tehniČka mehanika - znrfak.ni.ac.rs godina/pred… · poprečni preseci štapa su pravilne figure...

42
UNIVERZITET U NIŠU FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU TEHNIČKA MEHANIKA - PREZENTACIJA PREDAVANJA - Dr Darko Mihajlov, doc. - 9. PREDAVANJE -

Upload: buinhu

Post on 07-Mar-2018

245 views

Category:

Documents


5 download

TRANSCRIPT

Page 1: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

UNIVERZITET U NIŠU

FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU

TEHNIČKA MEHANIKA - PREZENTACIJA PREDAVANJA -

Dr Darko Mihajlov, doc.

- 9. PREDAVANJE -

Page 2: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

OTPORNOST MATERIJALA

1. ČAS

2. ČAS

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA:

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

Površina ravnih preseka;

Statički momenti ravnih preseka;

Momenti inercije ravnih preseka;

Page 3: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

Poprečni presek štapa je definisan

zatvorenom linijom u ravni

normalnoj na uzdužnu osu štapa.

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

Poprečni presek predstavlja

geometrijsku figuru (sliku)

površine A [m2] u presečnoj ravni

koja je normalna na uzdužnu osu

štapa ili grede.

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

y

z

x

y

Page 4: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih

geometrijskih oblika.

Primeri:

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

Oblici (geometrija) ravnih poprečnih preseka štapa

Page 5: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

1. Površina ravnog preseka: A ;

2. Težište površine ravnog preseka: C ;

3. Statički moment površine za osu x ili osu y : Sx , Sy ;

4. Momenti inercije ravnih preseka: Ix , Iy , Ixy ;

5. Momenti otpora ravnih preseka: Wx , Wy .

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

OSNOVNE KARAKTERISTIKE OBLIKA POPREČNOG PRESEKA

x

y

Page 6: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

1. Površina poprečnog preseka

Površina je najjednostavnija karakteristika ravnog preseka.

Približna vrednost površine zadatog ravnog preseka može da se odredi

sabiranjem površina elementarnih površi na koje se deli dati presek.

Tačna vrednost površine se određuje integraljenjem, kada je elementarna

površina beskonačno mala, a broj elementarnih površi teži beskonačnosti:

n

i

in AAAAA1

21 .....

i 01

limn

iA

i An

A A dA

Dimenzija površine je [L2], a meri se

jedinicama [m2] ili [cm2].

Page 7: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

Dva štapa jednakih površina poprečnog preseka A=b·h, opterećena jednakim

opterećenjem na savijanje, različito se deformišu:

Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike ravnih preseka, i to:

statički momenti površine, momenti inercije i momenti otpora ravnih preseka.

Page 8: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

2. Statički momenti ravnih preseka (1/8)

Približna vrednost statičkog momenta ravnog preseka za osu u ravni je

definisana kao zbir proizvoda elementarnih površina i normalnog

rastojanja težišta te elementarne površi od ose.

Približna vrednost statičkog momenta ravnog preseka:

Za osu x:

Za osu y:

1 1

1

....n

x n n i i

i

S y A y A y A

n

i

iinny AxAxAxS1

11 ....

Page 9: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

2. Statički momenti ravnih preseka (2/8)

Tačna vrednost statičkog momenta ravnog preseka za osu u ravni jednaka

je graničnoj vrednosti izraza za srednju vrednost statičkog momenta

ravnog preseka kada je elementarna površina beskonačno mala (teži nuli),

a broj elementarnih površi tom prilikom teži beskonačnosti.

Tačna vrednost statičkog momenta površine ravnog preseka:

Za osu x:

Za osu y:

i 01

limn

x i iA

i An

S y A ydA

i 01

limn

y i iA

i An

S x A xdA

Page 10: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

2. Statički momenti ravnih preseka (3/8)

Def.: Statički moment ravnog preseka (moment površine prvog reda) za

osu u ravni jednak je određenom integralu po datoj površini proizvoda

normalnog rastojanja ma koje tačke elementarne površi od izabrane ose i

te elementarne površine.

Dimenzija statičkog momenta je [L3], a meri se jedinicom [cm3].

