td2 corrige

- 1 -

TD : Gnralits en rgime continu et en rgime sinusodal Exercice 1 : Ladaptation dimpdance en rgime continu (**) Ladaptation dimpdance est, malheureusement, un terme utilis par les lectroniciens pour dcrire deux fonctions diffrentes:

- la recherche dune impdance adapte pour transmettre un maximum de puissance une charge

- la recherche dune impdance adapte pour transmettre au mieux linformation cest--dire une tension un tage qui suit.

1) Ladaptation dimpdance et la transmission dun maximum de puissance:

On va modliser la sortie dun amplificateur audio par un modle de Thvenin et le haut parleur quil alimente par une rsistance Rhp :

Rth

Vth Rhp

1)a) Donnez lexpression du courant I de cette maille en fonction de Rth, Rhp et Vth. En appliquant la loi des mailles et la loi dOhm, on a :

)(

)(

thhp

th

thhpth

RRV

I

IRRV

+=

+=

1)b) Donnez ensuite lexpression de la puissance P absorbe par la rsistance Rhp en fonction de Rth, Rhp et Vth. Par dfinition de la puissance, on a :

2

22

)( thhpthhp

hpR RRVR

IRIUPhp +

===

1)c) Donnez alors la condition sur Rhp pour que la fonction P(Rhp) soit maximum cest--dire la valeur de Rhp qui permet un transfert maximum de puissance vers le haut- parleur.(pensez une tude de fonction et lutilisation de la drive)

La question demande en fait de calculer la valeur de RhP qui annule la drive. En admettant que la drive seconde soit positive en ce point, cette valeur de Rhp correspondra une valeur maximale de la puissance consomme par la charge.

I

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- 2 -

+

-=

+

+-+=

+=

+=

2

222

2

22

22

2

2

)(

)()(

)(

)(2)(

)()(

)(

thhp

hpthth

hp

hp

thhp

hpthhpthhpth

thhp

hp

hpth

thhp

thhp

hphp

hp

RR

RRV

dRRdP

RR

RRRRRV

RR

RdR

dVRR

VRdR

ddR

RdP

On voit alors que la drive sannule pour :

hpth

hpth

hpth

RRSoit

RRRR

=

=

=

:

22

Ainsi pour transmettre un maximum de puissance une charge purement rsistive, il faut que la rsistance de la charge soit gale la rsistance de sortie de ltage dalimentation.

2) Ladaptation dimpdance et la transmission de linformation: On va modliser un microphone par un modle de Thvenin et lentre de lamplificateur audio par une rsistance Re:

Rth

ReVth

2)a) Donnez lexpression de la tension Ve lentre de lamplificateur en fonction en fonction de Re, Rhp et Vth. Il suffit dappliquer le pont diviseur de tension :

ththe

ee VRR

RV

+=

2)b) Comment faut-il choisir Re pour que la tension Vth (dj faible et que lon veut amplifier) ne soit pas attnue quand elle va entrer dans lamplificateur. Justifiez

En choisissant Re>>Rth alors ththe

ee VVR

RV . En choisissant une rsistance trs grande par

rapport la rsistance de sortie de ltage prcdent, on transmet au mieux le signal pour son traitement.

Ve


- 3 -

Exercice 2 : Point de fonctionnement (*):

A) 1e cas (tir de lexamen 2006):

On utilise une LED afin dapprcier la vitesse de rotation dun moteur dans le circuit suivant :

La caractristique I(Vd) est donne ci-dessous :

V(V1)- V(V2)

0V 100mV 200mV 300mV 400mV 500mV 600mV 700mVI(D1)

2.5mA

5.0mA

7.5mA

0.0mA

9.6mA

1) a) A laide de la loi des mailles, donnez lexpression de I(Vd) quimpose le circuit la diode. Daprs la loi des mailles :

8,110.

8,110.5,7 33 -- -=

-=

+=

VdI

RVdEI

VdRIE

1) b) Dterminez graphiquement le point de fonctionnement de la diode en utilisant la caractristique de la diode.

Deux points sont ncessaires pour tracer la caractristique du circuit extrieur la diode :

)83,3;6,0(83,3)6,0()17,4;0(17,4)0(

mAVmAVImAVmAI

==

Le point dintersection des deux caractristiques (donc le point de fonctionnement) est donn par : (0,64V ;3,80mA)

E = 7.5Vdc D1N4004

R

1,8k

Vd


- 4 -

2) On dsire ensuite faire une modlisation de Thvenin de la diode en effectuant une linarisation par morceaux de la caractristique de la diode autour de son point de fonctionnement. Dessinez la tangente la caractristique de la diode au niveau du point de fonctionnement. Dterminez son quation Vd(I). Dessinez alors le schma lectrique quivalent de la diode et calculez les diffrents paramtres introduis.

