fundamentos razon metodo

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Apuntes de Curso, No. 1 2014ISBN XXXXXXXX

Deduccion Natural:Fundamentos de Razonamiento Logico y del Metodo Cientfico

Juan Mayorga-Zambrano, [email protected]

Version preliminar: junio 2014

Resumen

Se construyen las herramientas de la Logica necesarias para el estudio de la Ciencia, desde la perspectiva de laDeduccion Natural (Calculo Proposicional formalizado por Gentzen y Jaskowsky). A partir de un conjunto basicode Principios y Reglas de Argumentacion basicas se derivan las Reglas Derivadas, el concepto de EquivalenciaLogica y se presentan los Metodos de Argumentacion. La construccion del conocimiento se apoya con un volumenapropiado de ejemplos de diferentes ambitos.

Topicos

1. Introduccion 21.1. Definiciones de proposicion y declaracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Solidez y validez de un razonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Principios de la Logica 5

3. Conectores y operadores logicos 9

4. Reglas de Inferencia Fundamentales 104.1. Introduccion de la conjuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2. Eliminacion de la conjuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3. Introduccion del condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.4. Eliminacion del condicional (Modus Ponens) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5. Introduccion de la disyuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.6. Eliminacion de la disyuncion (Dilema) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.7. Introduccion de la negacion (Reduccion al Absurdo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.8. Eliminacion de la Negacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5. Falacias 185.1. Falacia de la Afirmacion del Antecedente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2. Falacia de la Negacion del Consecuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6. Conectores logicos derivados 196.1. Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.2. Disyuncion Exclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.3. Conjuncion Negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7. Reglas de Inferencia Derivadas 217.1. Silogismo Hipotetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.2. Mutacion de las Premisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.3. Conmutatividad y Asociatividad de la Conjuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.4. Introduccion de la Doble Negacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

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7.5. Principio del Tercer Excluido y Principio de Contradiccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.6. Modus Tollens y Contrapositiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.7. Carga de Premisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.8. Inferencia Alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.9. Silogismo Disyuntivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.10. Dilema Destructivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.11. Conmutatividad y Asociatividad de la Disyuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.12. Definicion del Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

8. Equivalencia e implicacion logicas 288.1. Leyes Distributivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.2. Leyes de Absorcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298.3. Leyes de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298.4. Leyes de Reemplazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

9. Metodos de Demostracion 299.1. Metodo Directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299.2. Contrarrecproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309.3. Reduccion al Absurdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

10. Ejercicios 30

A. Lecturas 33A.1. Iman Abu Hanifa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33A.2. Tomas de Aquino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33A.3. Ivan el Terrible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Referencias 33

1. Introduccion

La Ciencia requiere de un mecanismo robusto y aceptable por la razon humana, que le permita distinguir lavalidez de los procesos propios de su construccion interna y de su aplicacion a situaciones externas; la Logica,1

con su formalismo, constituye este mecanismo, [10]. Por lo expuesto, la Jusrisprudencia (entendida como Cienciadel Derecho), la Ingeniera, etc., requieren de la Logica.

En el presente trabajo abordamos los rudimentos de la Logica desde la perspectiva del Calculo Proposicionalde Gentzen y Jaskowski, mejor conocido como Deduccion Natural (veanse e.g. [8], [14] y [9]). Esta es unaherramienta fundamental que debera estudiarse en el primer ano de carreras de Derecho, Ingeniera y CienciasExactas, donde los procesos argumentativos son esenciales para un ejercicio profesional eficaz y eficiente.

Desde la perspectiva matematica hemos recurrido a [1], [5] y [3] como referencias principales. Para una resenahistorica sobre la Deduccion Natural recomendamos [12]. Desde la perspectiva jurdica han sido muy importanteslas referencias [6], [13] y [11].

1.1. Definiciones de proposicion y declaracion

Los principios de la Logica, que presentaremos en la Seccion 2, son los mismos que sostienen a la Cienciay, entonces, tambien al Metodo Cientfico, [10]. Empezamos con las definiciones de los elementos basicos de laLogica: proposicion y razonamiento.

Definicion 1.1. Declaracion.- Es una oracion o una parte de una oracion que expone una proposicion.

Definicion 1.2. Proposicion.- Es un enunciado del que se puede establecer su valor de verdad, es decir se puedeverificar si es verdadero (denotado por V o 1) o falso (denotada F o 0).

1Del griego o (logike) que significa dotado de razon, intelectual, dialectico, argumentativo.

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Ejemplo 1.1. Las siguientes oraciones

Carlos H. es culpable de homicidio en primer grado.Carlos H. is guilty of first degree murder.

Del cargo de asesinato en primer grado, Carlos H. es culpable.

son declaraciones que expresan el mismo contenido (que necesariamente es verdadero o falso), es decir la mismaproposicion.

Observacion 1.1. Debe tenerse presente que, en el ambito del Derecho, una declaracion se encuentra como unamanifestacion formal que realiza una persona con efectos jurdicos, especialmente la que hacen las partes, testigos o peritosen un proceso, [7]. Las declaraciones presentes en el Ejemplo 1.1 podran representar a grosso modo la parte finalde un veredicto o sentencia de un juez o jurado.

Preguntas, suposiciones y exhoraciones no son declaraciones pues de los contenidos de estas no se puedeestablecer un valor de verdad.

Ejemplo 1.2. Ninguna de las siguientes oraciones es una declaracion:

1) El abogado defensor debera ser claro y conciso en la presentacion de sus argumentos.2) Podras ser claro?3) Supongamos ahora que los zombies existen.

Cuando se busca discernir entre lo verdadero y lo falso lo fundamental es el contenido - la proposicion - masalla del envoltorio - la declaracion. Por tanto, de aqu en adelante nuestra presentacion considera basicamenteproposiciones.

Una proposicion es simple cuando esta formada por un unico enunciado. Las proposiciones simples sonusualmente representadas por letras. Por otro lado, una proposicion compuesta esta formada por dos o massimples vinculadas entre s por conectores logicos como la conjuncion, y, la disyuncion,o, condicional, si... entonces, etc.

Ejemplo 1.3. Representemos algunas proposiciones:

P: El pizarron es negro.PS: El pizarron es negro y rosado.Q: Mi nombre es Pedro.WQ: Mi nombre es Juan o Pedro.U: 3+6 = 9.UU: 3+6 = 9 y 3+6 , 9.LM: Si llueve entonces el patio se moja.Es claro que las proposiciones P, Q, W, L, M y U son proposiciones simples.

Como se puede ver en el Ejemplo 1.3 se usan habitualmente letras mayusculas para representar proposiciones.En la Tabla 1 se presentan los principales conectores y operadores logicos.

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Tabla 1: Conectores logicosConector Operador Aplicacion Interpretacion 1 Interpretacion 2

Conjuncion PQ P y Q Q y PDisyuncion PQ P o Q Q o PCondicional PQ Si P entonces Q Q si P

Negacion P No P Es falso P

1.2. Solidez y validez de un razonamiento

Abordemos ahora el proceso esencial en el estudio de la Logica, el razonamiento o argumento.

Definicion 1.3. [Razonamiento o argumento]Un razonamiento o argumento consiste en pasar de un conjunto de proposiciones - llamadas premisas, a unaproposicion - llamada conclusion.

En el esquema simple (1.1), a par-tir de las premisas P1, P2, P3 y P4 seobtiene la conclusion C, sin enun-ciarse paso intermedio alguno. Sinembargo, en un razonamiento es ha-bitual sacar conclusiones parcialesantes de obtener la conclusion final,esto se refleja en el esquema (1.2)donde se obtienen las conclusionesparciales Q1 y Q2, antes de alcanzarla conclusion final C.

1 P1

2 P2

3 P3

4 P45 C

(1.1)

1 P1

2 P2

3 P3

4 P4

5 Q1

6 Q27 C

(1.2)

Observe que la Definicion 1.3 incluye los procesos de deduccion de personas mentalmente desequilibradas,de ninos pequenos, etc., esto es, no establece condiciones para la solidez o no-solidez de un argumento.

Definicion 1.4. [Solidez de un argumento]Un razonamiento o argumento es solido si y solo si su estructura es valida y (al mismo tiempo) sus premisas sonverdaderas.

