1

PENDAHULUAN Ingat: Fungsi satu variable A B x y = f(x) range f, dinotasikan R f

f : A B

A R dan B R dengan R = himpunan semua bilangan real Grafik fungsi f berupa himpunan titik di R2, dapat berupa garis lurus atau lengkung. Grafik f = {(x,y) y = f(x), x Df}

FUNGSI DUA VARIABEL A B (x,y) z = f(x,y) range f, dinotasikan R f

f : A B

A R R dan B R Grafik fungsi f berupa himpunan titik di R3, dapat berupa luasan di R3. Grafik f = {(x,y,z) z = f(x,y), (x,y) Df}

Contoh: Y 1. z = f(x,y) dengan f(x,y) = 2231 4936 yx , 3 maka Df = {(x,y)36 9x2 4y2 0} Df = {(x,y)9x2 + 4y2 36}

= {(x,y)94

22 yx 1} -2 0 2 X

untuk (x,y) = (0,0) z = 2 (x,y) = (2,0) z = 0

(x,y) = (0,3) z = 0 -3 Rf = {z 0 z 2}

2

Gambar grafik Z Untuk x = 0 z = 231 436 y

3z = 2436 y 2 9z2 = 36 4y2

4y2 + 9z2 = 36

49

22 zy = 1 -3 0 3 Y

Dengan cara sama Untuk y = 0 x2 + z2 = 4 X 2. z = f(x,y) dengan f(x,y) = 221 yx , Tentukan Df dan R f serta gambarkan sketsa grafiknya. 3. z = f(x,y) dengan f(x,y) = 122 yx , Tentukan Df dan R f serta gambarkan sketsa grafiknya. Jika bidang z = k yang sejajar bidang XY memotong z = f(x,y) dan lengkungan perpotongannya diproyeksikan ke bidang XY, maka tiap titik pada lengkungan proyeksi akan berpadanan dengan satu titik tunggal pada permukaan z = f(x,y) dengan ketinggian k. Lengkungan proyeksi di bidang XY ini dinamakan Lengkungan Ketinggian (level curve). Dalam contoh 1, lengkungan ketinggian untuk z = 2231 4936 yx daapat digambarkan sebagai berikut: Y 3 k = 0 k = 1 -2 0 2 X k = 2 3 Jarak Dua Titik di R2. Y Q(x2,y2) Jarak P dan Q adalah: d = 212

212 )()( yyxx

P(x1,y1) 0 X

3

Definisi Y Kitaran (neighborhood) titik P(x0,y0) dengan . P jari-jari r, ditulis Nr(P) didefinisikan sebagai Nr(P) = {(x,y) 20

20 )()( yyxx r}

0 X

Definisi S R2 Titik Q disebut titik dalam (interior point) himpunan S jika ada r 0 sehingga Nr(Q) S. Contoh: S = {(x,y)x2 + y2 1} Y O(0,0) titik dalam himpunan S A( 21 , 21 ) titik dalam himpunan S B(-1,0) bukan titik dalam himpunan S X Definisi S R2 Himpunan S dikatakan terbuka jika setiap anggota S merupakan titik dalam himpunan S. Himpunan S dikatakan tertutup jika Sc terbuka. Contoh: Tentukan, himpunan berikut terbuka ataukah tertutup. S = {(x,y)x2 + y2 1} A = {(x,y)x2 + y2 1} B = {(x,y)x2 + y2 1 dan x2 + y2 4}

4

Definisi Titik P disebut titik perbatasan (boundary point) himpunan S jika setiap kitaran P memuat paling sedikit satu titik anggota S dan satu titik bukan anggota S. Himpunan semua titik perbatasan S disebut perbatasan S dan dinotasikan dengan B(S). LIMIT DAN KEKONTINUAN Definisi Diketahui fungsi bernilai real f dengan daerah definisi himpunan terbuka D di R2 dan (a,b) D,

Lyxf

bayx

),(lim

),(),(

jika dan hanya jika untuk setiap bilangan 0 terdapat bilangan 0 sehingga untuk setiap (x,y) D yang memenuhi 0 22 )()( byax berlaku f(x,y) L . Contoh:

1. axbayx

),(),(

lim 3. 2233

)0,0(),(

2limyxyx

yx

= 0.

