integration corrige

Download Integration Corrige

Post on 07-Mar-2016

261 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

08

TRANSCRIPT

  • Planche no 8. Intgration sur un intervalle

    quelconque. Corrig

    Exercice no 1

    1) Pour x > 0, x2 + 4x+ 1 > 0 et donc la fonction f : x 7 x+ 2x2 + 4x + 1 est continue sur [0,+[. Quand x tendvers +, x + 2 x2 + 4x + 1 = 3

    x+ 2+x2 + 4x + 1

    3

    2x. Comme la fonction x 7 3

    2xest positive et non intgrable

    au voisinage de +, f nest pas intgrable sur [0; +[.2) Pour x > 1, 1+

    1

    xest dfini et strictement positif. Donc la fonction f : x 7 e

    (1+

    1

    x

    )xest dfinie et continue sur

    [1,+[.Quand x tend vers +,

    (1+

    1

    x

    )x= ex ln(1+

    1

    x) = e1

    1

    2x+o(1x ) = e

    e

    2x+ o

    (1

    x

    )puis f(x)

    x+

    e

    2x. Puisque la fonction

    x 7 e2x

    est positive et non intgrable au voisinage de +, f nest pas intgrable sur [1,+[.3) La fonction f : x 7 ln x

    x + exest continue sur ]0,+[, de signe constant sur ]0, 1] et sur [1,+[.

    En 0, ln xx+ ex

    ln x et donc f(x) =x0

    o

    (1x

    ). Comme

    1

    2< 1, la fonction x 7 1

    xest intgrable sur un voisinage de 0

    droite et il en est de mme de la fonction f.

    En +, f(x) ln xex

    = o

    (1

    x2

    ). Comme 2 > 1, la fonction x 7 1

    x2est intgrable sur un voisinage de + et il en est de

    mme de la fonction f.Finalement, f est intgrable sur ]0,+[.4) La fonction x 7 3x+ 1 3x est continue et strictement positive sur [0,+[. Donc la fonction f : x 7 ( 3x+ 1 3x)xest continue sur [0,+[.En +, ln ( 3x+ 1 3x) = 1

    3ln x+ ln

    ((1+

    1

    x

    )1/3 1

    )=1

    3ln x+ ln

    (1

    3x+O

    (1

    x2

    ))=

    2

    3ln x ln 3+O

    (1

    x

    ). Par

    suite,x ln

    (3x+ 1 3

    x)=

    2

    3

    x ln x ln 3

    x+ o(1).

    Mais alors x2f(x) =x+

    exp

    (2

    3

    x ln x ln 3

    x+ 2 ln x+ o(1)

    )et donc lim

    x+x2f(x) = 0. Finalement, f(x) est ngli-

    geable devant1

    x2en + et f est intgrable sur [0,+[.

    5) La fonction f : x 7 ex2x est continue sur [1,+[ car, x > 1, x2 x > 0.Quand x tend vers +, x2f(x) = exp(x2 x+ 2 ln x) = exp(x + o(x)) et donc x2f(x)

    x+0. f(x) est ainsi

    ngligeable devant1

    x2au voisinage de + et donc f est intgrable sur [1,+[.

    6) La fonction f : x 7 x lnx est continue sur ]0,+[. Quand x tend vers 0, x lnx = e ln2 x 0. La fonction f se prolonge par continuit en 0 et est en particulier intgrablesur un voisinage de 0 droite.

    Quand x tend vers +, x2f(x) = exp( ln2 x+ 2 ln x) 0. Donc f est ngligeable devant 1x2

    quand x tend vers +et f est intgrable sur un voisinage de +.Finalement, f est intgrable sur ]0,+[.7) La fonction f : x 7 sin(5x) sin(3x)

    x5/3est continue sur ]0,+[.

    Quand x tend vers 0, f(x) 5x 3xx5/3

    =2

    x2/3> 0. Puisque

    2

    3< 1, la fonction x 7 2

    x2/3est positive et intgrable sur un

    voisinage de 0 droite et il en est de mme de la fonction f.

