td2 corrige
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TD : Gnralits en rgime continu et en rgime sinusodal Exercice 1 : Ladaptation dimpdance en rgime continu (**) Ladaptation dimpdance est, malheureusement, un terme utilis par les lectroniciens pour dcrire deux fonctions diffrentes:
- la recherche dune impdance adapte pour transmettre un maximum de puissance une charge
- la recherche dune impdance adapte pour transmettre au mieux linformation cest--dire une tension un tage qui suit.
1) Ladaptation dimpdance et la transmission dun maximum de puissance:
On va modliser la sortie dun amplificateur audio par un modle de Thvenin et le haut parleur quil alimente par une rsistance Rhp :
Rth
Vth Rhp
1)a) Donnez lexpression du courant I de cette maille en fonction de Rth, Rhp et Vth. En appliquant la loi des mailles et la loi dOhm, on a :
)(
)(
thhp
th
thhpth
RRV
I
IRRV
+=
+=
1)b) Donnez ensuite lexpression de la puissance P absorbe par la rsistance Rhp en fonction de Rth, Rhp et Vth. Par dfinition de la puissance, on a :
2
22
)( thhpthhp
hpR RRVR
IRIUPhp +
===
1)c) Donnez alors la condition sur Rhp pour que la fonction P(Rhp) soit maximum cest--dire la valeur de Rhp qui permet un transfert maximum de puissance vers le haut- parleur.(pensez une tude de fonction et lutilisation de la drive)
La question demande en fait de calculer la valeur de RhP qui annule la drive. En admettant que la drive seconde soit positive en ce point, cette valeur de Rhp correspondra une valeur maximale de la puissance consomme par la charge.
I
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-
- 2 -
+
-=
+
+-+=
+=
+=
2
222
2
22
22
2
2
)(
)()(
)(
)(2)(
)()(
)(
thhp
hpthth
hp
hp
thhp
hpthhpthhpth
thhp
hp
hpth
thhp
thhp
hphp
hp
RR
RRV
dRRdP
RR
RRRRRV
RR
RdR
dVRR
VRdR
ddR
RdP
On voit alors que la drive sannule pour :
hpth
hpth
hpth
RRSoit
RRRR
=
=
=
:
22
Ainsi pour transmettre un maximum de puissance une charge purement rsistive, il faut que la rsistance de la charge soit gale la rsistance de sortie de ltage dalimentation.
2) Ladaptation dimpdance et la transmission de linformation: On va modliser un microphone par un modle de Thvenin et lentre de lamplificateur audio par une rsistance Re:
Rth
ReVth
2)a) Donnez lexpression de la tension Ve lentre de lamplificateur en fonction en fonction de Re, Rhp et Vth. Il suffit dappliquer le pont diviseur de tension :
ththe
ee VRR
RV
+=
2)b) Comment faut-il choisir Re pour que la tension Vth (dj faible et que lon veut amplifier) ne soit pas attnue quand elle va entrer dans lamplificateur. Justifiez
En choisissant Re>>Rth alors ththe
ee VVR
RV . En choisissant une rsistance trs grande par
rapport la rsistance de sortie de ltage prcdent, on transmet au mieux le signal pour son traitement.
Ve
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Exercice 2 : Point de fonctionnement (*):
A) 1e cas (tir de lexamen 2006):
On utilise une LED afin dapprcier la vitesse de rotation dun moteur dans le circuit suivant :
La caractristique I(Vd) est donne ci-dessous :
V(V1)- V(V2)
0V 100mV 200mV 300mV 400mV 500mV 600mV 700mVI(D1)
2.5mA
5.0mA
7.5mA
0.0mA
9.6mA
1) a) A laide de la loi des mailles, donnez lexpression de I(Vd) quimpose le circuit la diode. Daprs la loi des mailles :
8,110.
8,110.5,7 33 -- -=
-=
+=
VdI
RVdEI
VdRIE
1) b) Dterminez graphiquement le point de fonctionnement de la diode en utilisant la caractristique de la diode.
Deux points sont ncessaires pour tracer la caractristique du circuit extrieur la diode :
)83,3;6,0(83,3)6,0()17,4;0(17,4)0(
mAVmAVImAVmAI
==
Le point dintersection des deux caractristiques (donc le point de fonctionnement) est donn par : (0,64V ;3,80mA)
E = 7.5Vdc D1N4004
R
1,8k
Vd
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2) On dsire ensuite faire une modlisation de Thvenin de la diode en effectuant une linarisation par morceaux de la caractristique de la diode autour de son point de fonctionnement. Dessinez la tangente la caractristique de la diode au niveau du point de fonctionnement. Dterminez son quation Vd(I). Dessinez alors le schma lectrique quivalent de la diode et calculez les diffrents paramtres introduis.
