•KELOMPOK 6•ASSALAMUALAIKUM WR.WB

Nama anggota1.Aji fatturohman2.Alifa rizka umami

3.Titik triani

Penalaran dengan Fungsi

Fungsi merupakan salah satu alat matematika yang paling penting untuk membantu siswa untuk memahami dunia di sekitar mereka, serta mempersiapkan mereka untuk studi lebih lanjut dalam matematika (Yerushalmy dan Shternberg 2001). Fungsi juga merupakan aturan yang mengikat “x”. Contoh f(x)=x-1

Elemen kunci dari penalaran dan logika berfikir dengan fungsi:1.Menggunakan beberapa bentuk

(representasi) dari fungsi2.Modeling dengan menggunakan

keluarga fungsi3.Menganalisis dampak paramater

(konstanta)

Menggunakan Beberapa Bentuk Fungsi

Bentuk yang berbeda dari fungsi-tabel, grafik atau diagram, ekspresi simbolik, dan deskripsi lisan-menunjukkan sifat yang berbeda. Menggunakan berbagai bentuk dapat membantu membuat fungsi yang lebih dipahami lebih luas daripada siswa dapat dilakukan dengan bekerja dengan bentuk simbolis saja (Lloyd dan Wilson 1998; Coulombe dan Berenson 2001).Siswa perlu untuk membangun koneksi antara representasi yang berbeda, misalnya, hubungan yang antara nol dari fungsi, solusi dari suatu persamaan, dan x-penyadapan dari grafik. Fungsi yang domain adalah nomor alam sering diwakili rekursif, dimana f (k + 1) didefinisikan dalam hal f (k) dan nilai fungsi awal diberikan.

Fungsi tersebut juga dapat disajikan sebagai urutan, dan mereka digunakan dalam aplikasi yang melibatkan diskrit daripada data kontinu, sering dengan dukungan dari kalkulator atau spreadsheet elektronik; lihat contoh 10, "Pola, Pesawat dan Olahraga," dan contoh 11, "Ambil As Sutradara." Satu eksplorasi yang menarik adalah untuk mengetahui jumlah daerah dimana sebuah pesawat adalah dibagi oleh n garis lurus. Pertanyaan pertama adalah apakah garis n selalu membagi pesawat ke nomor yang sama daerah. Percobaan dengan dua atau tiga baris harus membantu siswa melihat bahwa perbedaan jumlah daerah hasil.

Pertanyaan pertama adalah apakah garis n selalu membagi pesawat ke nomor yang sama daerahnya. Percobaan dengan dua atau tiga baris akan membantu para siswa melihat perbedaan jumlah daerah hasil. Misalnya,dua baris yang melintasi menghasilkan empat daerah,sedangkan dua baris sejajar hanya menghasilkan tiga daerah. Tiga baris yang sejajar menghasilkan empat daerah, tiga baris semua akan melalui titik yang sama yang menghasilkan enam daerah,tetapi tiga yang tidak sejajar,baris tidak berdampingan/bersama-sama menghasilkan tujuh daerah. Secara umum n baris sejajar menghasilkan/menciptakan hanya n+1 daerah,sedangkan baris n yang semuanya melewati titik yang sama menghasilkan/menciptakan 2n daerah. Contoh selanjutnya mencari apa yang terjadi dalam kasus baris yang tidak sejajar,tidak berdampingan/bersama-sama. Ini bisa digunakan oleh siswa yang memasuki sekolah mengah atas (SMA),yang mulai mengembangkan kemampuannya untuk mengemukakan hubungan fungsi secar/dengan simbol, atau dengan siswa tingkat lanjut yang bekerja untuk mengembangkan kecakapan/kemampuannya dengan manipulasi/tiruan aljabar. Contoh 10 menggambarkan bagaimna siswa dapat menggunakan macam-macam representasi dari fungsi,termasuk diskripsi verbal,tabel,formula dan berbagai model geometri untuk memikirkan logika/memahami sebuah masalah.

