEOMETRI TAK TERHINGGA ........................................................................................... 93

LATIHAN ......................................................................................................................................... 94

D. APLIKASI BARISAN DAN DERET .................................................................................................. 96

LATIHAN ......................................................................................................................................... 97Bab 6. Peluang ....................................................................................................................................... 98

Referensi ................................................................................................................................................ 99


6/147

Bab 1. Garis Singgung Lingkaran, Parabola, dan Elips

Review gradien dan garis lurus

Sebelum lanjut pada materi garis singgung lingkaran, apakah anda masih ingat dengan pengertian istilah-istilah

berikut ini:

-gradien

-persamaan garis lurus

-garis singgung

Gradien

Gradien adalah ukuran besarnya kemiringan suatu garis terhadap garis mendatar. Besar gradien merupakan

besar perubahan panjang vertikal tiap satuan perubahan panjang mendatar. Umumnya, gradien dilambangkan

dengan m. Tentukan gradien dari beberapa garis dibawah ini:

Gradien garis yang melalui titik(x1, y1) dan (x2, y2) adalah2 1 y ym

x x

Rangkuman Materi

x

y

a

b

c d e

f g h i jk

(x2, y2)

(x1, y1)


7/147

Contoh

1. Tentukan gradient garis yang melalui

a. (3, 1) dan (4, 4)

b. (-2, -5) dan (8, -7)

Jawab

a. gradient 4 1 3 34 3 1

m

b. gradient7 5

0,28 2

m

Garis Lurus

Sebelum masuk ke materi garis singgung, kita akan mengulang sepintas tentang garis lurus dan aljabar.

Persamaan umum garis lurus :ax + by + c = 0 atau y = mx + n

a,b,c adalah konstanta

m adalah kemiringan garisn adalah koordinat y ketika x = 0

Persamaan Garis Singgung

Dengan rearrange persamaan untuk gradien diatas dan subtitution y = y2, x = x2, maka akan diperoleh

persamaan garis singgung, gradien m dan melalui titik (x1, y1) sebagai berikut

y = m(x - x1) + y1 atau y = mx + y1- mx1

Contoh

1.Tentukan persamaan garis singgung sebagai berikut:

a. melalui titik (2,-3) dan bergradien 2.

b. melalui titik (-1, 1) dan bergradien -3.

Jawab

a. y = 2x – 3 +4

y = 2x + 1

b. y = -3x + 1 - 3

y = -3x - 2

Apabila hanya diketahui dua titik yang dilalui garis misal (x1, y1) dan (x2, y2)

Gradien yang melalui (x1, y1) dan (x2, y2)

2 1

2 1

y ym x x

Subtitusi persamaan gradien ini ke persamaan garis lurus, sehingga diperoleh 2 1 2 11 1

2 1 2 1

y y y y y x y x

x x x x

Contoh

2.Tentukan persamaan garis singgung sebagai berikut:

a. melalui titik (2,-3) dan (1,-4).

b. melalui titik (-1, 1) dan (-3,-3).

Jawab

a. 2 1 2 11 1

2 1 2 1

y y y y y x y x

x x x x


8/147

1 13 2

1 1 y x

1 y x

b.4 4

1 ( 1)

2 2

y x

2 3 y x

Latihan

1. Membuat sketsa garis lurus

a. Buatlah sketsa garis lurus 2x + 4y = 4

b. Buatlah sketsa garis lurus 2x + 4y = 5

c. Buatlah sketsa garis lurus 2x + 4y = 8

d. Buatlah sketsa garis lurus 2x - y = 6


9/147

e. Buatlah sketsa garis lurus 3x - 2y = 12

2. Tentukanlah gradien garis lurus berikut inia. y = 2x + 5

b. y = 4x + 4

c. y = -5x + 15

d. y = -2/3x - 20

e. y = -2/5x - 25

2. Tentukanlah gradien garis lurus berikut ini

a. 2x - 3y + 5 = 0

b. 2x + 6y + 5 = 0

c. 4x - 2y + 7 = 0

d. 3x - 6y + 8 = 0

e. 2x - 8y + 11 = 0

2. Tentukanlah gradien garis lurus yang melalui dua titik berikut ini

a. melalui titik (-3, 2) dan titik (-3, 2)

b. melalui titik (1, -3) dan titik (3, 5)

c. melalui titik (6, -10) dan titik (-4, -5)

d. melalui titik (-1, -3) dan titik (-2, 2)

e. melalui titik (-3, -1) dan titik (-7, 7)

3. Tentukanlah persamaan garis lurus berikut ini

a. melalui titik (1, -3) dan bergradien 1

b. melalui titik (2, 2) dan bergradien -2

c. melalui titik (-3, 4) dan bergradien 2/3

d. melalui titik (5, -2) dan bergradien 3/4

e. melalui titiik (10, -6) dan bergradien -4

4. Tentukanlah persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis

a. 3x + 4y - 6 = 0 dan bergradien 3

b. 3x + y + 8 = 0 dan bergradien 4

c. x + 4y - 10 = 0 dan bergradien -3

d. 3x + 2y + 9 = 0 dan bergradien 5

e. x - 2y - 5 = 0 dan bergradien -25. Tentukanlah persamaan garis lurus yang tegak lurus dengan garis


10/147

b. 3x - y - 16 = 0 dan bergradien 2

c. 3x + 2y - 8 = 0 dan bergradien 2

d. x + 4y - 9 = 0 dan bergradien 2

e. x - 4y - 12 = 0 dan bergradien 2

Review aljabar6. Sederhanakan!

a. a + b + 2a + 3b -4a + a =….

b. 5x + 2y - 6x + y -3x + 4y =….

c. 2a2 + b

3 + 2a

2 + 3b

3 –a

2 + 3b

2 =….

d. 3ab – 2ac + 4ab + 3ac -6ab + 10ac =….

e. 6abc – 2acd - 10abc + 3acd + 5abc - 12acd =….

f. 10xyz – 5xym – 10xyz + 7xym - 15xyz – 2xym =….

7. Sederhanakan!

a. 3a2b – 2ac

2 + 4a

2b + 3ac

2 -6a

2b + 10ac

2 =….

b. 6xy2 + 2x3z - 6xy2 + 10x3z -3xy2 =…

c. 11pq2 + 7p

3r – 6pq

2 - 12p

3r -3pq

2 =…

d. 4m3n

4 + 13 m

2n

4 – 3 m

3n

4 - 12 m

2n

4 -6 m

3n

4 =…

e. 4m3n

4 + 13 m

2n

4 – 3 m

3n

4 - 12 m

2n

4 -6 m

3n

4 =…

f. 25x2y

3z – 15xy

2z

3 – 10x

2y

3z + 17xy

2z

3 - 15x

2y

3z – 18xy

2z

3 =….

8. Isilah titik-titik dibawah ini!

a. (a + b)2 =….

b. (a - b)2 =….

c. (p + q)2 =….

d. (p - q)

2

=…. e. (x + y)

2 =….

f. (x - y)2 =….


a. (2a + 3b)2 =….

b. (2a - 4b)2 =….

c. (3m + 2n)2 =….

d. (4p - q)2 =….

e. (x + 3y)2 =….

f. (x - 5y)2 =….


a. (a + b)3 =….

b. (a - b)3 =….

c. (m + n)3 =….

d. (p - q)3 =….

e. (x + y)3 =….

f. (x - y)3 =….


11/147

A. Garis Singgung Lingkaran

Diketahui Gradien Garis Singgung

Apabila diketahui gradien garis singgungnya misalnya m, maka akan ada dua persamaan garis singgung pada

lingkaran yang berpusat di (0, 0)

Persamaan garis singgung tersebut dapat dicari sebagai berikut:

Persamaan garis singgung: y = mx + n

Persamaan lingkaran: x2 + y

2 = r

2

Substitusikan y = mx + n kedalam x2 + y

2 = r

2

x2 + (mx + n)

2 = r

2

x2 + m

2x

2 + 2mnx + n

2 - r

2 = 0

(1+ m2)x

2 + 2mnx + n

2 - r

2 = 0

kasus menyinggung berarti D = 0

b2 - 4ac = 0

(2mn)2 - 4 (1 + m

2)(n

2 - r

2) = 0

4m

2

n

2

- 4(n

2

- r

2

+ m

2

n

2

- m

2

r

2

) = 0m

2n

2 - n

2 + r

2 - m

2n

2 + m

2r

2 = 0

-n2 + r

2 + m

2r

2 = 0

n2 = r

2 + m

2r

2

21n r m

Maka persamaan garis singgungnya:21 y mx r m

Apabila lingkarannya berpusat di (a, b):

(x - a)2 + (y - b)

2 = r

2

maka persamaan garis singgungnya:

2( ) 1 y b m x a r m

O (0, 0)

x

y

m

m


12/147


13/147


14/147

Cara lain menurunkan persamaan garis singgung yang malalui titik (x1, y1) pada lingkaran:

Persamaan garis singgung: y = m(x - x1) + y1

Persamaan Lingkarang : x2 + y

2 = r

2

Gabungan kedua persamaan ini adalah

22 2

1 1( ) x m x x y r

2 2 2 2 2

1 1 1 1( ) 2 ( ) x m x x m x x y y r 2 2 2 2 2

1 1 1 1( ) 2 ( ) 0 x m x x m x x y y r 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1( 2 ) 2 2 0 x m x xx x mxy mx y y r 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1( 2 ) 2 2 0 x m x xx x mxy mx y y r 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1(1 ) (2 2 ) 2 0m x my m x x m x mx y y r

Syarat bersinggungan: D = 0

b2 - 4ac = 0

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1(2 2 ) 4(1 )( 2 ) 0my m x m m x mx y y r 2 2 3 4 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 8 4 4 8 4 4 4 8 4 4 0m y m x y m x m x mx y y r m x m x y m y m r

