grad.hrgrad.hr/nastava/nmk/modeliranje generacija 2007... · web view4.proraČun matrice krutosti...

GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTA U ZAGREBU

4. PRORAČUN MATRICE KRUTOSTI ŠTAPA DISKONTINUIRANO PROMJENJIVOG PRESJEKA

Proračun pomaka za obostrano upetu gredu primjenom metode sila

Slika 4. Proračun pomaka za obostrano upetu gredu primjenom metode sila.

Proračun dijagrama za jedinično opterećenje x1

Slika 5. Proračun dijagrama za jedinično opterećenje x1.

5






Proračun pomaka u smjeru jedinične x2 od jedinične sile x2

6


Slika 8. Proračun pomaka u smjeru jedinične x2 od jedinične sile x2

LL= L−x

y1⇒ y1=L−x

LL=

12∗x+L−x

y2⇒ y2=

12∗x+ L−x=−1

2∗x+L

LL=

23∗x+L−x

y3⇒ y3=

23∗x+L−x=−1

3∗x+L

LL=

23(L−x)

y4⇒ y4=

23(L−x )

δ 22=[ x∗(L−(L−x ) )∗1

2 ∗(−13 ∗x+L)+(L−x )∗x∗(−12 ∗x+L)]∗1n∗EI

+(L−x )

+(L−x )∗(L−x )∗12

∗( 23∗(L−x ))∗1EI

Proračun kuta zaokreta u smjeru jediničnog momenta x3 od jediničnog momenta x3

δ 33=x∗1∗1∗1n∗EI

+(L−x )∗1∗1∗1

EI

δ 33=x∗1n∗EI

+(L−x )∗1EI

Proračun pomaka u smjeru jedinične sile x1 od jedinične sile x1

δ 11=x∗1n∗EA

+(L−x )∗1EA


δ 12=0

Proračun pomaka u smjeru jedinične sile x1 od jediničnog momenta x3

δ 13=0


7


δ 21=0

Proračun pomaka u smjeru jedinične sile x2 od jediničnog momenta x3

Slika 9. Proračun pomaka u smjeru jedinične sile x2 od jediničnog momenta x3

y1=L−x

y2=−12

∗x+L

y3=−13

∗x+L

y4=23(L−x)

δ 23=−[ (L−(L−x ) )∗x∗1

2 ∗1]∗1n∗EI

−[ (L−x )∗x∗1

2∗1]∗1

n∗EI

−[ (L−x )∗(L−x )∗12 ]∗1EI

Proračun kuta zaokreta u smjeru jediničnog momenta x3 od jedinične sile x2

δ 32=δ 23

Odnos između sile na krajevnima i pomaka na krajevima

D=[δ 11 δ12 δ13δ 21 δ22 δ23δ 31 δ32 δ33 ]

8


D=[x

mEA +(L−x )EA 0 0

0

L3

3−L2 x+ Lx2− x

3

3EI

+L2 x−Lx2+ x

3

3nEI

−(L−x )2

2 EI+x (−2L+x )2nEI

0 −(L−x )2

2EI+x (−2L+x )2nEI

L−xEI

+ xnEI

]D [ x1x2x3]+[ uij

wij−φijφij

L]=[ u jiw ji

φ ji ][ x1x2x3]=D−1[ u ji−uij

w ji−wij+φij Lφ ji−φij ]

9


D−1=[1

L−xEA

+ xmEA

0 0

0

L−xEI

+ xnEI

L4

12 (EI )2− L3

3 (EI )2+ L3x3n (EI )2

+ L2 x2

2 (EI )2− L2 x2

2n (EI )2− L x3

3 (EI )2+ Lx3

3n (EI )2+ x4

12 (EI )2+ x4

12n2 (EI )2− x4

6 (EI )2

−− (L−x )2

2 EI+ x (−2 L+ x )

2nEIL4

12 (EI )2− L3

3 (EI )2+ L3 x3n (EI )2

+ L2 x2

2 (EI )2− L2 x2

2n (EI )2− L x3

3 (EI )2+ L x3

3n (EI )2+ x4

12 (EI )2+ x4

12n2 (EI )2− x4

6 (EI )2

0−

−(L−x )2

2EI +x (−2 L+x )2nEI

L4

12 (EI )2− L3

3 (EI )2+ L3x3n (EI )2

+ L2 x2

2 (EI )2− L2 x2

2n (EI )2− L x3

3 (EI )2+ Lx3

3n (EI )2+ x4

12 (EI )2+ x4

12n2 (EI )2− x4

6 (EI )2

L3

3−L2 x+L x2− x

3

3EI +

L2 x−L x2+ x3

3nEI

L4

12 (EI )2− L3

3 (EI )2+ L3 x3n (EI )2

+ L2 x2

2 (EI )2− L2 x2

2n (EI )2− L x3

3 (EI )2+ L x3

3n (EI )2+ x4

12 (EI )2+ x4

12n2 (EI )2− x4

6 (EI )2

][ x1x2x3]=[ n jit jim ji

]=[(u ji−uij )