2. bybayx

),(),(

lim

Teorema 1. Jika k konstan maka kk

bayx

),(),(lim

2. Jika Lyxfbayx

),(lim),(),(

dan Myxgbayx

),(lim),(),(

maka

a) MLyxgyxf

bayx

)},(),({lim

),(),(

b) LMyxgyxf

bayx

)},(),({lim

),(),(

c) ML

yxgyxf

bayx

),(),(lim

),(),( asalkan M 0

Catatan: Dalam konsep limit ini: 1. f tidak harus terdefinisi di (a,b)

2. Jika Lyxfbayx

),(lim),(),(

ada maka bagaimanapun caranya (x,y) mendekati (a,b) nilai

f(x,y) selalu mendekati L.

Catatan nomor 2 ini secara formal tertuang dalam teorema berikut. Teorema: Misalkan K1 dan K2 keduanya sub himpunan dari daerah definisi fungsi f dalam R2 dengan (a,b) titik limit dari K1 dan K2, jika

),(lim),(lim21 ),(

),(),(),(

),(),(yxfyxf

Kyxbayx

Kyxbayx

maka ),(lim

),(),(yxf

bayx tidak ada.

5

Contoh:

Jika )0,0(),(,),( 2222

yx

yxyxyxf maka ),(lim

)0,0(),(yxf

yx tidak ada. Tunjukkan.

LATIHAN Tentukan nilai limit fungsi berikut.

1. xyx )2,3(),(lim

4. 22

2

)2,3(),(lim

yxyx

yx

2. 2)2,3(),(

lim xyx

5. yx

yxyxyx 2

23lim22

)1,2(),(

3. yxyx

2

)2,3(),(lim

Tunjukkan:

6. 22

2

)0,0(),(lim

yxx

yx = 0 7.

22

2

)0,0(),(lim

yxy

yx = 0

Tunjukkan bahwa limit berikut tidak ada

8. 22)0,0(),( lim yxxy

yx 9. 24

2

)0,0(),(lim

yxyx

yx

Definisi

Misalkan f fungsi bernilai real yang terdefinisi pada daerah D R2 dan (a,b) D, maka f dikatakan kontinu di (a,b) jika

),(),(lim),(),(

bafyxfbayx

.

Fungsi f dikatakan kontinu pada D jika f kontinu di setiap titik di D. Jadi untuk menunjukkan f kontinu di titik (a,b) harus ditunjukkan ketiga syarat berikut dipenuhi.

(1) ),(lim),(),(

yxfbayx

ada

(2) f (a,b) ada

(3) ),(),(lim),(),(

bafyxfbayx

Sifat a. Jika f dan g keduanya kontinu di (a,b) maka

1) f + g kontinu di (a,b) 2) f g kontinu di (a,b) 3) f g kontinu di (a,b)

4) f / g kontinu di (a,b) asalkan g(a,b) 0. b. Jika f : R2 R fungsi kontinu di (a,b) dan f : R R fungsi kontinu di f(a,b) maka g o f kontinu

di (a,b)

6

Contoh TURUNAN PARSIAL Definisi

Jika f fungsi dua variable (x dan y) maka:

(i) Turunan parsial f terhadap x, dinotasikan dengan x

yxf

),( atau fx(x,y), didefinisikan sebagai

xyxf

),( =

xyxfyxxf

x

),(),(lim0

(ii) Turunan parsial f terhadap y, dinotasikan dengan y

yxf

),( atau fy(x,y), didefinisikan sebagai

yyxf

),( =

yyxfyyxf

y

),(),(lim0

Contoh: Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y fungsi yang dirumuskan

dengan f(x,y) = x2y +5x + 4. Selanjutnya tentukan turunan parsial f terhadap x dan turunan parsial f

terhadap y di titik (2,3)

Jawab:

xyxf

),( =

xyxfyxxf

x

),(),(lim0

= x

xyxxxyxxx

)45(4)(5)(lim22

0

= x

xyxxxyxyxxyxx

)45(455)(..2lim222

0

= x

xyxyxxx

5)(..2lim2

0

= 2xy + 5

7

yyxf

),( =

yyxfyyxf

y

),(),(lim0

= y

xyxxyyxy

)45(45)(lim22

0

= yyx

y

2

0lim

= x2

Sehingga turunan parsial f terhadap x di titik (2,3) adalah x

f

)3,2( = 2(2)(3) + 5 = 17

dan turunan parsial f terhadap y di titik (2,3) adalah y

f

)3,2( = 22 = 4

Untuk memudahkan menentukan turunan parsial dari fungsi dua variable f(x,y) maka dapat

dilakukan hal berikut. Apabila fungsi f diturunkan terhadap variable x maka y diperlakukan seperti

konstanta dan apabila f diturunkan terhadap variable y maka x diperlakukan seperti konstanta.