2 2 2 2 2 2

1 1 1 14 8 4 4 4 0m x mx y y r m r 2 2 2

1 1 1 14 8 4 0m y mx y x 2 2 2

1 1 1 14 8 4 0m y mx y x 2

1 1(2 2 ) 0my x

1 12 2 0my x 1

1

xm

y

Persamaan garis singgungnya:

1 1( ) y y m x x

11 1

1

( ) x

y y x x y

21 1

1

1 1

x x x y y

y y

2 2

1 1 1 1 y y y x x x

2 2

1 1 1 1 x x y y x y

2

1 1 x x y y r

Contoh-contoh soal

1. Tunjukkan bahwa titik P (6,-8) terletak pada lingkaran x2

+ y2

= 100Jawab

Ti ik P (6 8) b i 6 d 8 k di b i ik k2 2


15/147

62 + (-8)

2= 36 + 64 = 100 karena hasilnya 100 berarti titik P terletak pada lingkaran

2. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik A (0, -10) pada lingkaran (x - 3)2 + (y + 5)

2 = 36

Jawab

Titik A (0, -10) berarti x1 = 0 dan y1 = -10

Persamaan lingkaran (x - 3)2

+ (y + 5)2

= 36Persamaan garis singgungnya:

(x - 3) (x1 - 3) + (y + 5) (y1 + 5) = 36

(x - 3) (0 - 3) + (y + 5) (-10 + 5) = 36

-3(x - 3) -5(y + 5) = 36

-3x + 9 - 5y - 25 - 36 = 0

3x + 5y + 42 = 0

3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik P (2, 1) pada lingkaran x2 + y

2 - 2x + 4y - 5 = 0

Jawab

P (2, 1) berarti x1 = 2 dan y1 = 1

Persamaan lingkaran: x2 + y

2 - 2x + 4y - 5 = 0

Persamaan garis singgung:

1 12 21 1 1 1( ) ( ) 0 xx yy A x x B y y C

1 12 21 1 1 1( ) ( ) 0 x x y y A x x B y y C 1 1

2 22 1 2 (2 ) 4 (1 ) 5 0 x y x y 2 (2 ) 2(1 ) 5 0 x y x y

2 2 2 2 5 0 x y x y

3 5 0 x y

4. Tentukan persamaan garis singgung dengan gradient -2 pada lingkaran x2 + y

2 = 16!

Jawab

m = -2, r = 4

persamaan garis singgung:21 y mx r m

2

2 4 1 ( 2) y x

2 4 5 y x

Jadi persamaan garis singgung lingkaran:

2 4 5 y x

2 4 5 y x

5. Tentukan persamaan garis singgung dengan gradient 3 pada lingkaran (x + 2)2 + (y - 3)

2 = 25!

Jawab

m = 3, r = 5, a = -2, b = 3

persamaan garis singgung :2( ) 1 y b m x a r m


16/147

23 3( 2) 5 1 (3) y x

3 6 3 5 1 9 y x

3 9 5 10 y x

6. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x - 4)2 + (y + 5)

2 = 36 dan tegak lurus dengan garis ½x – y

= 10!

Jawab

Garis ½x – y = 10 memiliki gradient m1 = ½

karena tegak lurus maka

m1 m2 = -1

1/2 m2 = -1m2 = -2

jadi gradien garis singgung yang kita cari adalah -2.

a = 4, b = -5, r = 6

2( ) 1 y b m x a r m

25 2( 4) 6 1 ( 2) y x

2 8 5 6 5 y x

2 3 6 5 y x

Latihan

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y

2 = 25 yang melalui titik

a. (3, 4)

b. (-3, 4)

c. (2, 21 )

d. ( 21 , -2)

e. (- 24 , -1)

2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x - 3)2 + (y + 5)2 = 36 yang melalui titik

a. (2, -5+ 11 )

b. (2, -5- 11 )

c. (3+ 20 , -1)

d. (3- 20 , -1)

e. (3, 1)


2 - 2x + 4y - 5 = 0 yang melalui titik

a. (2, 1)b. (2, -5)


17/147

d. (-2, -1)

e. (1, 2 10 )


2 = 16 yang memiliki gradien

a. m = 3

b. m = -2

c. m = 3

d. m = 3/4

e. m = -1/2

5. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x + 2)2 + (y - 3)

2 = 25 dengan gradien

a. m = 3

b. m = 5

c. m = -3

d. m = 3/5e. m = -1/4

6. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x - 4)2 + (y + 5)

2 = 36 dan sejajar dengan garis

a. 2x –8y = 6

b. x – 3y = 8

c. 2x + 5y = 10

d. 6x – 3y = 18

e.4x + 5y = 20

7. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x - 4)2 + (y + 5)2 = 36 dan tegak lurus dengan garis

a. 15x –5y = 7

b. 4x – 2y = 3

c. 2x – y = 5

d. 3x –2y = 10

e. 6x –3y = 5

8. Persamaan garis singgung x2 + y

2 + 10x - 12y + 20 = 0 yang melalui titik (-9, 1) adalah…

9. Tentukanlah jarak terdekat titik (6, 10) ke lingkaran x2 + y

2 = 25 !

10. Tentukanlah jarak terdekat titik (2, 3) ke lingkaran x2 + y

2 = 25 !

11. Tentukanlah jarak terdekat titik (-3, -8) ke lingkaran x2 + y

2 + 4x -2y - 16 = 0 !

12. Tentukanlah jarak terdekat titik (-3, 4) ke lingkaran x2 + y

2 + 4x -2y - 16 = 0 !

13. Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran (x - 2)2 + (y + 1)

2 = 13 yang memiliki berabsis -1

adalah….

14. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y

2 -2x + 6y + 1 = 0 yang tegak lurus garis 3x - y = 0 adalah…

15. Garis singgung lingkaran dititik (2,-5) pada lingkaran x2 + y

2 =169 menyinggung lingkaran lain yang

memiliki persamaaan (x - 5)2 + (y - 12)

2 = p. Tentukanlah nilai p !

16. Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3,1) dan menyinggung garis 3x + 4 y + 7 = 0 !


18/147

B. Garis Singgung Elips

Apabila Diketahui Nilai Gradien

Dibawah ini adalah gambar elips dengan beberapa garis. Garis manakah yang menyinggung elips tersebut ?.

Seperti sudah dibahas sebelumya, persamaan umum garis singgung dinyatakan

y mx c dan persamaan elips dinyatakan

2 2

2 2 1

x y

a b

Gabungan kedua persamaan itu adalah

2 2

2 2

( )1

x mx c

a b

2 2 2 2 2 2( ) 0b x a mx c a b

2 2 2 2 2 2 2 2( 2 ) 0b x a m x mcx c a b

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 0b x a m x a mcx a c a b

2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 0a m b x a mcx a c a b Syarat menyinggung adalah nilai diskriminan sama dengan nol

2 2 2 2 2 2 2 2 2(2 ) 4( )( ) 0mca b a m a c a b

4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 2 24 4 4 4 4 0a c m a b c a b a c m a b m

2 2 2 2 4 4 2 2

4 4 4 0a b c a b a b m

2 2 2 2

c a m b 2 2 2c a m b

x

y = mx + c1

y

y = mx + c3

O (0,0)

y = mx + c2


19/147

Jadi persamaan garis singgung elips dengan gradien m diberikan

2 2 2 y mx a m b tanda ± diatas menunjukkan bahwa ada dua persamaan garis singgung

Apabila titik pusat elips terletak pada (, ) maka persamaan garis singgungnya

2 2 2( ) y m x a m b Coba turunkan persamaan garis singgung pada elips, jika sumbu mayor elips tersebut terletak pada sumbu y.

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung elipsa

2 2

125 16

x y yang memiliki gradien 2.

Jawab

a2 = 25, b

2 = 16, m = 2

sehingga persamaan garis singgung

2 2 2 y mx a m b

2 25 2 16 y x

2 66 y x

Jadi persamaan garis singgung elips tersebut: 2 66 y x dan 2 66 y x

Apabila Diketahui Titik Pada Elips

Gambar dibawah ini menunjukkan sebuah elips dan garis l yang menyinggungnya di titik (x1, y1)

Sekarang kita akan mencoba belajar menemukan persamaan garis singgung tersebut. Misalkan sebuah garis

lurus l menyinggung elips di titik (x1, y1), berarti titik tersebut memenuhi

2 2

1 1

2 2 0

x y

a b Dan persamaan garis singgung tersebut adalah

x

l

y

(x1, y1)

O(0, 0)


20/147

1 1 y m x x y Apabila kedua persamaan tersebut digabungkan (disubtitusi) maka diperoleh

22

1 11

2 2

( )0

m x x y x

a b

22 2 2 2 2

1 1 1( )b x a m x x y a b

2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1( ) 2 ( ) 0b x a m x x m x x y y a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1( ) 2 ( ) 0b x a m x x a m x x y a y a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1( 2 ) 2 2 0b x a m x x x x a mxy a mx y a y a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 12 2 2 0b x a m x a m x x a m x a mxy a mx y a y a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1( ) (2 2 ) 2 0b a m x a my a m x x a m x a mx y b x

Syarat garis menyinggung elips adalah nilai diskriminan sama dengan nolD = 0

b2 - 4ac = 0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1(2 2 ) 4( ) 2 0a my a m x b a m a m x a mx y b x 4 2 2 2 2 4 2

1 1 1 12 4 0a m y a b mx y b x

2

2 2

1 1 0a my b x 2

1

2

1

b xm

a y

Persamaan garis singgung dititik (x1, y1) :

1 1( ) y m x x y 2

11 12

1

( )b x

y x x ya y

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1a y y b x x b x a y 2 2 2 2

1 1a y y b x x a b 1 1

2 2 1 x x y y

a b

Untuk elips yang berpusat di titik ( , ) dengan persamaan:

2 2

2 2

( ) ( )1

x y

a b

Maka persamaan garis singgung yang melalui titik A(x1, y1) pada elips tersebut diberikan:

1 1

2 2

( )( ) ( )( )

1

x x y y

a b

Untuk elips dengan persamaan:


21/147

2 20 Ax By Cx Dy E

Maka persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) diberikan

1 1 1 11 1( ) ( ) 0

2 2 Ax x By y C x x D y y E

Contoh1

Tentukan persamaan garis singgung pada elips x2 + 4y

2 = 40 di titik (2, 3)

Jawab

2 24 40 x y 2 2

140 10

x y

1 1

2 2 1

x x y y

a b

2 3 140 10 x y

2 12 40 x y 6 20 x y

Cara lain

1 14 40 x x y y 2 4 3 40 x y

6 20 x y

Contoh 2:

Tentukan persamaan garis singgung elips

2 2( 2)

112 8

x y

yang melalui titik ( 6 ,4)

Jawab

Titik ( 6 ,4) berada pada elips, coba buktikan yaa….!