L−xEA

+ xmEA

0 0

0( L−xEI +

xnEI ) (w ji−wij+φij L )

L4

12 (EI )2− L3

3 (EI )2+ L3 x3n (EI )2

+ L2 x2

2 (EI )2− L2 x2

2n (EI )2− Lx3

3 (EI )2+ Lx3

3n (EI )2+ x4

12 (EI )2+ x4

12n2 (EI )2− x4

6 (EI )2

−(−(L−x )2

2 EI+x (−2 L+x )2nEI ) (φ ji−φ ij)

L4

12 (EI )2− L3

3 (EI )2+ L3 x3n (EI )2

+ L2 x2

2 (EI )2− L2x2

2n (EI )2− Lx3

3 (EI )2+ Lx3

3n (EI )2+ x4

12 (EI )2+ x4

12n2 (EI )2− x4

6 (EI )2

0−(− (L−x )2

2 EI+x (−2 L+ x )2nEI ) (w ji−wij+φij L )

L4

12 (EI )2− L3

3 (EI )2+ L3 x3n (EI )2

+ L2 x2

2 (EI )2− L2 x2

2n (EI )2− Lx3

3 (EI )2+ Lx3

3n (EI )2+ x4

12 (EI )2+ x4

12n2 (EI )2− x4

6 (EI )2

( L3

3−L2 x+Lx2− x

3

3EI

+L2 x−Lx2+ x

3

3nEI ) (φ ji−φij )

L4

12 (EI )2− L3

3 (EI )2+ L3 x3n (EI )2

+ L2 x2

2 (EI )2− L2x2

2n (EI )2− Lx3

3 (EI )2+ Lx3

3n (EI )2+ x4

12 (EI )2+ x4

12n2 (EI )2− x4

6 (EI )2

]10


[nijtijmijn jit jim ji

]=[1

L−xEA +

xmEA

0 0 −1L−xEA +

xmEA

0 0

0

L−xEI

+ xnEI

BR

−L(L−xEI +xnEI )+ (L−x )2

2 EI −x (−2 L+x )2nEI

BR 0

−L−xEI

− xnEI

BR

−(L−x )2

2EI+x (−2 L+x )2nEI

BR

0L(−L−xEI

− xnEI )

BR+

(L−x )2

2 EI+x (−2L+x )2nEI

BR

L2( L−xEI + xnEI )

BR+2 L( (L−x )2

2 EI+x (−2 L+x )2nEI )

BR+

L3

3−L2 x+ Lx2− x

3

3EI

+L2 x−Lx2+ x

3

3nEI

BR0

L( L−xEI + xnEI )

BR+

−(L−x )2

2EI+x (−2 L+x )2nEI

BR

−L( (L−x )2

2EI+x (−2 L+x )2nEI )

BR+

−L3

3−L2 x+L x2− x

3

3EI

−L2 x−Lx2+ x

3

3nEI

BR−1

L−xEA

+ xmEA

0 0 1L−xEA

+ xmEA

0 0

0

−L−xEI

− xnEI

BR

L(L−xEI + xnEI )− (L−x )2

2EI+x (−2 L+ x )2nEI

BR0

L−xEI

+ xnEI

BR

(L−x )2

2EI−x (−2L+x )2nEI

BR

0

− (L−x )2

2 EI+x (−2 L+x )2nEI

BR

−L(− (L−x )2

2 EI+ x (−2 L+ x )

2nEI )BR

−

L3

3−L2 x+L x2− x

3

3EI

+L2 x−Lx2+ x

3

3nEI

BR0

(L−x )2

2 EI−x (−2 L+ x )2nEI

BR

L3

3−L2x+Lx2− x

3

3EI

+L2 x−Lx2+ x

3

3nEI

BR

][ uijw ijφiju jiw jiφ ji ]11


5. KONTROLA DOBIVENIH REZULTATA

Prvi slučaj

Vrijednosti: x=L ,n=n ,m=m, EI=EI , EA=EA , L=L

Rezultati:[mEAL 0 0 −mEA

L 0 0

0 12nEIL3

−6nEIL2

0 −12nEIL3

−6nEIL2

0 −6nEIL2

4nEIL

0 6nEIL2

2nEIL

−mEAL

0 0 mEAL

0 0

0 −12nEIL3

6nEIL2

0 12nEIL3

6nEIL2

0 −6nEIL2

2nEIL

0 6nEIL2

4nEIL

]Dobivena matrica je jednaka poznatoj matrici krutosti za konstantni presjek.