Definicion 1.5. [Validez de la estructura de un argumento]La estructura de un argumento es valida si y solo si la negacion de su conclusion es incompatible con laspremisas.2

Como veremos en la Seccion 2, la mayora de los Principios de la Logica nos ayudan a identificar la no-solidezde un razonamiento, (en la mayora de los casos) mediante la identificacion de la no-validez de su estructura.Por otro lado, para establecer la solidez de un argumento es necesaria la aplicacion de reglas de inferencia; estoes abordado en las Secciones 4 y 7 y tiene que ver con la estructura del razonamiento (en tanto que las premisassean todas verdaderas).

No se deben confundir los terminos verdadero y falso - que se aplican a una proposicion - con los terminos valido y no valido - quese aplican a la estructura de un razonamiento. Por otro lado por simplicidad, diremos que un razonamiento es valido si su estructura lo es.

Ejemplo 1.4. En el ambito tecnico - cientfico, especialmente cuando esta inmerso un estudio experimental querequiere el analisis estadstico de un conjunto de datos, es habitual terminar el proceso mediante una Prueba deHipotesis. Pero, que es una hipotesis? y que es una prueba de hipotesis?

2Esta definicion, presente en [1] tiene su origen en el filosofo estoico griego Crisipo de Solos (281 AEC - 208 AEC, aprox.).

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Una hipotesis es una proposicion. Estrictamente, una prueba de hipotesis corresponde a la determinacion delvalor de verdad de la hipotesis.Cuando no se cuenta con la poblacion bajo estudio y solo se cuenta con una muestra, la conclusion mantiene elsentido pero se anade el concepto de confianza de la prueba. Por ejemplo, en lugar de concluir que

La tasa de analfabetismo digital es mayor en Ecuador que en Francia;

se concluye algo como

Con un 97% de confianza, la tasa de analfabetismo digital es mayor en Ecuador que en Francia

Como se evidenciara en la Seccion 4.7, el mecanismo que sigue una prueba (estadstica) de hipotesis correspondea una version (probabilstica) del metodo der demostracion conocido como Reduccion al Absurdo.

Observacion 1.2. Recuerde que los conceptos de poblacion y muestra se refieren a conjuntos de numeros y no apersonas, animales o cosas; estos ultimos son fuentes de informacion o unidades muestrales.

2. Principios de la Logica

A base de razonamientos, solidos o equivocados, nuestra mente toma decisiones; por tanto, es fundamentalconocer bajo que condiciones o principios un razonamiento es o no solido, es decir debemos contestar a lasiguiente pregunta: bajo que condiciones podemos asegurar que las conclusiones obtenidas estan sustentadaspor las premisas?

En esta seccion, enunciamos los principios que deberan guiar nuestra mente cuando razonamos; por ello, es muy importante tenerpresente que, al analizar un argumento, los conceptos de solidez y validez (de su estructura) son equivalentes en tanto que todaslas premisas sean verdaderas.

Principio 1. Un razonamiento que usa alguna premisa falsa no es solido.

Por tanto, para que no perdamos el tiempo con un razonamiento, es una costumbre sana verificar primero que laspremisas sean todas verdaderas. Al principio anterior se le refiere como el Principio de Pureza de las Premisas.

Ejemplo 2.1. El siguiente razonamiento no es valido porque la segunda premisa es falsa.

Premisa 1: En una monarqua, la maxima autoridad es el rey.Premisa 2: En Ecuador se tiene una monarqua.Conclusion: Por tanto, en Ecuador la maxima autoridad es el rey.

Ejemplo 2.2. En una escena de la pelcula Monty Python and the Holy Grail (1975), el Rey Arturo nombra caballeroal juez Bedevere y lo recluta para su divina mision, gracias a las dotes logicas mostradas por este ultimo.Bedevere logra demostrar la hipotesis de que una mujer es bruja al evidenciar (en una balanza fraudulenta)que pesa lo mismo que un pato. Para ello, ayuda a un grupo de ignorantes campesinos (que queran establecerla culpabilidad de la mujer) a establecer el siguiente razonamiento:

Premisa 1: Si ella esta hecha de madera entonces es una bruja.Premisa 2: Si ella pesa lo mismo que un pato entonces esta hecha de madera.Conclusion: Por tanto, si ella pesa lo mismo que un pato entonces es una bruja.

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Como veremos mas adelante, en la Seccion 7.1, la estructura del razonamiento anterior es valida y recibe elnombre de Silogismo Hipotetico. Sin embargo el razonamiento no es solido pues, evidentemente, las premisasson falsas.

Para establecer el siguiente principio de la Logica, necesitamos el concepto de consistencia.

Definicion 2.1. [Consistencia]Un conjunto de premisas es inconsistente si de ellas se puede inferir una proposicion as como su negacion; casocontrario se dice que el conjunto de premisas es consistente

Principio 2. Un razonamiento que usa un conjunto inconsistente de premisas no es solido.

En otras palabras, un argumento no puede ser solido cuando sus premisas provocan contradicciones. Al principioanterior se le refiere como el Principio de Consistencia de las Premisas.

Ejemplo 2.3. El siguiente razonamiento no es solido porque las premisas provocan una conclusion parcial quecontradice la primera premisa.

Premisa 1: Pedro es ambateno.Premisa 2: Si alguien es ambateno, es tungurahuense.Premisa 3: Pedro no es tungurahuenseConclusion parcial: Pedro no es ambatenoConclusion: Por tanto, Pedro es ambateno pero no tungurahuense.

Como veremos mas adelante, en la Seccion 7.6, la conclusion parcial resulta de las premisas 2 y 3 mediante laaplicacion del Modus Tollens.

Ejemplo 2.4. En el ambito de la Jurisprudencia, el concepto de inconsistencia esta ligado al concepto de dudarazonable. Para ejemplificar, supongamos que en un juicio el abogado A quiere demostrar la hipotesis que

P : Carlos H. es culpable de asesinato;

y que, para su defensa, Carlos H. cuenta con el abogado B. Por supuesto el abogado B quiere que el jurado o juezestablezca como veredicto final que

P : Carlos H. no es culpable de asesinato.Por defecto es mas facil la tarea del abogado B que la de su colega. Por un lado, el abogado A tiene que usarsu argumentacion para demostrar con total claridad y sin dejar lugar a dudas P. Por otro lado, al abogado B lebasta con establecer una duda razonable, es decir que P no es necesariamente consecuencia de las premisas yconclusiones parciales que se establecieron a lo largo del proceso judicial. Una forma de crear una duda razonableconsiste en establecer que las premisas y conclusiones parciales establecidas por el abogado A podran provocaruna contradiccion.Otro mecanismo a disposicion del abogado B es la reduccion al Absurdo (o Introduccion de la Negacion), quesera tratado en la Seccion 4.7.

Ahora bien, podra lo falso estar contenido en lo verdadero? Es decir, es valido obtener una conclusion falsaa partir de premisas verdaderas? Esto nos lleva a un nuevo principio de la Logica.

Principio 3. Si a partir de premisas verdaderas se produce una conclusion falsa, la estructura del argumento no es valida.

Al principio anterior se le refiere como el Principio de Pureza de la Conclusion.

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Ejemplo 2.5. El siguiente razonamiento no es valido porque lleva de premisas verdaderas a una conclusion falsa.

Premisa 1: Pedro es ambateno.Premisa 2: Si alguien es ambateno, es tungurahuense.Conclusion: Por tanto, Pedro no es tungurahuense.

Ejemplo 2.6. Mara W. es asesinada un sabado en torno a las 23h30 por alguien que entro en su domicilio,violento sus pertenencias y dejo residuos de marihuana. En el juicio pertinente, el principal sospechoso, CarlosH., es condenado a 25 anos de reclusion basicamente por el siguiente razonamiento (respecto al da del evento):

Hecho 1: Carlos H. tuvo hasta hace poco una relacion sentimental con Mara W.Hecho 2: Carlos H. es un consumidor esporadico de marihuana.Hecho 3: Carlos H. estuvo en el Mall Los Andes entorno a las 20h10.Hecho 4: Mara W. estuvo en el Mall Los Andes entorno a las 20h20.Hecho 5: Carlos H. estuvo en el condominio donde vive Mara W. entorno a las 22h00.Conclusion: Por tanto, Carlos asesino a Mara W.

