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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

Caderno PedagógicoVilma Rinaldi Bisconsini (Autora)

Renata Camacho Bezerra (Orientadora)

A transição dos educandos da quarta para a quinta série do ensino fundamental:

implicações para o processo ensino e aprendizagem da matemática

1/5 Geo 0,20

PDE 2009Assis Chateaubriand, PR

Caderno Pedagógico – PDE 2009 Vilma Rinaldi Bisconsini

GOVERNO DO ESTADO DO PARANÁSECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃOPROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

VILMA RINALDI BISCONSINI

CADERNO PEDAGÓGICO:A TRANSIÇÃO DOS EDUCANDOS DA QUARTA PARA A QUINTA

SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL: IMPLICAÇÕES PARA O

PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA

IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ - UNIOESTE

ORIENTADORA: PROFa. Ms. RENATA CAMACHO BEZERRA

ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA

ASSIS CHATEAUBRIAND2010

2


UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ – UNIOESTE

Vilma Rinaldi Bisconsini

A Transição dos Educandos da Quarta para a Quinta Série do Ensino Fundamental:

implicações para o processo de ensino e aprendizagem da matemática

Caderno Pedagógico apresentado ao

PDE - Programa de Desenvolvimento

Educacional do Estado do Paraná.

Orientadora: Profa. Ms. Renata Camacho

Bezerra.

ASSIS CHATEAUBRIAND2010

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IDENTIFICAÇAO

Área: Matemática

Professor PDE: Vilma Rinaldi Bisconsini

NRE: Núcleo Regional da Educação de Assis Chateaubriand

Orientadora: Profa. Ms. Renata Camacho Bezerra

IES: Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE

Público: Professores atuantes nas quartas séries do ensino fundamental (séries

iniciais) da rede municipal e professores de matemática atuantes nas quintas séries

e no Programa Sala de Apoio a Aprendizagem da Secretaria de Estado da

Educação do Paraná.

Título: A transição dos educandos da quarta para a quinta série do ensino

fundamental: implicações para o processo de ensino e aprendizagem da matemática

Conteúdo: Discussão sobre a elaboração dos conceitos fundamentais de números

fracionários, números decimais e de geometria (área e perímetro do quadrado,

retângulo e triângulo).

Objetivo: Analisar os problemas que ocorrem no processo de ensino e

aprendizagem de matemática, decorrentes da transição dos educandos da quarta

para a quinta série e desenvolver estratégias didático-metodológicas visando

alterações dessa problemática no contexto do grupo de sujeitos envolvidos.

4


APRESENTAÇÃO

Caro Colega Professor de Matemática

A produção deste caderno pedagógico foi possível graças ao

acompanhamento e observação, durante vários anos, do trabalho de professores

atuantes nas quintas séries e no Programa Sala de Apoio a Aprendizagem. Esta

atividade de acompanhamento possibilitou participar das discussões sobre a

defasagem de conteúdos que os alunos traziam e ainda trazem do ensino

fundamental - séries iniciais - bem como, possibilitou perceber, ainda, muitos dos

problemas decorrentes da transição da quarta para a quinta série.

Diante desse contexto, este trabalho volta-se para ao processo de elaboração

de conceitos matemáticos pelos educandos e as dificuldades ocorridas nessa

elaboração, decorrentes, dentre outros, dos problemas de comunicação e linguagem

entre professor e educando. Essa situação é agravada em função da transição de

série, quarta para a quinta, isso porque os professores, por pertencerem a sistemas

educacionais distintos, têm formação, cultura, experiências e saberes diversos, o

que traz consequências para o processo de ensino e aprendizagem.

Os fundamentos teórico-metodológicos estão pautados na concepção sócio-

cultural de educação, a qual defende o ensino e aprendizagem como processo

social e histórico, onde o professor é considerado o mediador na construção do

conhecimento científico. A ênfase deste trabalho, portanto, está na atuação do

professor em sala de aula, nos modos dele interagir com os educandos e na

percepção de como eles elaboram os conceitos em matemática, a partir da

linguagem adotada pelos professores de ambas as séries.

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Nessa perspectiva, este Caderno Pedagógico foi organizado em atividades

e respectivas reflexões. Nestas, revelam-se as intencionalidades didático-

pedagógicas e os fundamentos que orientam o trabalho como um todo.

Espera-se, com isso, contribuir com o trabalho dos professores atuantes

nessas séries fornecendo-lhes alguns subsídios que auxiliem e contribuíam para que

os alunos elaborem conceitos fundamentais em números fracionários, números

decimais e geometria – perímetro e área do quadrado, retângulo e triângulo.

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 08

UNIDADES DIDÁTICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

UNIDADE 1: NÚMEROS FRACIONÁRIOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

ATIVIDADES: NÚMEROS FRACIONÁRIOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

UNIDADE 2: NÚMEROS DECIMAIS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

ATIVIDADES: NÚMEROS DECIMAIS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

UNIDADE 3: GEOMETRIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

ATIVIDADES: GEOMETRIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

CONSIDERAÇÕES FINAIS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

APÊNDICE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7


INTRODUÇÃO

Ensinar e aprender matemática são atividades humanas que exigem

conhecimentos, saberes, condições materiais e interações sociais.

Trabalhar a partir de uma visão sócio-cultutal pressupõe reconhecer que os

conhecimentos matemáticos são produzidos, em diferentes períodos, de acordo com

as necessidades humanas, em que os sujeitos interagem em sua cultura

especialmente pela linguagem. Portanto, o pensamento do sujeito que vai à escola

para aprender está impregnado de saberes do seu contexto social e cultural.

Esses são os pressupostos que devem orientar teórica e didaticamente o

trabalho em sala de aula, ou seja, o ponto de partida para o ensino da matemática

deve ser o conhecimento que o educando já possui e não aquele saber escolar em

processo de elaboração, portanto, ainda com a compreensão parcial de seus

conceitos fundamentais. Assim, o professor deve partir daqueles saberes que têm

significado para o educando. De que adianta, por exemplo, iniciar o conteúdo de

geometria plana sem que o educando saiba o significado de área e superfície?

Esses conceitos poderão não ter significado para ele e isso poderá dificultar o

avanço no trabalho com o ensino de geometria.

A elaboração das atividades desse caderno orienta-se pela abordagem

histórico-cultural, considerando alguns princípios como a apropriação da significação

de conceitos matemáticos; o processo de internalização; o desenvolvimento da

consciência; instrumentos de mediação (instrumentos e signos - em especial a

linguagem - palavra)1; interação (professor e educando; educando e educando);

1 “O instrumento é um elemento interposto entre trabalho e o objeto de trabalho [...]”. Já o signo é um instrumento psicológico, uma marca externa. A palavra óculos é o signo que representa um objeto para melhorar a visão. O desenho de um cubo remete a um objeto tridimensional com todas as faces congruentes. As palavras Óculos e Cubo são signos que remete à memória ou a atenção.

8


abstração, formalização e generalização - conceitos cotidianos e científicos; papel

do professor como mediador na Zona de Desenvolvimento Proximal (BATTISTI,

2007, 2009). Os recursos didáticos, alguns manipuláveis, instrumentos para o

trabalho com as atividades em sala de aula, são aqui concebidos com a consciência

de que o concreto é o ponto de partida e de chegada, apenas mediatizado pelo

abstrato. (JARDINETTI, 1996).

Mas, didaticamente, como o professor pode encaminhar seu trabalho em sala

de aula orientado pelos fundamentos histórico-cultural? Reconhece-se que não há “o

caminho”, “o método”, “a direção”. O trabalho do professor é um complexo de

saberes que se funde com as circunstâncias de sala de aula. O que se pode

conceber é que o professor conheça e oriente suas ações pedagógicas a partir

desses fundamentos. Buscando coerência com os pressupostos teóricos que

fundamentam esse trabalho, entende-se que, ao iniciar e dar continuidade a um

conteúdo em sala de aula, o professor possa adotar e articular diferentes tendências

metodológicas2, mas ao planejar suas aulas, deve fazer algumas questões ao

elaborar as atividades:

1. Que significado e sentido têm cada termo matemático usado na fala do

professor ao abordar o conteúdo? Segundo Battisti (2007, p. 79), “[...] a

linguagem matemática, como organizadora do pensamento matemático,

possibilita aos alunos elaborar uma forma particular de pensar [...]”.

(OLIVEIRA, 1997, p. 29-30). Neste trabalho, os materiais didáticos serão tratados nesses dois sentidos.

2 Destacam-se as tendências metodológicas: resolução de problemas, investigação matemática,

etnomatemática, história da matemática, modelagem matemática e ainda, mídias e tecnologias

apontadas pelas Diretrizes Curriculares para a Educação Básica do Paraná – disciplina de

Matemática (2008).

9


2. Quais os conceitos fundamentais envolvidos? Quais os alunos dominam? Em

que nível de elaboração os alunos estão: conceitos espontâneos ou conceitos

científicos?

3. O aluno consegue fazer a análise e a síntese (do abstrato ao concreto)?

Para Battisti (2007, p. 80), nesse sentido, citando (SCHWANTES, 2004), a “[...]

sala de aula torna-se um fórum permanente de debate e negociação de concepções e

representações da realidade”. A autora conclui afirmando que

A intervenção docente ou discente é um ‘elemento’ fundamental na interação do aluno com o saber matemático. As intervenções são determinantes no processo de apropriação de significações dos conceitos matemáticos pelos alunos, cabendo ao professor orientar, estimular, desvelar os significados que precisam ser negociados e, de certa forma, controlar os sentidos produzidos pelos alunos. Assim, o próximo capítulo se desenvolve em torno desta temática. (BATTISTI, 2009, p. 80).

Ao trabalhar nessa perspectiva, pode-se pensar na organização de

atividades tendo como parâmetro orientações como:

Atividade Significado e Sentidos Conceitos

Os 25 alunos representam 1/4 do número de alunos da 8a série. Quantos alunos têm ao todo nessa escola?

Ao ler 1/4, o aluno relaciona com outras situações e com a ideia divisão de certa quantidade dividida em quatro partes. Ele relaciona 1/4 de hora, 1/4 do lanche, ou a palavra quarto é o local de dormir?

Conceito espontâneo: a fração 1/4 representa para o aluno a ideia de dividir em quatro partes. Conceito científico: 25 é a quantidade representativa da quarta parte de certa quantidade. Ou 1/4 de um número que é igual a 25.

A organização e a dinâmica em sala de aula na perspectiva histórico-cultural

pressupõem:

1. Trabalho em grupos;

2. Socialização de questões;

10


3. Mediação: intervenção do professor com proposição de questões, diálogos,

indagações, perguntas que levem os alunos a avançarem no entendimento e

que promova a ajuda de um aluno para com outros, ou seja, o professor

interfere na zona de desenvolvimento potencial que envolve os alunos;

4. O ensino deve orientar-se em prospecção, ou seja, para fazer avançar o

processo de aprendizagem;

5. O trabalho de intervenção do professor considerando que a coletividade

proporciona a intersubjetividade e a intrasubjetividade;

6. Espaço de intervenção do professor: estabelecer relação com um aluno, um

grupo de alunos e com a turma toda;

7. Para o trabalho com o conteúdo, de início, a preocupação deve ser a de

propor atividades que se aproximem do conhecimento que se quer alcançar e

não abordar diretamente, por exemplo, a definição, as palavras definidoras e

explícitas (fração, equação, inequação, álgebra, etc.);

8. O princípio orientador da prática pedagógica nessa concepção é que “[...] a

sala de aula é o lugar onde a intervenção pedagógica é intencional e possui a

tarefa explícita de promover e/ou consolidar processos de ensino e

aprendizagem”. Esses apontamentos de Battisti (2007, p. 95-98), indicam

procedimentos didáticos que tornam a sala de aula um ambiente de

aprendizagem coerente com os pressupostos teóricos histórico-cultural.

11


UNIDADES DIDÁTICA

As três unidades que seguem, abordam alguns conceitos fundamentais de

números fracionários, números decimais e geometria (perímetro e área do quadrado,

retângulo e triângulo) com aprofundamento conceitual, considerado essencial para

introdução desses conteúdos na quarta e quinta séries do ensino fundamental. A

cada atividade ou um grupo de atividades, faz-se uma reflexão teórica e didática

sobre as diferentes maneiras de como o professor poderá encaminhar tais

atividades.

UNIDADE 1: NÚMEROS FRACIONÁRIOS

A metade da minha turma tem celular e uns 10% tem computador, também queria ter celular e computador!

Por que quando multiplicamos 1/2 por 1/2 resulta em 1/4?

Hoje é menos comum a linguagem fracionária em que a criança usa o termo

um décimo, por exemplo. Neste caso, se considerarmos uma turma de 5ª série com

vinte e cinco alunos, é conveniente o professor usar a palavra e a idéia de fração?

Que tipo de problemas são de fato problemas significativos para iniciar o conteúdo

de frações? Que situações fazem sentido para as crianças? Iniciar por grandezas

discretas ou contínuas? Abordar quais conceitos: fração com o significado de

número, fração com o significado de parte-todo, fração com o significado de

quociente, fração com o significado de medida, fração com o significado de operador

12


multiplicativo? Segundo Lima e Brito (2005, p. 115), “Para desenvolver corretamente

o conceito de fração, a criança precisa ser solicitada a refletir sobre as seguintes

questões: qual é o todo? Quantos pedaços há no todo? São pedaços do mesmo

tamanho?”. Acrescentamos que as crianças precisam, também, relacionar os nomes

dessas partes, identificando-as como meios, terços, quartos, quintos, etc.