On a donc galement le graphe suivant :
Vd 0,640V 0,585V I 3,80mA On en dduit alors une pente de 14,5. Le modle lectrique quivalent est donc : 0,585V I 14,5 Vd
B) 2e cas : Ralisation dun capteur de temprature
On effectue grce Orcad la simulation suivante o lon trace la caractristique de la diode 1N4007 pour diffrentes tempratures 0C, 20C, 40C, 60C, 80C et 100C.
V_V1
0V 0.2V 0.4V 0.6V 0.8V 1.0V 1.2V-I(V1)
0A
1.0A
2.0A
3.0A
4.0A
5.0A
6.0A
7.0A
8.0A
Zoom
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Zoom :
V_V1
0V 0.04V 0.10V 0.16V 0.22V 0.28V 0.34V 0.40V 0.46V 0.52V 0.58V 0.64V 0.70V 0.76V 0.82V 0.88V 0.94VI(D1)
0A
0.5mA
1.0mA
1.5mA
2.0mA
1)a) On insre le diode dans un montage (dessin ci-dessous) aliment par un gnrateur de courant idal dlivrant 1mA. Placez sur le graphe ci-dessus les points de fonctionnement pour les diffrentes tempratures
I1
D1
1N4004
1 2
1)b) Reprez les tensions Vd aux bornes de la diode lorsquelle est parcourue par un courant de 1 mA, remplir le tableau, tracez V = f (T) et en dduire lquation de la courbe. Conclusion.
T(C) 0 20 40 60 80 100
Vd(Volt) 0,63 0,59 0,55 0,51 0,47 0,42 V
100C 0C
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 T(C)
0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,4
Vd=0,63-2,1.10-3T
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On propose le circuit suivant pour rcuprer la temprature :
2)a) Donnez lexpression de la tension US1 la sortie de lAO1. Quelle fonction est ainsi ralise ? Il faut prendre lhabitude dans les structures A.0 dutiliser Millman :
refSSref
Sref
UVdUR
UR
UR
Vd
RR
RU
RU
RR
RVd
-=+=+
+=
+1
1
1
1111
Cest donc une opration de soustraction qui est ralise 2)b) Donnez la relation entre Us et US1 ? De mme en utilisant Millman
111
1
1
1
1
0011 R
RUU
RU
RU
RR
RU
RU
S
SSS
SS
-==+=+
+
2)c) Comment devons-nous choisir R1 et Uref pour que US donne une lecture directe de la temprature sachant que R = 100 k. Daprs les deux rsultats prcdents :
TUTRRUVd
RRU
RRU refrefSS =---=--=-=
- )10.1,263,0()( 311
11
Si W==== -- 21010.1,2110.1,2;63,0 3131
RRRRVU ref
+
_
U
M
S1
R
U
R
ER
E
2
1
URef
R
+
_
UT
R
S
R1
(DEL)
AO1
AO2
Vd Us
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Exercice 3 : Le pont diviseur de tension et ses limites (*):
1)a) On considre le circuit suivant: I
R1
0
R2E
Aprs avoir flch le courant et les tensions des diffrents diples, donnez lexpression de la tension aux bornes de la rsistance R2
En appliquant le pont diviseur de tension : ERR
RVR
21
22 +
=
1)b) On dsire vrifier exprimentalement la relation prcdente laide dun oscilloscope modlisable par une rsistance Roscilloscope. On obtient alors le circuit suivant :
R1
0
R2 RoscilloscopeE
Donnez alors lexpression de la tension aux bornes de R2 ou Roscilloscope. Sachant que la tension lue sur loscilloscope est la tension aux bornes de R2, quelle est la condition sur R2 pour que le diviseur de tension soit vrifi?
22
2
2
12 :;
RRRRRR
RRRavecE
RRR
V
osceq
osc
osceq
eq
eqR
>>
+=
+=
2)(Question issue de lexamen 2004) On considre le circuit suivant:
VeR5R3R1 R4
R2
Vs
I
Sachant que la rsistance R4 et bien plus petite que la rsistance R5, redessinez un circuit simplifi par rapport au prcdent et donnez ensuite lexpression de Vs en fonction de Ve, R2, R3 et R4.
ERRRRR
RRV
E
RRRRRRR
RRV
R
R
42421
422
42
421
42
422
)(
1
++=
+++
=
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Exercice 4 : Utilisation du thorme de Millman (**) Les filtres tudis ici interviennent dans ltage dentre dun systme de rception de tlvision.
