kumpulan materi kalkulus ii

Dosen Pengampu : Fima Ratna Sari, S.Pd.

Kumpulan Materi Kalkulus II | Fakultas Ilkom Universitas Indo Global Mandiri 2

Dosen Pengampu : Fima Ratna Sari, S.Pd.


KATA PENGANTAR

Assalamualaikum Wr.Wb.

Dengan memanjatkan Puji dan Syukur kehadirat Allah SWT atas

Rahmat dan Hidayah_Nya yang telah memberi kesehatan, baik kesehatan

jasmani maupun kesehatan rohani, sehingga penyusun telah berhasil

Modul Kalkulus II

Modul ini tidak akan terselesaikan tanpa bantuan dari pihak lain,

maka dari itu penyusun mengucapkan banyak terima kasih kepada Ibu

Fima Ratna Sari, S.Pd. yang telah memberi kesempatan dan kepercayaan

kepada penyusun untuk menyelesaikan tugas ini. Serta bantuan teman-

teman Mahasiswa/i Program Studi Teknik Informatika semester II , akhirnya

pembuatan tugas ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya.

Penyusun menyadari bahwa dalam modul ini masih banyak

kekurangan dan kelemahan dikarenakan kemampuan penyusun yang

terbatas. Untuk itu, kritik dan saran yang konstruktif sangat kami harapkan

dari semua pihak yang membaca. Semoga ini bermanfaat khususnya bagi

penyusun sendiri dan bagi para pembaca umumnya serta semoga dapat

menjadi bahan pertimbangan untuk mengembangkan ilmu pengetahuan

maupun wawasan di masa yang akan datang. Akhir kata, penyusun ucapkan

terima kasih.

Wassalamualaikum Wr.Wb.

Palembang, 9 Mei 2013

Penyusun


DAFTAR ISI

COVER ........................................................................................ 1

KATA PENGANTAR ................................................................. 3

DAFTAR ISI ................................................................................ 4

BAB 1. Vektor .................................................................... 5 - 27

BAB 2. Fungsi Transenden ............................................... 28 - 40

BAB 3. Turunan Parsial .................................................... 41 - 76

BAB 4. Integral Lipat ........................................................ 77 - 106

BAB 5. Persamaan DIferensial Orde II ........................... 107 - 122

BAB 6. Fungsi Gamma & Fungsi Beta ............................ 123 - 137

BAB 7. Deret Tak Hingga ................................................ 138 156

REFERENSI ............................................................................... 157


BAB I

VEKTOR

1. Pengertian Vektor

Kita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan

ke posisi yang lain menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung

beberapa makna.

a. Berapa jauh perpindahannya (jarak)

b. Ke arah mana perpindahannya.

2. Kesamaan Dua Vektor

a. Dua buah vector dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama.

Jika AB # CD dibaca ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas

garis CD maka AB = CD.

b. Panjang dua buah vector yang arahnya sama, tetapi panjangnya

berlainan.

c. Jika dua buah vector yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak

sama maka vector yang satu dapat dinyatakan dengan yang lain.

3. Vector Nol

Suatu vector disebut vector nol apabila panjangnya nol. Arah vector nol

tak tentu, misalnya AA, BB,CC, dan semacamnya disebut vector nol.

4. Vector Posisi

Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang datar, vector OP = P disebut

vector posisi dari titik P.

5. Vector Satuan

Vector satuan adalah vector yang panjangnya satu satuan.

6. Vector dalam Ruang

a. Vector di Ruang R2

Vector dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R2 atau R2.

b. Vector di R3


Vector dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R3 atau R3. R

3

ditandai dengan tiga buah sumbu yang saling berpotongan.

7. Vector Basis

a. Vector Basis di R2

Diberikan titik P (x1, y1). OP merupakan titik terminal/ ujung dari

vector posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat.

b. Vector Basis di R3

Jika R (x1, y1, z1) adalah sembarang titik dan r adalah vector posisi

R, maka komponen komponen r dapat dinyatakan sebagai:

x1 i (searah dengan OX )

y1 j (searah dengan OY )

z1 k ( searah dengan OZ )

8. Panjang Suatu Vektor

Besar vector P , apabila digambarkan akan membentukruas garis berarah

dengan panjnag ruas garis yang mewakili besar vector itu. Panjang vector

P ditulis dengan P .

Contoh Soal :

1. Nyatakan titik berikut dengan vector posisi dalam bentuk komponen

vector kolom!

a. A (2,3) dan B ( -1,4) b. P (2,1,4) dan Q (3,2,-5)

Jawab :

a.

a = 2 b = -1

3 4

b.

p = 2 q = 3

1 2

4 -5


2. Nyatakan vector-vektor a = 2 dan c = -1 sebagai kombinasi

linear dari i , j ,dan k 3 0

1 3

Jawab :

a = 2 i + 3 j + k

c = -i + 3 k

3. Diketahui p = i - 2 j + 2 k dan q = 3 i + j - 2 k carilah

a. P

b. Q

c. P + Q

d. vector satuan dari p

Jawab :

P = 1 q = 3

-2 1

2 -2

a. 2 + (-2)2 + 22

b. 2 + 12 + (-2)2

c. Untuk menghitung P + Q , tentukan dulu

p + q ; p + q = 1 3 4

-2 + 1 = -1

2 -2 0

2 + (-1)

2 + 0

2

d. Vector satuan dari p = p = i - 2 j + 2 k = 1 i - 2 j + 2 k P 3 3 3 3


4. Jika v = (1,-3,2) dan w = (4,2,1), maka

V + w = (5, -1,3), 2v = (2,-6,4), -w = (-4,-2,-1),

V w = v + (-w) = (-3,-5,1)

OPERASI ALJABAR VEKTOR

1. Penjumlahan vector

Diberikan dua vector a dan vector b . vector ketiga yaitu vector c

diperoleh dengan menjumlahkan vector a dan vector b . Jadi,

c = a + b . vector c dapat ditentukan dengan cara segitiga dan

jajargenjang.

a. Cara Segitiga

b. Cara Jajar Genjang

Sifat-sifat Penjumlahan pada Vektor

1. Komutatif

2. Asosiatif

3. Mempunyai elemen identitas, yaitu vector O (vector nol) sebab untuk

semua vector a berlaku a + o = o + a = a

4. Lawan suatu vektor

2. Pengurangan vector

Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor a dan vektor b . misalkan selisih

vektor a dengan vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan cara

menjumlahkan vektor a dengan lawan vektor b.

3. Hasil kali bilangan dengan vektor

Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang

panjangnya k kali panjang vektor a dan arahnya adalah

a. Sama dengan arah vektor a jika k> 0

b. Berlawanan dengan arah vektor a jika k < 0

c. Sama dengan nol jika k = 0


Sifat-sifat Hasil Kali Bilangan dengan Vektor

Bila k dan l bilangan real, a dan b suatu vektor maka:

1. K (-a ) = - (ka ) = - k a

2. K (l a ) = (kl) a

3. (k + l) a = k a + l a

4. K (a + b ) = k a + k b

Contoh soal :

1. ABCD adalah jajar genjang dengan AB = u , AD = v , titik E dan F

masing-masing titik tengah DC dan BC. Nyatakan vektor-vektor berikut

dalam u dan v

a. AE b. EF c. AF

Jawab :

a. AE = AD + DE

= v + 1 u = 1 u + v

2 2

b. EF = EC + CF = 1 u - 1 v

2 2

c. AF = AB + BF = u + 1 v

2

2. Diketahui A (1,1), B (4,2), dan C (10,4) tunjukkan titik A,B,dan C segaris (kolinear) dan carilah AB : BC

Jawab :

AB = b a

= 4 - 1 = 3

2 1 1

AC = c a

= 10 - 1 = 9

4 1 3


3. Diketahui titik-titik A ( -2,5,4), B (2,-1,-1), dan C (p,q,l). jika A,B, dan C

segaris, carilah nilai p dan q.

Jawab :

AB = b a = 2 -2 4

-1 - 5 = -6

-2 4 -6

BC = c b = p 2 p-2

q - -1 = q + 1

l -2 3

karena A,B, dan C segaris maka:

AB = m . BC

4 p-2

-6 = m q + 1 , diperoleh m = -2

-6 3

4 = -2 ( p 2 ) -6 = -2 (q + 1)

4 = -2p + 4 3 = q + 1

2p = 0 q = 2

P = 0

4. Norma vektor v = ( -3,2,1) adalah

-3)2 + (2)

2 + ( 1 )

2

RUMUS JARAK

Diberikan titik A(x1 + y1 + z1) dengan vektor posisi a = x1 dan titik B (x2

+ y2 + z2 ) dengan vektor posisi b = x2 y1

y2 z1

z2

jarak antara titik A dan B adalah panjang vektor AB, yaitu


AB

AB = b - a

x2 x1 x2 - x1

= y2 - y1 = y2 - y1

z2 z1 z2 - z1

Rumus Pembagian

a. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n

Misalkan suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m : n

sedemikian rupa sehingga AP : PB = M : n

b. Rumus Pembagian dalam bentuk Vektor

Jika p adalah vektor posisi titik P yang membagi AB dengan

perbandingan m : n, P antara A dan B, maka p = mb + na

m + n

contoh Soal :

1. Sebuah pesawat terbang tinggal landas dari bandara Adi Sucipto menuju

bandara Soekarno-Hatta. Berapakah jarak yang ditempuh pesawat

terbang tersebut bila pesawat tersebut bergerak dari titik x ( 100, 60, 8)

km menuju kota Jakarta sebelum mendarat yang berposisi di titik y

( 300,30,18) km ?

