tehniČka mehanika - znrfak.ni.ac.rs godina... · aksijalno naprezanje je slučaj naprezanja kada...
TRANSCRIPT
UNIVERZITET U NIŠU
FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU
TEHNIČKA MEHANIKA - PREZENTACIJA PREDAVANJA -
Dr Darko Mihajlov, doc.
- 10. PREDAVANJE -
OTPORNOST MATERIJALA
1. ČAS
AKSIJALNO NAPREZANJE:
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju aksijalno napregnutog štapa;
Određivanje unutrašnjih sila aksijalno napregnutog štapa;
Napon u poprečnom preseku aksijalno napregnutog štapa;
Naponi u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa;
Deformacija aksijalno napregnutog štapa;
Veze između napona i deformacije u slučaju aksijalno napregnutog štapa;
Hukov zakon u slučaju aksijalno napregnutog štapa;
OTPORNOST MATERIJALA
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
2. ČAS
RAVNO NAPREZANJE:
Osnovni pojmovi i pretpostavke u slučaju ravnog naprezanja;
Stav o konjugovanosti tangencijalnih napona;
Naponi u kosom preseku pri ravnom naprezanju;
Glavne ravni i glavni naponi;
Glavni naponi u opštem slučaju ravnog naprezanja;
Pojam čistog smicanja;
Naponi kod čistog smicanja;
Deformacija usled čistog smicanja;
Dimenzionisanje usled smicanja;
Aksijalno naprezanje je slučaj naprezanja kada na oba kraja štapa dejstvuju
sistemi spoljašnjih sila, od kojih se svaki svodi na rezultantu koja dejstvuje
u pravcu ose štapa.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Osnovni pojmovi i pretpostavke
U zavisnosi od smera ovih sila, štap je zategnut ili pritisnut:
Sile koje dejstvuju na krajevima štapa moraju da budu u ravnoteži: 0, FF
U slučaju aksijalnog naprezanja, u poprečnom preseku štapa je normalna
sila različita od nule, a ostale komponente unutrašnjih sila su jednake nuli:
0 ; 0.N T M
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Određivanje unutrašnjih sila aksijalno napregnutog štapa (1/2)
Aksijalno napregnut štap se preseče na delove I i II nekom ravni α-α koja je
upravna na osu štapa:
Ukloni se deo II i njegov uticaj na odsečeni deo I se zameni silom N:
I
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Određivanje unutrašnjih sila aksijalno napregnutog štapa (2/2)
Normalna sila se smatra pozitivnom ako izaziva zatezanje (dejstvuje od
preseka), a negativnom ako izaziva pritisak (dejstvuje ka preseku).
Unutrašnja normalna sila N se određuje
postavljanjem uslova ravnoteže zbira
spoljašnjih sila i unutrašnje sile u pravcu
x-ose:
0: - 0X F N N F
Unutrašnja sila N jednaka je sili spoljašnjeg opterećenja F.
I
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Napon u poprečnom preseku (1/2)
Po Aksiomi (A6) o jednakosti dejstva i protivdejstva, unutrašnje sile u
preseku α-α dela I jednake su unutrašnjim silama u preseku α-α dela II.
Normalni napon u poprečnom preseku aksijalno napregnutog štapa se
određuje primenom Metode preseka.
dN dAI
Na beskonačno malu površinu dA
dejstvuje elementarna unutrašnja sila :
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Napon u poprečnom preseku (2/2)
Ukupna unutrašnja sila N jednaka je integralu po površini poprečnog
preseka štapa elementarne unutrašne sile :
A A
N dA dA A
σ = const. prema Bernulijevoj hipotezi.
2
N = Pa
A m
N F N F
N A A
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Naponi u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa (1/2)
Za određivanje napona u kosom preseku štapa se koristi Metoda preseka.
2: 0 0 ;cos cos cosn x n x
n N dA dA
: 0 0 ;cos sin sin cosn x n x
t T dA dA
Uslovi ravnoteže za izdvojeni element abc štapa:
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Naponi u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa (2/2)
2cos0coscos 0 xnxn dAdAN
cossin0sincos0 xnxn dAdAT
Naponsko stanje u bilo kojoj
tački štapa za različite pravce
koji su određeni uglom α.