Persamaan garis singgung

1 1

2 2

( )( ) ( )( )

1

x x y y

a b

1 1

( 2)( 2)1

12 8

x x y y

6 (4 2)( 2)1

12 8

x y

6 1( 2) 1

12 4

x y

12 6 3( 2) 12 x y 12 6 3 18 0 x y


22/147

Contoh 3:

Tentukan persamaan garis singgung elips 9x2 + 4y

2 - 18x + 2y - 30 = 0 di titik (2,-3)

Jawab

1 1 1 11 1( ) ( ) 0

2 2

Ax x By y C x x D y y E

1 1 1 11 19 4 18( ) 2( ) 30 0

2 2 x x y y x x y y

1 19 2 4( 3) 18(2 ) 2( 3 ) 30 02 2

x y x y

18 12 9(2 ) 3 30 0 x y x y 18 12 18 9 33 0 x y x y 9 11 51 0 x y

Diketahui Titik Di Luar Elips

Contoh

Tentukan persamaan garis singgung elips 9x2 + 4y

2 - 18x + 2y- 7 = 0 yang melalui titik (0, 2)

Jawab

Titik (0, 2) tidak terletak pada elips

Titik (x1, y1) terletak pada elips maka berlaku

9x12 + 4y1

2 - 18x1 + 2y1 - 7 = 0

Maka persamaan garis singgung di titik (x1, y1) adalah

1 1 1 1

1 1( ) ( ) 02 2

Ax x By y C x x D y y E

1 1 1 11 19 4 18( ) 2( ) 7 0

2 2 x x y y x x y y

1 1 1 19 4 9 9 7 0 x x y y x x y y Garis singgung ini melalui titik (0, 2) diluar elips sehingga memenuhi

1 1 1 19 0 4 2 9 9 0 2 7 0 x y x y

1 1 14 2 9 5 0 y x y

1 19 9 5 y x

1 15

9 y x

Nilai y1 ini kita substitusikan ke

2 2

1 1 1 19 4 18 2 7 0 x y x y

2

2

1 1 1 15 59 4 18 2 7 0

8 9 x x x x

2

1 11053 963 377 0 x x Diperoleh

1 549 3 x dan 1 51 3 y Jadi ada dua titik singgung yaitu


23/147

5 54 ,19 3 3

dan5 54 ,1

9 3 3

Dengan demikian ada dua persamaan garis singgung

Yang pertama melalui5 54 ,1

9 3 3

1 1 1 11 19 4 18( ) 2( ) 7 0

2 2 x x y y x x y y

84(13 3 5) 5 5 10 5 03 3 x y

Yang kedua melalui5 54 ,1

9 3 3

1 1 1 11 19 4 18( ) 2( ) 7 0

2 2 x x y y x x y y

84

(13 3 5) 5 5 10 5 03 3 x y

Latihan

1. Tentukan persamaan garis singgung elips

2 2

125 18

x y yang memiliki gradien

a. 2

b. 4

c. -2d. -3

e. -1

2. Tentukan persamaan garis singgung elips

( 2) ( 3)1

12 8

x y yang memiliki gradien

a. -2.

b. -3.

c. -4.

d. 6.

e. 3.3. Tentukan persamaan garis singgung elips 2x

2 + 3y

2 - 30 = 0 yang memiliki gradien

a. -2.

b. 3.

c. -5.

d. -4.

e. 6.

4. Tentukan persamaan garis singgung elips 10x2 + 16y

2 – 20x + 64y - 86 = 0 yang memiliki gradien

a. 4.

b. -2.

c. 1/2.

d. -5.


24/147


25/147

b. ( 2 6 , 2)

c. ( 2 6 , -2)

d. (- 2 6 , 2)

e. (- 2 6 2, -2)12. Tentukan persamaan garis singgung pada elips x

2 + 2y

2 - 4x + 4y - 2 = 0 di titik

a. (2, 1)

b. (2, -3)

c. (4, 1 2 )

d. (4, 1 2 )

e. (0, 1 2 )13. Tentukan persamaan garis singgung pada elips 2x

2 + 3y

2 = 12 yang melalui titik

a. (0, 10)

b. (-7, 8)

c. (6, 5)

d. (-7, 8)

e. (-10, 0)

14. Tentukan persamaan garis singgung pada elips x2 + 2y

2 - 2x - 4y – 5 = 0 yang melalui titik

a. (-6, -6)

b. (10, 1)

c. (-10, 2)

d. (0, 12)

e. (0, -12)


26/147

C. Persamaan Garis Singgung Parabola

Apabila diketahui gradien

Untuk menemukan persamaan garis singgung pada parabola perhatikanlah gambar berikut ini:

Persamaan garis singgung : y = mx + c

Persamaan Parabola: y2 = 4px

Gabungan kedua persamaan diatas:

2

4mx c px 2 2 2

2 4 0m x mcx c px 2 2 2

2( 2 ) 0m x mc p x c Syarar garis menyinggung : D = 0

b2 - 4ac = 0

2 2 2

2( 2 ) 4 0mc p m c

2 2 2 2 24 4 4 4m c mcp p m c

2 2 2 2 24 4m c mcp p m c

2mcp p

mc p

pc

m

Jadi diperoleh persamaan garis singgung:

p

y mx m

x

y y = mx + c

y2 = 4px


27/147

Dengan menggunakan cara yang sama, untuk persamaan garis singgung pada parabola dengan kesimetrisan

yang berbeda ditunjukkan pada tabel berikut ini.

Tabel 1. Diketahui gradien garis singgung

No. Persamaan parabola Persamaan garis singgung

1. y2 = 4px

p y mxm

2. y2 = -4px

p y mx

m

3. x2 = 4py

2 y mx pm

4. x

2 = -4py

2 y mx pm

ContohTentukan persamaan garis singgung pada parabola

a. y2 = 16x dengan gradien 2

b. y2 = -12x dengan gradien -3

c. x2 = 10y dengan gradien -2

d. x2 = -8y dengan gradien 4

Jawab

a. y2 = 16x

m = 2, 4p = 16, p = 4

persamaan garis singgung

p y mx

m

42

2 y x

2 2 y x

b. y2 = -12x

m = -3, 4p = -12, p = -3


p y mx

m

33

3 y x

3 1 y x

c. x2 = 10y

m = -2, 4p = 10, p = 5/2


2 y mx pm

252 ( 2)2

y x

2 10 y x

d. x2 = -8y

m = 4, 4p = -8, p = -2


2 y mx pm

24 ( 2) (4) y x

4 32 y x


28/147

Apabila diketahui titik pada parabola

Misalkan garis singgung melalui titik (x1, y1) yang terletak pada parabola y2 = 4px.

Persamaan garis singgung: y = m(x - x1) + y1

Persamaan Parabola: y2 = 4px

Gabungan persamaan diatas adalah

2

1 1( ) 4m x x y px

2 2 2

1 1 1 1( ) 2 ( ) 4m x x m x x y y px

2 2 2

1 1 1 1 1( ) 2 2 4 0m x x mxy mx y px y

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 12 2 4 2 0m x m x x m x mxy px mx y y

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 12 2 4 2 0m x m x x mxy px m x mx y y 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 12 2 4 2 0m x m x x mxy px m x mx y y

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1(2 2 4 ) 2 0m x my m x p x m x mx y y

Syarat bersinggungan D = 0

b2 - 4ac = 0

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1(2 2 4 ) 4 ( 2 ) 0my m x p m m x mx y y

2 2 4 2 2 3 2 4 2 3 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 4 16 8 16 16 4 8 4 0m y m x p m x y my p m x p m x m x y m y 2 2

1 116 16 16 0 p my p m x p 2 2 2

1 116 16 4 0 p my p m y 2 2 2

1 14 4 0 p my p m y

2

12 0 p my

12 0 p my

1

2 pm

y

Persamaan garis yang melalui (x1, y1) dan m= 2p/y1 bergradien adalah

1 1( ) y m x x y

1 1

1

2( )

p y x x y

y

2

1 1 12 ( ) y y p x x y

1 1 12 2 4 y y px px px

1 12 2 y y px px

1 12 ( ) y y p x x


29/147

Dengan menggunakan cara yang sama, untuk persamaan garis singgung pada parabola dengan kesimetrisan

yang berbeda ditunjukkan pada tabel berikut ini.