On a donc galement le graphe suivant :

Vd 0,640V 0,585V I 3,80mA On en dduit alors une pente de 14,5. Le modle lectrique quivalent est donc : 0,585V I 14,5 Vd

B) 2e cas : Ralisation dun capteur de temprature

On effectue grce Orcad la simulation suivante o lon trace la caractristique de la diode 1N4007 pour diffrentes tempratures 0C, 20C, 40C, 60C, 80C et 100C.

V_V1

0V 0.2V 0.4V 0.6V 0.8V 1.0V 1.2V-I(V1)

0A

1.0A

2.0A

3.0A

4.0A

5.0A

6.0A

7.0A

8.0A

Zoom


- 5 -

Zoom :

V_V1

0V 0.04V 0.10V 0.16V 0.22V 0.28V 0.34V 0.40V 0.46V 0.52V 0.58V 0.64V 0.70V 0.76V 0.82V 0.88V 0.94VI(D1)

0A

0.5mA

1.0mA

1.5mA

2.0mA

1)a) On insre le diode dans un montage (dessin ci-dessous) aliment par un gnrateur de courant idal dlivrant 1mA. Placez sur le graphe ci-dessus les points de fonctionnement pour les diffrentes tempratures

I1

D1

1N4004

1 2

1)b) Reprez les tensions Vd aux bornes de la diode lorsquelle est parcourue par un courant de 1 mA, remplir le tableau, tracez V = f (T) et en dduire lquation de la courbe. Conclusion.

T(C) 0 20 40 60 80 100

Vd(Volt) 0,63 0,59 0,55 0,51 0,47 0,42 V

100C 0C

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 T(C)

0,65 0,60 0,55 0,50 0,45 0,4

Vd=0,63-2,1.10-3T


- 6 -

On propose le circuit suivant pour rcuprer la temprature :

2)a) Donnez lexpression de la tension US1 la sortie de lAO1. Quelle fonction est ainsi ralise ? Il faut prendre lhabitude dans les structures A.0 dutiliser Millman :

refSSref

Sref

UVdUR

UR

UR

Vd

RR

RU

RU

RR

RVd

-=+=+

+=

+1

1

1

1111

Cest donc une opration de soustraction qui est ralise 2)b) Donnez la relation entre Us et US1 ? De mme en utilisant Millman

111

1

1

1

1

0011 R

RUU

RU

RU

RR

RU

RU

S

SSS

SS

-==+=+

+

2)c) Comment devons-nous choisir R1 et Uref pour que US donne une lecture directe de la temprature sachant que R = 100 k. Daprs les deux rsultats prcdents :

TUTRRUVd

RRU

RRU refrefSS =---=--=-=

- )10.1,263,0()( 311

11

Si W==== -- 21010.1,2110.1,2;63,0 3131

RRRRVU ref

+

_

U

M

S1

R

U

R

ER

E

2

1

URef

R

+

_

UT

R

S

R1

(DEL)

AO1

AO2

Vd Us


- 7 -

Exercice 3 : Le pont diviseur de tension et ses limites (*):

1)a) On considre le circuit suivant: I

R1

0

R2E

Aprs avoir flch le courant et les tensions des diffrents diples, donnez lexpression de la tension aux bornes de la rsistance R2

En appliquant le pont diviseur de tension : ERR

RVR

21

22 +

=

1)b) On dsire vrifier exprimentalement la relation prcdente laide dun oscilloscope modlisable par une rsistance Roscilloscope. On obtient alors le circuit suivant :

R1

0

R2 RoscilloscopeE

Donnez alors lexpression de la tension aux bornes de R2 ou Roscilloscope. Sachant que la tension lue sur loscilloscope est la tension aux bornes de R2, quelle est la condition sur R2 pour que le diviseur de tension soit vrifi?

22

2

2

12 :;

RRRRRR

RRRavecE

RRR

V

osceq

osc

osceq

eq

eqR

>>

+=

+=

2)(Question issue de lexamen 2004) On considre le circuit suivant:

VeR5R3R1 R4

R2

Vs

I

Sachant que la rsistance R4 et bien plus petite que la rsistance R5, redessinez un circuit simplifi par rapport au prcdent et donnez ensuite lexpression de Vs en fonction de Ve, R2, R3 et R4.

ERRRRR

RRV

E

RRRRRRR

RRV

R

R

42421

422

42

421

42

422

)(

1

++=

+++

=


- 8 -

Exercice 4 : Utilisation du thorme de Millman (**) Les filtres tudis ici interviennent dans ltage dentre dun systme de rception de tlvision.

