prueba de hipótesis de una muestra

Prueba de hipótesis de una muestra

Ing. Luis Eladio Rodríguez González, M.Eng., M.A.E.

2

DEFINICIÓN: Una hipótesis es una afirmación (relacionada a un parámetro de la población) la cual se desea verificar

En el análisis estadístico

Se realiza una afirmación

(Hipótesis)

Se recogen datos Se hacen

conclusiones

Una persona es inocente hasta que se pruebe lo contrario

Afirmación:

¡Culpable de robo!

Se revisa la evidencia

y los testimonios

¡ Veredicto final !

La verdad o falsedad de una hipótesis nunca se sabe con absoluta certeza, a menos que se examine toda la población

¿Que es una hipótesis?

3

¿ Cual es el ingreso mensual de todos los graduados de Ingeniería Industrial ?

No es posible contactarlos a todos

El costo de localizarlos es muy elevado

Una opción para medir

toda la población es

tomar una MUESTRA

EJEMPLOSe afirma que la media de los

salarios de los egresados es

de (µ = $2 200)

Se recogen datos de una

MUESTRA

Se concluye si la

muestra apoya o no la

hipótesis, relacionada a

la población

DEFINICIÓN: Una prueba de hipótesis es un procedimiento basado en una muestra para determinar si la

hipótesis planteada es aceptada o rechazada

Si:

µ = $2 200

X = $2 198

La diferencia de $2 entre la media poblacional y la muestral:

• ¿ Puede ser por error de muestreo ?

• ¿ Es estadísticamente significativa ?

¿Que es una prueba de hipótesis?

4

PASO 1: Se define la hipótesis nula ( H₀ ) y la hipótesis alternativa ( H₁ )

Significa: Hipótesis Significa: No hay diferencia

H₀: µ = $2 200 Afirma: la media de los salarios de los egresados no es significativamente diferente de $2 200

Se rechaza: si la muestra da evidencia convincente.

¿La diferencia entre el estadístico de la muestra ( X

= $2 198) y el parámetro poblacional (µ = $2 200)

es aleatorio debido al error de muestreo?

DEFINICIÓN: Una hipótesis nula ( H₀ ) es una declaración relacionada al parámetro de la población formulado con el

fin de probar evidencia numérica.

HIPÓTESIS NULA ( H₀ ):

H₀: µ = $2 200

No se rechaza: esto no significa que esta afirmación es verdadera. Significa

solamente que no se rechaza.

Suponga:

• X = $2 198

• Parámetro µ = $2 200

Hacer

prueba de

hipótesis

La condición de igualdad siempre aparece en Ho, nunca en H₁

Procedimiento prueba de hipótesis

5


DEFINICIÓN: Una hipótesis alternativa ( H₁ ) es aquella que se acepta cuando los datos de la muestra ofrecen suficiente evidencia

para rechazar la hipótesis nula ( H₀ )

HIPÓTESIS ALTERNATIVA ( H₁ ):

H₁: µ ≠ $2 200

Se rechaza: si la muestra da evidencia convincente.

H₀: µ = $2 200

No se rechaza: esto NO significa que esta afirmación es verdadera. Significa

solamente que no se rechaza.

Se acepta

CONCLUSIÓN: la media de los salarios de los egresados es significativamente diferente de $2 200

Entonces:

La hipótesis nula ( H₀ ) no es verdadera


PASO 2: Seleccionar un nivel de significancia(α)

6

PASO 3: Seleccionar el estadístico de prueba

Estadístico Z:

Cuando se conoce 𝜎 (Desv) ó el tamaño de muestra es grande

𝑍 = X − µ

𝜎 / 𝑛

X sigue la distribución normal si la muestra es grande

ESTADISTICO DE PRUEBA: Es un valor que se obtiene

de la información de la muestra para determinar si

se rechaza la hipótesis nula ( H₀ )Z , t , F , Chi²

PASO 4: Se define la forma de tomar la decisión

Valores muy pequeños de Z

Valores muy grandes de Z

Zona de rechazo

Valor crítico

Zona de rechazo


7

PASO 5: Se toma una decisión sobre la prueba

Prueba de 1 cola a la derecha

Probabilidad: 0,95 Probabilidad: 0,95

Prueba de 1 cola a la izquierda

Se rechaza la hipótesis

nula ( H₀ )


nula ( H₀ )