Contoh: Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y fungsi yang dirumuskan

dengan f(x,y) = 3x4y2 + xy2 + 4y.

Jawab:

xyxf

),( = 12x3y2 + y2

yyxf

),( = 6x4y + 2xy + 4

Soal:

Tentukan x

yxf

),( dan y

yxf

),( untuk

1. f(x,y) = 2x2y3 x3y5

2. f(x,y) = x2 3xy + ln(x2 + y2)

TURUNAN PARSIAL TINGKAT TINGGI Contoh:

Tentukan semua turunan parsial tingkat dua fungsi f yang dirumuskan dengan

f(x,y) = 3x4y2 + xy2 + 4y.

8

Jawab:

2

2 ),(x

yxf

=

xyxf

x),( = 36x2y2

2

2 ),(y

yxf

=

yyxf

y),( = 6x4 + 2x

xyyxf

),(2 =

xyxf

y),( = 24x3y + 2y

yxyxf

),(2 =

yyxf

x),( = 24x3y + 2y

Fungsi dua variabel f(x,y) yang memenuhi persamaan Laplace disebut Fungsi Harmonik.

Persamaan Laplace: 2

2 ),(x

yxf

+ 22 ),(

yyxf

= 0.

Contoh: Apakah fungsi berikut merupakan fungsi Harmonik? Tunjukkan!

1. f(x,y) = x3y xy3

2. f(x,y) = ey cos x

ATURAN RANTAI UNTUK FUNGSI KOMPOSISI 1. Misal u dan v fungsi-fungsi yang didefinisikan u = u(x,y) dan v = v(x,y) dengan u dan v

kontinu, mempunyai turunan parsial pertama di (x,y). F fungsi dari u dan v yang mempunyai

turunan pertama yang kontinu dalam daerah terbuka D yang memuat (u,v), maka:

xv

vF

xu

uF

xF

dan

yv

vF

yu

uF

yF

Contoh:

F(u,v) =3u2 v2 dengan u = 2x + 7y dan v = 5xy

Carilah xF dan

yF

2. Misal F fungsi dari u, v dan w dengan u, v dan w fungsi-fungsi kontinu dua variable u = u(x,y),

v = v(x,y) dan w = w(x,y) yang mempunyai turunan parsial pertama dan semua turunan parsial

pertama fungsi F kontinu, maka:

xw

wF

xv

vF

xu

uF

xF

dan

yw

wF

yv

vF

yu

uF

yF

9

Contoh:

(u,v,w) =u3 + 2uvw + uw2 dengan u = xy, v = x y, dan w = x/y

Carilah x dan

y .

TURUNAN FUNGSI IMPLISIT Misal z = F(x,y) dan y = g(x), maka z = F(x, g(x)) menyatakan fungsi satu variable, sehingga

berdasarkan aturan rantai diperoleh:

xy

yF

xx

xF

xz

xy

yF

xF

xz

.(*)

Jika z = 0 maka F(x,y) = 0 mendefinisikan y secara implisit sebagai fungsi x dan (*) menjadi

xy

yF

xF

0

yF

xF

xy

asalkan

yF 0

Analog dengan hal tersebut, jika z fungsi implisit variabel x dan y yang didefinisikan oleh

persamaan F(x,y,z) = 0 maka :

zF

xF

xz

dan

zF

yF

yz

asalkan

zF 0

Contoh:

Tentukan xz dan

yz dari:

1. x2yz xy + yz = 0

2. x3ey+z y sin(x z) = 0

3. xy z2 +2xyz = 0

10

INKREMEN (PERTAMBAHAN) DAN DIFERENSIAL

Definisi:

Jika f fungsi dua variabel dan z = f(x,y), x dan y pertambahan variabel x dan y maka

z = f(x,y) = f(x + x, y + y) f(x,y)

disebut pertambahan variabel z.

