izvijanje-štapa

7/22/2019 Izvijanje-tapa

1/11

11. IZVIJANJE 1

11. IZVIJANJE, GUBITAK ELASTINE STABILNOSTI

11.1. Stabilna, labilna i indiferentna ravnotea

Pojam stabilnosti ravnotee na primjeru krutih tijela na slici:1- kugla i 2- tap, koja su pod djelovanjem optereenja i reakcija veza zauzela

ravnoteni poloaj. Ako tijelo neznatno udaljimo od ravnotenogpoloaja izatim prepustimo samo sebi, mogua su tri sluaja:

a) stabilna ravnotea

G G

G

G

G

GG

G

F F

FG =

F

F

F

M

M=0

M=0MM

M

b) labilna ravnotea c) indiferentna ravnotea

S S S

SS

S

A

A

A

G

S

F e

S

G

Fe

S

F

G

e=0

e e e=0

M=Ge

1)

2)

a) Tijelo se vraa u prvobitni ravnoteni poloaj zbog djelovanja spregaMkojiine teina Gi reakcijaF stabilna ravnotea tijela.

b) Tijelo se sve vie udaljava od prvobitnog ravnotenog poloaja, jer spregM

tei da udalji tijelo od stanja ravnotee labilna ravnotea tijela.

c) Tijelo ostaje u ravnotei u bilo kojem novom poloaju koji je blizakprvobitnom ravnotenom poloaju, jer nema spregaMbudui su sile GiFkolinearne indiferentna ravnotea tijela.

Problem stabilnosti ravnotee postoji kod elastinog odnosno deformabilnogtijela pod tlanim optereenjem, jer se tijelo deformira dok ne poprimiravnoteni deformirani oblik.

Deformirani oblik tlano optereenog tapa moe biti stabilan, labilan(nestabilan) ili indiferentan.


2/11

11. IZVIJANJE 2

F

A

B

F

x x x x

F Fkr Fkr

F>Fkr

F , tap se i pri najmanjem poremeaju izvija u stranu inastavlja se deformirati nakon uklanjanja poremeaja, tako da se jako savija ustranu i moe doi do loma tapatap je u nestabilnoj elastinoj ravnotei.

U realnim konstrukcijama tlano optereeni tapovi nikada nisu idealnoravni, homogeni i strogo osno (centrino) optereeni. To odstupanje odidealnosti adekvatno je poremeaju F, te se uvijek pojavljuje izvijanje kada

silaFpostane vea od kritine vrijednostiFkr.


3/11

11. IZVIJANJE 3

11.2. Izvijanje tapa u elastinom podruju,

Eulerova kritina sila izvijanja

Odreivanje vrijednosti kritine sileFkrpri kojoj poinje izvijanje tapa,objanjeno je na primjeru tapa zglobno vezanog na oba kraja i optereenog

tlanom silomFprema slici a).

B

F

x

A

x x

F F

F F

N=F

x

l

z z

w

w(x)w

My

B B

A My=Fw

a) b) c)

Dok je sila manja od kritine sile izvijanja krFF< , tap ostaje ravan.

imsilaFdostigne kritinu vrijednostFkr, poinje bono savijanje (izvijanje), a

uzduna os tapa prelazi u elastinu liniju )(xww= , slika b).U tom se sluaju u presjekuxtapa pojavljuju:

uzduna sila FN= i moment savijanja wFMy = , slika c).

Diferencijalna jednadba elastine linije glasi:

wEI

F

EI

M

x

w

yy

y==

2

2

d

d,

odnosno:

,0d

d 22

2

=+ wx

w gdje je

yEI

F=2 .

Ope rjeenje homogene diferencijalne jednadbe 2. reda glasi:

xCxCw cossin 21 += .

Ovdje su C1i C2konstante integracije koje se mogu odrediti iz rubnih uvjetatapa zglobno uvrenog na oba kraja, tako da su pomaci oba kraja jednakinuli:


4/11

11. IZVIJANJE 4

1. 0)0( =w 0cos0sin0 21 += CC 02=C ,

2. 0)( =lw lC = sin0 1 01=C ili 0sin =l .

Prvo rjeenje je trivijalno rjeenje 0)( =xw , tj. elastina linija je pravac.

Kritinu silu izvijanja moe se odrediti iz izraza:

0sin =l , odnosno nl= , gdje je ...3,2,1,0=n

Slijedi:yEI

F= n

EI

Fl

y

= .

Vrijednost sileFpri kojoj nastupa izvijanje jest:

2

2

2

lEInF

y= .

Jednadba elastine linije u tom sluaju glasi:

xl

nCxCw

sinsin 11 == .

Elastina linija moe imati vie oblika, ovisno o vrijednosti n. Svakom oblikuelastine linije odgovara druga sila izvijanja, slika.