Los cinco hechos del razonamiento anterior fueron presentados por el abogado acusador y fueron verificados:

por el testimonio del medico de Carlos H.,por registros de video del condominio y del mall, ypor el registro de una compra que realizo Carlos H. con su tarjeta de credito.

Sin embargo, realmente es suficiente el conjunto de hechos para establecer la culpabilidad de Carlos H.?

He aqu lo que realmente sucedio. Carlos H. compro dos entradas para ver una pelcula que arranco a las 20h15 yque presencio con su nueva enamorada. Mara W. llego al mall y realizo un reclamo en una empresa de telefonaentre las 20h18 y las 20h30. Carlos H. y Mara W. nunca se encontraron. Tan pronto termino la pelcula, CarlosH. dejo en su domicilio a su enamorada que, coincidencialmente, vive en el mismo condominio que Mara W.Jose U., el asesino y adicto a la marihuana, es el conserje del condominio. Al tener un impulso de consumo yal no tener dinero, ingresa al departamento de Mara W. tratando de conseguir algo de dinero pensando queella no estaba presente. Al tratar de evitar el robo, Mara establece un enfrentamiento con el agresor que llevo aldesenlace fatal.

Asimismo necesitamos una herramienta que nos permita establecer la no-validez de un razonamiento quepartiendo de premisas verdaderas lleva a una conclusion verdadera. Los dos principios que se enuncian acontinuacion salvan esta situacion.

Principio 4. La validez o no-validez de la estructura de un razonamiento es independiente de los contenidos.

Al principio anterior se le conoce como Principio de Validez. Tengase presente que por estructura de unrazonamiento nos referimos a la forma en que se lo enuncia.

Cuando la estructura de un razonamiento admite un cambio de contenidos que provoca que las premisas seanverdaderas y la conclusion sea falsa, a la nueva situacion se la refiere como un contraejemplo.

Principio 5. Si la estructura de un razonamiento admite un contraejemplo, entonces no es valida.

Por tanto, si intuimos que un razonamiento no es solido y queremos probar que esa es efectivamente la situacion,deberamos extraer su estructura y buscar un contraejemplo, es decir una situacion en que las premisas seanverdaderas y la conclusion falsa. Al principio anterior se le conoce como el Principio del Contraejemplo.

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Ejemplo 2.7. Consideremos el siguiente razonamiento:

Premisa 1: Si llueve en mi barrio entonces mi jardn se moja.Premisa 2: Mi jardn esta mojado.Conclusion: Por tanto, ha llovido.

Es equivocado pues el siguiente razonamiento tiene la misma estructura pero lleva a una conclusion falsa.

Premisa 1: Si hago mucho ejercicio entonces sudo.Premisa 2: Estoy sudando (porque estoy en un sauna).Conclusion: Por tanto, he hecho mucho ejercicio.

Ejemplo 2.8. Retomemos el Ejemplo 2.6. Observemos, desde otra perspectiva, el razonamiento que establece queCarlos H. es culpable:

Premisa 1: Si Carlos H. es el asesino, entonces hay hechos que respaldan la culpabilidad.Premisa 2: Hay hechos que respaldan la culpabilidad.Conclusion: Por tanto, Carlos H. es el asesino.

Es mas, este razonamiento parecera ser respaldado por el siguiente:

Premisa 1: Si llueve en mi barrio entonces mi jardn se moja.Premisa 2: Mi jardn esta mojado.Conclusion: Por tanto, ha llovido.

Sin embargo, los dos razonamientos anteriores son no-solidos pues el siguiente razonamiento tiene la mismaestructura pero lleva a una conclusion falsa.

Premisa 1: Si hago mucho ejercicio entonces sudo.Premisa 2: Estoy sudando (porque estoy en un sauna).Conclusion: Por tanto, he hecho mucho ejercicio.

Finalmente, el siguiente principio enuncia las herramientas que permiten administrar un conjunto de premisasverdaderas para obtener - de una forma valida - conclusiones verdaderas.

Principio 6. La validez de la estructura de un razonamiento se puede establecer con la ayuda de las Reglas de Inferencia.

Al principio anterior se le refiere como el Principio de las Reglas de Inferencia.

Para cerrar esta seccion evidenciaremos mediante un ejemplo la conexion entre los conceptos de calidad de lainformacion, protocolo3 y solidez de un argumento.

Ejemplo 2.9. El Dr. Ignacio R. es uno de los endocrinologos mas prestigiosos del Ecuador; vive y trabaja en Quito.En el ambito medico es conocido que practicamente no acepta los resultados de examenes clnicos realizados enprovincia a sus pacientes. Tendra probabilidades de exito una posible demanda de un Colegio de Medicos deprovincia que lo acusara de discriminar a los profesionales de provincia que realizan los examenes clnicos querequiere el mencionado profesional?

La respuesta es no. Esta justificada su postura.

3De acuerdo a [7], por protocolo es un plan escrito y detallado de un experimento cientfico, un ensayo clnico o una actuacion medica.

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Para poder tomar decisiones que ayuden a establecer un diagnostico correcto - en otras palabras que la conclusionsea correcta - y, a posteriori, el tratamiento mas idoneo para uno de sus pacientes, el Dr. Ignacio R. necesita quela informacion presente en los resultados de los examenes clnicos reflejen la realidad - dicho de otra manera quelas premisas sean verdaderas. Lastimosamente, en la gran mayora de los casos de pacientes que traen examenesrealizados en provincia, este no es el caso. Por tanto, para poder brindar el servicio medico de la mejor calidadposible el profesional se ve en la necesidad de tomar una poltica inflexible de no confiar en los resultados deexamenes practicados en provincia.Por que se da este problema? A pesar de que para cualquier examen medico existen protocolos preestablecidosy probados, no siempre el equipo medico utilizado esta calibrado tecnicamente y, lastimosamente, para ahorrarrecursos muchas veces no se usan los reactivos apropiados o se saltan etapas del protocolo o simplemente no secumplen todas las etapas con el rigor necesario.

3. Conectores y operadores logicos

A partir de la Seccion 4.1 abordamos las Reglas de Inferencia. En el Cuadro 1 se presentan los conectoreslogicos basicos y los operadores que los representan.

Con respecto al orden o jerarqua de los operadores se deben tener en cuenta los siguientes puntos.

1) Cuando hay parentesis la ubicacion de estos indicara cual es el operador dominante.2) Cuando hay signos de puntuacion se los puede reemplazar por signos de agrupacion.3) Cuando no hay puntuaciones ni parentesis se mantiene el siguiente orden de jerarqua:4

a) ;b) ;c) ;d) , , Y, .

4) Si la proposicion tiene el mismo tipo de operador o de igual fuerza se colocan los parentesis de izquierda aderecha.

El cambio de lugar de un signo de puntuacion, digamos una coma, puede cambiar sustancialmente el sentido logico de un texto

Ejemplo 3.1. La proposicionP SQ R

se puede escribir como[(P S)Q] R

La proposicionPQRS

se puede escribir como[(PQ)R]S

Condicion necesaria. Condicion suficiente

Consideremos las proposiciones R y S.Se dice que S es condicion suficiente para R si cada vez que S ocurre inmediatamente sabemos que tambien

ocurre R. Como veremos mas adelante esto quiere decir que la proposicion

S R4Los operadores, Y y se definen en la Seccion 6.

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es verdadera.

Ejemplo 3.2. Es claro que

soy ecuatoriano

es condicion suficiente para concluir que

nac en Ecuador o uno de mis padres es ecuatoriano o tome legalmente la ciudadana ecuatoriana.

Se dice que S es condicion necesaria para R si cada vez que R ocurre inmediatamente sabemos que tambienocurre S. Como veremos mas adelante esto quiere decir que la proposicion

R Ses verdadera.


mi patio esta mojado

es condicion necesaria para sospechar que

ha llovido en mi barrio.

Ejemplo 3.4. Retomamos el Ejemplo 2.6. Se tiene que

Carlos H. es el asesino

es condicion suficiente para concluir que

hay hechos que respaldan la culpabilidad.

Por tanto, que existan hechos que sugieran la culpabilidad de Carlos H. es condicion necesaria (pero no suficiente)para tenerlo como sospechoso.