;x

A

S ydA .y

A

S xdA

Page 11: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

2. Statički momenti ravnih preseka (4/8)

Izrazi za određivanje koordinata težišta ravnih površi, mogu se na osnovu

definicije statičkog momenta ravnog preseka napisati u obliku:

1;

y

C y C

A

Sx xdA S x A

A A

1.x

C x C

A

Sy ydA S y A

A A

Page 12: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

2. Statički momenti ravnih preseka (5/8)

2.1 Statički momenti ravnih preseka za paralelne ose

(Promena statičkih momenata ravnih preseka

pri translaciji koordinatnog sistema) (1/2)

;x

A

S ydA ;A

S dA ;y b

;y

A

S xdA ;A

S dA ;x a

x

A

S b dA S bA

y

A

S a dA S aA

Page 13: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

2. Statički momenti ravnih preseka (6/8)

;x

A

S b dA S bA y

A

S a dA S aA

Def.: Statički moment ravnog preseka u odnosu na neku osu jednak je

zbiru statičkog momenta u odnosu na paralelnu osu i proizvoda površine

i normalnog rastojanja između osa.

2.1 Statički momenti ravnih preseka za paralelne ose

(Promena statičkih momenata ravnih preseka

pri translaciji koordinatnog sistema) (2/2)

Page 14: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

2. Statički momenti ravnih preseka (7/8)

2.2 Statički momenti ravnih preseka za centralne (sopstvene) ose (1/2)

0;x

x C C

A A S

S b dA y dA S y A

S

0;y

y C C

A A S

S a dA x dA S x A

S

Osa koja prolazi kroz težište površi zove se centralna, težišna, ili

sopstvena osa.

Za ose translatorno pomerenog koordinatnog sistema 0 , koje prolaze

kroz težište C ravnog preseka čija je površina A, važi da je b=yC i a=xC .

Page 15: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

2. Statički momenti ravnih preseka (8/8)

0;S 0;S

2.2 Statički momenti ravnih preseka za centralne (sopstvene) ose (2/2)

Def.: Statički momenti ravnog preseka za centralne (težišne, sopstvene)

ose jednaki su nuli.

Page 16: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (1/26)

Aksijalni momenti inercije,

Polarni moment inercije,

Centrifugalni moment inercije.

Momenti inercije ravnih preseka su momenti površine drugog reda.

Dimenzija aksijalnih momenata inercije je [L4], a mere se jedinicom [cm4].

Page 17: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (2/26)

Za ravan (poprečni) presek povšine A, koji je podeljen na konačan broj

elementarnih površi ΔAi i za koju je uzeta elementarna površina dA,

definicije momenata inercije u približnom obliku, a zatim i u tačnom obliku

po primeni graničnih vrednosti na prethodni oblik, date su kao:

Page 18: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (3/26)

Def.: Aksijalni (osni ili ekvatorijalni) moment inercije površine A za neku

osu jednak je zbiru proizvoda kvadrata rastojanja ma koje tačke

elementarne površine od te ose i elementarne površine, tj. jednak je

određenom integralu po datoj površini proizvoda kvadrata normalnog

rastojanja ma koje tačke elementarne površi od izabrane ose i te

elementarne površine:

2 2 2

1 1

1

;....n

x n n i i

i

I y A y A y A

i

2 2

01

lim ; 0;n

x i i xA

i An

I y A y dA I

2 2 2

1 1

1

;....n

y n n i i

i

I x A x A x A

i

2 2

01

lim ; 0;n

y i i yA

i An

I x A x dA I

Page 19: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (4/26)

Def.: Polarni moment inercije površine A za neku tačku (pol) jednak je

zbiru proizvoda kvadrata rastojanja ma koje tačke elementarne površine

od te tačke i elementarne površine, tj. jednak je određenom integralu po

datoj površini proizvoda kvadrata rastojanja ma koje tačke elementarne

površi od izabrane tačke i te elementarne površine:

2 2 2

0 1 1

1

.... ;n

n n i i

i

I r A r A r A

i

2 2

0 00

1

lim ; 0.n

i iA

i An

I r A r dA I

Page 20: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (5/26)

Između vrednosti aksijalnih momenata inercije za dve uzajamno upravne

ose i polarnog momenta inercije za tačku preseka ovih osa postoji veza .