Definisi:

Misalkan f fungsi dua variabel dan x dan y dengan turunan parsial pertama fx dan fy yang kontinu

dalam daerah terbuka D dan z = f(x,y). Jika (x,y) titik dalam D dan x dan y bilangan sembarang

sehingga (x + x, y + y) juga titik dalam D, maka:

(i) diferensial variabel bebas dx dan dy dibatasi sebagai dx = x dan dy = y

(ii) diferensial variabel tak bebas adalah dz = df(x,y) = fx (x,y) dx + fy (x,y) dy

Soal:

Tentukan dz dari fungsi berikut:

1. z = x3 xy2 + 3y

2. z = 13

2

yyx

3. z = x2 sin 3y

TURUNAN BERARAH DAN GRADIEN

Ingat: xf = fx laju perubahan f terhadap jarak dalam arah X.

yf = fy laju perubahan f terhadap jarak dalam arah Y.

Jika u = cos i + sin j vektor satuan dengan titik awal P(x1,y1) maka turunan berarah f dalam

arah u di bidang XY, dinotasikan dengan fu (x,y) atau uyxf

),( adalah:

uyxf

),( = fx(x,y) cos + fy(x,y) sin

Y

u sin

P(x1,y1) cos

0 X

11

Contoh

Jika f(x,y) = 4x2 xy + 3y2, tentukan turunan berarah f di titik P(2,1) dalam arah a = 4i + 3j

Penyelesaian

Vektor satuan u yang searah dengan a adalah aa =

54 i +

53 j. Jadi cos =

54 dan sin =

53

fx(x,y) = 8x y dan fy(x,y) = x + 6y sehingga

uyxf

),( = (8x y)

54 + (x + 6y)

53

uf )1,2( = (17)

54 + (8)

53 =

544

Perhatikan :

uyxf

),( = fx(x,y) cos + fy(x,y) sin

dapat dinyatakan sebagai hasil kali titik (dot product) dua vector sebagai berikut:

uyxf

),( = (cos i + sin j ) . (fx(x,y) i + fy(x,y) j)

= u . ),( yxf

dengan ),( yxf = (fx(x,y) i + fy(x,y) j) dan disebut gradien f.

MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM

Definisi

Misalkan f fungsi dua variable maka f dikatakan mencapai maksimum relatif di titik (a,b) jika

terdapat kitaran dari (a,b) demikian sehingga f(x,y) f(a,b) untuk setiap (x,y) dalam kitaran itu,

dan f(a,b) disebut nilai maksimum relatif.

Sebaliknya, f dikatakan mencapai minimum relatif di titik (a,b) jika terdapat kitaran dari (a,b)

demikian sehingga f(x,y) f(a,b) untuk setiap (x,y) dalam kitaran itu, dan f(a,b) disebut nilai

minimum relatif.

Nilai minimum relatif dan nilai maksimum relatif biasa disebut nilai ekstrem relatif.

Syarat perlu agar f mencapai nilai ekstrem relatif di titik (a,b) adalah:

0),(

x

baf dan 0),(

y

baf (**)

12

Titik (a,b) yang memenuhi (**) biasa disebut titik kritis.

Teorema (Tes Turunan Kedua)

Misalkan f fungsi dua variable yang kontiu dan mempunyai turunan parsial pertama dan kedua

yang kontinu juga, apabila (a,b) titik kritis f dan 22

2

2

2

2 ),(),(),(

yxbaf

ybaf

xbaf

maka:

(i) f mencapai nilai minimum relatif di (a,b) jika 0 dan 2

2 ),(x

baf

0

(ii) f mencapai nilai maksimum relatif di (a,b) jika 0 dan 2

2 ),(x

baf

0

(iii) f tidak mencapai nilai ekstrem relatif di (a,b) jika 0

(iv) belum dapat disimpulkanapabila = 0.

Contoh:

1. Tentukan nilai ekstrem, jika ada, untuk f(x,y) = 3x3 + y2 9x + 4y.

2. Tentukan jarak minimum titik pada z2 = x2y + 4 ke pusat koordinat.

13

MASALAH EKSTREM BERSYARAT (METODE LAGRANGE) 1. Akan dicari nilai ekstrem fungsi f(x,y) dengan syarat g(x,y) = C.