Probabilidad: 0,95



nula ( H₀ )

8

EJEMPLO: 1 COLA DERECHA:

H₀: µ ≤ $2 200 Afirma: la media de los salarios de los egresados es menor o igual a $2 200

H₁: µ > $2 200 Afirma: la media de los salarios de los egresados es mayor a $2 200

H₀: µ ≥ $2 200 Afirma: la media de los salarios de los egresados es mayor o igual a $2 200

H₁: µ < $2 200 Afirma: la media de los salarios de los egresados es menor a $2 200

H₀: µ = $2 200 Afirma: la media de los salarios de los egresados no es significativamente diferente

de $2 200

H₁: µ ≠ $2 200 Afirma: la media de los salarios de los egresados es diferente a $2 200

EJEMPLO: 1 COLA IZQUIERDA:

EJEMPLO: 2 COLAS:

Colas de la prueba de hipótesis

0,475 0,025

0,495 0,005

0,475 0,025

1,96

2,58

-1,96

-2,58

α = 1% = 0,01

α = 5% = 0,05

α = 10% = 0,10

0,4950,005

0,4750,025

0,4950,005

0,010,99

0,050,95

0,100,90

2,33

1,645

1,28

0,99

0,95

0,90

9

Colas de la prueba de hipótesis

¿Cuanta confianza hay en el rechazo/aceptación de la hipótesis nula?

Comparar el valor p (probabilidad)

con el nivel de significancia (α)

Si p < α = poca probabilidad de que H₀ sea verdadero = Se rechaza H₀

Si p > α = poca probabilidad de que H₀ sea falsa = No se rechaza H₀

0,50 0,50

0,4950,495

α

2=

0,01

2

α

2=

0,01

2

NO se rechaza la

hipótesis nula ( H₀ )

0,99

𝑍 = X−µ

𝜎 / 𝑛=

203,5 − 200

16 / 50= 1,55

NO se rechaza la hipótesis nula ( H₀ )

¿Qué tan fuerte es la decisión que tomamos?

10

Ejemplo. Lind y Marchal, página 343:

Se desea saber si ha habido un cambio en la producción mensual de un artículo X cuyo comportamiento se ajusta a una distribución normal

con media 2 00 unidades y desviación estándar de 16. Se toma una muestra de 50 unidades con X = 203,5 y trabaja con un nivel de confianza

del 99%.

Valor p en la Prueba de hipótesis

Valor P de 2 colas = 0,0606 x 2 = 0,1212


La probabilidad de que obtener valores superiores a X =2 523, cuando µ = 2 500 es de 0,0606


Como: 0,1212 > 0,01 = poca probabilidad de que H₀ sea falsa = No se rechaza H₀

0,50 0,50

0,005α

2=

0,01

2

NO se rechaza la


2,58-2,58 1,55-1,55

0,0606

Zona rechazo ( H₀ )Zona rechazo ( H₀ )

0,50 - 0,4394 = 0,0606

La probabilidad de que obtener valores inferiores a X =2 523, cuando µ = 2 500 es de 0,0606

11



PASO 2: Seleccionar un nivel de significancia (α)

α = 5% = 0,05 Probabilidad de cometer error tipo I


𝑍 = X − µ

𝜎 / 𝑛

Media poblacional

Tamaño de la muestra

Media muestral

Desviación poblacional

H₀: µ ≤ 16 onzas

H₁: µ > 16 onzas


Una empresa utiliza una maquina llenadora de botellas que históricamente tiene una distribución normal de llenado de 16 onzas con una

desviación de 0,15 onzas. Se obtiene una muestra de 50 botellas donde la cantidad media por botella fue de 16,040 onzas. ¿Hay evidencia

que sugiere que la cantidad media despachada es mayor a 16 onzas? Utilizar 5% significancia.



