539pág.

5.1 Matrices y operaciones

a) Verdadero b) Falso

2. Dada la ecuación matricial 43

54

84

7-38

-1X = , hallar X.

3. a) Determine la matriz A2x2 = (aij), para la cual aij = i + j - 2.

b) Sea B = 00

0-2 . ¿Es B una matriz diagonal?

c) Sea C = A + B. ¿Es C una matriz identidad?

d) Sea la matriz D3x2 = (dij), para la cual dij = 2i + 3j - 4, encuentre:

(i) DA(ii) DB (iii) DC

4. Determine la matriz A3x4 = (aij) , para la cual: aij = i + j ; i ≠ j 0 ; i = j .

1. Si A y B son dos matrices cuadradas cualesquiera, entonces:

CAPÍTULO CINCO5 Ejercicios propuestos

(A + B)2 = A2 + B2 + 2AB

5. Sea f (x, y) = x + y; x, y ∈M3x3. Sea A = 321

211

4-1

4, determine:

a) f (A, AT) b) f (AT, A-1) c) f (A-1, AA-1) d) f (A-1, A-1AT)

6. Considere las siguientes matrices:

a) Hallar la matriz B - 2C.b) Si F 2 = 9I, donde I es la matriz identidad de 2 x 2, demostrar que n=0.c) Hallar BCT.d) Hallar CTB.

B =52

0

-3-6

-1C =

4-3-6

7-1

2F =

n 3-n3

540pág.

8. Sean las matrices A = 4 0 0

00

1 00 -1

y B = 1 1 1

00

1 -10 1

.

a) Calcule A3 - 3B2 + 10I. b) Verifique que (AB)T = BT AT.

c) Si A = 1 -1 0

10

0 10 1

y B = 2 -1 0

01

1 11 0

, verifique que (AB)-1 = B -1 A -1.

9. Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal si y solo si A -1 = AT.

Sea A = 010

sen(β)0

cos(β)0

cos(β)

-sen(β). Demuestre que A es ortogonal.

10. Las matrices A, B y X están dadas por:

A = 3

-516 , B =

4 80 -3 , X =

a bc d , donde a, b, c, d ∈ .

Suponiendo que: AX + X = B, encuentre los valores de a, b, c y d.

11. Sea A = 1 0

100

0 ; B = 1 001

10

; C = 1 000

10

. Demostrar que:

Si AB = AC, no necesariamente B = C.

7. Encuentre la matriz “X ” en las siguientes ecuaciones matriciales:

12. Sea M = a 22 -1 , donde a es elemento de los números enteros.

(i) Exprese M 2 en función de a.

(ii) Si M 2 es igual a 5

-4-4

5 , encontrar el valor de a.

a) 1 2 3

40

1 4-1 -2

X = 0 000

11

b) 0 -2 2

1-2

3 31 3

X = 3 660

120

c) X 1 2 3

34

2 43 1

= 60

91

86

d) X 3 2-1-2 =

2-1-1

1

541pág.

13. A = 34

23

; B = (5 1 0 -3); C = 21

0-4

3 10 -1

; D = 10 15 -511 10 10

. Halle:

a) AD b) ATCT c) CD d) CTBT

14. Dadas las matrices A = 15

23

y B = 23

1

0 61 , compruebe que (BA)T = AT BT.

15. Encontrar todas las matrices diagonales de orden dos que coinciden con su inversa.

16. Una matriz cuadrada A tiene la propiedad de que A2 = 2A + I, donde I es la matriz identidad. Demuestre que A tiene inversa y obtenerla en función de A.

17. Dada la matriz B = 1 + m

00

1 - m , encuentre los valores de m, tales que

B2 = 2B + I, y para estos valores halle la inversa de B.