O significado de fração está associado ao papel de transformação, isto é,

uma ação que se deve imprimir sobre um número, transformando o seu valor nesse

processo. Exemplo: Em uma sala de aula com 30 alunos, 2/3 deles não elaboram

significativamente o conceito de fração. Quantos alunos têm entendimento desse

conceito?

Os números fracionários são pouco usados na sociedade atual,

especialmente no Brasil. Apesar disso, o sentido deste conteúdo ainda ser

ensinando na escola se justifica porque, embora escasso, ainda há uma cultura de

reconhecimento desse conhecimento, sem contar também que, no contexto da

matemática escolar em determinadas situações, ainda se recorre aos seus

conceitos, como é o caso da introdução da álgebra na sétima série do ensino

fundamental. Desse modo, ainda não se pode abandonar seu ensino, mas não se

justifica desenvolver em sala de aula atividades incompreensíveis para os alunos,

ressaltando-se, porém, o ensino de seus conceitos e operações fundamentais.

ATIVIDADES: NÚMEROS FRACIONÁRIOS

Repartindo o lanche: A metade do lanche é minha, a metade da metade é do

Júnior e a outra metade da metade é da Lívia!.

Primeiro momento: a turma deve combinar previamente para que todos tragam

lanche para a próxima aula de matemática. Em grupos de três membros, realizar a 13


repartição do lanche como propõe a atividade, mas antes disso os grupos devem

seguir as orientações do professor para realizarem cada passo dessa repartição:

• O que significa dividir na metade?

• Como saber se a divisão foi feita na metade?

• Como achar a metade da metade?

• Qual metade é maior? Por quê?

• Quando falamos em metade, em que ideias vocês pensam?

• Onde se usa a ideia de metade?

• E se a divisão fosse feito em três partes, como chamaria cada parte?

• Todas as partes têm exatamente o mesmo tamanho?

• As pessoas são justas ao dividir as “coisas”?

Segundo momento: representar por meio de ilustração as repartições do lanche

feitas pelo grupo. Em seguida, representá-las de forma escrita.

Ao organizar essa atividade com lanches em grupo, orientar e discutir

as ideias antes dos procedimentos de repartição. Dialogar com os alunos para

perceber que sentidos têm as palavras metade, terço, quarto. Esse processo deve

ser conduzido atentamente pela mediação do professor, trabalhando sempre com

questionamentos e diálogos, provocando os educandos para a expressão oral e

para os registros no caderno e no quadro de giz, como estratégia de trabalhar da

ação concreta ao registro escrito.

Questões teóricas:

- A palavra fração deve aparecer nesse momento? Em um dos episódios de

pesquisa realizada por Battisti (2007, p. 45-47) sobre a elaboração do conceito de 14

41

21


superfície, somente a partir do “turno 52”, ou seja, depois de algum tempo de

trabalho é que a professora provoca as discussões até que aparece a palavra

superfície, em um processo de forte mediação da professora-pesquisadora;

- O significado e o conceito de fração estarão elaborados ao final de algumas

aulas? Para Vygotsky (1991), esse processo estaria apenas começando. Nesse

sentido, o professor precisa ter a paciência pedagógica, dar voz ao aluno e estar

atento às suas expressões. Desse modo, para Battisti (2007), o tempo é requisito

indispensável para que o processo de formação do conceito se dê.

- Memorização de definições não garante a formação do conceito, apenas dá a

falsa impressão de aprendizagem.

- O ponto de partida para a elaboração dos conceitos são os conceitos cotidianos,

sendo que esta elaboração se dá pela mediação das sucessivas significações e um

processo analítico.

- A discussão em cada etapa é fundamental, garantindo que o educando participe,

pois será por intermédio dessas diversas oportunidades de interação que o

professor poderá observar, por meio da expressão oral e escrita do aluno, o

entendimento do conceito e seu processo de elaboração.

3 Fazendo dobraduras!

a) Dobre uma folha de papel sulfite4 em duas partes iguais. Em seguida recorte-as

pela linha da dobradura e sobreponha às duas metades.

• Ao colocar uma parte sobre a outra, o que aconteceu?• Será que há outros modos de se chegar exatamente na metade?• Quais foram as dificuldades para se chegar à metade?

3 Atividades a até d adaptadas de: Toledo e Toledo (1997, p. 170-171)

4 Por uma questão de consciência ambiental, recomenda-se a utilização de folhas de sulfite reutilizável.

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Uma das estratégias didáticas é orientar o aluno para que recorte a

metade conseguida por ele pela linha que ele traçou para determinar essa metade.

Oriente-o para sobrepor essas duas metades. Nesse procedimento, novamente o

professor deve ir questionando os alunos sobre o porquê as duas partes têm o

mesmo tamanho; é necessário levá-los a analisar que as duas metades têm

exatamente o mesmo tamanho. Deve-se igualmente ficar atento às seguintes

questões: Quais as possíveis tentativas que os alunos farão? Como discutir com

eles que todas as formas se tratam de metades exatamente do mesmo tamanho?

b) A partir do molde em forma de hexágono feito em cartolina, desenhe duas figuras

conforme o molde e pinte-as de cores diferentes; recorte-as e em seguida dobre-as

na metade e recorte novamente as metades. Importante: cada figura deve ser

dividida na metade, de forma diferente. Pergunta-se:

• As metades que tem formatos diferentes têm o mesmo tamanho? Por quê?

• Representam as mesmas metades? Por quê?

Oriente os alunos para sobreporem as metades com formatos

diferentes, levando-os a perceberem que as metades de um todo do mesmo

tamanho tem metades iguais, mesmo que suas formas sejam diferentes. O conceito

matemático aqui discutido é de que as metades de um todo devem ter exatamente

o mesmo tamanho, ainda que não tenham a mesma forma. Ao realizar a

sobreposição de metades de uma figura de tamanho igual, mesmo com formas

diferentes, com essa estratégia de compensação onde S1 = S2, o aluno poderá

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perceber que as metades têm o mesmo tamanho, ou seja, elas se equivalem.

O professor poderá solicitar que os alunos, em grupos, representem as soluções no

quadro de giz, explicando e comentando a solução. Em concomitância, o professor

deverá fazer questionamentos, de modo que os alunos possam ir se aproximando e

se apropriando do conceito científico de metade e de fração. Outro aspecto a se

considerar é que a palavra hexágono não tem significado para a maioria dos

estudantes. Sugere-se, então, ao professor tratar esse objeto como forma ou molde

e discutir com os alunos o nome que poderia ser dado a este. Nesse processo, o

professor deverá passar pela discussão de alguns conceitos geométricos como, por

exemplo, a relação entre o número de lados de uma figura e a sua denominação,

para finalmente, chegar ao nome do molde em pauta como hexágono.

c) Dobre uma folha de papel sulfite em três partes iguais, em seguida reflita sobre:

de quantos modos é possível fazer isso? Quais as dificuldades para realizar essa

tarefa? Agora desenhe um retângulo e, usando a régua, divida-o em três partes

iguais. Ao desenhar, as dificuldades foram as mesmas de dobrar a folha em três

partes iguais? Por quê? Por último, represente numericamente cada uma dessas

partes.

Quais dificuldades se apresentam na realização dessa atividade? A

primeira será a de dobrar a folha em três partes iguais. Essa é uma dificuldade que

não aparece nas divisões sucessivas pares. O professor deverá incentivar o aluno

a fazer tentativas, fazendo com que cada terço tenha o mais aproximadamente

possível o mesmo tamanho. Pode ser que o aluno tente desenvolver a atividade

usando a régua o que poderá trazer outro desafio, pois nem sempre a folha terá

uma medida divisível exatamente por 3, como é o caso da folha tipo A4. Ainda

assim, é necessário comentar com o aluno sobre a importância de se chegar à

medida de 1/3 o mais aproximado possível. Essas dificuldades devem ser

discutidas com o aluno, porque implicam na formação do conceito de fração como

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divisão em partes iguais.

Outros conceitos podem ser suscitados nas reflexões feitas com o grupo ao

realizarem as atividades, como por exemplo, quantos 1/3 cabem dentro da folha

usada? Quais as dificuldades de se chegar a 1/3? Nesse momento, o professor

deverá estar atento a outras situações propostas pelos alunos quando expressam a

idéia de terços; que significados têm a palavra terço para eles?

Importante: até esse momento o professor não usou ainda a “palavra fração”,

expressa intencionalmente, a menos que os alunos a tenham expressado o que

deve ser discutido nesse mesmo momento o significado dessa palavra, propondo

outros exemplos e idéias de fração, fracionamento, ...

d) Divida duas folhas de papel sulfite entre cinco pessoas. Fazer essa atividade em

grupos de três membros para discutirem as estratégias de resolução.

As possíveis soluções dadas pelos alunos serão a de dividir cada folha

em cinco partes iguais e depois contar quantas partes caberá a cada pessoa, ou

seja, trabalha-se, nessa atividade, o conceito de fração como divisão.

Uma das estratégias didáticas poderá ser a de solicitar aos alunos que comparem

as soluções dadas, fazendo a sobreposição dos quintos a que cada equipe chegou.

Outra estratégia é a de fazer o registro por meio de desenho e pela escrita da

representação matemática, levando os alunos a perceberem que esse tipo de

divisão, em razão do resultado não ser um número natural, poderá ser

representado na forma de fração: 2/5. Nesse momento, é necessário iniciar a

discussão de como poderá ser denominado esse número, haja vista não se tratar

de um número representável da forma como os alunos já conhecem: números

como forma de representar quantidades ou coisas que podem ser contadas, trata-

se sim, da ideia de dividir um todo, sendo esta divisão de um todo como uma

grandeza de natureza contínua. Outro aspecto importante nesse momento é

conversar sobre o significado da palavra “fração”, pois este é pressuposto para a

formação do conceito matemático de fração.

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Dobre uma folha de papel sulfite em duas partes sucessivamente. Ou seja, a

cada metade, dobrá-la na metade novamente e registrar na tabela as seguintes

observações:

Escreva 1ª dobra 2ª dobra 3ª dobra 4ª dobra 5ª dobra

Número de partes da folha

Uma parte do todo

Duas partes do todo

Todas as partes do todo

Como se lê cada parte do todo?

Quais valores representam o mesmo tamanho da folha?

a) Ao dobrar a folha, como é representada esta operação em matemática?

b) Ao dobrar a folha e considerar apenas uma dessas partes, como denominamos

essa parte em matemática?

c) Na questão “como se lê cada parte do todo?”, o que significa a palavra

“denominador”? Por que damos nomes especiais a ele? Em matemática, o que

ele representa?

Nessa atividade, possivelmente os alunos comecem a usar o termo

“fração”, momento em que o professor deve discutir o significado da palavra

relacionando-o com o conceito matemático.

Essa atividade deve ser debatida e refletida com os alunos para que elaborarem o

conceito de meios, quartos, oitavos..., ou seja, discutir em quantas partes foi divido

o todo e como são nominadas essas partes. “A palavra ‘denominador’ quer dizer

‘indicar o nome de’, e, de fato, o denominador de uma fração indica o seu ‘nome’,

que ‘tipo’ de partes são, [...]” (Brasil, 2007, fasc. 4, p. 8).

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Discutir quantos desses meios, quartos, oitavos..., cabem na folha toda (fração com

o conceito de medida). Discutir também, quais os significados da palavra “meios,

quartos, oitavos...”. É possível, que muitos deles, entendam á palavra quarto, por

exemplo, como o nome do local onde se dorme e, para cada um deles, ela ainda

poderá ter sentido pessoal (para uns poderá ser um lugar aconchegante, para

outros, um lugar escuro, etc.). Nessa mesma atividade, o professor pode solicitar

que o aluno pinte 1/4 da folha, depois 2/4, 3/4, 4/4 e explorar, com isso, outros

conceitos matemáticos, fazendo questionamentos como: que outros conceitos

estão relacionados nessa atividade? Que outras estratégias didáticas podem ser

exploradas?

Usando o computador, no programa Excel (Windows) ou Calc (Linux), criar uma

tabela com duas linhas e cinco colunas. Destas, pintar alternadamente, a metade da

tabela.

Tabela 1

a) Que fração da tabela foi pintada?

b) Que fração da tabela foi pintada de azul? E de amarelo?

c) A partir da tabela 1, reproduza e divida cada célula na metade: como ficam as

frações das questões a e b? Reproduza sempre a última tabela criada e repita o

processo.

Tabela 2 - 1ª divisão

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d) Na tabela abaixo, represente por escrito as frações da questão c.

Tabela 1 Tabela 2 Tabela 3

Escrita da fração

d1) O que se pode observar comparando as frações das tabelas 1, 2 e 3?

d2) E se continuasse a divisão em mais partes, tornando proporcionalmente

as mesmas partes anteriores, o que aconteceria?

d3) Usando tabela ou outros recursos do computador para representar

figuras, crie figuras com diferentes representações de frações (figuras e

escrita);

d4) O que acontece com 3/4 de uma fruta, se esta tiver que ser repartida em

oito partes?

e) Usando tabela ou outros recursos do computador para representar figuras,

crie figuras com diferentes representações de frações (figuras e escrita);

A partir da leitura interpretativa e reflexão do texto Aritmética da Emília5, repartir

uma melancia entre os participantes da sala. Nesse processo, questionar:

• Que fração dessa melancia cada participante comerá?