0,95 α = 0,05

Se rechaza la hipótesis nula ( H₀ )

NO se rechaza la


PASO 5: Decisión sobre la prueba

𝑍 = X−µ

𝜎 / 𝑛=

16,040−16

0,15 / 50= 1,89

SI se rechaza la hipótesis nula ( H₀ ) 1,645


Como: 0,0294 < 0,05 = poca probabilidad de que H₀ sea verdadero = Se rechaza H₀

Valor p de 1 cola = 0,50 – 0,4706 = 0,0294

0,0294

1,89

RESPUESTA: La cantidad media despachada es superior a 16 onzas.

13


14

ERROR TIPO I: Rechazar la hipótesis nula

( H₀ ) cuando es verdadera.

H₀: Piezas defectuosos ≤ 5%

H₁: Piezas defectuosos > 5%

SE OBTIENE UNA MUESTRA DE 50 PIEZAS

En la muestra: = 4/50 = 8%

RESPUESTA: Se rechaza la hipótesis nula ( H₀ ). Se rechaza el lote.

Lote: 1 500 piezas

Defectuosos 4/1 500 = 0,26%

Las únicas 4

defectuosas del

lote quedaron en

la muestra

Probabilidad de cometer

este error: α

Error tipo I

15

ERROR TIPO II: Aceptar la hipótesis nula

( H₀ ) cuando es falsa.

H₀: Piezas defectuosos ≤ 5%

H₁: Piezas defectuosos > 5%

SE OBTIENE UNA MUESTRA DE 50 PIEZAS

En la muestra: = 2/50 = 4%

RESPUESTA: NO se rechaza la hipótesis nula ( H₀ ). Se acepta el lote.

Lote: 1 500 piezas

Defectuosas 60 /1 500 = 4 %

Solo 2

defectuosas del

lote quedaron en

la muestra

Probabilidad de cometer

este error: 𝛽

Error tipo II

EJEMPLO COLA IZQUIERDA:


La experiencia indica que la fuerza media de tensión de una barra de acero es de 10 000 psi y su 𝜎 = 400 psi. Se obtiene una muestrade n = 100.

1,96-1,96 0

Zona rechazo 𝑍 =

X𝐿𝐼𝐸 − µ1

𝜎 / 𝑛=

9 922−9 900

400 / 100= 0,55

Regla decisión establecida por la empresa: Tome n = 100, si lafuerza media esta entre 9 922 – 10 078 psi con α = 0,05; acepteel lote. Gráficamente sería:

α

2=

0,05

2

0,025

Zona rechazo

α

2=

0,05

2

0,025

µ0 = 10 000 10 0789 922

SUPONGA que la media poblacional de un lote que llega esµ1 = 9 900 psi. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el lotecuando es falso (error tipo II) ?

0

µ1 = 9 900 9 922

El valor Z entre la media del lote que llega (µ1 = 9 900) y el

valor crítico especificado X𝐿𝐼𝐸 = 9 922 psi.

0,55

Valor Z = 0,55

16

Error tipo II

PROBABILIDAD DE COMETER UN ERROR TIPO II:

1,96-1,96 0

Zona rechazo

α

2=

0,05

2

0,025

Zona rechazo

α

2=

0,05

2

0,025

µ0 = 10 000 10 0789 922

0

Zona Aceptación

0,2054 0,2946

Zona Rechazo

0,50

0,55µ1 = 9 900 9 922


Zona Aceptación

17

Error tipo II

EJEMPLO COLA DERECHA:

La experiencia indica que la fuerza media de tensión de una barra de acero es de 10 000 psi y su 𝜎 = 400 psi. Seobtiene una muestra de n = 100.

1,96-1,96 0

Zona rechazo

Regla decisión establecida por la empresa: Tome n = 100, sila fuerza media esta entre 9 922 – 10 078 psi con α = 0,05;acepte el lote. Gráficamente sería:

α

2=

0,05

2

0,025

Zona rechazo

α

2=

0,05

2

0,025

µ0 = 10 000 10 0789 922

SUPONGA que la media poblacional de un lote que llegaes µ1 = 10 120 psi. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar ellote cuando es falso (error tipo II) ?