A) 1e filtre (issu de lexamen de 1984):
R Resistance
IO7 Douille
C5
Condensateur_Polarise
IO1
Douille
GND
R
4,7k IO6 Douille
C4
Condensateur
C
100nF
nC 470nF
C3
Condensateur
IO4
Douille
15V
IO5 Douille
15V
R
4,7k
IO2
Douille
U2
TL081/301/TI
3
2
7
4
6 1
5
+
- V+
V- OUT
N1
N2
-15V
R
4,7k C6
Condensateur_Polarise
-15V
GND
GND
GND
IO3
Douille
1)a) A laide de Millman, calculez le potentiel P en utilisant les impdances complexes. En utilisant Millman, on obtient donc :
ww RjnCsVeV
jnCR
RsV
ReV
ZRRR
ZRRsV
ReV
V
nC
nCP +
+=
+
+=
+++
+++
=331111
00
1)b) Exprimez ensuite le potentiel en P en fonction de la tension de sortie en appliquant Millman sur la borne inverseuse de lAO. En appliquant Millman sur la borne inverseuse de lA.O :
C
SP
C
SP
C
SP
C
C
SP
ZV
RVZV
RV
ZV
RV
ZR
ZV
RV
V -=-==++
+==- 0
110
1)c) Montrez que la fonction de transfert peut de mettre sous la forme :
2
00
)(21
1)(
ww
ww
wjmj
jT++
-= On donnera les expressions de 0w et m
En utilisant les deux dernires relations, on a :
Ve Vs
P
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( )
( )2222
2222
311
31
)3(3
3
ww
ww
ww
w
w
CnjRrjCeVsV
eVCnjRrjCsV
sVeVRjnCVRjCRjnC
sVeVZV
R
RjnCsVeVV
ZV
RV
S
C
S
P
C
SP
++
-=
-=++
+=+-
++
=-
++
=
-=
Par identification, on a alors :
nm
RCn 23;10 ==w
B) 2e filtre (pour les lves laise):
0
C2
VCC
V15Vdc
00
TXDR U1
TL081/301/TI
3
2
74
6
1
5
+
-
V+
V-
OUT
N1
N2
P
TXS
R -VCC
V2-5Vdc
VCC
-VCCC3
Donnez lexpression de la fonction de transfert en notation complexe de ce filtre sous la
forme : 2
00
0
21
++
=
ww
ww jmj
TTXDTXS On donnera lexpression de 0w , m et 0T en fonction
des valeurs de composants L aussi la mthode consiste appliquer Millman deux fois :
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- 10 -
232
223
22
3222
32
223
23
2
3
2
2
3
3
2
2
2
2
211
)122(
)1()2)(1()2)(1()1(
12
)1(
111
2)1(
111
ww
wwww
wwwww
ww
ww
w
ww
CCRjRCjTXDTXS
TXDRjCCCRjRjCRjCTXSRjCTXSTXDRjCRjCTXS
RjCRjCRjCTXSTXDTXS
RjCRjC
RjCTXSTXD
TXS
RjCV
ZR
R
V
TXSV
RjCRjCTXSTXD
RZR
RTXS
ZTXS
RTXD
V
p
C
p
C
CP
++=
=--+++
++=++++
++=
+
+
++
=
+=
+==
+++
=++
++
=
-
On peut alors en dduire :
1
1
0
2
3
320
=
=
=
TCC
m
CCRw
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Exercice 5 : Pont de Wheastone (issu de lexamen de 2009) (**) La rsistance de platine est utilise comme capteur prcis en temprature dans un montage appel pont de Wheaston. La rsistance de platine suit la loi suivante en fonction de la temprature T applique : )1(0 ATRR pt += o 0R et A sont des constantes.
R1
100k
0
A B
RptR2
80
V110Vdc
R3
100k
1) Trouvez la condition dquilibre du pont en utilisant le thorme de Thvenin. On peut modliser le diple AB par un M.E.T : 1e tape : On isole le brin modliser (dj fait !) 2e tape : On calcule la tension de Thevenin :
13
3
21
1 VRR
RRR
RUUE
ptBAth
+-
+=-=
3e tape : On calcule la rsistance de Thvenin en teignant toutes les sources :
B
Rpt
R3
A
R2
R1
Soit une rsistance quivalente :
3
3
21
21
RRRR
RRRRR
pt
ptth +
++
=
4e tape : On a le MET :
Eth
B
Rth
A
Le pont est quilibr lorsque lon mesure avec un voltmtre une tension nulle entre A et B. Le Voltmtre imposant un courant nul cela revient
avoir 231
213313
3
21
11
3
3
21
1
:
)()(
RRRRSoit
RRRRRRRR
RRR
RV
RRR
RRR
E
pt
ptptpt
th
=
+=++
=+
+-
+=
:
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2) On donne W= 1000R et 1310.9,3 -- = CA . Donnez la valeur de la temprature 0T
pour laquelle le pont est quilibr. Cette condition dquilibre du pont nest valable que pour une temprature note 0T :
CRR
AT
RATRRRAvec
RRATRRRRTRR pt
-
-=
=+
==+
=
5111
)1(:
)1(
)(
0
20
200
31
23001
2301
3) Si on pose )1(0
00 TTTTTT D+=D+= avec TD traduisant un cart de temprature par
rapport 0T . Montrez que TARRR pt D+= 02 On a daprs les questions prcdentes et les hypothses du texte:
TARRTARATRTTARATRR pt D+=D++=D++=+= 02000000 )1())(1()1(
4) Montrez que la tension ABU peut scrire :
+
D= 2
21
011 )( RR
TARRVU AB laide dun
dveloppement limit sachant que 210 RRTAR +
-
- 13 -
6) On dsire amplifier cette tension laide dun amplificateur dinstrumentation dont la structure est donne ci-dessous. On va considrer les impdances dentre des A.O. comme infinies.
