esponenziali e logaritmi. la legge esponenziale nella natura
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ESPONENZIALI E LOGARITMI
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La legge esponenziale
nella natura
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La riproduzione per scissione
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Numero scissioni (s)
Numero di batteri (N)
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
Se indichiamo con N il numero dei batteri e con s il numero di scissioni, la legge che regola la riproduzione per scissione è: N=2s.
Sia dominio che codominio appartengono all’insieme dei numeri naturali.
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La fissione nucleareProcesso che sta alla base dell’utilizzo della bomba atomica e dell’energia atomica. “Bombardando” un atomo di uranio U235 con un neutrone si ha la liberazione di 3 neutroni e di energia.Si innesca una reazione a catena.
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Numero di urti (u)
Numero di neutroni (N)
0 1
1 3
2 9
3 27
4 81
Se indichiamo con N il numero di neutroni e con u il numero di urti, la legge che regola la fissione nucleare è: N=3u.Sia dominio che codominio appartengono all’insieme dei numeri naturali.
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Decadimento radioattivodel carbonio 14
• Alcuni minerali emettono spontaneamente radiazioni e l’emissione di queste radiazioni provoca la trasformazione dei minerali in nuove sostanze.
• Se il carbonio14 contiene oggi una certa massa di sostanza radioattiva dopo 6000 anni metà di tale massa avrà subito il decadimento radioattivo e metà sarà rimasta inalterata.
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Tempo di dimezzamento
(t)
Massa di (M)
0 1
1 0,5
2 0,25
3 0,125
-1 2
-2 4
Se M indica la massa di C14 ,t il tempo, misurata a partire dal numero di tempi di dimezzamento (ossia il tempo utilizzato per dimezzare la massa che nel caso del C14 è di 6000 anni) trascorsi, la legge che regola il decadimento radioattivo è: M=(1/2)t
In questo caso ha senso considerare la massa di C14 corrispondente a valori di t negativi, valori che indicano il “passato”e anche a valori di tempo non interi, come ad esempio t = 1/3 cioè circa 2000 anni.Possiamo quindi “infittire” quanto vogliamo la tabella che descrive il decadimento radioattivo ed ottenere un grafico come quello in figura.Si passa quindi da un grafico “ a scatti “a un grafico continuo.Il dominio della funzione è l’insieme dei numeri reali, mentre il codominio è quello dei numeri reali positivi.
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La funzione esponenziale
Prefissato un numero reale a>0 è possibile associare
ad un numero reale qualsiasi x, il numero reale ax
F: R R+
x→ax
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LA CURVA ESPONENZIALEse a >1
• Quando a>1 si viene a creare una curva crescente che non tocca mai l’asse delle ascisse e rimane nel semipiano delle ordinate positive.
• Più la base è grande, più ripida è la crescita;
• Tutte le curve passano per il punto (0; 1);,
x Y=2x
-2 0,25
-1 0,5
0 1
1 2
2 4
Y=3x
0,11
0,33
1
3
9
lim ax=+∞; lim ax =0+
x→+∞ x→-∞
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LA CURVA ESPONENZIALE se 0<a<1
Con 0<a<1 si viene a formare una curva decrescente che
non tocca mai l’asse delle ascisse e rimane nel semipiano
positivo.
Più la base è piccola, più rapida è la decrescita.
Tutte le curve passano per il punto (0;1),
lim ax=+∞; lim ax =0+
x→-∞ x→+∞
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LA CURVA ESPONENZIALE
se a =1
La curva degenera
in una retta parallela
all’asse delle ascisse
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Simmetrie
Confrontando i grafici
di funzioni esponenziali
con basi reciproche
osserviamo che
sono simmetrici
rispetto all’asse delle ordinate.
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LOGARITMI
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Michael Stifel
in una sua famosa opera”Aritmetica integra” osservò che i termini della progressione geometrica corrispondono ai termini della progressione aritmetica formata dai loro esponenti.
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John Napier
Approfondisce l’idea di logaritmo come progressione geometrica di ragione 10 nell’opera “Mirifici logarithmorum canonis descriptio” e coniò il termine logaritmo.
Logaritmo: dal greco LOGON = ragione, intesa nel senso usato nelle progressioni geometriche, cioè rapporto e ARITHMOS = numero: numero razionale, nel senso di numero “artificiale” creato dalla ragione.
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Henry Briggs
Nel 1615,durante una visita in Scozia,propose di utilizzare la potenza del 10 a Nepero,il quale però non portò avanti il progetto perché morì nel 1617 e la sua opera uscì postuma nel 1619.
Compilò le prime tavole dei logaritmi da 1 a 1000, più che sufficienti per le esigenze del tempo.
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Leonard Eulero
Agli inizi del ‘700 con Eulero i logaritmi diventano oggetto matematico adottando un linguaggio e una notazione che per molti aspetti corrispondono a quelli usati oggi. Eulero fu il primo ad usare la lettera “e” per rappresentare la base del sistema dei logaritmi naturali o neperiani.
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La funzione logaritmica Funzione che associa a ogni valore della variabile x
il valore y =logax,
dove “a” è un numero reale positivo diverso da 1 e x un numero reale maggiore di zero.
F: R+ R x→logax
Il dominio è l’insieme di tutti i numeri reali positivi x, il codominio è l’insieme di tutti i numeri reali.
Tutte le curve logaritmiche hanno la particolarità di passare per il punto del grafico A(1,0), perciò risulta loga1=0
Questa funzione è la funzione inversa della funzione esponenziale.
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x Y=log2x
0,25 -2
0,5 -1
1 0
2 1
4 2
La curva occupa solo il semipiano x>0, dato che il suo dominio è R+.
Assegnando alla x valori sempre più vicini a 0, la curva tende ad avvicinarsi sempre più all’asse delle y senza però toccarlo. Si dice che l’asse delle ordinate è asintoto della funzione.
La funzione è crescente.
1° CASO: a>1
lim logax = -∞; lim logax=+∞
x→0+ x→+∞
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2° CASO: 0<a<1
x Y=log1/2x
0,25 -2
0,5 -1
1 0
2 1
4 2
La curva occupa solo il semipiano x>0, dato che il suo dominio è R+.
Assegnando alla x valori sempre più vicini a 0 la curva tende ad avvicinarsi sempre più all’asse delle y senza però toccarlo. Si dice che l’asse delle ordinate è asintoto della funzione.
La funzione è decrescente.
lim logax =+∞; lim logax=-∞x→0+ x→+∞