𝑍 = X𝐿𝑆𝐸 − µ1

𝜎 / 𝑛=

10 078−10 120

400 / 100= -1,05

El valor Z entre la media del lote que llega (µ1 = 10

120) y el valor crítico especificado X𝐿𝑆𝐸 = 10 078 psi.

0

µ1 = 10 12010 078

0

Valor Z = 1,05

18

Error tipo II


1,96-1,96 0

Zona rechazo

α

2=

0,05

2

0,025

Zona rechazo

α

2=

0,05

2

0,025

µ0 = 10 000 10 0789 922

0

Zona Aceptación

0,500,1492

Zona Rechazo

0,3508

−1,05µ1 = 10 12010 078


Zona Aceptación

19

Error tipo II

20

Otras mediasProbabilidad

cometer error tipo II

Probabilidad NO

cometer error tipo II

9 940 0,67696 0,32304

9 980 0,92091 0,07909

9 990 0,9429 0,0571

10 000 - -

10 020 0,92091 0,07909

10 060 0,67696 0,32304

Potencia de una prueba


La experiencia indica que la fuerza media de tensión de una barra de acero es de 10 000 psi y su 𝜎 = 400 psi. Se obtiene una muestrade n = 100.

H₀: µ = 10 000 psi

H₁: µ ≠ 10 000 psi

SOLUCIÓN

Puede determinarse la probabilidad de aceptar H₀ como verdadera siendo falsa (Error tipo II) para cualquier valor µi

µi 𝛽 1 − 𝛽

Probabilidad de rechazar H₀ correctamente cuando es falsa

Es la probabilidad de rechazar H₀ siendo verdadera.

21

Consiste en un experimento donde se obtienen muestras aleatorias 𝑋1, 𝑋1, …, 𝑋𝑛; que provienen de una Dncon media 𝜇 y varianza 𝜎2

Prueba hipótesis para 1 media(Varianza 𝜎2 conocida)

El estadístico de prueba se basa en la variable aleatoria 𝑋 y basado en el teorema del límite central

Estandarización de 𝑿

𝑍 𝛼2

-𝑍 𝛼 20

Zona rechazo

α

2

µ0 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑏𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎

Zona Aceptación

No deben considerarse la Prueba de hipótesis y la estimación del intervalo de confianza como formas separadas de inferencia.

Estimación del intervalo de confianza

X ± 𝑍 𝛼 2∗

𝜎

𝑛

𝑍 = X − µ

𝜎 / 𝑛

Es conveniente estandarizar donde:

Zona rechazo

α

2

Valores estandarizados

Valores reales

22


H₀: µ = $2 500

H₁: µ ≠ $2 500




𝑍 = X − µ

𝜎 / 𝑛

Media poblacional


Media muestral


Ejemplo 1. Basado en Lind y Marchal, página 339:

Se desea saber si ha habido un cambio en la producción mensual de un artículo X cuyo comportamiento se ajusta a una Dnnormal con media de 2 500 unidades y una desviación estándar de 90. Se toma una muestra de 100 unidades con X = 2 523



0,50 0,50

0,4950,495

α

2=

0,01

2

α

2=

0,01

2

Se rechaza la


Se rechaza la


NO se rechaza la


0,99


𝑍 = X−µ

𝜎 / 𝑛=

2 524−2500

90 / 100= 2,66

𝑍 = X−µ

𝜎 / 𝑛=

2 523−2500

90 / 100= 2,56

Se rechaza la hipótesis nula ( H₀ )NO se rechaza la hipótesis nula ( H₀ )

13


Comparar


H₀: µ = 16 onzas

H₁: µ ≠ $16 onzas




𝑍 = X − µ

𝜎 / 𝑛

Media poblacional


Media muestral


EJEMPLO 2 (Lind y Marchal página 341):

Una empresa utiliza una maquina llenadora de botellas que históricamente tiene una distribución normal de llenado de 16 onzascon una desviación de 0,15 onzas. Se obtiene una muestra de 50 botellas donde la cantidad media por botella es de 16,017 onzas.¿Hay diferencias significativas en el llenado?

