distribuzione esponenziale:
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Distribuzione esponenziale:. Ipotizziamo un modello semplice:. Log-verosimiglianza:. Max =15.6. Test per stime MLE Confronto tra un modello “generale” (con logveros. L) e uno “vincolato” o “ridotto” (con logveros. L v ) I modelli devono essere, quindi, “annidati” (nested) - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Reddito Anni di istr
20,5 12
31,5 16
47,7 18
26,2 16
44 12
8,28 12
30,8 16
17,2 12
19,9 10
9,96 12
55,8 16
25,2 20
29 12
85,5 16
15,1 10
28,5 18
21,4 16
17,7 20
6,42 12
84,9 16
Distribuzione esponenziale:
2/1)(
/1)(
)(
yV
yE
eyf y
Ipotizziamo un modello semplice:
)/(1)(
1
)/(
ii xy
ii
i
iii
iii
ex
yf
x
xxyE
xy
Log-verosimiglianza:
n
i i
ii
n
i x
yxLn
11
)ln()(
Log-veromiglianza
-89
-88,9
-88,8
-88,7
-88,6
-88,5
-88,4
-88,3
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
alfa
Lo
gV
er
Max =15.6
Test per stime MLE
Confronto tra un modello “generale” (con logveros. L)e uno “vincolato” o “ridotto” (con logveros. Lv)
I modelli devono essere, quindi, “annidati” (nested)
Se i vincoli sono appropriati si avrà Lv L
0ln21
).(ln2 2
L
L
L
L
vincolinL
LLR
vv
v
Valore del test LR
0
2
4
6
8
10
12
14
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
L/Lv
LR
Likelihood Ratio testMisura la riduzione di L connessa alla introduzione del vincolo, se il vincolo è
valido, si dovrebbe perdere poca informazione:
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆˆ
).(ˆˆˆ
0ˆ:ˆ:
'
21'
00
CVar
CqCVar
dove
vincolinqCqCVarqCW
qCHqCH
Test di Wald
Misura il valore del vincolo in corrispondenza del parametro di max MLE, se il vincolo è appropriato, il valore dovrebbe essere 0, cioè verifica se la stima max MLE rispetta i vincoli: (Si stima del modello generale)
0ˆ*
0ˆ
ˆ
ˆ)ln(
ˆ*
:
ˆˆ.ˆ*
CL
CLL
soluzione
CLLnCvincLMaxL
Test dei moltiplicatori di Lagrange
Misura il valore dei moltiplicatori di Lagrange, se il vincolo è appropriato, il valore dovrebbe essere 0, cioè verifica se la stima max MLE rispetta i vincoli: (Si stima del modello ristretto)
Se i sono “vicini” a 0 il vincolo non ha effetti sulla stima, allora si calcolano le derivate di L nel punto di massimo vincolato, se sono prossime a 0 la perdita di informazioni non è significativa
).(
ˆ
ˆlnˆˆ
ˆln 21'
vincolinL
IL
LMv
vv
v
v
verosimiglianza
Vincolo su
Derivata L
Riprendiamo il modello iniziale:
)/(1)( ii xy
ii e
xyf
È una forma ristretta di un Gamma generalizzata con Parametro =1
)/(1)( ii xyi
ii ey
xyf
Il vincolo è =1, se non vi è perdita di informazione allora tra tutte le distribuzioni generate da una Gamma, quella esponenziale è la più adatta
Utilizziamo i tre test per verificare:
1:
1:
1
0
H
controH
LIKELIHOOD RATIO:
Dalla stima MLE dei DUE modelli otteniamo:
Ln(L) non vincolato (Gamma) = -82.916Ln(L) vincolato (esponenziale) = -88.436
LR=-2[-88.436-(-82.916)]=11.04 ²(1)
Il valore test è 3.842, quindi si rigetta H0
TEST DI WALD
Dalla stima MLE del solo modello non vincolato:
Il valore test è ancora 3.842, quindi si rigetta H0
)1(984.61151.36625.01151.3
6625.0)ˆ(ˆ
1ˆ
ˆ
01ˆˆ0
:
6625.0)ˆ(151.3ˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆˆ
21
'
W
VarqcVar
c
cqc
vincolii
Vare
CVar
CqCVarW
TEST DEI MOLTIPLIPICATORI DI LAGRANGE:
Dalla stima MLE del solo modello non vincolato:
Il valore test è ancora 3.842, quindi si rigetta H0
)1(120.5914.7
000.0
894.326689.0
6689.002166.0914.7000.0
6689.0
894.32914.7
02166.0000.0
).(ˆ
ˆlnˆˆ
ˆln
2
1
2
2
21'
LM
l
le
l
le
l
vincolinL
IL
LMv
vv
v
v