Dibentuk fungsi Lagrange:

F(x,y,) = f(x,y) {g(x,y) C}

Parameter disebut pengali Lagrange. Untuk menyelesaikan permasalahan ini, dicari titik kritisnya dengan menyelesaiakan

persamaan berikut.

0

xF 0),(),( yxgyxf xx

0

yF 0),(),( yxgyxf yy

0F 0),( Cyxg

Contoh:

Diketahui lingkaran berjari-jari satu. Dalam lingkaran tersebut dibuat persegi panjang

yang keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran. Tentukan ukuran empat persegi

panjang yang mempunyai luas terbesar.

Jawab:

Misalkan lingkaran itu bertitik pusat di (0,0) sehingga persamaan lingkaran itu adalah x2 + y2 = 1.

Andaikan titik sudut persegi panjang yang berada di kuadran I berkoordinat (x,y) sehingga luas

persegi panjang adalah f(x,y) = (2x)(2y) = 4xy. Oleh karenanya permasalahan ini dapat disajikan

sebagai berikut.

Carilah nilai x dan y sehingga f(x,y) = 4xy maksimum dengan syarat x2 + y2 = 1.

Selanjutnya dibentuk fungsi F(x,y,) = 4xy (x2 + y2 1)

Dibuat persamaan: 0

xF 4y (2x) = 0

0

yF 4x (2y) = 0

0F x2 + y2 1 = 0

x = 0 dan y = 0 tidak mungkin. Mengapa?

Apabila x 0 dan y 0 maka system persamaan tersebut memberikaan penyelesaian x2 = y2 dan

karena x 0 dan y 0, maka diperoleh 221x dan 22

1y .

14

2. Akan dicari nilai ekstrem fungsi f(x,y,z) dengan syarat g(x,y,z) = C1 dan h(x,y,z) = C2.

Dibentuk fungsi Lagrange:

F(x,y,z,,) = f(x,y,z) {g(x,y,z) C1} {h(x,y,z) C2}

Parameter , disebut pengali Lagrange.

Untuk menyelesaikan permasalahan ini, dicari titik kritisnya dengan menyelesaiakan

persamaan berikut.

0

xF 0),,(),,(),,( zyxhzyxgzyxf xxx

0

yF 0),,(),,(),,( zyxhzyxgzyxf yyy

0

zF 0),,(),,(),,( zyxhzyxgzyxf zzz

0F g(x,y,z) C1 = 0

0F h(x,y,z) C2 = 0

Contoh:

Tentukan ukuran balok dengan volume terbesar yang dapat dibuat dalam ellipsoida

1494

222

zyx

Jawab:

Andaikan titik sudut balok yang berada di oktan I berkoordinat (x,y,z), maka

permasalahannya menjadi: carilah nilai x, y, dan z sehingga f(x,y,z) = 8xyz maksimum

dengan syarat 01494

222

zyx

Dibentuk fungsi F(x,y,z,) = 8xyz ( 1494

222

zyx )

Dibuat persamaan 0

xF 4yz

42x = 0 (1)

0

yF 4xz

92 y = 0 (2)

0

zF 4xy

42z = 0 (3)

0F 01

494

222

zyx (4)

15

Dari (1), (2) dan (3) diperoleh:

12xyz (494

222 zyx ) = 0

12xyz = 0 (5)

Dari (1) diperoleh = xyz16 (6)

Dari (5) dan (6) diperoleh:

12xyz xyz16 = 0

342 x

3

2x

Dengan cara sama dapat dicari nilai y dan z.

INTEGRAL GARIS Misalkan P dan Q fungsi dua variable yang turunan parsial pertamanya kontinu pada domain D.

Pandang C suatu busur/kurva dalam D yang memiliki persamaan parameter

x = f(t), y = g(t) a t b. sehingga jika t bertambah dari a ke b, maka titik-titik padanannya, yaitu (f(t),g(t)) akan menelusuri

kurva C dari titik A(f(a),g(a)) ke titik B(f(b),g(b)). Apabila f dan g kontinu untuk a t b,

maka:

b

aCdttgtgtfQtftgtfPdyyxQdxyxP )]('))(),(()('))(),(([),(),(

disebut integral kurva P(x,y)dx + Q(x,y)dy sepanjang kurva C dari A ke B.