Drugi slučaj

Vrijednosti: x=0 , n=n ,m=m ,EI=EI , EA=EA ,L=L

Rezultati:[EAL 0 0 −EA

L 0 0

0 12 EIL3

−6 EIL2

0 −12 EIL3

−6 EIL2

0 −6 EIL2

4 EIL

0 6 EIL2

2EIL

−EAL

0 0 mEAL

0 0

0 −12 EIL3

6 EIL2

0 12 EIL3

6 EIL2

0 −6 EIL2

2 EIL

0 6 EIL2

4 EIL

]Dobivena matrica je jednaka poznatoj matrici krutosti za konstantni presjek.

Treći slučaj

12


Vrijednosti: x= L2, n=2,m=2 , EI=EI , EA=EA , L=L

Rezultati:[4 EA3 L 0 0 −4 EA

3 L 0 0

0 192EI11L3

−112nEI11L2

0 −192 EI11L3

−80 EI11L2

0 −112EI11L2

80 EI11L

0 112EI11L2

32 EI11L

−4 EA3 L

0 0 4 EA3 L

0 0

0 −192EI11L3

112EI11L2

0 192 EI11L3

112EI11L2

0 −80 EI11L2

32EI11L

0 80 EI11L2

48 EI11L

]

13


Vrijednosti : x= L2, n=2,m=2 , EI=57600 ,EA=4320000 , L=4

Rezultati:[140000 0 0 −14000 0 0

0 17280011

−40320011

0 −17280011

−28800011

0 −40320011

115200011

0 40320011

46080011

−14000 0 0 14000 0 0

0 −17280011

40320011

0 17280011

28800011

0 −28800011

46080011

0 28800011

69120011

]Dobivene rezultate ćemo usporediti sa kompjuterskim softverom Sap.

Opterećenje jediničnim kutom zaokreta u točki 1

M-dijagram

T- dijagram

N- dijagram

Slika 10. Rezultati kompjuterskog programa SAP za gredu, opterećenu jediničnim kutom zaokreta u točki 1.

MATRICA 0.00 -36654.55 104727.27 0.00 36654.55SAP 0.00 -36654.55 104727.27 0.00 36654.55

N12 T12 M12 N21 T21

Tablica 1. Usporedba rezultata.

14


Opterećenje jediničnim pomakom u točki 1 u smjeru poprečne sile

M- dijagram

T- dijagram

N- dijagram

Slika 11. Rezultati kompjuterskog programa SAP za gredu, opterećenu jediničnim pomakom u točki 1.

MATRICA 0.00 15709.09 -36654.55 0.00 -15709.09 -26181.82SAP 0.00 15709.09 -36654.35 0.00 -15709.09 -26181.82

N12 T12 M12 N21 T21 M21


15


Opterećenje jediničnim pomakom u točki 1 u smjeru uzdužne sile

M- dijagram

T- dijagram

N- dijagram

Slika 12. Rezultati kompjuterskog programa SAP za gredu, opterećenu jediničnim pomakom u točki 1 u smjeru uzdužne sile.

MATRICA 1440000.00 0.00 0.00 -1440000.00 0.00 -26181.82SAP 1440000.00 0.00 0.00 -1440000.00 0.00 -26181.82

N12 T12 M12 N21 T21 M21


16


6. PRORAČUN MATIRCE KUTOSTI ŠTAPA PROMJENJIVOG POPREČNOG PRESJEKA ZA SLUČAJ KADA GREDA NIJE OBOSTRANO UPETA PRIMJENOM KONDEZACIJE

m ji=−(−(L−x )2

2 EI+x (−2L+x )2nEI ) (w ji−wij+φijL )+( L

3

3−L2 x+L x2− x

3

3EI

+L2 x−L x2+ x

3

3nEI ) (φ ji−φ ij)

L4

12 (EI )2− L3

3 (EI )2+ L3 x3n (EI )2

+ L2 x2

2 (EI )2− L2 x2

2n (EI )2− Lx3

3 (EI )2+ L x3

3n (EI )2+ x4

12 (EI )2+ x4

12n2 (EI )2− x4

6 (EI )2

0=−(−(L−x )2

2EI+ x

(−2 L+x )2nEI )(w ji−wij+φ ijL )+( L

3

3−L2 x+Lx2− x

3

3EI

+L2 x−Lx2+ x

3

3nEI )(φ ji−φij )

