1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam bab ini akan dibahas pernyataan deret dari suatu fungsi periodik. Jenis

fungsi ini menarik karena sering muncul dalam berbagai persoalan fisika, seperti getaran

mekanik, arus listrik bolak-balik (AC), gelombang bunyi, gelombang Elektromagnet,

hantaran panas, dsb. Sama halnya seperti pada uraian deret Taylor, fungsi-fungsi periodik

yang rumit dapat dianalisis secara sederhana dengan cara menguraikannya ke dalam suatu

deret fungsi periodik sederhana yang dibangun oleh fungsi sin x dan cos x atau fungsi

eksponensial. Uraian deret fungsi periodik ini disebut uraian deret Fourier. Penamaan ini

untuk menghargai jasa matematikawan Perancis Joseph Fourier, yang pertama kali

merumuskan deret ini dalam sebuah makalah mengenai hantaran panas, yang

dilaporkannya kepada akademi ilmu pengetahuan Perancis pada tahun 1807.

Dalam matematika, Deret Fourier merupakan penguraian fungsi periodik menjadi

penjumlahan fungsi-fungsi berosilasi, yaitu fungsi sinus dan kosinus, ataupun eksponensial

kompleks. Studi deret Fourier merupakan cabang analisis Fourier. Deret Fourier

diperkenalkan oleh Joseph Fourier (1768-1830) untuk memecahkan masalah persamaan

panas di lempeng logam.

Persamaan panas merupakan persamaan diferensial parsial. Sebelum Fourier,

pemecahan persamaan panas ini tidak diketahui secara umum, meskipun solusi khusus

diketahui bila sumber panas berperilaku dalam cara sederhana, terutama bila sumber panas

merupakan gelombang sinus atau kosinus. Solusi sederhana ini saat ini kadang-kadang

disebut sebagai solusi eigen. Gagasan Fourier adalah memodelkan sumber panas ini

sebagai superposisi (atau kombinasi linear) gelombang sinus dan kosinus sederhana, dan

menuliskan pemecahannya sebagai superposisi solusi eigen terkait. Superposisi kombinasi

linear ini disebut sebagai deret Fourier.

Meskipun motivasi awal adalah untuk memecahkan persamaan panas, kemudian

terlihat jelas bahwa teknik serupa dapat diterapkan untuk sejumlah besar

permasalahan fisika dan matematika. Deret Fourier saat ini memiliki banyak penerapan di

bidang teknik elektro, analisis vibrasi, akustika, optika, pengolahan citra,mekanika

kuantum, dan lain-lain.

2

B. Rumusan Maslah

Adapun yang menjadi rumusan masalah dalam tulisan ini adalah:

1. Apakah definisi deret Fourier?

2. Apakah pengertian syarat Dirichlet?

3. Bagaimanakah koefisien Fourier pada fungsi ganjil dan fungsi genap?

4. Bagaimanakah deret Fourier sinus/cosinus separuh jangkauan?

5. Bagaimanakah bentuk kompleks dari deret Fourier?

C. Tujuan Penulisan

Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah:

1. Untuk mengetahui apakah definisi deret Fourier?

2. Untuk mengetahui apakah pengertian syarat dirichlet?

3. Untuk mengetahui bagaimanakah koefisien fourier pada fungsi ganjil dan fungsi

genap?

4. Untuk mengetahui bagaimanakah Deret Fourier Sinus/Cosinus separuh jangkauan?

5. Untuk mengetahui bagaimanakah bentuk kompleks dari deret Fourier?

3

BAB II

PEMBAHASAN

A. Fungsi Periodik

Suatu fungsi f(x) dikatakan mempunyai periode T atau periodik dengan periode T

jika setiap x berlaku f(x+T) = f(x), dimana T konstanta positif. Nilai positif terkecil T

dinamakan periode terkecil atau disingkat periode f(x).

Contoh 1

Fungsi sin x mempunyai periode 2π, 4π, 6π,... karena sin (x+ 2π), sin (x+4π), sin (x+ 6π),

…sama dengan sin x. Tetapi 2π adalah periode terkecil atau periode sin x.

Contoh 2

Periode fungsi sin nx atau cos nx, dimana n bilangan bulat positif, adalah 2π/n.

Contoh 3

Periode tan x adalah π.

Contoh 4

Suatu konstanta mempunyai periode suatu bilangan positif.