6)a) Donnez lexpression de la tension aux bornes de la rsistance rglable RG en fonction de ABU puis en fonction de RG et I Les A.O tant linaires ici, on a :
IRUU GAB =- 6)b) En dduire alors lexpression de V1-V2 en fonction entre autre du courant I Il suffit dutiliser la loi dOhm et des mailles :
IkRVV G )50(21 W+=-
6)c) Montrez que BAG
URkVV )501(21W+=-
Daprs les deux questions prcdentes : IRUU GAB =-
)501()50()50(21G
BAG
BAGG R
kUR
UkRIkRVV W+=W+=W+=-
6)d) Donnez lexpression de la tension de sortie sachant que la tension Ref est nulle. En utilisant le thorme de Millman :
W+D=
W+=-=
+
+=
+
-
GGAB R
kTR
kUVVV
RR
RV
RV
RR
RV
50110.9,3501)(1111
5120
012
6)e) Quelle est la valeur donner RG pour que la tension de sortie soit de lordre de 1V pour TD = 51C ? Daprs la question prcdente :
W
-
=
W+D=
-
-- 1001
5110.9,3110.5050110.9,3
1
535
0 GG
RR
kTV
A
B V1
V2
I
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Exercice 6 : Entranement lapplication des thormes (***): On souhaite dterminer la tension U par deux mthodes :
6Vdc
4
5
10
U
4
5Vdc
9Vdc8
1) Dterminez la tension U par en utilisant le thorme de Thvenin On effectue les 4 tapes : 1e tape : On isole le diple modliser :
8
5Vdc
4
A
10
56Vdc
0
B
V3
9Vdc
2e tape : On dtermine la tension de Thvenin :
VE
VU
VUU
th
B
AA
12
33559)9(
1055
9266856
8485
=
-=
-=-+
=
=
+=+
=-
3e tape : On calcule la rsistance de Thvenin aprs avoir teint toutes les sources :
B
10
5
A
4
8
W=
+
=+
++
= 635510
2648
510510
4848
thR
4e tape : Le M.E.T :
4
A
Rth
B
Eth
On trouve alors une tension U : VU 8,412
644
=+
=
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2) Par le principe de superposition
Il faut faire autant dtapes quil y a de gnrateurs : Ici 3 tapes : 1e tape :
8
4 4
A
10
56Vdc
0
B
Ce montage peut se simplifier :
8
4 4
A
50/156Vdc
B
Puis en utilisant lquivalence entre le gnrateur de tension et de courant:
8
4
A
6/44
50/15
B
4
A
6/432/12
50/15
B
Puis en utilisant lquivalence entre le gnrateur de courant et le gnrateur de tension
(6/4)*(32/12)
4
A32/12
50/15
B
On peut alors trouver le courant traversant la rsistance de 4 :0,4A En faisant de la mme manire pour les deux autres gnrateurs de tension, on trouve un courant total de 1,2A. Soit une tension U = 4,8V.
3) Par simplification successives du circuit Cette mthode est base sur lquivalence gnrateur de courant/gnrateur de tension. Donc le circuit simplifi est le suivant :
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4
4
A
3
8/3
5
10/3
B
On trouve alors un courant de 1,2A traversant la rsistance de 4 et donc une tension de 4,8V ses bornes.
4) Par application de Millman Si on applique Millman en A et B, on trouve :
11185
101
51
41
109
4
5227
41
81
41
485
411
-=
++
-=
+=
++
++=
AB
A
B
BA
B
A
UU
U
U
UU
U
U
On alors un systme de 2 quation 2 inconnues que lon peut rsoudre facilement :
VUVU
VU
A
B
8,48,5
1
===
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Exercice 7 : Filtre audio (*) La plupart des amplificateurs audiofrquences (HI-FI, amplificateurs dinstruments lectroacoustiques) correcteur analogique graves/aigus utilisent une structure de type Baxandall (dit filtre papillon ), qui permet damplifier ou dattnuer les frquences basses et les frquences hautes du spectre audiofrquence, ainsi que de rgler le volume global avec un nombre minimal de composants. Nous ntudierons ici que la structure de filtrage sous forme dun correcteur de type Baxandall pour ajuster les frquences graves. Le schma du correcteur grave est prsent ci-contre. Les rsistances P1_1 et P1-2 reprsentent un potentiomtre. On utilisera les simplifications suivantes : Valeur totale du Potentiomtre = P ; R1= R2 =R ; C1 = C2 = C A) Pour la position correspondant x = 0 (curseur du potentiomtre gauche).