4. Reglas de Inferencia Fundamentales

En la Seccion 2 mencionamos que existen Reglas de Inferencia que permiten a nuestra mente realizar ra-zonamientos validos, es decir sacar (de una forma logicamente valida) conclusiones verdaderas a partir depremisas verdaderas y consistentes. Las reglas que presentaremos a partir de esta seccion constituyen la base dela Deduccion Natural ([8], [14], [9]).

4.1. Introduccion de la conjuncion

Empezamos nuestro estudio con el conector logico llamado conjuncion. Es representado por el operador demanera que la proposicion compuesta

PQse interpreta como P y Q. Es importante entender bajo que circunstancias se puede introducir una conjuncion y,de la misma manera, saber cuando se pueden separar las proposiciones simples que componen una conjuncion.

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Ejemplo 4.1. Es verdad que

P: 5 es un numero entero

y tambien que

Q: 5 es un numero real positivo;

por tanto

PQ: 5 es un numero entero y 5 es un numero real positivoy tambien es cierto que

QP: 5 es un numero real positivo y 5 es un numero entero

La estructura del razonamiento utilizado en el Ejemplo 4.1 es valida, independiente de sus contenidos, y seesquematiza de la siguiente manera:

1 P

2 Q3 PQ I, 1, 2

(4.3)

Tambien es valido el razonamiento

1 P

2 Q3 QP I, 1, 2

(4.4)

Mas adelante veremos que las proposiciones PQ y QP son equivalentes.

4.2. Eliminacion de la conjuncion

Ejemplo 4.2. Sabemos que

PQ : pi es un numero irracional y positivo;por tanto es cierto que

P: pi es un numero irracional

y tambien es cierto que

Q: pi es un numero positivo


1 PQ2 P E, 1

(4.5)

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Mayo

rga-

Zamb

rano

, J.

Tambien es valido el esquema

1 PQ2 Q E, 1

(4.6)

Tablas de verdad de la conjuncion

Por lo visto en las Secciones 4.1 y 4.2, para que PQ sea verdadera es condicion necesaria y suficiente quetanto P como Q sean verdaderas. Observe las tablas de verdad presentes en las Tablas 2 y 3.

Tabla 2: La veracidad de P y Q es suficiente para establecer la veracidad de PQ.P Q PQ0 0 00 1 01 0 01 1 1

Tabla 3: La veracidad de P y Q es necesaria para establecer la veracidad de PQ.PQ P Q

1 1 1

4.3. Introduccion del condicional

El conector logico llamado condicional es representado por el operador. La proposicion compuestaPQ

se interpreta como si P entonces Q. Es importante entender bajo que circunstancias se puede introducir uncondicional y, de la misma manera, saber cuando se lo puede eliminar.

Ejemplo 4.3. Recordemos que, por definicion, un numero es natural si es entero y positivo. Ahora bien,supongamos que

N : n es un numero natural

esto quiere decir que

EP : n es un numero entero y n es un numero positivopor tanto, por eliminacion de la Conjuncion, se tiene que

P : n es un numero positivo

Por tanto hemos probado que

N P : Si n es un numero natural, entonces n es un positivo


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Mayo

rga-

Zamb

rano

, J.

1 P...

...

n Qn+1 PQ I, 1n

(4.7)

Metodo de Demostracion Directo

Puesto que la estructura de un Teorema5 esPQ,

la Introduccion del Condicional establece el Metodo de Demostracion Directo de un Teorema. En efecto, en (4.7)P representa la conjuncion de todas las hipotesis o condiciones del Teorema, los puntos verticales representantodos los resultados o conclusiones parciales en el proceso de demostracion de la tesis Q.

4.4. Eliminacion del condicional (Modus Ponens)


PQ : Si llueve en mi barrio, entonces mi jardn se moja.Ahora bien, miro que

P : Llueve en mi barrio

por lo que puedo concluir, con toda seguridad, que

Q : Mi jardn se esta mojando


1 PQ2 P3 Q E, 1, 2

Observacion 4.1. El Modus Ponens es utilizado cada vez que aplicamos un Teorema a la resolucion de unproblema practico de Ingeniera. En este caso, deben verificarse todas condiciones establecidas en su enunciado.

Ejemplo 4.5. En un cuerpo legal, las sanciones son consecuencia de faltas cometidas; es decir que se utiliza elModus Ponens. Consideremos, por ejemplo, el Artculo 31 de [4]:

En caso de que un profesor o estudiante incurriera por primera vezen alguna accion u omision que constituya fraude academico,

recibira una amonestacion escrita por parte de Consejo Directivo de la PUCESA.

En particular, esta disposicion legal establece que

Si un estudiante comete por primera vez fraude academicoentonces recibira una amonestacion escrita por parte de Consejo Directivo de la PUCESA.

5Que es la misma estructura de los Lemas, Corolarios y Proposiciones.

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, J.

Por tanto, si Consejo Directivo de la PUCESA constata que el estudiante Carlos H. comete plagio (e.g. en unaconsulta) y que (hasta donde conoce) es su primera vez, debe emitirle una amonestacion por escrito.

Ejemplo 4.6. Para poder establecer una disposicion legal como la mencionada en el Ejemplo 4.5 es necesario quecumpla con una serie de principios propios de la Ciencia del Derecho; en particular debe ser racional y mnima-mente aceptable por todos los sujetos de aplicabilidad (e.g. estudiantes y profesores) y, para su establecimiento,debe seguirse el procedimiento adecuado y ser consagrada por la autoridad autorizada para ello.

Considere el siguiente razonamiento:

Premisa 1: Si alguien es judo entonces no puede ser contratado por un empleador aleman.Premisa 2: Jaim R. es judo.Conclusion: Por tanto, Henry M. (que es aleman) no puede contratar a Jaim R..

La Premisa 1 corresponde a una de las Leyes de Nuremberg que establecio Alemania en 1935. Si bien la estructuradel razonamiento anterior es valida (es el Modus Ponens), el argumento no es solido porque la Premisa 1:

no es racional;no es aceptable por parte de judo alguno;contradice principios universales (e.g. la igualdad ante la ley de todos los seres humanos).

Tablas de verdad del condicional

Para que P Q sea falsa es condicion necesaria y suficiente que el antecedente, P, sea verdadero y que elconsecuente, Q, sea falso. Observe las tablas de verdad presentes en los Cuadros 4 y 5.

Tabla 4: La veracidad del antecedente y la falsedad del consecuente son condicion suficiente para la falsedad delcondicional.

P Q PQ0 0 10 1 11 0 01 1 1

Tabla 5: La veracidad del antecedente y la falsedad del consecuente son condicion necesaria para la falsedad delcondicional.

PQ P Q0 1 0

4.5. Introduccion de la disyuncion

El conector logico llamado disyuncion es representado por el operador . La proposicion compuestaPQ

se interpreta como P o Q. Es importante entender bajo que circunstancias se puede introducir una disyunciony, de la misma manera, saber cuando se puede eliminarla.

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, J.

Ejemplo 4.7. Es cierto que

P: El autor de estas notas se llama Juan

por tanto

PQ: El autor de estas notas se llama Juan o Arturoy tambien es cierto que

RP: El autor de estas notas se llama Carlos o Juan


1 P2 PQ I, 1

1 Q2 PQ I, 1

Como se vera mas adelante, las proposiciones PQ y QP son equivalentes.

4.6. Eliminacion de la disyuncion (Dilema)


PQ : Carlos es patateno o pillarenoAsimismo sabemos que

P T : Si alguien es patateno entonces es tungurahuensey que

Q T : Si alguien es pillareno entonces es tungurahuensepor tanto

R : Carlos es tungurahuense


1 PQ2 P R3 Q R4 R E, 13

Tablas de verdad de la disyuncion

Para que PQ sea falsa es condicion necesaria y suficiente que tanto P como Q sean falsas. Observe las tablasde verdad presentes en los Cuadros 6 y 7.

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, J.