FFkr

F

B B B B

Fkr 4Fkr

Fkr

n=0n=1

n=2

n=3

9Fkr

9Fkr4Fkr

A A A A

B

F

A

x

F

l

z

a) d) e) f) g)

Ako je 0=n , bit e 0=F , a elastina linija je pravac, slika d). Ako je 1=n ,

elastina linija ima oblik sinusnog poluvala, slika e), a sila izvijanja ima u tomsluaju najmanju vrijednost, tj. ona je kritina sila pri kojoj nastupa izvijanjetzv.Eulerova kritina sila(L. Euler, 1757.):


5/11

11. IZVIJANJE 5

2

2kr l

EIF

y= .

Ovaj se izraz moe rabiti samo kod malih pomaka w.

Kad je 2=n , elastina linija ima oblik pune sinusoide, slika f), dok je silaizvijanja krFF 4= . Na slici g) prikazana je forma izvijanja pri 3=n , a sila

izvijanja je krFF 9= . Vie forme izvijanja mogu se ostvariti u laboratorijskim

uvjetima.

U praksi izvijanje tapa nastupa uvijek po formi 1=n , tj. im silaFprijee

kritinu vrijednostFkr. Ako se sila i dalje poveava, doi e ili do loma tapa ili

do savijanja tapa u oblik petlje.

Izvijanje nastaje oko one osi poprenog presjeka za koju je krutost tapanajmanja, tj. u izraz za kritinu silutreba uvrstiti vrijednost minimalnogmomenta tromosti:

2min IIIy == ,

a za ltreba uvrstiti duljinu lokoja se naziva slobodna duljina izvijanja(duljinajednog sinusnog poluvala, tj. duljina izmeu dvije toke infleksije):

2o

min2kr

l

EIFF == (Eulerova kritina sila izvijanja).

Umjesto kritine sile uvjetno se uvodi kritino naprezanje po presjeku priizvijanju tapa:

2o

min2krkr

/

l

AEI

A

F == ,

gdje je minimalni polumjer tromostipoprenog presjeka tapa:A

Ii minmin = .

Slijedi izraz za kritino naprezanjepri izvijanjutapa:2

o

min2kr

=

l

iE 2

2kr

E= .

Ovdje je uvedena bezdimenzijska karakteristika tapa i naziva se vitkosttapa:

min

oil= .


6/11

11. IZVIJANJE 6

U koordinatnom sustavu (, kr) izraz za )(kr f= oznauje hiperbolukoja se naziva Eulerova hiperbola.

Na slikama a) do d) dane su forme izvijanjate vrijednosti duljine izvijanja loi izrazi za vrijednost Eulerove kritine sile izvijanjaFkrza najee sluajeve

uvrenja tapova:

B

F

A

F

l

B1

2

min2

l

EIFkr =

b)

A

l

lo =2l

lo =l

2

min2

4l

EIFkr =

a) c)

B

F

A

l

lo =0,7l

2

min2 2

l

EIFkr = 2

min2 4

l

EIFkr =

B

F

A

l

d)

lo =0,5l

Eksperimenti pokazuju da izraz za krvrijedi samo u podruju vitkih tapova,tj. za:

Pkr , odnosno za vitkosti P .

kr

P

P

Eulerova

hiperbola

0

kr

Granina vitkost P je za Pkr = :

P

P

E

= .

Naprezanje na granici proporcionalnosti:

eP )9,08,0( R .

Eulerov izraz vrijedi za: P .

Granine vrijednosti za konstrukcijske elike za nosive konstrukcije su, kodE= 210 GPa:

elik P P,MPa

0361 104 192

0561 89 262


7/11

11. IZVIJANJE 7

11.3. Izvijanje tapa iznad granice proporcionalnosti

Eulerov izraz za kritinu silu izvijanja izveden je uz pretpostavku da jeconst.=E , tj. da je naprezanje razmjerno deformaciji. Ovaj izraz moe vrijediti i

u podruju kad je P> , ako se umjestoEprimijeni tzv. tangentni modul

elastinostiEtkoji je definiran izrazom:

P

0

1

E

Et

1

d

d=tE 2

2kr

tE= za P< .

Ovaj izraz predloio je Engeser, 1889. ZakonitostpromjeneEtvrlo je sloena i ovisi o oblikudijagrama rastezanja )( f= . U praksi se koristeempirijski izrazi odreeni na temelju pokusa.

Krivulja )(kr f= u podruju Pkr > , tj. zaP< , aproksimira se pravcem (Tetmajer,

Jasinskij), parabolom (Tetmajer, Johnson),hiperbolom (Rankine, Gordon) itd.

Tetmajer je za elik i neke druge materijale predloio izraz u obliku:

P

Pookr )(

= ,

gdje je P- granica proporcionalnosti, a o- karakteristino naprezanje kad seeksperimentalne podatke o izvijanju aproksimira pravcem.