B. Deret Fourier

Misalkan �(�) didefinisikan di dalam interval (-L, L) dan di luar interval ini oleh �(� + 2�) = �(�), yakni anggaplah bahwa �(�) mempunyai 2L. Deret Fourier atau

ekspansi Fourier yang bersesuaian dengan �(�) diberikan oleh

� +� �������� + ��������� �∞

���

Di mana koefisien-koefien Fourier (Fourier Coefficients) �� dan �� adalah

���� � = ��" #(�)������� $��

%��� =��" #(�)��� �����

%� $�� = , �, �, ', …) (1) Jika f(x) mempunyai periode 2L, maka koefisien �� dan koefisien �� dapat ditentukan

secara ekivalen dari

4

���� � = ��" #(�)������� $��+��

%��� =��" #(�)��� �����+��

%� $�) (2) Di mana c adalah sembarang bilangan riel. Di dalam kasus khusus dimana c = -L, maka

bentuk (2) menjadi bentuk (1).

Contoh 1

Carilah deret Fourier dari fungsi � di mana

�(�) = ,0, −5 < � < 03, 0 < � < 5 ) 2345�4637892310

Penyelesaian :

Periode dari � adalah 2L = 10, sehingga L = 5. Dengan formula di atas diperoleh

�� = 15" �(�) cos 4=�5 �2� = 15 >" 0. cos 4=�5 �2�@%A +" 3. B9C 4=�5 �2�A

@ DA%A

= 35" cos 4=�5 �2� = 35 , 54= sin 4=�5 �GH�@A = 34= Isin(4=) − sin 0JA

@ = 0, 4 = 1,2, …

�@ = 35" 12� = 3A@

�� = 15" �(�) sin 4=�5 � 2� = 15 >" 0. C84 4=�5 �@%A 2� +" 3. C84 4=�5 �2�A

@ DA%A

= 35" sin 4=�5 � 2� = 35 ,− 54= B9C 4=�5 �GH�@A = 34= (1 − cos(4=))A

@ , …4 = 1,2,…

�(�) = ,0, −5 < � < 03, 0 < � < 5 )

Periode = 10

15 10 5

3

-5

5

Jadi deret Fourier dari fungsi � adalah

�(�) = �@2 +�K�� cos 4=�� � + �� sin 4=�L �MN��O

= 32 +�3cosP1 − B9C(4=)Q4= C84 4=�5 �N��O

= 32 + 6= ,sin =�5 � + 13 sin S3=�5 T + 15 sin S5=�5 T +⋯G

Contoh 2

Diketahui fungsi f(x) sebagai berikut:

�(�) = K1, −= < � < 00,0 < � < =) Periodik dengan periode 2= sehingga �(� + 2=) = �(�) Uraikan fungsi ini dalam uraian deret Fourier.

Pemecahan:

Menurut definisi fungsi periodik, periode fungsi f(x) di atas adalah V = 2=, dengan

demikian � = ½V = =, selang dasarnya –= < � < =, jadi � = −=. Di luar selang

ini, f(x) didefinisikan sebagai perluasan selang dasar ke arah

kiri dan kanan sumbu x, seperti terlihat pada Gambar 1.

Koefisien-koefisien Fourier dapat dicari sebagai berikut:

�@ = OX Y �(�)2� = OZ Y �(�)2� = OZZ[[+\[ KY (1)2� +@%Z ) )Y (0)2�Z@ ] �@ = OZ Y �(�)2� = OZ (�)@%Z ^ @%Z ) = ZZ = 1

�� = OX Y �(�)B9C �ZHX = OZ Y �(�)Z%Z[+\[ B9C �ZHX 2�

�� = OZ KY (1)B9C4�2� + +Y (0) cos 4�2�H@@%Z M = OZ Y cos 4�@%Z 2�

6

�� = OZ O� sin 4�� ^ @%Z ) = O�Z (sin 0 + sin 4=) = 0

�� = OX Y �(�) sin �ZHX 2� = OZ Y �(�) sin �ZHX 2�Z%Z[+\[ �� = OX KY (1) sin 4� 2� + Y (0) sin 4�2�Z%Z[+\[ M = OZ Y sin 4�2�@%Z

�� = OZ − O� cos4�� _ @%Z = − O�Z (cos0 − cos(4=)) = − O�Z (1 − (−1)� ))

�� = > − �Z ,45�4a8L04534�6)

Dengan demikian, uraian fourier untuk fungsi f(x) pada contoh ini adalah:

�(�) = [b +∑ �� cos �ZHX + �� sin �ZHX � , �� = 0N��O

�(�) = O+ ∑ − �Z sin �ZHX �N��Od[�efg

�(�) = [b + Z −sin � − Oh sin 3� − OA sin 5� − ⋯� �(�) = 12 + 2= Ssin � +13 sin 3� − 15 sin 5� −⋯T