A) 1e filtre (issu de lexamen de 1984):

R Resistance

IO7 Douille

C5

Condensateur_Polarise

IO1

Douille

GND

R

4,7k IO6 Douille

C4

Condensateur

C

100nF

nC 470nF

C3

Condensateur

IO4

Douille

15V

IO5 Douille

15V

R

4,7k

IO2

Douille

U2

TL081/301/TI

3

2

7

4

6 1

5

+

- V+

V- OUT

N1

N2

-15V

R

4,7k C6

Condensateur_Polarise

-15V

GND

GND

GND

IO3

Douille

1)a) A laide de Millman, calculez le potentiel P en utilisant les impdances complexes. En utilisant Millman, on obtient donc :

ww RjnCsVeV

jnCR

RsV

ReV

ZRRR

ZRRsV

ReV

V

nC

nCP +

+=

+

+=

+++

+++

=331111

00

1)b) Exprimez ensuite le potentiel en P en fonction de la tension de sortie en appliquant Millman sur la borne inverseuse de lAO. En appliquant Millman sur la borne inverseuse de lA.O :

C

SP

C

SP

C

SP

C

C

SP

ZV

RVZV

RV

ZV

RV

ZR

ZV

RV

V -=-==++

+==- 0

110

1)c) Montrez que la fonction de transfert peut de mettre sous la forme :

2

00

)(21

1)(

ww

ww

wjmj

jT++

-= On donnera les expressions de 0w et m

En utilisant les deux dernires relations, on a :

Ve Vs

P


- 9 -

( )

( )2222

2222

311

31

)3(3

3

ww

ww

ww

w

w

CnjRrjCeVsV

eVCnjRrjCsV

sVeVRjnCVRjCRjnC

sVeVZV

R

RjnCsVeVV

ZV

RV

S

C

S

P

C

SP

++

-=

-=++

+=+-

++

=-

++

=

-=

Par identification, on a alors :

nm

RCn 23;10 ==w

B) 2e filtre (pour les lves laise):

0

C2

VCC

V15Vdc

00

TXDR U1

TL081/301/TI

3

2

74

6

1

5

+

-

V+

V-

OUT

N1

N2

P

TXS

R -VCC

V2-5Vdc

VCC

-VCCC3

Donnez lexpression de la fonction de transfert en notation complexe de ce filtre sous la

forme : 2

00

0

21

++

=

ww

ww jmj

TTXDTXS On donnera lexpression de 0w , m et 0T en fonction

des valeurs de composants L aussi la mthode consiste appliquer Millman deux fois :


- 10 -

232

223

22

3222

32

223

23

2

3

2

2

3

3

2

2

2

2

211

)122(

)1()2)(1()2)(1()1(

12

)1(

111

2)1(

111

ww

wwww

wwwww

ww

ww

w

ww

CCRjRCjTXDTXS

TXDRjCCCRjRjCRjCTXSRjCTXSTXDRjCRjCTXS

RjCRjCRjCTXSTXDTXS

RjCRjC

RjCTXSTXD

TXS

RjCV

ZR

R

V

TXSV

RjCRjCTXSTXD

RZR

RTXS

ZTXS

RTXD

V

p

C

p

C

CP

++=

=--+++

++=++++

++=

+

+

++

=

+=

+==

+++

=++

++

=

-

On peut alors en dduire :

1

1

0

2

3

320

=

=

=

TCC

m

CCRw


- 11 -

Exercice 5 : Pont de Wheastone (issu de lexamen de 2009) (**) La rsistance de platine est utilise comme capteur prcis en temprature dans un montage appel pont de Wheaston. La rsistance de platine suit la loi suivante en fonction de la temprature T applique : )1(0 ATRR pt += o 0R et A sont des constantes.

R1

100k

0

A B

RptR2

80

V110Vdc

R3

100k

1) Trouvez la condition dquilibre du pont en utilisant le thorme de Thvenin. On peut modliser le diple AB par un M.E.T : 1e tape : On isole le brin modliser (dj fait !) 2e tape : On calcule la tension de Thevenin :

13

3

21

1 VRR

RRR

RUUE

ptBAth

+-

+=-=

3e tape : On calcule la rsistance de Thvenin en teignant toutes les sources :

B

Rpt

R3

A

R2

R1

Soit une rsistance quivalente :

3

3

21

21

RRRR

RRRRR

pt

ptth +

++

=

4e tape : On a le MET :

Eth

B

Rth

A

Le pont est quilibr lorsque lon mesure avec un voltmtre une tension nulle entre A et B. Le Voltmtre imposant un courant nul cela revient

avoir 231

213313

3

21

11

3

3

21

1

:

)()(

RRRRSoit

RRRRRRRR

RRR

RV

RRR

RRR

E

pt

ptptpt

th

=

+=++

=+

+-

+=

:


- 12 -

2) On donne W= 1000R et 1310.9,3 -- = CA . Donnez la valeur de la temprature 0T

pour laquelle le pont est quilibr. Cette condition dquilibre du pont nest valable que pour une temprature note 0T :