Contoh 10 : Pola, Bentuk, SimbolTugasMengembangkan bentuk simbolis untuk fungsi yang menghasilkan sejumlah daerah di pesawat dibentuk oleh berpotongan baris sehingga tidak ada dua garis sejajar dan tidak lebih dari dua garis berpotongan di titik yang sama, seperti yang ditunjukkan dalam Figur.Didalam KelasDalam Kelas Siswa dapat mendekati masalah ini dalam beberapa cara yang berbeda, tergantung pada tingkat pengalaman matematika.Metode 1 Setelah menjelajahi sejumlah kasus, mungkin menggunakan alat geometri interaktif, siswa dapat menghasilkan tabel nilai untuk jumlah baris, L, dan sejumlah daerah, R, seperti yang ditunjukkan di sini:

R (1) = 2 R (L) = R ( L-1) + L , asalkan sejajar

bukti : R(2) = R (2-1) + 2 = R (1) + 2 = 2 + 2 = 4,dst

Bentuk umum : R (L)

Bentuk umum : R (L) = L (L-1) + L

Menggandakan dan mengubah pola ini dapat mengakibatkan sebuah persegi panjang

Bentuk umum : Jadi R = aL2 + bL +c sehingga diketahui : a=0,5 b= 1/2 c=1

Elemen Kunci MatematikaPenalaran dengan Fungsi:Menggunakan beberapa bentuk dari fungsi Penalaran dengan Simbol Aljabar-Menghubungkan aljabar dengan geometri; Menghubungkan ekspresi dan fungsiKebiasaan PenalaranMenganalisis pola-mencari masalah dan hubungan.Mencari dan menggunakan koneksi mencerminkan pada solusi yang membenarkan atau memvalidasi solusi

Pemodelan dengan Menggunakan keluarga fungsi

Menurut Kurikulum Focal Point (NCTM 2006a), siswa harus masuk sekolah tinggi memiliki pengalaman yang luas dengan fungsi linear dan beberapa paparan fungsi nonlinear. Pengalaman sekolah tinggi dapat membantu siswa membangun pengetahuan ini dan bekerja dengan kebohongan fami- parameter fungsi (misalnya, linear, kuadrat, eksponen, dan berkala), masing-masing memiliki karakteristik ing distinguish- umum untuk semua anggota keluarga. Data yang diberikan dari situasi masalah, siswa harus dapat (a) memilih anggota fungsi yang menggambarkan model situasi; (b) menemukan suatu parameter fungsi untuk mencocokkan data; (c) menggunakan hasil fungsi yang untuk memecahkan masalah; dan (d) menggambarkan dan merefresikan solusi ke dalam kontak permasalahan. Menggunakan masalah yang dapat diperpanjang dan ditinjau kembali sebagai siswa dewasa adalah cara yang ampuh untuk membantu siswa membuat hubungan antara pengetahuan yang ada dan pembelajaran baru.Contoh 11 menggunakan konteks yang siswa dapat dengan mudah berhubungan dan menunjukkan bagaimana masalah dapat diperpanjang sesuai latar belakang matematika siswa menjadi lebih canggih. Hal ini juga menunjukkan kekuatan penalaran deduktif dalam mengembangkan solusi umum untuk masalah.

Contoh 11: Ambil Sebagai SutradaraSeorang siswa tegang lutut dalam pertandingan voli intramural, dan dokter telah memberikan resep antiiflamasi peradangan obat untuk mengurangi pembengkakan. Mahasiswa mengambil dua tablet 220 mg setiap 8 jam selama 10 hari. Ginjalnya menghilangkan 60 persen dari obat ini dari tubuhnya setiap 8 jam. Tentukan berapa banyak dari obat ini dalam tubuhnya setelah 10 hari, setelah ia mengambil dosis terakhirnya obat. Jelaskan apa yang terjadi dengan perubahan jumlah obat dalam tubuh sebagai waktu berjalan dan mengapa pola ini terjadi. Jika dia terus mengambil obat selama setahun, berapa banyak obat akan dalam tubuhnya setelah ia membawanya terakhir dosis? Jelaskan, dalam istilah matematika dan dalam hal metabolisme tubuh, mengapa jangka panjangjumlah obat dalam tubuh adalah wajar (diadaptasi dari NCTM [2000b]).