L4

12 (EI )2− L3

3 (EI )2+ L3 x3n (EI )2

+ L2 x2

2 (EI )2− L2 x2

2n (EI )2− L x3

3 (EI )2+ Lx3

3n (EI )2+ x4

12 (EI )2+ x4

12n2 (EI )2− x4

6 (EI )2

⟹φ ji

φ ji=φij+(w ji−w ij+φijL )(−(L−x )2

2 EI+ x (−2L+x )

2nEI )L3

3−L2 x+L x2− x

3

3EI

+L2 x−L x2+ x

3

3nEI

n ji=(u ji−u ij)

L−xEA

+ xmEA

t ji=( L−xEI +

xnEI ) (w ji−w ij+φijL )

BR −(−(L−x )2

2EI+ x (−2L+x )

2nEI )2

(w ji−w ij+φ ijL )

BR2

nij=−n ji

nij=−(u ji−uij )L−xEA

+ xmEA

t ij=−t ji

t ij=−( L−xEI +

xnEI )(w ji−wij+φij L )

BR +(−(L−x )2

2 EI+x (−2L+x )2nEI )

2

(w ji−wij+φij L )

BR 2

mij=−m ji+lij∗t ji

17


mij=L(( L−xEI + xnEI ) (w ji−w ij+φijL )

BR−

(−(L−x )2

2EI+x (−2L+x )2nEI )

2

(w ji−w ij+φ ijL )

BR2 )

18


[nijtijmijn jit jim ji

]=[1

L−xEA

+ xmEA

0 0 −1L−xEA

+ xmEA

0 0

0( L−xEI +

xnEI )

BR −(−(L−x )2

2EI+ x (−2 L+x )

2nEI )2

BR 2

−L( L−xEI +xnEI )

BR +L(− (L−x )2

2 EI+ x (−2 L+ x )

2nEI )2

BR 2 0−( L−xEI +

xnEI )

BR +(−(L−x )2

2EI+ x (−2 L+x )

2nEI )2

BR 2 0

0−L( L−xEI + x

nEI )BR

+L(−(L−x )2

2EI+x (−2L+x )2nEI )

2

BR 2

L2( L−xEI + xnEI )

BR−L2(− (L−x )2

2 EI+x (−2 L+ x )2nEI )

2

BR20

L( L−xEI + xnEI )

BR−L(−(L−x )2

2 EI+x (−2L+x )2nEI )

2

BR 20

−1L−xEA

+ xmEA

0 0 1L−xEA

+ xmEA

0 0

0−( L−xEI + x

nEI )BR

+(− (L−x )2

2 EI+x (−2 L+ x )2nEI )

2

BR2

L( L−xEI + xnEI )

BR−L(−(L−x )2

2EI+x (−2 L+x )2nEI )

2

BR 20

L( L−xEI + xnEI )

BR−L(−(L−x )2

2 EI+x (−2L+x )2nEI )

2

BR 20

0 0 0 0 0 0

]BR2=( L4

12 (EI )2− L3

3 (EI )2+ L3 x3n (EI )2

+ L2 x2

2 (EI )2− L2 x2

2n (EI )2− L x3

3 (EI )2+ Lx3

3n (EI )2+ x4

12 (EI )2+ x4

12n2 (EI )2− x4

6 (EI )2 )(L3

3−L2x+Lx2− x

3

3EI

+L2 x−Lx2+ x

3

3nEI )

BR= L4

12 (EI )2− L3

3 (EI )2+ L3 x3n (EI )2

+ L2 x2

2 (EI )2− L2 x2

2n (EI )2− L x3

3 (EI )2+ L x3

3n (EI )2+ x4

12 (EI )2+ x4

12n2 (EI )2− x4

6 (EI )2

19


7. KONTROLA MATRICE KRUTOSTI PROMJENJIVOG POPREČNOG PRESJKEA KADA NIJE GREDA OBOSTRANO UPETA

Prvi slučaj

Vrijednosti: x=L ,n=n ,m=m, EI=EI , EA=EA , L=L

Rezultati:[mEAL

0 0 −mEAL

0 0

0 3nEIL3

−3nEIL2

0 −3nEIL3

0

0 −3nEIL2

3nEIL

0 3nEIL2

0

−mEAL

0 0 mEAL

0 0

0 −3nEIL3

3nEIL2

0 3nEIL3

0

0 0 0 0 0 0

]Dobivena matrica krutosti je indentična poznatoj matirici krutosti za konstatantni presjke.