• Se duas pessoas do grupo não gostam de melancia e por isso não querem

comer, como devo, então, dividir a melancia?

5 Monteiro Lobato. Aritmética da Emília. São Paulo: Brasiliense, 1973, p. 91-92.

21


• Se a parte de cada um for divida em duas partes, que fração da melancia

você comerá?

• E se comparecessem mais três pessoas no grupo após a divisão da

melancia, o que poderia ser feito para que essas pessoas também

comessem melancia e para que todas as partes fossem dividas do mesmo

tamanho?

Ao desenvolver essa atividade, fazendo uso de uma melancia como

instrumento, o professor deverá planejar as questões que irá propondo aos alunos

à medida que for fazendo a repartição literal da fruta, pois nesse momento,

provavelmente, as crianças ficarão eufóricas, oportunidade ideal para fazer

diversas indagações. Ou seja, o professor deve atuar na criação de uma zona de

desenvolvimento proximal. Por exemplo: em quantas partes devo dividir a melancia

considerando o número de alunos da sala? Que fração da melancia receberá a

cada um? E se em vez de dividir pelo número de alunos, dividir por um número de

partes que seja o dobro do número de alunos, o que acontecerá? Que fração da

melancia caberá a cada aluno? Importante: como um dos principais objetivos dessa

atividade é a formação do conceito de fração equivalente, com essa estratégia, a

ideia é que os alunos percebam as frações equivalentes. É imprescindível, ainda,

que o professor oriente os alunos a fazerem os registros em forma de desenho e

escrita das atividades realizadas com a melancia. Ao trabalhar com essas

atividades, por exemplo, no quadro de giz, o professor deverá desenvolver

questionamentos do tipo: quem recebeu 1/15 da melancia, recebeu a mesma

quantidade de quem recebeu 2/30 dessa mesma melancia? Será que equivale a

mesma coisa, ou seja, será que 1/15 é igual a 2/30?

22


Considerando uma régua de 12 cm.

a) Dividir a régua em três partes;

b) Represente 2/3 da régua;

c) Represente 4/6 da régua;

Uma das dificuldades que pode se apresentar nessa atividade é a

divisão de 12 por 3, porque, segundo (DAMAZIO, 2007), pode ser difícil para o

aluno transportar esse pensamento para a divisão na régua em três partes. Outro

aspecto relevante é levar o aluno a estabelecer relação da fração 2/3 com o

segmento de reta. Qual a relação do 2 com o segmento? E do 3? Em relação à

questão c será necessário que o professor leve o aluno a perceber a relação com a

questão a, discutindo, indagando-o sobre o conceito de equivalência, ou seja, o

aluno precisa perceber que existe relação na multiplicação de 2/3 x 2/2.

Outra questão a ser observada nessa atividade é que se trata de uma grandeza de

natureza discreta. Ou seja, agora o aluno não dividirá um todo contínuo, mas 12

unidades divididas em três partes, bem como, o resultado não será um número

fracionário. Essa operação trabalha com a fração como operador multiplicativo (2/3

de 12 = 2/3 x 12 = 8).

Importante: embora a ideia seja de multiplicação, nesse momento não se propõe

trabalhar essa operação.

Em uma sala de aula, dos 24 alunos, 2/3 são meninos; 1/3 usa calça jeans; 1/4

gosta de vídeo-game; 7/8 gostam muito de ler e 8/8 gostam de matemática.

Descobrir o número de alunos que representa cada uma das frações citadas.

23


Analise a sua sala e crie mais três tipos de frações relacionadas com outras

questões que envolva sua turma.

Em sala de aula, na ação didática, o professor deve estar atento às

seguintes questões: os alunos têm formado o conceito de fração? Qual o significado

do conceito de fração exigido nessa atividade? Que outros conceitos matemáticos

estão envolvidos? Que dificuldades os alunos apresentaram? Que estratégias

didáticas usar? Como perceber os significados e os sentidos produzidos pelos

alunos? Eles avançaram dos conceitos espontâneos para os científicos? Abstraíram,

formalizaram e generalizaram o conceito de fração? Nessa situação, realizam a

multiplicação de forma significativa? Percebem que estão realizando a operação de

multiplicação?

Importante: essa atividade também aborda o conceito de fração com o significado de

operador multiplicador, ou seja, novamente aqui, a proposta é trabalhar frações com

valores discretos e com os valores resultantes de parte destes. Exemplo: 2/3 de 24 =

16. Mas, essa operação o aluno fará, neste momento, com a idéia de encontrar o

valor da fração de 24 e não com a operação formal de multiplicar 2/3 x 24.

Importante: O professor poderá adaptar essa atividade de acordo com o número de

alunos da sala e criar as circunstâncias que desencadeiem em atividades com

frações.

Um tesouro em moedas antigas foi encontrado enterrado nos fundos da escola.

Esse tesouro foi vendido por certo valor. O juiz decidiu que esse dinheiro seria

repartido entre todos os alunos, professores e funcionários da escola. Desse modo,

coube à nossa sala R$ 4.320,00. Que fração desse valor caberá às meninas e aos

meninos? Que valor corresponderá à fração de cada um? Como história é história!

Na verdade, a turma da sala ganhou R$ 432,00 referentes a um trabalho

24


desenvolvido pela turma na festa junina da escola. Que valor caberá a cada aluno?

Que fração representa esse valor?

Nessa atividade explora-se o conceito de divisão e sua representação

fracionária e aritmética. Ou seja, trabalha-se com o significado de fração a partir de

uma grandeza discreta. A validade da proposição dessa variação está em os alunos

vivenciarem atividades que envolvem diferentes ideias e significados. O fato de os

alunos dividirem 432 / 26 (divisão de grandeza de natureza discreta), por exemplo, é

diferente de eles lidarem com a divisão de uma folha ou um bolo para a turma

(divisão de grandeza de natureza contínua). Outro aspecto que poderá aparecer

como complicador é o fato de se ter que dividir 432 pelo número de alunos da sala.

A sugestão é que o “resto”, que poderia chegar a decimais, seja destinado ao “caixa”

da turma. Pode-se, contudo, optar por trabalhar com a divisão chegando ao decimal,

isso dependerá do nível de conhecimento da turma.

Represente 2/6 na figura.

Nessa atividade volta-se com o conceito de parte do todo buscando

explorar os diversos significados de fração. Nessa atividade, dá para trabalhar com

aspectos da geometria como classificação de polígonos. Para que as seis partes

sejam do mesmo tamanho (congruentes), traçar um segmento de reta de um vértice

ao seu oposto e, ao ligar todos esses vértices, o ponto de intersecção entre os

segmento é o ponto central do polígono (hexágono). Esta estratégia garante

encontrar seis triângulos congruentes e ainda com uma particularidade – triângulos

de lados com a mesma medida (triângulo equilátero).

25


Com um pacote de preparo sólido para refresco (pó para suco) com 36

gramas, se faz um litro de suco (ou quatro copos do tipo americano). Em uma festa

de aniversário há 60 crianças e, considerando que cada uma toma dois copos de

suco, pergunta-se:

a) Quantos litros de suco serão necessários? E, quantos pacotes de preparo?

b) Um copo de suco corresponde a que fração do litro?

c) Qual é a quantidade de pó para suco, necessária a cada copo de suco?

d) Se chegassem mais 12 crianças, como ficaria essa mistura?

Nessa atividade é possível explorar duas operações: medir e contar.

Temos que contar quando se trata do número de crianças, números de copos,

número de litros de suco. Temos que medir quando se relaciona, por meio da fração,

a razão, a equivalência. Ou seja, é necessário fazer comparações entre grandezas

para saber quanto de uma determinada quantia cabe em outra. Nesse sentido, essa

atividade proporciona envolve o significado: medida, razão, equivalência. CARAÇA

(2005, p. 29-34).

Um grupo de amigos (duas meninas e quatro meninos) ganhou, por

vencerem uma gincana na escola, um lanche gigante.

a) Que fração do lanche as meninas receberão? E os meninos?

b) Se um dos meninos não quiser comer, que fração do lanche caberá a cada

um?

Nessa atividade explora-se fração com significado de quociente.

Retorna-se também ao conceito de divisão contínua.

Usando uma régua de 12 cm, como posso representar, nessa régua, a

metade da metade? Que fração esta divisão representa? Quantas vezes o meio

26


desta régua cabe nela mesma? E 1/4, quantas vezes cabe? E a metade dividido por

2, que fração representa da régua?

Aqui a fração é trabalhada com o significado de multiplicação, quando

propõe encontrar 1/2 de 1/2; de divisão, quando interroga quantas vezes o 2 cabe

dentro de 1/2? Quando questionamos quantas vezes cabe, para Caraça (2005, p.

30), “este número chama-se a medida da grandeza em relação a essa unidade”, ou

seja, medida é o resultado da comparação de medidas de mesma unidade.

Na tabela abaixo, em cada figura, pinte a fração indicada por números e

depois escreva a ideia da fração representada na figura.

Figura Fração Escreva a ideia da fração representada na figura

1/1 Um inteiro

½Da figura dividida em duas partes, foi considera a metade.

2/4

8/16

27


2/3

4/6

O objetivo dessa atividade é um retorno à representação figurativa da

fração e a descrição do conceito. Espera-se que o aluno seja capaz de pensar a

representação figurativa, numérica e saiba descrever o conceito dessa fração.

Outro aspecto possível de se trabalhar é o conceito de fração equivalente, porque o

aluno percebe facilmente as partes que equivalem ao mesmo tamanho/valor, o que

pode facilitar e avançar para o trabalho de operações com frações. Destaca-se que

o registro numérico e a discussão do conceito, como propõe a atividade, é

imprescindível para que o aluno avance para o conceito científico de fração.

Iniciação às operações por meio da dobradura da folha de papel sulfite.

N. de dobras Operação Resulta em:

6 1/6 + 1/6

8 5/8 – 3/8

4 2 x 1/2

5 2/5 x 2

3 1/3 : 3

4 2 : 1/4

28


Ao iniciar formalmente as operações, trabalhar com valores pequenos

de modo que o aluno possa realizá-lo de modo informal, pela percepção, com uso

de materiais didáticos concretos. Nesse processo de introdução das operações, o

mais importante é a mediação do professor, especialmente usando linguagem de

modo que o aluno passe do conceito espontâneo para o conceito científico, embora

na 4ª e 5ª séries, a formalização dos algoritmos com frações não se completa, ou

seja, está apenas começando. Dentre as inúmeras formas de falar sobre a

operação, por exemplo, de multiplicação por ser: para 2 x 1/2 (duas vezes a metade

do papel; ou duas vezes o meio); 1/3 : 3 (o 1/3 da folha dividida em três partes,

quanto essa parte representa da folha toda?); 2 : 1/4 (aqui a pergunta deve ser feita

a partir do significado de medida: quantas vezes o 1/4 de folha cabem dentro de

duas folhas?).

Repartindo a maçã.

Cortando a maçã

em três partes,

quanto dá?

1/3 + 1/3

3/3 – 1/3

1/3 x 3

1/3 : 2

Ao desenvolver essa atividade fazendo a manipulação da fruta, com

cada grupo de alunos executando, sob a orientação do professor, cada etapa da

atividade, o professor deve usar palavras e expressões, bem como ficar atento às

expressões dos alunos, que explicitem a formação do conceito de fração e de suas

operações. Exemplo: um terço da maçã divido em três partes, que fração da maçã

representa essa nova parte? Se tenho a maçã dividida em três parte e tiro uma das

partes que corresponde a um terço, com quantos terços permaneço?

Importante: ao manipular alimentos, o professor precisa tomar os cuidados com as

normas de higiene, bem como com o objeto utilizado pelos alunos para cortar a

maçã. 29


Encontre:

1/4 2/3 2/5 2/6

Folha de sulfite R$ 75,00 60 minutos Uma pizza

Páginas de um livro com 200

páginas.

Uma sala 24 alunos.

R$ 125,00População de 3600 pessoas que não

votaram.

O objetivo desta atividade é trabalhar com frações de grandezas

contínuas e discretas, levando o aluno a perceber que o todo, a ser fracionado, pode

ser uma unidade a ser fragmentada, ou ainda, que quantidades com mais de uma

unidade, podem ter suas partes encontradas, fragmentadas do todo.

30


UNIDADE 2: NÚMEROS DECIMAIS

Por que quando multiplicamos 0,5 por 0,5 resulta

em 0,25?

Será que essa questão para alunos do ensino fundamental - séries finais e

ensino médio - é compreendida? É conceitualmente significativa? Como um aluno

da 5ª série do ensino fundamental e da 3ª série do ensino médio responderia a essa

indagação? Segundo Imenes (TV Escola, DVD Escola, Vol. II), estamos vivendo em

uma sociedade em que os números decimais são mais importantes. Sendo assim, a

escola deve estar em sintonia com a sociedade que estamos vivendo. No entanto,

na escola ainda prevalece à ênfase no ensino das frações, o que é uma contradição

porque, além dos aspectos sociais, o progresso dos alunos na sequência dos

estudos, depende muito mais do entendimento dos números decimais.