Jawab :

Jarak yang ditempuh pesawat terbang yang tinggal landas menuju Jakarta

di hitung dengan rumus jarak:

r = ( x2 x1 )2 + ( y2 y1)

2 + ( z2 z1 )

2

posisi awal pesawat terbang adalah x ( 100, 60, 8 ) km dengan titik

tujuannya adalah y ( 300, 20, 8 ) km. Jadi jarak yang ditempuh pesawat

tersebut adalah

r = (300-100)2 + (20-60)

2 + (10-8)

2


= (200)2 + (40)

2 + (2)

2

= 40000 + 1600 + 4

= 41604

= 203,97 km

2. Hitung jarak antara titik titik berikut!

a. O (0,0,0) dan P ( 4,4,2)

Jawab :

O = 0 P = 4

0 4

0 4

OP = 4 0

4 - 0

4 0

0 )2 + ( 4 0 )

2 + ( 4 0 )

2

3. Tunjukkan bahwa P ( 3.4.-1), Q ( -9,-2,3), dan R ( 9,8,11) adalah titik-

titik sudut segitiga sama kaki!

Jawab :

x2 x1 )2 + ( y2 y1)

2 + ( z2 z1 )

2

-9 3 )2 + ( -2 4)

2 + ( 3 1 )

2

-9 3 )2 + ( 8 4)

2 + ( 11 1 )

2

-9 9 )2 + ( 8 2)

2 + ( 11 3 )

2

22.49


Dari hasil yang diperoleh , dengan menerapkan teorema phytagoras

diperoleh

PQ2 = 14 PR

2 = 14 QR

2 = 22,5

Jika dilihat panjang kedua sisi segitiga itu yaitu AB dan BC, maka

segitiga itu adalah sama kaki, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut

berlaku teorema phtyagoras yang menyatakan PQ2 + PR

2 = QR

2. Jadi,

segitiga ABC siku-siku di B dan sama kaki

4. Pergunakan rumus p = mb + n a untuk menyatakan vektor-vektor

posisi dari titik berikut dengan a dan b

a. C membagi AB dengan perbandingan 3 : 2

b. D membagi AB dengan perbandingan 3 : -2

Jawab :

a. Untuk C, m : n = 3 : 2 b. Untuk D, m : n = 3 : -2

Maka p = mb + na Maka q = mb + na

m + n m + n

= 3 b + 2 a = 3 b + 2 a

3 + 2 3 2

= 1 ( 3 b + 2 a ) = ( 3 b - 2 a )

Hasil Kali Skalar Dua Vektor

Hasil kali scalar dari vektor a dan b yang masing-masing bukan

vektor nol dinyatakan dengan a . b ( dibaca a dot b ). Perkalian scalar dari

vektor a dan b adalah suatu bilangan real yang didefinisikan oleh:


Bentuk Komponen Perkalian Skalar

Misalkan A(a1,a2,a3) dan B (b1,b2,b3), maka:

OA =

AB =

Besar Sudut Antara Dua Vektor

Jika dua vektor a dan b bertemu pada satu titik, maka sudut antara

dua vektor tersebut adalah sudut yang dibentuk oleh kaki vektor a dan kaki

vektor b. sudut yang diambil adalah sudut terkecil.

Sifat-sifat Perkalian Skalar

a. Sifat sifat yang berlaku pada perkalian scalar

b. Hal-hal mengenai Perkalian scalar

Hal-hal mengenai perkalian scalar yang perlu diketahui adalah sebagai

berikut.

1. Tidak tertutup, sebab a . b bukan vektor

2. Tidak mempunyai elemen identitas, sebab a . c = a tidak mungkin

3. Tidak memiliki elemen invers, sebab a . c bukan vektor

4. Tidak asosiatif, sebab a . ( b + c ) dan ( a . b ) . c tidak berarti.

Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada vektor lain

a. Proyeksi scalar ortogonal

Proyeksi scalar ortogonal biasanya disingkat dengan proyeksi scalar

saja atau sering dikatakan dengan panjang proyeksi vektor.

b. Proyeksi vektor orthogonal

Proyeksi vektor OA pada OB adalah OC = c

Vektor satuan dari c = c

c


atau c = c , karena vektor c searah dengan vektor maka vektor

satuan dri b maka vektor satuan dari c adalah juga vektor satuan dari

b sehingga

OC = c = c vektor satuan dari b

= a . b . b = ( a . b )

b b b

jadi, proyeksi vektor orthogonal a pada b adalah

c = ( a . b )

b

Perkalian silang dua vektor

Perkalian silang vektor a dan b ditulis dengan a x b ( dibaca a kros b ) yang

hasilnya adalah merupakan sebuah vektor.

Bila c = a x b, harus dipenuhi syarat:

1. c a

2. c b

3. arah putaran dari a ke b menuju c

4.

contoh soal :

1. Jika P pada AB, carilah koordinat P, jika:

a. A(-2,-3), B(3,7), dan AP : PB = 3 : 2

b. A(-3,-2,-1), B(0,-5,2), dan AP : PB = 4 : -3

Jawab :

a. Titik P membagi di dalam

Xp = = = 1

Yp = = = 3

Jadi koordinat P( 1,3 )


b. Titik P membagi di dalam

Xq = = = 9

Yq = = = -14

Zq = = = 12

Jadi koordinat Q (9,-14,12)

2. Carilah a.b jika :

a. a = 2i + j + k dan b = 3i + 2j k

b. a = 5i + 4 j dan b = 2i 2j + 4 k

jawab :

a. a = b =

a . b = . = (2)(3)+(1)(2)+(10(-1) = 7

b. a = b =

a . b = . = (5)(2) + (4)(-2) + (0) (4) = 2

3. carilah besar sudut AOB jika titik pangkal untuk masing-masing soal

berikut ini !

a. A(1,0,0) dan B (1,1,0)

Jawab :

a = ; b =

a . b = . = 1

cos = = =


= arc cos ( )

= 120

4. Jika a = , b = , dan c = carilah x bila

a . ( b + c ) = a . a

jawab :

a = b = , dan c = carilah x bila a . (b + c ) = a . a

. = .

1)(6) + (1)(x)

-5

x = 5


Geometri Dalam Ruang, Vektor

1. Kooordinat Cartesius Dalam Ruang Dimensi Tiga

Rumus jarak pandanglah dua titik P1(X1,Y1,Z1) dan (X2,Y2,Z2) dalam

ruang dimensi tiga (X1 X2, Y1 Y2, Z1 Z2). Mereka menentukan

suatu balok genjang (paralelepipedum), dengan dan sebagai titik

sudut yang berlawanan dan dengan sisi-sisi sejajar terhadap sumbu-

sumbu koordinat .Menurut teorema Pythagoras.

| P1 P2 |2 = | P1Q|

2 + |QP2|

2

Dan | P1Q|2 = |P1R|

2 + |RQ|

2

Jadi | P1 P2 |2 = |P1R|

2 + |QP2|

2

= (X2 X1)

2 + (Y2 Y1)

2 + (Z1 Z2)

2

BOLA DAN PERSAMAANNYA dari rumus jarak ke persamaan

sebuah pola merupakan suatu langkah kecil. Dengan sebuah bola, kita

maksudkan himpunan titik berjarak konstan dari suatu titik tetap.

Kenyataannya, jika(X,Y,Z) pada bola dengan radius r berpusat

pada(H,K,L)

(x h)2 + (y k)

2 + (z l)

2 = r

2

Ini kita sebut persamaan baku sebuah bola.

Dalam bentuk terurai, persamaan dalam kotak tersebut dapat dituliskan

sebagai

X2 + y

2 + z

2 + Gx +Hy + Lz + J = 0


GRAFIK DALAM RUANG DIMENSI TIGA adalah wajar untuk

pertama-taman memandang persamaan kuadrat karena hubungannya

dengan rumus jarak. Tetapi agaknya suatu persamaan linier yakni,

persamaan berbentuk

Ax + By + Cz = D, A2 + B

2 + C

2

Jika suatu bidang memotong ketiga sumbu, yaitu kasus yang akan

sering kali terjadi, kita mulai dengan mencari titik-titik potong ini, yakni

kita cari perpotongan x,y, dan z. ketiga titik ini menentukan bidang dan

memungkinkan kita menggambar jejak, yang berupa garis-garis

perpotongan dengan bidang-bidang koordinat. Kemudian dengan sedikit

berseni, kita dapat mengasir bidang tersebut.

Contoh 1. gambarkan grafik dari 3x + 4y + 2z =12

Penyelesaian :

untuk menemukan perpotongan x, tetapkan y dan z sama dengan nol

dan selesaikan untuk x, diperoleh x = 4. Titik yang berpadanan adalah

(4,0,0). Secara serupa, perpotongan y dan z adalah (0,3,0) dan (0,0,6).

Lalu tarik ruas-ruas garis yang menghubungkan titik-titik ini untuk

memperoleh jejak.

Contoh 2 gambarlah grafik persamaan liniear 2x + 3y = 6 Dalam

ruang dimensi tiga.

Penyelesaian :

perpotongan x dan y masing-masing adalah (3,0,0) dan (0,2,0) dan titik-

titik ini menentukan jejak di bidang xy. Bidang ini tidak pernah

memotong sumbuh z (x dan y keduanya tidak dapat sama dengan nol),

sehingga bidang ini adalah sejajar sumbu z.


