Problemi savijanja greda preko granice teenjaSAVIJANJESavijanje nastaje uslijed djelovanja momenata savijanja u poprenim presjecima tapa.Moment savijanja jedan je od elemenata koji karakteriziraju unutarnju napregnutost u poprenom presjeku tapa i to moment s obzirom na os koja lei u ravnini presjeka i prolazi kroz teite presjeka. Prema tome, moment savijanja djeluje u ravnim okomitoj na ravninu poprenog presjeka tapa.

Momenti savijanja mogu se pojaviti u poprenim presjecima uslijed djelovanja vanjskih sila, koje mogu biti proizvoljno rasporeene u odnosu na os tapa. To ne vrijedi za sile (kod prizmatinog tapa) ije se linije djelovanja poklapaju s osi tapa (uzduno ili aksijalno optereenje), ni za momente vanjskih sila ije ravnine djelovanja stoje okomito na tu os (momenti uvijanja). ISTO SAVIJANJE (SAVIJANJE SPREGOVIMA SILA)istim savijanjem nazivamo savijanje tapa ili njegovog dijela, ako se u poprenim presjecima pojavljuje samo moment savijanja

U analizi deformacija i naprezanja pri istom savijanju pretpostavlja se slijedee: Ravni popreni presjeci ostaju pri deformaciji tapa ravni i okomiti na savijenu os tapa (Bernoullieva hipoteza). Materijal tapa smatramo homogenim i izotropnim. Izmeu uzdunih vlakana nema nikakvog uzajamnog djelovanja sila. Normalna naprezanja proporcionalna su deformacijama (Hookeov zakon)Zamislimo li da smo na povrini elastinog tapa pravouglog presjeka prije deformacije ucrtali mreu uzdunih i poprenih linija dobili bismo nakon deformacije tapa ono to je prikazano ematski na, gdje se vidi da se poprene linije ne deformiraju, tj. one su okomite na uzduna vlakna tapa. To vrijedi nezavisno od oblika presjeka tapa. Na osnovu stupnja deformacije ucrtanih linija moe se izvesti zakljuak o deformacijama kako na povrini tapa, tako i u njegovoj unutarnjosti.Eksperimentalnim putem je ustanovljeno da se teorija savijanja, osnovana na ovim pretpostavkama, dobro slae sa stvarnou, ukoliko je rije o odreivanju naprezanja u uzdunim vlaknima ili o progibu tapa.

EKSPERIMENTALNI REZULTATI PRI ISTOM SAVIJANJU

Razmotrimo ponaanje materijala pri istom savijanju, prema slici. Od poetka optereenja do toke A moment savijanja M raste u zavisnosti od ugla po linearnom zakonu. Toka A odgovara granici proporcionalnosti materijala. Naprezanje u krajnjim tokama presjeka, primjerice simetrinog s obzirom na os z, odreeno je formulom:

Pri daljnjem poveanju ugla nastaje razvlaenje materijala. U poetku procesa razvlaenje se pojavljuje u tokama s najveim normalnim naprezanjem, tj. u krajnjim vlaknima. Zatim se razvlaenje iri u dubinu prema neutralnom sloju. Kada u svim takama presjeka, i to kako u rastegnutoj, tako i u sabijenoj zoni naprezanja dostignu granicu razvlaenja, moment savijanja u toku kraeg perioda vremena ostaje konstantan. U tom se sluaju, ako uzmemo presjek koji je nesimetrian s obzirom na os z, dijagram raspodjele normalnih naprezanja moe prikazati s pomou dva pravokutnika, prema slici. Na dijagramu savijanja razvlaenju materijala odgovara horizontalni dio krivulje u blizini take B.Poetak razvlaenja materijala tapa manifestira se pojavom Luedersovih linija na vanjskoj povrini tapa (osobito na poliranoj povrini). To su zapravo sitne naprsline, sline onima pri rastezanju tapa. Kod savijanja tapa te su linije obino nagnute pod uglom od 45 prema uzdunoj osi tapa i nastaju kao posljedica djelovanja najveih tangencijalnih naprezanja.