Kako je r 2 = x2 + y2, polarni moment inercije jednak je zbiru aksijalnih

momenata inercije za dve uzajamno upravne ose koje se seku u polu:

2 2 2 2

0 0; 0.x y

A A A

I r dA x y dA x dA I I I

Page 21: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (6/26)

Def.: Centrifugalni moment inercije površine A za par uzajamno

upravnih osa jednak je zbiru proizvoda normalnih rastojanja ma koje

tačke elementarne površine od tih osa i elementarne površine, tj. jednak

je određenom integralu po datoj površini proizvoda normalnih rastojanja

ma koje tačke elementarne površi od izabranih osa i te elementarne

površine:

1 1 1

1

;....n

xy n n n i i i

i

I x y A x y A x y A

i 01

lim ; 0.n

xy i i i xyA

i An

I x y A xydA I

Page 22: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (7/26)

Aksijalni i polarni momenti inercije imaju uvek pozitivne vrednosti, jer su

elementarne površine i kvadrati rastojanja od osa ili pola uvek pozitivne

vrednosti.

Centrifugalni moment inercije može da ima različiti znak ili da bude jednak

nuli, što zavisi od znaka koordinata težišta elementa površine dA.

Za površine u prvom i trećem kvadrantu su centrifugalni momenti inercije

pozitivne veličine, jer su koordinate istog znaka, a za površine u drugom i

četvrtom kvadrantu su negativne, jer su koordinate različitog znaka.

Page 23: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (8/26)

Centrifugalni moment inercije za ose od kojih je bar jedna osa simetrije

mora biti jednak nuli.

Primer:

Svakoj elementarnoj površini dA desno od

ose y odgovara ista takva, kao slika u

ogledalu, dA’ levo od nje ( x’ = -x ). Zbirni

centrifugalni moment inercije ove dve

elementarne površine mora biti jednak nuli,

jer je

0.dA dA

xy xyI I x y dA x y dA

Page 24: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (9/26)

Štajnerova teorema se odnosi na dva

koordinatna sistema sa paralelnim

osama (0xy i C), od kojih jedan

koordinatni sistem (C) mora da ima

koordinatni početak u težištu C

ravnog preseka.

3.1 Momenti inercije ravnih preseka za paralelne ose

(Promena momenata inercije ravnih preseka

pri translaciji koordinatnog sistema) (1/9)

Page 25: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (10/26)

Ako se koordinatni sistem 0xy

translatorno pomeri do položaja C ,

gde je C ( xC = a ; yC = b ) težište

posmatranog ravnog (poprečnog)

preseka površine A, onda nastala

transformacija koordinata ma koje

tačke elementarne površine dA može

da se napiše u obliku izraza:

i .

3.1 Momenti inercije ravnih preseka za paralelne ose

(Promena momenata inercije ravnih preseka

pri translaciji koordinatnog sistema) (2/9)

ax by

Page 26: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (11/26)

3.1 Momenti inercije ravnih preseka za paralelne ose

(Promena momenata inercije ravnih preseka

pri translaciji koordinatnog sistema) (3/9)

2

2

2 2

2 2

0

,

2

2

x

A

x

A

A A A

I y dA y b

I b dA

dA b dA b dA

I b S b A I b A

Matematički iskaz Štajnerove teoreme

Page 27: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (12/26)

3.1 Momenti inercije ravnih preseka za paralelne ose

(Promena momenata inercije ravnih preseka

pri translaciji koordinatnog sistema) (4/9)

2

2

2 2

2 2

0

,

2

2

y

A

y

A

A A A

I x dA x a

I a dA

dA a dA a dA

I a S a A I a A

Matematički iskaz Štajnerove teoreme

Page 28: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (13/26)

3.1 Momenti inercije ravnih preseka za paralelne ose

(Promena momenata inercije ravnih preseka

pri translaciji koordinatnog sistema) (5/9)

0 0

, ,xy

A

xy

A

A A A A

I xydA x a y b

I b a dA

dA a dA b dA ab dA

I a S b S abA

I abA

Matematički iskaz

Štajnerove teoreme

Koordinate težišta a i b ulaze sa svojim predznacima, tako da pri translaciji

koordinatnog sistema može doći do uvećanja ili smanjenja centrifugalnog

momenta inercije.