Tetmajerov izraz esto se navodi u obliku:

2kr += cba ,

a vrijednosti za neke elike i sivi lijev dane su u tablici.

Materijal Kritino naprezanje kr, MPa

0361 310 1,14

0561 335 0,62

4720 470 2,30

sivi lijev 776 12+0,0532

Smanjenjem vitkosti tapa raste kritino naprezanje i pri vitkosti Tdostiegranicu teenjaRe(T). Pri vitkosti manjoj od Tprije e doi do gnjeenja

(teenja) tapa nego do izvijanja, tako da Tetmajerov izraz nema opravdanja.


8/11

11. IZVIJANJE 8

Vitkost Tpri kojoj se za proraun tapa rabiproraun na gnjeenjejest:

Po

eoPT

=

R.

Za konstrukcije od elika je vrijednost granine vitkosti: T40 60.Budui da u konstrukcijama mora biti ispunjen uvjet )( Te R< razlikuju se

tri sluaja tlano optereenog tapa:

kr

P

P

Eulerova hiperbola

0

(T)Re

o

Tetmajerov pravac

T

AB

C

D

b)

c)

a)

250

Dijagram ovisnosti kritinog naprezanja o vitkosti tapa

a) kratki tapovi: T

tapovi se proraunavaju na tlanu vrstou i izvijanje se ne uzima u

obzir, a kritino je naprezanje: ekr R= .

b) srednje dugi tapovi: PT


9/11

11. IZVIJANJE 9

tapovi u nosivim elinim konstrukcijama(mostovi, dizalice i sl.)proraunavaju se na izvijanje do vitkosti (prema propisima):

250= - za spregove i sekundarne elemente konstrukcije,200= - za glavne nosive elementekonstrukcije,150=

- za optereene tapove kod oslonaca i za nosive elemente ukonstrukcijama izloenim zamoru.

Neki izrazi iz prakse za kritino naprezanje izvijanja tapova koji se daju zaproraun kritinog naprezanja izvijanjacentrino optereenih tapovaelinih konstrukcija ( eT R= ), gdje su granina vitkost, vitkost tapa i minimalnipolumjer tromosti poprenog presjeka:

P

P

E

= ; o

min

l

i= ; minmin

Ii

A= .

1. Eulerov izraz:

2

2kr

E

= , koji se koristi u podruju vitkosti tapa: P ,

2. Euler - Johnsonova jednadba:

2

2kr

E= u podruju vitkosti tapa P ,

i

=

2

PPTTkr )(

u podruju P .

3. Parabolina jednadba:

=

=

2

v

TT

2

Tkr 4

44

4

E.

gdje je granina vitkost tapa kod nosive

eline konstrukcije:

T

v

E

= .

4. Rankineova jednadba:

2

v

T

T

2

Tkr

11

+

=

+

=

E

.

Dijagrami na slici su izraunati za vrijednosti naprezanja elika za nosivekonstrukcije 0561, prema gornjim izrazima.


10/11

11. IZVIJANJE 10

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 50 100 150 200 250

1. Eulerov izraz 2. Euler-Johnsonova jednadba3. Parabolina jednadba 4. Rankineova jednadba5. Tetmajerov izraz

Kritinonaprezanjeizvijan

ja,kr,

MPa

Vitkost tapaT P

11.4. - postupak

Pri proraunu elinih i drvenih konstrukcija esto se rabi stariji postupakprorauna na izvijanje, tzv. postupak.Uz pretpostavku da je const.=E , uvoenjem faktora proraun na izvijanjesvodi se na proraun tlanog optereenja. Da bi se tap osigurao protivizvijanja, uzima se da je tap optereen silom koja je puta vea od stvarne,tj. vrijedi izraz:

dop

=A

F,

gdje je doputeno tlano naprezanje: SR /edop= .

Faktor sigurnosti na izvijanjekod prorauna elinih tapova je:

)5,3(5,25,1 =S .

Za manje vitkosti tapa uzimaju se nie vrijednosti faktora sigurnosti S.

Faktor ima to veu vrijednost to je vei , a njegove vrijednosti daju se utablicama u tehnikim prirunicima u ovisnosti o vitkosti i materijalu tapa.


11/11

11. IZVIJANJE 11

Npr. za neke konstrukcijske elike i drvo vrijednosti faktora su:

40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 250

0361 1,14 1,30 1,55 1,90 2,43 3,31 4,32 5,47 6,75 8,17 10,55

0561 1,19 1,41 1,79 2,53 3,65 4,96 6,48 8,21 10,13 12,26 15,83drvo 1,26 1,62 2,20 3,00 4,32 5,88 7,68 9,72 12,00 14,52 18,75

Primjeri ispitivanja tlano optereenih tapova na konstrukcijama u praksi.

Primjer iz Vjebenice!

izvijanje-štapa

Documents