PRORAUN VRSTOE PRI SAVIJANJUVeinom se proraun grede optereene na savijanje vri prema najveem normalnom naprezanju koje se pojavljuje u poprenim presjecima. Pri tome mora biti zadovoljen uslov vrstoe:

RACIONALNI OBLICI PRESJEKA GREDE PRI ISTOM SAVIJANJUU proraunu grede treba nastojati da momenti otpora W1 i W2 imaju najveu moguu vrijednost pri najmanjoj povrini A presjeka, tj. pri najmanjoj teini grede. Pod tim uslovima imat emo najmanja naprezanja 1 i 2, jer su ona obrnuto proporcionalna vrijednostima W1 i W2. Poveanje momenta otpora zahtijeva da se povea moment inercije Iz, koji e biti to vei, to je vei dio povrine presjeka grede koncentriran na veoj udaljenosti od neutralne osi.

Odnos izmeu momenta otpora Wz nekog presjeka i idealnog momenta otpora Wi naziva se stepen iskoritenja presjeka:

to je oblik presjeka blii idealnom presjeku, to je vei . Njegova je vrijednost uvijek manja od 1, jer je za veinu taaka stvarnih presjeka:

Vrijednosti za neke najvanije oblike presjeka:Kruni presjek = 25%Pravokutni presjek = 33,3%Presjek I = 61 - 65%

OPTI SLUAJ SAVIJANJA (SAVIJANJE SILAMA)Pri prouavanju napregnutog stanja pretpostavljamo da smo redukcijom svih vanjskih sila koje djeluju na desni dio horizontalne grede pravouglog presjeka (prema slici), s obzirom na teite S presjeka na udaljenosti x od lijevog oslonca, dobili oba vektora diname, od kojih vektor rezultante ima samo vertikalnu komponentu Q (poprena sila), a vektor momenta redukcijskog sprega sila samo horizontalnu komponentu Ms (moment savijanja). Prema tome, osim momenta savijanja, koji izaziva normalna naprezanja , pojavit e se i tangencijalna naprezanja kao posljedica djelovanja poprene sile Q.

Za ovaj primjer optereenja prizmatinog tapa obino se uzimaju ove pretpostavke:a) progibe tapa smatramo malim,b) izmeu uzdunih vlakana tapa ne postoje nikakve unutarnje sile u pravcu normale na ta vlakna,c) normalna naprezanja uslijed momenta savijanja mijenjaju se po visini presjeka prema linearnom zakonu (Navierova hipoteza)

U poprenim presjecima grede djeluju tangencijalna naprezanja xy= uslijed poprene sile Q. U uzdunim presjecima elementa tangencijalna naprezanja xy jednaka su naprezanjima yx , jer djeluju u dvjema meusobno okomitim ravninama, tj.

S je statiki moment dijela povrine s obzirom na neutralnu os z:

Odredimo vrijednost S za pravougli presjek tapa:

Za pravougli popreni presjek tapa raspored tangencijalnih naprezanja, po uvrtenju prethodnih relacija, odreen je izrazom:

U granicama visine pravokutnog presjeka tangencijalna naprezanja mijenjaju po zakonu parabole. Ako je y = h/2 i y = h/2 naprezanja su jednaka nuli, a za y = O dobivaju maksimalnu vrijednost:

Ako stavimo da je i F = b h, nalazimo:

gdje je k = 3/2 koeficijent koji obuhvata nejednolikost raspodjele tangencijalnih naprezanja, a Q/F srednje tangencijalno naprezanje, koje dobivamo kad poprenu silu podijelimo s povrinom poprenog presjeka grede. Prema tome, najvee tangencijalno naprezanje pri savijanju je kod pravokuglog presjeka 1,5 puta vee od srednjeg naprezanja, koje bismo dobili pri jednolikoj raspodjeli tangencijalnih naprezanja po presjeku.

REZULTATI ISPITIVANJA MATERIJALA PRI SAVIJANJU SILAMAPostojanje tangencijalnih naprezanja u uzdunim presjecima tapa moe se najbolje pokazati s pomou paketa dasaka prema slici (a). Pri savijanju takvog tapa poprenim optereenjem P daske e se uzajamno pomaknuti kao to je pokazano na slici (b). U tapu iz jednog komada nema takvih pomaka, ali se zato u uzdunim presjecima pojavljuju tangencijalna naprezanja slike (c) i (d).