2 1 cos 2cos 1 cos 2
2 2
xn
sin2 2sin cos sin 22
xn
0 ;
0
n x
n
F
A
0;
2 0
n
n
2;
4
2
xn
xn
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Deformacija aksijalno napregnutog štapa (1/4)
Apsolutna promena dužine
Apsolutna
promena dimenzije
poprečnog preseka
Apsolutna promena dužine štapa jednaka je razlici dužine štapa posle
deformacije i prvobitne dužine štapa. Može da bude pozitivna ili negativna
u zavisnosti od smera dejstva spoljašnjih sila:
lll 1
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Deformacija aksijalno napregnutog štapa (2/4)
Relativna promena dužine štapa jednaka je količniku apsolutne promene
dužine i prvobitne dužine štapa i zove se dilatacija:
Apsolutna promena dužine
Apsolutna
promena dimenzije
poprečnog preseka
l
ll
l
l 1
Dilatacija je neimenovan broj i predstavlja podužnu (uzdužnu) dilataciju.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Deformacija aksijalno napregnutog štapa (3/4)
Poprečna dilatacija predstavlja relativnu promenu karakteristične dimenzije
poprečnog preseka štapa i jednaka je količniku apsolutne promene
karakteristične dimenzije poprečnog preseka štapa i prvobitne
karakteristične dimenzije:
Apsolutna promena dužine
Apsolutna
promena dimenzije
poprečnog preseka
a
aa
a
ap
1
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Deformacija aksijalno napregnutog štapa (4/4)
Podužnu i poprečnu dilataciju povezuje Poasonov zakon :
Apsolutna promena dužine
Apsolutna
promena dimenzije
poprečnog preseka
p
Podužna i poprečna dilatacija su uvek različitog znaka, proporcionalne su,
a koeficijent proporcionalnosti μ zavisi od vrste materijala i određuje se
eksperimentalno.
Poasonov koeficijent, 0 < μ < 1/2
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Veze između napona i deformacije (1/13)
Jednačine koje opisuju ponašanje svakog materijala pod dejstvom
spoljašnjeg opterećenja, tj. na izvestan način opisuju njegov sastav
(konstituciju), nazivaju se konstitutivne jednačine.
Konstitutivne jednačine uspostavljaju vezu između veličina koje određuju
stanje napona i odgovarajućih veličina koje određuju stanje deformacija u
proizvoljnoj tački tela.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Veze između napona i deformacije (2/13)
Projektovanje konstrukcija tako da budu trajne i adekvatno funkcionišu,
zahteva poznavanje ponašanja materijala od koga su napravljene.
Jedini način da se odredi kako se materijal ponaša pod dejstvom
opterećenja je izvođenje eksperimenta u laboratoriji.
Uobičajen postupak je da se mali element od nekog materijala postavi u
odgovarajuću mašinu, nanese opterećenje i zatim mere deformacije, kao
što su na primer promena dužine i promena prečnika.
Najznačajnije je ispitivanje na zatezanje ili pritisak. Mada se iz ovakvog
ispitivanja mogu odrediti mnoge važne mehaničke karakteristike materijala,
ono se prvenstveno koristi za određivanje veze između normalnog napona i
dilatacije kod mnogih materijala kao što su metali, keramika, polimeri i
kompoziti.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Veze između napona i deformacije (3/13)
Test istezanja štapa
Eksperiment koji daje osnovne podatke o ponašanju materijala je
test istezanja štapa, tj. epruvete specijalnog oblika koja se isteže u
mašini za istezanje (kidalici).