Tabla 6: La falsedad de P y Q es suficiente para establecer la falsedad de PQP Q PQ0 0 00 1 11 0 11 1 1

Tabla 7: La falsedad de P y Q es necesaria para establecer la falsedad de PQPQ P Q

0 0 0

4.7. Introduccion de la negacion (Reduccion al Absurdo)

El conector logico llamado negacion es representado por el operador . La proposicion compuesta P seinterpreta como no P o lo contrario de P o no es cierto P. Es importante entender bajo que circunstanciasse puede introducir una negacion y, de la misma manera, saber cuando se la puede eliminar.

Ejemplo 4.9. Supongamos que

C : El rey de Ecuador es tolerante.

Ahora bien, es claro que

C E : Si el rey de Ecuador es tolerante, el rey existe.Pero entonces, por el Modus Ponens,

E : El rey de Ecuador existe.

Pero, puesto que Ecuador es una Republica,

E : El rey de Ecuador no existe.Entonces tenemos que

E E : El rey de Ecuador existe y el rey de Ecuador no existeque es una contradiccion. Estamos entonces autorizados a concluir que

C : No es cierto que el rey de Ecuador es tolerante.


1 P...

...

n EEn+1 P I, 1n

La Reduccion al Absurdo establece que si se parte de una suposicion y se llega a una contradiccion, entoncespodemos negar tal suposicion. Como vermos adelante la Reduccion al Absurdo es una herramienta para lademostracion de teoremas, proposiciones, etc.

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Ejemplo 4.10. Lo que sigue es una adaptacion de la obra de Platon, Apologa de Socrates, a partir de [5].

Corra el ano 399 EC cuando Meleto, motivado por la envidia, llevo a juicio a Socrates bajo la siguiente acusacion:

Socrates corrompe a los jovenes:no cree en los dioses en los que cree la ciudad y,

en cambio, tiene extranas creencias relacionadas con genios.

En la votacion final de los miembros del jurado, 281 declararon culpable a Socrates en tanto que 275 votaron porsu inocencia. Como resultado, Socrates fue condenado a muerte por envenenamiento y tuvo que beber la cicuta.

En su defensa, Socrates dejo en evidencia la falsedad de la acusacion de Meleto mediante el metodo de Reduccional Absurdo:

Quien cree en cosas de genios, cree en genios.Quien cree en genios, necesariamente cree en dioses (pues los genios son hijos bastardos de los dioses).Suponiendo verdadera la acusacion de Meleto, yo no creo en los dioses pero s creo en cosas de genios.

Pero, bajo este supuesto, yo creo en dioses y, al mismo tiempo, no creo en dioses.Por tanto, la acusacion de Meleto es falsa.

Observacion 4.2. En su defensa, Socrates uso lo que se conoce como el metodo Socratico: mediante una secuenciade preguntas se provoca que el interlocutor se contradiga a s mismo, [2].

Pruebas de Hipotesis

Retomamos la discucion iniciada en el Ejemplo 1.4. Para demostrar que una hipotesis H0 es falsa, la Reduccional Absurdo nos provee el siguiente esquema:

Suponemos H0Mediante las Reglas de Inferencia, se estable una contradiccion.

Por tanto, se rechaza H0, estableciendo que es falsa.Como consecuencia H0 es verdadera.

Teniendo presente que las pruebas (estadsticas) de hipotesis tienen un factor probabilstico de confianza, no sepuede establecer en terminos absolutos la verdad o falsedad de una hipotesis H0. Por ello se la contrasta o ponea competir con una hipotesis alternativa Ha. Lo anterior se puede esquematizar de la siguiente manera:

Suponemos H0Mediante la aplicacion de la Estadstica, se estable informacion que contradice H0 y favorece Ha.

Por tanto, con un cierto nivel de confianza, se rechaza H0, estableciendo que es probablemente falsa.Como consecuencia se acepta Ha pues probablemente es verdadera.

Lo expuesto nos permite decir que las pruebas (estadsticas) de hipotesis no son mas que versiones probabilsticasdel metodo de Reduccion al Absurdo.

4.8. Eliminacion de la Negacion

Ejemplo 4.11. Leemos en una enciclopedia que

M : Es falso que el terreno de Marte no tiene nutrientes.Entonces estamos en condiciones de concluir que

M : El terreno de Marte tiene nutrientes.

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, J.


1 P2 P E, 1

Tablas de verdad de la negacion

Es clara la validez de las tablas de verdad presentes en los Cuadros 8 y 9.

Tabla 8: Tabla de verdad de la NegacionP P0 11 0

Tabla 9:P P0 11 0

5. Falacias

Las dos falacias que presentamos a continuacion son muy comunes y es importante reconocerlas para evitarcaer en ellas.

5.1. Falacia de la Afirmacion del Antecedente

Se presenta cuando se utiliza la siguiente estructura:

1 PQ2 Q3 P AA, 1, 2


PQ : Si llueve entonces el patio de mi casa se mojaPor otro lado, al llegar a casa vemos que

Q : el patio esta mojado

Si concluimos que

P : llovio

hemos razonado falazmente. Efectivamente un miembro de la familia podra haber limpiado el patio.

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, J.

Ejemplo 5.2. Como vimos en los Ejemplos 2.6 y 2.8, el siguiente argumento no es solido:

Premisa 1: Si Carlos H. es el asesino, entonces hay hechos que respaldan la culpabilidad.Premisa 2: Hay hechos que respaldan la culpabilidad.Conclusion: Por tanto, Carlos H. es el asesino.

Es evidente que se trata de un caso de la Falacia de la Afirmacion del Antecedente.

5.2. Falacia de la Negacion del Consecuente

1 PQ2 P3 Q NC, 1, 2


PQ : Si llueve entonces el patio de mi casa se mojaPor otro lado, sabemos que ese da

P : no ha llovidoSi concluimos que

,Q : el patio no esta mojado

hemos razonado falazmente.

Ejemplo 5.4. Una vez mas retomamos el Ejemplo 2.6.

Premisa 1: Si Jose U. tuvo una relacion sentimental con Mara W. entonces tendra algun motivo para asesinarla.Premisa 2: Jose U. nunca tuvo una relacion sentimental con Mara W.Conclusion: Por tanto, Jose U. no tuvo motivo alguno para asesinarla.

Este razonamiento es incorrecto pues usa una estructura falaz: es un caso de la Falacia de la Negacion delConsecuente.

6. Conectores logicos derivados

Los conectores logicos junto con las correspondientes reglas de inferencia presentados en las Secciones 4.1-4.7constituyen la base del Calculo Proposicional que consideramos, la Deduccion Natural. Por comodidad suelenconsiderarse, adicionalmente, tres conectores logicos derivados; esa es la materia de esta seccion.

6.1. Bicondicional

Dadas las proposiciones P y Q se escribePQ

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, J.

para abreviar la proposicion(PQ) (Q P)

En este caso, se suele utilizar alguna de las frases siguientes

P ocurre cuando y solo cuando Q ocurre;P es condicion necesaria y suficiente de Q (y viceversa);P ocurre si y solo si Q ocurre. Esto suele abreviarse P ssi Q.

Para que PQ sea verdadera es condicion necesaria y suficiente que P y Q tengan el mismo valor de verdad.Observe la tabla de verdad presente en el Cuadro 10.

Tabla 10: El bicondicional PQ establece que P es condicion necesaria y suficiente para Q y viceversa.P Q PQ0 0 10 1 01 0 01 1 1

6.2. Disyuncion Exclusiva

Dadas las proposiciones P y Q se escribePYQ

para abreviar la proposicion(PQ)

En este caso, se suele utilizar alguna de las frases siguientes

o bien P ocurre o bien Q ocurre;ocurre P o Q ocurre;ocurre P o Q, pero no las dos.

Para que PYQ sea verdadera es condicion necesaria y suficiente que P y Q tengan diferente valor de verdad.Observe la tabla de verdad presente en el Cuadro 11.

Tabla 11: Tabla de verdad de la Disyuncion ExclusivaP Q PYQ

0 0 00 1 11 0 11 1 0

6.3. Conjuncion Negativa

Dadas las proposiciones P y Q se escribeP Q

para abreviar la proposicionPQ

Para que P Q sea verdadera es condicion necesaria y suficiente que tanto P como Q sean falsas. Observe lastablas de verdad presentes en los Cuadros 12 y 13.

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, J.