Tabel 2. Diketahui titik (x1, y1)

No. Persamaan Parabola Persamaan garis singgung

1. y2 = 4px

y1y = 2p(x1 + x)

2. y2 = -4px

y1y = -2p(x1 + x)

3. x2 = 4py

x1x = 2p(y1 + y)

4. x2 = -4py

x1x = -2p(y1 + y)

Contoh

Tentukan persamaan garis singgung pada parabola

a. y2 = 2x dan melalui titik (2, 2)

b. y2 = -4x dan melalui titik (6, -9)

c. x2 = -8y dan melalui titik (4, -2)

d. x2 = 12y dan melalui titik (6, 3)

Jawab

a. y2 = 2x

(x1, y1) = (2, 2)

4p=2, p = 1/2


y1y = 2p(x1 + x)

2y = 2 ½ (2 + x)

x - 2y - 2 = 0

b. y2 = -4x

(x1, y1) = (6, -9)

4p=-4, p = -1


y1y = 2p(x1 + x)

-9y = 2 (-1) (6 + x)

-2x + 9y - 12 = 0

c. x2 = -8y

(x1, y1) = (4, -2)4p = -8, p = -2


x1x = 2p(y1 + y)

-2x = 2 (-2)(4 + y)

-x + 2y + 4 = 0

d. x2 = -8y

(x1, y1) = (4, -2)4p = -8, p = -2


x1x = 2p(y1 + y)

-2x = 2 (-2)(4 + y)

-x + 2y + 4 = 0


30/147

Untuk parabola dengan titik puncak (a, b)

Apabila parabola memiliki titik puncak (a,b), maka persamaan garis singgung dan persamaan parabolanya

dapat diperoleh dengan cara mudah yaitu dengan cari translasi dari titik puncak (0,0) menjadi titik puncak (a,

b). Hasilnya ditunjukkan pada tabel dibawah ini

Tabel 3. Garis singgung dengan gradien diketahui


1. (y - b)2 = 4p(x - a)

( ) p

y b m x am

2. (y - b)2 = -4p(x - a)

( ) p

y b m x am

3. (x - a)2 = 4p(y - b)

2( ) y b m x a pm

4. (x - a)2 = -4p(y - b)

2( ) y b m x a pm

Tabel 4. Garis singgung yang melalui titik (x1, y1) pada parabola


1. (y - b)2 = 4p(x - a)

1 1( )( ) 2 ( 2 ) y b y b p x x a

2. (y - b)

2 = -4p(x - a)

1 1

( )( ) 2 ( 2 ) y b y b p x x a

3. (x - a)2 = 4p(y - b)

1 1( )( ) 2 ( 2 ) x b x b p y y a

4. (x - a)2 = -4p(y - b)

1 1

( )( ) 2 ( 2 ) x b x b p y y a

Contoh

1.Tentukan persamaan garis singgung pada parabola

a. (y +1)2 = 6(x + 3) dengan gradien 1/4

b. (y - 4)2 = -2(x - 1) dengan gradien -1/2

c. (x + 2)2 = 10(y - 5) dengan gradien 2/3

d. (x - 3)2 = -8(y + 2) dengan gradien 4

2. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola

a. y2 = 2x dan melalui titik (2, 2)

b. y2 = -4x dan melalui titik (6, -9)

c. x2 = -8y dan melalui titik (4, -2)

d. x2 = 12y dan melalui titik (6, 3)

Jawab


31/147

1. a. (y +1)2 = 6(x + 3)

m = 1/4, 4p = 6 p = 3/2, = -3, = -1


( ) p

y m xm

32

14

11 ( 3)

4 y x

1( 3)

4 y x

4 3 0 x y

b. (y - 4)2 = -2(x - 1)

m = -1/2, 4p = -2 p = -1/2, = 1, = 4


( ) p

y m xm

12

12

11 ( 1)

2 y x

12 ( 3)

2 y x

2 1 0 x y

c. (x + 2)2 = 10(y - 5)

m = 2/3, 4p = 10 p = 5/2, = -2, = 5


2( ) y m x pm

22 5 2

5 ( 2)

3 2 3

y x

2 105 ( 2)

3 3 y x

3 15 2( 2) 10 y x

2 3 19 10 x y

d. (x - 3)2 = 8(y + 2)

m = 4, 4p = 8 p = 2, = 3, = -2


2( ) y m x pm

2 4( 3) 32 y x

2 105 ( 2)3 3

y x

3 15 2( 2) 10 y x

2 3 19 10 x y

2.

a. y2 = 2x

(x1, y1) = (2, 2)

4p=2, p = 1/2


y1y = 2p(x1 + x)

2y = 2 ½ (2 + x)

x - 2y - 2 = 0

b. y2 = -4x

(x1, y1) = (6, -9)

4p=-4, p = -1


y1y = 2p(x1 + x)

-9y = 2 (-1) (6 + x)

-2x + 9y - 12 = 0

c. x2 = -8y

(x1, y1) = (4, -2)

d. x2 = -8y

(x1, y1) = (4, -2)


32/147

4p = -8, p = -2


x1x = 2p(y1 + y)

-2x = 2 (-2)(4 + y)

-x + 2y + 4 = 0

4p = -8, p = -2


x1x = 2p(y1 + y)

-2x = 2 (-2)(4 + y)

-x + 2y + 4 = 0

Latihan

1. Tentukanlah persamaan garis singgung pada parabola y2 = 8x apabila diketahui gradien:

a. m = 2

b. m = 3

c. m = -2

d. m = 2/3

e. m = -1/2

2. Tentukanlah persamaan garis singgung pada parabola y2 = -10x apabila diketahui gradien:

a. m = 3/2

b. m = 2/5

c. m = -1

d. m = 3

e. m = -2

3. Tentukanlah persamaan garis singgung pada parabola x2 = 6y apabila diketahui gradien:

a. m = 3/4

b. m = -2/5

c. m = -1/2

d. m = 4/5

e. m = 3/2

4. Tentukanlah persamaan garis singgung pada parabola x2 = -12y apabila diketahui gradien:

a. m = 4/3

b. m = -3/4

c. m = -1/6

d. m = 2/3

e. m = -1/2


33/147


34/147

0.48 2.6610 1.3853 3.84 -2.2976 -1.9290

0.60 2.4760 1.6939 3.96 -2.0502 -2.1902

0.72 2.2554 1.9782 4.08 -1.7732 -2.4199

0.84 2.0024 2.2339 4.20 -1.4708 -2.6147

0.96 1.7206 2.4576 4.32 -1.1472 -2.77201.08 1.4140 2.6459 4.44 -0.8071 -2.8894

1.20 1.0871 2.7961 4.56 -0.4554 -2.9652

1.32 0.7445 2.9061 4.68 -0.0971 -2.9984

1.44 0.3913 2.9744 4.80 0.2625 -2.9885

1.56 0.0324 2.9998 4.92 0.6184 -2.9356

1.68 -0.3270 2.9821 5.04 0.9653 -2.8404

1.80 -0.6816 2.9215 5.16 1.2984 -2.7045

1.92 -1.0264 2.8189 5.28 1.6129 -2.5296

2.04 -1.3565 2.6758 5.40 1.9041 -2.3183

2.16 -1.6671 2.4942 5.52 2.1679 -2.0737

2.28 -1.9537 2.2766 5.64 2.4006 -1.7992

2.40 -2.2122 2.0264 5.76 2.5987 -1.4989

2.52 -2.4389 1.7470 5.88 2.7594 -1.1771

2.64 -2.6305 1.4425 6.00 2.8805 -0.8382

2.76 -2.7842 1.1172 6.12 2.9601 -0.4874

2.88 -2.8979 0.7759 6.24 2.9972 -0.1295

3.00 -2.9700 0.4234 6.28 3.0000 -0.0096

3.12 -2.9993 0.0648 6.28 3.0000 0.0024

3.24 -2.9855 -0.2947

Dalam menyajikan data-data nilai t, buatlah selisih antara nilai t cukup kecil supaya diperoleh kurva yang

smooth. Makin kecil, kurva makin smooth.

Kurva yang dihasilkan


35/147

Kurva yang dihasilkan berbentuk lingkaran.


36/147

3. Gambarlah kurva persamaan parametrik : x = cos t dan y = 2 sin 2t untuk 0 ≤ t ≤ 2

t x y t x y

0.00 0.000000 0.000000 3.60 -0.44252 0.793668

0.20 0.198669 0.389418 3.80 -0.61186 0.96792

0.40 0.389418 0.717356 4.00 -0.7568 0.989358

0.60 0.564642 0.932039 4.20 -0.87158 0.854599

0.80 0.717356 0.999574 4.40 -0.9516 0.584917

1.00 0.841471 0.909297 4.60 -0.99369 0.22289

1.20 0.932039 0.675463 4.80 -0.99616 -0.17433

1.40 0.98545 0.334988 5.00 -0.95892 -0.54402

1.60 0.999574 -0.05837 5.20 -0.88345 -0.82783

1.80 0.973848 -0.44252 5.40 -0.77276 -0.98094

2.00 0.909297 -0.7568 5.60 -0.63127 -0.97918

2.20 0.808496 -0.9516 5.80 -0.4646 -0.82283

2.40 0.675463 -0.99616 6.00 -0.27942 -0.53657

2.60 0.515501 -0.88345 6.20 -0.08309 -0.1656

2.80 0.334988 -0.63127 6.40 0.116549 0.23151

3.00 0.14112 -0.27942

3.20 -0.05837 0.116549

3.40 -0.25554 0.494113

Kurva yang dihasilkan:

Mengubah Persamaan Parametrik Menjadi Persamaan Kartesian

1. Ubahlah persamaan parametrik ke dalam bentuk kartesian

a. x = t - 1, y = t2

b. x = 2cos t dan y = 2 sin t

Jawab


37/147

1. a. persamaan parametrik :

x = t – 1 t = x + 1

y = t2 y = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

persamaan kartesian : y = x2 + 2x + 1

Ini adalah persamaan kuadrat, kurvanya berupa parabola

b. persamaan parametrik : x = 2cos t dan y = 2 sin t

cos2

xt

sin

2

yt

persamaan identitas: sin2t + cos

2t = 1

2 2

12 2

y x

2 24 x y

Ini adalah persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 2

Mengubah Persamaan Kartesian Menjadi Persamaan Parametrik

1. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian xy = 9 Jawab

Misal 3 x t

9 xy

3 9ty 3

yt

Jadi persamaan parametrik: 3 x t ,3

y t Catatan: bisa saja satu bentuk persamaan kartesian memiliki bentuk parametrik lebih dari satu.