CRR

AT

RATRRRAvec

RRATRRRRTRR pt

-

-=

=+

==+

=

5111

)1(:

)1(

)(

0

20

200

31

23001

2301

3) Si on pose )1(0

00 TTTTTT D+=D+= avec TD traduisant un cart de temprature par

rapport 0T . Montrez que TARRR pt D+= 02 On a daprs les questions prcdentes et les hypothses du texte:

TARRTARATRTTARATRR pt D+=D++=D++=+= 02000000 )1())(1()1(

4) Montrez que la tension ABU peut scrire :

+

D= 2

21

011 )( RR

TARRVU AB laide dun

dveloppement limit sachant que 210 RRTAR +

- 13 -

6) On dsire amplifier cette tension laide dun amplificateur dinstrumentation dont la structure est donne ci-dessous. On va considrer les impdances dentre des A.O. comme infinies.

6)a) Donnez lexpression de la tension aux bornes de la rsistance rglable RG en fonction de ABU puis en fonction de RG et I Les A.O tant linaires ici, on a :

IRUU GAB =- 6)b) En dduire alors lexpression de V1-V2 en fonction entre autre du courant I Il suffit dutiliser la loi dOhm et des mailles :

IkRVV G )50(21 W+=-

6)c) Montrez que BAG

URkVV )501(21W+=-

Daprs les deux questions prcdentes : IRUU GAB =-

)501()50()50(21G

BAG

BAGG R

kUR

UkRIkRVV W+=W+=W+=-

6)d) Donnez lexpression de la tension de sortie sachant que la tension Ref est nulle. En utilisant le thorme de Millman :

W+D=

W+=-=

+

+=

+

-

GGAB R

kTR

kUVVV

RR

RV

RV

RR

RV

50110.9,3501)(1111

5120

012

6)e) Quelle est la valeur donner RG pour que la tension de sortie soit de lordre de 1V pour TD = 51C ? Daprs la question prcdente :

W

-

=

W+D=

-

-- 1001

5110.9,3110.5050110.9,3

1

535

0 GG

RR

kTV

A

B V1

V2

I


- 14 -

Exercice 6 : Entranement lapplication des thormes (***): On souhaite dterminer la tension U par deux mthodes :

6Vdc

4

5

10

U

4

5Vdc

9Vdc8

1) Dterminez la tension U par en utilisant le thorme de Thvenin On effectue les 4 tapes : 1e tape : On isole le diple modliser :

8

5Vdc

4

A

10

56Vdc

0

B

V3

9Vdc

2e tape : On dtermine la tension de Thvenin :

VE

VU

VUU

th

B

AA

12

33559)9(

1055

9266856

8485

=

-=

-=-+

=

=

+=+

=-

3e tape : On calcule la rsistance de Thvenin aprs avoir teint toutes les sources :

B

10

5

A

4

8

W=

+

=+

++

= 635510

2648

510510

4848

thR

4e tape : Le M.E.T :

4

A

Rth

B

Eth

On trouve alors une tension U : VU 8,412

644

=+

=


- 15 -

2) Par le principe de superposition

Il faut faire autant dtapes quil y a de gnrateurs : Ici 3 tapes : 1e tape :

8

4 4

A

10

56Vdc

0

B

Ce montage peut se simplifier :

8

4 4

A

50/156Vdc

B

Puis en utilisant lquivalence entre le gnrateur de tension et de courant:

8

4

A

6/44

50/15

B

4

A

6/432/12

50/15

B

Puis en utilisant lquivalence entre le gnrateur de courant et le gnrateur de tension

(6/4)*(32/12)

4

A32/12

50/15

B

On peut alors trouver le courant traversant la rsistance de 4 :0,4A En faisant de la mme manire pour les deux autres gnrateurs de tension, on trouve un courant total de 1,2A. Soit une tension U = 4,8V.

3) Par simplification successives du circuit Cette mthode est base sur lquivalence gnrateur de courant/gnrateur de tension. Donc le circuit simplifi est le suivant :


- 16 -

4

4

A

3

8/3

5

10/3

B

On trouve alors un courant de 1,2A traversant la rsistance de 4 et donc une tension de 4,8V ses bornes.