    En +, |f(x)| 6 2x5/3

    et puisque5

    3> 1, la fonction f est intgrable sur un voisinage de +.

    Finalement, f est intgrable sur ]0,+[.

    c Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits rservs. 1 http ://www.maths-france.fr

  • 8) La fonction f : x 7 ln xx2 1

    est continue sur ]0, 1[]1,+[. En 0, f(x) ln x = o

    (1x

    ). Donc f est intgrable sur un voisinage de 0 droite.

    En 1, f(x) ln x2(x 1)

    1

    2. La fonction f se prolonge par continuit en 1 et est en particulier intgrable sur un voisinage

    de 1 gauche ou droite.

    En +, x3/2f(x) ln xx

    = o(1). Donc f(x) est ngligeable devant1

    x3/2quand x tend vers + et donc f est intgrable

    sur un voisinage de +.Finalement, f est intgrable sur ]0, 1[]1,+[.9) La fonction f : x 7 ex2

    |x|est continue sur ] , 0[]0,+[ et paire. Il suffit donc dtudier lintgrabilit de f sur

    ]0,+[.f est positive et quivalente en 0 droite

    1x

    et ngligeable devant1

    x2en + daprs un thorme de croissances

    compares.

    f est donc intgrable sur ]0,+[ puis par parit sur ] , 0[]0,+[. On en dduit que+

    ex|x|

    dx existe dans R et

    vaut par parit 2

    +0

    ex|x|

    dx.

    10) La fonction f : x 7 1(1 + x2)

    1 x2

    est continue et positive sur ] 1, 1[, paire et quivalente au voisinage de 1

    droite 1

    22(1 x)1/2

    avec1

    2< 1. f est donc intgrable sur ] 1, 1[.

    11) La fonctionf : x 7 13x2 x3

    est continue et positive sur ]0, 1[, quivalente au voisinage de 0 droite 1

    x2/3et au

    voisinage de 1 gauche 1

    (1 x)1/3. f est donc intgrable sur ]0, 1[.

    12) La fonctionf : x 7 1Arccos(1 x)

    est continue et positive sur ]0, 1].

    En 0, Arccos(1 x) = o(1). Donc Arccos(1 x) sin (Arccos(1 x)) =1 (1 x)2 =

    2x x2

    2x.

    Donc f(x) x0

    12xet f est intgrable sur ]0, 1[.

    Exercice no 2

    1) Pour tout couple de rels (a, b), la fonction f : x 7 1xa lnb x

    est continue et positive sur [2,+[. Etudions lintgrabilitde f au voisinage de +.1er cas. Si a > 1, x(a+1)/2f(x) =

    1

    x(a1)/2 lnb x

    x+0 car

    a 1

    2> 0 et daprs un thorme de croissances compares.

    Donc f(x) =x+

    o

    (1

    x(a+1)/2

    ). Comme

    a+ 1

    2> 1, la fonction x 7 1

    x(a+1)/2est intgrable sur un voisinage de + et il

    en est de mme de f. Dans ce cas, f est intgrable sur [2,+[.2me cas. Si a < 1, x(a+1)/2f(x) =

    x(1a)/2

    lnb x

    x++ car 1 a

    2> 0 et daprs un thorme de croissances compares.

    Donc f(x) est prpondrant devant1

    x(a+1)/2en +. Comme a+ 1

    2< 1, la fonction x 7 1

    x(a+1)/2nest pas intgrable

    sur un voisinage de + et il en est de mme de f. Dans ce cas, f nest pas intgrable sur [2,+[.3me cas. Si a = 1. Pour X > 2 fix , en posant t = ln x et donc dt =

    dx

    xon obtient

    X2

    1

    x lnb xdx =

    lnXln 2

    dt

    tb.

    Puisque lnX tend vers + quand X tend vers + et que les fonctions considres sont positives, f est intgrable sur[2,+[ si et seulement si b > 1.En rsum ,

    c Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits rservs. 2 http ://www.maths-france.fr

  • la fonction x 7 1xa lnb x

    est intgrable sur [2,+[ si et seulement si a > 1 ou (a = 1 et b > 1).