Coba pikirkan, kenapa?

2. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian26 1 y x x

Jawab

Misal x = sin

26sin 1 sin y 6sin cos y

3sin2 y Jadi persamaan parametrik: x = sin, y = 3sin2 Atau

Misal x = cos

26cos 1 cos y 6cos sin y 3sin2 y

Jadi persamaan parametrik: x = cos, y = 3sin2 3. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian

2 29 16 144! x y


38/147

Jawab:

2 29 16 144 x y

2 2

116 9

x y

Bandingkan dengan cos

2 + sin2 = 1

22cos

16

x

4cos x

22sin

9

y

3sin y

Jadi persamaan parametrik: x = 4cos, y = 3sin

Latihan

1.

Gambarkan sketsa grafik persamaan parametrik berikut ini

a. x = 2t, y = t + 4, -2 ≤ t ≤ 3

b. x = 3t – 1, y = 3t2 + 2, -4 ≤ t ≤ 4

c. x = 3t, y = t2-3 untuk-3 ≤ t ≤ 3

d. x = 3t2, y = t

3 untuk-3 ≤ t ≤ 3

e.2

4 x t ,31

2 y t , untuk-3 ≤ t ≤ 3

f.3 2 4 x t t , 1 y t , untuk-2 ≤ t ≤ 2

g.2 x t ,

1 y

t

, untuk-3 ≤ t ≤ 3

h. 4sin x , 4cos y , untuk 0 ≤ ≤ 2

i. 5cos x , 3sin y , untuk 0 ≤ ≤ 2

j. sec x , tan y , untuk-3 ≤ ≤ 3

k. x = cost - 2cos2t, y = sint - 2cost sint, untuk -0 ≤ t ≤ 2

l. Persamaan Lemniscate Bernoulli

Untuk 0 ≤ t ≤ 2

m. x = 31cost - 7cos 31/7t, y = 17sin t – 7sin31/7t, untuk 0 ≤ t ≤ 14

n. x = 17cost + 7cos17/7t, y = 17sin t – 7sin17/7t, untuk 0 ≤ t ≤ 14

o. x = cost + 1/2cos7t + 1/3sin17t, y = sin t + 1/2 sin 7t + 1/3cos17t, untuk 0 ≤ t ≤ 2

2. Tentukanlah bentuk kartesian dari persamaan parametrik berikut ini

a. x = t + 4, y = 1-2t

b. x = t + 1, y = t

2

- 2

c.3

x 4 y t


39/147

d. x = t2, y = t

3

e. x = t2-1, y = t

3+ 2

f. x = t2,

2 y

t

g.

1 t x t

,

1 t y t

h. x = 3cos, y = 4sin

i. x = sin, y = cos2

j. x = 3cos, y = 5cos2

k. x = 3sec, y = 3tan

l.1

1

t x

t

,2

1

t y

t

3. Tentukan persamaan parametrik dari persamaan kartesian berikut ini

a. 24 y x x , misal x= 2cos

b.21

x y

x

, gunakan 1 + tan2 = sec

2

c.

23 1 x y

x

, gunakan x = sin atau x = 1/t

4., Sederhanakan

2 2

6 4 12 0 x y x y kedalam bentuk2 2

( ) ( ) 1 x y kemudian ubahkedalam bentuk persamaan parametrik

5. Sederhanakan2 29 4 18 16 43 0 x y x y

kedalam bentuk

2 2

2 2

( ) ( )1

x y

a b

kemudian

ubah kedalam bentuk persamaan parametrik

6. Dengan mensubtitusi y = tx, tunjukkan bahwa persamaan kartesian 3 3

3 x y xy dapat dikonversi

menjadi persamaan parametrik3

1

t x

t

,

2

3

3

1

t y

t

7. Ambil contoh kasus gerak parabola seperti di ilustrasikan, gerak ini dapat diuraikan menjadi dua komponen

yaitu dalam arah x/horizontal dan dalam arah y/vertikal.

Berdasarkan konsep-konsep fisika, tentukan persamaan parametrik untuk menentukankedudukan x dan y.

x

y

vo


40/147

B. SISTIM KOORDINAT KUTUB

Dalam bagian ini, kita akan mempelajari koordinat kutub dan hubungannya dengan koordinat kartesian.

Koordinat polar menunjukkan posisi relatif suatu titik terhadap sumbu polar dan titik kutub O (0,0). Titik pada

koordinat kutub dinyatakan jari-jari dan sudut.

Dalam sistim koordinat polar titik asal O dinamakan kutub (pole) dan sumbu x dinamakan sumbu kutub (polar

axis).

Setiap titik pada koordinat kartesius diperoleh dari perpotongan antara x dan y, sedangkan titik pada koordinat

polar merupakan titik potong antara jari-jari lingkaran yang berpusat pada titik kutub dan garis arah sudut.

Sistim Koordinat Kartesian Sistim Koordinat Kutub

Koordinat Kutub

Sekarang kita belajar menyatakan posisi suatu titik dalam koordinat polar. Perhatikanlah beberapa contoh titik-

titik dibawah ini

P (r, )

O

r

x

Koordinat kutub :

P (r, )

r : jarak dari O ke P (arah dari O menuju P)

: sudut antara sumbu x dan garis OP


41/147

Dalam gambar diatas ada dua lingkaran yang kecil berjari-jari 2 dan yang besar berjari-jari 3. Dan juga terdapat

dua garis lurus yang menunjukkan sudut diukur dari sumbu polar.

Titik A terdapat pada lingkaran kecil (r=2) dengan sudut /4 sehingga dapat dinyatakan

A (2, /4)

Titik B terdapat pada lingkaran besar (r=3) dengan sudut /2 sehingga dapat dinyatakan

B (3, /2). Coba lanjutkan untuk titik C, D, E dan F sebagai latihan.

Konversi koordinat kutub ke koordinat kartesius

Contoh:

1. Ubahlah titik-titik dibawah ini ke bentuk kutub

a. (-3,-4)

b. (5,- 7)

2. Ubahlah titik-titik dibawah ini ke bentuk kartesius

a. (2, 1/3)

P (r, )

O

r

x

y

x

y

Kartesius ke Kutub Kutub ke Kartesius

r 2 = x

2 + y

2 x = r cos

= tan-1

(y/x) y = r sin

y

x

/43/4

5/4 7/4

2 31-1-2-3

3

2

1

-1

-2

-3

A

B

CD

EF


42/147

b. (-3, 4/3)Jawab

a. Dari titik (-3, -4) diperoleh x = -3 dan y = -4

r2 = x

2 + y

2

= (-3)2 + (-4)

2

= 25r = 5

= tan-1(4/3) = 233o

Kartesius: (-3, -4), kutub: (5, 233o)

b. Dari titik (5, -7) diperoleh x = -3 dan y = -4

r2 = x

2 + y

2

= (5)2 + (-7)

2

= 25+ 49

= 71

r = 71

= tan-1(-7/5) = 305,54o

Kartesius: (5, -7), kutub: ( 71 , 305,54o)

2. a. Dari titik (2, 1/3) diperoleh r = 2 dan = 1/3

x = r cos

= 2 cos1/3

= 2 1/2

= 1y = r sin

= 2 sin1/3

= 2 1/2 3

= 3

Kutub (2, 1/3), kartesius: (1, 3 )

b. Dari titik (-3, 4/3) diperoleh r = -2 dan = 4/3

x = r cos = -3 cos 4/3

= -3 (-1/2)= 3/2

y = r sin

= 2 sin 4/3

= -3 (-1/2 3 )

= 3/2 3

Kutub (-3, 4/3), kartesius: (3/2, 3/2 3 )


43/147

Dalam sistim koordinat kartesius, setiap titik dinyatakan oleh x dan y secara spesifik artinya titik berbeda, maka

x dan y nya pun berbeda. Lain halnya dalam sistim koordinat kutub karena r punya arah dan nilai punya acuan

arah putar dan bersifat periodik sebesar 2 maka untuk titik yang sama dapat dinyatkan oleh r dan yang

berbeda-beda dengan jumlah representasi tak berhingga.Perhatikanlah contoh berikut

Dalam sistim kartesius: A (2, 2)

Dalam sistim kutub:

A (2 2 , /4), A (2 2 , /4 + 2), A (2 2 , /4 + 4),… A (2 2 , /4 + 2n)Boleh juga

A (2 2 , -7/4), A (2 2 , -7/4+2), A (2 2 , -7/4+4), …A (2 2 , -7/4+ 2n)Boleh juga

A (-2 2 , 5/4), A (-2 2 , 5/4+2), A (-2 2 , 5/4+4), … A (-2 2 , 5/4+ n2)Dengan n = 1, 2, 3,…

Mengkonversi persamaan kartesian ke kutub

1. Ubahlah persamaan berikut ke kutub

y = 3x- 8

jawab

ingat: x = r cos dan y = r sin y = 3x- 8

r sin = 3r cos - 8

r sin - 3r cos = - 8

r (sin - 3 cos) = - 8

8

3cos sinr

2. Ubahlah persamaan berikut ke kutub

x2+ (y - 3)

2 = 9

jawab

x2+ (y - 3)2 = 9

x2

+ y2

- 6y + 9 = 9

x/4

2 31-1-2-3

y

2

1

-1

-2

A


44/147


45/147

Membuat grafik pada sistim koordinat kutub

Buatlah grafik himpunan titik-titik koordinat polar dengan syarat-syarat berikut:

a. r = 2

b. -2 ≤ r ≤ 3 c. r ≤ 0, = 1/4

d. 1/4 ≤ ≤ 1/6 Jawab

Solusinya ditunjukkan pada gambar dibawah ini

x2 31-1-2-3

y

2

1

-1

-2

x2 31-1-2-3

y

2

1

-1

-2

-3

-3

a. b.

x

/4

2 31-1-2-3

y

2

1

-1

-2

x

/4

2 31-1-2-3

y

2

1

-1

-2

/6

c. d.


