kalkulus 1 fungsi dan grafik

Kalkulus I

FUNGSI DAN GRAFIK

Oleh

Kelompok III

Luh Putu Egarustari 1419151006

I Made Hendra Wirastika 1419151024

I Gusti Putu Arya Adnyana 1419151042

Michiko Pelano 1419151060

Fakultas Teknik

Jurusan Teknik Sipil

Universitas Udayana

2014

FUNGSI DAN GRAFIKNYA

1.1. DEFINISI FUNGSI

Missal : ada himpunan A dan B bila setiap elemen dari A

dikaitkan dengan suatu kaitan yang khusus dengan setiap

elemen di B dan kaitan tersebut mempunyai syarat atau

aturan-aturan yang khusus, maka kaitan tersebut disebut

“Fungsi”

Contoh : jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan.

F: A → B

Yang artinya f memetakan A ke B.

A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah

hasil ( kodomain ) dari f.

1.2. KONSEP FUNGSI

Konsep fungsi erat kaitannya dengan relasi

Contoh soal sederhana dari konsep fungsi

Diketahui fungsi y = f(x) = 2x2+4x-1 , maka nilai x = 2

adalah ….

Cara penyelesaiannya:

Jika x = 2, maka

y = f(x) = 2x2+4x-1

y = f(2) = 2.22+4.2-1

= 8 + 8 – 1

= 15

Jadi nilai fungsi f(x) = 2x2+4x-1 ketika x bernilai 2 adalah

15.

1.3. FUNGSI dan RELASI

Relasi merupakan suatu kaitan dari unsur–unsur 2 bilangan

sembarang. Pengertian relasi adalah merupakan himpunan

pasangan terurut yang merupakan himpunan bagian dari produk

kartesius antara wilayah dan kowilayah.

1.4. SIMPULAN

A. Fungsi juga merupakan relasi, hanya konsep fungsi lebih

sempit dibanding dengan konsep relasi. Syarat fungsi:

a. Unsur dari A harus seluruhnya muncul dalam pasangan

terurut

b. Unsur dari A tidak boleh muncul dua kali atau lebih

dari satu kali dalam pasangan terurut.

a

b

1

2

3

A Ba

mempunyai 2 nilai

Ini merupakan salah satu contoh dari fungsi yang benar

sesuai dengan aturan-aturan di atas.

1.5. MACAM-MACAM FUNGSI

A. Menurut Sifatnya

1. Fungsi Ke dalam (Into)Fungsi satu-satu/ fungsi into/ fungsi injektif f : A B

disebut fungsi satu-satu jika setiap anggota A mempunyai

bayangan yang berbeda, dengan kata lain tidak ada dua

anggota A yang mempunyai bayangan yang sama didalam B.

Jadi jika f(a1) = f(a2) maka a1 = a2 atau jika a1 a2 maka

f(a1) f(a2).

2. Fungsi Kepada (Surjektif)

a

b

1

2

3

a

b

C

d

1

2

3

4

A B

Misalkan f : A B maka range f(A) B. Jika f(A) = B, yaitu

setiap y B ada x A sehingga f(x) = y, maka f disebut fungsi

pada/ surjektif dari A ke B.

B. Menurut Jenis dan Fungsinya

1. Fungsi Aljabar

Fungsi aljabar adalah fungsi yang aturannya meliputi

operasi aljabar (tambah, kurang, kali, bagi, akar, dan

pangkat).

Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah fungsi yang variabel bebasnya

berpangkat bilangan bulat . fungsi rasional meliputi

:

Fungsi Polinom

Fungsi polinom merupakan fungsi suku banyak

bentuknya

f(x) = an xn + an-1 xn-1 +…..+ a2x2 + a1x + a0

dengan an ≠ 0

a0 = suku tetap

an , an-1 , …..a, a0 = bilangan real

contoh fungi polinom : 2x3+ 4x2 +6x-5

5x2 + 4x -8 dst

Fungsi Kubik

Fungsi kubik adalah fungsi yang berpangkat tiga.

Bentuknya f(x) = ax3 + bx2 +cx + d

dengan a≠ 0

Contohnya fungsi kubik : x3 + 2x2 + 5x +6

Fungsi Linear

Fungsi linear adalah fungsi yang variabelnya

berpangkat 1 dan grafiknya merupakan garis lurus.

Bentuknya y = f(X) = ax + b dimana : a dan b =

konstanta dan a≠ 0

Contoh dari fungsi linear: y = x+3

Langkah- langkah melukis fungsi grafik linear:

a. Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0

diperoleh koordinat A( x1 ,0)

b. Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0

diperoleh koordinat B (0, y1)

c. Hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk

garis lurus.