1) Donnez lexpression de la fonction de transfert ( ) ( )wjvv
wjTe
s .. = en fonction de P , R1 ,
C1
Le montage considrer est donc le suivant :
P
P
Ve
R5
R
C
0
VsR
U1
TL081/301/TI
3
2
74
6
1
5
+
-
V+
V-
OUT
N1
N2
P1_1
{x*100k}
-VCC0
V11Vac0Vdc
0
Ve R5
10k
C222n
R1
22k
+VCC
U1A
TL084
3
2
411
1
+
- V+
V-
OUT
R2
22k
Vs
C1
22n
P1_2
{(1-x)*100k}
VDB
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En appliquant Millman en P :
HzPC
fPC
HzRPC
PRfRPC
PRO
j
j
RPR
PjCRPPjCR
vv
PjCPPjCR
PjCPRZAvec
RZ
vv
Zv
Rv
RZR
Zv
Rv
v
e
s
eq
eq
e
s
eq
se
eq
eq
se
P
722
11
4012
:
1
1
)1()1(
1)1(
1:
0
0111
22
11
2
1
5
===
=+=+=
+
+
+=
+++
-=
+++
=+
+=
-=
=+
=++
+
=
pw
pw
ww
ww
ww
ww
w
2) Exprimez littralement les deux frquences de coupures et faites lapplication numrique.
Cf ci-dessus. On voit clairement que ce systme amplifie de R
PR + en basses frquences
B) Pour la position correspondant x = 0,5 (curseur du potentiomtre au milieu).
1) Donnez lexpression de la fonction de transfert en utilisant les symtries du problme Par raison de symtrie, la fonction de transfert vaut -1
C) Pour la position correspondant x = 1 (curseur du potentiomtre droite). Donnez lexpression de la fonction de transfert ( ) ( )wj
vv
wjTe
s .. = en fonction de P , R1 , C1.
Il sagit dun problme analogue la partie A :
P
P
R5
CVs
0
R
U1
TL081/301/TI
3
2
74
6
1
5
+
-
V+
V-
OUT
N1
N2
VeR
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- 19 -
HzPC
fPC
HzRPC
PRfRPC
PRO
j
j
PRR
vv
PjCPPjCR
PjCPRZAvec
ZR
vv
Zv
Rv
RZR
Zv
Rv
v
e
s
eq
eqe
s
eq
es
eq
eq
es
P
722
11
4012
:
1
1
1)1(
1:
0
0111
22
11
1
2
5
===
=+
=+
=
+
+
+-=
+++
=+
+=
-=
=+
=++
+
=
pw
pw
ww
ww
ww
w
1) Donnez la frquence de coupure. Cf ci-dessus. On a ici une attnuation des basses frquences ! 2) A laide du diagramme de simulation ci-dessous reprez les positions a b et c
du potentiomtre.