2. Vektor dalam ruang dimensi tiga

Vector- vector dapat ditambahkan, dikalikan dengan scalar, dan

dikurangkan sama seperti pada bidang, dan hukum-hukum aljabar yang

dipenuhi sesuai dengan yang telah dipelajari terdahulu. Hasil kali titik

dari u = dan v = didefinisikan sebagai

U.V = U1V1 + U2V2 + U3V3

dan mempunyai tafsiran geometri yang telah dinyatakan terdahulu,

yakni

di mana adalah sudut antara u dan v. akibatnya, masih tetap benar

bahwa dua vector saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil kali

titiknya nol.

Contoh 1

cari sudut ABC jika A = (1, -2, 3), B = (2,4,-6), dan C = (5, -3, 2)

Penyelesaian pertama kita tentukan vector-vektor u dan v (berasal dari

titik asal), setara terhadap BA dan BC. Ini dilakukan dengan cara

mengurangkan koordinat-koordinat titik-titik awal dari titik-titik

ujungnya, yakni

U = = < -1, -6, 9>

V = =


Contoh 2 nyatakan u = sebagai jumlah suatu vector m yang

sejajar v = dan suatu vector n yang tegakan v.

Contoh 3 cari vektor yang panjangnya 5 satuan yang mempunyai =

Penyelesaian pertama kita perhatikan bahwa sudut arah ketiga, y harus

memenuhi

Cos2 y = 1 - Cos

2 32 - 100 = 0,25066

Cos y = 0,50066

Dua vektor memenuhi persyaratan soal. Keduanya adalah

5

=

Dan

Bidang satu cara yang mengutungkan untuk melukiskan suatu bidang

adalah dengan menggunakan bahasa vektor. Andaikan n=

sebuah vektor tak nol tetap dan P1(X1,Y1,Z1) adalah titik tetap.

Himpunan semua titik P(X,Y,Z) yang memenuhi P1P.n = 0 adalah

bidang yang melalui P1 dan tegak lurus n. karena tiap bidang

mengandung sebuah titik dan tegak lurus terhadap suatu vektor, maka

tiap bidang dapat dicirikan dengan cara ini.

Untuk memperoleh persamaan cartesius dari bidang itu, tulis vektor P1P

dalam bentuk komponen yakni,

P1 P =


Maka, P1 P. n = 0 setara terhadap

A(x x1) + B(y y1) +C(z z1) = 0

Persamaan ini (di mana paling sedikit salah sat A, B, C, tidak nol)

disebut bentuk baku persamaan bidang.

Jika tanda kurung kita hilangkan dan disederhanakan, persamaan dalam

kotak akan berbentuk persamaan linier umum

Ax + By + Cz = D, A2 + B

2 + C

2

3. Hasil kali silang

Hasil kali titik dari dua vektor adalah sebuah scalar. Kita telah

menggali beberapa penggunaannya pada pasal sebelumnnya. Sekarang

kita perkenalkan hasil kali silang(hasil kali vektor atau cross product);

ini juga akan banyak penggunaannya. Hasil kali silang u x v untuk u =

(U1,U2,U3) dan v = (V1,V2,V3) didefinisikan sebagai

U x V = (U2V3 U3V2, U3V1 U1V3, U1V2 U2V1)

Teorema A

Andaikan u dan v vektor-

antara mereka maka:

1. u .(u x v) = 0 = v .(u x v) yakni u x v tegak lurus terhadap u dan v;

2. u, v, dan u x v membentuk suatu system tangan kanan rangkap tiga.

3.


Bukti andaikan u = dan v = .

1. u . (u x v) = u1(u2v3 u3v2) +u2 (u3v1 u1v3) + u3 (u1v2

u2v1). pada waktu kita menghilangkan tanda kurang, ke enam suku

saling menghapuskan dalam pasangan. Hal yang serupa terjadi pada

waktu menguraikan v.(u x v).

2. arti system tangan kana untuk rangkap tiga u, v, u x v diilustrasikan

pada gambar. Di sa

dengan v. kelihatannya sukar dikembangkan secara analistis bahwa,

rangkap tiga yang ditunjukkan adalah system tangan kanan, tetapi anda

boleh memeriksanya dengan sedikit contoh. Perhatikan secara khusus

bahwa karena i x j = k, ganda tiga i, j, i xj adalah tangan kanan.

3. Kita memerlukan kesamaan langrange

Contoh soal:

|u x v|2 = |u|

2|v|

2 (u.v)

2

|u x v|2 = |u|

2|v|

2 (|u||v| cos )2

= |u|2|v|

2 (1 cos

2 )

= |u|2|v|

2 sin

2

Karena . Jadi, dengan mengambil akar kuadrat

yang utama menghasilkan


4. Garis dan kurva dalam ruang dimensi tiga

Garis dari semua kurva, yang paling sederhana adalah sebuah garis.

Garis ditentukan oleh suatu titik tetap P0 dan suatu vektor v = ai + bj +

ck. Garis adalah himpunan semua titik P sedemikian sehingga P0 P

adalah sejajar terhadap v yakni, yang memenuhi

P0 P = tv

Contoh 1 cari persamaan parameter untuk garis yang melalui (3, -2, 4)

dan (5, 6, -2)

Penyelesaian sebuah vektor yang sejajar terhadap garis yang diberikan

adalah

V = (5 3, 6 + 2, -2 -4) = (2, 8, -6)

Jika kita pilih (X0, Y0, Z0) sebagai (3, -2, 4), kita peroleh ppersamaan

parameter

X = 3 + 2t, y = -2 + 8t, z = 4 6t

Perhatikan bahwa t = 0 menentukan titik (3, -2, 4), sedangkan t =1

memberikan (5, 6, -

garis yang menghubungkan kedua titik ini.

Contoh 2 cari persamaan simetri dari garis yang sejajar vektor


(4, -3, 2) dan melalui (2, 5, -1)

Penyelesaian

X 2 = Y 5 = Z + 1

4 -3 2

Contoh 3 cari persamaan simetri dari garis potong bidang-bidang

2x y 5z = -14 dan 4x + 5y + 4z = 28

Penyelesaian kita mulai dengan pencarian dua titik pada garis.

Sebarang dua titik akan memenuhi, tetapi kita pilih untuk mencari titik

di mana garis menembus bidang yz dan xz. Yang terlebih dahulu di

peroleh dengan menentapkan x = 0 dan menyelesaikan persamaan-

persamaan yang dihasilkan y 5z = -14 dan 5y + 4z = 28 secara

serentak. Ini menghasilkan titik (0,4,2). Prosedur serupa dengan y = 0,

memberikan titik (3, 0, 4). Akibatnya, sebuah vektor yang sejajar

terhadap garis yang disyaratkan adalah

(3 0, 0 4, 4 2) = (3, -4, 2)


Contoh 4 cari persamaan simterik untuk garis singgung pada kurva

ditentukan oleh

R(t) = ti + t2j + t

3k

Di P(2) = (2,2,)

Penyelesaian

2k

dan

sehingga garis singgung mempunyai arah (1, 2, 4). Persamaan

simetriknya adalah

x -2 = y 2 = z -

1 2 4

garis singgung pada kurva

r = r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k

5. Kecepatan, percepatan, dan kekurangan

Semua yang kita lakukan pada gerak kurvilinear pada bidang

dirapatkan secara alamiah ke ruang dimensi tiga. Andaikan.


Adalah vektor posisi untuk titik p = p(t) yang menjelajahi kurva selama

kasus yang demikian kurva itu disebut mulus.

Contoh 1 untuk gerak yang di uraikan, hitung percepatan a pada t = 2.

Penyelesaian

- a sin ti + a cos tj + ck

-a cos ti a sin tj

A(2 ) = = -ai

Contoh 2

Penyelesaian lintasan terbang lebah terdiri dari satu bagian spiral dan

satu bagian garis lurus yang panjangnya masing-masing adalah L1 dan

L2. Pada bagian spiral,

t sin t)i + (sin t + t cos t)j + k

dan

t sin t)2 + (sin t + t cos t)

2 + 1]

1/2

= 2


BAB II

FUNGSI TRANSENDEN

Fungsi invers

Fungsi logaritma dan eksponen

Turunan dan integral fungsi eksponen dan logaritma

Fungsi invers trigonometri

Turunan dan integral fungsi invers trigonometri

Fungsi Invers

Definisi

Jika fungsi f dan g memenuhi dua kondisi

untuk setiap x dalam domain g

untuk setiap x dalam domain f

Maka dikatakan bahwa f adalah invers dari g dan g adalah invers dari f,

atau f dan g adalah fungsi-fungsi invers.

xxgf ))((

xxfg ))((


Definisi

Jika fungsi f mempunyai invers, maka dikatakan bahwa dapat

diselesaikan untuk x sebagai fungsi dari y dan dikatakan

merupakan penyelesaian dari

untuk x sebagai fungsi y.

Teorema

Jika f fungsi satu-satu, maka grafik dari dan adalah

pencerminan dari fungsi satu dengan fungsi yang lain terhadap garis

Contoh suatu fungsi dan inversnya:

)(xfy

)(1 yfx

)(xfy

)(xfy

)(1 xfy

xy


Contoh:

Carilah invers dari

, kemudian x dan y ditukar

Maka

Turunan fungsi invers

Andaikan dapat diturunkan, monoton murni pada interval I, dan bila

diturunkan di titik y = f(x) dan berlaku

)('

1)()'( 1

xfyf

23)( xxf

23xy

23yx

232 yx

23

1 2xy

0>,23

1)( 21 xxxf

)!6(' tentukan maka

2)( Misal .2

)!4(' tentukan maka

12)( Jika 1.