• Di Kelas (Berbagai Tingkat Pertama dari Tahun ke Tahun Keempat-matematika)

Siswa dapat memeriksa masalah ini dalam berbagai tingkat kedalaman, tergantung pada tingkat merekapengalaman matematika:Metode 1 Siswa yang dekat awal pengalaman sekolah tinggi bisamenghasilkan tabel data dan menghasilkan grafik diskrit data. Berikut meja dan grafik menunjukkan jumlah obat, An, di mg, dalam tubuh atlet hanya setelah mengambil dosis n obat.

Siswadapatmengamatibahwatingkatobatdalamtubuhawalnyanaikgapicepattapidenganwaktumeningkatkurangcepat. Dengandemikian, lajuperubahanfungsiinitidaktetapkonstan. Bahkanseorangmahasiswaning begin- bisamendugadaritabelinibahwatingkatobattampaknyaakhirnyamenstabilkan, sehinggasetelahsekitartujuhbelasperiodedosis, nilaitampaknyatidaklagiberubah. Dalamhalmetabolisme, siswadapatmenjelaskanbahwatubuhatletadalahmenghilangkanjumlah yang samaobatsaatiamengambil di setiapdosis. Elevasiobserinidapatmatematisverifieddenganmenunjukkanbahwa

0.6(733)=440karenanilai An mendekatinilaibatas

733 mgsetelahsekitartujuhbelasdosis.

Metode 2Masalahsepertiinidapatdinyatakandalamnotasirekursif. Sebuahdefi nisi rekursifurutantingkatobatdalamtubuhatletakanMemperoleh formula eksplisitdaritabel data seringkultusdifficukupdandalambeberapasituasi, mungkin. Pendekatanrekursif, peciallyes- biladidukungolehkalkulatoratauspreadsheetelektronik, adalahtivelebihintui- danmemberikansiswaakseskemasalah yang menariksepertiinisebelumnya di sekolahmereka.Metode 3Siswa yang belajarfungsieksponensialmungkinmenggunakanmasalahsepertiiniuntukmengembangkanpemahamanmerekatentangpeluruhaneksponensial. Denganmemeriksatigabarang-polatingkatobat, siswadapatmengamatibahwaperubahantingkatobatdalamtubuhatletmenurun; Callyspesifik, setiapperubahanadalah 40 persendarijumlahous, dulunyaperubahan. Setelahpenalarantentangsifatberulangdarimengalikansebesar 0,4, siswadapatmengungkapkanhubungandenganfungsieksplisit

I (n) = 440 (),dimanasaya (n) merupakankenaikantingkatobatsetelahnomordosis n. Ketikasiswasiap, latihanmenerangiakanmemverifikasihasilinisecara formal, sebagaiberikut:Jikaurutan An satisfiessebuahrekursi linier = a • + b untukbeberapakonstanta a dan b, makaperbedaanmemenuhirekursisederhana

= (a • + b) - (a • + b) = a • (- ).Olehkarenaitu, perbedaan-perbedaaninihanyakekuatan kali perbedaanpertama:- = ( - ).Perhatikanbahwakitadapatmenunjukkandarihasilinibahwa An sendiriadalahjumlahdarigression pro geometris. Dengandemikian, masalahsepertiinidapatmemberikanmotivasi lain untukpenera- progresigeometris.