5.2 Determinantes

20. Dadas las matrices: A = 1 2

0143

-1-8 0 ; B =

0 2

1120

04

1 ; C = 0 2

2413

84

-4

Determinar:

a) A -1

b) AB -1

c) det (AB - 2CT ) d) det (A) + det (B) - det (C) e) B -1 C -1

19. Hallar los valores de x elemento de los reales para que la matriz A sea singular.

18. Se dice que dos matrices cuadradas A y B de orden n x n son semejantes, si existe una matriz inversible P, tal que B = P -1AP. Determine si son semejante las matrices:

A = 10

21

y B = 10

0-1

A = 21

|x - 2|

542pág.

24) Si 8

-6-7-2

= a 11-10

+ b 1

110

+ c -2

321

, determine a + b + c.

21. Determinar el valor de k para que la matriz AB sea triangular superior, donde:

23. Para las siguientes matrices:

a) Hallar el determinante de A y B.b) Hallar AB y BA. ¿Son iguales? Que podría decir acerca de AB.c) Hallar CD y DC. ¿Son iguales? Notar que C y D no son nulas.

25. Sabiendo que: A = 3

4-3-2

e I = 1

100

, la suma de los valores de λ para

los cuales (A - λI) es una matriz singular, es:

a) 6 b) 1 c) 7 d) 5 e) -5

26. El valor de:

log2 (8)log3 (81)

- 42log2 (12)

- 13log2 (4) - 1

es:

a) 2 b) -1 c) 1 d) -2 e) -7

Encuentre los valores de x, tales que las matrices dadas no sean inversibles.

22. Para las siguientes matrices, considere Re = .

-1 0 -2

-3 -2k2

2- k -k 3 A = k3

3- k5-k B =

-2k 3-1

-2 -10 1

a) 1x

x 1-1

b) ex

e2x e3x

e-2x

c) 1ex

0

ex

- e2x

0

000

d) sen (x)

- cos (x)cos (x)sen (x)

A = 0

101

; B = 1

001

; C = 1 001

00

; D = 0 0

110

0

543pág.

27. Sean A = 5 -27 1 , B =

6 75 -2 y C =

-5 0-8 7 . Sabiendo que XA + B = C,

el det(X) es:

a) 14 b) -14 c) 19 d) -10 e) 0

28. Si Re = y p(x): 42

31 + 8x

-12x - 4 1

-2 x = 0, entonces la suma de los

elementos de Ap(x) es:

a) 12 b) 34 c) 78 d) 57 e) 23

29. Dadas las matrices A y B, tales que:

sen (2)

cos (2)

- cos ()

sen (2)

cos (3)

cos (3)

sec (3)

sen ()

sen (2)

A = ,

log (1)

log2 (14)

log3 (9)

log2 (14)

log3 (9)

ln(e)

0

0

ln(e)

B = .

El det (AT + 12B) es:

a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2

30. Sean las matrices A = m h gf e dc b a

y B = a

d - 3a2g

b ce - 3b f - 3c

2h 2m, tal que

det(A) = 10, es verdad que:

a) det (B) = -5

b) det (B) = -20

c) det (A) det (B) = 25

d) det(A)det(B)

= 12

31. Si el determinante de la matriz A = a b cd e fg h i

es n, encuentre el

determinante de las siguientes matrices:

B = 2h4e

6b

6d3g9a

2fi

3c ; C = b

e

ha + cg + i

d + fc + bi + h

f + e

544pág.

32. Sea x ∈ , encuentre Ap(x) si p(x):

x + 2

x x x111

x + 211

1x + 2

111x

= 0 .

33. Considere la función: f (x) = xb

-10

x0

-2a

-1 x00

3ba

00

-1.

Sabiendo que: f (0) = -3 y f (1) = f (-1), determine a y b.

34. Una de las siguientes proposiciones es falsa, identifíquela:

35. Sean A = 51

03 , B =

20

14 . Encuentre:

a) det(A)b) det(B)c) ABd) BAe) Verificar que det(AB) = det(A) det(B); det(BA) = det(B) det(A).

36. Hallar α ∈ , de modo que det(A) = 1, para A = cos(α)1

sen(α)cos(α) .