Tabla 12: Tabla de verdad de la Conjuncion NegativaP Q PQ0 0 10 1 01 0 01 1 0

Tabla 13:P Q P Q

1 0 0

7. Reglas de Inferencia Derivadas

A partir de las Reglas de Inferencia Fundamentales, que fueron presentadas en la Seccion 4, se derivan unaserie de reglas que son muy utiles y que le permiten a nuestra mente alcanzar las conclusiones de una maneramas rapida.

Por su importancia, recalcamos nuevamente que al analizar un argumento, los conceptos de solidez y validez (de su estructura) sonequivalentes en tanto que todas las premisas sean verdaderas.

7.1. Silogismo Hipotetico


PQ : Si alguien es quiteno entonces es pichinchano.Tambien es claro que

Q S : Si alguien es pichinchano entonces es ecuatoriano.Concluimos entonces que

P S : Si alguien es quiteno entonces es ecuatoriano.

Una vez que las premisas son verdaderas (vease el Ejemplo 2.2), el razonamiento descrito en el Ejemplo 7.1es solido por su estructura y no por sus contenidos. Esquematizamos ahora esta estructura de razonamiento,denominada Silogismo Hipotetico, e inmediatamente demostramos su validez a partir de las ocho reglas deinferencia basicas.

1 PQ2 Q R3 P R SIL, 1, 2

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Demostracion.

1 PQ2 Q R3 P Suposicion,

4 Q E, 1, 35 R E, 2, 46 P R I, 35

7.2. Mutacion de las Premisas

Ejemplo 7.2. Consideremos las siguientes premisas

P : Pedro estudio mucho.Q : Pedro esta tranquilo.R : Pedro obtiene buena nota en el examen.

Es claro que

P (Q R) : Si Pedro estudio mucho, Pedro obtiene buena nota en el examen si esta tranquilo.Por tanto tambien es cierto que

Q (P R) : Si Pedro esta tranquilo, Pedro obtiene buena nota en el examen si estudio mucho.

Una vez que las premisas son verdaderas, el razonamiento descrito en el Ejemplo 7.2 es solido por su estructuray no por sus contenidos. Esquematizamos ahora este tipo de estructura, denominado Mutacion de las Premisas.

1 P (Q R)2 Q (P R) MUT, 1

7.3. Conmutatividad y Asociatividad de la Conjuncion


PQ : Mi nombre es Juan y mi nombre es Ricardo.Por tanto tambien es cierto que

QP : Mi nombre es Ricardo y mi nombre es Juan.

Una vez que las premisas son verdadera, el razonamiento descrito en el Ejemplo 7.3 es solido por su estructuray no por sus contenidos. Esquematizamos ahora este tipo de estructura, denominada Conmutatividad de laConjuncion.

1 PQ2 QP CC, 1

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, J.

La validez de la estructura que a continuacion esquematizamos, referida como Asociatividad de la Conjuncion,es clara.

1 P (QR)2 (PQ)R AD, 1

7.4. Introduccion de la Doble Negacion


P : Mi nombre es Juan.

Por tanto, aun cuando suena latoso, podemos concluir que

P : No es cierto que mi nombre no es Juan.

Una vez que las premisas son verdadera, el razonamiento descrito en el Ejemplo 7.3 es solido por su estructuray no por sus contenidos. Esquematizamos ahora este tipo de estructura, denominada Introduccion de la DobleNegacion.

1 P2 P IDN, 1

7.5. Principio del Tercer Excluido y Principio de Contradiccion


PP : Mi nombre es Juan o mi nombre no es Juan.Tambien es cierto que

QQ : Soy matematico o no soy matematico.

Los razonamientos descritos en el Ejemplo 7.5 son validos por su estructura y no por sus contenidos. Es-quematizamos ahora este tipo de razonamiento, denominado Principio del Tercer Excluido, e inmediatamentedemostramos su validez.

1 PP TE,

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Demostracion.

1 (PP) Suposicion,2 P Suposicion,

3 PP I, 24 (PP)(PP) I, 1, 35 P I, 246 PP I, 57 (PP)(PP) I, 1, 68 (PP) I, 17

Puesto que una contradiccion es falsa, su negacion tiene que ser (por el principio del tercer excluido), necesa-riamente verdadera. Ese es el contenido del Principio de Contradiccion que a continuacion esquematizamos.

1 (PP) PC,

7.6. Modus Tollens y Contrapositiva


PQ : Si llueve entonces mi patio se moja.Ahora bien, llego a casa y veo que

Q : mi patio no esta mojadopor lo que se puede concluir que

P : no ha llovido.

Una vez que las premisas son verdaderas, el razonamiento descrito en el Ejemplo 7.6 es solido por su estructuray no por sus contenidos. Esquematizamos ahora este tipo de estructura de razonamiento, denominado ModusTollens.

1 PQ2 Q3 P MT, 1, 2

Ejemplo 7.7. Retomamos el Ejemplo 2.6. Paul F. vive en un departamento justo al lado del de Mara W.

Premisa 1: Si Paul F. es el asesino, entonces hay hechos que respaldan la culpabilidad.Premisa 2: No hay hechos que respaldan la culpabilidad.Conclusion: Por tanto, Paul F. no es el asesino.

Este razonamiento es solido.

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Una vez que conocemos el Modus Tollens, es facil entender que la siguiente estructura de razonamiento,referida como Contrapositiva, es tambien valida.

1 PQ2 Q3 P Cp, 1, 2

7.7. Carga de Premisa

El siguiente esquema, denominado Carga de Premisa, establece que la verdad es consecuencia de cualquierpremisa, independiente de si es verdadera o falsa.

1 P2 Q P CP, 1

7.8. Inferencia Alternativa


PQ : Soy matematico o soy sociologoAhora bien, es claro que

Q : no soy sociologopor lo que se puede concluir que

P : soy matematico.

Una vez que las premisas son verdaderas, el razonamiento descrito en el Ejemplo 7.8 es solido por su estructuray no por sus contenidos. Esquematizamos ahora este tipo de estructura de razonamiento, denominada InferenciaAlternativa.

1 PQ2 P3 Q IA, 1, 2

1 PQ2 Q3 P IA, 1, 2

Ejemplo 7.9. Retomamos el Ejemplo 2.6. Al considerar, entre otros factores, que en la escena del crimen habaresiduos de marihuana y que los unicos sospechosos que la consumen son Jose U. y Carlos H. se establece que

El asesino es Carlos H. o el asesino es Jose U.

Si en el proceso se hubieran hecho todas las indagaciones pertinentes muy probablemente se hubiera establecidoque

Carlos H. no es el asesino.

En este caso, la conclusion hubiera sido la correcta, es decir que

Jose U. es el asesino.

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7.9. Silogismo Disyuntivo


PQ : Soy matematico o soy sociologoPor un lado, es claro que

P R : Si soy matematico entonces soy un profesional de las Ciencias Exactas.Por otro lado, tambien es claro que

Q S : Si soy sociologo entonces soy un profesional de las Ciencias Sociales.Por tanto podemos concluir que

RS : Soy un profesional de las Ciencias Exactas o de las Ciencias Sociales.

Una vez que las premisas son verdaderas, el razonamiento descrito en el Ejemplo 7.10 es solido por suestructura y no por sus contenidos. Esquematizamos ahora este tipo de estructura de razonamiento, denominadaSilogismo Disyuntivo.

1 PQ2 P R3 Q S4 RS SILD, 13

7.10. Dilema Destructivo


R P : Si Pedro es ambateno entonces por lo menos una vez estuvo en la ciudad de Ambato.Tambien es cierto que

RQ : Si Pedro es ambateno entonces nacio en Ambato.Por otro lado,

PQ : Pedro nunca ha estado en la ciudad de Ambato ni nacio en Ambato.Por tanto podemos concluir que

R : Pedro no es ambateno.

Una vez que las premisas son verdaderas, el razonamiento descrito en el Ejemplo 7.11 es solido por suestructura y no por sus contenidos. Esquematizamos ahora este tipo de estructura de razonamiento, denominadaDilema Destructivo.

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1 PQ2 R P3 RQ4 R DILD, 13

7.11. Conmutatividad y Asociatividad de la Disyuncion


PQ : Me llamo Juan o me llamo Pedro.Por tanto podemos concluir que

QP : Me llamo Pedro o me llamo Juan.