ATIVIDADES: NÚMEROS FRACIONÁRIOS

Observe a relação de objetos presentes no cotidiano, com a comunicação

escrita usando o sistema de numeração.

Uma bola de futebol custa R$ 69,90

O valor da mochila é de:

R$ 25,90

O valor do litro de leite é de:

R$ 2,67

31


a) Quanto mede a sua braçada?

b) Qual é a história da braça?

c) 2,33 m é a braçada do nadador.

Ao calcular 5% do número 428, chegou-se ao número 21,4.

O preço do litro de álcool combustível custa R$ 1,679

Lapiseira 0.5

Carro 1.8

a) Por que aparece a vírgula em todos os números acima?

b) O que eles têm em comum?

c) Como explicar que uma pessoa que mede 1,8m seja maior do que uma com

1,75m?

d) Por que o nosso dinheiro é sempre escrito com duas casas após a vírgula?

e) Por que a expressão “zero a esquerda” significa algo que não tem valor?

f) Por que alguns números são representados com a intercalação de um “ponto”

entre dois números. Por exemplo: carro 1.8 ou lapiseira 0.5?

O propósito desta atividade é discutir a presença dos números decimais

na sociedade e o modo de representar quantidades menores que uma unidade.

Dialogar com os alunos os contextos em que comparecem esses números e,

observar atentamente as expressões orais dos alunos observando o nível de

entendimento deles à medida que o professor faz outras indagações a partir das

colocações dos alunos.

32


Com o uso de panfletos de propaganda de produtos de supermercado, em

grupos, recorte e monte na tabela abaixo uma lista de compra considerando, para

isso, que você tem um limite de R$ 128,27 para gastar.

Produto Quantidade Valor por Unidade Valor total

Valor total da compra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a) Por que o valor dos produtos está representado com dois números após uma

vírgula?

b) Os valores entre R$ 1,00 e R$ 2,00 podem ser encontrados em que tipos de

moedas (dinheiro)?

c) Com quantas notas e moedas o grupo pagará sua conta? Receberá troco?

De quanto? Quantas moedas serão dadas de troco?

d) Por que determinados produtos são mais caros que outros?

Situações que envolvem valores monetários são atividades

importantes para se iniciar o trabalho com números com vírgula, porque são

significativas para os alunos. São situações em que normalmente os alunos fazem

operações mentais que fazem sentido para eles. Será que o aluno de quarta e

quinta séries tem os conceitos básicos a respeito da base dez, quando lida com

valores que envolvem centavos?

33


Usando uma fita métrica (de costureira), medir a altura dos alunos e registrar

na tabela:

Aluno Altura

a) Quanto falta, na medida da sua altura, para ter a mesma altura de um dos

homens mais altos do mundo que mede 2,4m?

b) Qual a diferença entre a medida do aluno mais alto e o mais baixo da turma?

c) Pode-se medir inteligência de uma pessoa?

d) Por que se usa a vírgula para representar alguns números?

e) Como localizar e explicar a localização dos números das questões a e b na

fita métrica?

Nessa atividade, o objetivo é a identificação, localização e significação

dos números com vírgula a partir de um contexto de conhecimento dos alunos que é

medir a altura de uma pessoa usando o instrumento fita métrica.

Usando material que represente notas e moedas, fazer a distribuição conforme

indicado na tabela.

ValoresRepresentação Monetária

Notas de 100 reais

Notas de 10 reais

Notas de 1 real , Moedas de

10 centavos Moedas de 1 centavo

R$ 10,25 ,R$ 115,30 ,R$ 158,49 ,R$ 149,99 ,R$ 50,00 ,Soma.......... ,

34


Nesta atividade se objetiva que o aluno passe do conceito espontâneo que possui a respeito da parte decimal, para a sua representação formal com significado. Para encaminhamento desta atividade o professor deverá providenciar um QVL (quadro, valor, lugar) em cartolina com os mesmos dados do quadro da tabela acima, de modo a possibilitar aos alunos fazerem a manipulação das notas e moedas neste quadro e ir representando os valores, por escrito, na tabela.

Usando material dourado, represente os seguintes números:

NúmeroRepresentação com material dourado

M C D U5612813471009109

Com o uso do material dourado e um QVL, levar os alunos a

relembrarem as características fundamentais do SND: possuir dez símbolos; ter

base decimal; ter valor posicional; a ausência de quantidades de qualquer ordem é

indicada pelo algarismo zero (zero como guardador de lugar). O objetivo dessa

atividade é a de avaliar os conceitos que os alunos já têm elaborado a respeito do

SND para que o professor possa avançar para a representação, usando o material

dourado, dos números com vírgula.

Usando material dourado para representar números com vírgula.

Unidade , décimos centésimos milésimos

1 cubo 1/10 do cubo 1/100 do cubo 1/1000 do cubo

35


Usando o material dourado, levar os alunos a reconhecerem o cubo

grande desse material, como inteiro; a placa como sua décima parte; a barra como a

centésima parte e o cubinho como sua milésima parte. Discutir amplamente esses

conceitos baseados na estrutura desse material, para representação do sistema de

numeração de base dez.

a) Pergunta-se: qual a relação dos números com vírgula e a sua representação

usando esse material?

Unidade , décimos centésimos milésimos

2 inteiros ,3 décimos do

inteiro4 centésimos do

inteiro8 milésimos do

inteiro

2 , 3 4 8

a) Usando esse mesmo recurso, represente outros cinco números e realize a adição dos mesmos.

Unidade, décimos centésimos milésimos

Soma:

Para essa atividade é importante usar um formulário QVL feito em

cartolina para os alunos trabalharem em grupos representando, com material dourado,

36


os números propostos por eles mesmos ou pelo professor. É importante que cada

aluno produza o mesmo quadro em seu caderno, para que possa ir registrando, por

escrito, os números representados em grupo com uso do referido material. Na questão

(b), a ideia é trabalhar as operações envolvendo trocas.

Usando material que represente notas e moedas (reais), realize os seguintes

cálculos:

a) R$ 34,25 + R$ 149,85 =

b) R$ 23,45 + R$ 49,99 =

c) R$ 100,00 – R$ 89,98 =

d) R$ 50,00 – R$ 1,68 =

Ao fazer as operações manipulando de fato representação de “notas e

moedas”, os alunos estarão simulando atividades do cotidiano. Desse modo, o

professor poderá perceber os conceitos espontâneos que os alunos têm construído

de números decimais. Observar como eles operam esses valores e, a partir daí

sistematizar essas operações por escrito no caderno e, ao corrigir no quadro de giz,

as operações feitas pelos alunos, discutir cada passo da operação sempre se

reportando ao modo como foi realizada a operação na prática, com o uso das notas.

Esse procedimento é importante para que o aluno vá estabelecendo relação de

significados entre a operação prática e a formalizada.

Usando uma fita métrica, localize os seguintes números: 3,5 – 2,6 – 7,8 – 1,3 –

12,3 – 2,8 – 78,4 – 59,9. Pergunta-se:

a) O que significa as dez marcações (risquinhos) entre um número e outro?

b) Por que são usadas essas marcações?

c) Qual a diferença em se escrever 3,5 e 3,50? Qual é o maior número: 3,5 ou

3,50? Por quê?

d) Por que, para escrever um número da fita métrica, usamos apenas uma casa

após a vírgula e quando escrevemos o valor de uma nota de dinheiro usamos

duas casas após a vírgula?

37


Considerando que os números com vírgula ou números decimais estão

mais presentes no cotidiano das pessoas do que os números fracionários, como o

professor pode facilitar e até enriquecer o processo de ensino dos números com

vírgula? Trabalhando a partir de situações que tenha significado para o aluno,

ressaltando que a elaboração do conceito e a sistematização dos números se darão

à medida que consigam desenvolver atividades relacionadas a diferentes contextos.

A compreensão de que a parte decimal é a unidade incompleta, ou seja, representa

sempre parte menor do que a unidade e, por isso, localizada entre uma e a próxima

unidade e, ainda, que essa fragmentação é feita na base 10, é o conceito

fundamental para a compreensão dos números com vírgula.

Quando estudamos em matemática números como:

8

0,8

0,08

0,008

a) Como podemos explicar que 8 diferente de 0,8?

b) Como podemos explicar que 0,08 é maior que 0,008?

c) Em que situações nós encontramos números apresentados dessa forma?

d) Por que temos que representar, em algumas situações, números com vírgula?

Essa atividade deve ser trabalhada, nesse momento, como diagnóstico

da compreensão que os alunos têm a respeito da representação de números com

vírgula, diferenciando e comparando esses números. Será que eles compreendem

por que 0,8 é maior que 0,08? O professor deve trabalhar a partir de indagações,

instigando os alunos a fazerem conjecturas, a registrarem no quadro de giz o que

sabem, representando por escrito ou em forma de desenhos tais números.

38


6 Estruturando para entender o número com vírgula ou número decimal.

Considerando como unidade a barra, cada cubinho será sua décima parte.

1 unidade

101

ou 0,1 da unidade

a) Com o uso do material, represente 1,7:

Considerando como unidade a placa, cada barra será sua décima parte, e cada cubinho, sua centésima parte:

1 unidade

101

ou 0,1 da unidade

1001

ou 0,01 da unidade

b) Com o uso do material, represente 2,54:

6 Adaptação de TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática da matemática: como dois e dois: a construção da

matemática. São Paulo: FTD, 1997, p. 198.

39


Considerando como unidade o cubo grande, a placa será sua décima parte, a barra será a centésima, e cada cubinho corresponderá à sua milésima parte:

1 unidade

101

ou 0,1 da unidade

1001

ou 0,01 da unidade

10001

ou 0,001 da unidade

c) Com o uso do material, represente:

. 1,6

. 2,49

. 2,452

d) Represente os números fracionários na forma de número decimal

Representação fracionária

Parte Inteira , Parte Decimal

C D U , Décimo Centésimo Milésimo

10009 ,

1009 ,

109 ,

100115 ,

40


Preencha a tabela e depois analise:

Fração

decimal

Número decimal

Como se fala

102

10023

2,3

Dois inteiros e quatro milésimos

100015

3,415

1000105

a) Por que dois números após a vírgula chamam-se centésimos?

b) Por que três números após a vírgula chamam-se milésimos?

c) Qual a função da vírgula em um número decimal?

d) Explique qual a diferença entre 1,3; 1,03 e 1,003.

As atividades A10 e A11 têm o objetivo de ajudar a responder a A9.

Nessas três atividades espera-se que o aluno diferencie conceitualmente os

décimos, centésimos e milésimos, bem como, diferencie a representação fracionária

da decimal. Para essas atividades, o professor deve disponibilizar e usar

constantemente o material dourado e orientar para o registro escrito,

concomitantemente.

Acrescente mais alguns números decimais entre o 0 e 8.

a) O que seria necessário fazer para localizar o número 2,35?

41


b) Qual número é maior 1,5 ou 0,5? Por quê?

c) Localize o número 5,3. O que será necessário fazer para localizar um número

entre 5,2 e 5,3?

Jogo: Troca-se 107

Material usado: material dourado, quatro dados, notas de 1, de 10 e de 100 reais e

moedas de 1 e 10 centavos e uma tabela para registros.

Centena Dezena Unidade , Décimos Centésimos

,,

Soma. . . . . ,

Objetivos: Formação do conceito científico de números decimais.

Procedimentos: joga-se em duas duplas de alunos.1º) uma dupla joga dois dados e soma o número de pontos. Um membro da dupla

representa o número de pontos com material dourado e outro representa o mesmo

número com moeda. Sempre que o acumulado do número de pontos soma dez

unidades, troca-se pela unidade posterior (dez vezes a unidade anterior), ao mesmo

tempo em que se registra os mesmos números na tabela.

2º) a segunda dupla repete o mesmo procedimento.

3º) a dupla que somar primeiro 100 pontos ganha o jogo.

4º) em uma possível continuação de jogos, trocam-se os membros entre as equipes.

O trabalho com esse jogo visa memorizar a posição e trocas dos

valores decimais (décimos, centésimos e milésimos). Ao mesmo tempo,

oportunizará ao professor avaliar o nível de compreensão desses conceitos quando

deve provocar os alunos com indagações e observar como expressam a

compreensão do conteúdo.

7 Adaptação do jogo “Dez não pode”. PROMAT: projeto oficina de matemática. Vol. 5ª série, p. 127.

42


Em grupo de três alunos, como atividade extraclasse, fazer uma pesquisa em

três postos de combustíveis e anotar o preço por litro de cada combustível:

Posto Álcool Gasolina ÓleoA R$ R$ R$

B R$ R$ R$

C R$ R$ R$

a) Há diferença de preço dos combustíveis de um posto para o outro? De quanto

é a diferença entre cada combustível? Por que os postos, às vezes, têm

preços diferentes?

b) Quantas casas após a vírgula têm o preço de cada combustível pesquisado?

Por que, às vezes, os preços trazem duas casas e outras vezes, três casas

após a vírgula?

c) Considerando que o preço do álcool em um posto esteja R$ 1,499 e o cliente

compre 10,5 litros. Quanto terá que pagar? Como será feito o cálculo?

d) Suponhamos que na primeira hora do dia, um Posto A venda 120 litros de

álcool, 110 litros de gasolina e 32 litros de óleo. Registre na tabela abaixo

essa venda e calcule os valores. Quanto foi vendido (em valores) nessa

primeira hora?