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Veze između napona i deformacije (4/13)
Test istezanja štapa
Mašina za test
zatezanja sa
automatskim
beleženjem
izmerenih podataka
Eksperiment
zatezanja
čelične epruvete
Tipična čelična
epruveta sa
ekstenzometrom
koji meri
izduženje
Test na pritisak
epruvete od kamena
za dobijanje
čvrstoće na pritisak,
modula elastičnosti
i Poasonovog koef.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Veze između napona i deformacije (5/13)
Dijagram sila – izduženje (deformacija)
za meki čelik
Dijagram sila – izduženje (deformacija)
za razne materijale
Test istezanja štapa
k
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Veze između napona i deformacije (6/13)
Dijagram napon – dilatacija
za meki čelik
Test istezanja štapa
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Veze između napona i deformacije (7/13)
Radni dijagram materijala
P – granica proporcionalnosti;
E – granica elastičnosti;
T1 (TG) – gornja granica tečenja;
T2 (TD) – donja granica tečenja;
M – jačina materijala (maksimalna čvrstoća);
S – tačka loma;
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Veze između napona i deformacije (8/13)
Granica proporcionalnosti – P : Materijal se do
tačke P rasteže srazmerno opterećenju. Za
određeni porast sile F, proporcionalno će porasti
i produženje Δl.
Sve deformacije materijala u ovom području su
elastične.
Epruveta se po prestanku opterećenja vraća na početnu dužinu l, a
apsolutna produženja Δl su vrlo mala.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Veze između napona i deformacije (9/13)
Granica elastičnosti – E : Epruveta se
prekoračenjem ove tačke više ne vraća na početnu
dužinu l, već ostaje za određenu vrednost duža, pa
će epruveta trajno promeniti oblik i dimenzije.
Tačku E je vrlo teško odrediti, zbog čega je
dovoljno poznavati tehničku granicu elastičnosti -
naprezanje pri kojem nastaju trajne deformacije 0,01% do 0,05% u odnosu
na prvobitnu dužinu epruvete l. Granica elastičnosti je najvažnija osobina
konstrukcijskih materijala, jer je to krajnja granica do koje se smeju
opteretiti delovi konstrukcije. Razmak tačaka P i E je manji što je materijal
bolji, a jako je izražen samo kod mekog čelika.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Veze između napona i deformacije (10/13)
Gornja T1 i donja granica plastičnog tečenja T2 :
Iznad granice elastičnosti produženja i dalje rastu,
ali više nisu srazmerna sili.
Kod čelika i nekih legura dolazi do naglog pada
napona posle tačke T1 (TG), a zatim do povećanja
deformacija bez povećanja napona (deo T2T3) kada
telo prestaje da pruža bilo kakav otpor, kao da materijal teče. Kod mekog
čelika u zoni tečenja produženja rastu i uz pad sile. To je zona velikih i
trajnih deformacija. Na materijalu se golim okom mogu uočiti kose crte -
sitne pukotine, tzv. Ludersove crte.
Granica tečenja se u slučaju zatezanja naziva još i granica razvlačenja ili
granica velikih izduženja, a u slučaju pritiska granica gnječenja.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Veze između napona i deformacije (11/13)
Kraj zone tečenja ili popuštanja je u tački T3 , koja
je za meki čelik jasno izražena porastom sile. Za
one materijale gde ta granica nije jasna određena,
donja granica tečenja je određena onim
naprezanjem pri kojem nastaje trajno produženje
od 0,2% prvobitne dužine štapa. Ovo naprezanje
nosi oznaku σ0,2 i naziva se granica razvlačenja.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Veze između napona i deformacije (12/13)
Jačina materijala (maksimalna čvrstoća) – M :
Od tačke T3 pa sve do tačke M dilatacija
(produženje) nastavlja da raste sa porastom
napona (sile). Sila F dostiže u tački M svoju
najveću vrednost FM . Maksimalna sila FM
podeljena s prvobitnom površinom preseka
epruvete A daje zateznu (maksimalnu) čvrstoću
ili jačinu materijala koja se označava sa σM . Iako epruveta još nije fizički
slomljena, suženje (kontrakcija) njenog tela je izraženo, pa sile (a time i
naponi) za njene dalje deformacije opadaju.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Veze između napona i deformacije (13/13)
Tačka loma – S : Posle tačke M
dolazi do daljeg izduženja epruvete
uz pad sile. Ta izduženja imaju
lokalni karakter i događaju se samo
u zoni suženja, gde je površina
preseka najmanja, sve dok se
materijal konačno ne razdvoji. Krti materijali nemaju zonu MS
ili područje klonulosti. Kod njih nema pojave suženja
epruvete, a lom materijala se događa pri vrlo malim
deformacijama.