Page 29: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (14/26)

3.1 Momenti inercije ravnih preseka za paralelne ose

(Promena momenata inercije ravnih preseka

pri translaciji koordinatnog sistema) (6/9)

2

2 2

0

2 2

2

, ;

CC

x y

x y

I r

C C

I I b A I I a A

I I I

I I a b A

I r A

Matematički iskaz Štajnerove teoreme

Page 30: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (15/26)

3.1 Momenti inercije ravnih preseka za paralelne ose

(Promena momenata inercije ravnih preseka

pri translaciji koordinatnog sistema) (7/9)

Momenti inercije u odnosu na ose koordinatnog sistema C sa početkom

u težištu ravnog preseka: zovu se sopstveni momenti

inercije, a drugi sabirci u izrazima: zovu se

položajni momenti inercije.

, , ,C

I I I I

2 2 2, , ,C C C C C

y A x A x y A r A

ŠTAJNEROVA TEOREMA: Moment inercije za osu paralelnu težišnoj

jednak je zbiru sopstvenog i položajnog momenta inercije.

Page 31: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (16/26)

3.1 Momenti inercije ravnih preseka za paralelne ose

(Promena momenata inercije ravnih preseka

pri translaciji koordinatnog sistema) (8/9)

Primenom Štajnerove teoreme je moguće sračunati momente inercije za

težišne ose (sopstvene momente inercije) ukoliko su poznati momenti

inercije za njima odgovarajuće paralelne ose 0x i 0y:

AyII Cx

2

AxII Cy

2

AyxII CCxy

2

0 C CI I r A

2

x CI I y A

2

y CI I x A

xy C CI I x y A

2

0C CI I r A

Page 32: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (17/26)

3.1 Momenti inercije ravnih preseka za paralelne ose

(Promena momenata inercije ravnih preseka

pri translaciji koordinatnog sistema) (9/9)

Sopstveni aksijalni momenti inercije, a samim tim i sopstveni polarni

moment inercije, imaju uvek pozitivne i manje vrednosti u odnosu na

odgovarajuće momente inercije za svaku paralelnu osu.

Od svih momenata inercije u odnosu na skup paralelnih osa, najmanju

vrednost ima moment inercije u odnosu na osu koja prolazi kroz težište

poprečnog preseka.

Page 33: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (18/26)

3.1.1 Primeri izračunavanja momenata inercije jednostavnih preseka (1/7)

Primer 1. Odrediti koordinate težišta i momente inercije pravougaonika. (1/3)

( ) 0

, 0 | ;

h

h

o

A

dA bdy y h A dA bdy by bh

2|

2

1 2

0)( bxh

bhbh

hdxx

A

xdA

x b

o

b

A

C

2|

2

1 2

0)( hyb

bhbh

hdxy

A

ydA

y h

o

b

A

C

2,

2,

hbCyxC CC

Page 34: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (19/26)

3.1.1 Primeri izračunavanja momenata inercije jednostavnih preseka (2/7)

Primer 1. Odrediti koordinate težišta i momente inercije pravougaonika. (2/3)

;dA bdy3 3

2 2

0

( ) 0

|3 3

h

h

x

A

y bhI y dA y bdy b

;dA hdx

3 32 2

( ) 0

|3 3

b

b

y o

A

x hbI x dA x hdx h

0 , 0x b y h

2 2 2 2

0 0

( ) 0 0 0 0

| |3 2 4

b h b h

b h

xy

A

x y b hI xydA xydxdy xdx ydy

0 y h

0 x b

Page 35: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (20/26)

3.1.1 Primeri izračunavanja momenata inercije jednostavnih preseka (3/7)

Primer 1. Odrediti koordinate težišta i momente inercije pravougaonika. (3/3)

23 3 3 32

3 2 3 4 12x C

bh h bh bh bhI I y A bh

23 3 3 32

3 2 3 4 12y C

b h b b h b h b hI I x A bh

0224

22

bhhbhb

AyxII CCxy

Page 36: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (21/26)