Contoh soal:

Buatlah grafik dari persaamaan y = x + 3

Penyelesaiannya

Pertama kita tentukan titik perpotongan pada kedua

sumbu:

o Titik potong pada s umbu y, jika x bernilai 0

maka y bernilai:

y = x + 3

y = 0 + 3

y = 3

o Titik potong pada sumbu x, jika y bernilai 0

maka x bernilai:

y = x + 3

0 = x + 3

x = -3

o Kemudian kita tarik garis lurus dari titik

koordinat tersebut, maka diperoleh grafik

sebagai berikut:

Soal Fungsi Linear:

Gambarlah grafik fungsi linear berikut ini :

1. F(x) = 2x + 5

2. F(x) = 7 – 2x

3. F(x) = 3x - 15

Jawab:

1. Titik potong pada s umbu y, jika x bernilai

0 maka y bernilai:

y = 2x + 5

y = 0 + 5

y = 5 ............. (0,5)

Titik potong pada sumbu x, jika y bernilai 0

maka x bernilai:

y = 2x + 5

0 = 2x + 5

x = 2,5….........(2.5,0)

Grafiknya:

y

(5,0)

X

(-2.5,0)


0 maka y bernilai:

y = 7 – 2x

y = 7 – 2(0)

y = 7....................(0,7)


maka x bernilai:

y = 7 – 2x

0 = 7 – 2x

x = 3,5.................(3.5,0)

Grafiknya:

(0,7)

(3.5,0)


0 maka y bernilai:

y = 3x - 15

y = 3(0) - 15

y = 15…..............(0,15)


maka x bernilai:

y = 3x - 15

0 = 3x - 15

x = 5…................(5,0)

Grafiknya:

(5,0)

(0,-15)

Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang berpangkat dua.

Sifat sifat grafik fungsi kuadrat:

a. Jika a > 0, maka grafik terbuka ke atas dan

mempunyai titik balik minimum. (titik puncaknya

mempunyai nilai terkecil)

b. Jika a < 0, maka grafiknya terbuka ke bawah dan

mempunyai titik balik maksimum. (Titik

puncaknya mempunyai niai terbesar)

c. Jika D merupakan deskriminan suatu fungsi

kuadrat f(x) = ax² + bx + c, maka:

- Jika D > 0, maka grafik y = f (x) memotong

sumbu x pada sua titik yang berbeda

- Jika D < 0, maka grafik y = f(x) menyinggung

sumbu x pada suatu titik.

- Jika D < 0, maka grafik y = f(x) tidak

memotong sumbu x.

d. Bentuknya f(x) = ax2 + bx + c

Dengan a, b, c merupakan konstanta a≠ 0

Contoh : 4x2+6x +5

Grafik persamaanya y = ax2 + bx + c berbentuk

parabola.

e. Langkah-langkah melukis grafik fungsi kuadrat:

- Tentukan titik potong dengan sumbu x, y =

0 diperoleh koordinat (x1, 0)

- Tentukan titik potong dengan sumbu y, x =

0 diperoleh koordinat (0, y1)

- Menentukan titik puncak (xp,yp)

Xp = -b/2a Yp = D/-4a

Keterangan: Xp = Persamaan sumbu simetri

Yp = nilai maksimum atau minimum

D = Deskriminan (b ²-4ac)

- Kemudian hubungkan titik-titik koordinat

tersebut sehingga membentuk grafik

parabola.

Contoh soal:

Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x²-4x-5

Jawaban:

a. Titik potong sumbu x,y=0

y = x² - 4x – 5 => 0 = (x – 5) ( x + 1), x

= -1 dan 5

0 = x² - 4x – 5

Titik potong sumbu x (-1,0) dan (5,0)

b. Titik potong sumbu y,x = 0

y = x² - 4x - 5

y = (0)² - 4(0) – 5

y = -5

Maka titik potong sumbu y adalah (0,-5)

c. Persamaan sumbu simetri –b/2a

= -(-4)/2.1

= 2

d. Nilai maks/ min b² - 4ac / -4a

= {(-4)² - 4.(1).(-5) / -4 (1)}

= 36 / -4

= -9

e. Titik puncak {(-b/2a), (b² - 4ac/-4a)} = (2,-9)

f. Maka grafiknya:

Soal Fungsi Kuadrat:

1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x² - 4x +

3

2. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = 12 + 4x -

x²

3. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = 2x² + 4x -

6

Jawaban:

1. Titik potong sumbu x,y=0

y = x² - 4x + 3 => 0 = (x – 1) (x - 3), x

= 1 dan 3

0 = x² - 4x + 3

Titik potong sumbu x (1,0) dan (3,0)

Titik potong sumbu y,x = 0

y = x² - 4x + 3

y = (0)² - 4(0) + 3

y = 3

Maka titik potong sumbu y adalah (0,3)

Persamaan sumbu simetri –b/2a

= -(-4)/2.1

= 2

Nilai maks/ min b² - 4ac / -4a

= {(-4)² - 4.(1).(3) / -4 (1)}

= 16 - 12 / -4

= -1

Titik puncak {(-b/2a), (b² - 4ac/-4a)} = (2,-1)

Maka grafiknya:


y = -12 + 4x – x² => 0 = (6 + x) (-2 + x),

x = -6 dan 2

0 = -12 + 4x – x²

Titik potong sumbu x (-6,0) dan (2,0)


y = -12 + 4x – x²

y = -12 + 4(0) – (0)²

y = -12



= -(4)/2.1

= -2


= {(4)² - 4.(1).(-12) / -4 (1)}

= 16 + 48 / -4

= -16

Titik puncak {(-b/2a), (b² - 4ac/-4a)} = (-2,-

16)