Napon koji odgovara tački S se naziva napon pri lomu σS.
F
F
Zona
suženja
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Hukov zakon u slučaju aksijalno
napregnutog štapa (1/4)
Robert Huk (Robert Hooke, 1635 - 1703.) je
formulisao zakon o proporcionalnosti
između sile i deformacije.
Na osnovu ispitivanja probnih epruveta na
mašinama na zatezanje - kidalicama,
utvrđena je proporcionalnost između
spoljašnje sile i apsolutne promene dužine
(deformacije) epruvete u oblasti do granice
proporcionalnosti.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Hukov zakon u slučaju aksijalno napregnutog štapa (2/4)
Prema savremenoj formulaciji Hukovog zakona, proporcionalnost se
uspostavlja između napona i dilatacije:
gde E predstavlja koeficijent proporcionalnosti i naziva se modul
elastičnosti ili Jungov modul. Ima dimenziju napona (jedinica: N/m2).
E
U dijagramu napona i dilatacije, modul
elastičnosti materijala predstavlja tangens
ugla između početnog dela linije dijagrama i
ose .
Modul elestičnosti je karakteristika
pojedinih vrsta materijala u određenim
uslovima.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Hukov zakon u slučaju aksijalno napregnutog štapa (3/4)
Ako se u jednačini uzme da je , tada je
pa se modul elastičnosti E može interpretirati kao napon koji udvostručuje
početnu dužinu epruvete.
E
Na primer, za čelik je E = 210 [GPa], dok je
napon na granici tečenja σT = 240 [MPa].
1
1 1; 1 2 ,
lE l l l l l l
l
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Hukov zakon u slučaju aksijalno napregnutog štapa (4/4)
Relacija predstavlja prvi oblik Hukovog zakona koji glasi:
Napon je linearna funkcija dilatacije.
E
- krutost štapa pri aksijalnom naprezanju
(aksijalna krutost štapa)
,F l F l
EA l A
F Fl l
ll
EA U
Drugi oblik
Hukovog zakona
EAU
Izduženje štapa je proporcionalno sa normalnom silom N (N = F) i dužinom
grede l, a obrnuto proporcionalno sa veličinom EA - aksijalnom krutošću
štapa.
Ovo važi samo ako su površina poprečnog preseka A i normalna sila N
konstantni po celoj dužini štapa.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Proračun elemenata opterećenih na aksijalno naprezanje (1/2)
U inženjerskoj praksi je potrebno rešiti zadatke provere napona, nosivosti,
ili odrediti površinu poprečnog preseka elementa opterećenog na aksijalno
naprezanje.
Provera napona se vrši poređenjem stvarnog napona sa dozvoljenim
naponom na aksijalno naprezanje (zatezanje ili pritisak).
Vrednost stvarnog napona ne sme da prekorači vrednost dozvoljenog
napona. Stvarni napon se sračunava kao količnik sile i površine poprečnog
preseka.
Dozvoljeni napon zavisi od vrste materijala i njegova vrednost se uzima iz
tablica koje su sačinjene na osnovu eksperimentalnih rezultata.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
AKSIJALNO NAPREZANJE
Proračun elemenata opterećenih na aksijalno naprezanje (2/2)
Nosivost podrazumeva maksimalnu aksijalnu silu opterećenja koja ne bi
izazvala plastičnu deformaciju elementa. Ova sila se određuje kao proizvod
dozvoljenog napona na aksijalno naprezanje (zatezanje ili pritisak) i
površine poprečnog preseka.
Površina poprečnog preseka (dimenzija poprečnog preseka) se određuje
postupkom dimenzionisanja, što podrazumeva računanje površine kao
količnika aksijalne sile i dozvoljenog napona na aksijalno naprezanje
(zatezanje ili pritisak).