Drugi slučaj

Vrijednosti: x= L2, n=2,m=2 , EI=57600 ,EA=4320000 , L=4

Rezultati:[1440000 0 0 −1440000 0 00 4800 −19200 0 −4800 00 −19200 76800 0 19200 0

−1440000 0 0 1440000 0 00 −4800 19200 0 4800 00 0 0 0 0 0

]Dobiven rezultate ćemo usporediti sa kompjuterskim softverom Sap.

Opterećenje jediničnim kutom zaokreta u točki 1

M- dijagram

T- dijagram

20


N- dijagram

Slika 13. Rezultati kompjuterskog programa SAP za gredu, opterećenu jediničnim kutom zaokreta u točki 1.

MATRICA 0.00 -19200.00 76800.00 0.00 19200.00 0.00SAP 0.00 -19200.00 76800.00 0.00 19200.00 0.00

N12 T12 M12 N21 T21 M21


Opterećenje jediničnim pomakom u točki 1 u smjeru poprečne sile

M- dijagram

T- dijagram

N- dijagram

Slika 14. Rezultati kompjuterskog programa SAP za gredu, opterećenu jediničnim pomakom u točki 1 u smjeru poprečne sile.

MATRICA 0.00 4800.00 -19200.00 0.00 -4800.00 0.00SAP 0.00 4800.00 -19200.00 0.00 -4800.00 0.00

N12 T12 M12 N21 T21 M21


21


Opterećenje jediničnim pomakom u točki 1 u smjeru uzdužne sile

M- dijagram

T- dijagram

N- dijagram

Slika 15. Rezultati kompjuterskog programa SAP za gredu, opterećenu jediničnim pomakom u točki 1 u smjeru uzdužne sile.

MATRICA 1440000.00 0.00 0.00 -1440000.00 0.00 0.00SAP 1440000.00 0.00 0.00 -1440000.00 0.00 0.00

N12 T12 M12 N21 T21 M21


22


8. PRIMEJNA MATRICE KRUTOSTI ŠTAPA PROMJENJIVOG POPREČNOG PRESJEKA

Matricu krutosti promjenjivog presjeka probat ćemo primijeniti na okviru. Okvir će biti opterećen kontinuiranim opterećenjem i koncentriranom silom. Proračun će se provesti metodom pomak. Dobiveni rezultati će se usporediti sa kompjuterskim softverima Sap i Dim.

E1=6∗10

7kN ¿m2

E2=3∗10

7 kN /m2

Slika 16. Okvir sa kontinuiranim opterećenjem na gredi.

K=[4 EA3L 0 0 −4 EA

3 L 0 0

0 192EI11L3

−112EI11L2

0 −192 EI11L3

−80EI11L2

0 −112EI11L2

80 EI11L

0 112EI11L2

32 EI11L

−4 EA3L

0 0 4 EA3 L

0 0

0 −192 EI11L3

112EI11L2

0 192 EI11L3

112EI11L2

0 −80 EI11L2

32 EI11L

0 80 EI11L2

48 EI11L

]m21=

n6E2 IH2 w2+

n 4 E2 IH

φ2

t 21=n12E2 IH3 w2+

n6 E2 IH 2 φ2

n21=mE2 AH

u2

m23=−112E2 I11L2

(−u2 )+80 E2 I11L

φ2+112E2 I11L2

(−u3 )+32 E2 I11L

φ3

23


t 23=192 E2 I11L3

(−u2 )−112E2 I11L2

φ2−192E2 I11L3

(−u3 )−80E2 I11L2

φ3

n23=4 E2 A3L

w 2−4 E2 A3 L

w3

m32=−80 E2 I11L2

(−u2)+32 E2 I11L

φ2+80 E2 I11L2

(−u3 )+48 E2 I11L

φ3

t 32=192 E2 I11L3

(−u2 )+112E2 I11L2

φ2+192E2 I11L3

(−u3 )+80E2 I11L2

φ3

n32=−4 E2 A3 L

w2+4 E2 A3 L

w3

m34=−6 E2 IH 2 (−w3 )+

4 E2 IH

φ3

t 34=12E2 IH 3 (−w3 )−

6 E2 IH2 φ3

n34=E2 AH (−u3 )

Računanje momenata upetosti

Slika 17. Računanje momenata upetosti

24


Slika 18. Dijagrami za jedinični moment x1.

Slika 19. Dijagrami za jedinični moment x2.

Slika 20. Dijagrami za jediničnu silu x3.

25


Slika 21. Dijagrami od vanjskog opterećenja.