Frequency
1.0Hz 10Hz 100Hz 1.0KHz 10KHz 100KHz 1.0MHz 10MHzVDB(VS)
-20
-10
0
10
20
x=1
x=0
x=0,5
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-
- 20 -
Exercice 8 : Analyse dun spectre (**) Le spectre moyen en sortie dun oscillateur 280 Hz est le suivant lorsquil est observ sur analyseur de spectre de rsistance 50 en entre:
1)a) Rappelez lexpression de la puissance consomme par une rsistance R en fonction de la tension efficace ses bornes On a, par dfinition :
RU
Rtup
RtutRitp
titutp
eff22
22
)(
)()()(
)()()(
==
==
=
1)b) Calculez les valeurs efficaces du fondamentale et des trois harmoniques les plus importantes. Il faut utiliser la relation suivante car les amplitudes )(dBmA donnes sur le graphe sont en dBm :
310
)(
10)(
32
10)(
3
2
3
2
3
2
3
10
1010
1010
10)()
10(
)10
(10)10
(10)(
-
-
-
-
--
=
=
=
=
==
dBmA
eff
dBmA
eff
dBmAeff
eff
eff
RU
RU
R
U
dBmAR
ULog
R
ULogpLogdBmA
G(dBm) Ueff -5 126mV
-55 398V -45 1,26mV -57 316V
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- 21 -
2)a) Donnez lexpression du taux de distorsion On dfinit le taux de distorsion par :
1002
1
2
2
% =
=
eff
ieffi
U
UD
2)b) Calculez le taux de distorsion de cet oscillateur On a ici :
%1100)10.126(
))10.316()10.26,1()10.398((23
262326
% ++
=-
---
D
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- 22 -
Exercice 9 : Spectre dun signal PWM (**): On considre un signal PWM de rapport cycliquea , damplitude E et de priode T
1)a) Retrouvez les instants 2Ta et T sur le graphe ci-dessous
s(t) t
2Ta
- 0 2Ta T
1)b) Calculez la valeur moyenne de ce signal. On calcule rapidement : Ea 1)c) Quelle est la parit de ce signal ? Ce signal est paire car s(t)=s(-t) : bn = 0 1d) Donnez lexpression des diffrents coefficients de Fourrier de ce signal
On a donc une somme de cosinus qui dfinissent ce signal priodique :
)(sin2)sin(2)sin(2)2
sin(4
)sin(4)cos(4)cos(4)cos()(42/
0
2/
0
2/
0
2/
0
paapapa
apa
pwa
w
ww
wwwaaa
ncEnnEn
nETn
nTEa
ntn
TEdttn
TEdttnE
Tdttnts
Ta
n
TTTT
n
===
=
====
2) Lallure de son spectre est donne ci-dessous. Reprez lharmonique 32 et en dduire
la frquence du fondamental
Lharmonique 32 est 36 MHz
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- 23 -
3) En utilisant le spectre prcdent et lharmonique de rang 8, calculez la valeur du rapport cyclique
Lharmonique de rang 8 est damplitude nulle. Il donc faut trouver la valeur du rapport cyclique qui annule le sinus cardinal soit :
818 == appa
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Exercice 10 : Encombrement spectral (examen 2008) (*)
Pour le signal trapzodal VC 063,07 =
La frquence de 4200 Hz correspond lharmonique n = 7 donc VC 45,07 =
9
5400Hz
5
3000Hz
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Exercice 11 : Sries de Fourier et transformes de Fourier (**)
A) Sries de Fourier :
1) Enoncer le thorme sur les sries de Fourier Tout signal priodique est dcomposable en une somme de sinusodes. Son spectre est alors un spectre de raies dit discret. 2) On dsire calculer la srie de Fourier du signal suivant :
a) La fonction est-elle paire ou impaire La fonction est paire car s(t) = s(-t) b) On choisit une amplitude maximum de V2 , calculez les diffrents
coefficients de Fourier ainsi que la valeur moyenne. La valeur est nulle et les coefficients de Fourier se ramnent aux calculs des an :
=
-=
+-=
-
=
-==
)2
sin(4
)sin()2
sin(22
)4
sin()2
sin()4
sin(4)sin()sin(4
)cos()cos(4)cos()(4
2/
4/
4/
0
4/
2/
4/
0
2/
0
pp
ppp
wwwww
www
www
nn
Ea
nnn
Ea
TnTnTnTn
En
tnn
tnTEa
dttnEdttnET
dttntsT
a
n
n
T
T
T
n
T
T
TT
n
a1/a1 a2/a1 a3/a1 a4/a1 a5/a1 a6/a1 a7/a1 a9/a1 1 0 1/3 0 -1/5 0 -1/7 1/9
c) Dessinez alors le spectre du signal obtenu en se limitant aux
harmoniques suprieurs 10% du fondamental. (le signal carr sera damplitude E unit et de frquence 1kHz)
t
s(t)
E
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Frequency
0Hz 2KHz 4KHz 6KHz 8KHz 10KHzV(R1:2)
0V
0.5V
1.0V
1.5V
d) On rajoute un offset de 1V au signal prcdent. Donnez alors le
spectre de ce nouveau signal. Le spectre est le mme, cependant on a rajout une composant continu de 1V :
Frequency
0Hz 2KHz 4KHz 6KHz 8KHz 10KHzV(R1:2)
0V
0.5V
1.0V
1.5V
3) Nous considrons dans tous les cas vus en cours des systmes dits linaires cest--dire qui ne font pas apparatre de nouvelles harmoniques. Cependant dans la ralit le traitement dune simple sinusode par un transistor dforme quand mme cette dernire. On obtient alors une sinusode dforme :
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Time
0s 10ms 20ms 30ms 40ms 50ms 60ms 70ms 80ms 90ms 100msV(Vs)- V(Ve)
-1.0V
-0.5V
0V
0.5V
1.0V
Le fait davoir changer lallure du signal revient avoir enrichi son spectre. Une analyse FFT donne :
Frequency
0Hz 50Hz 100Hz 150Hz 200Hz 250Hz 300Hz 350Hz 400Hz 450Hz 500HzV(Vs)- V(Ve)
0V
0.5V
1.0V
Calculez le taux de distorsion harmonique en se limitant aux frquences infrieures ou gales lharmonique de rang 3.