37. Demostrar que: a b + c1b1 a + cc1 a + b

= 0.

a) ∀a, b, c, d, k ∈ ; ka bkc d = k a b

c d

b) ∀a, b, c, d ∈ ; a bc d = d c

b a

c) ∀a, b, c, d, k ∈ ; k2ak2c

kbkd = k3 a b

c d

d) ∀a, b, c, d ∈ ; a bc d = a c

b d

e) ∀a, b, c, d, k ∈ ; kakc

kbkd = k a b

c d

545pág.

39. El valor del determinante

sen (x) cos (x) sen (x)cos (x) - sen (x)1 + cos (x) + sen (x)

- sen (x)cos (x)

cos (x)sen (x)

es:

40. Demostrar que: 1 sen (a) cos (a)1 sen (b) cos (b)1 sen (c) cos (c)

= sen (b - c) + sen (c - a) + sen (a - b) .

43. Demostrar:

x2

y2

z2

xyz

111

= (y - z) (x - y) (x - z).

41. Factorizar las siguientes expresiones de x:

42. Hallar Ap(x). Considere Re = [0, ] y el predicado:

38. Usando las propiedades de los determinantes, demuestre las igualdades

siguientes, si se tiene que: a b cd e fg h i

= 3.

a) ad

2g

b cf

2ie

2h = 6 b)

cf

be

i h

-a-d-g

= 3 c) a - 4c b c

feih

d - 4fg - 4i

= 3

a) 1b) -1c) 1 + cos(x) d) sen2 (x) + sen (x) + cos (x) e) cos2 (x) - sen (x)

a) x + 4x

x + 142x + 1 b)

- 1 91x + 1x + 2

x 2x + 1 x - 1

c) - 2 21

x4x - 4

3 6

p(x): 2 sen2(2x) 2 cos (x)3 sen (x) 1 = -1

546pág.

44. Si se conoce que x y z5 0 31 1 1

= 1, encuentre el valor de x

2x + 5y z2y 3 + 2z

1 + z1 + y1 + x.

45. Si

a11

a23a22a21

a12 a13

a33a32a31

= 5, hallar el valor de 6a22

-2a32

2a12

-a31

3a21

a11

3a23

-a33

a13

.

5.3 Sistemas de ecuaciones lineales

47. Considere el sistema de ecuaciones:

a) Demuestre que el sistema no tiene solución única.

b) Halle el valor de k para que el sistema sea consistente.

c) Halle la solución general del sistema para el valor de k obtenido.

46. El determinante a1

d1 + d2c1

b1 + b2 es equivalente a:

48. Considere la matriz: A = 0 2

-1123

01

1 .

a) Calcule la inversa de A.b) Calcule la inversa de AT y la de A-1.c) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) a1

c1

b1

d1 +

a1

c1

b2

d2b)

a1

c1

b1

d1 +

b1

d1

b2

d2c)

c1

a1

d1 + d2

b1 + b2

d) 11

a1 + b1 + b2

c1 + d1 + d2e)

a1

c1

b1

c1 -

a1

b2

c1

d2

x + 2y + z = k2x + y + 4z = 6; donde k es una constante real. x - 4y + 5z = 9

AT yz

x = 0

1

4 A-1 y

z

x = 3

-4

2

547pág.

49. Encuentre dos matrices, A y B, de orden 3 x 3 con coeficientes reales, tales que satisfagan las dos igualdades siguientes:

3A + 2B = 83

427-2 2

-3-3 y A - B =

10

212-1 -3

0-2 .

51. Considere la matriz 1 2 1

t-1

t0-1 t

.

a) Hallar los valores de t para que esta matriz no sea inversible.b) Calcule su inversa para el valor o valores de t, tales que el determinante

de la matriz es 1.

52. Considere la matriz: A = 1 2 1

0λ

1λ-1 1

.

a) Halle los valores de λ para los que la matriz A no tiene inversa.b) Tomando λ=1 , resuelva el siguiente sistema escrito en forma

matricial:

a) Calcule los valores de α y β, sabiendo que el par ordenado P(2, -1) satisface la primera ecuación y el par ordenado Q(2, 0) satisface la segunda.

b) Si sustituimos estos valores de α y β calculados, ¿el sistema tiene solución única? ¿Por qué?