    (En particulier, la fonction x 7 1x ln x

    nest pas intgrable sur voisinage de + bien que ngligeable devant 1xen +).

    2) Pour tout rel a, la fonction f : x 7 (tan x)a est continue et strictement positive sur ]0, 2

    [. De plus, pour tout rel

    x de]0,

    2

    [, on a f

    (2 x

    )=

    1

    f(x).

    Etude en 0 droite. f(x) x0

    xa. Donc f est intgrable sur un voisinage de 0 droite si et seulement si a > 1.

    Etude en 2 gauche. f(x) =

    1

    f(2 x

    ) xpi

    2

    (2 x

    )a. Donc f est intgrable sur un voisinage de

    2 gauche si et

    seulement si a > 1 ou encore a < 1.

    En rsum, f est intgrable sur]0,

    2

    [si et seulement si 1 < a < 1.

    3) Pour x > 1, 1 +1

    xest dfini et strictement positif. Donc pour tout couple (a, b) de rels, la fonction f : x 7(

    1+1

    x

    )1+ 1x

    ab

    xest continue sur [1,+[.

    En +,(1+

    1

    x

    )ln

    (1+

    1

    x

    )=

    (1+

    1

    x

    )(1

    x+O

    (1

    x2

    ))=

    1

    x+ O

    (1

    x2

    )puis

    (1+

    1

    x

    )1+ 1x

    = exp

    (1

    x+O

    (1

    x2

    ))=

    1+1

    x+O

    (1

    x2

    )et donc

    f(x) =x+

    (1 a) +1 b

    x+O

    (1

    x2

    ).

    Si a 6= 1, f a une limite relle non nulle en + et nest donc pas intgrable sur [1,+[. Si a = 1 et b 6= 1, f(x)

    x+

    1 b

    x. En particulier, f est de signe constant sur un voisinage de + et nest pas intgrable

    sur [1,+[. Si a = b = 1, f(x) =

    x+O

    (1

    x2

    )et dans ce cas, f est intgrable sur [1,+[.

    En rsum, f est intgrable sur [1,+[ si et seulement si a = b = 1.4) Pour tout couple (a, b) de rels, la fonction f : x 7 1

    xa(1+ xb)est continue et positive sur ]0,+[.

    Etude en 0.-Si b > 0, f(x)

    x0

    1

    xa, et donc f est intgrable sur un voisinage de 0 si et seulement si a < 1,

    -si b = 0, f(x) x0

    1

    2xa, et donc f est intgrable sur un voisinage de 0 si et seulement si a < 1,

    -si b < 0, f(x) x0

    1

    xa+b, et donc f est intgrable sur un voisinage de 0 si et seulement si a+ b < 1.

    Etude en +.-Si b > 0, f(x)

    x0

    1

    xa+b, et donc f est intgrable sur un voisinage de + si et seulement si a+ b > 1,

    -si b = 0, f(x) x0

    1

    2xa, et donc f est intgrable sur un voisinage de + si et seulement si a > 1,

    -si b < 0, f(x) x0

    1

    xa, et donc f est intgrable sur un voisinage de + si et seulement si a > 1.

    En rsum, f est intgrable sur ]0,+[ si et seulement si ((b > 0 et a < 1) ou (b < 0 et a+b < 1)) et ((b > 0 et a+b > 1)ou (b 6 0 et a > 1)) ce qui quivaut (b > 0 et a+ b > 1 et a < 1) ou (b < 0 et a > 1 et a+ b < 1).

    Reprsentons graphiquement lensemble des solutions. La zone solution est la zone colore.

    c Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits rservs. 3 http ://www.maths-france.fr

  • 12

    1

    2

    1 2 312

    a

    b

    Exercice no 3

    1) Soient et X deux rels tels que 0 < < X. Les deux fonction x 7 1 cos x et x 7 1xsont de classe C1 sur le segment

    [, X]. On peut donc effectuer une intgration par parties et on obtientX

    sin x

    xdx =

    [1 cos x

    x

    ]X

    +

    X

    1 cos x

    x2dx =