Maka grafiknya:

(-6,0)

(2.0)

(0,-12)

(-2,-16)


y = 2x² + 4x - 6 => 0 = (2x - 2) (x + 3),

x = 1 dan 3

0 = 2x² + 4x - 6

Titik potong sumbu x (1,0) dan (-3,0)


y = 2x² + 4x - 6

y = 2(0)² + 4(0) - 6

y = -6



= -(4)/2.2

= -1


= {(4)² - 4.(2).(-6) / -4 (2)}

= 16 + 48 / -8

= -8

Titik puncak {(-b/2a), (b² - 4ac/-4a)} = (-1,-

8)

Maka grafiknya:

(-3,0)

(1,0)

(0,-6)

(-1,-8

Fungsi Pecahan

Bentuk umum fungsi pecahan adalah

Fungsi pecahan yang dijelaskan di sini adalah

fungsi pecahan linear dan fungsi pecahan kuadrat.

a. Fungsi pecahan linear

b. Funsi pecahan kuadrat

dan

Fungsi Irrasional

Fungsi irrasional adalah fungsi yang variabel

bebasnya terdapat di bawah tanda akar. Contohnya

y =

2. Fungsi Transenden

Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan merupakan

fungsi aljabar.

Fungsi Goneometri

Contoh: y = f(x) = 2 sin 3x + 12

Fungsi Eksponen

Contoh: f(x) = 12x

Fungsi Logaritma

Contoh: f(x) = 5log3x

Fungsi Siklometa

Contoh: f(x) = arc sin x

3. Fungsi Mutlak

Fungsi Mutlak adalah suatu fungsi yang aturannya memuat

nilai mutlak suatu bilangan real x,dinyatakan dengan |

x|,didefinisikan sebagai

|x| =

4. Fungsi dengan Parameter

Fungsi bentuk parameter merupakan fungsi y = f(x) yang

disajikan dengan sepasang persamaan : dengan t suatu

parameter, maka untuk memperoleh dari sistem persamaan

tersebut adalah dengan diasumsikan y sebegai fungsi

komposisi

C. Menurut Letak Variabelnya

1. Fungsi Implisit

Fungsi Implisit merupakan lawan dari fungsi eksplisit

jadi pada fungsi implisit perbedaan antar variabel

bebas dan variabel tidak bebas tidak dapat dibedakan

dengan jelas. Contohnya: f(x,y)= 3x + 4y

2. Fungsi Eksplisit

Fungsi Eksplisit y terhadap x adalah fungsi dengan

aturan y=f(x) yang memasangkan setiap unsur di daerah

asalnya dengan tepat satu unsur di daerah nilainya.

Contohnya: y = 2x-5

D. Fungsi-Fungsi Khusus

1. Fungsi Identitasf : A A dengan f(x) = x disebut fungsi satuan jika f

memetakan setiap titik anggota A ke dirinya sendiri.

2. Fungsi Konstan

Misalkan f: A B. Fungsi f disebut fungsi konstan

jika setiap anggota A dipetakan ke satu anggota B yang

sama. Jadi jika x elemen A, maka f(x) = c (konstan)

3. Fungsi Komposisi

Jika fungsi f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x)

dan kemudian g bekerja pada f(x) untuk menghasilkan

g(f(x)), maka dikatakan bahwa kita telah

mengkomposisikan g dengan f. Fungsi yang dihasilkan

disebut kompoosisi g dengan f, yang dinyatakan dengan

g°f. Jadi (g°f)(x) = g(f(x))

Sifat fungsi komposisi tidak komulatif f°g ≠g°f

Contoh soal:

Diketahui rumus f(x) = x-4 dan g(x)=2x-6

Tentukan (f°g)(x) = …?

Penjelasan: (f°g)(x) = f(g(x))

= f(2x-6)

= (2x-6) – 4

= 2x-10

Soal Fungsi Komposisi:

1. Jika f(x) = 2x + 6 dan g(x) = 2x2 + 6x – 7 maka (f°g)

(x) = …?

2. Jika f(x) = dan g (x) = 2x+5 maka (g°f) (x) = …?

3. Jika g(x) = x + 1 dan f(x) = x2+3x+1 maka (f°g) (x) =

…?

Jawab:

1. (f°g) (x) = f(g(x))

= f(2x2 + 6x – 7)

= 2(2x2 + 6x – 7) + 6

= 4x2 + 12x – 14 + 6

= 4x2 + 12x – 8

2. (g°f) (x) = g(f(x))

= g( )

= 2 ( ) + 5

= + 5( )

= +

=

3. (f°g) (x) = f(g(x))

= f(x + 1)

= (x + 1)2 + 3(x + 1) + 1

= x2 + 2x + 1 + 3x + 3 +1

= x2 + 5x + 1 + 3x + 3 +1

kalkulus 1 fungsi dan grafik

Documents