4) Par application de Millman Si on applique Millman en A et B, on trouve :

11185

101

51

41

109

4

5227

41

81

41

485

411

-=

++

-=

+=

++

++=

AB

A

B

BA

B

A

UU

U

U

UU

U

U

On alors un systme de 2 quation 2 inconnues que lon peut rsoudre facilement :

VUVU

VU

A

B

8,48,5

1

===


- 17 -

Exercice 7 : Filtre audio (*) La plupart des amplificateurs audiofrquences (HI-FI, amplificateurs dinstruments lectroacoustiques) correcteur analogique graves/aigus utilisent une structure de type Baxandall (dit filtre papillon ), qui permet damplifier ou dattnuer les frquences basses et les frquences hautes du spectre audiofrquence, ainsi que de rgler le volume global avec un nombre minimal de composants. Nous ntudierons ici que la structure de filtrage sous forme dun correcteur de type Baxandall pour ajuster les frquences graves. Le schma du correcteur grave est prsent ci-contre. Les rsistances P1_1 et P1-2 reprsentent un potentiomtre. On utilisera les simplifications suivantes : Valeur totale du Potentiomtre = P ; R1= R2 =R ; C1 = C2 = C A) Pour la position correspondant x = 0 (curseur du potentiomtre gauche).

1) Donnez lexpression de la fonction de transfert ( ) ( )wjvv

wjTe

s .. = en fonction de P , R1 ,

C1

Le montage considrer est donc le suivant :

P

P

Ve

R5

R

C

0

VsR

U1

TL081/301/TI

3

2

74

6

1

5

+

-

V+

V-

OUT

N1

N2

P1_1

{x*100k}

-VCC0

V11Vac0Vdc

0

Ve R5

10k

C222n

R1

22k

+VCC

U1A

TL084

3

2

411

1

+

- V+

V-

OUT

R2

22k

Vs

C1

22n

P1_2

{(1-x)*100k}

VDB


- 18 -

En appliquant Millman en P :

HzPC

fPC

HzRPC

PRfRPC

PRO

j

j

RPR

PjCRPPjCR

vv

PjCPPjCR

PjCPRZAvec

RZ

vv

Zv

Rv

RZR

Zv

Rv

v

e

s

eq

eq

e

s

eq

se

eq

eq

se

P

722

11

4012

:

1

1

)1()1(

1)1(

1:

0

0111

22

11

2

1

5

===

=+=+=

+

+

+=

+++

-=

+++

=+

+=

-=

=+

=++

+

=

pw

pw

ww

ww

ww

ww

w

2) Exprimez littralement les deux frquences de coupures et faites lapplication numrique.

Cf ci-dessus. On voit clairement que ce systme amplifie de R

PR + en basses frquences

B) Pour la position correspondant x = 0,5 (curseur du potentiomtre au milieu).

1) Donnez lexpression de la fonction de transfert en utilisant les symtries du problme Par raison de symtrie, la fonction de transfert vaut -1

C) Pour la position correspondant x = 1 (curseur du potentiomtre droite). Donnez lexpression de la fonction de transfert ( ) ( )wj

vv

wjTe

s .. = en fonction de P , R1 , C1.

Il sagit dun problme analogue la partie A :

P

P

R5

CVs

0

R

U1

TL081/301/TI

3

2

74

6

1

5

+

-

V+

V-

OUT

N1

N2

VeR


- 19 -

HzPC

fPC

HzRPC

PRfRPC

PRO

j

j

PRR

vv

PjCPPjCR

PjCPRZAvec

ZR

vv

Zv

Rv

RZR

Zv

Rv

v

e

s

eq

eqe

s

eq

es

eq

eq

es

P

722

11

4012

:

1

1

1)1(

1:

0

0111

22

11

1

2

5

===

=+

=+

=

+

+

+-=

+++

=+

+=

-=

=+

=++

+

=

pw

pw

ww

ww

ww

w

1) Donnez la frquence de coupure. Cf ci-dessus. On a ici une attnuation des basses frquences ! 2) A laide du diagramme de simulation ci-dessous reprez les positions a b et c

du potentiomtre.

Frequency

1.0Hz 10Hz 100Hz 1.0KHz 10KHz 100KHz 1.0MHz 10MHzVDB(VS)

-20

-10

0

10

20

x=1

x=0

x=0,5


- 20 -

Exercice 8 : Analyse dun spectre (**) Le spectre moyen en sortie dun oscillateur 280 Hz est le suivant lorsquil est observ sur analyseur de spectre de rsistance 50 en entre:

1)a) Rappelez lexpression de la puissance consomme par une rsistance R en fonction de la tension efficace ses bornes On a, par dfinition :

RU

Rtup

RtutRitp

titutp

eff22

22

)(

)()()(

)()()(

==

==

=

1)b) Calculez les valeurs efficaces du fondamentale et des trois harmoniques les plus importantes. Il faut utiliser la relation suivante car les amplitudes )(dBmA donnes sur le graphe sont en dBm :

310

)(

10)(

32

10)(

3

2

3

2

3

2

3

10

1010

1010

10)()

10(

)10

(10)10

(10)(

-

-

-

-

--

=

=

=

=

==

dBmA

eff

dBmA

eff

dBmAeff

eff

eff

RU

RU

R

U

dBmAR

ULog

R

ULogpLogdBmA

G(dBm) Ueff -5 126mV

-55 398V -45 1,26mV -57 316V


- 21 -

2)a) Donnez lexpression du taux de distorsion On dfinit le taux de distorsion par :