C. Syarat Dirichlet

Misalkan bahwa f(x) memenuhi syarat-syarat berikut:

(1). �(�) didefinisikan dan bernilai tunggal kecuali barangkali di sejumlah berhingga titik

di dalam (-L,L)

(2). �(�) periodik di luar (-L,L) dengan periode 2L

(3). �(�) dan � ′(�) kontinu terpotong di dalam (-L,L)

Maka deret Fourier dengan koefisien an dan bn akan konvergen ke

(a) �(�) jika � adalah sebuah titik kontinuitas

(b) i(H+@)+i(H%@)` jika � adalah sebuah titik diskontinuitas

Di sini �(� + 0) dan �(� − 0) adalah limit kanan dan limit kiri dari �(�) di � dan yang

berturut-turut menyatakan �(�+∈)∈→@+Xfl dan �(�−∈)∈→@+Xfl

Syarat – syarat (1), (2), dan (3) yang diharuskan pada �(�) adalah syarat cukup tetapi

bukan merupakan syarat perlu, dan umumnya dipenuhi oleh fungsi yang lazimnya

dijumpai di dalam praktek. Sekarang ini tidak ada syarat perlu dan cukup yang diketahui

7

untuk konvergensi deret fourier. Penting dan menarik untuk diperhatikan bahwa

kontinuitas dari �(�) itu sendiri tidak akan memastikan konvergensi sebuah deret fourier.

Contoh

Pada contoh di muka telah diperoleh bahwa deret Fourier dari fungsi

�(�) = ,0, −5 < � < 03, 0 < � < 5 2345�4637892310), Adalah

�(�) = �@2 +�K�� cos 4=�� � + �� sin 4=�� �MN��O

= 32 +�3cosP1 − B9C(4=)Q4= C84 4=�5 �N��O

= 32 + 6= ,sin =�5 � + 13 sin S3=�5 T + 15 sin S5=�5 T +⋯G

Berapakah nilai-nilai dari �(�) harus diberikan di � = −5, � = 0dan � = 5 supaya deret

Fourier dari �(�) konvergen ke �(�) pada interval −5 ≤ � ≤ 5?

Penyelesaian

Karena �(�) memenuhi syarat Dirichlet, deret Fourier dari �(�) konvergen ke �(�) pada

titik-titik di mana �(�) kontinu dan konvergen ke I�(� + 0) + �(� − 0)J/2 pada titik-titik

di mana �(�) diskontinu. Pada titik-titik diskontinu � = −5, � = 0 dan � = 5, deret

Fourier dari �(�) berturut –berturut konvergen ke (3+0)/2 = 3/2

Jadi, bila didefinisikan kembali �(�) sebagai berikut :

�(�) = ph , � = −5, � = 0, � = 50, − 5 < � < 03,0 < � < 5 ) Maka deret Fourier dari �(�) akan konvergen pada interval −5 ≤ � ≤ 5

D. Koefisien Fourier Pada Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap

Sebuah fungsi �(�) dinamakan ganjil jika �(−�) = −�(�). Jadi �h, �A − 3�h +2�, C84�, q�43� adalah fungsi ganjil

8

Sebuah fungsi �(�) dinamakan genap jika �(−�) = �(�). Jadi �r, 2�s − 4�` + 5, B9C�, 3H + 3%H , q�43� adalah fungsi genap.

Fungsi yang grafiknya digambarkan di dalam gambar 1(a) dan gambar 1(b) adalah

fungsi ganjil dan fungsi genap , tetapi fungsi yang digambarkan di dalam gambar 1(c)

bukan merupakan fungsi ganjil dan bukan merupakan fungsi genap.

Di dalam deret fourier yang bersesuaian dengan sebuah fungsi ganjil, maka hanya suku

sinus yang akan dapat muncul. Di dalam deret fourier yang bersesuai dengan sebuah fungsi

Contoh

Klasifikasikanlah setiap fungsi yang berikut sesuai dengan apakah fungsi tersebut genap,

ganjil, atau bukan genap maupun ganjil

(a) �(�) = , 20 < � < 3−2– 3 < � < 0) periode = 6

Dari gambar 1 terlihat bahwa �(−�) = −�(�), sehingga fungsi tersebut adalah sebuah

fungsi ganjil

(b) �(�) = Kcos �0 < � < =0= < � < 2=) periode = 2π

Dari gambar 2 terlihat bahwa fungsi tersebut bukan genap dan bukan ganjil

6 3 -3 -6

�

�(�)

