ČvrstoĆa - sveučilište u · pdf filestatiČki momenti i momenti inercije ravnih...

ČVRSTOĆA

13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA

Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog, od površine poprečnog presjeka, tako kod savijanja štapa važnu ulogu imaju aksijalnii centrifugalni momenti inercije poprečnog presjeka štapa s obzirom na os kroz težište presjeka, a pri uvijanju polarni moment inercije s obzirom na težište presjeka.


U statici krutih tijela pri određivanju težišta statičkim momentima ravne figure površine F s obzirom na bilo koje osi x i y nazivamo dvostruke integrale:

Njihova je dimenzija [cm3].

x(F)

S ydF= ∫∫ y(F)

S xdF= ∫∫


y ys

x dF

y

x

F

0

Sxs

x0

y0

y

x dF

y

xF0

y

x dF

y

x0 (z)

xdF

y

F

a) b) c)

ρ


Označimo li koordinate težišta S figure u sustavu 0xy sa x0 i y0, možemo prema Varignon-ovom teoremu napisati:

odatle dobivamo koordinate težišta

Za težišne osi xs i ys tada je:

x 0S Fy= y 0S Fx=

y0

Sx

F= x

0S

yF

=

sxS 0=syS 0=


Momenti inercije ravne plohe površine F (geometrijski momenti inercije, momenti površina drugog reda, kvadratni momenti površina) s obzirom na osi x i y(aksijalni momenti inercije) određeni su izrazima:

2x

(F)

I y dF= ∫∫ 2y

(F)

I x dF= ∫∫


Polarnim momentom inercije ravne plohe površine F, s obzirom na pol O nazivamo dvostruki integral:

Kako je , izraz za polarni moment inercije je:

2p

(F)

I dF= ρ∫∫2 2 2x yρ = +

( )2 2 2 2p

(F) (F) (F)

I x y dF x dF y dF= + = +∫∫ ∫∫ ∫∫

p x yI I I= +


Zamislimo da smo osi x i y (b) zakrenuli oko nepomične tačke 0, tako da su one opet međusobno okomite. Tada će suma Ix + Iy biti opet jednaka konstantnoj vrijednosti Ip. Prema tome, suma Ix + Iy ne zavisi od položaja ishodišta 0 koordinatnog sustava.

Algebarska suma aksijalnih momenata inercije Ix i Iyravne plohe, s obzirom na dvije proizvoljne međusobno okomite osi x i y što prolaze kroz istu točku, konstantna je i jednaka polarnom momentu inercije Ip s obzirom na os (z), koja prolazi kroz točku 0 i stoji okomito na ravninu plohe.


Centrifugalnim (devijacionim) momentom inercije Ixyravne figure površine F, s obzirom na dvije međusobno okomite osi što leže u ravnini figure (b), nazivamo dvostruki integral:

Iz (c) može se zaključiti da ako je jedna od osi, os simetrije površine F, onda je centrifugalni moment jednak nuli. To je zato što je svakoj vrijednosti izraza xydF s pozitivnim predznakom pridružen izraz jednake apsolutne vrijednosti ali sa suprotnim predznakom.

xy(F)

I xydF= ∫∫


Aksijalni, polarni i centrifugalni moment inercije imaju dimenziju [L4] i obično se mjere u cm4 ili mm4

(u brodogradnji i pomorstvu pri proračunu stabilitetabroda mjere se u m4).

Te veličine igraju važnu ulogu u nauci o čvrstoći, a napose u teoriji savijanja i uvijanja. Aksijalni i polarni momenti inercije uvijek su pozitivni, dok centrifugalni momenti mogu biti pozitivni, negativni ili jednaki nuli.

TEOREMI O MOMENTIMA INERCIJE

1. PRAVILO O ZBRAJANJU MOMENATA INERCIJE

Ako je ravna ploha sastavljena od više dijelova, onda je njezin moment inercije, s obzirom na os x koja leži u ravni-ni plohe, jednak algebarskoj sumi momenata inercije pojedinih dijelova s obzirom na istu os (a), što možemo izraziti ovako

I II IIIx x x xI I I I= + +


III

III

x

x

a b

cd

x x

III III

a) b)


2. PRAVILO O POMAKU DIJELOVA PRESJEKA

Moment inercije presjeka s obzirom na bilo koju os ne će se promijeniti ako cijeli presjek ili pojedine njegove dijelove pomaknemo u pravcu paralelnom s tom osi.


xh

b

c

a

a) b) c) d) e)


Na slici se vidi da se paralelnim premještajem sastavnih dijelova pravokutnog okvira mogu dobiti profili različita oblika. Kako se pri takvom premještanju ne mijenjaju ni veličine tih dijelova niti njihove udaljenosti od osi x, to znači da se ne mijenja ni aksijalni moment tih profila s obzirom na istu os x.