14



0,50 0,50

0,4750,475

α

2=

0,05

2

α

2=

0,05

2

Se rechaza la


Se rechaza la


NO se rechaza la


0,95


𝑍 = X−µ

𝜎 / 𝑛=

16,017−16

0,15 / 50= 0,80

Intervalo de confianza


0,0250,025

1,96−1,96

X ± 𝑧 ∗𝜎

𝑛

X + 𝑧 ∗𝜎

𝑛= 16,017 + 1,96 ∗

0,15

50= 16,05 onzas

X − 𝑧 ∗𝜎

𝑛= 16,017 - 1,96 ∗

0,15

50= 15,98 onzas

25


26


EJEMPLO 2: Una empresa utiliza una maquina llenadora de botellas quehistóricamente tiene una distribución normal de llenado de 16 onzas conuna desviación de 0,15 onzas. Se obtiene una muestra de 50 botellasdonde la cantidad media por botella es de 16,017 onzas. ¿Hay diferenciassignificativas en el llenado?

RESPUESTA:

Como p-value > 0,05; se Acepta H₀

UTILIZANDO MINITABUTILIZANDO MINITAB

EJEMPLO 1: Se desea saber si ha habido un cambio en la producciónmensual de un artículo X cuyo comportamiento se ajusta a unadistribución normal con media de 2 500 unidades y una desviaciónestándar de 90. Se toma una muestra de 100 unidades con X = 2 523

RESPUESTA:

Como p-value < 0,10; se Rechaza H₀

En la mayoría de los casos la desviación estándar poblacional es desconocida

Distribución t :

Características de Distribución t :

1. Es una distribución continua

2. Tiene forma de campana y es simétrica

3. Existe una familia de distribuciones t; cada vez que se cambia de gradosde libertad, se crea una nueva distribución

4. Al aumentar los grados de libertad la forma de la distribución t seaproxima a la distribución normal

5. La distribución t es plana (o más dispersa) que la distribución normal

Por ello (𝜎) debe basarse en estudios previos o calcularse por medio de la desviación estándar de la muestra (s)

Como no se conoce (𝜎) se usa la desviación estándar de la muestra (s) para estimarla; pero hay que recordar que:

𝑡 = X − µ

𝑠 / 𝑛

Media poblacional


Media muestral

Desviación muestral

Se supone que la población es normal

¿Se conoce la desviación estándar

poblacional?

Distribución t Distribución Z

NO SI

27

Prueba hipótesis para 1 media(NO se conoce la Varianza 𝜎2)

Con gl = n - 1

1. En sentido estricto no se debería de utilizar lastablas t a menos que se conozca que la muestraviene de población normal.

2. Muchos libros sugieren que cuando n ≥ 30 esposible reemplazar 𝜎 por S.

3. Si hay duda, recurrir a los procedimientos NOparamétricos

45$ 49$ 51$ 63$ 63$ 62$

48$ 53$ 76$ 56$ 56$ 67$

48$ 54$ 58$ 59$ 61$ 78$

58$ 38$ 40$ 43$ 64$ 51$

69$ 57$

¿Se puede concluir que el costo medio deatención de una queja es menor que $60 con unnivel de significancia de 0,01 ?


α = 1% = 0,01

H₀: µ ≥ $60

H₁: µ < $60


SOLUCIÓN:

EJEMPLO DE 1 COLA: Lind y Marchal pág. 345

El costo de tramitar una queja en una empresa X es de $60 y consideran que es mayor a las de otroscompetidores. Luego de un proceso de mejora se decide evaluar su efecto seleccionando una muestra aleatoriade 26 quejas mostrada en el siguiente cuadro:

28



Zona rechazo

0,99


𝑡 = X − µ

𝑆 / 𝑛

Como no se conoce (𝜎) se usa la desviación

estándar de la muestra (s) para estimarla

29



Grados de libertad: n-1

Regla de decisión: se rechaza H₀ si el valor t es menor a -2,485

Prueba de 1 cola

Seleccionar un nivel de

significancia (α)

Valor crítico

TABLA Distribución tPAGINA 785

0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 0,0005

…

22 2.508

23 2.500

24 2.492

25 1.318 1.708 2.060 2.485 2.787 3.725

26 2.479

27 2.473

28 2.467

29 2.462

30 2.457

…

Nivel de significancia para una prueba de 1 colas, αgl

30


NO se rechaza la hipótesis nula ( H₀

)

Zona rechazo


𝑡 = X−µ

𝑠 / 𝑛=

56,423−60

10,041 / 26= -1,818


RESPUESTA: Las medidas aplicadas no han bajadoel costo medio por queja a menos de $60.

−1,818

31


AHORA, UTILIZANDO MINITAB:


RESPUESTA: Las medidas aplicadas no han bajadoel costo medio por queja a menos de $60.

32


AHORA, UTILIZANDO EXCELL:


RESPUESTA: Las medidas aplicadas no hanbajado el costo medio por queja a menosde $60.

33


0,98

La longitud media de una barra es de 43 mm. Se desea saber si han cambiado las longitudes producto dedesajustes en la máquina. Se decide evaluar su efecto seleccionando una muestra aleatoria de 12 barras; datosmostrados en el siguiente cuadro:

¿Se puede concluir que cambio la longitudde las barras con un nivel de significanciade 0,02 ?

42 39 42 45 43 40 39 41 40 42 43 42


α = 2% = 0,02

H₀: µ = 43 mm

H₁: µ ≠ 43 mm


SOLUCIÓN:

34

EJEMPLO DE 2 COLAS: Lind y Marchal pág. 348



𝑡 = X − µ

𝑆 / 𝑛

𝑠 = (𝑋− X)2

𝑛−1=

35

12−1= 1,784

42 0,5 0,25

39 -2,5 6,25

42 0,5 0,25

45 3,5 12,25

43 1,5 2,25

40 -1,5 2,25

39 -2,5 6,25

41 -0,5 0,25

40 -1,5 2,25

42 0,5 0,25

43 1,5 2,25

42 0,5 0,25

42 35,0

X − XX (𝑋 − X)2


Regla de decisión: se ACEPTA H₀ si el valor t está entre -2,718 y 2,718

Grados de libertad: n-1

Prueba de 2 colas

Seleccionar un nivelde significancia (α)

0,200 0,100 0,050 0,020 0,01 0,001

…

8 2.896

9 2.821

10 2.764

11 1.363 1.786 2.201 2.718 3.106 4.437

12 2.681

13 2.650

14 2.624

15 2.602

16 2.583

…

glNivel de significancia para una prueba de 2 colas, α

Valorcrítico

35


0,98


𝑡 = X−µ

𝑠 / 𝑛=

41,5−43

1,784 / 12= -2,913

SI se rechaza la hipótesis nula ( H₀ )

RESPUESTA: La media poblacional no es de 43 mmy la máquina puede estar fuera de control ynecesita ajustes

−2,913

36



RESPUESTA: La media poblacional no es de 43 mm y lamáquina puede estar fuera de control y necesitaajustes

AHORA, UTILIZANDO MINITAB:

37



RESPUESTA: La media poblacional no es de 43 mm y lamáquina puede estar fuera de control y necesitaajustes

AHORA, UTILIZANDO EXCELL:

38


La muestra aleatoria de la población debe cumplir:

1. Los datos de la muestra son resultado de conteos.

2. Los resultados posible son éxito ó fracaso; mutuamente excluyentes.

3. La probabilidad de éxito es la misma para cada prueba.

4. Son pruebas independientes; el resultado de una no influye en las demás.

𝑝 =é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠

𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣=

X

n

H₀: 𝑝 ≥ 0.80H₁: 𝑝 < 0.80

Ejemplo. Lind y Marchal, página 353

Para que un candidato sea electo debe obtener el 80% o más de los votos. Se hace una encuestas de 2 000 votantes para evaluarlas posibilidades de ser electo y 1 550 piensan votar por el candidato. ¿Cuáles son las posibilidades de ganar?