1

3

1

5

f

xxf

f

xxxf


Logaritma

Sifat satu kesatu yang mengakibatkan fungsi xaxf )( untuk

0a dan 1a mempunyai invers, yang dinamakan fungsi logaritma

dengan bilangan dasar a, dan ditulis

xxfy a log)(1

berdasarkan sifat invers )()(1 yfxxfy diperoleh definisi

logaritma berikut.

1,0,log aaaxxy ya


Sesuai dengan daerah asal dan daerah eksponen, untuk xy a log

berlaku kondisi 0a dan Ry . Karena grafik fungsi dan inversnya

simetri terhadap garis y = x, maka grafik fungsi logaritma diperoleh

dengan mencerminkan kurva f (x) = ax terhadap garis y = x.

a. Logaritma Natural

Logaritma natural adalah logaritma yang berbasis e, dimana e

adalah 2.718281828459... (dan seterusnya). Logaritma natural

terdefinisikan untuk semua bilangan real positif x dan dapat juga

didefinisikan untuk bilangan kompleks yang bukan 0. Aturan pangkat,

tidak dapat memberikan fungsi yang antiturunannya adalah 1/x. Tetapi,

dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kitadapat

mendefinisikan fungsi melalui integral yang turunannya adalah

1/x.Fungsi ini kita sebut logaritma natural dari x, ditulis ln x. Dapat

dibuktikan, tapi tidak diberikan pada kuliah ini, bahwa fungsi ini sama

dengan fungsi logaritma berbasis e yang telah kita kenal di SMA. Fungsi

logaritma natural didefinisikan sebagai :

0,1

ln1

xdtt

x

x

xx e logln
mhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/Logaritmamhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/E_(konstanta_matematika)mhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/Bilangan_realmhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/Bilangan_kompleks


Notasi

Ahli matematika biasanya menggunakan "ln(x)" atau "log(x)" untuk

menotasikan loge(x), atau logaritma natural dari x, dan menggunakan

"log10(x)" untuk menotasikan logaritma berbasis 10 dari x.

Insinyur, ahli biologi, dan orang dalam bidang-bidang lain, hanya

menggunakan "ln(x)" atau kadang-kadang (untuk supaya lebih jelas)

"loge(x)" untuk menotasikan logaritma natural dari x, dan "log(x)"

digunakan untuk logaritma berbasis 10, log10(x) atau, dalam konteks

teknik komputer, log2(x).

Kebanyakan bahasa komputer, termasuk C, C++, Fortran, dan BASIC,

"log" atau "LOG" berarti logaritma natural.

Pada kalkulator, tombol ln berarti logaritma natural, sedangkan tombol

log adalah untuk logaritma berbasis 10.

Sifat-sifat logaritma natural

Pada contoh sebelumnya telah kita lihat bahwa turunan dari

ln5x sama dengan turunan dari lnx yaitu 1/x. Fakta ini berguna untuk

membuktikan teorema berikut.

Teorema

Jika a dan 0b dan r bilangan rasional, maka

01ln

baab lnlnln

bab

alnlnln

arar lnln
mhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/Logaritmamhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/Komputermhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/w/index.php?title=Logaritma_biner&action=edit&redlink=1mhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/Cmhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/C++mhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/Fortranmhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/BASICmhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/Kalkulator


b. Ln sebagai invers fungsi eksponensial

natural

Fungsi ln adalah invers dari fungsi eksponensial:

xe x)ln( untuk semua x yang positif dan

xexln untuk semua x yang real.

Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak

hanya e, dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel

tidak diketahuinya merupakan pangkat dari variabel lain.

c. Mengapa disebut "natural"

Sekilas, tampaknya yang lebih "natural" tentunya adalah logaritma

yang berbasis 10, karena basis angka yang digunakan umumnya juga 10.

Namun, ada dua alasan mengapa ln(x) disebut logaritma natural: pertama,

persamaan-persamaan yang variable tak diketahuinya merupakan pangkat

dari e jauh lebih sering dijumpai dibanding yang merupakan pangkat dari 10

(karena sifat-sifat "natural" dari fungsi eksponensial yang dapat

menggambarkan growth/pertumbuhan dan decay/penurunan), dan kedua,

karena logaritma natural dapat didefinisikan dengan mudah menggunakan

integral yang dasar atau Deret Taylor (lihat penjelasan di bawah), dan

logaritma berbasis lainnya tidak dapat didefinisikan seperti ini.

Sebagai contoh, lihat turunan dibawah ini:

bxx

dx

db

ln

1log
mhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/Fungsi_eksponensialmhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/wiki/Fungsi_eksponensialmhtml:file://C:/Documents%20and%20Settings/Eltati.MATEMATI-C176FC/My%20Documents/PROYEK%20KALKULUS/Logaritma%20natural%20-%20Wikipedia%20bahasa%20Indonesia,%20ensiklopedia%20bebas.mht!/w/index.php?title=Deret_Taylor&action=edit&redlink=1


Jika basis b adalah e maka turunan yang didapat adalah 1/x dan jika x=1,

kemiringan kurva adalah 1.

d. Logaritma Umum

Sifat-sifat logaritma :

1. 01logb

2. 1logbb

3. caac bbb logloglog

4. cac

a bbb logloglog

5. ara brb loglog

6.b

aa

c

cb

log

loglog

e. Turunan logaritma natural

Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kita peroleh bahwa

0,1

ln1

1

xx

xdx

ddt

tdx

dx

Secara umum, dengan menggunakan Dalil Rantai kita peroleh bahwa:

xudx

d

xuxu

dx

d 1ln


Eksponen

a. Fungsi Eksponensial Natural

Fungsi eksponensial natural, y=exp(x), adalah inverse dari logaritma

natural.x=exp(y) y=ln x. Bilangan basis fungsi ini, ditulis e=exp(1)

sehingga ln e=1. Ekspansi desimal bilangan iniadalah e

Dengan demikian,

11

1

dtt

e

Dari definisi langsung diperoleh bahwa

1. exp(ln x)=x, bila x>0.

2. ln(exp(x)) =x.


Perlu dicatat, bahwa e adalah bilangan transenden (dibuktikan oleh

Euler), yaitu tidak ada polinom p(x) sehingga p(e)=0. Kita dapat

mengkonfirmasikan (saat ini untuk bilangan rasional r), bahwa y=exp(x)

adalah sebuah fungsi eksponesial. er=exp(ln er)= exp(rln e)= exp(r) Sejauh

ini kita telah mendefinisikan bilangan pangkat dengan pangkat rasional.

Untuk x irrasional, kita kembali pada definisi fungsi eksponesial, yaitu

xex exp

Jadi, untuk selanjutnya.

1. xe xln , untuk x>0.

2. xexln , untuk tiap x.

b. Turunan dari exp(x)

Misalkan y=ex. Karena ln x dan exp(x) saling inverse, maka x=ln y.

Apabila kedua sisi didiferensialkan, dengan menggunakan Aturan Rantai,

diperoleh bahwa 1=(1/y)Dxy atau Dxy =y .

Teorema

xx eedx

d

Sebagai akibat kita peroleh

Teorema

Cedxe xx

c. Fungsi Logaritma dan Eksponesial Umum

Kita telah berhasil mendefinisikan xe untuk tiap bilangan real x,

termasuk e . Namun bagaimana dengan e ? Kita akan memanfaatkan

hubungan x=exp(ln x).

Definisi

Jika 0a dan adalah sebarang bilangan real, maka


axx ea ln

Dengan demikian, kita peroleh bahwa

axea axx lnlnln ln

Catatan: definisi di atas memungkin kita untuk memperluas aturan

area arr lnlnln ln yang sebelumnya hanya berlakuuntuk r rasional.

d. Sifat-sifat xa

Sifat-sifat Fungsi Eksponen Diberikan ,0,0 ba dan yx, sebarang

bilangan real.

1. yxyx aaa

2. xyyx aa

3. x

xx

b

a

b

a

4. yx

y

x

aa

a

5. xxx

baab

Teorema fungsi eksponensial

aaaD xxx ln

0,ln

1aC

adxa

x

x

e. Fungsi xalog

Pada bagian ini kita akan membangun fungsi logaritma berbasis

bilangan positif a ax. Fungsi ini didefinisikan sebagai inverse dari

fungsi eksponensial xa .

Definisi


Misalkan 1,0 aa , maka ya axxy log

Catatan: xalogln Hubungannya dengan logaritma biasa dapat diperoleh

secara berikut. Misalkan xy alog sehinggayax .

ayax y lnlnln sehingga x

axa

ln

lnlog

Fungsi Invers Trigonometri

Definisi

Fungsi invers sinus, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari

fungsi

Fungsi invers cosinus, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari

fungsi

Fungsi invers tangen, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari

fungsi

Fungsi invers secan, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari

fungsi

1sin

2/2/,sin xx

1cos

xx 0,cos

1tan

2/2/,tan xx

1sec

2/32/0,sec xatauxx


Teorema

2/3

1atau

2/0

1jikasecsec

2/2/jikatantan

0

11 jikacoscos

2/2/

11jikasinsin

1

1

1

1

y

x

y

xxyxy

y

xxyxy

y

xxyxy

y

xxyxy


BAB III

TURUNAN PARSIAL

Turunan Parsial adalah sebuah perubahan nilai dari suatu fungsi yang

mempunyai dua variabel atau lebih secara sebagian atau tidak seluruhnya

akan diturunkan satu persatu. Jika pada fungsi z = f(y,x) kita turukan

terhadap variabel x maka y akan dianggap sebagai konstanta dan bisa

disebut kita mencari turunan turunan parsial z terhadap x.