50. Considere el sistema de ecuaciones: 1β

α1

x1x2

= 1 - βα .

53. Resolver el sistema de ecuaciones matriciales:

A x2x3

x1 = 0

0

0

3X - 2Y = 716

34 ; X + 3Y = 6

-2 2712

548pág.

54. Dado el sistema: x - 3z = 12x - 6z = 3 y + z = 2

, entonces es verdad que:

a) El sistema es consistente.

b) El sistema tiene solución única.

c) El sistema tiene infinitas soluciones.

d) No se puede evaluar el determinante del sistema.

e) El determinante del sistema es igual a cero.

58. Encontrar el valor, o los valores, del parámetro α que hace que el sistema

01

1

-2 α- α 1

1 0yx

z = 2

1

3 sea inconsistente.

57. Dado el sistema de ecuaciones: xm + y = 2mn

x - my = m2n , m, n ∈ ; m ≠ 0 entonces

es verdad que:

a) El sistema no tiene solución.

b) El sistema tiene infinitas soluciones.

c) El sistema tiene solución única.

d) El valor de x e y son iguales.

e) Sólo tiene solución trivial.

55. Calcule a y b para que los siguientes sistemas sean consistentes.

56. ¿Para qué valores de m es consistente el siguiente sistema?

(m + 2)x + y +2z = 0x + my + z = 02x + 2y + 2z = 0

x + ay + z = -1 y + 2z = 1x + y - z = -a

a) 2x - y + z = 0x - ay + bz = 0

ax - by - z = 0b)

549pág.

59. Supongamos que la matriz cuadrada A = 103

212

abc

es inversible.

Demostrar que la solución del sistema: A x2x3

x1 = 1

-1

1 verifica que x3 = 0.

60. Sean las matrices: A = 51 + λ

3-2 y B = 2

-2 + t

41 . Encuentre los

valores de λ y t para que A = B.

61. Resuelva los siguientes sistemas:

62. Encuentre el valor de a para que el siguiente sistema no tenga solución.

63. Si se conoce que (1, 1, 1, 1, 1) y (3, 3, 3, 3, 3) son soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y 5 incógnitas, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) El sistema debe ser homogéneo.

b) (2, 2, 2, 2, 2) también es una solución del sistema.

c) m debe ser igual a 5.

d) La información dada es insuficiente para encontrar más soluciones.

e) No existe un sistema de ecuaciones lineales que satisfaga las condiciones dadas.

x1 + 2x2 + x3 = 8 x2 + 3x3 + x4 = 15 4x1 + x3 + x4 = 11 x1 + x2 + 5x4 = 23

a)

x1 - x2 + x3 - x4 = - 2 x1 + 2x2 - 2x3 - x4 = - 5 2x1 + x2 - 3x3 + 2x4 = - 1x1 + 2x2 + 3x3 - 6x4 = - 10

b)

6x1 - 5x2 + 7x3 + 8x4 = 3 3x1 + 11x2 + 2x3 + 4x4 = 6 3x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 1 x1 + x2 + x3 = 0

c) d) 1 2

-132 -1

xy + 2

1

-1 z =

3-3-2

x + 3y + 2z = 5x + y + z = 2

2x + 3y + (a2 - 1) z = a + 1

550pág.

64. Respecto al siguiente sistema de ecuaciones lineales

- x1 + x2 + 2x3 = 0ax1 - x2 + x3 = 0

3x1 + 2x2 - x3 = 0, a ∈ , es falso que:

a) El sistema siempre tiene solución.

b) El valor de a para que el sistema tenga sólo solución trivial debe ser

diferente de -2.

c) Para que el sistema tenga solución, a ∈ .

d) Si a = -2 , el sistema tiene infinitas soluciones.

e) El sistema dado es inconsistente.