Metode 4Untuksiswa yang lebihtuadenganlatarbelakangmatematika yang lebihcanggih, masalahinidapatditinjaukembalisebagaisarana informal memperkenalkanmerekadengankonsepmatematikapentingterjadinyabatas, terutamaketikadigabungkandengangrafikdiskriturutan, seperti yang ditunjukkandalamgrafik di halamansebelumnya.

Metode5Siswa yang memilikilebihbanyakpengalamandenganpenalarandanpengambilan rasa mungkinakandimintauntuksecararesmimembenarkanmengapatingkatobatkonvergen, sehingga

(1)An+1 = An – 0.6An + 440 = 0.4An + 440.Kita bisadefi ne perilakutingkatobatsebagaifungsi C linear, yang disebutfungsitransisi yang mengatururutan An, di mana(2)C(x) = 0.4x + 440.Dengansubstitusi, kitadapatmenulis

(3)An+1 = 0.4An + 440 = C(An).Sekarangjikakonsentrasiobat yang benar-benartingkat off, kitadapatmembiarkan V merupakannilai yang tetapdidekatioleh An setelahsejumlahdosis, disebuttitik yang tetap C. Hal tersebutmengarahkepersamaan(4)C(V) = V, or 0.4V + 440 = V.Memecahkanpersamaan (4) untuk V memberikitanilai

Vyang membuktikanbahwanilai limit darikonsentrasidarahseperti yang dijelaskanolehfungsitransisi C, defined dalampersamaan (2).

Untuk melihat bagaimana fungsi transisi menjamin konvergensi, kita dapat menulis ulang untuk menampilkan selisih antara nilai aktual dan nilai yang tetap. didefinisikan Dn sebagai perbedaan antara jumlah yang sebenarnya dari obat-obatan, An, dan nilai yang tetap fi, V:

(5) An = V + Dn.Mengganti hasil ini dalam hubungan rekursi, persamaan (3), memberikan

(6) An+1 = 0.4(V + Dn) + 440 = (0.4V + 440) + 0.4Dn

 Sejak + 440, dari persamaan (4), kita dapat mengurangi hubungan lebih lanjut:

V + Dn+1 = (0.4V + 440) + 0.4Dn,(0.4V + 440) + Dn+1 = (0.4V + 440) + 0.4Dn .

Dari hasil ini kita dapat memperoleh rekursi sederhana

(7)Dn+1 = 0.4Dn ,yang menunjukkan bahwa pada setiap langkah, Dn menyusut sampai 40 persen dari nilai sebelumnya. Jelas, setelah tidak terlalu banyak langkah, Dn akan menjadi diabaikan kecil, seperti yang disarankan oleh perhitungan numerik di atas.

Example 12: Masalah Uang (Money Matters)

Setelah menjelajahi metode pembenaran formal dalam contoh11 (metode5), seorang guru bertanya murid-muridnya untuk membaca dan menafsirkan teks berikut menggambarkan bagaimana menentukan pembayaran jumlah untuk pinjaman angsuran , dan untuk menjawab serangkaian pertanyaan tentang teks .

Ketika seseorang mengeluarkan pinjaman angsuran, kita harus dapat menemukan jumlah pembayaran bulanan sehingga pinjaman lunas dalam sejumlah bulan. Pembayaran bulanan pinjaman angsuran termasuk bunga yang dikenakan pada jumlah yang belum dibayar dari pinjaman (pokok) sejak pembayaran terakhir. Setiap jumlah pembayaran yang tersisa setelah bunga dipotong pergi menuju melunasi pinjaman, sehingga mengurangi pinjaman pokok.

Mari mengungkapkan situasi ini dengan menggunakan notasi aljabar. Tentukan Pn menjadi pokok terutang pada akhir periode n, di mana P0 adalah jumlah awalnya dipinjam. Jika tingkat bunga untuk satu periode adalah r dan peminjam membuat pembayaran bulanan M pada akhir setiap periode, maka biaya pokok berutang pada akhir periode n + 1 dapat ditulis sebagai

Pn + 1 = Pn +r Pn - M = ( 1 + r ) Pn – M

Dengan demikian , pokok berutang pada akhir satu bulan terkait dengan pokok berutang bulan sebelumnya oleh fungsi linear Pn + 1 = Q (Pn) , dimana Q(x) = (1 + r) x - M.