Combustível Quant. litrosPreço por litro Valor total

U Dec Cent Mil C D U Dec Cent

, ,

, ,

, ,

Valor total da venda . . . . . . . . . . . . . . . . . . R$ ,

e) Por que, o preço de alguns combustíveis, em determinados períodos, é dado em milésimos, isto é, com três casas após a vírgula e por que na hora de pagar a conta, o valor é dado em reais e centavos de reais, ou seja, com duas casas após a vírgula?

43


Como esse contexto dos preços dos combustíveis está muito presente

nos dias atuais, é possível que as crianças observem-nos nas placas de preço e na

máquina de abastecimento, situações que podem ser trazidas para a sala de aula ao

trabalhar com números decimais. Ao trabalhar com os preços por litro de

combustível em milésimos de real é importante discutir o porquê desse fato,

considerando que em nossa moeda trabalhamos apenas com centavos (centésimos

do real)8. No entanto, o uso de milésimos se justifica porque, a margem de lucro por

litro é, às vezes, muito pequena, cerca de R$ 0,1129 por litro de gasolina. Essas

questões de margem de lucro e intenções da indústria e do comércio são

importantes para a formação crítica dos alunos, além de ser também, um bom

contexto para o ensino dos decimais.

8 Para maiores informações acesse o site: <http://www.procon.sp.gov.br/pdf/revista_procon_14.pdf>.

Acesso em: 10 maio 2010.

9 Pesquisado em: <http://forum.autohoje.com/forum-geral/55986-margem-de-lucro-dos-postos-de-

abastecimento.html

44


INIDADE 3: GEOMETRIA

O piso da minha sala de aula é branco e as paredes são claras, por isso sujam muito. Se essas superfícies fossem cor do sol se pareceriam mais com a nossa terra e talvez não mostrassem as marcas como sujeira.

O ponto de partida para o ensino da geometria plana no ensino fundamental,

nas 4ª e 5ª séries, deve centrar-se no início da elaboração dos conceitos de

perímetro e área. Um dos primeiros conceitos fundamentais é a percepção de que

medir é comparar grandezas da mesma natureza. As experiências vivenciadas no

cotidiano e no processo de ensino e aprendizagem mostram que nem todos os

educandos tiveram a oportunidade de fazer observação orientada, de experimentar,

desenhar, registrar atividades envolvendo perímetro e área. Até a 4ª série o

educando tem contato com a geometria da visualização e localização no espaço, a

observação das formas presentes no contexto em que vive; faz registros escritos e

por desenho das relações percebidas; tem contato com a ideia de área e perímetro,

mas não formaliza esses conceitos. Assim, a elaboração dos conceitos

fundamentais em geometria, sua representação algébrica, abstração e

generalização é um processo a ser completado na educação básica.

Para o desenvolvimento desse trabalho, é importante que o professor faça

os encaminhamentos metodológicos, problematizando as situações, de modo que

garanta a esses educandos experimentar, explorando a manipulação de recursos

didáticos como recortes em cartolina, montagem e desmontagem de embalagens,

manipulação e comparação de diferentes unidades de medidas (padrão e não

padrão), oportunizando registrarem em forma de desenho (figurativo) dos objetos e,

registrando de modo sistematizado, levando-os a abstrair e generalizar tais 45


conceitos.

Para o trabalho inicial com geometria é interessante que se faça discussões

a partir das necessidades históricas que levaram os homens a construírem

conhecimentos no campo da geometria. Nesse sentido, mesmos os alunos de 4ª e

5ª séries, dependendo das estratégias utilizadas pelo professor, são capazes de

relacionar o espaço e as formas às necessidades humanas.

Nesse trabalho, o objetivo é discutir os conceitos de perímetro e área.

Destaca-se a importância, no início dos trabalhos, em torno do que é medir. Que

conceito de medida o aluno tem? Ou seja, o que é para ele, medir. Para Caraça

(2005, p. 29), medir é “[...] comparar duas grandezas de mesma espécie”. Porém, é

importante ter claras algumas questões: Que grandeza será medida? Que unidade

será usada? É a unidade mais viável? Quantas unidades de medida cabem na

grandeza a ser medida? Que instrumento será utilizado? Por onde iniciar o ensino

de geometria nas 4ª e 5a séries?

Como a abordagem desse trabalho se limita aos conteúdos de perímetro e

área e, considerando os pressupostos teóricos de que a aprendizagem se dá a partir

de situações que fazem sentido e têm significado para o estudante, levando-o à

formação de conceitos científicos, o ponto de partida para o ensino de perímetro e

área será o uso de medidas não convencionais e do cotidiano dos educandos, como

copos, ladrilhos, palmos, a demarcação de tempos, de notas musicais; medidas

padrão como o metro e metro quadrado e a história das necessidades humanas que

levaram à determinação do metro como medida padrão.

Enfim, a proposta de atividades que segue é orientada pelos fundamentos já

citados, tendo como princípio orientador o professor como mediador do processo

ensino aprendizagem.

46


ATIVIDADES: GEOMETRIA

Em grupos de três membros, observar a escola e seu pátio quanto ao espaço,

tamanho e formas. Cada grupo deverá fazer registros, por exemplo, registrar o

tamanho e forma do pátio, cancha, sala de aula, biblioteca, carteira, utensílios como

lixeira, televisor, computador. Enfim, espaços e objetos que chamem a atenção do

grupo. Em sala de aula:

a) Discutir as diferentes formas encontradas, desenhando-as no quadro de giz e

nominando-as pelo termo popular e pela denominação em geometria;

b) Quanto aos tamanhos, como saber as medidas exatas de cada espaço? Que

instrumentos usar?

c) Será que se usa a mesma estratégia para se medir a carteira e o pátio da

escola?

d) Como diferenciar o modo de medir todo o espaço ocupado pela escola e a

distância da rua que passa em frente à escola?

e) Qual a diferença de medir o “tampo” da carteira e o contorno que faz o

acabamento do quadro de giz?

Nessa primeira discussão com os alunos, o professor deve agir fazendo

indagações e, a partir das colocações dos alunos, elaborar outras indagações

levando-os a se aproximarem das diferenças conceituais entre medida de

comprimento e de área. Ir, aos poucos, fazendo a transição dos termos comuns

usados pelos alunos, intercalando termos de uso da geometria. Por exemplo, para

achar a medida do “tampo” da carteira, eles poderão usar vários termos e o

professor vai instigando-os até que cheguem ao conceito de “superfície” e sua

delimitação como conceito de “área”. Também, termo como “contorno” deverá, aos

poucos e pela mediação do professor, ser chamado de “perímetro”, pelos alunos.

47


Em duplas, medir e fazer anotações por escrito do contorno da carteira, do

quadro de giz, da sala de aula, do pátio, usando medidas que acharem mais

convenientes (palmos, pés, passos, polegadas, palitos, canudos, fita métrica, etc.).

Transcrever as anotações na tabela no quadro de giz:

Carteira Quadro de giz Sala de Aula Pátio da escola

Dupla ADupla BDupla C...

a) Quais as diferentes unidades de medidas usadas para fazer as referidas

medições? Elas são práticas? São recomendáveis?

b) Qual a unidade de medida mais indicada para medir cada espaço solicitado?

Por quê?

c) Qual a diferença na forma de fazer a medida da distância em volta (contorno)

e medir o tamanho todo de cada espaço?

Em duplas, construir um quadrado de um metro de cada lado, usando papel

bobina ou jornal.

a) No pátio da escola, estender esses metros de modo que cubram uma de

determinada “área”. Que tamanho ficou essa “área”? Como informar a alguém

o tamanho desse espaço usando o metro quadrado?

b) Quantos desses metros quadrados cabem na sala de aula? E nas paredes da

sala?

c) Como fazer para determinar o tamanho da sala de aula em metros

quadrados?

48


d) Por que chamamos de metro quadrado? Qual a diferença para o metro

corrido?

e) Se quisermos cobrir o chão, o teto e as paredes da sala de aula, como e

porque fazer uso m2?

f) O teto, o chão e as paredes nos dão a mesma ideia de distância do quadro

até os fundos da sala? Justifique.

Usando folhas de papel sulfite, cobrir o quadro de giz.

a) Quantas folhas foram necessárias para cobrir o quadro todo?

b) E se tivesse que trocar o quadro de giz, como informar à oficina de reformas a

quantidade de material necessário para reformá-lo?

c) Será que o papel sulfite é a melhor forma de informar o tamanho, “área”, do

quadro de giz?

Usando quadradinhos de 10 cm de cada lado feitos de cartolina, cubra o

“tampo” ou “área”, ou “superfície” da carteira.

a) Qual é o tamanho da carteira dado em cm2?

b) Qual a distância, em cm, que contorna a carteira?

c) Por que essas medidas resultam em resultados diferentes?

Usando o metro quadrado, construído de papel bobina ou jornal, determine:

a) a área do piso da sala de aula;

b) a área das paredes da sala de aula;

c) Escreva o “modelo” ou “fórmula” de como calcular a área de espaços que tem

o formato da sala de aula? Como denominamos figuras com esse formato?

49


d) Em matemática, como definimos figuras com esse formato e como

recomendamos o cálculo de área para outras figuras ou espaços que tenham

essa mesma forma?

No quadriculado, desenhe um “quadrado” e um “retângulo”

a) Como determinar a área desse e de outros infinitos quadrados?

b) Como determinar a área desse e de outros infinitos retângulos?

c) Em matemática, como podemos representar esse modo de calcular?

d) E o “contorno” ou “perímetro” dessas figuras, como ficam na matemática?

Quando se tem um quadrado ou um retângulo de qualquer tamanho:

a) Como se define o cálculo da área e

do perímetro de cada um?

b) Como se define o que é um

quadrado e o que é um retângulo?

c) Como se diferencia

matematicamente um quadrado de

um retângulo?

d) Que função tem as letras na

representação dessas figuras?

50


Medir, utilizando uma régua, os lados dos quadrados e do retângulo e calcular

a área e perímetro de cada um.

Resumo das ideias

Observe que o QUADRADO tem:

A: área do quadrado l : medida do lado P: perímetro

P = 4 x l A = l x l A = l 2

Quadrado é uma figura geométrica de quatro lados de

mesma medida e quatro ângulos de 90º.

Observe que o RETÂNGULO tem:

A: área a e b: medidas dos lados P: perímetro

P = a + a + b + b isso significa que P = 2xa + 2xb

A = a x b

Retângulo é uma figura geométrica com quatro lados, sendo os

lados paralelos de mesma medida e com os quatro ângulos de 90º.

Nessa atividade busca-se fazer uma síntese, mesmo que provisória, a

respeito dos conceitos científicos sobre área e perímetro de quadrado e retângulo.

Ao se propor a representação algébrica do quadrado e do retângulo, espera-se que

o aluno generalize e abstraia os conceitos de área e perímetro, bem como,

diferencie esses quadriláteros e se familiarize com a linguagem matemática. O papel

do professor é o de mediar as questões e articular estratégias didáticas para levar o

aluno, do conhecimento espontâneo que tem de unidade de medidas e de cálculo de

comprimento e área, de quadro e retângulo, para se aproximar do conteúdo escolar.

51


Ou seja, que o aluno compreenda a unidade de medida fundamental para o cálculo

de área e perímetro e que perceba que medir é comparar medidas. Além disso, da

A2 a A8, há uma sequência de estratégias didáticas para levar o aluno à elaboração

dos conceitos científicos de unidade de medida, área e perímetro. Outros aspectos

relevantes, nesse processo, é a condução de questionamentos para se aproximar do

conceito de medida de comprimento e unidimisionalidade, o conceito de área e bi-

dimensionalidade e o conceito de superfície. Importante, também, é discutir qual a

função do m2 como unidade de medida, levando o educando a pensar quantos m2

cabem, por exemplo, dentro do espaço do seu quarto. Desafie-os, em seguida, a

pensar sobre a medida de distância, solicitando que os alunos meçam com passos o

contorno interno da sala. Discuta com eles se o passo é uma unidade de medida

viável, levando-os a perceber a necessidade de unidade de medida de comprimento

padrão, o metro. Porém, é importante levar os estudantes a pensarem sobre outras

unidades de medidas de áreas de sítios e fazendas, terras de um estado, campos de

futebol, etc., bem como, as distâncias entre ruas, cidades, estados, etc. e as

unidades de medidas utilizadas para sua representação.

Observe este painel!

52


a) O que essas imagens têm em comum?

b) Observando o ambiente da sua escola, aponte três espaços que tem as

características das imagens do painel. Por que essas formas comparecem nessas

diferentes imagens?

c) Desenhe, em um papel quadriculado, algumas dessas imagens. Como saber o

tamanho dessas figuras?

Usando uma folha de papel sulfite:

a) Que forma tem a folha de sulfite? Como calcular a sua área?

b) Faça apenas uma dobra na folha de um canto “ângulo” ao outro. Que forma tem

cada uma das partes da folha? Como calcular a área de cada parte?