Tangencijalna naprezanja zavise od poprene sile Q, a po visini presjeka, raspodijeljena su po zakonu parabole. Ugaona deformacija zavisi i od sile Q i mijenja se po paraboli. U neutralnom sloju ona ima najveu vrijednost, dok je u krajnjim vlaknima jednaka nuli. Zbog nejednakosti raspodjele ugaonih deformacija po visini presjeka tapa nastaje iskrivljenje ili deplanacija presjeka, kao to je to pokazano na slici (d). Poprena sila Q = P konstantna du cijelog tapa, prouzroit e deplanaciju za sve presjeke jednako.Istovremeno s deplanacijom presjeka pojavljuje se pri savijanju tapa jo i uzajamni zakret presjeka zbog djelovanja momenta savijanja M. Pri jednakoj deplanaciji presjeka relativna produljenja uzdunih vlakana bit e proporcionalna udaljenosti y od neutralnog sloja. Normalna naprezanja u vlaknima koja su odreena Hookeovim zakonom, uz pretpostavku da je materijal homogen i izotropan, bit e takoer proporcionalna udaljenosti y. Na taj je nain potvrena ispravnost usvojene pretpostavke o linearnoj raspodjeli normalnih naprezanja zbog momenta savijanja (Navierova hipoteza).

DEFORMACIJE PRI SAVIJANJU

Iz slike imamo:

Kako u praksi imamo vrlo male deformacije (najvei progib u l, a tome odgovara najvei nagib tangente od 1), uzima se da su:ds = dx i = d ;

Ugao zakreta presjeka jednak je prvoj derivaciji po x progiba u promatranom presjeku. Prema tome, odreivanje deformacija grede pri savijanju svodi se na formuliranje jednadbe savijene osi grede u obliku y = y(x). Kada znamo tu jednadbu, moemo deriviranjem nai ugao nagiba tangente za bilo koji presjek grede.

Priblina diferencijalna jednadba elastine linije odreena je relacijama. Ako M zavisi samo od x (najee), onda dvostrukim integriranjem dobivamo jednadbu elastine linije y = f(x). Izrazi za elastinu liniju vrijede openito, bez obzira na nain oslanjanja grede, pod uvjetom da tangenta na elastinu liniju zatvara mali kut s osi x.

PLASTINO SAVIJANJE RAVNOG TAPA

ISTO SAVIJANJERazmotrimo najprije savijanje ravnog tapa sa konstantnim poprenim presjekom koji ima dvije ose simetrije y i z (slika).

Pretpostavit emo da momenat savijanja djeluje u ravni simetrije x,z tako da osa y bude neutralna. Pretpostavimo da je materijal homogen,izotropan i idealno elastoplastian. Pri istom savijanju tapa do i preko granice elastinosti, popreni presjeci se aokreu oko neutralne ose i ostaju ravni zbog simetrije optereenja io deformacija. Hipoteza ravnih presjeka u teoriji savijanja ravnih tapova ima isto geometrijski karakter i ne ovisi o svojstvima materijala. Duinska deformacija u nekoj toki presjeka data je izrazom gdje je polumjer zakrivljenosti elastine linije tapa.Pri savijanje greda preko granice elastinost pretpostavljamo da se uzduna vlakna nalaze u jednoosnom stanju naprezanja.U elastinom stadiju se normalna naprezanja u presjeku mijenjaju po linearnom zakonu(slika pod c)

Gdje je Iy moment tromosti poprenog presjeka s obzirom na neutralnu osu y. Najvee naprezanje se javlja u rubnim dijelovima presjeka i sato je izrazom

Gdje je Wy moment otpora poprenog presjeka u elastinom stadiju savijanja grede.Plastine deformacije u gredi e se pojaviti u poprenom presjeku kada najvee naprezanje max dosegne granicu teenja t. Pri tome je granini moment savijanja u elastinom stadiju Za M0 i sin z=-1 za z