1. Fungsi dua Peubah atau Lebih

Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit

atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit,

maka penulisannya secara umum dinyatakan dengan ),( yxFz .

Sebaliknya jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk implisit, maka

penulisannya dinyatakan dengan 0),,( zyxF

Contoh:

1. yxyxFyxz 2),(2

2. 2242 ln),(2ln yxyxFyxz

3. yx

zsinsin2

121

4. 0yzxzxy

5. 0sinyexy x

6. 0arctanln 22

x

yyx

7. 02arctan zx

y


Berdasarkan contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk

eksplisit adalah 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi

yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit

dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak

semua fungsi dalam bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk

eksplisit.

Untuk menggambar kurva fungsi dua peubah dapat dengan membuat

sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z, sehingga

pada sumbu tersebut membentuk ruang dan masing-masing ruang disebut

oktan .

Oktan I adalah ruang dengan x>0, y>, dan z>0

Oktan II adalah ruang dengan x>0, y0

Oktan III adalah ruang denganx0

Oktan V adalah ruang dengan x>0, y>, dan z0, y


Pada gambar di atas ),,( 111 zyxP adalah sebarang titik pada oktan I, dengan

menggunakan kaidah dan teorema Pythagoras dapat ditentukan panjang OP

sebagai

2

1

2

1

2

1 zyxOP

Dengan cara yang sama, jika ),,( 111 zyxP dan ),,( 222 zyxQ maka panjang

PQ dinyatakan dengan 2122

12

2

12 )()()( zzyyxxPQ

Selanjutnya, misal ),( yxFz maka dapat ditentukan gambar kurva ruang.

2. Turunan Parsial Fungsi Dua atau lebih

Misal ),( yxFz adalah fungsi dengan variabel bebas x dan y.

Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:

1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.

2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah

3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.

X

Z

Y

),,( 111 zyxP

1x

1z

1y

Gambar 1.1 : Kubus


Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi

satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan

menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus

diferensial.

Definisi

Misal ),( yxFz adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval

tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan x

z

dan y

z dan didefinisikan oleh

x

yxFyxxF

x

z

x

),(),(lim

0, asalkan limitnya ada

dan

y

yxFyyxF

y

z

y

),(),(lim

0, asalkan limitnya ada

Contoh :

1 Tentukan

x

z dan

y

z dari 22 yxz

Jawab

x

yxFyxxF

x

z

x

),(),(lim

0

x

yxyxx

x

2222

0

)(lim


2222

22222222

0 )(

)(.

)(lim

yxyxx

yxyxx

x

yxyxx

x .

2222

2222

0 )(

)()(lim

yxyxxx

yxyxx

x

2222

22222

0 )(

)(2lim

yxyxxx

yxyxxxx

x

2222

2

0 )(

2lim

yxyxxx

xxx

x

22220 )(

2lim

yxyxx

xx

x

222

2

yx

x

22 yx

x

y

yxFyyxF

y

z

y

),(),(lim

0

x

yxyyx

y

2222

0

)(lim

2222

22222222

0 )(

)(.

)(lim

yxyyx

yxyyx

x

yxyyx

x .

2222

2222

0 )(

)()(lim

yxxyyxx

yxyyx

x

2222

22222

0 )(

)(2lim

yxxyyxx

yxyyyyx

x


2222

2

0 )(

2lim

yxyyxx

yyy

x

22220 )(

2lim

yxyyx

yy

x

222

2

yx

y

22 yx

y

2 Tentukan

x

z dan

y

z dari )sin( yxz

Jawab

x

yxFyxxF

x

z

x

),(),(lim

0

x

yxyxx

x

)(sin)sin(lim

0

x

yxyxxyxyxx

x

)(2

1sin)(

2

1cos2

lim0

x

xxyx

x

2sin)

2cos(

lim20

x

x

xyx

xx

2sin

lim2

coslim200

2

1

2

2sin

lim2

coslim200 x

x

xyx

xx


2

1)1)(cos(2 yx

)cos( yx

y

yxFyyxF

y

z

y

),(),(lim

0

y

yxyyx

y

)(sin)sin(lim

0

y

yxyyxyxyyx

y

)(2

1sin)(

2

1cos2

lim0

y

yyyx

y

2sin)

2cos(

lim20

y

y

yyx

yy

2sin

lim2

coslim200

2

1

2

2sin

lim2

coslim200 y

y

yyx

yy

2

1)1)(cos(2 yx

)cos( yx

Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat dilakukan

dengan menggunakan metode sederhana sebagai berikut. Andaikan

),( yxFz maka untuk menentukan x

z sama artinya dengan menurunkan

variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan.

Demikian pula untuk menentukan y

z sama artinya dengan menurukan

variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.


Dengan cara yang sama, andaikan ),,( zyxFW adalah fungsi tiga

peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama

dinyatakan dengan y

W

x

W, , dan

z

W yang secara berturut didefinisikan

oleh:

x

zyxFzyxxF

x

W

x

),,(),,(lim

0

y

zyxFzyyxF

y

W

x

),,(),,(lim

0

z

zyxFzzyxF

z

W

z

),,(),,(lim

0

Asalkan limitnya ada.

Selain menggunakan definisi di atas, maka turunan parsial fungsi dua

peubah juga dapat dilakukan dengan metode sederhana.

Misal ),( yxFz , x

z berarti x adalah variable dan y konstanta sedangkan

y

z berarti y variabel dan x konstanta. Demikian pula, misal ),,( zyxFW

x

W berarti x adalah variabel y dan z adalah konstanta.

y

W berarti y

variabel x dan z adalah konstanta. z

W berarti z variabel x dan y adalah

kosntanta.

Contoh:

1. Ditentukan x

yxyzzyxF tan2),,(

Carilah turunan parsial pertamanya.

Dengan metode sederhana didapat


a. 22

1

2),,(

x

y

x

yyz

x

zyxF

)1(

222

2

yx

yxyz

)1(

2)1(22

222

yx

yxyyzx

b. x

x

yxz

y

zyxF 1

1

2),,(2

)1(

22

2

yx

xxy

)1(

2()1(22

222

yx

yxyyzx

c. xyz

zyxF ),,(

Berdasarkan turunan parsial pertama fungsi dua peubah atau lebih

dapat ditentukan turunan parsial ke n untuk n 2. Turunan parsial tersebut

dinamakan turunan parsial tingkat tinggi.

Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan

parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya.

Jadi andaikan ),( yxFz maka:

Turunan parsial tingkat dua adalah xy

zdan

yx

z

y

z

x

z 22

2

2

2

2

,,,

Demikian pula, jika ),,( zyxFW Turunan parsial tingkat dua adalah

yz

W

xz

W

xy

W

zy

W

zx

W

yx

W

z

W

y

W

x

W 222222

2

2

2

2

2

2

,,,,,,,,


Demikian seterusnya. Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus mn

, dimana m banyaknya variabel dan n menunjukkan turunan ke-n

Contoh

1 Tentukan

2

2

x

z dan

2

2

y

z dari fungsi

yx

xyz

Jawab

yx

xyz ,diperoleh

2)(

)1()(

yx

xyyxy

x

z

2

2

)( yx

y

2)(

)1()(

yx

xyyxx

y

z

2

2

)( yx

x

Sehingga x

z

xx

z2

2

2

2

)( yx

y

x

4

22

)(

)1)()(2)(()(0

yx

yxyyx

4

32

)(

22

yx

yxy

Dan 2

2

2

2

)( yx

x

yy

z

4

22

)(

)1)()(2()(0

yx

yxxyx


4

23

)(

2

yx

yxx

2 Tentukan

2

2

x

z dan

2

2

y

z dari fungsi

22 x

y

y

xz

Jawab

Dari,diperoleh 32

21

x

y

yx

z

23

12

xy

x

y

z

Sehingga x

z

xx

z2

2

32

21

x

y

yx

4

6

x

y

dan 232

2 12

xy

x

yy

z

4

6

y

x

Dengan cara yang sama dapat dicari xy

zdan

yx

z 22

3. Differensial Total

Misal ),( yxFz adalah suatu fungsi yang dapat diturunkan

terhadap variable x dan y. Secara berturut-turut dapat diperoleh turunan


parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y. Keduanya dinyatakan

oleh:

x

yxF

x

z ),( ------------- (1) dan

y

yxF

y

z ),( ------------- (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh:

dxx

yxFdz

),( dan dy

y

yxFdz

),(

Jumlah diferensialnya diperoleh:

dyy

yxFdx

x

yxF ),(),(

Bentuk di atas disebut diferensial total.

Dengan demikian jika ),( yxFz ,maka diferensial totalnya adalah:

dyy

yxFdx

x

yxFdz

),(),(

Analog, jika ),,( zyxFW maka diferensial totalnya adalah:

dzz

zyxFdy

y

zyxFdx

x

zyxFdw

),,(),,(),,(

Contoh.