δ 11=

L2∗1

2∗1

2∗2

3 ∗1

2 ∗1

EI +

L2∗1

2 ∗( 12+12∗1

2 )∗1n∗EI +

12∗L

2 ∗1

2 ∗(12+23∗1

2 )∗1n∗EI

δ 11=L

24 EI+ 7 L24 EIn

δ 22=

L2∗1

2∗1

2∗2

3 ∗1

2 ∗1

nEI +

L2∗1

2 ∗( 12+12∗1

2 )∗1EI +

12∗L

2 ∗1

2 ∗( 12+23∗1

2 )∗1EI

δ 22=L

24 nEI+ 7 L24 EI

26


δ 12=

L2∗1

2 ∗1

2 ∗(12 +

12∗1

3 )∗1EI +

L2∗1

2 ∗1

4 ∗1

n∗EI +

L2∗1

2∗1

2∗1

3 ∗1

2 ∗1

n∗EI

δ 12=L

12 EI+ L12nEI

δ 10=

23∗q∗L

2

8 ∗L∗1

2 ∗( 38∗12 +12 )∗1n∗EI +

23∗q∗L2

8∗L∗1

2∗5

8 ∗1

2 ∗1

EI

δ 10=5 L3q384 EI

+ 11L3q

384 nEI

δ 20=

23∗q∗L

2

8 ∗L∗1

2 ∗( 38∗12 +12 )∗1

EI +

23∗q∗L2

8∗L∗1

2∗5

8 ∗1

2 ∗1

nEI

δ 20=5 L3q384nEI

+ 11L3q

384 EI

[ L24 EI

+ 7 L24 EIn

L12EI

+ L12nEI

L12EI

+ L12nEI

L24nEI

+ 7 L24 EI ]∗[M 23

M 32]=[ 5L3q

384 EI+ 11L

3q384nEI

5 L3q384 nEI

+ 11L3q

384 EI]

M 23=17L2q176

M 32=13 L2q176

−T 32L−q L2

2−M 23+M 32=0

27


T 32L=−q L2

2−17 L

2q176

+ 13L2q

176=−92 L2q

176

T 32=−92Lq176

=−23 Lq44

T 23=−23Lq44

+q∗L=21 Lq44

M 21=m21=n6 E2 IH 2 w2+

n4 E2 IH

φ2

T 21=t21=n12E2 IH3 w2+

n6 E2 IH 2 φ2

N21=n21=mE2 AH

u2

M 23=m23+M23=−112E2 I11L2

(−u2 )+80 E2 I11L

φ2+112E2 I11L2

(−u3 )+32E2 I11L

φ3+17 L2q176

T 23=t23+T 23=192 E2 I11L3

(−u2 )−112E2 I11L2

φ2−192E2 I11L3

(−u3 )−80E2 I11L2

φ3−21 Lq44

N23=n23=4 E2 A3L

w2−4 E2 A3 L

w3

M 32=m32+M 32=−80 E2 I11L2

(−u2 )+32E2 I11L

φ2+80E2 I11L2

(−u3 )+48E2 I11L

φ3−13 L2q176

T 32=t32+T23=192 E2 I11L3

(−u2 )+112E2 I11L2

φ2+192E2 I11L3

(−u3 )+80E2 I11L2

φ3+−23Lq44

N32=−4 E2 A3 L

w2+4 E2 A3 L

w3

M 34=−6 E2 IH 2 (−w3 )+

4 E2 IH

φ3

T 34=12E2 IH 3 (−w3 )−

6 E2 IH2 φ3

N 34=E2 AH (−u3 )