65. Para qué valores de “m” es consistente el sistema:

5.4 Sistemas de ecuaciones no lineales

67. Resolver los siguientes sistemas. Considere x, y (0,2π) .

66. Hallar la solución de los siguientes sistemas:

- mx + y - z = 1 2mx + y - z = 0 - my + z = 2m mx = 1

b)x + my + z = 0(m - 2)x + y + 2z = 0

2x + 2y + 2z = 0a) - x + y + mz = 0

(m - 1)x - 2y = 2

- y + 2z = mc)

3y - x = 93x + y = 81

a)

22x+1 - 32y = 232x + 3y = 7

d)

log(x) + log(y) = 3x + y = 110

g)

3y - x = 33x + 3y = 36

b)

3x - 2y = 322x - y = 32

e)

log2(x) - log2(y) = 1log2(x - y) = 2

h)

2x + y = 642x + 2y = 20

c)

2x -1 2y +1 = 263x 9y = 38

f)

y - 4x = 0log(x) + log(y) = 4

i)

cos(x - y) = 1sen(x) + sen(y) = 1

a)sen(x + y) = 1cos(x) tan(x) = 2

√3b)

cos(x) cos(y) = 34

sen(x) sen(y) = 14c)sen(x) + sen(y) = 32

x + y = 23d)

x - y = 6

sen(x) sen(y) = cos(x) cos(y)e)

sen(x) + sen(y) = 32

sen(x) + cos(y) = 12f)

551pág.

5.5 Sistemas de inecuaciones lineales

72. Para el siguiente sistema de desigualdades:

a) El punto de intersección entre 5x + 3y = 105 y 2x + 4y = 70.

b) La representación en un plano cartesiano de las condiciones del sistema.

c) La región factible.

2x + 4y ≤ 705x + 3y ≤ 105

x ≥ 0y ≥ 0

, determine:

69. Un hombre y su hijo trabajando juntos pueden hacer una obra en 12 días. Trabajando separadamente el hijo tardaría 7 días más que el padre en hacer él solo la obra, ¿cuánto tiempo tardará cada uno trabajando por su cuenta?

70. Dos resistencias conectadas en serie dan una resistencia total de 25 ohmios (Ω) y conectadas en paralelo dan una resistencia equivalente de 6 Ω. ¿Cuántos ohmios tiene cada resistencia separadamente? [Si r1 y r2 son los ohmios que tiene cada resistencia, R es la resistencia total cuando se conectan en serie y r la resistencia equivalente cuando se conectan en

paralelo, se sabe que r1 + r2 = R y que 1r1

+ 1r2

= 1r ].

71. Hallar la solución de los siguientes sistemas:

68. La demanda para los bienes producidos por una industria están dados por la ecuación p2 + x2 = 169, donde p es el precio y x es la cantidad demandada. La oferta está dada por p = x + 7, el punto de intersección de la demanda y oferta se lo conoce como punto de equilibrio, entonces el precio de equilibrio es:

a) 5 b) 12 c) 22 d) 19 e) 17

x2 - 3xy - 2y2 = 83x2 - 2xy = 160

g)

x2 + 2y2 = 112x2 - 3y2 = 15

a)

xy = 10x2 + y2 = 29

d) 5x2 - 7xy - 6y2 = 03x2 - 8xy + 4y2 = 0

f)xy + 24 = x3

y

xy - 6 = y3

xe)

xy + y2 = - 4x2 + 3xy = - 8

c)x + y = 1x2 + y2 = 25

b)

552pág.

Entonces, uno de los siguientes sistemas de desigualdades lineales representa la región sombreada, identifíquelo:

P ≤ 80 - Q P ≤ Q

Q ≤ 20a) P ≤ 80 - Q

P ≥ Q

Q ≥ 20b) P ≤ 80 - Q

P ≥ Q

Q ≤ 20c) P ≤ 80 + Q

P ≥ Q

Q ≥ 20d) P ≤ 80 + Q

P ≤ Q

Q ≥ 20e)

73. Una máquina puede fabricar cajas de tornillos o cajas de pernos. Puede funcionar durante un máximo de 80 horas semanales. Lleva una hora en fabricar una caja. La máquina debe fabricar no menos de 20 cajas de tornillos por semana. El número de cajas de pernos P no debe ser menor que el número de cajas de tornillos Q. El punto T es (40, 40). Esta información aparece en el diagrama adjunto.