Analise as imagens:

a) Produza um retângulo em

papel cartolina que tenha 13

cm de comprimento por 9

cm de largura e quadriculo-

o com 1 cm por 1 cm;

b) Qual é a área desse

retângulo? Ou seja, quantos

cm2 cabem nesse retângulo

de 13 cm x 9 cm?

c) Recorte esse retângulo ao meio, de um canto a outro. Que figuras formaram? Como

calcular a área de cada um?

d) Qual a diferença de calcular a área do retângulo e a área do triângulo?

53


Nas atividades A10, A11 e A12 busca-se levar o aluno ao entendimento

das características do triângulo e o cálculo da sua área, sem estratégias didáticas de

muita formalização. Isto é, a ideia é levar o aluno à elaboração dos conceitos que

envolvem o triângulo como, sua forma, número de lados, a possibilidade de cálculo

de área, a partir da área do retângulo. O importante nessa fase de atividades é a

intensa discussão com a mediação do professor que estará sempre levantando

novas indagações a partir das proposições dos alunos.

Observe esse triângulo

a) Qual a sua área?

b) Explique como calculou essa área?

c) É possível saber a área de um triângulo se

não aparecessem os quadradinhos?

Observe atentamente os triângulos abaixo:

a) Que aspectos diferenciam um triângulo do outro?

b) Como calcular a área desses triângulos?

c) Como posso pensar no tamanho da sua área, a partir de um retângulo?

54


Desenhe dois triângulos em cada quadrilátero

a) Qual a área do retângulo? Qual a área de cada triângulo desenhado no

retângulo?

b) Qual a área do quadrado? Qual a área de cada triângulo desenhado no

quadrado?

c) Qual a diferença entre os triângulos desenhados no quadrado e no retângulo?

Observe o painel feito de papel colorido!

55


a) Quantos cm2 foram gastos com os triângulos: rosa, verde e branco?

b) Qual é o tamanho total do painel?

c) E se esse painel fosse do tamanho da sua carteira, quantos triângulos

caberiam?

Em grupos, criar um painel em folha de papel sulfite (21 x 29), quadriculando-

a em cm2. Critérios para criação: ter quadrados, retângulos e triângulos e ter quatro

cores.

a) Quais foram às dificuldades para essa criação?

b) Quantos quadrados, retângulos e triângulos foram possíveis criar?

c) Qual a área ocupada pelos quadrados, pelos triângulos e pelos retângulos?

Nas atividades de A13 a A17, busca-se levar o aluno a perceber a

necessidade da unidade de medida para determinação de qualquer área, bem como,

levá-los à elaboração do conceito de área do triângulo como metade da área de um

retângulo ou de um quadrado. Nessa perspectiva, o importante é que o aluno, aos

poucos, vá percebendo que a metade da área desses quadriláteros corresponderá à

área do triângulo. Objetiva-se, não concluir nesse momento a fórmula para o cálculo

da área do triângulo, mas que se aproxime da formalização e abstração da área do

triângulo. A não formalização, nesse momento, se deve ao fato de que teria vários

outros conceitos que implicariam nessa síntese, como por exemplo, o entendimento

do conceito de altura de um triângulo; o fato de o triângulo ter três alturas; o fato da

identificação da base de um triângulo e a relação com a sua posição. Outro aspecto

também a ser considerado para o cálculo da área do triângulo é que, nem sempre,

isso é possível de ser feito a partir da contagem de unidade de medidas, como no

caso do quadrado e do retângulo. Determinados triângulos têm forma de difícil

enquadramento de unidades, de modo que dificulta desenhá-los em um papel

56


quadriculado e que permita ao aluno de 4ª ou 5ª série, chegar à sua área pela

contagem, ou seja, que possa chegar ao cálculo da área a partir da metade da área

de um quadrado ou de um triângulo. Veja o exemplo:

Considerando o triângulo ao lado:

a) Qual a sua área?

b) Qual a sua base?

c) Qual a sua altura?

d) Que lado considerar como

base?

Observe a figura abaixo

a) Que figuras geométricas aparecem dentro do quadriculado?

b) Qual a área de P1 e P2?c) Qual a área P6 e P7?d) Qual a área de P4?e) Qual a área de P3?f) Qual a área de P5?g) Qual a área de P1 + P2 + P3 +

P4 + P5 + P6 + P7?h) Qual a área do quadrado grande?

Em todo o trabalho deste caderno pedagógico a ênfase foi na

elaboração dos conceitos fundamentais dos conteúdos de números fracionários,

números decimais e geometria, envolvendo área e perímetro de quadrado, retângulo

e triângulo. Especificamente para a geometria, a ênfase está na elaboração do

conceito de unidade de medida, pois, sem este conceito a aprendizagem destes 57


conteúdos pode ficar comprometida. Assim, a proposição dessa atividade com

tangran visa á revisão dos conceitos de área e perímetro do quadrado, retângulo e

triângulo, tendo como princípio a compreensão da unidade de medida. Por isso a

atividade deverá necessariamente ser desenvolvida a partir do papel quadriculado,

para que o aluno não perca de vista a essência da unidade de medida para o cálculo

de área e perímetro do quadrado, retângulo e triângulo. Porém, para o cálculo do

paralelogramo (P5), recomenda-se que não precisa se chegar ao cálculo de sua

área formalmente, este pode ser decomposto em três figuras (um quadrado e dois

triângulos) o que permitirá naturalmente o cálculo dessa figura.

Outro aspecto que não pode deixar de ser observado é que o aluno deverá avançar

para a generalização e abstração do cálculo de área e perímetro do quadrado,

retângulo e triângulo. Embora, devam ser consideradas as reflexões que orientam a

atividade 18, da página 57, isso não impede que o professor avance para a

formalização das fórmulas para o cálculo de área e perímetro do quadrado e

retângulo, como é proposto nas páginas 50 e 51, no “resumo das ideias”, a partir do

uso do recurso didático manipulável produzido, por exemplo, em EVA e identificando

os lados da figura com letras como mostra a imagem abaixo:

Recomenda-se, no entanto,

que esse avanço depende da

avaliação do professor em

relação ao nível de

entendimento da turma, a

respeito do conteúdo tratado,

especialmente da compreensão

de unidade de medida e do

cálculo de área e perímetro. Se

o aluno não tem bem elaborado 58


esses conceitos, não avançará para a generalização, ou seja, para o conceito

científico.

Os parâmetros, para esse encaminhamento, talvez seja mais recomendado que na

4a série, o professor trabalhe o tangram como unidade de medidas fazendo os

cálculos a partir da contagem ou multiplicação dos lados e, já na 5a série, retome

essa mesma estratégia, mas avançando para o trabalho com o tangran identificando

algebricamente os lados das figuras, levando o aluno ao início da idéia de

generalização de área e perímetro.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A elaboração deste Caderno Pedagógico teve como fundamentação a linha

teórica histórico-cultural de Vygotsky e em pesquisadores dessa linha. Portanto, todo

o encadeamento das atividades e suas respectivas reflexões foram construídos

cuidadosamente para que fossem coerentes com essa teoria.

A proposta de atividades não está vinculada diretamente a uma das

tendências metodológicas para o ensino da matemática, mas procura trabalhar na

perspectiva de problematizar as situações seja do cotidiano ou do contexto

matemático de modo que o aluno reflita com a mediação ativa do professor, que

interaja e questiona. As reflexões que seguem às atividades buscam subsidiar

didática e teoricamente o encaminhamento dessas atividades porque, em

determinadas produções didáticas, às vezes, a proposta de trabalho com o aluno é

interessante, mas nem sempre o professor consegue captar a intencionalidade do

autor.

Destaca-se que o trabalho do professor atuante na 4ª ou 5ª séries e na Sala

de Apoio à Aprendizagem fazendo uso deste Caderno poderá ser mais produtivo se

as atividades foram orientadas suas respectivas reflexões porque são nessas que se 59


revelam as intenções e perspectiva didático-metodológica para o trabalho em sala

de aula.

Espera-se que este caderno contribua para o trabalho pedagógico do

professor de matemática, atuante nas 4ª e 5ª séries do ensino fundamental e no

Programa Sala de Apoio à Aprendizagem, como subsídio teórico e prático, no

sentido de levar os alunos a elaborarem conceitos científicos, a partir dos conceitos

espontâneos em situações significativas. Neste material, considera-se o professor

como aquele que age como mediador do conhecimento entre o que o aluno já

conhece e o que tem potencial para aprender. Essa visão está pautada na

concepção histórico-cultural de Vygotsky e nas suas contribuições para o processo

ensino e aprendizagem da matemática.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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LOBATO, Monteiro. Aritmética da emília. São Paulo: Brasiliense, 1973, p. 91-92.

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BIBLIOGRAFIA

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62

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http://64.233.163.132/search?q=cache:i9rdxTlqOKQJ:www.sbem.com.br/files/ix_enem/Comunicacao_Cientifica/Trabalhos/CC05454674702T.doc+Uma+Investiga??o+sobre+a+Aprendizagem+de+Integral+em+turmas+Iniciais+de+C?lculo&cd=1&hl=pt-BR&ct=clnk&gl=br


APÊNDICE

Neste espaço, apresentamos as respostas de algumas atividades e, em

alguns casos, tecemos breves comentários com objetivo de deixar explícita a

intencionalidade do autor quando produziu essas atividades. Já para outras

atividades não serão apresentadas respostas porque estas são subjetivas e

dependerá dos questionamentos que o professor fará e das respostas dadas pelos

alunos.

ATIVIDADES DA UNIDADE 1: NÚMEROS FRACIONÁRIOS

Fazendo dobraduras!a) Dobre uma folha de papel sulfite10 em duas partes iguais. Em seguida recorte-as

pela linha da dobradura e sobreponha às duas metades.

Importante: Para esta atividade há inúmeras outras possibilidades de divisão na metade.

Dobrar uma folha de papel sulfite em duas partes, sucessivamente. Ou seja, a

cada metade, dobrá-la na metade novamente e registre na tabela as seguintes

observações:Escreva 1ª dobra 2ª dobra 3ª dobra 4ª dobra 5ª dobra

Número de partes da folha? 2 4 8 16 32

Uma parte do todo 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32

Duas partes do todo 2/2 2/4 2/8 2/16 2/32

Todas as partes do todo 2/2 4/4 8/8 16/16 32/32

Como se lê cada parte do todo? Meio Quarto OitavoDezesseis

avosTrinta e

dois avos

10 Por uma questão de consciência ambiental, recomenda-se a utilização de folhas de sulfite reutilizável.

63


a) Quais valores representam o mesmo tamanho da folha?

1/2, 2/4, 2/2, 4/4, 8/8, 16/16, 32/32.

b) Ao dobrar a folha, como é representada esta operação em matemática?

Divisão.

c) Ao dobrar a folha e considerar apenas uma dessas partes, como

denominamos essa parte em matemática? Fração.

d) Na questão “como se lê cada parte do todo?”, o que significa a palavra

“denominador”? Por que damos nomes especiais a ele? Em matemática, o

que ele representa?

O número superior da fração, chamado de numerador, corresponde à quantidade que foi considerada “tomada” do todo e o número da parte inferior da fração chamada de “denominador” representa em quantas partes foi dividido o todo, além disso, o denominador corresponde ao nome do tipo de fração, por exemplo, em 1/5, a palavra “quinto” significa o número de partes do todo e o nome/tipo da fração “quinto”.

Usando o computador, no programa Excel (Windows) ou Calc (Linux), criar uma

tabela com duas linhas e cinco colunas. Destas, pintar alternadamente, a metade da

tabela.

Tabela 1

f) Que fração da tabela foi pintada?

g) Que fração da tabela foi pintada de azul? E de amarelo?

h) A partir da tabela 1, reproduza e divida cada célula na metade: como ficam as

frações das questões a e b? Reproduza sempre a última tabela criada e repita

o processo.

64




i) Na tabela abaixo, represente por escrito as frações da questão c.

Tabela 1 Tabela 2 Tabela 3Escrita da fração

d1) O que se pode observar comparando as frações das tabelas 1, 2 e 3? A tabela 1 foi dividida inicialmente em 10 partes, tomadas 5 partes = 5/10; na tabela 2 cada parte foi dividida novamente ao meio de modo que o todo ficou dividido em 20 partes, porém manteve-se a metade da tabela pintada, ou seja, 10/20 e, a tabela 3 foi novamente dividida ao meio a partir da tabela 2, ficando o todo dividido em 40 partes, mas como manteve-se as mesmas partes pintadas, isso significa que do todo em 40 partes, manteve-se pintadas 20 partes. Em síntese, isso significa que 5/10 = 10/20 = 20/40 equivalem, e nesses casos chamamos de frações equivalentes.

d2) E se continuasse a divisão em mais partes, tornando-as proporcionalmente as mesmas partes anteriores, o que aconteceria?

Poderia continuar dividindo indefinidamente. Se mantidas sempre as mesmas partes pintadas, teria sempre um mesmo todo dividido em n partes, mas estaria sempre trabalhando com a sua metade, ou seja, com frações equivalentes.

d4) O que acontece com 3/4 de uma fruta, se esta tiver que ser repartida em oito partes?

Como a fruta toda passa a ter oito partes, as suas três partes passam a representar 6 partes. Ou seja, 6/8 e isso significa que 3/4 = 6/8, portanto são frações equivalentes.