Jika kita ingin membayar pokok off di m bulan , maka Pm=0 Memperhatikan bahwa Pm = Q(Pm – 1) = ((Pm – 2) = Q(Q(Q(Pm – 3)), dan sebagainya, kita dapat melihat bahwa Pm = (P0) = 0 , dimana kami menggunakan berdiri untuk komposisi Q dengan dirinya sendiri m kali. Jika kita bisa mencari ekspresi untuk (P0) dalam hal P0 , M , m , dan r , kita dapat menyelesaikan persamaan (P0) = 0 untuk M dalam hal yang diberikan variabel .

Namun , menemukan ungkapan itu tidak mudah . Kita dapat menggunakan analisis titik tetap untuk menyederhanakan pengaruh T. Jika F adalah titik yang tetap dari Q , maka Q ( F ) = F. Jadi , Q ( F ) = ( 1 + r ) F - M = F. Jadi kita dapat melihat bahwa F = M / r .

Selanjutnya, mari kita tentukan Dn sebagai perbedaan antara Pn dan titik tetap F , yaitu,

Dn = Pn - F , atau Pn = F + Dn .

Kemudian, di satu sisi

Q ( Pn )= Q ( F + Dn ) (dari definisi Dn )

= ( 1 + r ) ( F + Dn ) - M (dengan menerapkan definisi Q )

= ( ( 1 + r ) F - M ) + ( 1 + r ) Dn(dengan distribusi dan menata ulang istilah)

= Q ( F ) + ( 1 + r ) Dn (lagi dengan menerapkan definisi Q )

= F + ( 1 + r ) Dn (sejak F adalah titik yang tetap untuk Q ) .

Disisi lain

Q(Pn) = Pn + 1 (definisi dari Q)= F + Dn + 1 (definisi dari Dn + 1)

Menyamakan dua ekspresi untuk Q(Pn) memberiF + (1 + r) Dn = F + Dn + 1 or Dn + 1 = (1 + r)Dn.Dengan demikian , Dn , perbedaan antara Pn dan yang tetap titik F , bervariasi dalam cara yang lebih sederhana daripada Pn tidak: itu hanya dikalikan dengan ( 1 + r ) pada setiap langkah .

Menerapkan hubungan ini dua kali memberikanDn + 2 = (1 + r) Dn + 1 (dngn substitusi n + 1 for n)

= (1 + r)((1 + r) Dn) (by the equation for n)

= Dn (by the associative rule and the defi nition of exponents).Iterasi penalaran ini memberikan kita relasi

= (1 + r)m D0.Jika kita menulis ulang hasil ini dalam hal Pm, kita menemukan Pm = F + Dm = F + D0

= F + (P0 – F)= P0 + F (1 – ).

Dengan menggunakan rumus F = M/r, kita dapatkan

Pm = P0 + (M/r)(1 – ),yang merupakan ekspresi yang

kita cari .Dengan menetapkan Pm = 0, kita dapat memecahkan M:

M = r . P0 .

Peluang untuk alasan dengan fungsi dan menggunakannya untuk model situasi dunia nyata muncul di setiap tahap perkembangan matematika seorang siswa SMA itu. Menyediakan siswa dengan beragam pengalaman yang menyangkut fungsi dapat membantu mereka menginternalisasi matematika kadang-kadang membingungkan bahasa notasi fungsi (Chazan dan Yerushalmy 2003; Coulombe dan Berenson 2001). Itu pengembangan penalaran dengan fungsi adalah salah satu pilar yang pemahaman yang berkembang dengan baik matematika dibangun.

TERIMA KASIH