1002

1

2

2

% =

=

eff

ieffi

U

UD

2)b) Calculez le taux de distorsion de cet oscillateur On a ici :

%1100)10.126(

))10.316()10.26,1()10.398((23

262326

% ++

=-

---

D


- 22 -

Exercice 9 : Spectre dun signal PWM (**): On considre un signal PWM de rapport cycliquea , damplitude E et de priode T

1)a) Retrouvez les instants 2Ta et T sur le graphe ci-dessous

s(t) t

2Ta

- 0 2Ta T

1)b) Calculez la valeur moyenne de ce signal. On calcule rapidement : Ea 1)c) Quelle est la parit de ce signal ? Ce signal est paire car s(t)=s(-t) : bn = 0 1d) Donnez lexpression des diffrents coefficients de Fourrier de ce signal

On a donc une somme de cosinus qui dfinissent ce signal priodique :

)(sin2)sin(2)sin(2)2

sin(4

)sin(4)cos(4)cos(4)cos()(42/

0

2/

0

2/

0

2/

0

paapapa

apa

pwa

w

ww

wwwaaa

ncEnnEn

nETn

nTEa

ntn

TEdttn

TEdttnE

Tdttnts

Ta

n

TTTT

n

===

=

====

2) Lallure de son spectre est donne ci-dessous. Reprez lharmonique 32 et en dduire

la frquence du fondamental

Lharmonique 32 est 36 MHz


- 23 -

3) En utilisant le spectre prcdent et lharmonique de rang 8, calculez la valeur du rapport cyclique

Lharmonique de rang 8 est damplitude nulle. Il donc faut trouver la valeur du rapport cyclique qui annule le sinus cardinal soit :

818 == appa


- 24 -

Exercice 10 : Encombrement spectral (examen 2008) (*)

Pour le signal trapzodal VC 063,07 =

La frquence de 4200 Hz correspond lharmonique n = 7 donc VC 45,07 =

9

5400Hz

5

3000Hz


- 25 -

Exercice 11 : Sries de Fourier et transformes de Fourier (**)

A) Sries de Fourier :

1) Enoncer le thorme sur les sries de Fourier Tout signal priodique est dcomposable en une somme de sinusodes. Son spectre est alors un spectre de raies dit discret. 2) On dsire calculer la srie de Fourier du signal suivant :

a) La fonction est-elle paire ou impaire La fonction est paire car s(t) = s(-t) b) On choisit une amplitude maximum de V2 , calculez les diffrents

coefficients de Fourier ainsi que la valeur moyenne. La valeur est nulle et les coefficients de Fourier se ramnent aux calculs des an :

=

-=

+-=

-

=

-==

)2

sin(4

)sin()2

sin(22

)4

sin()2

sin()4

sin(4)sin()sin(4

)cos()cos(4)cos()(4

2/

4/

4/

0

4/

2/

4/

0

2/

0

pp

ppp

wwwww

www

www

nn

Ea

nnn

Ea

TnTnTnTn

En

tnn

tnTEa

dttnEdttnET

dttntsT

a

n

n

T

T

T

n

T

T

TT

n

a1/a1 a2/a1 a3/a1 a4/a1 a5/a1 a6/a1 a7/a1 a9/a1 1 0 1/3 0 -1/5 0 -1/7 1/9

c) Dessinez alors le spectre du signal obtenu en se limitant aux

harmoniques suprieurs 10% du fondamental. (le signal carr sera damplitude E unit et de frquence 1kHz)

t

s(t)

E


- 26 -

Frequency

0Hz 2KHz 4KHz 6KHz 8KHz 10KHzV(R1:2)

0V

0.5V

1.0V

1.5V

d) On rajoute un offset de 1V au signal prcdent. Donnez alors le

spectre de ce nouveau signal. Le spectre est le mme, cependant on a rajout une composant continu de 1V :

Frequency

0Hz 2KHz 4KHz 6KHz 8KHz 10KHzV(R1:2)

0V

0.5V

1.0V

1.5V

3) Nous considrons dans tous les cas vus en cours des systmes dits linaires cest--dire qui ne font pas apparatre de nouvelles harmoniques. Cependant dans la ralit le traitement dune simple sinusode par un transistor dforme quand mme cette dernire. On obtient alors une sinusode dforme :


- 27 -

Time

0s 10ms 20ms 30ms 40ms 50ms 60ms 70ms 80ms 90ms 100msV(Vs)- V(Ve)

-1.0V

-0.5V

0V

0.5V

1.0V

Le fait davoir changer lallure du signal revient avoir enrichi son spectre. Une analyse FFT donne :

Frequency

0Hz 50Hz 100Hz 150Hz 200Hz 250Hz 300Hz 350Hz 400Hz 450Hz 500HzV(Vs)- V(Ve)

0V

0.5V

1.0V

Calculez le taux de distorsion harmonique en se limitant aux frquences infrieures ou gales lharmonique de rang 3.