PASO 2: Nivel de significancia (α)

α = 5% = 0,05PASO 1: Hipótesis nula ( H₀ ) y la hipótesis alternativa ( H₁ )

SOLUCIÓN:

0,05 0,95

-1,645

𝜋: 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝑝: proporción de la muestra

n: tamaño de la muestra

39

Prueba hipótesis para 1 proporción(Utilizando muestras grandes)

Con n grande se prefiere utilizar la aproximación a la curva normal la cual es muy precisa en especial si 𝝅 no está cerca de 0 ó 1.

40


UTILIZANDO EXCELL:

RESPUESTA: El candidatos NO puede confiaren ser electo ya que:

P-VALUE < α = poca probabilidad de que H₀ sea verdadero = Se rechaza H₀

41

UTILIZANDO MINITAB:


Para muestras grandes

42


Ejemplo 10.10. Walpole, página 363

Se considera que un medicamento tiene una eficacia de 60%. Los resultados experimentales de un nuevo fármaco aplicado a una

muestra de 100 adultos revelan que 70 sintieron alivio. ¿Esta evidencia es suficiente para concluir que el nuevo fármaco es mejor

que el original? Utilizar significancia de 0,05.

RESPUESTA: El nuevo fármaco es mejor ya que:

P-VALUE < α = poca probabilidad de que H₀ sea verdadero = Se rechaza H₀

H₀: 𝑝 = 0,6H₁: 𝑝 > 0.6

PASO 2: Significancia (α)

α = 5% = 0,05

PASO 1: Hipótesis

SOLUCIÓN

PASO 3: Estadístico

𝑍 = 𝑝 − 𝑝

𝑝 (1 − 𝑝)𝑛

=0,7 − 0,6

0,6 (1 − 0,6)100

= 2,04

43

Prueba hipótesis para 1 proporción(Utilizando muestras pequeñas n ≤ 30)

Ahora veamos el caso cuando n ≤ 30

𝑃 = 2 ∗ 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝 = 𝑝0

Entonces se utiliza:

H₀: 𝑝 = 𝑝0

H₁: p < 𝑝0 𝑝 = parámetro de la población

𝑝0 = Proporción hipotética

Es preferible en muestras pequeñas basar las decisiones en valores P

CASO 1: para probar la hipótesis:

H₀: 𝑝 = 𝑝0

H₁: p ≠ 𝑝0

𝑃 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝 = 𝑝0


H₀: 𝑝 = 𝑝0

H₁: p > 𝑝0


𝑃 = 𝑃 𝑋 ≥ 𝑥 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝 = 𝑝0

𝑥 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑛

Si P-VALUE ≤ α = Se rechaza H₀





𝑃 = 2 ∗ 𝑃 𝑋 ≥ 𝑥 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝 = 𝑝0

Si: 𝑥 < 𝑛 𝑝0

Si: 𝑥 > 𝑛 𝑝0

En procesos utilizada para controlar proporción de defectuosos

44



EJEMPLO 10.9, Walpole página 362

Un constructor afirma que un 70% de las viviendas que se construyen actualmente en la ciudad se instalan bombas de calor. Serealiza una encuesta y revela que 8/15 viviendas tienen instaladas bombas de calor. Utilizando un nivel de significancia de 0,10 laencuesta esta de acuerdo con lo dicho por el constructor?