X

A

B

C

Y

16

Contoh:

1. Hitunglah integral: 1

2)( 2

Cxydydxyx sepanjang kurva C1 yang persamaan

parameternya x = t2, y = 2t dari t = 0 sampai t = 1.

2. Hitunglah integral: 2

2)( 2

Cxydydxyx sepanjang kurva C2 yang persamaan

parameternya x = t, y = 2t2 dari t = 0 sampai t = 1.

Pada umumnya nilai integral tergantung pada: integran, kurva/lintasan dan titik-titik ujung kurva. Jika nilai integral hanya tergantung pada integran dan titik-titik ujung kurva, tidak tergantung pada

kurvanya maka integralnya disebut integral yang bebas lintas.

Teorema:

Jika P(x,y)dx + Q(x,y)dy merupakan diferensial eksak suatu fungsi F dalam daerah

terbuka D, dan C adalah kurva yang semuanya di dalam D dengan persamaan parametric

x = f(t), y = g(t) t1 t t2

dengan f dan g kontinu, maka:

),(),(),(),( 1122 yxFyxFdyyxQdxyxPC

dengan (x1, y1) = (f(t1), g(t1)) dan (x2, y2) = (f(t2), g(t2)) titik-titik ujung kurva C.

Akibat:

Jika P(x,y)dx + Q(x,y)dy diferensial eksak dalam daerah terbuka D, serta A dan B dua

titik dalam D maka

C

dyyxQdxyxP ),(),(

dari A ke B bebas lintas.

Contoh:

1. Tentukan C

dyyxdxxyx )143()63( 22 dari titik (0,0) sampai (1,2)

2. Tentukan C

yxy

x dyxey

edxx

eye )ln()ln( dari titik (1,1) sampai (5,2)

Kurva C dengan persamaan parameter x = f(t), y = g(t) a t b dengan f dan g kontinu pada a

t b dinamakan kurva mulus. Dalam menghitung integral garis yang bebas lintas kadang lebih

mudah dipilih lintasan melalui sejumlah kurva-kurva mulus C1, C2, C3, , Cn, yang berhubungan

sehingga ujung C1 merupakan titik awal C2, ujung C2 merupakan titik awal C3, dan seterusnya.

17

Jika C = C1 + C2 + C3 + + Cn, suatu kurva mulus bagian demi bagian yang terdiri dari kurva-

kurva mulus C1, C2, C3, , Cn, maka:

n

i CC idyyxQdxyxPdyyxQdxyxP

1),(),(),(),(

Contoh:

1. Untuk menghitung C

dyyxdxxyx )143()63( 22 dari titik O(0,0) sampai A(1,2)

dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut.

Karena integral ini bebas lintas (mengapa?) maka kita dapat mengintegralkannya

sepanjang ruas garis mendatar dari O(0,0) ke B(1,0), selanjutnya mengintegralkannya

sepanjang garis tegak dari B(1,0) ke A(1,2).

2 1 -1 0 1 2

2. Tentukan C

yxy

x dyxey

edxx

eye )ln()ln( dari titik (1,1) sampai (5,2) dengan cara

seperti contoh 1 di atas.

A

B

18

INTEGRAL RANGKAP Definisi:

Misalkan R daerah tertutup dalam bidang XY yang dibatasi kurva mulus bagian demi

bagian, f suatu fungsi dua variable yang terdefinsikan pada R, maka integral ganddda dua

f pada R ditulis:

R

dAyxf ),( atau R

dxdyyxf ),(

didefinisikan sebagai

R

dAyxf ),( =

n

ii

PAyxf

10),(lim

Jika limit ini ada.

Sifat-sifat:

1. R

dAyxkf ),( = R

dAyxfk ),( untuk setiap konstanta k.

2. R

dAyxgyxf )},(),({ = R

dAyxf ),( + R

dAyxg ),(

3. Jika f kontinu pada R dan R terbagi menjadi R1 dan R2 maka

R

dAyxf ),( = 1

),(R

dAyxf + 2

),(R

dAyxf

Integral Rangkap pada Daerah Berbentuk Persegipanjang Contoh:

19

Integral Rangkap pada Daerah Bukan Persegipanjang Contoh: Daerah untuk mengintegralkan dalam integral ini dapat dibedakan menjadi: daerah macam I dan

daerah macam II.

a. Daerah macam I b. Daerah macam II Contoh:

X

R

Y

R

Y

X