46/147

Latihan

1. Manakah titik-titik koordinat polar berikut ini yang menunjukkan titik yang sama

a. (3, 0)

b. (-3, 0)c. (2, 2/3)

d. (2, 7/3)

e. (-3,)

f. (2, /3)

g. (-3, 2)

h. (-2, -/3)

2. Plot titik-titik koordinat polar berikut ini

a. (1, /6)

b. (-1, /6)

c. (2, /6)

d. (3, /6)

e. (2, /4)

f. (2, -/4)

g. (3, 5/6)

h. (-3, 10/4)

3. Konversi koordinat kartesius dibawah ini menjadi koordinat polar

a. (3, 4)

b. (-2, 3 )

c. (1, -2)

d. (10, - 2 )e. (-5, 7)

f. (-6, -4 3 )

g. (-8, 6)

h. (12, -5)

4. Konversi koordinat polar dibawah ini menjadi koordinat kartesius

a. ( 2 , /4)

b. (0, /2)

c. (-3, 2/3)

d. (- 7 , 5/6)

e. ( 2 3 , -/4)

f. ( 2 , /4)g. (0, /2)h ( 3 2/3)


47/147

5. Buatlah grafik dari himpunan titik-titik koordinat polar yang memenuhi syarat berikut ini

a. r = 4

b. = 2/3, r ≤ -2

c. = /3, -1 ≤ r ≤ 3d. r = 2, 0 ≤ ≤

e. 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ ≤ /2

f. -3 ≤ r ≤ 2, = /4

g. r ≤ 0, = /4

h. 2/3 ≤ r ≤ 5/6

6. Konversi persamaan polar berikut ini menjadi persamaan kartesius

a. r cos = 4

b. r sin = -5c. r cos + r sin = 1

d. r = cot csc

e. r = 2cos + 2 sin

f. r2 + r

2cos sin = 1

g. r2 sin 2 = 2

h. r = 2cos - sin

7. Konversi persamaan kartesius berikut ini menjadi persamaan polar

a. x = 7

b. x - y = 3

c. y = 5

d. x y= 2

e. x2 + y

2 = 5

f. x2 - y

2 = 1

g. x2 + xy + y

2 = 1


48/147

Bab 3. Vektor

Bab ini membahas:

Pengertian Vektor

Vektor Satuan

Operasi Vektor

Vektor Satuan

Pembagian Ruas Garis

Perkalian Titik

Perkalian Silang

A. Pengertian Vektor

Seorang anak akan menyebrangi sungai dengan berenang. Aliran air sungainya tenang, anak tersebut berenang

dengan arah mula-mula tegak lurus sungai. Kira-kira arah berenang anak tersebut akan tetap tegak lurus sungai

atau mengalami pergeseran arah? Tentu arah geraknya bergeser karena pengaruh aliran air sungai. Dalam

cerita ini ada besaran kecepatan berenang anak dan kecepatan aliran sungai. Cerita singkat ini berhubungan

dengan vektor yang akan dalam bab ini. Dapatkah Anda memberikan contoh-contoh kasus dalam kehidupan

sehari-hari yang menunjukkan vektor-vektor yang berlawanan arah?

Ada dua jenis besaran dalam ilmu fisika yaitu skalar dan vektor

Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilainya saja, contoh: volume, suhu, kalor,

Besaran vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah, contoh perpindahan, kecepatan, gaya.

Notasi vektor dinyatakan oleh hurup tebal atau hurup yang diberikan garis panah diatasnya: a,b,c,AB , F

dan seterusnya

a dibaca “Vektor a” AB dibaca “Vektor AB” F dibaca vektor F

Besar sebuah vektor dilambangkan dengan tanda mutlak pada vektor tersebut

Besar vektor a dilambangkan dengan a

Besar vektor b dilambangkan dengan b

Besar vektor Fdilambangkan dengan F

Sebuah vektor digambarkan dengan panah. Arah panah menunjukkan arah vektor sedangkan panjang

panah merepresentasikan besar vektor. Semakin besar vektor, maka semakin panjang panah vektor

tersebut (proporsional)

Contoh: vektor perpindahan A sejauh 4 km kearah utara.

Rangkuman Materi

U


49/147

Vektor A memiliki arah ke utara dengan panjang 4 cm ( 1km diwakili 1 cm), vektor B memiliki arah yang

sama dengan vektor A tetapi besarnya lebih kecil, vektor C memiliki besar sama dengan A tetapi arahnya

sama, vektor D memiliki besar dan arah yang sama dengan vektor A, dikatakan vektor D sama dengan

vektor A.

Dua buah vektor dikatakan sama apabila memiliki besar arah yang sama

Latihan1. Gambarkan vektor-vektor berikut ini (gunakan skala yang sesuai)

a. Perpindahan seekor semut ke arah barat sejauh 100 cm

b. Perpindahan sebuah mobil ke arah tenggara sejauh 30 km

c. Perpindahan kereta api ke arah selatan sejauh 150 km

d. Perpindahan pesawat ke arah timur sejauh 400 km

2. Manakah diantara gambar-gambar berikut yang merupakan vektor-vektor yang sama.

S

TB

a b cd e

f

lk

jihg


50/147

B. Penjumlahan Vektor Secara Geometri

Untuk menjumlahkan vektor secara geometri, ada dua cara ayitu metode polygon dan metode jajar

genjang

Metode Poligon

Misal ada dua vektor A dan B akan di jumlahkan. Dalam metode, titik pangkal vektor B di letakkan di ujung

vektor A. Kemudian tarik garis lurus dari titik pangkal A menuju ujung vektor B.

Metode Jajar Genjang

Misal ada dua vektor A dan B akan di jumlahkan. Dalam metode ini, titik pangkal vektor A dan vektor B diletakkan di titik yang sama (berimpit). Kemudian buat garis putus-putus sejajar vektor A dimulai dari ujung

B dan garis putus-putus sejajar vektor B dimulai dari ujung A, kedua garis ini akan berpotongan di satu titik.

Tarik garis dari titik pangkal kedua vektor menuju titik potong garis putus-putus.

Latihan

1. Dengan menggunakan metode polygon, gambarkanlah penjumlahan vektor-vektor berikut ini

a. A+B

b. C+D

c. A+C

A

B

B

A

A+B

A

B

B

A

A+B


51/147

d. B+D

2. Dengan menggunakan metode polygon, gambarkanlah pengurangan vektor-vektor berikut ini

a. A-B

b. C-D

c. A-Cd. B-D

gambar untuk soal no. 1 dan soal no. 2

3. Dengan menggunakan metode jajar genjang, gambarkanlah penjumlahan vektor-vektor berikut ini

a. A+B

b. C+D

c. A+C

d. B+D

4. Dengan menggunakan metode jajar genjang, gambarkanlah pengurangan vektor-vektor berikut ini

a. A-B

b. C-D

c. A-C

d. B-D

gambar untuk soal no. 3 dan soal no. 4

5. Dengan mengacu pada gambar dibawah ini nyatakanlah

a. vektor a dalam b,c dan d

b. vektor d dalam a,b dan c

A B C D

A B

CD


52/147

c. a + b + c + d =…

6. Dengan mengacu pada gambar dibawah ini nyatakanlah vektor AC dalam AB dan BC

6. Dengan mengacu pada gambar dibawah ini nyatakanlah

a.vektor AC dalam AB dan BC

b.vektor AD dalam AB, BC dan CD

c.vektor AD dalam AB dan BD

d.vektor AE dalam AB,BC dan CE

e.kira-kira vektor AG dapat dinyatakan oleh berapa persamaan…?

a

b

c

d

C

B

A

C

B

A

D

E

F

G


53/147

8. Dengan mengacu pada gambar dibawah ini nyatakanlah vektor AD dalam AB dan AC

C. Representasi Vektor 1D, 2D dan 3D

1DIMENSISetiap vektor yang besarnya satu satuan dinamakan vektor satuan. Dalam Kasus satu dimensi, vektor satuan

dinyatakan dengan i seperti digambarkan dibawah ini.

Bentuk umum dalam 1 dimensi: a = axi

Besar vektor: xa a

Latihan

Gambarkan vektor-vektor satuan berikut iniA=5i

C

B

A

D


54/147

P=-4i

Q=-2,5i

2DIMENSI

Dalam kasus 2 dimensi,vektor vektor berada dalam bidang datar yang dapat dinyatakan dalam sistim koordinat

kartesius. Untuk kasus ini maka setiap vektor dapat dinyatakan oleh vektor satuan i (horizontal) dan vektor

satuan j (vertika).