1 Tentukan diferensial total fungsi

23 2xyyxz

Jawab

xyxy

zxyyx

x

z4,3 322

sehingga diferensial total fungsi 23 2xyyxz adalah

xyxdxxyyxdz 43 322

2 Tentukan turunan parsial fungsi


22 yx

xz

Jawab

22

22

221

yx

yx

xxyx

x

z

2222

222

yxyx

xyx

2222

2

yxyx

y

22

22

220

yx

yx

yxyx

y

z

2222 yxyx

xy

sehingga diferensial total fungsi 22 yx

xz adalah

dyyxyx

xydx

yxyx

ydz

22222222

2

dyyxyx

xydx

yxyx

y

22222222

2


3 Dengan menggunakan diferensial total, hitunglah

222 )97,0()99,1()01,2(

Jawab

Langkah pertama yang harus ditetapkan fungsinya, dalam hal

222 )97,0()99,1()01,2(

222 zyxW

Pilih x = 2, y = 2 dan z = 1 sehingga W = 222 122 = 3

Karena akan dihitung 222 )97,0()99,1()01,2( maka:

x + x = 2,01 sehingga 1,0x

x + y = 1,99 sehingga 1,0x

x + z = 0,97 sehingga 3,0x

dengan menggunakan definisi diferensial total W = F(x,y,z) maka

dzz

zyxFdy

y

zyxFdx

x

zyxFdW

),,(),,(),,(

)03,0(3

1)01,0(

3

2)1,0(

3

2

= -0,01

Akhirnya diperoleh 222 )97,0()99,1()01,2( = 3 + (-0,01) = 2,99

4 Suatu segitiga siku-siku panjang sisi-sisi penyikunya 15 cm dan 20 cm.

Bila sisi panjang dipendekkan cm16

5 dan kaki pendek dipanjangkan

cm8

5. Dengan menggunakan differensial tentukan perubahan panjang

sisi miringnya.

Jawab

Misal x : sisi pendek, y : sisi panjang, dan r : sisi miring maka berlaku


22 yxr .

Berdasarkan definisi diferensial total diperoleh

dyy

rdx

x

rdr

dimana dr r , dx x , dx y

didapat

yy

rx

x

rr

yyx

yx

yx

x

2222 2

2

2

2

16

5

2015

20

8

5

2015

15

2222

16

5

25

20

8

5

25

15

cm8

1

Hal ini berarti sisi miring dipanjangkan .8

1cm

4. Turunan Total

Misal ),( yxFz dan F dapat diturunkan (differentiable).

Selanjutnya dimisalkan )()( tyydantxx , x dan y adalah fungsi satu

peubah yaitu peubah t yang dapat diturunkan. Maka ),( yxFz adalah

fungsi satu peubah, sehingga:

dyy

yxFdx

x

yxFdz

),(),(

karena x =x(t) dan y=y(t) dapat diturunkan maka dapat ditentukan

dt

dxdan

dx

dy sehingga


dt

dy

y

yxF

dt

dx

x

yxF

dt

dz ),(),(

Bentuk di atas dinamakan turunan total ),( yxFz dengan

)()( tyydantxx

Catatan

Pengertian ganda z, x, dan y pada dt

dy

y

yxF

dt

dx

x

yxF

dt

dz ),(),(

Pada dt

dz, z berarti )(),( tytxF , Sedangkan

y

zdan

x

z, z berarti f(x,y).

Pada dt

dy

y

yxF ),(.

Andaikan ),( yxFz adalah fungsi yang dapat diturunkan, dan misalkan

),(),( sryydansrxx adalah fungsi dua peubah dan dapat diturunkan,

maka diferensial totalnya adalah dyy

yxFdx

x

yxFdz

),(),(

Karena ),(),( sryydansrxx dan dapat diturunkan, maka dapat

ditentukan s

x

r

x, dan

s

y

r

y,

Sehingga turunan total ),(),(),,( sryydansrxyxfz adalah

r

y

y

yxF

r

x

x

yxF

r

z ),(),(

s

y

y

yxF

s

x

x

yxF

s

z ),(),(

Dengan cara yang sama diperoleh

1. Jika )(),(),(),,,( tzzdantyytxxzyxFW maka turunan

totalnya adalah:


dt

dz

z

zyxF

dt

dy

y

zyxF

dt

dx

x

zyxF

dt

dW ),,(),,(),,(

2. Jika ),(),,(),,(),,,( srzzdansryysrxxzyxFW maka turunan

parsialnya adalah:

t

z

z

zyxF

r

y

y

zyxF

r

x

x

zyxF

r

W ),,(),,(),,(

dan

s

z

z

zyxF

s

y

y

zyxF

s

x

x

zyxF

s

W ),,(),,(),,(

Contoh

Tentukan turunan total fungsi-fungs berkut.

1) 22,1,

1,),,( tzdanty

txxzyzxyzyxF

Jawab

Turunan total fungsi di atas adalah:

dt

dz

z

zyxF

dt

dy

y

zyxF

dt

dx

x

zyxF

dt

dW ),,(),,(),,(

txyt

zxt

zy 412

112

2) 222

3,2,1

),( srydansrxyx

yxF

Jawab

Turunan total fungsi di atas adalah

r

y

y

yxF

r

x

x

yxF

r

z ),(),(


3)(

2)( 22222222 yxyx

y

yxyx

x

2222

2

3

22 )(

3

)(

2

yxyx

y

yx

x

s

y

y

yxF

s

x

x

yxF

s

z ),(),(

syxyx

y

yxyx

x2

)(1

)( 22222222

2222

2

3

22 )(

2

)(yxyx

ys

yx

x

3) Suatu tempat berbentuk silinder (tabung) dengan jari-jari alasnya 15 cm

dan tingginya 20 cm. Karena pemuaian, tinggi slinder bertambah 0,5

cm/det dan jari-jarinya berkurang 1 cm/det. Hitunglah perubahan yang

terjadi terhadap volume dan luas permukaan silinder.

Jawab.

Misal jari-jari tabung r, tinggi h dan volume I, maka

hrI 2

h

r

Gambar 1.2:Kerucut


),( hrII

Diketahui r = 15 cm, h = 20 cm, det

5,0 cm

t

r,

det

1cm

t

h

Dengan definisi turunan total

),( hrII dengan r dan h bergantung pada waktu t, maka diperoleh

dt

dh

h

I

dt

dr

r

I

dt

dI

dt

dhr

dt

drrh 22

det

115

det

5,020152

2 cmcm

cmcmcm

det

225det

30033 cmcm

det

753cm

Turunan Parsial Fungsi Implisit

Turunan parsial fungsi juga dapat dilakukan untuk fungsi-fungsi

yang ditulis dalam bentuk implisit. Misal 0),( yxf adalah fungsi implisit

maka untuk menentukan turunan parsialnya dapat dilakukan dengan

menggunakan kaidah diferensial totalf

Karena 0),( yxf maka )0(),( dyxdf

Sehingga

dyy

yxfdx

x

yxf ),(),(= 0

Dengan membagi masing-masing bagian dengan dx, diperoleh:

0),(),(

dx

dy

y

yxf

x

yxf


x

yxf

dx

dy

y

yxf ),(),(

y

yxfx

yxf

dx

dy

),(

),(

Contoh

1) Tentukan dy

dxdan

dx

dy bila diketahui 0sin),( yexyyxf x

akan dicari dx

dy, menurut definisi turunan total

y

yxfx

yxf

dx

dy

),(

),(

yex

yeyx

x

cos

sin

x

yxf

y

yxf

dy

dx

),(

),(

yey

yexx

x

sin

cos

2) Tentukan daridy

dxdan

dx

dy 0arctanln),( 22

x

yyxyxf

y

yxfx

yxf

dx

dy

),(

),(


22

22

2

2

yx

xy

yx

yx

yx

yx

2

2

x

yxf

y

yxf

dy

dx

),(

),(

yx

yx

2

2

Sebagaimana telah dibahas sebelumnya bahwa fungsi dua peubah secara

implisit dinyatakan dengan 0),,( zyxf .

Contoh

1. 0xzyzxy

2. 0siny

xexy

3. 025222 zyx

a. Turunan Fungsi Implisit 2 Peubah

Fungsi Implisit 2 peubah secara umum dinyatakan dalam bentuk

0),,( zyxf

Dengan menggunakan diferensial total

Andaikan 0),,( zyxfW maka )0(),,( dzyxdf

0),,(),,(),,(dz

z

zyxFdy

y

zyxFdx

x

zyxF

Jika masing masing bagian dibagi dx akan diperoleh


0),,(),,(),,(

dx

dz

z

zyxF

dx

dy

y

zyxF

x

zyxF

Karena akan dicari turunan fungsi terhadap x, maka 0dx

dy. Dan karena

fungsi lebih dari satu variabel maka turunan terhadap x dinyatakan dengan

x

z, sehingga:

0),,(),,(

x

z

z

zyxF

x

zyxF

x

zyxF

x

z

z

zyxF ),,(),,(

z

zyxFx

zyxF

x

z

),,(

),,(

Dengan menurunkan terhadap z dan menentukan z

ydiperoleh

0),,(),,(

0z

zyxF

z

y

y

zyxF

z

zyxF

z

y

z

zyxF ),,(),,(

y

zyxFx

zyxF

x

y

),,(

),,(

Dengan menurunkan terhadap y dan menentukan y

xdiperoleh

00),,(),,(

y

zyxF

y

x

x

zyxF

y

zyxF

y

x

x

zyxF ),,(),,(


x

zyxF

y

zyxF

y

x

),,(

),,(

Sehingga turunan pertama fungsi implisit 0),,( zyxf adalah y

x

z

x

x

z

y

zdan

x

y

z

y

Contoh

1. Tentukan y

xdari 0xzyzxy

Jawab

Karena 0),,( xzyzxyzyxf

Maka zyx

yyxf ),,( dan zx

y

yyxf ),,(, sehingga menurut

definisi turunan fungsi implisit 2 peubah

x

zyxF

y

zyxF

y

x

),,(

),,(

zy

zx

2. Tentukan z

x dari 0sin

x

yzexyz

Jawab

Karena 0sin),,(x

yzezyxf xyz


Maka yy

xzeyz

x

yyxf xyz 1cos)(),,(

dan

y

xexy

z

yyxf xyz sin)(),,(

, sehingga menurut definisi turunan

fungsi implisit 3 peubah

x

zyxFz

zyxF

z

x

),,(

),,(

y

xexy

y

x

y

zeyz

xyz

xyz

sin)(

cos)(

3. Tentukan y

z dari 025222 zyx

Jawab

Karena 025),,( 222 zyxzyxf

Maka zz

yyxf2

),,( dan y

y

yyxf2

),,(, sehingga menurut definisi

turunan fungsi implisit 3 peubah

z

zyxF

y

zyxF

y

z

),,(

),,(

z

y

2

2

z

y


b. Turunan parsial fungsi implisit 4 peubah

Bentuk umum fungsi impilisit 4 peubah dinyatakan dengan

0),,,(

0),,,(

vuyxG

vuyxF

Atau

0),,,(0),,,( vuyxGdanvuyxF

Dimana variable x sejenis dengan y (berpasangan) dan variable u sejenis

dengan v dan 0),,,(0),,,( vuyxGsertavuyxF tidak dapat berdiri

sendiri. Karena u dan v sejenis maka tidak dapat ditentukan v

uatau

u

v dan

tidak dapat pula ditentukan x

yatau

x

y

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Contoh

1.0

02

2222

2

vuyxyx

uvyx

atau

002 22222 vuyxyxdanuvyx

2.02

02

2

2

yxyvu

xyxvu

atau

0202 22 yxyvudanxyxvu

3. 0

03222

yxuv

yxvu

atau


003222 yxuvdanyxvu

Turunan Parsial fungsi implisit 4 variabel dilakukan dengan menggunakan

metode eliminasi.

Bentuk umum 0),,,(0),,,( vuyxGdanvuyxF , u,v variabel sejenis, x,y

variabel sejenis sehingga tidak dapat ditentukan u

vdan

v

u

x

y

y

x,,, .

Sehingga turunan parsial fungsi implisit yang dapat ditentukan adalah

x

vdan

y

v

y

u

x

u

u

y

v

y

v

x

u

x,,,,,,,

Untuk menentukan turunan parsial 4 peubah, langkah ditempuh adalah

menurunkan fungsi terhadap peubah yang dimaksud, lalu dari persamaan

yang diperoleh gunakan metode eliminasi..

Contoh:

1. Tentukan u

xdan

x

u dari

Jawab

Karena akan ditentukan x

u maka

y

x

x

y

u

v

v

u,,, tidak boleh dilakukan


dengan menurunkan fungsi terhadap variabel x didapat

0221x

uv

x

vu

x

yy

x

x

02201x

uv

x

vu atau 122

x

uv

x

vu

dan

- 02222x

vv

x

uu

x

yy

x

xy

x

yx

x

xx


atau xyx

vv

x

uu 222

Selanjutnya dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi x

vdidapat

122x

uv

x

vu (v)

xyx

vv

x

uu 222 (u)

didapat

vx

uv

x

vuv 222

uxuyx

vuv

x

uu 222 2

atau

)(2

)2(22 uv

xyuv

x

u

= )(2

)2(22 vu

xyuv

Karena akan ditentukan u

x maka

x

y

v

u

u

v

y

x,,, tidak boleh dilakukan


dengan menurunkan fungsi terhadap variabel u didapat

0221u

uv

u

vu

u

yy

u

x

022 vu

yy

u

x atau v

u

yy

u

x22

dan


00222u

uu

u

yy

u

xy

u

yx

u

xx atau

uu

yxy

u

xyx 2)2()2(

Berdasarkan persamaan (1) dan (2), dengan metode eliminasi diperoleh

1 vu

yy

u

x22 ................................... . (2y-x)

uu

yxy

u

xyx 2)2()2(

Didapat

)2(2)2(2)2( xyvu

yxyy

u

xxy

)2(22)2(2)2( yuu

yyxy

u

xyyx

)2(2)2(2)2)(2()2( yuxyvu

xyyxxy

Diperoleh

)24()2(

4242yxyxy

uyvxvy

u

x

)242(

4242yxyxy

uyvxvy

Berdasarkan jawaban di atas, jelaslah bahwa untuk fungsi implisit 4

peubah tidak berlaku hubungan

u

xx

u 1 atau

x

uu

x 1


2. Tentukan y

vdan

y

u dari fungsi

0202 22 yxyvudanxyxvu

Karena akan ditentukan y

u maka

y

x

x

y

u

v

v


Selanjutnya dengan menurunkan fungsi

0202 22 yxyvudanxyxvu terhadap variabel y

didapat

022y

xyx

y

xx

y

v

y

u

002 xy

v

y

u atau x

y

v

y

u2

dan

022y

yy

x

yyx

y

v

y

u

02)0(2 yxy

v

y

u atau yx

y

v

y

u22

Selanjutnya dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi y

vdidapat

xy

v

y

u2 (2)

yxy

v

y

u22 (1)

didapat

xy

v

y

u224


yxy

v

y

u22

5 xyy

u2 atau xy

y

u2

5

1

Karena akan ditentukan y

v maka

y

x

x

y

u

v

v


Selanjutnya dengan menurunkan fungsi

0202 22 yxyvudanxyxvu terhadap variabel y

didapat

022y

xyx

y

xx

y

v

y

u

002 xy

v

y

u atau x

y

v

y

u2

dan

022y

yy

x

yyx

y

v

y

u)

02)0(2 yxy

v

y

u atau yx

y

v

y

u22

Selanjutnya dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi y

udidapat

xy

v

y

u2 (1)

yxy

v

y

u22 (2)

didapat


xy

v

y

u2

yxy

v

y

u4242

yxy

v435 atau yx

y

v43

5

1

Soal-soal

1. Ditentukan fungsi 003222 yxuvdanyxvu

Tentukan:

a. x

vdan

y

u

x

v

x

u,,,

b. u

xdan

v

y

v

x

u

x,,,

2. Ditentukan 0202 22 yxyvudanxyxvu

Tentukan:

a. x

vdan

x

u

b. v

xdan

u

x

3. Jika 002 22222 vuyxyxdanuvyx

Tentukan

a. y

vdan

y

u

b. v

xdan

u

x

c. Turunan Parsial Fungsi Implisit 6 peubah.


Fungsi implisit 6 peubah, secara umum dinyatakan dalam bentuk:

0),,,,,(

0),,,,,(

0),,,,,(

zyxwvuH

zyxwvuG

zyxwvuF

u,v,dan w variable sejenis, sehingga tidak dapat ditentukan hasilnya

v

w

u

w

w

v

u

v

w

u

v

u,,,,,

x,y, dan z variable sejenis, sehingga tidak dapat ditentukan hasilnya

y

z

x

z

z

x

y

x

z

y

x

y,,,,,

Contoh fungsi 6 peubah:

333

222

zyxw

zyxv

zyxu

Atau

0

0

0

333

222

zyxw

zyxv

zyxu

Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

1. Tentukan u

x dari

0

0

0

333

222

zyxw

zyxv

zyxu

Jawab

Persamaan diturunkan terhadap u dan diperoleh

01u

z

u

y

u

x ............................(1)

02220u

zz

u

yy

u

xx .......................(2)


03330 222

u

zz

u

yy

u

xx ...........................(3)

Karena akan ditentukan u

x maka eliminasikan

u

zdan

u

y

dari persamaan (1), (2) dan (3)

Dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi u

ydiperoleh:

01u

z

u

y

u

x (2y) 02222

u

zy

u

yy

u

xyy

0222u

zz

u

yy

u

xx (1) 0222

u

zz

u

yy

u

xx

yu

zyz

u

xyx 2)22()22(

........(4)

Dari (1) dan (3) dengan mengeliminasi u

ydiperoleh:

01u

z

u

y

u

x (3y 2 )

03333 2222 yu

yy

u

xyy

03330 222

u

zz

u

yy

u

xx (1)

03330 222

u

zz

u

yy

u

xx

22222 3)33()33( yu

zyz

u

xyx .(5)

Selanjutnya eliminasi u

z dari persamaan (4) dan (5) diperoleh:

yu

zyz

u

xyx 2)22()22( )(3 zy


22222 3)33()33( yu

zyz

u

xyx (2)

atau

)(6)33)(22())((6 yzyu

zyzyz

u

xyzyx

22222 6)33(2)33(2 yu

zyz

u

xyx

222 6)(6)33(2))((6 yyzyu

xyxyzyx

Sehingga:

)33(2))((6

)6()(622

2

yxyzyx

yyzy

u

x

))(( zxyx

yz

2. Tentukan w

z dari

0

0

0

333

222

zyxw

zyxv

zyxu

Jawab

Persamaan di atas diturunkan terhadap variable w dan diperoleh

00w

z

w

y

w

x ............................(1)

02220w

zz

x

yy

w

xx ...................(2)

03331 222

w

zz

w

yy

w

xx ................(3)

Karena akan ditentukan w

z maka eliminasikan

w

ydan

w

x

dari persamaan (1), (2) dan (3)


Dari (1) dan (2) dengan mengeliminasi w

xdiperoleh:

00w

z

w

y

w

x 0222

w

zx

w

yy

w

xx

02220w

zz

x

yy

w

xx ....... (1) 0222

w

zz

x

yy

w

xx

0)22()22(w

zxz

w

yxy

......(4)