P

T

Q

80

60

40

20

20 40 60 800

74. Para el gráfico adjunto, identificar el sistema que lo representa y encontrar los vértices de la región sombreada.

y

6 x420-2- 4

-2

- 4

2

4

553pág.

75. Resolver los sistemas de inecuaciones lineales siguientes, encontrando los vértices de su región solución.

5.6 Sistemas de inecuaciones no lineales

76. La región del plano cartesiano que corresponde al conjunto solución del sistema de desigualdades:

y ≥ | x | x2 + y2 ≤ 9

y + x2 ≥ 0, es un subconjunto de los cuadrantes:

a) I y IV b) II y IV c) II y III d) I y III e) I y II

77. Graficar la región solución del sistema: y ≥ x2 - 4x - 5x - y ≥ 0 .

2x - y - 9 ≥ 02x + 3y ≥ - 3

2x - 5y + 5 ≥ 0a) 2x - y - 9 ≥ 0

2x + 3y ≥ - 3

2x - 5y - 5 ≥ 0b) 2x - y - 9 ≤ 0

2x + 3y ≥ - 3

2x - 5y - 5 ≥ 0c)

2x - y - 9 ≥ 02x + 3y ≤ - 3

2x - 5y - 5 ≤ 0d) 2x - y - 9 ≤ 0

2x + 3y ≤ - 3

2x - 5y - 5 ≤ 0e)

6x + 8y ≤ 1205x + 15y ≤ 150

x ≥ 0y ≥ 0

a)9x + 8y ≥ 0 x + 3y ≥ 50

x ≥ 0y ≥ 0

b) 3x + 4y ≥ 60

x + 3y ≤ 122x + y ≤ 10

0 ≤ x ≤ 80 ≤ y ≤ 2

c) 2x + 3y ≥ 36 x + y ≥ 14

4x + y ≥ 16 x - 3y ≥ 0

d)

y ≤ x + 3x + y ≥ 5

y + 2x ≤ 164y - x ≤ 22

e) 3y + x ≥ -1y ≥ 0x ≥ 0

x + y ≤ 102x + y ≥ 3

f) x + y ≥ 2

554pág.

a) En el I y II cuadrante del plano cartesiano.b) En el II y III cuadrante del plano cartesiano.c) Sólo en el II cuadrante del plano cartesiano.d) Sólo en el I cuadrante del plano cartesiano.e) En todos los cuadrantes del plano cartesiano.

81. Si Rex = Rey = y p(x, y) es la conjunción de los siguientes predicados

y ≥ x2 + 1x + y < 2

y - x > 2 , entonces Ap(x, y) tiene elementos:

80. Si p(x, y): y ≥ x2 - 2xy > 1 - | x - 1|

, x ∈ , y ∈ , entonces es verdad que:

79. En los siguientes ejercicios, haga la gráfica del conjunto solución de cada sistema de desigualdades dado:

ex-3 ≤ ylog2(x - 2) ≥ y

a)2x-3 ≤ y

log12(x - 2) ≤ y

b) ex-3 ≥ ylog3(x - 2) ≥ y

c)

2x-3 ≤ y

log12(x - 2) ≥ y

d)ex-3 ≥ y

log12(x - 2) ≥ y

e)

xy ≥ 4y ≥ x2 + 1a) y + x > 0

y < log2 (x)

y < 4 - x2 b)

a) Ap(x, y) ⊆ (x, y)/x ≥0, y ≥0b) (1, 3) ∉ Ap(x, y)c) (1, 1) ∈ Ap(x, y)

d) Ap(x, y) ⊆ (x, y)/x >0, y ∈ e) Ap(x, y) ⊆ (x, y)/x ∈ , y >0

78. La región sombreada en el plano cartesiano adjunto, representa el conjunto solución del sistema de desigualdades dado por:

y

x

1.5

1

0.5

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5