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE
Tanka ploča, proizvoljne konture, konstantne
debljine , napregnuta je samo silama koje
dejstvuju duž konture. Rezultante opterećenja se
nalaze u srednjoj ravni koja polovi debljinu ploče.
Na osnovama ploče, z = /2, nema opterećenja i
je malo. Može se pretpostaviti da su u ravnima
koje su paralelne osnovama ploče naponi jednaki
nuli, da postoje samo komponentni naponi u
ravnima upravnim na srednju ravan ploče i da oni
ne zavise od koordinate z, već samo od
koordinata x i y. Takav slučaj naprezanja se
naziva ravno (ravansko) naprezanje.
Osnovni pojmovi i pretpostavke (1/3)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE
Ravno (ravansko) naprezanje nastaje kada je
tanka ploča, proizvoljne konture, konstantne
debljine , napregnuta samo silama koje
dejstvuju duž konture i čije se rezultante nalaze u
srednjoj ravni ploče.
Mnoge konstrukcije imaju sastavne elemente u
obliku tankih ploča koje su opterećene u pravcu
svoje srednje ravni. Kao primer se mogu navesti
delovi transportnih sredstava ili rezervoari za
skladištenje gasova i tečnosti. Kod njih nastaje
ravno naprezanje koje se definiše naponskim
stanjem u ma kojoj tački srednje ravni ploče.
Osnovni pojmovi i pretpostavke (2/3)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE
U svakoj tački srednje ravni ploče je moguće
postaviti bezbroj ravni preseka.
U zavisnosti od ravni preseka, u posmatranoj
tački (K) se pod uticajem opterećenja javlja
ukupni napon koji se može razložiti na
komponentne napone, i to: (normalni) i
Osnovni pojmovi i pretpostavke (3/3)
(tangencijalni). Veličine komponentnih napona zavise od preseka kroz
datu tačku elementa. Kada su poznate veličine komponentnih napona u svim
mogućim ravnima, onda je poznato naponsko stanje u toj tački (K).
U slučaju ravnog naprezanja, kroz datu tačku (K) je moguće konstruisati
samo jednu ravan u kojoj je ukupni napon jednak nuli (veličine
komponentnih napona su jednake nuli u ravni paralelnoj ravni 0xy).
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE
Posmatra se jedan kontrukcijski element u obliku
ravne ploče male debljine, opterećen proizvoljnim
silama po konturi. Neka su rezultante tih sila u
srednjoj ravni ploče.
Stav o konjugovanosti tangencijalnih napona (1/4)
Metodom preseka se iz napregnute ploče u
proizvoljnoj tački, pomoću dva para paralelnih
ravni sa koordinatnim osama, izdvoji elementarna
prizma abcd debljine , stranica dx i dy. b
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE
Uticaj odbačenog dela ploče na elementarnu prizmu se nadoknadi
unutrašnjim površinskim silama.
Stav o konjugovanosti tangencijalnih napona (2/4)
Kvadratna elementarna prizma, komponentni naponi i unutrašnje sile
b
b
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE
Momentna jednačina ravnoteže, na primer za momentnu tačku A, kroz koju
prolaze napadne linije svih sila koje dejstvuju u pravcima normala na
posmatrane bočne površine elementarne prizme, ima jednostavan izraz i
zavisi samo od sila koje dejstvuju u samim ravnima preseka, a obrazuju dva
sprega sila: .
Stav o konjugovanosti tangencijalnih napona (3/4)
0dxdydydxM yxxyA
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE
Iz momentne jednačine ravnoteže
se zaključuje sledeće:
Tangencijalni naponi, koji dejstvuju na dve
uzajamno upravne beskonačno male ravni,
jednaki su i imaju smer ka liniji preseka te dve
ravni ili od njih:
Stav o konjugovanosti tangencijalnih napona (4/4)
0A xy yx
M
0dxdydydxM yxxyA
Ovo svojstvo je u Otpornosti materijala poznato kao stav o konjugovanosti
tangencijalnih napona.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE
Za određivanje napona u kosom preseku se primenjuje Metoda preseka:
izdvoji se trostrana elementarna prizma i zameni uticaj uklonjenog dela ploče
na izdvojeni deo unutrašnjim silama.