Dalam 2 dimensi, vektor dinyatakan: a = axi + ay j

Besar vektor: 2 2x ya a a

Contoh Tentukan vektor kecepatan dan besarnya pada gambar diatas

Jawab

Vektor kecepatan : V = 6i + 3j

Besar vektor: 2 2v 6 3

v 45

v 3 5

3DIMENSI

Dalam kasus 2 dimensi,vektor vektor berada dalam bidang datar yang dapat dinyatakan dalam sistim koordinat

kartesius. Untuk kasus ini maka setiap vektor dapat dinyatakan oleh vektor satuan i (horizontal), vektor satuan j

(horizontal) dan vektor satuan k(vertical).

i j


55/147

Dalam 2 dimensi, vektor dinyatakan: a = axi + ay j + ayz j

Besar vektor: 2 2 2x y za a a a

Contoh Tentukan vektor kecepatan dan besarnya pada gambar diatas

JawabVektor kecepatan : OP = 2i + 3j+5k

Besar vektor: 2 2 2OP 2 3 5

OP 40

Penyajian vektor diatas dinamakan penyajian dalam bentuk basis I,j dan k. Penyajian vektor yang lain yaitu

dalam bentuk (x, y, z) atau dalam bentuk kolom

x

y

z

Nyatakanlah vektor-vektor berikut ini dalam bentuk basis, bentuk (x, y) dan bentuk kolom.

Jawab

Karena 2 dimensi, maka komponen z = 0.

A

BC


56/147

A = 6i+5j

A = (6, 5)

6 A

5

Vektor B

B = 4i-4j

B = (4,-4)

4B

4

Vektor A

C = -3i+6j

C = (-3,6)

3C

6

Latihan

1. Nyatakanlah vektor-vektor berikut ini dalam bentuk basis, bentuk (x, y) dan bentuk kolom.

2. Nyatakanlah vektor-vektor berikut ini dalam bentuk basis, bentuk (x, y) dan bentuk kolom.

3. Hitunglah besar vektor :

a. OA = 2i + 2j-k

b. AB = -4i + 2j-3k

c. CD = -3i + 2j+4kd. EF = 5i + 2j+5k

e DG = 4i + 2j 3k

A

B

C

P

Q R


57/147

Contoh:

D. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang besarnya atau panjangnya satu satuan. Vektor satuan searah sumbu x adalah i 1,0,0 , vektor satuan searah sumbu y adalah j 0,1,0 dan

vektor satuan searah sumbu z adalah k 0,0,1 .

Vektor satuan dari a adalaha

a.

1. Jika A(3,-4,0) dan B(6,0,8) maka vektor satuan dari A dan B masing-masing adalah …. Jawab:

Diketahui A(3,-4,0), maka panjang A adalah

22 2A 3 4 0

9 16 0

25

5

sehingga diperoleh vektor satuan dari A adalah

3, 4,0A5A

3 4, ,0

5 5

3 4i j

5 5

Diketahui B(6,0,8), maka panjang B adalah

2 2 2B 6 0 8

36 0 64

100

10

sehingga diperoleh vektor satuan dari B adalah

6,0,8B

10B

6 8,0,

10 10

6 8i k10 10


58/147

2. Jika A(3,-2,1) dan B(1,0,4) maka vektor satuan dari AB adalah ….

Jawab:

AB B A (1,0,4) (3, 2,1) 2,2,3

Panjang AB adalah

2 2 2AB ( 2) 2 3

4 4 9

17

Vektor satuan dari AB adalah

2,2,3AB

17AB

2 2 317i 17j 17k

17 17 17

Vektor yang titik pangkalnya terletak pada titik O (0,0,0) dinamakan vektor posisi

Dibawah ini vektor OA merupakan vektor posisi karena bertitik pangkal di (0,0,0)

Contoh:

Jika diketahui titik A(-4,7) dan B(-3,3) maka tentukanlah

a. Vektor posisi OA dan OB

b. Vektor AB dan panjang AB

Jawab

Vektor posisi: AO = -4i+7j, OB=-3i+3j

Vektor AB: AB = (-3+4)i+(3-7)j

AB = i-4j

Panjang vektor AB: 2 2AB 1 ( 4)


59/147

AB 17

Latihan

1. Tentukanlah vektor satuan dari vektor posisi

a. (0, 1)

b. (1, 0)

c. (1,-1, 1)

d. (2,-3, 2)

e. (-1,-5, 3)

f. (6,-4, -5)

g. (1,-1, 4)

h. (5,-3, 6)

i. (-4, 4, -2)

j. (8, 7, 10)

2. Jika diketahui titik A(-4, 7) dan B(-3, 3) maka tentukanlaha. Vektor posisi OA dan OB


3. Jika diketahui titik P(3, -5) dan Q(2, -4) maka tentukanlah

a. Vektor posisi OP dan OQ

b. Vektor PQ dan panjang PQ

4. Jika diketahui titik M(-2, 6) dan N(1, 3) maka tentukanlah

a. Vektor posisi OM dan ON

b. Vektor MN dan panjang MN

5. Jika diketahui titik T(2, 8) dan U(-4, 6) maka tentukanlah

a. Vektor posisi OT dan OU

b. Vektor TU dan panjang TU

6. Jika diketahui titik A(5, 2) dan B(3, 1) maka tentukanlah

a. Vektor posisi OA dan OB


7. Jika diketahui titik R(-5,5) dan S(-1,-5) maka tentukanlah

a. Vektor posisi OR dan OS

b. Vektor RS dan panjang RS

E. Operasi-operasi Pada Vektor

1. 1

1 2 3 1 2 3 2

3

a

a a i a j a k a ,a ,a a

a

2. Panjang vektor a dinotasikan sebagai 2 2 21 2 3a a a a

3. Jika 1 2 3a a ,a ,a dan 1 2 3b b ,b ,b maka


60/147

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

a b a b ,a b ,a b

a b a b ,a b ,a b

4. Jika k adalah skalar dan 1 2 3a a ,a ,a maka 1 2 3 1 2 3ka k a ,a ,a ka ,ka ,ka


61/147

Contoh:

. Diketahui a i j k dan b 3i 4j . Nilai dari a dan b masing-masing adalah …. Jawab:

Diketahui a i j k 1,1, 1 dan b 3i 4j 3, 4,0 . Maka nilai

22 2

22 2

a 1,1, 1

1 1 1

1 1 1

3

b 3, 4,0

3 4 0

9 16 0

25

5

. Diketahui a 2i 4j 10k dan b 10i 10j 10k . Nilai dari ab adalah ….

Jawab:

Diketahui a 2i 4j 10k 2,4,10 dan b 10i 10j 10k 10,10,10 . Maka diperoleh

ab b a

10,10,10 2,4,10

10 2,10 4,10 10

8,6,0

sehingga diperoleh

2 2 2

ab 8,6,0

8 6 0

64 36 0

100

10

. Diketahui a 2i 3j k dan b 3i j 4k . Nilai dari a b = ….

Jawab:

Diketahui a 2i 3j k 2,3, 1 dan b 3i j 4k 3, 1,4 . Maka nilai


62/147

a b 2,3, 1 3, 1,4

2 3,3 ( 1), 1 4

1,4, 5

a b i 4j 5k

. Diketahui a i 1j 2k dan b i 2j 2k . Nilai dari a b = ….

Jawab:

Diketahui a i 1j 2k 1, 1, 2 dan b i 2j 2k 1, 2, 2 . Maka nilai

a b 1, 1, 2 1, 2, 2

1 1, 1 ( 2), 2 ( 2)

0, 3, 4

a b 3j 4k

. Diketahui a 3i 1j 7k dan b 3i 5j k . Nilai dari 5a dan 10b berturut-turut adalah ….

Jawab:

Diketahui a 3i 1j 7k 3,1,7 dan b 3i 5j k 3, 5, 1 . Maka nilai

5a 5 3,1,7

15,5,35

5a 15i 5j 35k

10b 10 3, 5, 1

30, 50, 10

10b 30i 50j 10k

. Diketahui a 3i 1j dan b 5j k . Nilai dari 2a 3b = ….

Jawab:

Diketahui a 3i 1j 3,1,0 dan b 5j k 0,5, 1 . Maka nilai

2a 3b 2 3,1,0 3 0,5, 1

6,2,0 0,15, 3

6 0,2 15,0 ( 3)

6,17, 3

a b 6i 17j 3k

Latihan

1. Diketahui a 2i 4j 10k dan b 10i 5j 6k . Tentukanlah

a. vektor ab

b. Nilai dari ab

2. Diketahui p 4i 2j 5k dan q 5i 7j 8k . Tentukanlah

a. vektor pq


63/147

b. Nilai dari pq

3. Diketahui m 4i 10j 15k dan n 3i 8j 20k . Tentukanlah

a. vektor nm

b. Nilai dari nm

4. Diketahui r 5i 3j 12k dan s 6i 6j 7k . Tentukanlah

a. vektor sr

b. Nilai dari sr

5. Diketahui c 4i 7j 2k dan d 7i 4j 8k . Tentukanlah

a. vektor cd

b. Nilai dari cd

6. Diketahui PQ 6i 4j 10k dan QR 7i 8j 5k . Tentukanlah

a. vektor 5PQ

b. vektor -3PQ

c. vektor 8QR

d. vektor -2QR

e. vektor 5PR

f. vektor -6RP

g. vektor 2PQ+3QR

h. besar 2PQ+3QR

i. vektor 5PQ-8QR j. besar 5PQ-8QR

7. Diketahui A 2i 3j 6k dan B 8i 6j 4k . Tentukanlah

a. vektor 2A

b. vektor -5A

c. vektor 7B

d. vektor 6B

e. vektor 10AB

f. vektor 5BA

g. vektor 4A-6B

h. besar 2B+5A

i. vektor 6A+ 8AB

j. besar 5BA-2B


64/147

Contoh:

F. Pembagian Ruas Garis

Jika p adalah vektor posisi dari titik P yang membagi garis AB dengan perbandingan AP:PB m:n , maka

berlaku:

Pembuktian:

OP OA AP

m

OP OA PBn

mOP OA OB OPn

nOP nOA mOB mOP

nOP mOP nOA mOB

nOA mOBOPm n

na mbp

m n

1. Diketahui A(1,1,1) dan B(-2,-2,-2). Jika titik D membagi AB dengan perbandingan AD :DB 1:2 makakoordinat titik D adalah…

m.b n.ap m n


65/147

Jawab:

Diketahui A(1,1,1) dan B(-2,-2,-2). Karena AD :DB 1:2 maka berlaku

2a bd

3

2 1,1,1 2, 2, 2

3

2,2,2 2, 2, 2

3

0,0,0

3

0,0,0

.