En utilisant la dfinition du taux de distorsion :

%16

28,0

205,0

212,0

2

22

%

+

=D

B) Les transformes de Fourier

On cherche actuellement augmenter le dbit de donnes numriques afin de transmettre un maximum dinformations en un minimum de temps. Nous allons tudier ici lencombrement spectral des signaux numriques en raisonnant sur un simple pulse laide de la transforme de Fourier

1) Tracez la fonction )(wS associe la fonction s(t) suivante :

t

1

s(t)

a/2 -a/2


- 28 -

Il sagit ici dun signal qui nest pas priodique : il ne faut pas utiliser les sries de Fourier mais la Transforme de Fourier pour obtenir le spectre de ce signal temporelle.

)2

(sin2

)2

sin(22)

2sin(

22)

2exp()

2exp(

21)(

)exp(21)exp(

21)exp()(

21)(

2/

2/

2/

2/

acaaa

aaj

jajajj

S

jtjdttjdttjtsS

a

a

a

a

wp

wwp

wwp

wwwp

w

ww

pw

pw

pw

===

+--=

--=-=-=

-

+

-

+

-

-p 0 p 2a

w

On voit alors que la fonction est non nulle sur un domaine rduit entre 0 et p . Cela permet dterminer un encombrement spectral du signal :

af

a12

=D=Dp

w

On en retire un rsultat gnral : plus limpulsion est courte et plus lencombrement spectral est important. Application : On va considrer un signal vido alimentant une tlvision et issu dune antenne de rception. Le mode classique de fonctionnement consiste a avoir un signal vido constitu de pulses analogues celui tudi prcdemment dont lamplitude dcrit (dans le cas dune tlvision noir et blanc) une couleur allant du noir au blanc. Lcran dune tlvision a t partag en 625 lignes contenant chacune 360 points ( un point correspond un pulse). Enfin, pour avoir un confort visuel, on dcrit 25 fois lcran en un seconde.

2) En dduire lordre de grandeur de la dure dun pulse.

Par lecture des donnes du texte, la dure dun pulse est donne par : s17825360625

1

3) Donnez alors lencombrement spectral dun signal vido Lencombrement spectral est donc de : MHzf 6,5=D 4) Daprs vous combien de chanes peut-il y avoir avec ce type de tlvision analogique.


- 29 -

Lencombrement spectral dune chane et une bande alloue comprise entre 300 MHz et 3 GHz conduit plus dune centaine de chanes.


- 30 -

Exercice 12 : Cellule retard (*): Un cble coaxial peut tre vu en premire approximation comme une suite de cellule LC. On alimente lensemble laide dun gnrateur idal dlivrant une tension )cos()( tUtu w= .

CC

L L

C

L

CC

L L

1) Par un raisonnement qualitatif montrez quun signal ne peut se propager frquence trop grande.

En hautes frquences le condensateur est quivalent un fil donc toutes les tensions ui sont nulles ! 2) En appliquant Millman sur un nud An, dterminez une relation de rcurrence

entre un-1, un+1 et un. Millman donne :

( ) 02

212

211

2211

11

=-++

+

+=

+

+=

+-

+-

+-

w

w

LCuuu

LCjuu

ZZ

Zu

Zu

u

nnn

nn

CL

L

n

L

n

n

3) On montre que la solution de lquation prcdente est: ))1(exp(0w

w -= tjUu n

pour des signaux dont la pulsationw est bien infrieure LC1

0 =w . Exprimez la

partie relle de cette solution

On a donc : ))1(cos()Re(0w

w -= tUu n

4) Donnez une interprtation physique la solution trouve. Prendre le cas o L = 68 mH et C = 22 pF

En fait la constante 0

1w

est homogne un temps et dfinit un retard temporel commun

toutes les pulsations. Comme toutes les pulsations sont traites en un mme temps

s2,110

w

alors le signal ressort du cble non dform : il sagit dun ligne retard.

Exercice 13 : Adaptation dimpdance en rgime sinusodal (***) : On considre un gnrateur dimpdance iii jXRZ += dbitant sur une charge dimpdance jXRZ += un courant sinusodal damplitude maximum mi . On note

me lamplitude de la tension en sortie du gnrateur.