Gambar 1

= O −= -2=

�

�(�)

2= 3=

Gambar 2

9

E. Deret Fourier Sinus/Cosinus Separuh Jangkauan

Deret Fourier dalam Bentuk Cosinus

F(x) dianggap bagian dari fungsi genap (dalam interval 0 sampai L):

�@ = 12� "u(�)2� = 1�"u(�)2�X@

X%X

v� = 22� "u(�) cos 4 2=2� �2� = 2�"u(�) cos 4 =� � 2�X@

X%X

w� = 22� "u(�) sin 4 2=2� �2� = 2�"u(�) sin 4 =� � 2�X@

= 0(49L)X%X

Sehingga, deret Fourier dalam bentuk Cosinus adalah :

u(�) = �@ +�v� cos 4 =� ��∞

��O

Deret Fourier dalam Bentuk Sinus

F(x) dianggap bagian dari fungsi ganjil (dalam interval 0 sampai L):

-T T 0

y

x

-L

L 0

y

x

10

�@ = 0(karenau(�)ganjil, sehingga "u(�)2� = 0)X%X

An = 0 (karena u(�) ganjil, cos 4 ZX �genap, perkalian keduanya menghasilkan fungsi

ganjil)

w� = 2�"u(�) sin 4 =� � 2�X@

Sehingga, deret Fourier dalam bentuk Sinus adalah :

u(�) = �w� sin 4 =� ��∞

��O

F. Bentuk Kompleks dari Deret Fourier

F(t) periodik dengan periode L, diuraikan menjadi deret Fourier dalam bentuk kompleks.

u(q) = �@ + �O3f`ZX � + �`3`f`ZX � +⋯+ ��3f�`ZX � + �%O3%f`ZX � +⋯+ �%�3%f�`ZX � Dimana � = `Z\

u(q) = � ��3f�`ZX �∞

��%∞ (1) Untuk mencari koefisien am, kalikan kedua ruas dari (1) dengan 3%f��� l� kemudian

diintegralkan dari 0 sampai L:

"u(q)3%fl`ZX �2q = � ��"3f(�%l)`ZX �2qX@

∞

��%∞X@

(2) Untuk n≠m

"3f(�%l)`ZX �2qX@

= �2=8(4 −�) 3f(�%l)`ZX � _�0) "3f(�%l)`ZX �2q\@

= �2=8(4 − �) P3f(�%l)`Z − 1Q

11

"3f(�%l)`ZX �2qX@

= �2=8(4 −�) Icos 2=(4 −�) + 8 sin 2=(4 − �) − 1J "3f(�%l)`ZX �2qX@

= 0

Jadi semua suku dalam deret (2) adalah 0 kecuali untuk n = m:

"u(q)3%fl`ZX �2q = �l"12q = �l�X@

X@

Sehingga diperoleh:

�l = 1�"u(q)3%fl`ZX �2qX@

12

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dalam matematika, Deret Fourier merupakan penguraian fungsi periodik menjadi

penjumlahan fungsi-fungsi berosilasi, yaitu fungsi sinus dan kosinus, ataupun

eksponensial kompleks. Studi deret Fourier merupakan cabang analisis Fourier.

Deret Fourier atau ekspansi Fourier yang bersesuaian dengan �(�) diberikan oleh

� +� �������� + ��������� �∞

���

Di mana koefisien-koefien Fourier (Fourier Coefficients) �� dan �� adalah

���� � =��" #(�)������� $��

%��� =��" #(�)��� �����

%� $�� = , �, �, ',…)

Di dalam deret fourier yang bersesuaian dengan sebuah fungsi ganjil, maka hanya

suku sinus yang akan dapat muncul. Di dalam deret fourier yang bersesuai dengan

sebuah fungsi genap, maka hanya suku kosinus (dan barangkali sebuah konstanta

yang akan kita tinjau sebagai suku cosinus) yang akan dapat muncul.

B. Saran

Diharapkan agar pembaca mencari referensi lain yang mendukung sehingga dapat

menambah wawasan lebih lagi mengenai Deret Fourier dan harus dapat diterapkan dalam

memecahkan masalah matematis.

13

DAFTAR PUSTAKA

Bondan, Alit, 2007, Kalkulus Lanjut, Yogyakarta: Graha Ilmu.

Gazali, Wikaria, 2007, Kalkulus Lanjut, Yogyakarta: Graha Ilmu.

Spiegel, Murray R., 1992, Kalkulus Lanjutan (Versi SI/Metrik), Jakarta: Penerbit Erlangga.