3.1.1 Primeri izračunavanja momenata inercije jednostavnih preseka (4/7)

Primer 2. Odrediti koordinate težišta trougla i aksijalne momente inercije za

ose x, i x1. (1/2)

; ; 0x h y b

dA xdy x h y y hb h h

h 2

0

A 02 2

hb b y bhA dA h y dy hy

h h

2 3

2

0

0 0

1 1 1 1

2 3 3

2

h h

h

C

A

b b b y y hy ydA y h y dy hy y dy h

bhA A h A h h

Page 37: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (22/26)

3.1.1 Primeri izračunavanja momenata inercije jednostavnih preseka (5/7)

Primer 2. Odrediti koordinate težišta trougla i aksijalne momente inercije za

ose x, i x1. (2/2)

2 2 2 3

0 0

3 4 4 4 4 3

03 4 3 4 12 12

h h

x

A

h

b bI y dA y h y dy hy y dy

h h

b y y b h h b h bhh

h h h

23 3 3 32

12 3 2 12 18 36x C

bh h bh bh bh bhI I y A

1

23 3 2 32 4

36 3 2 36 9 2 4x C

bh h bh bh h bh bhI I h y A h

Page 38: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (23/26)

3.1.1 Primeri izračunavanja momenata inercije jednostavnih preseka (6/7)

Primer 3. Odrediti polarni i aksijalne momente inercije kružnog preseka.

2 ;dA rdr 0 :r R

22

0

0 0

2 2 2 ;2

R R

R

A

rA dA rdr rdr R

4 42 2 3

0 0

0 0

2 2 2 ; 4 2

R R

R

A

r RI r dA r rdr r dr

4

0 . 2 4

x y

I RI I

Aksijalni momenti inercije kružnog preseka su zbog osne simetrije jednaki za sve

centralne pravce.

Page 39: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (24/26)

3.1.1 Primeri izračunavanja momenata inercije jednostavnih preseka (7/7)

Primer 4. Odrediti polarni i aksijalne momente inercije kružnog prstena.

Aksijalni momenti inercije kružnog prstena su zbog osne simetrije jednaki za sve

centralne pravce.

2

2 2 2 2 2

1 2 1 1 , ;r r

A A A R r R RR R

44 4 4 4

1 2 4

0 0 0 1 1 ;2 2 2 2

R r R r RI I I

R

4

40 1 .2 4

x y

I RI I

Page 40: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (25/26)

3.1.2 Izračunavanje momenata inercije složenih preseka (1/2)

Momenti inercije složenog ravnog preseka, površine , sračunavaju

se kao zbirovi momenata inercije pojedinih delova tog preseka računato u

odnosu na istu osu, pol ili par uzajamno upravnih osa:

n

i

iAA1

;1

)(

n

i

i

xx II ;1

)(

n

i

i

yy II ;1

)(

n

i

i

xyxy II

Page 41: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESEKA

3. Momenti inercije ravnih preseka (26/26)

3.1.2 Izračunavanje momenata inercije složenih preseka (2/2)

Primer 5. Izračunati aksijalni moment inercije za x-osu složenog ravnog preseka

2 22

1 2 32 ;

2 4

a aA A A A a

3 3 3 4 4 41 2 3 42 2 2 19

.12 3 12 12 3 24 24

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x

a a a a a a a a aI I I I a

Page 42: TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA/PRED… · Poprečni preseci štapa su pravilne figure sastavljene iz definisanih ... Zbog toga se koriste složenije geometrijske karakteristike

1. Definisati statičke momente ravnog preseka za ose Dekartovog

koordinatnog sistema 0xy.

2. Koju osu se naziva centralnom? Kolika je vrednost statičkog

momenta za centralnu osu?

3. Definisati momente inercije ravnog preseka za ose Dekartovog

koordinatnog sistema 0xy.

4. Dokazati Štajnerovu teoremu o momentima inercije za

paralelne ose od kojih je jedna centralna.

Kontrolna pitanja 9

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

OTPORNOST MATERIJALA