Esquematizamos ahora la estructura del razonamiento anterior, denominada Conmutatividad de la Disyun-cion.

1 PQ2 QP CD, 1

La validez de la estructura que a continuacion esquematizamos, referida como Asociatividad de la Disyuncion,es clara.

1 P (QR)2 (PQ)R AD, 1

7.12. Definicion del Condicional


PQ : Si llueve en mi barrio entonces mi patio se moja.Por tanto

(PQ) : No es cierto que, al mismo tiempo, ha llovido y el patio no este mojado.

Esquematizamos ahora este tipo de estructura de razonamiento, denominada Definicion del Condicional.

1 PQ2 (PQ) DC, 1

De hecho tambien es valido el camino de regreso, es decir:

1 (PQ)2 PQ DC, 1

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8. Equivalencia e implicacion logicas

Los conceptos de implicacion y equivalencia logicas, que a continuacion definimos, son sumamente impor-tantes y permiten aumentar los recursos validos para razonar y, por tanto, establecer conclusiones de formacorrecta.

Definicion 8.1. [Equivalencia logica]Existe equivalencia logica entre dos proposiciones (posiblemente compuestas) P y Q, denotado P Q, si esverdadera la proposicion PQ.En este caso se pueden utilizar como reglas de inferencia

1 P2 Q EQ, 1

(8.8)

y

1 Q2 P EQ, 1

(8.9)

Definicion 8.2. [Implicacion logica]Se dice que la proposicion Q es una implicacion logica de P si la proposicion PQ es verdadera.En este caso se puede utilizar como regla de inferencia (8.8).Observacion 8.1. Antes de intentar demostrar una equivalencia logica (o una implicacion logica) es usualmenteapropiado verificar mediante una tabla de verdad que PQ (respectivamente PQ) es una tautologa, es decirque la columna final correspondiente contiene solo valores 1. Pero recuerde que esto no es una demostracion!

Ejemplo 8.1. Consideramos las proposiciones P y PQ. Sospechamos que PQ es una implicacion logica de Ppor lo que construimos la tabla de verdad de P (PQ) (vease el Cuadro 14). Puesto que la tabla de verdad deP (PQ) es una tautologa procedemos a probar que efectivamente PQ es una implicacion logica de P:

1 P Suposicion,

2 PQ I, 13 P (PQ) I, 12

Tabla 14: Tabla de verdad de P (PQ)P Q PQ P (PQ)0 0 0 10 1 1 11 0 1 11 1 1 1

8.1. Leyes Distributivas

La conjuncion es distributiva respecto de la disyuncion:

P (QR) (PQ) (PR) (8.10)La disyuncion es distributiva respecto de la conjuncion:

P (QR) (PQ) (PR) (8.11)

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8.2. Leyes de Absorcion

Se cumplen las siguientes equivalenciasP P (PQ) (8.12)P P (PQ) (8.13)

8.3. Leyes de De Morgan

Se cumplen las siguientes equivalencias

DM1: (PQ) PQDM2: (PQ) PQDM3: (PQ) PQDM4: (PQ) PQ

Por las leyes de De Morgan se evidencia que realmente no son necesarios cuatro conectores logicos basicos sino, solamente, dos; e.g.la negacion y la conjuncion o la negacion y la disyuncion. De la misma manera, extrictamente no son necesarias ocho reglas de inferenciafundamentales sino, solamente, cuatro.

8.4. Leyes de Reemplazo

CuandoP Q,

son validas las siguientes reglas de reemplazo por equivalencia:

1 PR2 QR RE, 1

1 PR2 QR RE, 1

1 P R2 Q R RE, 1

1 R P2 RQ RE, 1

9. Metodos de Demostracion

Recordemos que todo Teorema (o Lema o Corolario o Proposicion) tiene la estructura

PQ (9.14)donde P representa la conjuncion de las hipotesis y Q representa la tesis.

9.1. Metodo Directo

Se trata de aplicar la regla de Introduccion del Condicional visto en la Seccion 4.3. Se supone P y medianteargumentos validos se obtiene Q.

Teorema 9.1. Sea n Z impar. Entonces n2 es impar.Demostracion. Supongamos que n Z es impar. Entonces, por definicion de numero impar, existe un k Z talque

n = 2k+1.

Se tiene entonces quen2 = 2m+1,

donde m = 2k2+2k Z. Por tanto, por definicion de numero impar, se sigue que n2 Z es impar.

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9.2. Contrarrecproca

La siguiente equivalencia establece un metodo indirecto de demostracion de Teoremas, Lemas, etc.

PQ QP

Teorema 9.2. Sea a Z tal que a2 es impar. Entonces a Z es impar.Demostracion. Equivalentemente, probemos que si a Z es par, entonces a2 es par.

Supongamos entonces que a Z es par. Por definicion de numero par, existe un k Z tal quea = 2k.

Se tiene entonces quea2 = 2m,

donde m = 2k2 Z. Por tanto, por definicion de numero par, se sigue que a2 Z es par.

9.3. Reduccion al Absurdo

Se aplica la regla de Introduccion de la Negacion que fue presentada en la Seccion 4.7. Se suponen P y Q ymediante argumentos validos se llega a una contradiccion, probandose entonces que Q es verdadera.

Teorema 9.3. El numero

2 es irracional.

Demostracion. Supongamos que

2 es un numero racional. Por la defincion de numero racional, existen a Z yb Z\ {0}, enteros primos entre s tales que

2 =ab.

Se tiene entonces quea2 = 2b2, (9.15)

de manera que a2 es par y, por tanto, a tambien es par. Entonces existe un k Z tal quea = 2k,

de manera que, por (9.15), se tiene que4k2 = 2b2,

es decirb2 = 2k2,

as que b2 es par y b tambien lo es. Tenemos una contradiccion pues si a y b son numeros pares, no pueden serprimos entre s.

10. Ejercicios

10.1. Trate de sustentar la validez del Principio de Consistencia de las Premisas a partir del Principio de Purezade las Premisas.

10.2. Demuestre la validez de la Mutacion de las Premisas. Solo puede usar las ocho reglas de inferenciafundamentales y las reglas derivadas presentadas antes de la Mutacion de las Premisas.

10.3. Demuestre la validez de la Conmutatividad de la Conjuncion. Solo puede usar las ocho reglas de inferenciafundamentales y las reglas derivadas presentadas antes de la Conmutatividad de la Conjuncion.

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10.4. Demuestre la validez de la Introduccion de la Doble Negacion. Solo puede usar las ocho reglas de inferenciafundamentales y las reglas derivadas presentadas antes de la Introduccion de la Doble Negacion.

10.5. Demuestre la validez del Modus Tollens. Solo puede usar las ocho reglas de inferencia fundamentales ylas reglas derivadas presentadas antes del Modus Tollens.

10.6. Demuestre la validez de la Contrapositiva. Solo puede usar las ocho reglas de inferencia fundamentales ylas reglas derivadas presentadas antes de la Introduccion de la Contrapositiva.

10.7. Demuestre la validez del Principio de Contradiccion. Solo puede usar las ocho reglas de inferenciafundamentales y las reglas derivadas presentadas antes del Principio de Contradiccion.

10.8. Demuestre la validez de la Carga de Premisa. Solo puede usar las ocho reglas de inferencia fundamentalesy las reglas derivadas presentadas antes de la Introduccion de la Carga de Premisa.

10.9. Demuestre la validez de la Inferencia Alternativa. Solo puede usar las ocho reglas de inferencia fundamen-tales y las reglas derivadas presentadas antes de la Introduccion de la Inferencia Alternativa.

10.10. Demuestre la validez del Silogismo Disyuntivo. Solo puede usar las ocho reglas de inferencia fundamen-tales y las reglas derivadas presentadas antes del Silogismo Disyuntivo.

10.11. Demuestre la validez del Dilema Destructivo. Solo puede usar las ocho reglas de inferencia fundamentalesy las reglas derivadas presentadas antes del Dilema Destructivo.

10.12. Demuestre la validez de la Conmutatividad de la Disyuncion. Solo puede usar las ocho reglas de inferenciafundamentales y las reglas derivadas presentadas antes de la Conmutatividad de la Disyuncion.