65


Considerando uma régua de 12 cm.

a) Dividir a régua em três partes.

b) Represente 2/3 da régua = 8, ou seja, 2/3 de 12 = 8.

c) Represente 4/6 da régua = 8, ou seja, 4/6 de 12 = 8

Em uma sala de aula, dos 24 alunos, 2/3 são meninos; 1/3 usa calça jeans; 1/4

gosta de vídeo-game; 7/8 gostam muito de ler e 8/8 gostam de matemática.

Descobrir o número de alunos que representa cada uma das frações citadas.

Analise a sua sala e crie mais três tipos de frações relacionadas com outras

questões que envolva sua turma.

Resolução: 2/3 de 24 é igual ao todo 24 divido por 3 e multiplicado por 2. Ou seja, 2/3 x 24 = 161/3 de 24 = 1/3 x 24 = 8 alunos usam calças jeans.1/4 de 24 = 1/4 x 24 = 6 alunos gostam de vídeo-game;7/8 de 24 = 7/8 x 24 = 21 alunos gostam de ler8/8 de 24 = 8/8 x 24 = 24 alunos gostam de matemática.

Um tesouro em moedas antigas foi encontrado enterrado nos fundos da escola.

Esse tesouro foi vendido por certo valor. O juiz decidiu que esse dinheiro seria

repartido entre todos os alunos, professores e funcionários da escola. Desse modo,

66


coube à nossa sala R$ 4.320,00. Que fração desse valor caberá às meninas e aos

meninos? Que valor corresponderá à fração de cada um? Como história é história!

Na verdade, a turma da sala ganhou R$ 432,00 referentes a um trabalho

desenvolvido pela turma na festa junina da escola. Que valor caberá a cada aluno?

Que fração representa esse valor?

Como o significado dessa fração é o de quociente, o procedimento será o de dividir 432 pelo número de alunos da sala e isso corresponderá à fração de 1/24 se a sala tiver, por exemplo, 24 alunos.

Represente 2/6 na figura.

Significado: parte-todo.

Com um pacote de preparo sólido para refresco (pó para suco) com 36

gramas, se faz um litro de suco (ou quatro copos do tipo americano). Em uma festa

de aniversário há 60 crianças e, considerando que cada uma toma dois copos de

suco, pergunta-se:

a) Quantos litros de suco serão necessários? E quantos pacotes de preparo?

Número de copos de suco = 60x2 = 120 copos

Como cada pacote de preparo dá quatro litros, dividi-se 120 por 4 = 30, portanto serão

necessários 30 pacotes de preparo sólido para suco.

b) 1 copo de suco corresponde a que fração do litro?

1/4, porque cada litro corresponde a 4 copos.

c) Qual é a quantidade de pó para suco, necessária a cada copo de suco?

36 gramas divididos por 4 = 9 gramas por copo.

d) Se chegassem mais 12 crianças, como ficaria essa mistura?

67


Como são inicialmente 60 + 12 = 72 crianças e sabendo que cada criança toma dois copos de

suco, então são 72 x 2 = 144;

Como a festa estava prevista para 60 crianças, então se supõe que havia 30 pacotes de suco e

esses 30 pacotes agora devem produzir não mais 120 copos, mas sim 144 copos de suco. Isso

significa que a proporção que era 30/120 agora é de 30/144, o que significa que agora um pacote

de suco tem que produzir quase cinco copos de suco. Ou seja, 1/4,8 (1 pacote de preparo para

produzir 4,8 copos de suco).

Um grupo de amigos (duas meninas e quatro meninos) ganhou, por

vencerem uma gincana na escola, um lanche gigante.

a) Que fração do lanche as meninas receberão? E os meninos?

Meninas = 2/6 e os Meninos = 4/6

b) Se um dos meninos não quiser comer, que fração do lanche caberá a cada um?

Como o grupo que dividirá o lanche se resume a 5, então caberá 1/5 a cada um.

Usando uma régua de 12 cm, como posso representar, nessa régua, a

metade da metade? Que fração esta divisão representa? Quantas vezes o meio

desta cabe nela mesma? E 1/4, quantas vezes cabe? E a metade dividido por 2, que

fração representa da régua?

Metade da metade = 1/2 de 1/2 = 1/2 de 12 = 6 e 1/2 de 6 = 3. Isso corresponde a 1/4 da régua. Então, 1/2 de 1/2 = 1/4

68


Na tabela abaixo, em cada figura, pinte a fração indicada por números e

depois escreva a ideia da fração representada na figura.

Figura Fração Escreva a ideia da fração representada na figura

1/1 Um inteiro

1/2 Da figura dividida em duas partes, foi considera a metade.

2/4Da figura dividida em quatro partes, foram consideradas duas partes, o que significa que foi considera a metade, o que implica em 1/2 = 2/4 as quais são frações equivalentes.

8/16Da figura dividida em 16 partes, foram consideradas 8 partes, o que significa que foi considerada a metade, o que implica em 1/2 = 2/4 = 8/16 as quais são frações equivalentes.

2/3Da figura dividida em 3 partes, foram consideradas 2 partes, que é igual a 2/3.

4/6Da figura dividida em 6 partes, foram consideradas 4 partes, que é igual a 4/6. Isso significa que 2/3 = 4/6 as quais são frações equivalentes.

Iniciação às operações por meio da dobradura da folha de “papel sulfite”.

N. de dobras Operação Resulta em:6 1/6 + 1/6 2/6

8 5/8 – 3/8 2/8

4 2 x 1/2 2/2 = 1

5 2/5 x 2 4/5

3 1/3 : 3 1/9

4 2 : 1/4 8

69


Repartindo a maçã

Cortando a maçã

em três partes,

quanto dá?

1/3 + 1/3 2/3

3/3 – 1/3 2/3

1/3 x 3 3/3

1/3 : 21/6

Encontre:

1/4 2/3 2/5 2/6

Folha de sulfite R$ 75,00R$ 50,00

60 minutos24 minutos

Uma pizza

Páginas de um livro com 200 páginas.

50 páginas

Uma sala 24 alunos.

16 alunos

R$ 125,00R$ 50,00

População de 3600 pessoas que não

votaram. 1.200 pessoas

ATIVIDADES DA UNIDADE 2: NÚMEROS DECIMAIS

Observe a relação de objetos presentes no cotidiano com a comunicação escrita usando o sistema de numeração.

Uma bola de futebol custa R$ 69,90O valor da Mochila:

R$ 25,90

O valor do litro de leite:R$ 2,67

a) Quanto mede a sua braçada?b) Qual é a história da braça?c) 2,33 m é a braçada do nadador.

Ao calcular 5% do número 428, chegou-se ao número 21,4.O preço do litro de álcool combustível custa R$ 1,679Lapiseira 0.5Carro 1.8

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a) Por que aparece a vírgula em todos os números acima? Porque todos eles têm quantidades que corresponde a inteiros e mais uma quantidade tomada dela apenas partes. De 10 partes ou 100 partes foram usadas apenas partes.

b) O que eles têm em comum? São todos números com inteiros e partes decimais.

c) Como explicar que uma pessoa que mede 1,8 m seja maior do que uma com

1,75 m?

No número 1,8 o 1 representa uma unidade de metro inteira e a parte 0,8 significa mais 1 unidade de metro dividida em 10 partes e tomadas 8 partes, ou dividida em 100 partes e tomadas 80 partes. (Relembrando fração equivalente 8/10 = 80/100). Já no caso de 1,75 o 1 representa uma unidade inteira de metro e a parte 0,75 significa mais 1 unidade de metro dividida em 100 partes e tomadas apenas 75 partes, ou seja, 75/100. Assim, 80/100 é maior que 75/100, logo 1,8 é maior 1,75 metros.

d) Por que o nosso dinheiro é sempre escrito com duas casas após a vírgula?Porque o nosso sistema monetário é organizado em inteiros e partes organizadas em décimos e centésimos.

e) Por que alguns números são representados com a intercalação de um “ponto” entre dois números. Por exemplo: carro 1.8 ou lapiseira 0.5?Porque é um “modismo” no Brasil “copiar” modelos americanos, pois nos Estados Unidos, no lugar de vírgula é usado o ponto.

f) Por que a expressão “zero a esquerda” significa algo que não tem valor? Porque em um número com parte decimal, o número que aparece à esquerda da vírgula representa a parte inteira. Assim, se essa parte é representada pelo 0 (zero), isso significa “nada, nenhuma” parte inteira.

Com o uso de panfletos de propaganda de produtos de supermercado, em

grupos, recorte e monte na tabela abaixo uma lista de compra considerando para

isso que você tem um limite de R$ 128,27 para gastar. Esses são apenas exemplos.

Produto Quantidade Valor por Unidade Valor totalSabão em pó 1 caixa 5,95 5,95Creme dental 2 unid. 3,25 6,50Carne 5 kg 11,90 59,50

Valor total da compra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R$ 71,95

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a) Por que os valores dos produtos estão representados com dois números após uma vírgula? Porque os produtos são vendidos em valores do sistema monetário brasileiro e este é organizado em inteiros e centésimos.

b) Os valores entre R$ 1,00 e R$ 2,00 podem ser encontrados em que tipos de moedas (dinheiro)?

Em moeda de papel e metal (moedas de R$ 0,05, R$ 0,10, R$ 0,25, R$ 0,50 e R$ 1,00 juntando algumas podem somar R$ 1,00 e R$ 2,00).

c) Com quantas notas e moedas o grupo pagará sua conta? Receberá troco? De quanto? Quantas moedas serão dadas de troco?

Cada grupo apresentará resposta diferente.

d) Por que determinados produtos são mais caros que outros? Resposta resultante das discussões em grupo.

Usando material representando notas e moedas, fazer a distribuição conforme

indicado na tabela.

ValoresRepresentação Monetária

Notas de 100 reais

Notas de 10 reais

Notas de 1 real , Moedas de

10 centavos Moedas de 1 centavo

R$ 10,25 1 0 , 2 5

R$ 115,30 1 1 5 , 3 0

R$ 158,49 1 5 8 , 4 9

R$ 149,99 1 4 9 , 9 9

R$ 50,00 5 0 , 0 0

Soma.......... 4 8 4 , 0 3

Usando uma fita métrica, localize os seguintes números: 3,5 – 2,6 – 7,8 – 1,3 –

12,3 – 2,8 – 78,4 – 59,9. Pergunta-se:

a) O que significa as dez marcações (risquinhos) entre um número e outro? Significa que uma unidade entre um número e outro pode ser divida em dez partes.

b) Por que são usadas essas marcações?

72


Para facilitar a medição quando se considera uma parte de uma unidade, as coisas a serem medidas no comprimento devem seguir um padrão, o metro e as partes decimais desse metro.

c) Qual a diferença em se escrever 3,5 e 3,50? Qual é o maior número: 3,5 ou 3,50? Por quê? Depende do que estiver sendo medido ou contado. No caso de metro, normalmente usa-se mais partes de um inteiro. No caso de 3,5, de um inteiro dividido em 10 partes, toma-se apenas 5 partes. Já no caso de 3,50, o 0,50 significa que a unidade inteira entre 3 e 4 foi divida em 100 partes e tomas 50. Ou seja, 50 centésimos.

d) Por que, para escrever um número da fita métrica usamos apenas uma casa após a vírgula e quando escrevemos o valor de uma nota de dinheiro usamos duas casas após a vírgula? Porque normalmente quando precisamos usar partes de um metro não necessitamos de valores tão pequenos que justifique a divisão dessa parte em 100 (centésimos), habitualmente precisamos apenas das partes decimais. No caso do dinheiro, precisamos usar centavos (centésimos), ou seja, de R$ 1,00 precisamos usá-lo divido em 100.

Quando estudamos em matemática números como:

80,80,080,008

a) Como podemos explicar que 8 é diferente de 0,8? O 8 significa 8 inteiros e 0,8 significa 1 inteiro dividido em 10 partes e tomadas apenas 8 partes. Ou seja, este valor é dez vezes menor que o 8 inteiros.

b) Como podemos explicar que 0,08 é maior 0,008? Porque 0,08 significa 1 dividido em 100 partes e tomadas 8 partes (8/100) e 0,008 significa 1 inteito dividido em 100 partes e tomadas 8 partes (8/1000). Então, 0,08 é maior que 0,008.

c) Em que situações encontramos números apresentados dessa forma? Em situações do cotidiano, por exemplo, em bulas de remédio em que um componente entra em milésimos de grama em relação ao todo de uma fórmula. Os produtos vendidos em Supermercados em gramas, e, grama é a milésima parte do quilo.

d) Por que temos que representar, em algumas situações, números com vírgula? Porque grande parte de produtos vendidos em supermercado, por exemplo, em quilos e gramas e calculados os valores em reais e centavos, ou seja, em quantidades e valores inteiros e partes de uma unidade inteira, as quais são organizadas em décimos ou centésimos ou milésimos e essas partes são escritas após o inteiro, separadas por vírgula.

Estruturando para entender o número com vírgula ou número decimal.

Represente os números fracionários na forma de número decimal

73


Representação fracionária

Parte Inteira , Parte DecimalC D U , Décimo Centésimo Milésimo

10009

0 , 0 0 9

1009

0 , 0 9

109

0 , 9

100115

1 , 1 5

Preencha a tabela e depois analise:

Fração decimal

Número decimal

Como se fala

102

0,2 Dois décimos

10023

0,23 Vinte e três centésimos.