Naponi u kosom preseku pri ravnom naprezanju (1/3)
Trostrana elementarna prizma, komponentni naponi i unutrašnje sile u poprečnom,
uzdužnom i kosom preseku
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE
Jednačine ravnoteže (algebarski zbirovi projekcija svih sila na pravac
normale i na pravac tangente):
2 2
n
2 2
n
(1) cos sin cos sin cos sin 0
(2) cos sin sin cos cos sin 0
x y
x y
N dA dA dA dA dA
T dA dA dA dA dA
2 2
2 2
(1) cos sin 2 cos sin
(2) sin cos cos sin
n x y
n x y
Naponi u kosom preseku pri ravnom naprezanju (2/3)
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE
Naponi u kosom preseku pri ravnom naprezanju (3/3)
2
2
2 2
1cos cos 2 1 ;
2
1sin 1 cos 2 ;
2
2sin cos sin2 ;
cos sin cos 2 ;
2 2
2 2
cos sin 2 cos sin
sin cos cos sin
n x y
n x y
n
cos 2 sin 2 ;2 2
sin 2 cos 2 ;2
x y x y
n
x y
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE
Glavne ravni i glavni naponi
Ravni za koje su tangencijalni naponi jednaki nuli nazivaju se glavne ravni.
Normalni naponi koji dejstvuju na te ravni nazivaju se glavni naponi.
U svakoj tački napregnutog tela može da se
izdvoji elementarni paralelopiped čije su ravni
glavne ravni, a na koje dejstvuju glavni naponi
u tri uzajamno upravna pravca:
321
Glavne ravni i glavni naponi
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE
Glavni naponi u opštem slučaju ravnog naprezanja (1/5)
Glavni naponi ( ) su ekstremne vrednosti normalnog napona u
posmatranoj tački, a ravni na koje oni dejstvuju su glavne ravni.
max min ,
Uslovi ekstremuma:
cos 2 sin 2 ;2 2
x y x y
n
0;n
i
d
d
2 sin 2 cos 2 0;2
n
x yn
i
i
d
d
2 0;nn i
i
d
d
U glavnim ravnima je tangencijalni napon jednak nuli.
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE
Glavni naponi u opštem slučaju ravnog naprezanja (2/5)
Iz uslova ekstremuma ,
sledi:
2 sin 2 cos 2 02
n
x yn
i
i
d
d
i
2tg2
x y
Ova jednačina ima beskonačno mnogo rešenja. Ovde su bitna prva dva:
i ,
jer se ostala poklapaju sa prethodnim zbog periodičnosti funkcije .
1 2 12
2 12
n
U svakoj tački ploče, za slučaj ravnog naprezanja, postoje dve međusobno
upravne ravni za koje su tangencijalni naponi jednaki nuli, a normalni naponi
imaju ekstremne vrednosti - glavne napone: i . 1 max
2 min
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE
Glavni naponi u opštem slučaju ravnog naprezanja (3/5)
Izrazi za glavne napone se sračunavaju primenom relacije
na relacije: i
i
2tg2
x y
uz pomoć trigonometrijskih transformacija:
n
cos 2 sin 22 2
sin 2 cos 22
x y x y
n
x y
2 2
tg2 1sin2 ; cos2 .
1 tg 2 1 tg 2
2 2
2 2
2sin 2 ; cos2
4 4
x y
i i
x y x y
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE
Glavni naponi u opštem slučaju ravnog naprezanja (4/5)
1,2 cos 2 sin 2 ;2 2
x y x y
i i
1,2
2 22 2
2;
2 24 4
x yx y x y
x y x y
2
2
1,2
14 ;
2 2
x y
x y
2
2
1 max
14 ;
2 2
x y
x y
22
2 min
14 ;
2 2
x y
x y
1 2 ;x y 1 2 0.n Zbir glavnih napona jednak je zbiru normalnih
napona za bilo koja dva upravna pravca. Prva invarijanta
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE
Glavni naponi u opštem slučaju ravnog naprezanja (5/5)
Određivanje ravni u kojima tangencijalni naponi imaju ekstremne vrednosti
vrši se na analogan način, tj. iz uslova ekstremuma izraza za tangencijalni
napon. Vrednosti najvećih tangencijalnih napona su:
2
2
, 1 2
1 14
2 2I II x y
Vrednosti normalnih napona u tim ravnima su:
, 1 2
1
2 2
x y
I II
Ravni najvećih tangencijalnih napona nalaze se pod uglom od 45o u odnosu
na ravni najvećih normalnih napona (glavne ravni).