Ravnoteža čvorova

M 21+M 23=0

28


17L2q176

+112EI u211L2

−112EI u311L2

+6nEI w2H 2 +

80 EI φ211L

+4nEI φ2H

+32EI φ311L

=0

M 32+M 34=0

−13L2q176

+80 EI u211L2

−80EI u311L2

+6 EI w3H 2 +

32EI φ211L

+4 EI φ3H

+48EI φ311L

=0

−N21+T23=0

−23 Lq44

−192 EI u211L3

−mEAu2H

+192EI u311L3

−112EI φ211L2

−80 EI φ311L2

=0

−T 21−N23+F=0

F−4 EA w23 L

−12nEI w2H 3 +

4 EA w33 L

−6nEI φ2H2

N32−T 34=0

−4 EA w23 L

+12 EI w3H3 +

4 EAw 33 L

+6 EI φ3H 2

T 32+N34=0

−21Lq44

−192 EI u211L3

−EAu3H

−192 EI u311L3

+112EI φ211L2

+80EI φ311L2

=0

K=[4 EA3L 0 0 −4 EA

3 L 0 0

0 192EI11L3

−112EI11L2

0 −192 EI11L3

−80 EI11L2

0 −112EI11L2

80 EI11L

0 112EI11L2

32 EI11L

−4 EA3L

0 0 4 EA3 L

0 0

0 −192 EI11L3

112EI11L2

0 192 EI11L3

112EI11L2

0 −80 EI11L2

32 EI11L

0 80 EI11L2

48 EI11L

]29


M=[112EI11L2

6nEIH 2

80 EI11L

+4nEIH

−112EI11L2

0 32EI11L

80 EI11L2

0 32EI11L

−80 EI11L2

6 EIH2

4 EIH

+ 48 EI11L

−192 EI11L3

−mEAH

0 −112EI11L2

192 EI11L3

0 −80 EI11L2

0 −4 EA3L

−12nEIH 3

−6nEIH2 0 4 EA

3 L0

0 −4 EA3 L

0 0 12EIH3 + 4 EA

3 L6 EIH2

−192 EI11L3

0 112EI11L2

−EAH

−192 EI11L3

0 80 EI11L2

][u2w2φ2u3w3φ3

]=M−1[−17 L2q17613 L2q17623Lq44−F0

21Lq44

][u2w2φ2u3w3φ3

]=[ −6,0299∗10−6

0,000246328−0,00014414

−0,00001560060,0002404540,0000599567

]30


Usporedba dobivenih rezultata

Slika 22. Rezultati kompjuterskog programa SAP.

Tablica 7. Usporedba rezultata

U drugom primjeru probati ćemo primijeniti matricu krutosti također na okviru. Za razliku od predhodnog primjera opterećenje na okviru se ne će nalaziti na elementu koji ima promjenjivu krutost.

E1=6∗107kN ¿m2

E2=3∗10

7 kN /m2

Slika 23. Okvir opterećen kontinuiranom silom u stupu.

M 21

n6 E2 IH2 w2+

n 4 E2 IH

φ2

31


T 21=n12 E2 IH 3 w2+

n6 E2 IH 2 φ2

N21=mE2 AH

u2

M 23=−112E2 I11L2

(−u2 )+80 E2 I11L

φ2+112E2 I11L2

(−u3 )+32 E2 I11L

φ3

T 23=192 E2 I11L3

(−u2 )−112E2 I11L2

φ2−192E2 I11L3

(−u3 )−80E2 I11L2

φ3

N23=4 E2 A3 L

w2−4 E2 A3L

w3

M 32=−80E2 I11L2

(−u2)+32 E2 I11L

φ2+80 E2 I11L2

(−u3 )+48E2 I11L

φ3

T 32=192 E2 I11L3

(−u2 )+112E2 I11L2

φ2+192E2 I11L3

(−u3 )+80 E2 I11L2

φ3+¿

N32=−4 E2 A3 L

w2+4 E2 A3 L

w3

M 34=−6 E2 IH 2 (−w3 )+

4 E2 IH

φ3

T 34=12E2 IH 3 (−w3 )−

6 E2 IH2 φ3

N 34=E2 AH (−u3 )

Ravnoteža čvorova

M 21+M 23=0

112EI u211L2

−112EI u311L2

+6nEI w2H 2 +

80EI φ211L

+4nEI φ2H

+32EI φ311L

=0

M 32+M 34=0

80 EI u211L2

−80 EI u311L2

+6 EI w3H 2 +

32EI φ211L

+4 EI φ3H

+48EI φ311L

=0

−N21+T23=0

32


−192EI u211L3

−mEA u2H

+192EI u311L3

−112EI φ211L2

−80 EI φ311L2

=0

−T 21−N23+F=0

F−4 EA w23 L

−12nEI w2H 3 +

4 EA w33 L

−6nEI φ2H2

N32−T 34=0

−4 EA w23 L

+12 EI w3H3 +

4 EAw 33 L

+6 EI φ3H 2

T 32+N34=0

−192EI u211L3

−EAu3H

−192EI u311L3

+112EI φ211L2

+80 EI φ311L2

=0

M=[112EI11L2

6nEIH 2

80 EI11L

+4nEIH

−112EI11L2

0 32EI11L

80 EI11L2

0 32EI11L

−80 EI11L2

6 EIH2

4 EIH

+ 48 EI11L

−192 EI11L3

−mEAH

0 −112EI11L2

192 EI11L3

0 −80 EI11L2

0 −4 EA3L

−12nEIH 3

−6nEIH2 0 4 EA

3 L0

0 −4 EA3 L

0 0 12EIH3 + 4 EA

3 L6 EIH2

−192 EI11L3

0 112EI11L2

−EAH

−192 EI11L3

0 80 EI11L2

][u2w2φ2u3w3φ3

]=M−1[000

−F00

]