Jadi koordinat titik D adalah 0,0,0 .

2. Diketahui A(1,3,2) dan B(-3,4,2). Jika titik B membagi AD dengan perbandingan AB:DB = 2: -1 maka koordinat

titik D adalah…

Jawab:

Diketahui A(1,3,2) dan B(-3,4,2). Karena AB:DB = 2: -1 maka AB:BD 2:1 , sehingga berlaku

a 2d 3b ab 3b a 2d

3 2.

Selanjutnya diperoleh

3b ad

2

9,12,6 1,3,2

2

10,9,4 95, ,2

2 2

Jadi koordinat titik D adalah

95, ,2

2.

Latihan

1. Tanpa perbandingan PA dan AQ pada gambar-gambar dibawah ini:

a.

b.

c.

P A Q

Q A P


66/147

d.

e.

2. Tanpa menggunakan rumus, tentukan vektor posisi R jikaa.titik P(2,4) dan Q(6,6) dan PR : RQ = 1 : 2.

b.titik A(-3,3) dan B(2,2) dan AR : RB = 2 : 1.

c.titik M(1,2) dan N(-5,2) dan MR : RN = 3 : 2.

d.titik S(-3,6) dan R(6,-4) dan SR : SQ = 4 : 1.

e.titik P(2,4) dan Q(-2,-4) dan PR : RQ = 3 : 4.

f.titik C(-1,-1) dan D(6,6) dan CR : RD = 4 : 5.

g.titik P(-3,-2) dan Q(5,8) dan PR : RQ = 5 : 3.

h.titik P(3,4) dan Q(-3,-4) dan PR : RQ = 3 : 5.

i.titik P(-4,2) dan Q(5,-4) dan PR : RQ = 3 : 1.

j.titik P(-2,3) dan Q(3,-6) dan PR : RQ = 1 : 3.

3. Dengan menggunakan rumus, tentukan vektor posisi P jika

a.titik A(2,1) dan B(4,2) dan AP : PB = 2 : -1

b.titik A(-1,3) dan B(3,5) dan AP : PB = 3 : -2

c.titik A(-2,4) dan B(2,-3) dan AP : PB = 3 : -4

d.titik A(4,3) dan B(5,-6) dan AP : PB = 1 : -2

e.titik A(4,-1) dan B(-2,-2) dan PR : RQ = 1 : 2

f. titik A(2,4) dan B(6,6) dan AP : PB = -1 : 2

g.titik M(3,1) dan N(6,8) dan MP : PN = -2 : 3

h.titik M(-2,-4) dan N(1,3) dan MP : PN = -2 : 5

i. titik M(-1,2) dan N(2,-4) dan MP : PN = -1 : 4

j.titik M(2,4) dan N(3,5) dan AP : PB = -1 : 3

4. Tentukan vektor PQ , QR dan PR jika

a.P(2,1,0),Q(4,2,3) dan R(3,3,6)

b.P(-3,-2,2),Q(5,-3,7) dan R(8,-5,3)

c.P(-8,2,5),Q(-2,4,6) dan R(3,5,6)

d.P(4,-3,-6),Q(-3,5,8) dan R(5,7,8)

e.P(3,1,5),Q(1,2,-3) dan R(-3,5,2)f. P(-5,8,9),Q(4,-2,-3) dan R(1,-8,-7)

( ) ( ) ( )

P AQ

QP A

A P Q


67/147

Contoh:

h.P(3,-4,4),Q(-5,-2,3) dan R(5,3,1)

i.P(7,2,5),Q(-6,2,4) dan R(-5,3,4)

j.P(5,-6,-2),Q(1,2,5) dan R(-8,3,6)

5. Diketahui segitiga PQR dimana P(3,-2,1), Q(1,4,-3) dan R(4,-1,-3). Jika titik A terletak pada garis QR sehinggaQA:QR=1:3, tentuka vektor PA.

G. Perkalian Titik/Skalar (Dot Product)

Diketahui 1 2 3a a ,a ,a dan 1 2 3b b ,b ,b maka 1 1 2 2 3 3a.b a b a b a b

Hasil dari perkalian titik berupa besaran skalar

Diketahui a , b dan a,b maka

a.b a .b .cos

a.bsehingga cos

a .b

Apabila diuraikan akan diperoleh

1 1 2 2 3 3

2 2 3 2 2 3

1 2 3 1 2 3

a b a b a bcos

a a a b b b

1. Diketahui a 3,2,1 dan b 4,0,2 . Nilai dari a.b dan a . b adalah …

Jawab:

P

R

Q

A


68/147

a.b 3,2,1 . 4,0,2

3.4 2.0 1.2

12 0 4

16

Perhatikan bahwa jika a 3,2,1 dan b 4,0,2 maka diperoleh

2 2 2

a 3,2,1

3 2 1

9 4 1

14, dan

2 2 2

b 4,0,2

4 0 2

16 0 4

20, sehingga

a . b 14. 20

14. 4.5

14.2 5

2 70

2. Diketahui a 2,3, 1 dan b 4,1,2 . Jika adalah sudut yang dibentuk oleh a dan b maka nilai cos

adalah …

Jawab:

2 2 2 2 2 2

a.bcos

a .b

2,3, 1 . 4,1,2

2 3 ( 1) 4 1 2

(2.4) (3.1) ( 1.2)

14 21

8 3 2 9

7 6 7 6

Latihan

1.Tentukan ab dan a,b a. a=(2,-1,-1), b=(1,3,-4)

b. a=(-4,1,5), b=(1,5,-1)

c. a=(6,4,-3), b=(-2,3,-5)

d. a=(-2,-2,-2), b=(3,3,3)

e. a=(4,-1,-3), b=(3,5,-4)

2 Tentukan sudut apitnya


69/147

a. a=4i-2j+2k, b=2i-4j-2k

b. a=3i-5j-3k, b=3i-2j+3k

c. a=2i-j-6k, b=2i-3j-3k

d. a=5i+2j+4k, b=5i-5j+5k

e. a=-3i+3j+2k, b=4i-6j+3k

3.Jika a(2,1,3) dan b(1,1,-2), Hitungglah

a. (a+ b)

(a-b)

b. (a+ b)2

c. (a- b)2

d. vektor satuan a dan vektor satuan b

4.Jika a(-3,5,2) dan b(4,2,-3), Hitungglah

a. (a+ b) (a-b)

b. (a+ b)2

c. (a- b)2


5.Jika a(-1,4,-5) dan b(-4,6,-2), Hitungglah

a. (a+ b)

(a-b)

b. (a+ b)2

c. (a- b)2


H. Perkalian Silang (Cross Product)

Perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan sebuah vektor baru. Perkalian silang vektor A dan vektor B

menghasilkan vektor C,arah vektor C tegak lurus terhadap bidang vektor A dan vektor B.

C = A x B

Misal A= (a1,a2,a3), B(b1,b2,b3)


70/147

1 2 3

1 2 3

i j k

C AxB a a a

b b b

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

a a a a a ai j k

b b b b b b

2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1a b a b i a b a b j a b a b k

Besar perkalian silang

C A B sin dengan adalah sudut apit antara vektor A dan vektor B

Hasil perkalian silang vektor-vektor satuan

i x j k

j x k i

k x i j

Contoh

1.Diketahui a=(2,1,-1), b(1,-2,3) tentukanlah

a. a x b

b. b x a

Jawab

a. a=(2,1,-1)

b=(1,-2,3)

i j k

axb 2 1 1

1 2 3

axb (3 2)i (6 1)j ( 4 1)k

axb i 7j 5k

a. a=(2,1,-1)


71/147

b=(1,-2,3)

i j k

bxa 1 2 3

2 1 1

axb (2 3)i ( 1 6)j ( 1 4)k axb i 7j 5k

Latihan

1.Diketahui a=(2,1,-1), b(1,-2,3) tentukanlah

a. a x b

b. b x a

2.Diketahui p=(2,1,-1), q(1,-2,3) tentukanlah

a. p x q

b. q x p

3.Carilah satu vektor yang tegak lurus u dan v, bila diketahui

a. u=(3,2,-1), v(-2,2,4)

b. u=(1,2,1), v(1,-1,4)

b. u=(5,2,3), v(2,-2,4)

b. u=(2,1,4), v(3,-2,3)

4.Diketahui a=(2,1,-3), b(3,1,1), b(0,-2,2), tentukanlah

a. a (b-2c)

b. a 5(b-c)

c. b (axc)d. a x(bxc)

5.Hitunglah luas segitiga ABC, bila diketahui titik-titik sudutnya

a. A(1,2,3),B(-1,2,-3), C(0,3,1)b. A(0,4,-3),B(-2,3,0), C(4,1,1)

c. A(2,-3,1),B(-1,4,-1), C(2,0,3)

d. A(-2,2,0),B(-1,3,1), C(-1,4,0)

H. Proyeksi

Bila c adalah vektor proyeksi a pada

pra kalkulus ii(parametrik)

Documents