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE – ČISTO SMICANJE
Pojam čistog smicanja
Ravno naprezanje, pri kome na
ortogonalnim stranama elementarnog
paralelopipeda dejstvuju samo
tangencijalni naponi naziva se
čisto smicanje.
Pri ovom naponskom stanju se menjaju uglovi između stranica, dok se
dužine stranica ne menjaju.
Pri čistom smicanju se svaka stranica paralelograma pomeri u odnosi na njoj
paralelnu stranicu za malu veličinu AA’ koja se naziva apsolutno smicanje i
meri se dužinskim jedinicama. Odnos apsolutnog smicanja AA’ prema
rastojanju a između paralelnih stranica se naziva relativno smicanje, koje je
pri malim deformacijama jednako uglu klizanja , a meri se radijanima.
AA
tga
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE – ČISTO SMICANJE
Naponi kod čistog smicanja (1/2)
Posmatra se tanka ploča pravougaonog
oblika, debljine , zategnuta u pravcu
ose x i pritisnuta u pravcu ose y
jednolikim opterećenjem p po jedinici
površine. Pretpostavlja se da su sile
upravne na konturu ploče.
Iz te ploče se iseče ploča kvadratnog
oblika abcd, čije su stranice paralelne
stranicama prvobitne ploče.
Na stranicama ploče abcd dejstvuju
samo normalni naponi:
; .x yp p
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE – ČISTO SMICANJE
Naponi kod čistog smicanja (2/2)
Iz kvadratne ploče abcd se iseče druga
kvadratna ploča ABCD i trougaona ploča BbC.
Primenom Metode preseka, iz jednačina
ravnoteže za sile koje napadaju trougaonu ploču
BbC, određuju se vrednosti komponentnih
napona u ravnima pod uglom /4:
2 2 20
2 2 2 2 2
2 2
0
20
2 2 2 2 2
n
n
n
n
l l lN p p
T pl l l
p p
Kvadratna ploča ABCD je napregnuta na čisto
smicanje, njene bočne strane su opterećene
silama u samim stranama, tj. nema sila u
pravcima normala na bočne strane.
Ukupna deformacija se određuje primenom principa superpozicije,
sabiranjem pojedinačnih deformacija koje nastaju usled pojedinačnih
naponskih stanja: i .
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE – ČISTO SMICANJE
Deformacija usled čistog smicanja (1/7)
Za određivanje deformacije usled čistog smicanja, najpre se posmatra
deformacija kvadratne ploče abcd.
Dato naponsko stanje se razloži u dva naponska stanja.
x p y p
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE – ČISTO SMICANJE
Deformacija usled čistog smicanja (2/7)
Pricip superpozicije podrazu-
meva sabiranje deformacija u
pravcima x i y ose na sledeći
način:
' " :x x x ' " :y y y
' ;xx
p
E E
" ;
y
x
p
E E
' ;xy
p
E E
" ;
y
y
p
E E
E
pyx 1
1x y
pll l l
E
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE – ČISTO SMICANJE
Deformacija usled čistog smicanja (3/7)
Deformacija prizme ABCD, koja je
napregnuta na čisto smicanje,
nastaje tako što se pravi uglovi
BAD i BCD smanjuju za malu
veličinu ugla , dok se pravi uglovi
ABC i ADC povećavaju za istu
veličinu ugla . Ova promena
prvobitno pravog ugla se naziva
klizanje ili smicanje i obeležava se
sa .