En utilisant la dfinition du taux de distorsion :
%16
28,0
205,0
212,0
2
22
%
+
=D
B) Les transformes de Fourier
On cherche actuellement augmenter le dbit de donnes numriques afin de transmettre un maximum dinformations en un minimum de temps. Nous allons tudier ici lencombrement spectral des signaux numriques en raisonnant sur un simple pulse laide de la transforme de Fourier
1) Tracez la fonction )(wS associe la fonction s(t) suivante :
t
1
s(t)
a/2 -a/2
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Il sagit ici dun signal qui nest pas priodique : il ne faut pas utiliser les sries de Fourier mais la Transforme de Fourier pour obtenir le spectre de ce signal temporelle.
)2
(sin2
)2
sin(22)
2sin(
22)
2exp()
2exp(
21)(
)exp(21)exp(
21)exp()(
21)(
2/
2/
2/
2/
acaaa
aaj
jajajj
S
jtjdttjdttjtsS
a
a
a
a
wp
wwp
wwp
wwwp
w
ww
pw
pw
pw
===
+--=
--=-=-=
-
+
-
+
-
-p 0 p 2a
w
On voit alors que la fonction est non nulle sur un domaine rduit entre 0 et p . Cela permet dterminer un encombrement spectral du signal :
af
a12
=D=Dp
w
On en retire un rsultat gnral : plus limpulsion est courte et plus lencombrement spectral est important. Application : On va considrer un signal vido alimentant une tlvision et issu dune antenne de rception. Le mode classique de fonctionnement consiste a avoir un signal vido constitu de pulses analogues celui tudi prcdemment dont lamplitude dcrit (dans le cas dune tlvision noir et blanc) une couleur allant du noir au blanc. Lcran dune tlvision a t partag en 625 lignes contenant chacune 360 points ( un point correspond un pulse). Enfin, pour avoir un confort visuel, on dcrit 25 fois lcran en un seconde.
2) En dduire lordre de grandeur de la dure dun pulse.
Par lecture des donnes du texte, la dure dun pulse est donne par : s17825360625
1
3) Donnez alors lencombrement spectral dun signal vido Lencombrement spectral est donc de : MHzf 6,5=D 4) Daprs vous combien de chanes peut-il y avoir avec ce type de tlvision analogique.
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Lencombrement spectral dune chane et une bande alloue comprise entre 300 MHz et 3 GHz conduit plus dune centaine de chanes.
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Exercice 12 : Cellule retard (*): Un cble coaxial peut tre vu en premire approximation comme une suite de cellule LC. On alimente lensemble laide dun gnrateur idal dlivrant une tension )cos()( tUtu w= .
CC
L L
C
L
CC
L L
1) Par un raisonnement qualitatif montrez quun signal ne peut se propager frquence trop grande.
En hautes frquences le condensateur est quivalent un fil donc toutes les tensions ui sont nulles ! 2) En appliquant Millman sur un nud An, dterminez une relation de rcurrence
entre un-1, un+1 et un. Millman donne :
( ) 02
212
211
2211
11
=-++
+
+=
+
+=
+-
+-
+-
w
w
LCuuu
LCjuu
ZZ
Zu
Zu
u
nnn
nn
CL
L
n
L
n
n
3) On montre que la solution de lquation prcdente est: ))1(exp(0w
w -= tjUu n
pour des signaux dont la pulsationw est bien infrieure LC1
0 =w . Exprimez la
partie relle de cette solution
On a donc : ))1(cos()Re(0w
w -= tUu n
4) Donnez une interprtation physique la solution trouve. Prendre le cas o L = 68 mH et C = 22 pF
En fait la constante 0
1w
est homogne un temps et dfinit un retard temporel commun
toutes les pulsations. Comme toutes les pulsations sont traites en un mme temps
s2,110
w
alors le signal ressort du cble non dform : il sagit dun ligne retard.
Exercice 13 : Adaptation dimpdance en rgime sinusodal (***) : On considre un gnrateur dimpdance iii jXRZ += dbitant sur une charge dimpdance jXRZ += un courant sinusodal damplitude maximum mi . On note
me lamplitude de la tension en sortie du gnrateur.