H₀: 𝑝 = 0.70H₁: p ≠ 0.70


α = 10% = 0,01

PASO 1: Planteamiento hipótesis

SOLUCIÓN:



Variable binomial X con p = 0,7 y n = 15


𝑃 = 2 ∗ 𝑃 𝑋 ≤ 8 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝 = 0,70 = 2 𝑥=0

8

𝑏 𝑥; 𝑛; 𝑝

𝑃 = 2 𝑥=0

8

𝑏 8; 15; 0,7 = 2 ∗ 0,1311 = 0,2622

RESPUESTA: NO hay razón para dudar del constructor:

P-VALUE > α = No se rechaza H₀

𝑃 = 2 ∗ 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝 = 0,70

Debido a que 𝑥 < 𝑛𝑝: 8 < 15 0,7

8 < 10,5


45



RESPUESTA: NO hay razón para dudar del constructor:

P-VALUE > α = No se rechaza H₀

Para muestras grandes

ERROR:

Salida de Minitab utilizando la aproximación normal,pero con muestras pequeñas

UTILIZANDO MINITAB:

46




Un experto de una fabrica de pasta indica que el 40% de los amantes de pasta prefieren la lasaña. Si 9/20 eligen la lasaña sobreotras pastas ¿Qué se concluye sobre esta afirmación?

H₀: 𝑝 = 0.40H₁: 𝑝 > 0.40

PASO 2: significancia (α)

α = 5% = 0,05

PASO 1: Hipótesis

SOLUCIÓN:

PASO 3: Estadístico de prueba


Variable binomial Xcon p = 0,4 y n = 20


𝑃 = 𝑃 𝑋 ≥ 𝑥 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝 = 0,40 = 𝑥=0

𝑛

𝑏 𝑥; 𝑛; 𝑝

𝑃 = 𝑥=0

20

𝑏 9; 20; 0,4 = 1 − 0,5956 = 0,404

RESPUESTA: P-VALUE > α = No se rechaza H₀. No se refuta la afirmación

Entonces se utiliza: 𝑃 = 𝑃 𝑋 ≥ 𝑥 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝 = 𝑝0

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Prueba hipótesis para 1 varianzaEl cumplimiento de especificaciones de producción esta muy ligado a varianzas suficientemente pequeñas.

𝜒2 =𝑛 − 1 𝑆2

𝜎02

Estadístico chi-cuadrado para probar que 𝝈𝟐 = 𝝈𝟎𝟐

𝑆2 = 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

𝜎02 = 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑 = 𝑛 − 1

La prueba 𝑋2 sobre una varianza NO es robusta = El éxito depende de la normalidad


Un fabricante afirma que la duración de sus baterías se distribuye normalmente con 𝜎= 0,9 años. Si una muestra aleatoria de 10baterías tiene una s = 1,2 años. Con esa muestra se puede considerar que la desviación es superior a 0,9 años. Utiliza α = 0,05

H₀: 𝜎2 = 0.81H₁: 𝜎2 > 0.81


α = 5% = 0,05


SOLUCIÓN:



𝜒2 =𝑛 − 1 𝑆2

𝜎02

AceptoH₀

48

Prueba hipótesis para 1 varianzaPASO 5: Decisión sobre la prueba

𝜒2 =𝑛 − 1 𝑆2

𝜎02 =

10 − 1 (1,2)2

(0,9)2= 16

RESPUESTA 1:

Como 𝜒2 < 𝜒𝛼2 = 16 < 16,9; Se rechaza H₀

RESPUESTA 2:

P-VALUE > α = No se rechaza H₀, pero hay evidencia paradecir que si se rechaza, es decir, 𝜎2 > 0.81 = 𝜎 > 0,9

UTILIZANDO MINITAB

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Prueba hipótesis para 1 varianzaEJEMPLO 10.67, Walpole página 369

Se sabe que el contenido de los envases se distribuye normalmente con varianza 0,03 litros. Se obtiene una muestra de tamaño 10para verificar. ¿Hay diferencias significativas con respecto al valor conocido? Utilizar α = 0,01.

H₀: 𝜎2 = 0.03H₁: 𝜎2 ≠ 0.03

PASO 2: Significancia (α)

α = 1% = 0,01


SOLUCIÓN:

PASO 3: Seleccionar el estadístico de prueba:


𝜒2 =𝑛 − 1 𝑆2

𝜎02 =

10 − 1 0,2462

0,03= 18,1313

AceptoH₀

RESPUESTA: P-VALUE > α = No se rechaza H₀

prueba de hipótesis de una muestra

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