10.13. Demuestre la validez de la Ley Asociativa de la Disyuncion. Solo puede usar las ocho reglas de inferenciafundamentales y las reglas derivadas presentadas antes de la Ley Asociativa de la Disyuncion.

10.14. Demuestre la validez de la Definicion del Condicional. Solo puede usar las ocho reglas de inferenciafundamentales y las reglas derivadas presentadas antes de la Definicion del Condicional.

10.15. Pruebe la validez de las Leyes Distributivas 8.10 y 8.11. Construya las tablas de verdad correspondientes.

10.16. Pruebe la validez de las Leyes de Absorcion 8.12 y 8.13. Construya las tablas de verdad correspondientes.

10.17. Pruebe la validez de las Leyes de De Morgan. Construya las tablas de verdad correspondientes. Paraprobar DM3 pruebe primero que

PQ PQ (10.16)10.18. Pruebe la validez de las Leyes de Reemplazo. Construya las tablas de verdad correspondientes.

10.19. Formalice, simbolice y demuestre la solidez del razonamiento de Socrates presente en el Ejemplo 4.10.

10.20. Es solido el siguiente razonamiento? Justifique su respuesta.

Si Pedro es ambateno entonces conoce la Fiesta de la Fruta y de las Flores.Si Pedro es ambateno entonces nacio en Ambato.

Pedro ni conoce la Fiesta de la Fruta y de las Flores ni nacio en Ambato.Por tanto, Pedro no es ambateno.

Sugerencia. Compare este razonamiento con el expuesto en el Ejemplo 7.11.

10.21. En la mancion 6 de Lady Arundell algunos objetos de valor han sido robados. La duena de la casa hacontratado a un detective para dar con el ladron. Una vez realizada la investigacion, el detective llego a averiguarlo siguiente:

Algun delincuente robo varios objetos de valor que se guardaban dentro de la caja fuerte en la casa de LadyArundell.

6Tomado de [3] con autorizacion del responsable de la edicion Mag. Juan Carlos Trujillo.

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Nadie puede robar la mansion de Lady Arundell, a menos que engane al guardian.Si el delincuente logro enganar al guardian, debe haber sido un actor genial.O bien el ladron tena como complice a la dama de compana (pues era la unica persona que, a mas de LadyArundell, conoca la combinacion de la caja fuerte), o bien tuvo que acceder, por s mismo, al interior de lacaja fuerte.Para acceder al interior de la caja fuerte o bien era necesario perforar la puerta, o bien abrir la cerradura.Solamente una persona con un odo extremadamente fino puede abrir la cerradura de una caja fuerte sinconocerla. (Tal persona podra, al girar la perilla, distinguir el sonido ligeramente diferente de aquellosengranajes que, al encajar, hacen que se abra la puerta de la caja fuerte).Si el ladron hubiera perforado la puerta de la caja fuerte, esta presentara un orificio. Pero la puerta esta sinorificio alguno.El detective esta firmemente convencido que ningun delincuente puede tener, al mismo tiempo, un odoextremadamente fino y ser un actor genial.

De todo esto el detective ha concluido que la dama de compana haba sido complice del delincuente. Crees queesta acusacion es procedente?

10.22. Represente simbolicamente el siguiente razonamiento, analice su solidez y la validez de su estructura.

1) La materia es divisible y, por tanto, destruible; pues, cualquier cosa que esta dividida esta destruida, (Leibniz).2) El pacifismo total sera un buen principio si todos estuvieran dispuestos a seguirlo. Pero no todos lo siguen, de

manera que no es (un buen principio), (Harman).

10.23. Pruebe las siguientes equivalencias logicas

P (QYP) PQ(P R) (Q R) (PQ) R

[(RS)R] T R T10.24. Pruebe la validez de los siguientes razonamientos. Justifique los pasos.

1 QS2 PQ3 P R4 SR5 S

1 P (QR)2 P(QR)3 P

1 M (EN)2 ME3 MN4 M

1 T A2 A E3 UE4 UT

1 (LM)P2 I P3 M I4 L

1 AB2 A C3 DB4 CD

10.25. Pruebe la validez de los siguientes razonamientos. Justifique los pasos.

1 T (RT)2 T S3 S (R T)

1 P (S Q)2 Q T3 T4 (PQ) (S Q)32

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1 P Q2 (S (PQ))Q3 S(PQ)

1 RP2 TS3 P

4 (RS) T

1 (SQ)T2 P T3 S4 SQ5 P

1 RT2 TQ3 QR

1 RQ2 R T3 QS4 TS5 S

1 P(R T)2 (SB) P3 BS4 TR

A. Lecturas

Se presentan tres lecturas extradas de [5] con autorizacion explcita del Mag. Juan Carlos Trujillo, responsablede la edicion.

A.1. Iman Abu Hanifa

[5, Unidad 1]

A.2. Tomas de Aquino

[5, Unidad 6]

A.3. Ivan el Terrible

[5, Unidad 7]

Referencias

[1] R. Arthur, Natural Deduction: An Introduction To Logic With Real Arguments, A Little History and Some Humour,Broadview Press, 2011.

[2] H. Benson, Socratic Wisdom: The Model of Knowledge in Platos Early Dialogues, Oxford University Press, 2000.

[3] I. Cobacango, El toro salvaje, Coleccion Descubre las Matematicas, Escuela Politecnica Nacional, Ecuador,1999.

[4] Consejo Directivo PUCESA, Reglamento de Etica de Investigacion, Innovacion, Desarrollo y del Aprendizaje de laPontificia Universidad Catolica del Ecuador Sede Ambato, Version final, (Junio de 2014).

[5] I. Cuenca, Que puedes concluir?, Coleccion Descubre las Matematicas, Escuela Politecnica Nacional, Ecuador,1998.

[6] D. Echave, M. Urquijo, and R. Guibourg, Logica, proposicion y norma, Editorial Astrea, 2008.

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[7] R. A. Espanola, Diccionario de la Lengua Espanola, Vigesimo segunda edicion, Espana, 2001.

[8] G. Gentzen, Untersuchungen uber das logische Schliessen (Investigations into Logical Deduction), MathematischeZeitschrift, 39 (1934).

[9] S. Jaskowski, On the Rules of Suppositions in Formal Logic, Studia Logica, 1 (1934).

[10] W. Jevons, The Principles of Science: a Treatise on Logic and Scientific Method, Macmillan and Co, New York,1874.

[11] U. Klug, Logica Jurdica, Editorial Temis S.A., 2004.

[12] F. Pelletier, A history of natural deduction and elementary logic textbooks, Simon Fraser University, (2004).

[13] U. Schill, Logica y Derecho, Distribuciones Fontamara, 2008.

[14] M. Szabo, The Collected Papers of Gerhard Gentzen, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, first ed.,1969.

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IntroduccinDefiniciones de proposicin y declaracinSolidez y validez de un razonamiento

Principios de la LgicaConectores y operadores lgicosReglas de Inferencia FundamentalesIntroduccin de la conjuncinEliminacin de la conjuncinIntroduccin del condicionalEliminacin del condicional (Modus Ponens)Introduccin de la disyuncinEliminacin de la disyuncin (Dilema)Introduccin de la negacin (Reduccin al Absurdo)Eliminacin de la Negacin

FalaciasFalacia de la Afirmacin del AntecedenteFalacia de la Negacin del Consecuente

Conectores lgicos derivadosBicondicionalDisyuncin ExclusivaConjuncin Negativa

Reglas de Inferencia DerivadasSilogismo HipotticoMutacin de las PremisasConmutatividad y Asociatividad de la ConjuncinIntroduccin de la Doble NegacinPrincipio del Tercer Excluido y Principio de ContradiccinModus Tollens y ContrapositivaCarga de PremisaInferencia AlternativaSilogismo DisyuntivoDilema DestructivoConmutatividad y Asociatividad de la DisyuncinDefinicin del Condicional

Equivalencia e implicacin lgicasLeyes DistributivasLeyes de AbsorcinLeyes de De MorganLeyes de Reemplazo

Mtodos de Demostracin Mtodo DirectoContrarrecprocaReduccin al Absurdo

EjerciciosLecturasImn Abu HanifaToms de AquinoIvn el Terrible

Referencias

fundamentos razon metodo

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