Za sve profile na slici vrijedi izraz za aksijalni moment inercije s obzirom na os x:

( )3 3x

1I bh ac12

= −


3. PRAVILO O PRIJENOSU MOMENTA INERCIJE

Moment inercije presjeka s obzirom na os x', koja je paralelna s osi kroz težište presjeka, jednak je momentu inercije tog presjeka s obzirom na težišnu os, plus umnožak iz površine presjeka i kvadrata udaljenosti osi x' od težišne osi (Steiner-ovo pravilo).


ys

dF

x'F

Sx

y

a

e


Dokaz Steiner-ovog pravila

Moment inercije površine prema slici u odnosu na os x’može se odrediti prema relaciji:

( ) ( )222 2 2x ' s s s

(F) (F) (F)

I y dF y a dF y 2y a a dF= = + = + + =∫∫ ∫∫ ∫∫

2 2s s

(F) (F) (F)

y dF 2a y dF a dF= + +∫∫ ∫∫ ∫∫


Prvi član relacije

predstavlja moment inercije u odnosu na paralelnu os kroz težište presjeka xs.

Drugi član izraza

je statički moment površine u odnosu na vlastito težište te je prema definiciji jednak nuli.

2s s

(F)

y dF I=∫∫

s(F)

y dF∫∫


Treći član izraza

što znači da je ukupni aksijalni moment inercije u odnosu na os x’ određen izrazom

što odgovara definiciji Steiner-ovog pravila.

2 2

(F)

a dF a F=∫∫

2x ' xI I a F= +


Primjer: Proračun momenta inercijeza pravokutni presjek za osi kroz težište presjeka te proračun momenta inercije za os x’:

y' y

x'

xh2

h2

dF dy

y

F

S

x dx

b2

b2


Moment inercije pravokutnog presjeka prema slici u odnosu na os x koja prolazi kroz težište presjeka S može se odrediti kako slijedi:

h / 2h / 2 b / 2 3 32 2

xh / 2 b / 2 h / 2

y bhI y dx dy y dy dx b3 12

++ +

− − −

⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫∫ ∫ ∫

3

xbhI12

=


Analogno vrijedi izraz za moment inercije s obzirom na os y koja prolazi kroz težište presjeka S:

Aksijalne momente inercije u odnosu na osi x’ i y’ određujemo prema Steiner-ovom pravilu:

3

yhbI12

=

2 23 3

x ' xh bh h bhI I F bh2 12 2 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


i analogno vrijedi za os y’

3

x 'bhI3

=

3

y 'hbI3

=


Polarni moment inercije s obzirom na težište S je:

Kako se radi o simetričnom presjeku centrifugalni moment inercije jednak je nuli.

( )3 3

2 2s x y

bh hb bhI I I b h12 12 12

= + = + = +

xyI 0=


Osim momenata inercije, u primjeni je često važan i moment otpora presjeka definiran relacijom:

gdje je:- Wx aksijalni moment otpora presjeka s obzirom na os kroz težište, - e je najveća udaljenost konture presjeka od osi kroz njegovo

težište, - dimenzija momenta otpora je [cm3, mm3].

xx

IW

e=


4. CENTRIFUGALNI MOMENTI INERCIJE

Centrifugalni moment inercije presjeka s obzirom na dvije međusobno okomite osi, koje su paralelne s osima kroz težište presjeka, jednak je centrifugalnom momentu inercije toga presjeka s obzirom na težišne osi, plus umnožak iz površine presjeka i razmaka između oba para paralelnih osi.

x ' y ' xyI I Fab= +


Iz pravila koja određuju promjene momenata inercije pri translaciji koordinatnog sustava,može se zaključiti da:

• a) Od svih momenata inercije ravne plohe s obzirom na paralelneosi najmanju vrijednost ima moment inercije s obzirom na os što prolazi kroz težište plohe.

• b) Momenti inercije ravne plohe s obzirom na dvije paralelne osi, koje su jednako udaljene od težišta, imaju jednake vrijednosti,

• c) Polarni moment inercije ravne plohe ima najmanju vrijednost ako se pol nalazi u težištu plohe,

• d) Za centrifugalni moment ne postoji minimum.

ČvrstoĆa - sveučilište u · pdf filestatiČki momenti i momenti inercije ravnih...

Documents