Selanjutnya dari (1) dan (3) dengan mengeliminasi w

xdiperoleh:

00w

z

w

y

w

x ....................... (3x2 )

0333 222

w

zx

w

yx

w

xx

03331 222

w

zz

w

yy

w

xx ......... (1)

1333 222

w

zz

w

yy

w

xx

1)33()33( 2222

w

zxz

w

yxy ...(5)

Selanjutnya eliminasi w

y dari persamaan (4) dan (5) diperoleh:

0)22()22(w

zxz

w

yxy ........... )(3 xy

1)33()33( 2222

w

zxz

w

yxy ......(1)

atau

0)22((3))22)((3w

zxzxy

w

yxyxy


1)33()33( 2222

w

zxz

w

yxy

1)33()22)((3 22

w

zxzxzxy

Sehingga:

}33()22)((3{

122 xzxzxyw

z

))((3

1

zyzx

BAB VI


INTEGRAL LIPAT

A. INTEGRAL R ANGKAP 2

1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegi Panjang

Konsep integral tentu untuk fungsi satu peubah dapat kita perluas

untuk fungsi banyak peubah. Integral untuk fungsi banyak peubah

dinamakan integral lipat atau integral rangkap. Pada integral lipat satu,

fungsi yang dipakai dibatasi, yaitu fungsi tersebut dibatasi pada selang

tertutup di R1. Untuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah ,

pembatasannya adalah fungsi tersebut terdefinisi pada suatu daerah tertutup

di R2. Berikut akan kita bahas tentang integral lipat dua juga integral lipat

tiga.

Gambar 1.1 :Daerah R pada Persegi Panjang

Tetapkan R berupa suatu persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar

sumbu-sumbu koordinat, yakni misal : R : {(x,y) : ,bxa dxc }.

Bentuk suatu partisi dengan cara membuat garis-garis sejajar sumbu x dan

x

b

a

d c

z

y


y. Ini membagi R menjadi beberapa persegi panjang kecil yang jumlahnya n

buah, yang ditunjukkan dengan k = 1,2,...n. Tetapkan kx dan ky adalah

panjang sisi-sisi kR dan kA = kx . ky adalah luas. Pada kR ambil

sebuah titik misal ),( kk yx dan bentuk penjumlahan Riemann

k

n

k

kk Ayxf ),(1

.

Definisi :

Integral lipat dua

Andai suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi

panjang tertutup R, jika :

0limIpI

k

n

k

kk Ayxf ),(1

ada . maka f dapat diintegralkan pada R, lebih lanjut

R

dAyxf ),( , yang disebut integral lipat dua dan pada R diberikan

oleh

R

dAyxf ),( = 0

limIpI

k

n

k

kk Ayxf ),(1

Sifat-sifat Integral Lipat Dua :

1. Jika f(x,y) dan g(x,y) masing-masing kontinu dalam daerah R maka:

R R

dAyxfkdAyxkf ),(),(

R R R

dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),()],(),([

2. R R R

dAyxfdAyxfdAyxf

1 2

),(),(),(

3. Sifat pembanding berlaku jika f(x,y) g(x,y) untuk semua (x,y) di R,

maka :


R R

dAyxgdAyxf ),(),(

Perhitungan Integral Lipat dua

Jika f(x,y) =1 pada R, maka integral lipat dua merupakan luas R,

maka integral lipat dua merupakan luas R.

R R

dAyxfkdAyxkf ),(),(

= R

dAk 1

= k.A(R)

Contoh Soal

1. Andai f sebuah fungsi tangga yakni :

f(x,y) =

32,30,3

21,30,2

10,30,1

yx

yx

yx

hitung R

dAyxf ),( dengan R = { }30,30:),( yxyx

jawab :

misal persegi panjang R1, R2, R3

R1 = { }10,30:),( yxyx

R2 = { }21,30:),( yxyx

R3 = { }32,30:),( yxyx ,

lalu gunakan sifat penjumlahan di integral lipat dua, sehingga :

R

dAyxf ),(

1

),(R

dAyxf +

2

),(R

dAyxf +

3

),(R

dAyxf

= 1.A(R1) + 2. A(R2) + 3.A(R3)

= 1.3 + 2.3 + 3.3

= 18

2. Hampiri R

dAyxf ),( dengan 16

864),(

2yxyxf ,


R = { }80,40:),( yxyx . Kerjakan dengan menghitung

penjumlahan Riemann!

Jawab :

Penjumlahan Riemann yang diperoleh dengan membagi atas 8 bujur

sangkar yang sama dengan tiap-tiap pusat bujur sangkar sebagi titik. Titik-

titik contoh yang diperlukan dan nilai-nilai yang berpadanan dari fungsi itu

adalah :

),( 11 yx = (1,1), f ),( 11 yx = 16

17

),( 22 yx = (1,3), f ),( 22 yx = 16

65

),( 33 yx = (1,5), f ),( 33 yx = 16

81

),( 44 yx = (1,7), f ),( 44 yx = 16

105

),( 55 yx = (3,1), f ),( 55 yx = 16

41

),( 66 yx = (3,3), f ),( 66 yx = 16

49

),( 77 yx = (3,5), f ),( 77 yx = 16

65

),( 88 yx = (3,7), f ),( 88 yx = 16

89

8

(0,8,8)

(4,8,6)

(4,0,2)

(0,0,4)

z


Gambar 1.2 : Permukaan benda pejal berbentuk Bujur Sangkar

Jadi karena kA = 4, kA = kx ky = 2.2 = 4

R

dAyxf ),(k

k

kk Ayxf ),(8

1

= ),(48

1k

kkyxf

= 16

89654941105816557(4

= 1383

2

Integral Lipat dua sebagai volume

Jika 0),( yxf pada R sehingga dapat kita tafsirkan integral lipat

dua sebagai volume dari benda pejal dibawah permukaan gambar 1

V = R

dAyxf ),( , R = { },:),( dycbxayx .

x

y

a

a b


Gambar 1.2 : Benda pejal

Iris :

Iris benda pejal itu menjadi kepingan-kepingan sejajar terhadap bidang xz

(gb. 2a)

Irisan bidang y = k, kepingan volume yang berpadanan y

LA(y)

y

x

y

z

y Gambar. 1.3 : irisan benda pejal

Gambar. 1.4: Kepingan Sejajar

bidang xy


Volume v dari kepingan secara aproksimasi diberikan oleh v y ,

diintegralkan ,

V =

d

c

dyyA )( , untuk y tetap kita hitung A(y) dengan integral tunggal biasa :

A(y) =

b

a

dxyxf ),( , sehingga : V =

d

c

b

a

dydxyxf ]),([

Dari (1) dan (2) :

R

dAyxf ),( =

d

c

b

a

dydxyxf ]),([

begitu juga R

dAyxf ),( =

b

a

d

c

dxdyyxf ]),([

Perhitungan Integral Lipat

Permasalahan :


Hitung :

a. 3

0

2

1

])32([ dydxyx

b. 2

1

3

0

])32([ dxdyyx

c. 8

0

2

4

0

)864(16

1dxdyyx

Perhitungan Volume

Contoh soal :

Hitung volume V dari benda pejal diatas yang dibatasi oleh z = 4 x2 y

dan dibawah persegi panjang R = { }20,10:),( yxyx

Jawab :

Jawab :

V = R

dAyxf ),(

1

2

(1,2)

(0,0,4)

(1,0,3)

(1,2,1)

(0,2,2)

y

z

x


= R

dAyx )4( 2 = dxdyyx )4(

2

0

1

0

2

= dyyxxx ]]3

14[[ 10

3

2

0

= dyy)3

14(

2

0

= 3

16 satuan volum

Kerjakan permasalahan berikut, diskusikan dengan anggota

kelompokmu!

1. Andai R = { }20,41:),( yxyx .

, 31 x , 20 y , 43 x , 20 y

Hitung R

dAyxf ),( !

2. Andai R = 20:),{( xyx , 20 y }

:),{(1 yxR 20 x , 10 y }

:),{(2 yxR 20 x , 21 y }

Jika R

dAyxf ),( = 3, R

dAyxg ),( =5,

1

),(R

dAyxg = 2, tentukan :

a. R

dAyxgyxf )],(),(3[

b.

1 1

3),(2R R

dAdAyxg

c.

2

),(R

dAyxg

3

2),( yxf


3. Hitung :

a. dydxyx )(4

1

2

1

2

b. dxdyyx )sin(0

1

0

4. Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal dibawah bidang

z = x+y+1 diatas R = { }31,10:),( yxyx !

Kerjakan soal berikut dengan benar!

1. Hitung R

dAyx )( 22 jika R = { }20,11:),( yxyx !

2. Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal dibawah bidang z

= 2x + 3y atas R = { }40,21:),( yxyx !

2. Integral Lipat Dua Atas Daearah Bukan Persegi Panjang

(a) (b)

z = f(x,y)


Gambar 2.1 : (a) Himpunan S , (b) Himpunan S dikelilingi Persegi panjang ,

(c) Himpunan S dikelilingi Persegi panjang dan membentuk ruang

Himpunan S tertutup dan terbatas di bidang (a) keliling S oleh suatu

persegi panjang R dan sisinya sejajar sumbu-sumbu koordinat (b). andai

f(x,y) terdefinisi pada S dan didefinisikan f(x,y)=0 pada bagian R diluar S

(c), f dapat diintegralkan pada S jika dapat diintegralkan pada R.

S

dA