23/10 2,3 Dois inteiros e três décimos

2004/1000 2,004 Dois inteiros e quatro milésimos

100015

0,015 Quinze milésimos

3415/1000 3,415 Três inteiros e quatrocentos e quinze milésimos.

1000105

0,105 Cento e cinco milésimos

a) Por que dois números após a vírgula chamam-se centésimos? Porque estes dois números representam partes de uma unidade inteira dividida em 100 partes.

b) Por que três números após a vírgula chamam-se milésimos? Porque estes três números representam partes de uma unidade inteira dividida em 1000 partes.

c) Qual a função da vírgula em um número decimal? É a de separar a parte inteira de um número de sua parte decimal.

d) Explique qual a diferença entre 1,3; 1,03 e 1,003. Significa que em 1,3 a parte decimal são décimos (3/10); em 1,03 a parte decimal são centésimos (3/100) e em 1,003 a parte decimal são milésimos (3/1000).

Acrescente mais alguns números decimais entre o 0 e 8.

74


a) O que seria necessário fazer para localizar o número 2,35? Significa que tenho que dividir o espaço entre 2,3 e 2,4 em 10 partes e considerar 5 partes.

b) Qual número é maior 1,5 ou 0,5? Por quê? O número 1,5 é maior que 0,5 porque em 1,5 temos um inteiro e mais 5 décimos, enquanto em 0,5 temos apenas 5 décimos.

c) Localize o número 5,3. O que será necessário fazer para localizar um número entre 5,2 e 5,3? Como o intervalo entre 5 e 6 foi dividido em 10 partes e já está localizado o 5,2 (5 e mais 2/10), é só localizar o próximo ponto que representa 5,3 (5 e mais 3/10).

Em grupo de três alunos, como atividade extraclasse, fazer uma pesquisa em

três postos de combustíveis e anotar o preço por litro de cada combustível:

Posto Álcool Gasolina Óleo

A R$ R$ R$

B R$ R$ R$

C R$ R$ R$

a) Quantas casas após a vírgula têm o preço de cada combustível pesquisado? Por que, às vezes, os preços trazem duas casas e outras vezes três casas após a vírgula? Isso ocorre quando os preços dos combustíveis variam muito e como a margem de lucro por litro de combustível é muito pequena, às vezes, o comércio precisa considerar até os milésimos do valor do litro para que fiquem assegurado esses pequenos fragmentos de valores que multiplicados por milhares de litros vendidos corresponde a valores significativos em termos de lucros.

b) Considerando que o preço do álcool em um posto esteja R$ 1,499 e o cliente compre 10,5 litros. Quanto terá que pagar? Como será feito o cálculo? O valor a pagar será de R$ 10,5 x 1,499 = 15,7395. Neste caso, é muito provável que será pago R$ 15,74 porque, pela regra de arredondamento em matemática, se o número a ser eliminado for acima de 5 o seu anterior é arredondado para cima.

c) Suponhamos que na primeira hora do dia um Posto A venda 120 litros de álcool, 110 litros de gasolina e 32 litros de óleo. Registre na tabela abaixo essa venda, calcule os valores. Quanto foi vendido (em valores) nessa primeira hora?

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Combustível Quant. litrosPreço por litro Valor total

U Dec Cent Mil C D U Dec Cent

, ,

, ,

, ,

Valor total vendido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . R$ ,

d) Por que o preço de alguns combustíveis, em determinados períodos, é dado em milésimos, ou seja, com três casas após a vírgula e, por que, na hora de pagar a conta, o valor é dado em reais e centavos de reais, ou seja, com duas casas após a vírgula? Isso ocorre quando os preços dos combustíveis variam muito e como a margem de lucro por litro de combustível é muito pequena, às vezes, o comércio precisa considerar até os milésimos do valor do litro para que fiquem assegurados esses pequenos fragmentos de valores que multiplicados por milhares de litros vendidos correspondem a valores significativos em termos de lucro. Mas, como o nosso sistema monetário é organizado em inteiros e centésimos de inteiros (centavos), então o valor a ser pago deve seguir essa organização.

ATIDADES DA UNIDADE 3: GEOMETRIA

Em grupos de três membros, observar a escola e seu pátio quanto ao espaço:

tamanho e formas. Cada grupo deverá fazer registros, por exemplo, registrar o

tamanho e a forma do pátio, cancha, sala de aula, biblioteca, carteira, utensílios

como lixeira, televisor, computador. Enfim, espaços e objetos que chamem a

atenção do grupo. Em sala de aula:

a) Discutir as diferentes formas encontradas, desenhando-as no quadro de giz e

nominando-as pelo termo popular e pela denominação em geometria;

b) Quanto aos tamanhos, como saber as medidas exatas de cada espaço? Que

instrumentos usar?

Os instrumentos dependem do tamanho do espaço e do tipo de medida a ser feita. Se a medida for de grandes dimensões, usa-se unidade de medidas maiores. Por exemplo, usa-se

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medir o contorno da carteira em cm e o contorno de uma cidade em km. Já a área de uma carteira pode ser dada em cm2 e a área de uma cidade por ser dada em km2.

c) Será que se usa a mesma estratégia para se medir a carteira e o pátio da escola? Sim, apenas o ideal será usar unidades de medidas mais adequadas ao espaço a ser medido.

d) o diferenciar o modo de medir todo o espaço ocupado pela escola e a distância da rua que passa em frente à escola? O espaço usado pela escola é medido por unidade de área para medir sua superfície, já a rua é medida na sua extensão, ou seja, só no seu comprimento.

e) Qual a diferença de medir o “tampo” da carteira e o contorno que faz o acabamento do quadro de giz? É porque para medir a superfície da carteira é preciso uma unidade de medida de área e o seu contorno será necessário o uso de unidade de medidas de comprimento.

No quadriculado, desenhe um “quadrado” e um “retângulo”.

a) Como determinar a área desse e de outros infinitos quadrados?

Como temos na linha horizontal 3 unidades e essas se repetem na vertical tantas vezes na

sua altura, multiplica-se então lado por lado.

b) Como determinar a área desse e de outros infinitos retângulos?

Multiplica-se lado por lado.

c) Em matemática, como podemos representar esse modo de calcular?

L x L = L2 se for um quadrado, ou seja, uma figura que tem lados iguais.

77


d) E o “contorno” ou “perímetro” dessas figuras, como ficam na matemática?

Para calcular a área, multiplica-se lado por lado. Para o perímetro somam-se os lados.

Quando se tem um quadrado ou um retângulo de qualquer tamanho:

a) Como se define o cálculo da área e

do perímetro de cada um?

b) Como se define o que é um

quadrado e o que é um retângulo?

c) Como se diferencia

matematicamente um quadrado de

um retângulo?

d) Que função tem as letras na

representação dessas figuras?

a) A área de um quadrado ou retângulo define-se multiplicando o número de unidades de medida da

base pelo número de vezes que essas se repetem na altura. Para o perímetro somam-se os lados

da figura.

b) O quadro é uma figura que tem quatro lados de mesma medida e quatro ângulos de 90º (ângulo

reto). O retângulo tem lados dois a dois (paralelos) de mesma medida e todos os ângulos de 90º

(ângulo reto).

c) O quadrado tem os quatros lados de mesma medida e o Retângulo pode ter lados dois a dois

(paralelos) de mesma medida. Ou seja, um par de lados paralelos tem medidas que podem ser

iguais ou diferentes do outro par.

d) As letras maiúsculas representam os vértices (cantos) e as minúsculas representam os lados.

78


Observe este painel!

a) O que essas imagens têm em comum? Observa-se figuras de três lados às quais, em geometria denominam-se triângulos (porque têm

três ângulos).

Usando uma folha de papel sulfite:a) Que forma tem a folha de sulfite? Como calcular a sua área?

A folha de papel sulfite tipo A4 tem medidas com lados de 21 cm por 29,7 cm formando um

retângulo. Para saber quantos cm2 cabem nesse retângulo, multiplicam-se os 29,7 cm por 21 cm.

b) Faça apenas uma dobra na folha de um canto “ângulo” ao outro. Que forma tem cada uma das partes da folha? Como calcular a área de cada parte? Cada parte forma um triângulo. Para o cálculo da área de cada triângulo, multiplicam-se os lados das folhas para obter a área e depois, divide-se o resultado por dois porque formou-se dois triângulos, e cada um deles tem a metade da área da folha inteira.

79


Analise as imagens

a) Produza um retângulo em papel

cartolina que tenha 13 cm de

comprimento por 9 cm de largura e

quadricule-o com 1 cm por 1 cm;

b) Qual é a área desse retângulo?

Ou seja, quantos cm2 cabem

nesse retângulo de 13 cm x 9 cm?

c) Recorte esse retângulo ao meio, de um canto a outro. Que figuras formaram? Como

calcular a área de cada um?

d) Qual a diferença de calcular a área do retângulo e a área do triângulo?

a) 13 cm x 9 cm = 117 cm2

b) Formaram dois triângulos. Como a área do retângulo foi dividida ao meio, formaram dois triângulos de mesma medida. Ou seja, 117 / 2 = 58,5 cm2.

Observe esse triângulo

Obs.: unidade de medida = u2 (quadrado u x u).

a) Qual a sua área? Observando o quadrado completo teríamos 4u x 4u = 16u2, porém como é um triângulo, temos apenas a metade desse quadrado, portanto 16/2 = 8u2.

b) Explique como calculou essa área? Multiplica-se lado x lado e divide-se por 2, (l x l)/2 u2.

c) É possível saber a área de um triângulo, se não aparecessem os quadradinhos?Sim, basta multiplicar o lado pela altura e dividir

por dois.

80


Observe atentamente os triângulos abaixo:

a) Que aspectos diferenciam um triângulo do outro? As medidas dos lados e dos ângulos.

b) Como calcular a área desses triângulos? Multiplicando-se a medida de um lado pela sua altura. Fazendo isso, chega-se a um quadrado ou retângulo, porém divide-se esse valor por dois, por se tratar da metade dessa área que corresponde a um triângulo.

d) Como posso pensar no tamanho da sua área a partir de um retângulo? Porque um triângulo sempre tem a metade da área de um quadrado ou retângulo.

Desenhe dois triângulos em cada quadrilátero.

a) Qual a área do retângulo?

Qual a área de cada

triângulo desenhado no

retângulo?

b) Qual a área do quadrado?

Qual a área de cada

triângulo desenhado no

quadrado?

c) Qual a diferença entre os triângulos desenhados no quadrado e no retângulo?a) 4u x 7u = 28u2. (4 x 7) / 2 = 14u2.b) 4u x 4u = 16u. (4 x 4) / 2 = 8u2.

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Observe o painel feito de papel colorido.

Obs.: unidade de medida = u2 (quadrado u x u).

a) Quantos cm2 foram gastos com os triângulos: rosa, verde e branco?

Como cada quadrado de lado 2 foi dividido por 2 para dar o triângulo rosa, então (2 x 2) / 2 =

2u2. Como são 11 triângulos (11 x 2) = 22u2 ocupados pelos triângulos rosa. Quadrados

verdes 10 x 2 = 20u2 e quadrados brancos 21 x 2 = 4u2.

b) Qual é o tamanho total do painel? 16u x 8u = 128u2.

c) E se esse painel fosse do tamanho da sua carteira, quantos triângulos

caberiam?

Cada aluno vai determinar a área da carteira em cm2, desenhá-la no caderno, reproduzir o

modelo do painel. Provavelmente não dará as mesmas medidas do painel já que a área da

carteira será calculada em cm. Assim, uma carteira poderá ter 50 cm x 30 cm.

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Observe a figura abaixo:

a) Que figuras geométricas aparecem

dentro do quadriculado?

b) Qual a área de P1 e P2?

c) Qual a área P6 e P7?

d) Qual a área de P4?

e) Qual a área de P3?

f) Qual a área de P5?

g) Qual a área de P1 + P2 + P3 + P4 +

P5 + P6 + P7?

h) Qual a área do quadrado grande?

a) Quadrado, paralelogramo e triângulos;

b) Dois triângulos que medem 8u de base x 4u de altura, então (8 x 4)/2 = 16u2 cada triângulo e,

como são dois temos então que P1 + P2 = 16 x 2 = 32u2.

c) P6 e P7 têm as mesmas medidas, então (4u x 2u) / 2 = 4u2. P6 = 4u2 + P7 = 4u2 = 8u2.

d) Como o quadrado é formado por dois triângulos de (4u x 2u) / 2 = 4u2. Ou seja, a soma das

áreas desses dois triângulos será 4u2 + 4u2 = 8u2.

e) Triângulo com (4u x 4u) / 2 = 8u2.

f) Como P5 é um Paralelogramo, com as seguintes medidas:

Podemos perceber um retângulo de 6u x 2u =

12u2. Mas, retira-se deste, dois triângulos de

(2u x 2u) / 2 = 2u2, porém são dois = 4u2. Então

temos que:

12u2 – 4u2 = 8u2 que é a área do paralelogramo.g) 16u2 + 16u2 + 4u2 + 4u2 + 4u2 + 4u2 + 8u2 + 8u2 = 64u2

h) O quadrado grande tem medidas: 8u x 8u = 64u2.

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da escola pÚblica paranaense 2009 - … · série, quarta para a quinta, isso porque os...

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