33


[u2w2φ2u3w3φ3

]=[−1,05092∗10−6

0,000206402−0,0000553194−2,12477∗10−6

0,0002038540,0000 400593

]Tablica 8. Usporedba dobivenih rezultata

34


9. ZAKLJUČAK

Analizom i usporedbom dobivenih rezultata utvrđeno je da je točnost na zadovoljavajućoj razini. Dobiveni rezultati razlikuju se u pravilu za manje od 1% od rezultata dobivenih primjenom kompjuterskih programa. Pretvaranje matrice krutosti za diskontinuirano promjenjivi poprečni presjek u matricu konstantnog poprečnog presjeka nisu dobiveni različiti rezultati. Provedena je usporedba rezultata na okviru. U prvom slučaju okvir je opterećen kontinuiranim opterećenjem na elementu koji ima poprečno promjenjiv presjek a u drugom slučaju okvir je opterećen koncentriranom silom koji se ne nalazi na elementu sa promjenjivim poprečnim presjekom. Uspoređivanjem obadva slučaja sa kompjuterskim programima dobivani su rezultati zadovoljavajuće točnosti.

Na temeljnu provedenih analiza i usporedbi rezultata možemo reći da je proračunati oblik matrice krutosti za promjenjivi poprečni presjek točan. Matrica krutosti za element konstantnog poprečnog presjeka ima vrlo jednostavan oblik dok matrica krutosti za element promjenjivog poprečnog presjek ima jako složen oblik. Zbog te složenosti matrice krutosti promjenjivog poprečnog presjeka dovodi se u pitanje njena primjenjivost. Bez korištenja kompjuterskih programa jako je teško doći do rezultata dok se kod matrice krutosti konstantnog poprečnog presjeka rezultati se dobivaju jednostavnim proračunom.

35


10. POPIS LITERATURE

[1] Simović,V.: Građevna statika I, Zagreb, 1988.

[2] Anđelić,M.: Građevna statika II, Zagreb, 2005.

[3] Kostrenčić, Z. : Teorija elastičnosti, Školska knjiga, Zagreb, 1982.

[4] Timošenko S., Gudier J. N. : Teorija elastičnosti, Građevinska knjiga, Beograd, 1962.

[5] Šimić,V.: Otpornost materijala 1, Školska knjiga, Zagreb,1992.

[6] Šimić,V.: Otpornost materijala 2, Školska knjiga, Zagreb, 2002.

[7] Simović, V. : Zidovi s otvorima i okvirne konstrukcije, Tehnička knjiga, Zagreb, 1971.

[8] Sorić, J. : Metoda konačnih elemenata, Golden markting – Tehnička knjiga, Zagreb,2004.

[9] Kovačević, D. : MKE modeliranje u analizi konstrukcija, Beograd, 2006.

[10] Tomičić, I. : Betonske konstrukcije, Zagreb, 1996.

[11] Fresl, K.: Skripta Građevna statika I

[12] SAP 11 Manual

[13] SAP 11 Tutorial Movies

[14] DIM Manual

[15] Mathematica 4 Manual

36


11. SAŽETAK

U ovome radu smo proračunali maticu krutosti grede promjenjivog poprečnog presjeka. Prilikom proračuna korišteni su kompjuterski programi Mathematica 4, SAP i Dim. Program Mathematica 4 je korišten za rješavanje matematičkih problema dok su se programi SAP i Dim koristili za usporedbu dobivenih rezultata. Usporedba dobivenih rezultata pokazala je da proračunata matrica daje slične rezultate kao i kompjuterski programi.

Naslov rada: Izvod matrice krutosti grede diskontinuirano promjenjivog presjeka.

Ključne riječi: matrica krutosti; metoda sila, metoda pomak

Autor: Dalibor Gelo

Adresa autora: Karlvoačka 58a Blato, 10020 Zagreb

12.SUMMARY

In this paper we have developed a Matrix of the beam with discontinuous variable cross-section. In the development we have used computer software’s Mathematic 4, SAP and Dim. Mathematic 4 was use for solving mathematical problems while software’s SAP and Dim ware used for comparations of the results. Comparations of the results has show us that calculated matrix give a similar results as computer software’s.

Name of the paper: The development of the stiffness matrix of the beam whit discontinuous variable cross-section

Keywords: stiffness matrix, force method, displacement method

Author: Dalibor Gelo

Address: Karlvoačka 58a Blato, 10020 Zagreb

37

grad.hrgrad.hr/nastava/nmk/modeliranje generacija 2007... · web view4.proraČun matrice krutosti...

Documents