A1 A2 A3 A5 A5 u1 u2 u3 u4 u5
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- 31 -
1)a) Rappelez la dfinition de la puissance moyenne consomm par un diple en introduisant le facteur de puissance jcos
Daprs le cours : ff cos2
cos2
mmZ
mm IUIUp ==
1)b) Exprimez jcos en fonction de R et Z Daprs le cours : fcosZR = 1)c) Exprimez la puissance moyenne en fonction de R et mi
Toujours daprs le cours : 221
mRIp =
1)d) En dduire lexpression de la puissance moyenne perue par le composant dimpdance Z en fonction des donnes du texte. On a ici :
22
2
22
)()(21
)()(
)())(
ii
ii
mi
XXRRERp
XXRR
EIZZteti
+++=
+++=
+
2) En dduire alors une condition reliant les deux impdances pour avoir un transfert maximum dnergie.
On retrouve un nonc proche du premier exercice. La diffrence cest que la fonction puissance dpendant de deux paramtres : ),( XRp . Il faut donc calculer :
*:
0
0
i
iX
iR
ZZSoit
RRRp
XXXp
=
==
-==
Zi
E Z
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- 32 -
Exercice 14 : Principe dun RLC mtre (*): Un RLC mtre est un systme qui permet la mesure de rsistance, dinductance et de capacit ; On se propose den tudier le principe en se ramenant au montage ci-dessous. Lobjectif de cet exercice est de dterminer la valeur de linductance L et de la rsistance interne r dune bobine.
VR2
R4
100
0
GBF
4Vac
C2R3
1k
L,r
1) Rappelez la condition dquilibre du pont.
On a vu dans lexercice 5 quun pont entranait la relation suivante :
)')2//2(43 rLCRRR ZZZZ +=
2) Dmontrez alors que cette condition conduit : )(1 3422
ww jLrRRjCR
+=
+
En utilisant les impdances associes :
))(1
(22
243
)')2//2(43
ww
jLrjCRR
RR
ZZZZ rLCRRR
++
=
= +
Soit : )(1 3422
ww jLrRRjCR
+=
+
3) En dduire alors que : )(100)(;)(
100)( 22
FCmHLkR
r =W
=W
Il suffit de faire attention aux changements dunits et de se rappeler que deux nombres complexes sont gaux sils ont mme partie relle et imaginaire :
LRRC
rR
RR
=
=
432
2
34
Soit )(100)(;)(
100)( 22
FCmHLkR
r =W
=W
4) Proposez alors un protocole pour dterminer r et L. Il suffit laide dune rsistance variable et dun condensateur variable dajuster le pont pour quil soit quilibr, cest--dire avoir une tension nulle sur le voltmtre. Dans ces conditions
)(100)(;)(
100)( 22
FCmHLkR
r =W
=W sont vrifies et la lecture des valeurs donnent r et L
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- 33 -
Exercice 15 : Problme rencontr par EDF- restriction pour les entreprises (*) Linstallation lectrique dun particulier peut souvent tre modlis par une rsistance R en srie avec une inductance L (ces composants modlisant les diffrents moteurs utiliss dans une maison : sche linge, lave linge, lave vaisselle) Cette installation lectrique est alimente par EDF (qui sera modlise par une source idal e(t) en srie avec une rsistance r) :
installation alimentation
R=40ohm
L=0,25H e(t)
r=5ohm
1) A vide, la tension dlivre par lalimentation a une frquence de f=50Hz et une valeur
efficace de 220V. Donnez lamplitude E et la pulsation w de la force lectromotrice. Par dfinition :
sradfVE
/31423112220
===
pw
2) Calculez les valeurs efficaces de lintensit et de la tension de linstallation. Calculez le dphasage j entre la tension et lintensit puis la puissance moyenne reue par linstallation.
Soit Z limpdance quivalente
srie : ALRr
ILRrZjLRrZ eff 43,2)()(
220)()(22
22 =++
=++=++=w
ww
On peut alors dterminer la valeur efficace Ueff de la tension aux bornes de linstallation : VILRU effeff 214)(
22 =+= w On peut alors calculer la puissance moyenne reue :
WRIp effI 2362 =>=<
A noter que le dphasage entre le courant et la tension aux bornes de linstallation est
donn par : =+
= 63)(
cos22
jw
jLR
R
3) Calculez la puissance moyenne dissipe par la rsistance interne de
lalimentation. Calculez et interprtez le taux t dfini par :>=<
On en dduit le taux de perte : %11>=<
d) Calculez la puissance moyenne dissipe dans la rsistance interne de lalimentation. Que vaut alors le taux t
Daprs la dfinition de la puissance moyenne consomme par un diple :
WrZ
rrIpE
effI 257220
22 =
+
=>=<
5) Les installations lectriques industrielles ont lobligation de prsenter un facteur de puissance suprieur 0,90. Expliquer.
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- 35 -
Pour une puissance moyenne p de consommation et une rsistivit R donne du matriel
alors :j
jcos2cos
22
2
RpI
RIp m
m == . Donc pour limiter la consommation de courant, EDF exige
que le facteur de puissance jcos soit le plus proche de 1.
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