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE – ČISTO SMICANJE
Deformacija usled čistog smicanja (4/7)
12 2tg ; (1 )4 2 1
2 2
l lOB l l
l l l lOA
sin 14 2 2tg 4 2 1cos 2
4 2
122 ; tg ; (2 )2 2 2
12
tg
tg
2 1(1 ) (2 ) ; (3
12 )
2
Nastavak
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE – ČISTO SMICANJE
Deformacija usled čistog smicanja (5/7)
1 ; (4 ) p
E
2 1(4 ) (3 ) ; (5 )
p
E
; (6 )p
(6 ) (5 ) ; (7 )
2 1
E G
; (8 )
2 1
EG
(7 ) ; (9 )G
; )2 (3
- Hukov zakon za slučaj smicanja
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE – ČISTO SMICANJE
Deformacija usled čistog smicanja (6/7)
Analiza izraza (1o) ÷ (9o):
Izraz (3o) pokazuje da je klizanje jednako dvostrukoj vrednosti dilatacije;
Izraz (4o) pokazuje vezu između normalnog napona i dilatacije;
Izraz (5o) pokazuje vezu između normalnog napona i klizanja;
Izraz (8o) pokazuje vezu između modula klizanja G, modula elastičnosti E i
Poasonovog koeficijenta μ. Ove veličine definišu elastična svojstva
izotropnih materijala i međusobno su zavisne. Dovoljno je da se
eksperimentom odrede dve, a treća se sračunava prema izrazu (8o).
Nastavak
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE – ČISTO SMICANJE
Deformacija usled čistog smicanja (7/7)
Analiza izraza (1o) ÷ (9o):
Izraz (9o) predstavlja Hukov zakon za slučaj smicanja i izražava linearnu
zavisnost između klizanja i tangencijalnog napona.
Ovaj zakon važi do granice proporcionalnosti.
Koeficijent proporcionalnosti G se naziva modul klizanja. To je fizička
konstanta materijala koja određuje krutost pri smicanju (smicajnu
krutost), ima dimenziju napona kao i modul elastičnosti E, i meri se
uglavnom u [kN/cm2] .
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
RAVNO NAPREZANJE – ČISTO SMICANJE
Dimenzionisanje usled smicanja
Dimenzionisanje usled smicanja se vrši na osnovu pretpostavke da je napon
jednoliko raspoređen po poprečnom preseku, primenom izraza
gde je A tražena dimenzija poprečnog preseka, F sila opterećenja u samoj
ravni preseka i dozvoljeni napon pri smicanju, za koji se može približno
usvojiti da je .
Stvarna vrednost smičućeg napona ne sme biti veća od dozvoljene vrednosti.
dsA
F
ds
FA
0 8.de
ds
1. Objasniti opšte pojmove i pretpostavke u slučaju aksijalnog naprezanja.
2. Kako se sračunava normalni napon u poprečnom preseku aksijalno
napregnutog štapa?
3. Izvesti izraze za naponsko stanje u kosom preseku aksijalno
napregnutog štapa.
4. Objasniti deformaciju aksijalno napregnutog štapa.
5. Objasniti vezu između napona i deformacije aksijalno napregnutog štapa.
6. Napisati i objasniti dva oblika Hukovog zakona za slučaj aksijalnog
naprezanja.
Kontrolna pitanja 10
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA
7. Objasniti opšte pojmove i pretpostavke u slučaju ravnog naprezanja.
8. Dokazati stav o konjugovanosti tangencijalnih napona.
9. Komponentni naponi u kosom preseku u opštem slučaju ravnog
naprezanja.
10. Glavni naponi u opštem slučaju ravnog naprezanja.
11. Objasniti pojam čistog smicanja.
12. Objasniti napone kod čistog smicanja.
13. Izvesti izraz za deformaciju kvadratne ploče usled čistog smicanja i
nacrtati ploču pre i posle deformacije.
14. Napisati izraz za Hukov zakon u slučaju čistog smicanja i uporediti ga sa
odgovarajućim izrazom Hukovog zakona u slučaju aksijalnog naprezanja.
Kontrolna pitanja 10
TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.
OTPORNOST MATERIJALA