A1 A2 A3 A5 A5 u1 u2 u3 u4 u5


- 31 -

1)a) Rappelez la dfinition de la puissance moyenne consomm par un diple en introduisant le facteur de puissance jcos

Daprs le cours : ff cos2

cos2

mmZ

mm IUIUp ==

1)b) Exprimez jcos en fonction de R et Z Daprs le cours : fcosZR = 1)c) Exprimez la puissance moyenne en fonction de R et mi

Toujours daprs le cours : 221

mRIp =

1)d) En dduire lexpression de la puissance moyenne perue par le composant dimpdance Z en fonction des donnes du texte. On a ici :

22

2

22

)()(21

)()(

)())(

ii

ii

mi

XXRRERp

XXRR

EIZZteti

+++=

+++=

+

2) En dduire alors une condition reliant les deux impdances pour avoir un transfert maximum dnergie.

On retrouve un nonc proche du premier exercice. La diffrence cest que la fonction puissance dpendant de deux paramtres : ),( XRp . Il faut donc calculer :

*:

0

0

i

iX

iR

ZZSoit

RRRp

XXXp

=

==

-==

Zi

E Z


- 32 -

Exercice 14 : Principe dun RLC mtre (*): Un RLC mtre est un systme qui permet la mesure de rsistance, dinductance et de capacit ; On se propose den tudier le principe en se ramenant au montage ci-dessous. Lobjectif de cet exercice est de dterminer la valeur de linductance L et de la rsistance interne r dune bobine.

VR2

R4

100

0

GBF

4Vac

C2R3

1k

L,r

1) Rappelez la condition dquilibre du pont.

On a vu dans lexercice 5 quun pont entranait la relation suivante :

)')2//2(43 rLCRRR ZZZZ +=

2) Dmontrez alors que cette condition conduit : )(1 3422

ww jLrRRjCR

+=

+

En utilisant les impdances associes :

))(1

(22

243

)')2//2(43

ww

jLrjCRR

RR

ZZZZ rLCRRR

++

=

= +

Soit : )(1 3422

ww jLrRRjCR

+=

+

3) En dduire alors que : )(100)(;)(

100)( 22

FCmHLkR

r =W

=W

Il suffit de faire attention aux changements dunits et de se rappeler que deux nombres complexes sont gaux sils ont mme partie relle et imaginaire :

LRRC

rR

RR

=

=

432

2

34

Soit )(100)(;)(

100)( 22

FCmHLkR

r =W

=W

4) Proposez alors un protocole pour dterminer r et L. Il suffit laide dune rsistance variable et dun condensateur variable dajuster le pont pour quil soit quilibr, cest--dire avoir une tension nulle sur le voltmtre. Dans ces conditions

)(100)(;)(

100)( 22

FCmHLkR

r =W

=W sont vrifies et la lecture des valeurs donnent r et L


- 33 -

Exercice 15 : Problme rencontr par EDF- restriction pour les entreprises (*) Linstallation lectrique dun particulier peut souvent tre modlis par une rsistance R en srie avec une inductance L (ces composants modlisant les diffrents moteurs utiliss dans une maison : sche linge, lave linge, lave vaisselle) Cette installation lectrique est alimente par EDF (qui sera modlise par une source idal e(t) en srie avec une rsistance r) :

installation alimentation

R=40ohm

L=0,25H e(t)

r=5ohm

1) A vide, la tension dlivre par lalimentation a une frquence de f=50Hz et une valeur

efficace de 220V. Donnez lamplitude E et la pulsation w de la force lectromotrice. Par dfinition :

sradfVE

/31423112220

===

pw

2) Calculez les valeurs efficaces de lintensit et de la tension de linstallation. Calculez le dphasage j entre la tension et lintensit puis la puissance moyenne reue par linstallation.

Soit Z limpdance quivalente

srie : ALRr

ILRrZjLRrZ eff 43,2)()(

220)()(22

22 =++

=++=++=w

ww

On peut alors dterminer la valeur efficace Ueff de la tension aux bornes de linstallation : VILRU effeff 214)(

22 =+= w On peut alors calculer la puissance moyenne reue :

WRIp effI 2362 =>=<

A noter que le dphasage entre le courant et la tension aux bornes de linstallation est

donn par : =+

= 63)(

cos22

jw

jLR

R

3) Calculez la puissance moyenne dissipe par la rsistance interne de

lalimentation. Calculez et interprtez le taux t dfini par :>=<

On en dduit le taux de perte : %11>=<

d) Calculez la puissance moyenne dissipe dans la rsistance interne de lalimentation. Que vaut alors le taux t

Daprs la dfinition de la puissance moyenne consomme par un diple :

WrZ

rrIpE

effI 257220

22 =

+

=>=<

5) Les installations lectriques industrielles ont lobligation de prsenter un facteur de puissance suprieur 0,90. Expliquer.


- 35 -

Pour une puissance moyenne p de consommation et une rsistivit R donne du matriel

alors :j

jcos2cos

22

2

RpI

RIp m

m == . Donc pour limiter la consommation de courant, EDF exige

que le facteur de puissance jcos soit le plus proche de 1.


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